02red Reciproca

 

A cargo de: Pr Prof. of. Jos Jos´ ´e V´asque asq uezz Prof. Kelman Mar Mar´ ´ın Rengif R engifo o Curso: F´ısica del E Estado stado S´olido olido Ciclo: 2014 - III

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ciencias Cienci as F´ısicas y Matem´aaticas ticas Escuelaa Acad´eemico Escuel mico Profes Profesional ional de F´ısica Av. Juan Pablo II s/n ´ RED REC´ IPROCA IPR OCA Y DIFRACCI DIFRACCION DE RA RAYOS YOS X 1.   Determinar

los ´ındices ındices de Miller para cada plano at´omico omico de las siguientes redes c´ ubicas ubicas

Figura 1: Problema 01. 2.  Dentro

de la celdilla unidad c´ubica, ubica, esquematizar esquematizar los siguie siguientes ntes planos: (a) (10¯1); (b) (2¯11); (c) (012); (d) (3¯13); (e) (¯11¯1); (f) (¯212); (g) (3¯12); (h) (301).

3.  Considerar

la estructura bidimensional de la figura adjunta, en que las distancias se dan en

˚ A. A.

Figura 2: Problema 03. (a) Determinar el tipo de red, los vectores base y la base de ´atomos. atomos. (b) Dibujar la celda de Wigner-Seitz. (c) Dibujar la red rec´ rec´ıproca y determinar sus vectores base. (d) Dibujar la primera zona de Brillouin. (e) Determinar el factor de estructura F(h k l) y establecer el criterio para planos difractantes.

 −→  −→

4.   (a)

Demostrar que el volumen para una red rec´ rec´ıproca con vectores bases dados por p or b   1 , b  2   (2 (2π π) y b  3   es a .( a a ) (b) Demostrar que la red rec´ rec´ıproca de la red hexagonal simple, es otra hexagonal simple con

 −→

3

−→ −→ −→  1

 2

 3

constantes de red 2π/c 2π/c   y 4π/ 3a. (c) ¿Para qu´e valor de c/a ´esta esta raz´ raz on ´on tiene el mismo valor, tanto en la red directa como en la red rec´ rec´ıproca? Si c/a pertenece p ertenece a la red hexagonal ideal, ¿Cu´al al es el valor de c/a para la

√ 

 

red rec´ıpro ıp roca ca?? (d) La red de Bravais generada por tres vectores base de igual longitud   a  haciendo ´anguangulos iguales   θ   uno con el otro, se conoce como red trigonal de Bravais. Demostrar que el rec´´ıproco de la red trigonal rec trigonal de Brav Bravais tambi´ tambi´en en es trigon trigonal, al, con un angulo a´ngulo   θ* dado por cosθ =  Cosθ/  Cosθ/[1 [1 + Cosθ  Cosθ], ], y una longitud del vector base   a*, dado por   a = (2π/a (2π/a)(1 )(1 +

−

∗

∗

∗

1/2

−

2cosθ.cosθ Considerar los jvectores base satisfacen la rela2 para ci´ on: on: a  i . a  j)  =  a.2 Cosθ Cosθ para  para i  i que =  j;  j ;para y a  iuna . a  jred   = atrigonal para i  i  = j  =

 −→ −→

 −→ −→



 −→ −→

5.   Los

vectores de la red rec´ rec´ıproca son los l os que cumplen: a  i . b  j   = 2πδ iijj , para j para  j  = 1,2. Adem´as as se escoge un vector auxiliar c  , con m´odulo odulo unidad y perpendicular tanto a a   como a b  , para emplear las ecuaciones: a = 2π b   X c ; b = 2π c   X a . El vector a y con  . ( b   X c  ) a  .( a  . .(( b   X c   ) m´odulo odulo 1π/d 1π/d10 , donde  donde   d10  es la distancia interplanar (10). El vector b es perpendicular a a   y tiene como m´odulo odulo 2π/d 2π/d01 . Como consecuencia, el ´aangulo ngulo que forman a   y b   m´as as el que definen sus rec´ rec´ıprocos es igual a   π. Comprueba que las tres definiciones son equivalentes y que todas dan lugar a la siguiente expresi´ on: on:

