02RAZONAMIENTO MATEMATICO

PLANTEO DE ECUACIONES El planteo de ecuaciones es una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas que consiste en la destreza para traducir el enunciado de un problema de un lenguaje escrito aun lenguaje matemático, estableciendo para ello una o más ecuaciones. Esto es lo que se conoce como planteo de ecuaciones. Enunciado escrito

Traducción

5. 6.

Despeje la incógnita de la ecuación. Responda la o las preguntas planteadas. ANALIZO Y APRENDO

1.

¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los mismo? A) 20 D) 50

He aquí algunos ejemplos: El doble de un número, aumentado en 3 ………………………………………… 2. El doble, de un número aumentado en 3 ………………………………………… 3. Cristian tiene el triple de lo que tiene Karlos ………………………………………… 4. Melina tiene dos veces más de lo que tiene Jaqueline ………………………………………… 5. Un número excede a 7 en 22 ………………………………………… 6. El triple de un número excede en 5 a su mitad ………………………………………… 7. El doble del exceso de un número sobre 7 es 21 ………………………………………… 8. El producto de tres números consecutivos es 60 ………………………………………… 9. El cubo de la suma de tres números ………………………………………… 10. La suma de los cuadrados de 3 números ………………………………………… 11. Dos números son entre sí como 5 es a 7 ………………………………………… 12. El exceso de 20 sobre el triple de un número ………………………………………… Ahora inténtalo al revés.

8.

m 5  n 4

C) 10

3 1 xx 5 6

 30 (x – 17) = 18x – 5x

1.

7x – 5 4(x-3) 6 - 2x = 4 a–b=4 x + (x+1) + (x+2) x(x+2)(x+4) x³ +y³

B) 40 E) 30

Solución: Sea “x” el número del enunciado

Lenguaje matemático

x – 17 =

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

3 del número y la sexta parte del 5

Resolviendo: 30 = 3x 2.

Una institución va a rifar una casa, emitiendo para esto un determinado número de acciones. Si cada acción es vendida a 100 soles, pierde S/. 98 000 pero si c/u es vendida a S/. 120, obtiene como ganancia S/. 75 000. Hallar el precio de la casa. A) 846 000 D) 863 000

B) 963 000 E) 849 000

C)973 000

Solución: Precio de la casa: S/. P número de acciones: n del enunciado: P = 100n + 98 000 … (1) P = 120n – 75 000 … (2) 120n – 75 000 = 100n + 98 000 n = 8 650 en (1): P = 100 (8 650) + 98 000 P = 963 000 soles

…………………. …………………. …………………. …………………. …………………. …………………. ………………….

3.

Hallar el mayor de tres números consecutivos, si sabemos que los

4 3 del mayor excede a los del intermedio 5 4

en una cantidad igual a la sexta parte del

1 disminuida en . 5 A) 8 D) 11

………………….

B) 9 E) 12

Solución: Sean los #s: x, (x + 1), (x + 2) del enunciado:

A continuación se te indica algunas recomendaciones para resolver un problema verbal: 1. Lea el enunciado con cuidado. 2. De ser posible haga un dibujo que le ayude a visualizar el problema. 3. Determine la cantidad que se debe encontrar y elija una letra para representar a esta cantidad desconocida. Si hay más de una cantidad desconocida, represéntela si es posible en relación con la primera o en otro caso con otra letra (variable) 4. Represente el problema verbal como ecuación.

3 4 1 (x+ 2) (x + 1) = (x) 4 5 5 MCM (5; 4; 6) = 60 48 (x + 2) – 45 (x + 1) = 10x – 12 de donde: x = 9 el mayor (x + 2) 9 + 2 = 11

233

C) 10

menor,

A) S/. 140 B) S/. 120 C) S/. 100 D) S/. 150 E) S/. 240 11. En el mes de febrero de un año no bisiesto se nota que el número de días transcurridos, es igual a los 2/5 del número de días que faltan transcurrir. )Al final de qué día ocurrió esto? A) 7 de febrero B) 8 de febrero C) 9 de febrero D) 10 de febrero E) 11 de febrero

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE 1.

Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. El mayor es: A) 21 D) 26

2.

5.

6.

7.

B) 67 E) 65

12. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más 10 soles. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 más de lo que tengo. )Cuánto no gastaría si comprara un artículo que cuesta la cuarta parte de lo que no gastaría? A) 3 B) 12 C) 10 D) 8 E) 15

C) 60

Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? A) 190 D) 197

4.

C) 24

La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el término intermedio. A) 69 D) 62

3.

