02_Osciladores Acoplados

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Ejercicios Propuestos: 1) Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero. Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g = 9,8 m/s 2. Estando conectado el muelle de acoplo, se sujeta uno de los péndulos y se encuentra que el periodo del otro es de 1,25 s. exactamente.

a) Si ninguno de los péndulos está sujeto ¿Cuáles son los períodos de los dos modos normales? b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos amplitudes posibles máximas sucesivas de un péndulo después que uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en libertad? 2) Dos osciladores armónicos A y B, de masa m y constantes k A y kB, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante kC. Halla las frecuencias normales ω’ y ω” y describe los modos

k C2  k A k B normales de oscilación si se cumple la relación:

.

3) Se conectan dos objetos, A y B, cada uno de ellos de masa m, mediante muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante kc, y los otros dos tienen una constante k 0. Si se sujeta B, A vibra con una frecuencia de 1,81 s-1. La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 s-1.

a)

Comprueba personalmente que las ecuaciones del movimiento de A y B son:

d 2 xA m  k 0 x A  k c  x A  x B  dt 2 d 2 xB m  k 0 x B  k c  x B  x A  dt 2

0  k0 m b) Si , demuestra que las frecuencias angulares ω 1 y ω2 de los modos normales vienen dadas por:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013



1   0 ;  2   02   2k c m 



1

2

Y que la frecuencia angular de A cuando se sujeta B (xB = 0 siempre) viene dada por:



 A   02   k c m  c)



1

2

Utilizando los datos numéricos anteriores calcula la frecuencia esperada (ν 2) del modo normal más alto. (El valor observado fue de 2,27s-1)

kc k0 d) A partir de estos mismos datos calcula el cociente

, de las dos constantes de los muelles.

4) La molécula de CO2 puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m 2 unida por muelles iguales de constante k a dos masas m1 y m3 (siendo m3 = m1).

a)

Plantea y resuelve las ecuaciones de los dos modos normales en los cuales las masas oscilan a lo largo de la recta que une sus centros. (La ecuación de movimiento para m 3 es





m3 d 2 x3 dt 2  k  x3  x 2 

 y pueden escribirse ecuaciones semejantes para m1 y m2) b) Haciendo m1 = m3 = 16 unidades y m2 = 12 unidades ¿Cuál será el cociente de las frecuencias de ambos modos, admitiendo que fuese aplicable la descripción clásica? 5) El esquema muestra una masa M1 sobre un plano sin rozamiento unida a un soporte O mediante un muelle de rigidez k. La masa M2 está sujeta a M1 mediante una cuerda de longitud l.

a)

Utilizando la aproximación de oscilaciones pequeñas:

sin   tan  

x 2  x1 l

Y partiendo de F = ma, deduce las ecuaciones de movimiento de M1 y M2:

M 1 x1  kx1  M 2

g  x 2  x1  l

M 2 x2  

M2g  x 2  x1  l

b) Para M1 = M2 =M3, utiliza las ecuaciones para obtener las frecuencias normales del sistema.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

g l  k M c)

¿Cuáles son los movimientos de modo normales para M1 = M2 = M y

?

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

6) Se sujeta por sus extremos a dos soportes fijos una cuerda de longitud 3l y masa despreciable. La tensión de la cuerda es T.

A pn  C n sin  a)

Se sujeta una partícula de masa m a una distancia l de un extremo de la cuerda, como está indicado. Escribe la ecuación para las oscilaciones transversales pequeñas de m y halla el período. b) Se une una partícula adicional de masa m a la cuerda como se ve en la figura, dividiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensión T. Dibuja el aspecto de la cuerda y la posición de las masas en los dos modos normales separados de las oscilaciones transversales. c) Calcula ω para el modo normal que tenga mayor frecuencia. 7) Considerando un sistema de N osciladores acoplados asociados a una frecuencia ω < 2ω 0, es decir,

y 0  0; y N 1  h cos t

. Halla las amplitudes resultantes de los N osciladores. Indicaciones:

Las ecuaciones diferenciales del movimiento son las mismas que en el caso sin impulsar, sólo son diferentes las condiciones límite. De aquí que pueda

A p  C sin p

ensayarse , y determinar así los valores necesarios de α y C. Si ω < 2ω0, α es complejo y las ondas se amortiguan exponencialmente en el espacio.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Ejercicios Resueltos: 1) Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero. Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar donde g = 9,8 m/s 2. Estando conectado el muelle de acoplo, se sujeta uno de los péndulos y se encuentra que el periodo del otro es de 1,25 s. exactamente.

a)

Si ninguno de los péndulos está sujeto ¿Cuáles son los períodos de los dos modos normales?