 −→  −→

−→ −→  −→ −→ −→ −→

  −→ −→ −→ −→ −→  −→

 ∗

 ∗

  2π

 ∗

2  2 −→a = |−→a X−→b | b −→a  − −→a .−→b  −→b    ;   −→b

 −→

 −→

 ∗

 ∗

−→

 ∗

 −→

 −→  −→

  2π

2    = |− →a X−→b | − −→a .−→b −→a   + a −→b  2

6.  (a)

Calcular la distancia interplanar para una red hexagonal simple, cuyo par´ametro ametro de red es es   a. Sugerencia: Usar la relaci´oon: d n:  d hkl  = 2π/K 0 . (b) Calcular las coordenadas de los puntos de la zona de Brillouin L, X y W del espacio rec´´ıproco rec ıpro co representados representad os en la l a figura. fi gura.

Figura 3: Problema 06. 7.  En

un experimento de difracci´on on de rayos X llevado a cabo con radiaci´on on de λ de  λ =  = 0.15406 nm 0.15406  nm se ha recogido un gr´afico afico para un elemento del sistema c´ ubico ubico que muestra picos de difracci´oon n para angulo ´angulo 2θ 2θ   de 40.113 ; 46.659 ; 68.659 y 82.090 . Determinar los planos difractantes para cada ´angulo, angulo, la estructura cristalina del elemento y su constante de red. Tomar la ◦

◦

◦

◦

difracci´ on on de orden 1. 8.  El grafeno es una capa plana de ´ atomos atomos de carbono, carb ono, dispuestos en los v´ eertices rtices de hex´ agonos agonos regulares, de un solo ´atomo atomo de espesor, tal y como se muestra en la Figura (a). Cuando las

 

capas monoat´omicas omicas se apilan, dan lugar al grafito que se emplea, por ejemplo, en las minas de los l´apices. apices. Una estructura similar es la del nitruro de boro [Figura (b)], donde en vez de ´atomos de carbono, la estructura muestra la ubicaci´oon atomos n alternada de atomos ´atomos de nitr´ogeno ogeno y de boro.

Figura 4: Problema 08. (a) Describir estas estructuras como red m´as as base. Dar las coordenadas de los vectores base y de los ´atomos atomos de la base con respecto a los ejes  xy  indicados. (b) Calcular Cal cular los vectores base de las redes rec´ rec´ıprocas y dibujar dichas redes. (c) Se hacen incidir sobre el grafeno rayos X de longitud de onda 3a/ 3a/2, 2, donde   a   es la distancia entre primeros vecinos. Si la direcci´on on de incidencia es seg´un un el eje Y, ¿Cu´antos antos haces difractados se observar´aan?, n ?, ¿Qu´ ¿Qu ´e angulos ´angulos formar´an an los haces difractados con el haz incidente?, ¿Y si la direcci´on o n de incidencia es a lo largo del eje X? Sugerencia: Usar la formuaci´ on on de Laue. (d) Si en el experimento se realizara con el nitruro de boro, ¿Cu´ales ales ser´ ser´ıan las diferenc diferencias ias en los c´aculos aculos difractograma de rayos X del grafeno?. 9.

  La estru cturaen zinc-blen zi nc-blenda tambi´en epositivamente n es una red r ed c´ubica uen bica de lado a lado  a, , con una base queestructura consiste un i´oon n da cargado el FCC origendeyBravais un i´on on cargado negativamente

−→ −→ −→

en (a/ a/4)( 4)( i   +  j   + k ). Demostrar que el factor de estructura   F  F ((khl khl)) es  es   f + if   si los los   ν i 1 son n´ umeros umeros enteros + 2 ,   f +  +  + f   f   si los  los   ν i  son n´ umeros umeros enteros y ν i  es par, y  y   f + f    si los los ν   ν i  son n´ umeros umeros enteros y ν i  es impar. −

 

Trujillo, 1 de febrero de 2015

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±

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