B) 20 E) 28

B) 188 E) 181

13. En una fiesta la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En cierto momento se retiraron 6 damas y llegan 3 hombres, con lo cual la relación es ahora de 3 a 5. ) Cuántas mujeres deben llegar? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

C) 176

La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los 3/8 del menor. Hallar los números. Dar como respuesta el mayor de ellos. A) 64 B) 58 C) 68 D) 66 E) 70

14. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/ 120. ¿Cuánto tengo? A) 110 B) 90 C) 12 D) 36 E) 16

)Cuántas patas de gallina se pueden contar en un corral donde hay 90 gallinas más 1/10 del número de gallinas? A) 180 B) 198 C) 200 D) 190 E) 202

15. Al ser preguntado Daniel por el número de chocolates que compró respondió : “Compré 2 más que la raíz cuadrada; del triple de los que compré, disminuido en 2". ¿Cuántos chocolates compró? A) 3 B) 6 C) 10 D) 12 E) 9

Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los S/. 350 que le dio, este respondió: he gastado las 3/4 partes de lo que no gasté. )Cuánto gastó? A) 200 B) 150 C) 300 D) 180 E) 120

16. Jorge tiene cierto número de gallinas, al ser víctima de un robo, pierde los 2/9 del total menos 5 gallinas. Por otro lado compra 37 gallinas y se percata que el número primitivo quedó aumentado en 1/6. ¿Cuántas gallinas se robaron? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

En una granja se tiene pavos, gallinas y patos. Sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves, sin contar los patos tenemos 4 aves. Luego el número de gallinas es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8.

El mayor de 2 números es 10 más que 5 veces el menor. Si la suma de ellos es 40, calcular el menor. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

9.

La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12, se tiene el cuádruple del menor. Hallar el producto de los números dados. A) 352 B) 328 C) 334 D) 224 E) 330

17. En un Toyota caben 5 personas cómodamente sentadas, mientras que en un Volswagen caben sólo 4. Un grupo de 240 alumnos van de paseo en 54 autos de ambas marcas estando ocupados todos los asientos. ¿Cuántos autos son de marca Toyota? A) 34 B) 30 C) 20 D) 24 E) 14 18. En el aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? A) 36 B) 42 C) 45 D) 24 E) 35

10. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50. Después que cada una de ellas gasta la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le queda a la segunda. )Cuánto les queda en conjunto a ambas personas?

19. En un pueblo a cada habitante le corresponde 60 L de H2O por día. Hoy a aumentado la población en 40 habitantes y le corresponde a cada uno 3 L menos. ¿Cuál es el número de habitantes? 234

A) 760 B) 860 C) 800 D) 830 E) 660 20. Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5 docenas de pantalones de la misma calidad respectivamente tienen que pagar impuestos por dichas compras. Como no poseen dinero, el primero paga con 6 pantalones y le dan 30 soles de vuelto, el segundo paga con 4 pantalones y recibe 32 soles de vuelto. ¿Cuántos soles vale cada pantalón? A) S/. 53 B) S/. 47 C) S/. 51 D) S/. 45 E) S/. 50

A) 140 m2 B) 160 m2 C) 150 m2 D) 180 m2 E) 200 m2 NIVEL III 29. Un carpintero pintó la superficie de un cubo de madera, luego hizo marcas en cada arista de modo que ésta quedaba dividida en “n” partes iguales. Una vez seca la pintura serruchó el cubo por las marcas y obtuvo 488 cubitos con al menos 1 cara pintada. ¿Cuál es el valor de “n”? A) 6 B) 8 C) 10 D) 14 E) 12

NIVEL II

30. Se tienen 2 recipientes. El primero con 3 L de H2O y 5 g de azúcar, el segundo con 6 L de H2O y 12 g de azúcar. ¿Qué cantidad deberá intercambiarse para obtener en el primer recipiente 1,8 g por litro? A) 0,2 L B) 1,2 L C) 0,8 L D) 1,8 L E) 2,2 L

21. Se tiene 2 factores, uno de ellos posee 2 cifras. Si a este factor se le reduce en la suma de sus cifras, el producto se reduce a la mitad. ¿Cuál es este factor? A) 10 B) 12 C) 22 D) 16 E) 18 22. Si por S/. 200 dieran 6 pelotas más de las que quedan, la docena costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota? A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30 D) S/. 50 E) S/. 60

31. En una fiesta hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como hombres sentados. Luego se observa que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentan sentados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? A) 36 B) 56 C) 96 D) 46 E) 76

23. En un edificio de 18 pisos. Sonia vive en el noveno y Ana en el tercer piso. Con respecto al primer piso. ¿Cuántas veces más alejada se encuentra Sonia que Ana? A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 3,5

32. Con los alumnos de un salon se formaron 2 cuadrados compactos, colocando en cada lado de los cuadrados alumnos en la relación de 1 a 2. Si en el salón hubieran 20 alumnos más se formaría un sólo cuadrado compacto. ¿Cuál es la menor cantidad de alumnos del salón? A) 60 B) 50 C) 40 D) 80 E) 36

24. En un concierto hay tantas parejas bailando como hombres parados y 300 mujeres no bailan. Si las personas que no bailan es el triple de las mujeres que bailan y además hay 100 hombres más bailando que sentados. ¿Cuántos hombres bailan? A) 100 B) 150 C) 180 D) 200 E) 90