Según vimos en clase, los dos modos normales de vibración son:

 02  g l Donde , que será la velocidad angular de los péndulos. En el primero los dos péndulos oscilan en fase y por tanto no inducen elongación en el muelle que los une, mientras que en el

 2

segundo los dos péndulos tienen un desfase de muelle que los une.

y por tanto ambos inducen elongación en el

Por tanto las ecuaciones dinámicas para este sistema serán:

 d 2 xA  ma  m   02 x A 2  dt

 

  kxA  kxB  m

d 2 xA  m02 x A  kxA  kxB  0 2 dt

 d 2 xB  ma  m   02 xB 2 dt 

 

  kxB  kxA  m

d 2 xB  m02 xB  kxB  kxA  0 dt 2

 

 

Si reordenamos las ecuaciones del sistema obtendremos:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

d 2 xA d 2 xA 2 m 2  m0 x A  kxA  kxB  m 2  m02 x A  k  x A  xB   0 dt dt 2 d x d 2x m 2B  m02 xB  kxB  kxA  m 2B  m02 xB  k  x A  xB   0 dt dt Como los sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas son, en general difíciles de resolver, buscamos combinaciones lineales que nos permitan resolver cada sistema por separado.

d 2 xA d 2 xA 2 m  m 02 x A  k  x A  x B   0 m  m 0 x A  k  x A  x B   0 2 2 dt dt 2   d 2 xB d xB 2 m  m  x  k  x  x   0  m  m 02 x B  k  x A  x B    0  0 B A B 2 2 dt dt   2 2 d  x A  xB  2   d x  x A B m  m 0  x A  x B   0 m  m 02  x A  x B   2k  x A  x B   0 2 dt 2 dt Que son los modos normales de vibración, por lo que todo el sistema queda reducido a estas dos ecuaciones diferenciales:

 d 2  x A  xB   m02  x A  xB   0 d 2 q1 2  m  m02 q1  0 dt  2 dt  q1   x A  xB   m

 d 2  x A  xB   m02  x A  xB   2k  x A  xB   0 d 2 q2 2  m  m02 q2  2kq2  0 dt  2 dt  q2  x A  x B  m

Si resolvemos estos sistemas vemos que la solución para q1 y q2 será: d 2q q1   x A  x B   m 2 1  m 02 q1  0 dt  d 2 q2 m 2  m 02 q 2  2kq2  0  dt  d 2 q2 d 2 q2 k  2 q2   x A  x B       q  2 q    02 q 2  2 c2 q 2 0 2 2 2 2 m dt dt  d 2 q2 d 2 q2 2 2      2  q   '2 q2  0 0 c 2 2 2  dt dt 





d 2 q1   02 q1  0 dt 2



d 2 q2   '2 q2  0 dt 2

   





   

Por lo tanto tendremos que los valores de la velocidad angular para cada modo normal será:

0 

g l

 '   02  2 c2   c 

k m

El valor del periodo del primer modo normal de vibración es muy sencillo, será el mismo que el de un péndulo con la misma longitud que nos indican en el enunciado:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

0 



g l

 0  2f 

 2  T 

 

g 2 l 0,4   T  2  2  1,27 s l T g 9,8

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

El segundo modo normal es un poco más difícil porque mezcla el periodo del oscilador armónico con el periodo del péndulo. Podemos obtener éste a partir del periodo del sistema, manteniendo fijo uno de los péndulos, dado que si se mantiene fijo uno de los péndulos el péndulo restante se comporta como si no estuviera acoplado. El sistema quedará:

Si planteamos la ecuación dinámica para este sistema obtendremos:

 d 2 xB  ma  m    02 x B 2  dt



 

  kxB  m

d 2 xB  m 02 x B  kxB  0  2 dt

 d 2 xB d 2 xB d 2 xB k 2 2 2    x  x  0    x   x  0    02   c2 x B  0  0 B B 0 B c B 2 2 2 m dt dt dt 2 d xB   "2 x B  0  "   02   c2 2 dt





Como ya sabemos el valor de T0 y T”, podemos obtener el valor de Tc:

 2  2  "        T" T  0  2 0

2

 2    Tc

2 c

 1     T" 

2

 1    T0

1

 Tc   1    T"

2

 1  T0

 



2

2

  

 1    Tc

2

  

2

 

2   2 T"



 1    Tc

2

  

1

  1    T" 

 

2

 1  T0

 







2

 1    T"  

2

 1   T0  1    T0

2

  

 1    Tc

2









2









1 1 9,8 1  2 0,4 1,25 2

 0,55s

Por tanto una vez hemos obtenido T c, ya podemos obtener el periodo del segundo modo normal de vibración.

 '   02  2 c2  c 

2

2

 2  2   2  1 2 1 g 2 k 2  T '   T   2 T   2 T 2  T 2  2 2 l  T 2    0   c  0 c c  m Tc  1 1  T'   0,31s 1 2 1 9,8 2   2 0,4  0,55 2 T02 Tc2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos amplitudes posibles máximas sucesivas de un péndulo después que uno de ellos se retira lateralmente y luego se deja en libertad? El movimiento del sistema corresponderá a la superposición de las ecuaciones de movimiento de los dos modos normales de vibración. Si resolvemos las ecuaciones diferenciales para cada una de las coordenadas normales, obtendremos:



q1  Ce i0t

 C i 0 t C  i 0 t   q1  i  2 e  2 e   q1  C sin   0 t     C C i  t  i  t  q '1  e 0  e 0  q '1  C cos  0 t   2 2 

q 2  Ce i 't

 D i 't D i 't   q 2  i  2 e  2 e   q 2  D sin   ' t     D D  q ' 2  e i 't  e i 't  q' 2  D cos  ' t   2 2

Como quiera que el movimiento real de los péndulos es una superposición de estas coordenadas, obtenemos el movimiento de los péndulos deshaciendo la combinación lineal que usamos para obtener q1 y q2:



1  C sin   0 t   D sin   ' t   x  A  1 2 x A   q1  q 2    1 2  x A   C cos  0 t   D cos  ' t   2  1   x B  2  C sin   0 t   D sin   ' t   1 x B   q1  q 2    1 2  x B   C cos  0 t   D cos  ' t   2  Esta adición-sustracción de senos y cosenos la podemos desarrollar como un producto de senos y cosenos. 

