02_Elasticna Analiza II Reda Mii-separat 14_15

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

Primjer: Elastična analiza 2. reda, metoda povećanog momenta uslijed bočne pomičnosti

1.



Svrha primjera: Potrebno je proračunati okvir prikazan na slici I.1. Primjer ilustrira elastičnu analizu 2. reda indirektnom metodom nazvanom ‘Metoda povećanog momenta uslijed bočne pomičnosti’.

 Statički sustav i računska opterećenja Pd=100 kN

qd=9 kN/m

Pd=100 kN

Hd=9 kN IPE 240

D

A

6,0 m

HE 240 B

HE 240 B

B

C

8,0 m

Slika I.1. Statički sustav i računska opterećenja Nosač je pridržana u četvrtinama raspona (svaka 2 m). Okvir:

stupovi: HE 240 B

c= y= 11260 cm4 W pl,y= 1053 cm3

A= 106,0 cm2

nosači:

b= y= 3892 cm4 W pl,y= 366,6 cm3

A= 39,12 cm2

IPE 240

Kvaliteta čelika S 355  Provjera okvira poduprt ili nepoduprt Okvir je očito nepoduprt. Nije predviđen vezni sustav koji bi reducirao horizontalni pomak. Za okvire utjecaj imperfekcija se može zanemariti ako je:

EN 1993-1-1

5.3.2 (4)B

HEd  0,15  VEd 9,0 kN  0,15  272  40,8 kN

Potrebno je uzeti utjecaj imperfekcija. 1

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

 Imperfekcije okvira

5.3.2(3)

  0   h   m

 0  1 / 200 h 

2 h



2 6

 0,816



2  0,816  1,0 3

m  0,5  1  1/ m  0,5  1  1/ 2  0,866



1 1  0,816  0,866  200 283

Ekvivalentna horizontalna sila 1  8,0  Hi    VEd   9   100   0,5 kN 283  2   Kriterij pomičan – nepomičan okvir

Slika 5.2.

Uvjet za nepomičan:  cr 

Fcr  10 FEd

H   h  . cr   Ed       VEd   H,Ed 

5.2.1.(3)

5.2.1.(4)

Zbroj vertikalnog opterećenja: VEd  qd  L  2  Pd  9  8,0  2  100  272 kN .

Zbroj horizontalnog opterećenja: HEd  Hd   Hi  9  2  0,5  10 kN .

Konstanta za analizu okvira:  h 3 892 600 k b  c    0,259 .  c L b 11 260 800

Pomak vrha stupa okvira h3 2k  1 600 3 2  0,259  1 H,Ed    HEd    10 12  E c k 12  21 000  11 260 0,259

H,Ed  4,46 cm 2

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

Uvjet:

 10   600  cr     4,95  10 .   272   4,46   Okvir je klasificiran kao pomičan. Učinke 2. reda treba uzeti u obzir. 5.2.2.(5)

 Analiza okvira  cr  4,95 > 3,0

Elastična analiza 1. reda, metoda povećanog momenta uslijed bočne pomičnosti. MEd, VEd i NEd izračunati elastičnom analizom 1. reda, slika I.2.

6,4

6,4

+

36

38

36

38 34

+

+

MEd kNm

6,4

VEd kN

6,4

36

tlak

NEd kN

+ 36

30



MEd kNm

5,0

VEd kN

5,0

7,5

5,0

+

5,0

30

7,5

30

7,5

a) uslijed djelovanja qd=9 kN/m

 vlak + tlak

NEd kN

+ 7,5

b) uslijed djelovanja Hd=10,0 kN

+

MEd kNm

VEd kN

100

+

tlak

NEd kN

+ 100

c) uslijed djelovanja Pd=100 kN

Slika I.2. M, V i N dijagrami od pojedinačnih djelovanja

3

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

 Dimenzioniranje okvira

EN 1993-1-1

5.2.2.(5)

Faktor povećanja: 1 1   1,25 . 1  1/  cr 1  0,20

 Stup CD (najnepovoljniji) U točki D: MEd  38,0  1,25  30,0  75,5 kNm , NEd  36,0  1,25  7,5  100  145 kN , VEd  6,4  1,25  5,0  12,9 kN .

 Izvijanje u ravnini okvira

Č.K.1

Dužina izvijanja za nepomičan mod Kc K c  K 11  K 12 Kc 2  K c  K 21  K 22 1 

(VII.-100.) (VII.-101.)

 11 260 Kc  c   18,8 cm3 Lc 600 K11  K b  0,5 

1 

b 3 892  0,5   2,4 cm3 Lb 800

18,8  0,89 18,8  2,4

tablica VII.21.