33. Un pliego rectangular de papel de 30 cm por 100 cm, se agrandará para formar otro rectángulo de área igual al doble de la original, para lograrlo se añadirá una tira de papel de igual ancho en todos los bordes del pliego. ¿Cuál es el ancho de la tira en metros? A) 1 m B) 0,1 m C) 2 m D) 2,5 m E) 0,2 m

25. Para enlocetar una sala cuadrada se emplean locetas de 50 . 50 cm. Si la sala tuviera un metro más por cada lado, se habrían necesitado 140 locetas más. ¿Cuál es la longitud del lado de la sala? A) 15 cm B) 17 cm C) 20 cm D) 18 cm E) 16 cm 26. Se tiene 54 soles, se separan en 3 grupos, del primero se pasan al segundo tantos como hay en este, luego del segundo al tercero tantos como la mitad de lo que contiene este, obteniéndose así igual cantidad de monedas en cada grupo. ¿Cuántos soles tenía el primer grupo al inicio? A) 30 B) 26 C) 36 D) 28 E) 41 27. María va al cine 3 días consecutivos de la semana; y lo hace al mes en tres semanas consecutivas. Si el primer día de un cierto mes es miércoles y la suma de las fechas, de los días que fue al cine en ese mes es 198. ¿Qué día será la sexta vez que asistió al cine en dicho mes, si asiste siempre los mismos días? A) Miércoles 22 B) Lunes 20 C) Viernes 23 D) Jueves 23 E) Martes 22 28. Una sala tiene 3 m más de largo que de ancho. Si el largo fuese 3 m más de lo que es y el ancho fuese 2 metros menos. La superficie del piso no varía. ¿Cuál es el área de dicha superficie? 235

a) 1954 b) 1956 c) 1965 d) 1995 e) N.A Resolución : Año nacimiento + Edad actual = Año actual

EDADES Problemas sobre edades es un caso particular de planteo de ecuaciones, en donde intervienen3 datos, Asaber: PERSONAS: Aqúi lo esencial, es reconocer el número de personas que intervienen. TIEMPO: Está referido al presente , pasado o futuro. Ciertas frases nos señala el tiempo en que se esta refiriendo: PASADO: “Hace 5 años”, Tenías”, “Tuve”, etc. PRESENTE: “Actualmente”, “Tienes”, “tengo”, etc. FUTURO: “Dentro de 10 años”, “Tendrás”, etc.

19ab + (a + b) = 19ba 1900 + 10a+ b + a = 1900 + 10b + a 10a = 8b  a = 4 b=5 Nació : 1945, edad : 4 x 5 = 20 años Luego : 1945 + 20 = 1965 Cumplió en el año: 1965 Rpta. 3.-

Consideraciones Importantes: 1.- Cuando se plantea una ecuación en edades se debe tener en cuenta los tiempos es decir : Si la edad de una persona esta en el presente , la otra con quien se relaciona también deberá de estar en el presente; Si de una de ellas está en el futuro, la otra también tendrá que estar en el futuro; lo mismo ocurrirá si está en el pasado. Es decir: 1. A= 3.B + 2 (Presente) 2. (A + 5) = 2(B + 5) ( Futuro) 3. (A – 10) = 3(b -10) (Pasado)

Resolución:

2.- Cuando en un problema se tiene un juego de tiempos es decir estan mezclados 2 o más tiempos, entonces se recurrirá al cuadro de edades. Pasado

Presente

Futuro

m

A

x

n

B

y

3.- Para personas que cumplen años:

DAHANA

x

y

2x

z

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD ACTUAL = AÑO ACTUAL

1. La edad de Víctor es el doble de la de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro? a) 25 años b) 40 c) 45 d) 28 e) 30

Si ya cumplió años AÑO DE NACIMIENTO+EDAD ACTUAL = AÑO ACTUAL - 1 Si y aún no cumplió años

2. La edad de Gladys es 1/2 de los 2/3 de la edad de Norma. Si esta tiene 24 años, ¿cuántos años tendrá Gladys dentro de 4 años? a) 8 años b) 12 c) 10 d) 14 e) 6

ANALIZO Y APRENDO Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad aumentado en 8 años tendría 16 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 b) 11 c) 14 d) 12 e) 13

3. En 1980 la edad de Jorge era 4 veces la edad de Ricardo; en 1988 la edad de Jorge fue el doble de la edad de Ricardo, ¿cuál fue la edad de Jorge en 1992? a) 50 años b) 48 c) 28 d) 54 e) 56

Resolución : Sea “x” años mi edad, entonces 3x – (x + 8) = 16 3x – x – 8 = 16 x = 12 años Rpta. 2.-

Tengo Tienes 2x

Tengas

KARLOS

Tenías Tenía y

Si la diferencia de edades es 8 en el futuro, también lo es en el presente y en el pasado. y – x = 8 …(I) 2x – y = 8 …(II) Multiplicando por 2 la ecuación (I) : 2y – 2x = 16 …(III) Sumando las ecuaciones (II) y (III) : y = 24 años Rpta : A

Se cumple: m - n=A–B=x–y

1.-

Karlos le dice a Dahana: “Yo tengo el doble de la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 8. Hallar la edad de Pilar. a) 24 años b) 8 años c) 16 años d) 20 años e) N.A.