1  x A  2  A0 sin  0t   A0 sin   ' t      x A  1  A0 cos 0t   A0 cos  ' t    2 

A0  1 1   1   1   2 sin  0t   ' t  cos  0t   ' t    A0 sin   0   ' t  cos   0   ' t  2  2 2   2   2  A0  1 1   1   1   2 cos  0t   ' t  cos  0t   ' t    A0 cos   0   ' t  cos   0   ' t  2  2 2   2   2 



A0  1 1 1    x B  2  A0 sin  0t   A0 sin   ' t    2  2 cos 2  0t   ' t  sin 2  0t   ' t    A0 cos       x B  1  A0 cos 0t   A0 cos  ' t    A0  2 sin 1  0t   ' t  sin 1  0t   ' t    A0 sin    2 2  2 2 

1  0   ' t  sin  1  0   ' t  2   2  1   1  0   ' t  sin   0   ' t  2   2 

En cualquier caso vemos que el movimiento de los péndulos presenta una pulsación con una velocidad angular :

 

1   0   ' 2

Y una envolvente que tiene una velocidad angular:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

 

1   0   ' 2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Si representamos gráficamente el movimiento de los péndulos, vemos que el intervalo entre dos amplitudes máximas es el periodo de la envolvente:

T  2 

T  2 

2.00 2.00

XA

XB

1.00 0.00 -1.000.00

10.00

1.00 0.00 -1.000.00

10.00

-2.00

-2.00 Como regla mnemotécnica piensa que la velocidad angular más pequeña será la de la envolvente, dado que es la que oscila menos veces por unidad de tiempo. Por tanto, lo que nos están pidiendo en el ejercicio es:

1   0   '  2 1  2 2  2 2  2   T       0,81s  1 1 1 1 2 T 2  T0 T'       T0 T ' 0,31 1,27 T  

Como quiera que, a priori, es imposible decidir cuál de los dos periodos será mayor, el orden de éstos se decide cuándo se reduce al valor numérico de tal manera que el resultado ha de ser siempre positivo.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

2) Dos osciladores armónicos A y B, de masa m y constantes k A y kB, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante kC. Halla las frecuencias normales ω’ y ω” y describe los modos

k C2  k A k B normales de oscilación si se cumple la relación:

.

Los dos modos normales que encontramos para este sistema serán:

En el primer modo normal se estiran los muelles A y B, aunque desfasados, pero no el muelle C, y en cambio en el segundo modo normal se estiran todos los muelles, vibrando en fase los muelles A y B y estando el muelle C desfasado con respecto a A y B. Por tanto las ecuaciones dinámicas serán:

d 2 xA   k A x A  k C xC dt 2 d 2 xB m   k B x B  k C xC dt 2 m

xC   x A  x B 

xC   x B  x A 

Si consideramos que , con respecto a xA, pero entonces obtendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:

, con respecto a xB

d 2 xA d 2 xA m  k A x A  k C  x A  x B   m  k A x A  k C  x A  x B  dt 2 dt 2 d 2 xB d 2 xB   m   k x  k x  x  m  k B x B  k C  x A  x B  B B C B A dt 2 dt 2 A partir de estas ecuaciones dinámicas podemos obtener las coordenadas normales del sistema, que serán las que expresan los modos normales de vibración:

d 2 xA  k A x A  k C  x A  x B  dt 2 d 2 xB m  k B x B  k C  x A  x B  dt 2 d 2  x A  xB  m  k A x A  k B x B dt 2 m

d 2 xA  k A x A  k C  x A  x B  dt 2  d 2 xB   m   k x  k  x  x   B B C A B dt 2   d 2  x A  xB  m   k A x A  k B x B  2k C  x A  x B  dt 2 m

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Pero como vemos no es posible ir más allá, porque para avanzar por este método necesitaríamos que se cumpliera la condición adicional que kA = kB.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Para sortear este escollo y resolver el sistema, recurriremos a un método algo más general. Proponemos las siguientes funciones de prueba:

x A  C Ae

it

x B  C B e it

d 2 xA  C A 2 e it 2 dt d 2 xB  C B  2 e it 2 dt

dx A  iC Ae it dt dx B  iC B e it dt

Introducimos ahora estas funciones de prueba en la ecuación diferencial:









d 2 xA  k A x A  kC  x A  xB   mCA 2eit  k AC Aeit  kC C Aeit  C B eit  mCA 2  k AC A  kC  C A  C B  dt 2 d 2x m 2B  k B xB  kC  x A  xB    mCB 2eit  k B CB eit  kC C Aeit  CB eit   mCB 2   k B CB  kC  C A  C B  dt m