2  10 , (zglob)

Očitano za 1  0,89 i 2  1,0 i nepomičan okvir:

slika VII.-83.

Liy / L  0,96

Liy  0,96  L  0,96  600  576 cm .  Izvijanje izvan ravnine okvira Dužina izvijanja Liz  L  600 cm

4

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

 Klasifikacija presjeka Hrbat c h  2  t f  2  r 240  2  17  2  21 164     16,40 t tw 10 10

Tablica 5.2.

16,40  33    26,73 Klasa 1. Pojasnica b  tw  2  r 240  10  2  21 c 94 2 2     5,53 t tf 17 17 5,53  9    7,29

Klasa 1.

Presjek je svrstan u klasu 1.  Otpornost poprečnog presjeka  Otpornost presjeka na tlak:

Nc,Rd 

A  fy M0

NEd  1,0 Nc,Rd



106,0  35,5  3763 kN 1,0

6.2.4.(2) 6.2.4.(1)

145  0,04  1,0 . 3763

 Otpornost presjeka na savijanje:

Mpl,y,Rd  My,Ed Mpl,y,Rd

Wpl,y  fy M0



1 053  35,5  37 382 kNcm  374 kNm 1,0

75,5  0,20  1,0 . 374

 1,0

 Otpornost presjeka na poprečnu silu:





6.2.5.(2)

6.2.5.(1)

6.2.6.(2)

A v  fy / 3 33,24  35,5 / 3 Vpl,z,Rd    681 kN M0 1,0 A V  A  2  b  t f  t w  2  r   t f  106  2  24  1,7  1,0  2  2,1  1,7 

6.2.6.(3)

 33,24 cm2 >   h w  t w  1,20  20,6  1,0  24,72 cm2 h w  h  2  t f  24,0  2  1,7  20,6 cm

6.2.6.(1) 5

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

Vz,Ed Vpl,z,Rd

 1,0

EN 1993-1-1

12,9  0,02  1,0 . 681

6.2.8(2)

 Interakcija M, N i V:

0,5  Vpl,z,Rd  341 kN  Vz,Ed  12,9 kN . Nema redukcije otpornosti zbog poprečne sile.

6.2.9.1(4)

0,25  Nc,Rd  941 kN  NEd  145 kN , 0,5 

h w  t w  fy M0

 0,5 

20,6  1,0  35,5  366 kN  NEd  145 kN 1,0

Nema redukcije otpornosti zbog uzdužne sile.

MN,V,y,Rd  My,Rd  374 kNm My,Ed  MN,V,y,Ed



6.2.9.1(2)

75,5 kNm  374 kNm .

 Otpornost elementa  Otpornost elementa na izvijanje Dužine izvijanja: Liy=576 cm

Liz=600 cm

Elastična kritična sila: 2  EIy 2  21000  11260 Ncr,y    7034 kN L2iy 576 2 Ncr,z  y 

z 

2  EIz L2iz A  fy Ncr,y

A  fy Ncr,z



2  21000  3923 600 2

 2259 kN



106  35,5  0,731 7034

6.3.1.2(1)



106  23,5  1,291 2259

Tablica 6.2. Tablica 6.1.

Krivulja izvijanja oko osi y-y b



  0,34

Krivulja izvijanja oko osi z-z c



  0,49



1 2

   

6.3.1.2(1) 2

6

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii





EN 1993-1-1

  0,857

6.3.1.2(1)

2   0,5  1      0,2     



 y  0,5  1  0,34  0,731  0,2  0,7312

y 

1 0,857  0,857 2  0,7312

 0,767



 z  0,5  1  0,49  1,291  0,2  1,2912

z 

1 1,601  1,6012  1,2912

Nb,y,Rd   y  Nb,z,Rd  z 

A  fy M1 A  fy M1

  1,601

 0,392 6.3.1.1(3)

 0,767 

106  35,5  2 886 kN 1,0

 0,392 

106  35,5  1 475 kN 1,0

NEd  1,0 Nb,y,Rd



146  0,05  1,0 . 2886

NEd  1,0 Nb,z,Rd



146  0,10  1,0 . 1475

6.3.1.1(1)

Č.K. 1

Tablica VII.30.