4. Un auto tiene ahora la mitad de años que tenía Luis cuando el auto era nuevo. Luis tiene ahora 36 años. ¿Cuántos años tiene el auto?

Carlos nació en el año 19 ab y en el año 19ba tenía (a + b) años. ¿En que año cumplió (a x b) años? 236

a) 12 b) 8 c) 16 d) 18 e) 14 5. Hace 6 años Gerardo era 4 veces mayor que David. Hallar la edad actual de Gerardo sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste sólo será 2 veces mayor que David. a) 52 años d) 40

b) 56 e) 46

14. Hace 5 años, la edad de un padre fue 4 veces la del hijo; y dentro de 5 años, será solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo?

c) 60

A) 30 D) 40

6. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30 años. ¿Qué edad tengo? a) 12 d) 36

b) 24 e) 54

b) 20 e) 60

c) 18

A) 1945 D) 1964

b) 20 e) 40

c) 40

A) 22 D) 24

b) 41 e) 44

c) 12

A) 20 años D) 24 años

c) 42

A) 3 D) 6

A) (n - m) años C) (n + 2m) años E) (n2 - 1) años

c) 49

12. Si Luis hubiera nacido en el año , en el año 2030 tendría años. Sin embargo nació en el año . ¿Cuántos años tendrá en el año 1999? a) 40 d) 45

b) 42 e) 44

b) 1957 e) 1965

B) 21 años E) 28 años

C) 22 años

B) 4 E) 7

C) 5

B) (m - n) años D) (n - 2m) años

20. ¿Cuántos años tendrá una persona dentro de 9 años; sabiendo que la diferencia entre la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 30 años, con la edad que tuvo hace 2 años es 2?

c) 43

A) 49 D) 60

13. En 1977 la edad de Roxana era el inverso de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Lo mismo sucede con Pepe. Si la diferencia de sus edades es 45 años, y la edad de Pepe en 1977 también era la inversa de la de Roxana. ¿En qué año nació Pepe? a) 1959 d) 1961

C) 21

19. Un padre tiene “n” años y su hijo “m” años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de su hijo?

11. La edad de Katy en 1975 era tanto como la mitad de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en 1999? b) 46 e) 52

B) 23 E) 25

18. Una familia consta de 8 personas y realizan una fiesta por cada cumpleaños. Estando todos reunidos en mayo de 1995 : hicieron la suma de los años en que habían nacido y luego sumaron las edades de todos ellos, dando la suma total un resultado de 15 955. ¿Cuántas fiestas faltan realizarse durante este año?

10. Timo y su abuelo tenían en 1928 tantos años como indicaban las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál era la edad del abuelo, cuando nació Timo? a) 40 b) 60 c) 80 d) 48 e) 50

a) 48 d) 47

C) 1962

17. La diferencia entre el doble del año en que cumplí los 18 años con el año en que cumplí los 2 años, es igual a 12 años más del año en el cual me encuentro. ¿Cuál fue mi edad hace 2 años?

9. Pedro tiene su primer hijo a los 26 años y su segundo hijo a los 32 años. ¿Cuál será la edad de Pedro, cuando la suma de las edades de sus hijos sea 30? a) 40 d) 43

B) 1955 E) 1948

16. En el año 1988 un profesor sumó los años de nacimiento de 45 estudiantes de un salón de clases y luego las edades de dichos estudiantes, enseguida sumó ambos resultados y obtuvo 89 437. ¿Cuántos estudiantes todavía no cumplen años en dicho año?

8. Carla le dice a Miguel: "yo tengo los 5/3 de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas el doble de mi edad, mi edad será 44 años". Calcular la edad de Miguel. a) 16 d) 44

C) 36

15. Paulina tuvo su primer hijo a los 21 años, a los 27 años su tercer hijo; a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 años. ¿En qué año nació Paulina?

7. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, mi edad será 40 años. ¿Qué edad tienes? a) 30 d) 10

B) 35 E) 45

B) 51 E) 81

C) 56

21. Dentro de 60 años Martín tendrá el cuádruple de su edad actual. Hace 5 años tenía : A) 25 años D) 75 años

c) 1963

237

B) 20 años E) 15 años

C) 85 años

22. Las edades de 7 personas están en progresión aritmética de razón 1. Si la suma de edades de estas 7 personas es 56 años, hallar la edad del mayor y el menor de ellos y dar como respuesta la suma de ambas edades. A) 12 B) 16 C) 18 D) 22 E) 32

CUATRO OPERACIONES 01. Jorge le dice a Juana, si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles, a ese resultado lo multiplico por 6, luego le quito 24 soles y posteriormente le saco la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, se obtiene 8 soles. )Cuánto tiene Jorge?