A partir de estas ecuaciones obtenemos el valor de CA y CB:

  mC A 2  k A C A  k C  C A  C B  

  mC B  2  k B C B  k C  C A  C B 

  mC A 2  k A C A  k C C A  k C C B



  mC B  2  k B C B  k C C A  k C C B

  mC A 2  k A C A  k C C A  k C C B



  mC B  2  k B C B  k C C B  k C C A    m 2  k A  k C C A  k C C B



   m 2  k B  k C C B  k C C A



  mC A 2  k A C A  k C C A  k C C B



  mC B  2  k B C B  k C C B  k C C A



kC  CA  2  C  B  m  k A  k C



2  C A   m  k B  k C  C B kC

Podemos utilizar la expresión de estos cocientes para obtener el valor de ω como el resultado de una ecuación de segundo grado:

kC  m 2  k B  k C CA    k C2   m 2  k B  k C  m 2  k A  k C  C B  m 2  k A  k C kC







 k C2  m 2  4  mk A 2  mk C  2  mk B  2  k A k B  k B k C  mk C  2  k A k C  k C2  0  m 2  4  m k A  k B  2 k C   2   k A k B  k B k C  k A k C 

Por lo tanto la ecuación de segundo grado que hay que resolver será:

0  m 2  4  m k A  k B  2 k C   2   k A k B  k B k C  k A k C 

A partir de esta ecuación obtenemos los valores de ω, que serán la velocidad angular de los modos normales de vibración:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

  2

m k A  k B  2 k C  

 m k A  k B  2 k C   2  4 m 2  k A k B  k B k C  k A k C  2m 2

m k A  k B  2 k C    2m 2

 m k A  k B  2 k C   2  4 m 2  k A k B  k B k C  k A k C  2m 2

k  k B  2k C m 2  k A  k B  2k C  4m 2  k A k B  k B k C  k A k C   A    2m 4m 4 4m 4 2

k  k B  2k C  A  2m

 k A  k B  2k C  2 4m

2

k  k B  2k C  k  k B  2k C   A   A  2m 2m  



k A k B  k B kC  k A kC  m2

2



k A k B  k B kC  k A kC m2

De donde las velocidades angulares de los modos normales de vibración serán:

 k  k  2k  k  k B  2k C  B C '   A   A  2m 2m      k  k  2k  k  k B  2k C  B C "   A   A  2m 2m    

2

1

k A k B  k B kC  k A kC    m2 

2



2

1

k A k B  k B kC  k A kC    m2 

2



k C2  k A k B Si se cumple la condición de

entonces el sistema queda simplificado:





Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

 k  k  2k  k  k B  2k C  B C '   A   A  2m 2m      k  k  2k A B C

 

2m



2



1

k A k B  k B kC  k A kC 

 

m2

 k A  k B  2  2 k A  k B  k C  4k C2  2m  2

2

 

1

k A k B  k B kC  k A kC 



2



m2

 

1

 k  k  2k B C  A  2m 

 k A  k B  2  2k A k C  2k B k C  4k C2

 k  k  2k B C  A  2m 

 k A  k B  2  2k A k C  2k B k C  4k C2  4 k A k B  k B k C  k A k C  

 k  k  2k B C  A  2m 

 k A  k B  2  2k A k C  2k B k C  4k C2  4k A k B  4k B k C  4k A k C 

 k  k  2k B C  A  2m 

 k A  k B  2  4k A k B  4k A k B  2k B k C  2k A k C 

 k  k  2k A B C

 

2m



4m



2

k A k B  k B kC  k A kC  m

2

1

 k  k  2k A B C

2

 



1







1

2

2m

2



2



 k  k  2k k A2  k B2  2k C2  2k B k C  2k A k C B C  A  2m 4m 2 

2





4m 2

4m 2

1



4m 2

1

 

4m 2

 k A  k B  2  2k B k C  2k A k C 

2







1

k A2  k B2  2k A k B  2k B k C  2k A k C  

4m 2

 k  k  2k k A2  k B2  2k C  k C  k B  k A   B C  A   2m 4m 2  

 1

2

2



Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Y por tanto quedan los dos modos normales:

 k  k  2k k A2  k B2  2kC  kC  k B  k A   C '   A B   2m 4m 2  

1

 k  k  2k k A2  k B2  2kC  kC  k B  k A   C "   A B   2m 4m 2  

1

2

2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

3) Se conectan dos objetos, A y B, cada uno de ellos de masa m, mediante muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante kc, y los otros dos tienen una constante k 0. Si se sujeta B, A vibra con una frecuencia de 1,81 s-1. La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 s-1.

a)

Comprueba personalmente que las ecuaciones del movimiento de A y B son:

d 2 xA  k 0 x A  k c  x A  x B  dt 2 d 2 xB m  k 0 x B  k c  x B  x A  dt 2 m

Igualmente que el sistema del problema anterior, presentará los siguientes modos normales de vibración:

Por tanto las ecuaciones dinámicas del sistema serán:

d 2 xA   k 0 x A  k C xC dt 2 d 2 xB m   k 0 x B  k C xC dt 2 m

xC   x A  x B 

xC   x B  x A 

Si consideramos que , con respecto a xA, pero a xB entonces obtendremos las siguientes ecuaciones dinámicas:

, con respecto

d 2 xA m  k 0 x A  k C  x A  x B  dt 2 d 2 xB m  k 0 x B  k C  x B  x A  dt 2 Que son las ecuaciones dinámicas que nos indicaban al principio.