23. La edad de María es la mitad de la edad de Miguel, pero hace 20 años la edad de Miguel era el triple de la edad de María. ¿Qué edad tiene María? A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 70

A) 92 D) 576

B) 24 E) 552

C) 80

02. Jorge compra cierta cantidad de naranjas. A su hermana le regala la mitad de lo que compra más 4 naranjas, a su vecina la mitad de lo que queda más 2 naranjas. )Cuántas naranjas compró, si le sobran 16 naranjas?

24. Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades? A) 3 a 5 B) 2 a 3 C) 1 a 2 D) 2 a 5 E) 4 a 3

A) 52 D) 80

25. En 1987. Emilio tuvo tantos años como el doble de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de las cifras del año de su nacimiento? A) 11 B) 10 C) 21 D) 22 E) 18

B) 96 E) 60

C) 48

03. Jorge recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene, luego su papá le da 30 soles y por último su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al final Jorge tiene 240 soles. )Cuánto tenía inicialmente?

26. Si juntamos las edades de Juan y Pedro dentro de 8 años obtendríamos 64. Al acercarse María, Juan le dice : “Cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Pedro nació tú tenías 2 años. ¿Cuál es la edad de María? A) 22 B) 23 C) 27 D) 21 E) 24

A) 25 D) 75

B) 27 E) 45

C) 8

04. De un salón A pasan al salón B, 15 alumnos, luego del salón B pasan 20 alumnos al salón A. Si al final A y B tienen 65 y 35 alumnos respectivamente. )Cuántos alumnos tenía cada salón inicialmente?

27. Si tuviera dos veces mi edad, tendría tantos años como mi hermano. Si éste nació en el año, tal que las dos últimas cifras de dicho año indicaban su edad en 1988. ¿Cuál es mi edad en 1992? A) 20 años B) 22 años C) 24 años D) 30 años E) 32 años

A) 70; 40 D) 88; 30

B) 60; 40 E) 20; 50

C) 94; 30

05. Se tienen 2 depósitos de vino, A y B de A pasan a B tantos litros como hay en ese depósito, luego de B pasan a A tantos litros como habían quedado en este depósito. Si al final A y B tienen 16 y 20 litros respectivamente. )Cuántos litros tenía cada depósito inicialmente?

28. Rosa tuvo su primer hijo a los 24 años, 4 años después su segundo hijo, si hoy en el año 1997, la suma de las edades de sus 2 únicos hijos es 16 años. ¿Cuántos años mayor es el esposo de Rosa que ella, si él nació en 1960? A) 1 año B) 2 años C) 3 años D) 4 años E) 5 años

A) 8; 28 D) 22; 14

B) 22; 28 E) 25; 11

C) 20; 16

06. De la granja del señor López, se pasaron a la granja de Pérez, tantas gallinas como el doble de las que habían en esta granja; al día siguiente se regresaron de la granja Pérez a la de López tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora López tiene 40 gallinas y Pérez 60 gallinas.) Quién ganó o perdió y cuántas?

29. La edad de mi abuelo es el complemento aritmético de la edad de mi padre; si la edad de mi abuelo es divisible por 37. ¿Cuántos años tengo, si nací cuando mi padre tenía 20? A) 5 años B) 6 años C) 7 años D) 8 años E) 9 años 30. A Miguelito le preguntaron : ¿cuál es la fecha de tu cumpleaños? - Miguelito contestó : Anteayer tenía 15 años y el año entrante tendré 18 años. ¿Cuántos años tiene Miguelito y en qué fecha nació? A) 17 - 29 dic. B) 17 - 30 dic. C) 16 - 31 dic D) 16 - 30 dic E) 16 - 29 dic

A) López, ganó 30 C) Pérez, ganó 40 E) López, perdió 30

B) Pérez, perdió 30 D) López, ganó 10

07. A; B y C juegan a los dados, tal que el perdedor duplicaba el dinero a los demás. Si pierden en el orden mencionado quedando al final cada uno con 32 soles. )Cuánto tenía cada uno, inicialmente? A) 58; 22 y 16 D) 54; 30 y 12

238

B) 60; 30 y 16 E) 50; 30 y 16

C) 52; 28 y 16

08. Se tienen 48 monedas en 3 grupos diferentes. Del primero pasan al segundo tantas monedas como hay en éste, del segundo pasan al tercero tantas monedas como hay en éste y luego del tercero, pasan al primero tantas monedas como habían quedado en éste. Si al final los tres grupos tienen el mismo número de monedas. )Cuántas monedas tenía cada grupo inicialmente? A) 8; 28; 12 B) 22; 14; 12 C) 8; 16; 24 D) 20; 16; 12 E) 30; 12; 18

17. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de postes. Si en cada poste se posan 3 palomas resultarían 2 postes sobrantes, en cambio, si en cada poste se posan 2 palomas haría falta 2 postes más. son ciertas : I. Hay 24 palomas II. Hay 12 postes III. Si hubieran dos postes más, en cada poste habrían 2 palomas A) Sólo III B) I y II C) II y III D) I y III E) Sólo II