0  k0 m b) Si , demuestra que las frecuencias angulares ω 1 y ω2 de los modos normales vienen dadas por:



1   0 ;  2   02   2k c m 



1

2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Y que la frecuencia angular de A cuando se sujeta B (xB = 0 siempre) viene dada por:



 A   02   k c m 



1

2

Para hallar los modos normales de vibración del sistema hemos de obtener las ecuaciones dinámicas, en función de las coordenadas normales del sistema:

d 2 xA m  k 0 x A  k C  x A  x B  dt 2 d 2 xB m  k 0 x B  k C  x A  x B  dt 2 d 2  x A  xB  m  k 0 x A  k 0 x B dt 2 d 2  x A  xB  m  k 0  x A  x B  dt 2

d 2 xA m  k 0 x A  k C  x A  x B  dt 2  d 2 xB   m  k 0 x B  k C  x A  x B   2 dt   2 d  x A  xB  m   k 0 x A  k 0 x B  2k C  x A  x B  dt 2 d 2  x A  xB  m   k 0  x A  x B   2k C  x A  x B  dt 2

Por tanto las ecuaciones dinámicas en función de las coordenadas normales serán:

q1   x A  x B   m

d 2 q1  k 0 q1 dt 2

q2   x A  xB   m

d 2 q2   k 0 q 2  2k C q 2 dt 2

Si reordenamos estas ecuaciones diferenciales obtendremos:

d 2 q1 k 0  q1  0 m dt 2

d 2 q2   k 0  2k C  q 2  0 dt 2

Por tanto las soluciones de estas ecuaciones diferenciales serán:

1   0 

k0 m

2 

k 0 2k C 2k    02  C m m m

Si se sujeta una de las masas tendremos el siguiente esquema:

Y por tanto la ecuación dinámica de la masa restante será:

d 2 xA d 2 x A  k0 kC  m   k 0 x A  k C x A   k 0  k C  x A     xA  0 dt 2 dt 2  m m La solución a esta ecuación diferencial es por tanto:



k0 kC k    02  C m m m

De acuerdo con lo que habíamos visto antes. c)

Utilizando los datos numéricos anteriores calcula la frecuencia esperada (ν 2) del modo normal más alto. (El valor observado fue de 2,27s-1) El valor de ν1 nos da el valor de la frecuencia de los osciladores de los extremos:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

k0  1  2 1  2 0   1   0  1,14 s 1 m

1   0 

kC m La frecuencia de oscilación del sistema trabado nos indica el valor del cociente del que podemos obtener el valor de ν2:   02  2  02 

2 kC  m

, a partir

kC k k k 2 2 2   2  02  C   2   2   2   02  C  C   2   2   02  m m m m

 2  2 02  2 2  2  2   02   2

 02  2 2   02   2 2  2  02  2 2   02  

1,14 2  21,81 2  1,14 2   2,29s 1

  2   02  2 2   02  

kc k0 d) A partir de estos mismos datos calcula el cociente

, de las dos constantes de los muelles.

Como no sabemos el valor de m, no podemos determinar el valor de k C y k0, pero podemos determinar el cociente entre las dos constantes elásticas:



kC 2   2   2   02 m k0 2   2   02 m







kC  2   2   02  2   02 1,812  1,142     1,52   k0  02 1,142  2  2 02  

2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

4) La molécula de CO2 puede asemejarse a un sistema constituido por una masa central m 2 unida por muelles iguales de constante k a dos masas m1 y m3 (siendo m3 = m1).

a)

Plantea y resuelve las ecuaciones de los dos modos normales en los cuales las masas oscilan a lo largo de la recta que une sus centros. (La ecuación de movimiento para m 3 es





m3 d 2 x3 dt 2  k  x3  x 2 

y pueden escribirse ecuaciones semejantes para m1 y m2) De acuerdo con lo que hemos estado viendo en los sistemas anteriores, también presentará dos modos normales de vibración en la dirección que une los centros de los átomos.

En el primer modo normal consideramos el átomo de carbono estático y los átomos de oxígeno en movimiento, en cambio en el segundo, los átomos de oxígeno estarán estáticos y el de carbono en movimiento. Las ecuaciones dinámicas por tanto serán:

d 2 x1 m1 2  k  x1  x 2  dt d 2 x2 m2  k  x 2  x1   k  x2  x3  dt 2 d 2 x3 m3   k  x3  x 2  dt 2 Como la primera y la segunda ecuación se refieren a los átomos de oxígeno son la misma, puesto que son indistinguibles uno de otro, por lo tanto el sistema queda reducido a:

d 2 x1  k  x1  x 2  dt 2 d 2 x2 m2  2k  x 2  x1  dt 2 m1

A partir de aquí podemos obtener las ecuaciones en coordenadas normales:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

  d 2 x1 m2  m1   k  x1  x 2   2 dt  

  d 2 x1 m2  m1   k  x1  x 2   2 dt  

  d 2 x2 m1  m2  2k  x1  x 2   2 dt   2 d  x1  x 2  m1 m2   m 2  2m1  k  x1  x 2  dt 2

  d 2 x2  m1  m2  2k  x1  x 2   2 dt   2 d  x1  x 2  m1 m 2   m2  2m1  k  x1  x 2  dt 2