09. Jorge tiene 3 100 soles en billetes de 50 y 100 . )Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 34 billetes? A) 30 B) 28 C) 25 D) 24 E) 32

18. Un vendedor tiene cierto número de artículos y propone vender cada uno al precio de (a+b)2 soles con lo cual obtendría una ganancia de 12ab; pero si vendiese a(ab)2 soles cada uno perdería 4ab soles. )Cuántos artículos posee? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. )Cuántas motocicletas encontramos? A) 30 B) 28 C) 36 D) 72 E) 71

19. Jessica tiró Am@ veces un dado. El máximo puntaje total que pudo haber obtenido es 120, pero solo obtuvo 62 puntos y solo sacó puntaje par. Si 4 veces hizo el máximo puntaje. Entonces son ciertas : I. 12 veces hizo el mínimo II. 2 veces hizo 4 puntos III. Obtuvo 30 puntos con el mínimo puntaje A) Sólo II B) II y III C) I y III D) Todas E) Son falsas todas

11. Se trata de formar una longitud de un metro colocando 34, monedas de 5 y 10 soles una en contacto con otra y tomando una línea recta. Los diámetros de las monedas son de 20 mm y 30 mm. )Cuántas monedas de 5 soles se necesitan? A) 20 B) 32 C) 18 D) 26 E) 2

20. Se han mezclado arroz de 120 soles el kilogramo con arroz de 100 soles el kilogramo, obteniéndose 50 kg de mezcla. Cada kilogramo de mezcla se ha vendido en 135 soles ganando el 25% del costo. )Cuántos kilos han entrado de la primera clase? A) 18 kg B) 20 kg C) 22 kg D) 24 kg E) 25 kg

12. La semana que trabajo el día Lunes, puedo ahorrar S/. 40, pero la semana que no lo hago tengo que retirar del banco S/. 20, si después de 10 semanas he podido ahorrar sólo S/. 220. )Cuántos Lunes no trabajé? A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6

21. Para ganar 45 soles en la rifa de un televisor se mandaron a imprimir 120 boletos pero sólo se vendieron 90 boletos ocasionando una pérdida de 45 soles. )Cuánto vale el televisor? A) 325 soles B) 315 soles C) 300 soles D) 275 soles E) 295 soles

13. Un heladero gana un promedio diario de S/. 50 y gasta por día S/. 32,50 pero el día que no trabaja gasta S/. 8 más. )Cuántos días no trabajó si después de 60 días está adeudado con S/. 110 soles? A) 5 B) 20 C) 40 D) 25 E) 16 14. Se desea saber cuántos litros de agua contienen 17 litros de leche que pesaron 17,32 kg sabiendo que 1 litro de leche=1,032 kg y 1 litro de agua = 1 kg A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

22. Un profesor distribuye a los alumnos colocando 10 alumnos por carpeta. Si ubicaría 7 alumnos en cada carpeta se ocuparían 9 carpetas más. )Cuántas carpetas se iban a utilizar inicialmente A) 4 B) 18 C) 24 D) 21 E) 9

15. Don Toribio tiene sus nietos, los cuales le desean regalar un televisor. Si cada uno da 20 soles les sobraría 96 soles y si cada uno entregara 18 soles sólo les sobraría 4 soles. )Cuántos nietos tiene Don Toribio? A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 42

23. Si reparto tantos caramelos a cada niño, como niños hay, me faltarían 95 caramelos, pero si doy a cada niño 3 caramelos me sobrarían 85 caramelos. )Cuántos niños hay? A) 12 B) 15 C) 18 D) 16 E) 17

16. Anita quiere repartir cierto número de tamales a sus nietos. Si les da 5 tamales a cada uno le sobrará 12; pero si les da 8 tamales a cada uno le faltan 6 tamales. Luego son ciertas : I. Edwin que es uno de los nietos, tiene 5 hermanos II. El número total de tamales es 42 III. Si les diera 7 tamales a cada uno, no le sobraría ninguno A) I y III B) II y III C) Sólo III D) Todas E) Sólo II

24. En un cuartel hay 100 soldados, todos se disponen a hacer Aplanchas@. En un determinado momento, el sargento pudo observar sobre el piso 298 extremidades. ) Cuál es el número total de soldados haciendo Aplanchas@? A) 74 B) 56 C) 51 D) 49 E) 44

239

25. Están jugando naipes: Norma, Carlos, Karol y Edson y cada uno de ellos gana una partida en orden inverso al que han sido nombrados. La regla del juego es la siguiente: Al que gane en primer lugar, los demás le darán 40 soles, al que gane en segundo lugar, le darán 30 soles; al que gane el tercer juego, los que pierden le darán 20 soles; al que gane el último, sólo se le dará 10 soles por cada uno de los que pierdan. Luego de jugarse el cuarto juego y cumplirse con la regla del juego, cada uno tiene 60 soles. Dígase cuál es la diferencia entre lo que tenía inicialmente Norma y Karol A) 20 B) 40 C) 80 D) 0 E) 30

Para relojes malogrados que se adelantan o atrasan y se quiere saber la hora real. B. Avances angulares: (Relación de recorrido entre el horario y el minutero). Para cualquier tiempo: si el horario ha generado un ángulo cuya medida es x0 y el minutero ha generado un ángulo cuya medida es y0; entonces se cumple:

x y

1 12

y 12 x C. Ángulos que forman el minutero y el horario. Primer caso: Cuando el horario adelanta minutero.