Al igual que en el problema 2 el método de las coordenadas normales no nos permite resolver el sistema, por lo tanto no queda más solución que obtener la solución por el método general. Se plantean las funciones de prueba:

d 2 x1  C1 2 e it 2 dt d 2 x2  C 2 2 e it 2 dt

dx1  iC1e it dt dx 2  iC 2e it dt

x1  C1e it x 2  C 2 e it

Introducimos estas funciones de prueba en las ecuaciones dinámicas de los núcleos atómicos:



  m1C1 2 e it  k C1e it  C 2 e it 





  m2 C 2 2 e it  2k C 2 e it  C1e it   m1C1 2  kC1  kC2



  m 2 C 2 2  2kC2  2kC1



  m1C1 2   k  C1  C 2 



  m2 C 2 2  2k  C 2  C1 

  m1C1 2  kC1   kC2



  m2 C 2 2  2kC2  2kC1





k  C1    C  m1 2  k  2



2  C1   m 2  2k  C 2  2k

A partir de aquí podemos obtener el valor de ω2 mediante una ecuación de segundo grado:

C1  m2  2  2k k   C2  2k  m1 2  k





 2k 2   m2 2  2k  m1 2  k



 2k  m1 m2  2m1 k  m2 k 2  2k 2 2

4

2

Por lo tanto la ecuación que hay que resolver es:

0  m1 m2 4   m2  2m1  k 2  4k 2

Y a partir de aquí ya podemos obtener el valor de ω 2 como resultado de esta ecuación de 2º grado.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

  2



 m2  2m1  k   m2  2m1  2 k 2  16m1m2 k 2



2m1 m2

 m2  2m1  k  k  m2  2m1  2  16m1 m2



2m1 m2

m  2m1  2 k 2m1 m2

 m2  2m1  2  16m1m2

 m  2m 1  2   2m1 m2    m  2m1  2   2m1 m2 

 m2  2m1  2  16m1m2 

k

2m1 m2

 m2  2m1    2 m m 1 2  

k 

4m12 m22



2



4 m1 m2

 

 k 

De donde obtenemos los valores para las velocidades angulares de los modos normales de vibración:



 m  2m1  m2  2m1    2 2m1 m2 2 m m  1 2 

2

 m  2m1   m  2m1  "    2   2   2m1 m2 2m1 m2    

2



'       



     k

4 m1 m2          k

4  m1 m2    

1

2

1

2

b) Haciendo m1 = m3 = 16 unidades y m2 = 12 unidades ¿Cuál será el cociente de las frecuencias de ambos modos, admitiendo que fuese aplicable la descripción clásica? No podemos determinar el valor absoluto de las frecuencias porque no sabemos la fuerza relativa del enlace de la molécula de CO2, pero si podemos obtener los valores relativos de las frecuencias:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013



2

  m2  2m1   m2  2m1   2m m    2m1 m2 1 2    

'  "     m2  2m1   m2  2m1   2m m    2m1 m2 1 2      

  m2  2m1   m2  2m1   2m m    2m1 m2 1 2        m2  2m1    m2  2m1   2m m   2m m  1 2 1 2         12  2·16    2·16·12     12  2·16      2·16·12     0,11       0,11   





 12  2·16     2·16·12   12  2·16     2·16·12 

2



 0,11 2  0,02 

 

  0,11 2  0,02    

1

2

2



4 m1 m2    

4 m1 m2

1

       

2



       

 4    12·16     4     12·16    

  0,11       0,11   

1

     k

4  m1 m2

2

2

2

4  m1 m2    

2

2

1

     k

1

2





 0,11 2  0,02 



1

 0,11 2  0,02 

  

 

2

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

5) El esquema muestra una masa M1 sobre un plano sin rozamiento unida a un soporte O mediante un muelle de rigidez k. La masa M2 está sujeta a M1 mediante una cuerda de longitud l.

a)

Utilizando la aproximación de oscilaciones pequeñas:

sin   tan  

x 2  x1 l

Y partiendo de F = ma, deduce las ecuaciones de movimiento de M1 y M2:

M 1 x1  kx1  M 2

g  x 2  x1  l

M 2 x2  

M2g  x 2  x1  l

Si planteamos el sistema de fuerzas:

Las ecuaciones dinámicas serán:

d 2 x1  kx1  M 2 g sin  dt 2 d 2 x2 M2   M 2 g sin  dt 2 M1

Si planteamos la aproximación para ángulos pequeños, encontraremos:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

d 2 x1 x  x1  kx1  M 2 g 2 2 l dt 2 d x2 x  x1 M2  M 2 g 2 2 l dt M1

d 2 x1 g   kx1  M 2  x 2  x1  2 l dt 2 d x2 g  M2   M 2  x 2  x1  2 l dt  M1

Que son las ecuaciones que nos proponían inicialmente.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

b) Para M1 = M2 =M, utiliza las ecuaciones para obtener las frecuencias normales del sistema. Combinamos ahora las dos ecuaciones anteriores para obtener las ecuaciones dinámicas en función de las coordenadas normales del sistema:

d 2 x1 g  kx1  M 2  x 2  x1  2 l dt 2 d x2 g M2   M 2  x 2  x1  2 l dt 2 2 d x d x2 g M 1 21  M 2  kx1  2 M 2  x 2  x1  2 l dt dt M1

d 2 x1 g  kx1  M 2  x 2  x1  2 l dt  d 2 x2 g M2   M 2  x 2  x1   2 l dt 

M1 

 

M1

d 2 x1 d 2 x2  M  kx1 2 dt 2 dt 2

Si M1 = M2 = M el sistema se simplifica enormemente, quedando:

d 2 x1 d 2 x2 g  M  kx1  2 M  x 2  x1   2 2 l dt dt d 2 x1 d 2 x2 M M  kx1  dt 2 dt 2 M

d 2  x1  x 2  g k  x1  2  x 2  x1  2 M l dt d 2  x1  x 2  k  x1 M dt 2

Sin embargo, nuevamente (problema 2) no es posible resolver este sistema por el método de las coordenadas normales, puesto que no es posible hallar una combinación lineal que nos separe completamente ambas. No quedará más solución que recurrir al método general:

x1  C1e

it

x 2  C 2 e it

dx1  iC1e it dt dx 2  iC 2e it dt

d 2 x1  C1 2 e it 2 dt d 2 x2  C 2 2 e it 2 dt

Introducimos estas funciones de prueba en las ecuaciones iniciales, con la aproximación M 1 = M2 = M

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013



 M  

 M 

 

    

  

  

  

d 2 x1 g g    kx1  M  x 2  x1    MC1 2 e it   kC1 e it  M C 2 e it  C1 e it 2  l dt l   g d 2 x2 g 2 i  t i  t i t   MC  e   M C e  C e   M  x 2  x1  2 2 1  l l dt 2 g g g   MC1 2   kC1  M  C 2  C1    MC1 2   kC1  M C 2  M C1  l l l   g   MC  2   M g C  M g C  MC 2 2   M  C 2  C1  2 2 1  l l l g g g g   MC1 2   kC1  M C 2  M C1  MC1 2  kC1  M C1   M C 2   l l l l   g g g g 2 2   C 2    C 2  C1  C 2   C 2  C1  l l l l g  M  C1 l   g g  2  C 2   M 2  k  M g    M  k  M  C 1   M C 2  l l l     g g g   2 2       C 2  C1      C1  l l l    g  C2  l









A partir de estos cocientes extraemos el valor de ω, a partir de una ecuación de 2º grado:

M

C1  C2 

2   M  k  M



 g  M   l  g   l

 M

2



g l

2   

g  l



g l

g  l

g  g      2     M 2  k  M  l l 

2

 M 4   2 k  M 2

g g g  g  M 2  k  M   l l l  l

g  g 0  M   k  k  M   l  l 4

2

2

0  M 4   2 k  k

 g  M   l

2

2

g l

Esta es la ecuación de 2º grado que hay que resolver, por lo tanto:

2 

k  k 2  4k 2 2M

g l

g  k   1 4  k 2 k  k 1 4 g l k k g  l     1 4 2M 2M 2M 2M l

Y así las frecuencias de los modos normales de vibración serán:

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013



k k g '    1 4  l   2 M 2M

1



k k g 2 '    1 4  l   2M 2M 1  ' 2





k k g "    1 4  l   2M 2M

2

k k g  1 4   l   2M 2M

1

2



k k g 2 "    1 4  l   2M 2M

2

1

1

2

1  " 2



k k g  1 4   l   2M 2M

1

2

1

2

g l  k M c)

¿Cuáles son los movimientos de modo normales para M1 = M2 = M y

g l  k M

?

Si , la frecuencia de los modos normales de vibración se convierte en imaginaria, por lo que el sistema se comportará como un péndulo fijo. Lo que estará sucediendo es que M es muy grande, comparado con la constante elástica del muelle y entonces no podrá vibrar, por lo que desaparece el acoplamiento, el único movimiento posible, por tanto será el del péndulo.

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

6) Se sujeta por sus extremos a dos soportes fijos una cuerda de longitud 3l y masa despreciable. La tensión de la cuerda es T.

A pn  C n sin  a)

Se sujeta una partícula de masa m a una distancia l de un extremo de la cuerda, como está indicado. Escribe la ecuación para las oscilaciones transversales pequeñas de m y halla el período. El sistema de fuerzas para el primer caso será:

La ecuación dinámica por tanto será:



 0,m 

 T cos  n 1  T cos  n 1  0 d 2 yn       T cos   T cos  , T sin   T sin  d 2 yn n 1 n 1 n 1 n 1  dt 2    m 2  T sin  n 1  T sin  n 1 dt 

La ecuación que nos interesa es la de la dirección vertical, ya que da un resultado diferente de 0. Si aplicamos la aproximación para ángulos pequeños:

sin   tan  

y n  y n 1 l

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Por tanto nos quedará la ecuación diferencial: d 2 yn y  y n 1 y  yn T  T sin  n 1  T sin  n 1  T n  T n 1   2 y n  2 y n 1  y n 1  y n   2 l 2l 2l dt d 2 yn T T T T T T T T 3 y n   2 y n 1  y n 1   3 y n  2 y n 1  y n 1   3 yn  2 y n 1  y n 1 2l 2l 2l 2l 2l 2lm 2lm 2lm dt 2  d 2 yn  3 02 y n   02  2 y n 1  y n 1  2   2 d yn 2 2 2 dt   3 0 y n  2 0 y n 1   0 y n 1   dt 2  2  T  0 2lm m