26. Cuál es el mayor número que dividido entre 43 nos da un residuo igual al cociente. Dar como respuesta la suma de las cifras del número A) 19 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30

12 9

3 6

27. Con 3 dígitos distintos se pueden formar 6 números diferentes de dos cifras. Si la suma de esos números es 396. ¿Cuál es la suma de los dígitos? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 22

Donde: H: Aguja horaria (horario) M: Aguja minutera (minutero) : Ángulo formado por las agujas del reloj

28. Un estante puede guardar 24 libros de Razonamiento Matemático y 20 libros de Historia o 36 libros de Razonamiento Matemático y 15 de Historia. ¿Cuántos libros sólo de Razonamiento Matemático puede contener? A) 86 B) 82 C) 84 D) 72 E) 66

 

11 M  30 H 2

Segundo caso: Cuando el minutero adelanta al horario

29. En un estante están ordenados 3 tomos de una colección, el espesor de cada pasta es 0,5 cm y el de las hojas de cada tomo 6 cm Una polilla comienza a comer la primera hoja del primer tomo y sigue traspasándolos hasta terminar con la última hoja del tercer tomo. ¿Qué distancia recorrió la polilla? A) 8 cm B) 19 cm C) 19,5 cm D) 20 cm E) 21 cm

12 9

3 6

 

11 M  30 H 2

PONGO A PRUEBA MI APRENDIZAJE 01. Hallar el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 6:40 a.m. A) 95º B) 105º C) 115º D) 85º E) 40º

30. De un juego de 52 cartas se extraen “x” espadas, “y” bastos, “z” copas y “w” oros resultando que quedaron la suma de los bastos y copas igual a las espadas menos los oros. ¿Cuántas espadas menos que los otros tipos se sacaron? A) 13 B) 26 C) 32 D) 28 E) 24

02. Determinar el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 12:12 p.m. A) 76º B) 16º C) 6º D) 66º E) 86º

CRONOMETRÍA

03. ¿A qué hora, entre las 2 y las 3 de la mañana, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 72º? A) 2:24 B) 3:00 C) 2:34 D) 12:14 E) 2:30

RELOJES Son aquellos problemas que están relacionados con el tiempo. A. Adelantos y Atrasos 1. Si un reloj se adelanta o se atrasa entonces, para que marque la hora correcta, dicho adelanto o retraso debe ser: “12 horas, como mínimo”. 2. Para que 2 relojes marquen la misma hora, deberá cumplirse: La diferencia entre lo que marca uno y lo que marca el otro reloj debe ser: “12 horas como mínimo” 3. Hora real = Hora adelantada – adelanto. 4. Hora real = Hora atrasada + atraso

04. ¿Cuál es el ángulo formado por las agujas de un reloj a las 3 horas 13 minutos y 5 5/11 segundos? A) 24º B) 18º C) 14º D) 34º E) 12º 05. ¿A qué hora las agujas de un reloj forman 127º, entre las 9 y las 10 horas? A) 9h 15m B) 9h 15m 23s C) 9h 6m D) 9h 26m E) 9h 6m 6s

240

06. A las 6h 30m la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo que forman las manecillas de un reloj será: A) 330º B) 15º C) 360º D) 45º E) 30º

17. Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m.; uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuatro horas y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8:00 p.m. los minuteros de los relojes? A) 23 minutos B) 42 minutos C) 18 minutos D) 32 minutos E) 21 minutos

07. Una persona al ver la hora, confundió las manecillas y vio las 4h 47m, ¿qué hora era realmente? A) 9:21 B) 9:24 C) 2:16 D) 8:16 E) 4:36

18. Dos relojes marcan la hora exacta a las 8:00 a.m. y, a partir de ese instante, uno comienza a adelantarse dos minutos por cada hora y el segundo, a atrasarse en el mismo ritmo. Luego de cuántas horas volverán a marcar la hora correctamente. A) 300h B) 240h C) 350h D) 410h E) 360h

08. A qué hora entre las 3 y las 4 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 70º por primera vez. A) 3h 3 7/11m B) 3h 7 3/22m C) 3h 11 3/7m D) 3h 7 11/3m E) 3h 7/11 m

19. ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 5/3 de lo que faltaba por transcurrir? A) 3 p.m. B) 1 p.m. C) 4 p.m. D) 5 p.m. E) 6 p.m.

09. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj están opuestas? A) 4h 54m 32 11/8s B) 4h 54m 32 8/11s C) 4h 54m 30s D) 4h 58m E) 4h 36m

20. Qué hora será dentro de 4 horas, sabiendo que la cuarta parte de lo transcurrido del día hasta hace 10 horas es igual a la mitad de lo que faltará transcurrir dentro de 2 horas. A) 7 p.m. B) 8 p.m. C) 9 p.m. D) 10 p.m. E) 6 p.m.

10. Entre las 6 y las 7, a qué hora las agujas del reloj están perpendiculares entre sí. A) 6h 49m 5 5/11s B) 6h 49m 5 11/5s C) 6h 48mm 5 5/11s D) 6h 49m E) 6h 50m

21. Qué hora es, si dentro de 20 minutos el tiempo que faltará para las 7:00 a.m. es el doble del tiempo transcurrido desde las 5:00 a.m. pero hasta hace 10 minutos. A) 5:30 a.m. B) 5:40 a.m. C)5:35a.m. D) 6:40 a.m. E) 6:35 a.m.

11. Entre las 5 y 6 horas, ¿a qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40º? A) 5:10 B) 5:15 C) 5:16 D) 5:20 E) 5:14

22. Un reloj se atrasa 4 minutos cada 30 minutos. Si ahora marca las 8h 18m ¿Cuál es la hora correcta si hace 4 horas que se atrasa? A) 8:50 B) 8:40 C) 7:46 D) 7:56 E) 8:53

12. ¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj forman entre sí un ángulo de 90º? A) 32 8/11m B) 34 8/11m C) 54 9/11m D) 46 7/11m E) 32 7/11m

23. Un reloj comienza adelantarse a las 10 a.m. a razón de 5m por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 8 p.m. del mismo día? A) 6:40 a.m. B) 7:20 p.m. C)8:30a.m. D) 7:20 a.m. E) 8:50 p.m.

13. Noemy al ver la hora confunde el minutero con el horario y viceversa y dice son las 16:42. ¿Qué hora era realmente? A) 9:24h B) 9:22h C) 9:20h D) 8:42h E) 8:24h

24. Son más de las 2:00p.m. y falta para las 5:00p.m. )Qué hora es, si el tiempo transcurrido, desde las 2:00 p.m. hasta hace 10 minutos, es 1/6 del tiempo que faltará transcurrir dentro de 30 minutos hasta las 5:00 p.m.? A) 3:30 p.m. B) 2:20 p.m. C) 2:30 p.m. D) 4:20 p.m. E) 2:00 p.m.

14. Las horas que faltan para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en la relación de 3 a 5. ¿Cuántas horas han trascurrido desde el medio día? A) 2 h B) 1 h C) 4 h D) 3 h E) 5 h

25. )Qué hora es, si dentro de 5 horas faltará para las 11 a.m., los 2/3 de lo que faltará para las 10 a.m., pero dentro de 2 horas? A) 6:00 a.m. B) 1:00 a.m. C) 2:00 a.m. D) 3:00 a.m. E) 4:00 a.m.

15. Un reloj que marca las horas con campanadas, tarda 6s en dar las 4. Si las campanas están uniformemente espaciadas, ¿cuántos segundos tardará en dar las 8 campanadas? A) 14 B) 13 C) 12 D) 15 E) 16 16. Un reloj que se atrasa 5 minutos en cada hora, es sincronizado hoy al mediodía (12m), ¿qué tiempo, como mínimo, deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta? A) 6 días B) 9 días C) 7 días D) 8 días E) 10 días 241

26. Según la figura )qué hora es? 12

9

H

8 7

  M 6

3 4

5

A) 7 h 24 2/13 C) 7 h 24 1/13 E) 7 h 23 2/13

B) 7 h 23 1/13 D) 7 h 24 3/13

27. )Qué hora indica el reloj de la figura? 12

9

H

2

2 3



M 7

1

6

A) 2 h 34 2/7 C) 2 h 34 3/7

B) 2 h 33 4/7 D) 2 h 33 5/7

28. Un reloj marca la hora que es con igual número de campanadas; si para indicar que son las 6:00 a.m. empleó 6 segundos, )cuánto demorará en indicar las 10:00 a.m.? A) 11 s B) 10 s C) 10,8 s D) 10,4 s E) 9,6 s 29. Un reloj tardó 42 segundos en tocar An@ campanadas; si entre campanada y campanada tardó tantos segundos como campanadas ha tocado, )cuánto tardará en tocar 10 campanadas? A) 56 s B) 63 s C) 72 s D) 70 s E) 68 s 30. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos si se escucharon tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. ) Cuánto tiempo empleará este campanario para tocar 7 campanadas? A) 7 s B) 9 s C) 8 s D) 6 s E) 10 s 31. Un reloj indica la hora con igual número de campanadas. Para indicar que son las 5:00 emplea 8 s. Italo se acuesta a una hora en que el reloj emplea 20 segundos en indicarla y se levanta (al día siguiente) a una hora en que el reloj emplea 10 segundos para indicarla. )Cuántas horas duerme Italo? A) 8 h B) 5 h C) 7 h D) 9 h E) 6 Hx

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