Como yn-1 y yn+1 son los extremos de la cuerda están fijos, por lo que la ecuación diferencial queda:

 d 2 yn  3 02 y n  2  dt 2 2 2      3 0    3 0  T   02   2lm 

 3T 2   2lm T

 3T 2lm   T  2 2lm 3T

b) Se une una partícula adicional de masa m a la cuerda como se ve en la figura, dividiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensión T. Dibuja el aspecto de la cuerda y la posición de las masas en los dos modos normales separados de las oscilaciones transversales.

c)

Calcula ω para el modo normal que tenga mayor frecuencia. La ecuación diferencial para una cuerda con n masas equiespaciadas será:

d 2 yn y  yn 1 y  yn T  T sin  n 1  T sin  n 1  T n  T n 1   yn  yn 1  yn 1  yn   2 dt l l l T T T T T d 2 yn T T T 2 yn   yn 1  yn 1   2 yn  yn 1  yn 1   2  2 yn  yn 1  yn 1 l l l l l dt lm lm 2lm  d 2 yn 2 2 2   2  20 yn  0  yn 1  yn 1  d yn dt   2  202 yn  02 yn 1  02 yn 1   dt  2  T  0 lm m

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

A pn  C n sin  Si introducimos

A pn  C n sin 

como función de prueba:

d  Cn cos  dt dt

dA pn

d 2 A pn dt 2

 d   C n    dt 

2

sin 

Introducimos ahora esta serie de ecuaciones en la ecuación diferencial:

C n 2 sin   2 02 C n sin    02  C n 1 sin   C n 1 sin   C n 2  2 02 C n   02 C n 1   02 C n 1 C n  2  2 02 C n   02 C n 1   02 C n 1

 2  2 02 C n 1  C n 1  Cn  02 La cuerda tiene 4 nodos, de los cuales el nodo 1 y el 4 están inmóviles, por lo que los modos normales de vibración serán:

 2  2 02 C 2 C 2    C1 0  02  2  2 02 C 3  C1 C 3  0   1 C2 C2  02  2  2 02 0  C 2   1 C3  02  2  2 02 C C  3  3  2 C4 0 0 En los extremos la expresión no es válida, porque están estacionarios, por lo tanto las soluciones del sistema serán: 2 2 2  2 3 0  2  2 02 2 2 2 2 2 2    2 0   0  3 0      1    2        2     0 0 0 0 2 2 2 2 2 0    2 0   0   0     0

La solución que nos están pidiendo será la del modo normal que tenga mayor frecuencia:

  3 0 

3T lm

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

7) Considerando un sistema de N osciladores acoplados asociados a una frecuencia ω < 2ω 0, es decir,

y 0  0; y N 1  h cos t

. Halla las amplitudes resultantes de los N osciladores. Indicaciones:

Las ecuaciones diferenciales del movimiento son las mismas que en el caso sin impulsar, sólo son diferentes las condiciones límite. De aquí que pueda

A p  C sin p

ensayarse , y determinar así los valores necesarios de α y C. Si ω < 2ω0, α es complejo y las ondas se amortiguan exponencialmente en el espacio. En el ejercicio anterior obtuvimos la ecuación diferencial para un sistema con n masas equiespaciadas:



d 2 yn T  2 02 y n   02  y n 1  y n 1   02  2 lm dt

Introducimos ahora la expresión que proponen en el enunciado. En primer lugar calculamos las derivadas:

A p  C cos p

d  .  Cp sin p dt dt

dA p

d 2 Ap dt 2

 Cp 2 2 cos p

Ahora ya podemos introducir estas expresiones en la ecuación diferencial:

Cp 2 2 cos p  2 02 C cos p   02  C cos   p  1  C cos   p  1 

p  2

2



 2 02 cos p   02  cos   p  1  cos   p  1 



p 2 2  2 02 cos   p  1  cos   p  1  cos p  02

p 2 2  2 02 cos p     cos p      cos p  02 

p 2 2  2 02 cos p cos   sin p sin   cos p cos   sin p sin   cos p  02 

p 2 2  2 02 cos p cos   cos p cos    cos  cos p  02

Por lo tanto obtenemos que el valor de α será:

cos   

 p 2 2  2 02  p 2 2  2 02    arccos     02  02  

Si se ha de cumplir que ω < 2ω0, entonces p2 = 1, y entonces quedará:

  2  2 02    arccos     02   Como el extremo de la cuerda está libre α debe ser múltiplo de π en ese punto, para que se

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

y N 1  h cos t cumpla que

:

 N  1  p   

p  N  1

Vibraciones y Ondas

Osciladores Acoplados

Uned Barcelona Nou Barris

Tutor Presencial

Juan José Navas Díaz

Curso 2012-2013

Introducimos este resultado en la función de prueba y obtenemos el valor de C, de acuerdo con las condiciones de contorno:

p  1  cos t  C  h  p    N  1   cos   N  1  

y N 1  h cos t  C cos

Como p=1, entonces quedará:

1

Ch

     N  1  

cos