 Otpornost elementa na savijanje Mcr  C1 

2  EIz  Iw L2cr  GIT    Iz L2cr 2  EIz 

   

0,5

2  21000  3923  486900 600 2  8077  102,7  Mcr  1,77    2  3923 600 2   21000  3923    88617 kNcm  886 kNm

LT 

Wy  fy Mcr



1053  35,5  0,65 88617

Krivulja izvijanja a 

LT  0,21

0,5

 EN 1993-1-1

6.3.2.2(1) Tablica 6.4. Tablica 6.3. 6.3.2.2(1)

LT 

1 2

2  LT   LT   LT

7

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii





2 LT  0,5  1  LT  LT  0,2  LT   



EN 1993-1-1

6.3.2.2(1)



LT  0,5  1 0,21 0,65  0,2  0,652  0,759 LT 

1 0,759  0,759 2  0,65 2

Mb,Rd  LT 

MEd  1,0 Mb,Rd

Wy  fy M1

 0,869 

 0,869

6.3.2.1(3) 1053  35,5  32 484 kNcm  324 kNm 1,0

75,5  0,23  1,0 . 324



6.3.2.1(1)

 Interakcija M i N My,Ed Mz,Ed NEd  k yy   k yz   1,0  y  NRk / M1 LT  My,Rk / M1 My,Rk / M1

6.3.3.(4)

My,Ed Mz,Ed NEd  k zy   k zz   1,0  z  NRk /  M1 LT  My,Rk /  M1 My,Rk /  M1

Određivanje interakcijskih faktora k ij (Annex B)

  NEd  k yy  Cmy  1   y  0,2    y  NRk /  M1  





  NEd   Cmy  1  0,8    y  NRk /  M1  

  NEd 0,1   z  k zy  1   CmLT  0,25   z  NRk / M1  

Tablica B.2.

  NEd 0,1   1    CmLT  0,25   z  NRk / M1  Faktori ekvivalentnih momenata Cij Cmy  0,6  0,4 

M1  0,4 M2

CmLT  0,6  0,4 

Tablica B.3.

M1  0,4 M2

8

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

0 Cmy  0,6  0,4   0,6  0,4 75,5 CmLT  0,6  0,4 

0  0,6  0,4 75,5

  145   0,61  k yy  0,6  1  0,731  0,2  0,767  3763 / 1,0     145   0,62  0,6  1  0,8  0,767  3763 / 1,0  

 k yy  0,61   0,1  1,291 145   0,96  k zy  1   0,60  0,25  0,392  3763 / 1,0     0,1 145   0,97  1   0,60  0,25  0,392  3763 / 1,0  

 k zy  0,97 145 75,5  0,61   0  0,19  1,0 . 0,731  3763 / 1,0 0,869  374 / 1,0 145 75,5  0,97   0  0,32  1,0 . 0,392  3763 / 1,0 0,869  374 / 1,0

 Nosač BD U točki D: MEd  38,0  1,25  30,0  75,5 kNm NEd  6,4  1,25  5,0  12,7 kN VEd  36,0  1,25  7,5  45,4 kN

U točki B: MEd  38,0  1,25  31,0  0,5 kNm NEd  6,4  1,25  5,0  12,7 kN VEd  36,0  1,25  7,5  26,6 kN 9

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

 Klasifikacija presjeka

Tablica 5.2.

Hrbat c h  2  t f  2  r 240  2  9,8  2  15 190,4     30,70 t tw 6,2 6,2 30,70  38    30,78

klasa 2.

Pojasnica

c  t

b  t w  2  r 120  6,2  2  15 41,9 2 2    4,28 tf 9,8 9,8

4,28  9    7,29

klasa 1.

Presjek je svrstan u klasu 2.  Otpornost poprečnog presjeka  Otpornost presjeka na tlak:

Nc,Rd 

A  fy M0

NEd  1,0 Nc,Rd

6.2.4.(2)

39,12  35,5  1389 kN 1,0



6.2.4.(1)

12,7  0,01  1,0 . 1389

 Otpornost presjeka na savijanje:

Mpl,y,Rd  My,Ed Mpl,y,Rd

Wpl,y  fy M0



366,6  35,5  13 014 kNcm  130 kNm 1,0

6.2.5.(1)

75,5  0,58  1,0 130

 1,0

 Otpornost presjeka na poprečnu silu:

Vpl,z,Rd 

6.2.5.(2)



A v  fy / 3 M0

  19,15  35,5 / 3   392 kN

6.2.6.(2)

1,0

A v  A  2  b  t f  t w  2  r   t f  39,12  2  12  0,98 

 0,62  2  1,5  0,98  19,15 cm2 >

6.2.6.(3) 10

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

>   hw  t w  1,20  22,04  0,62  16,40 cm2 h w  h  2  t f  24,0  2  0,98  22,04 cm

Vz,Ed Vpl,z,Rd

 1,0

EN 1993-1-1

6.2.6.(1)

45,4  0,12  1,0 392 6.2.8.(2)

 Interakcija M, N i V:

0,5  Vpl,z,Rd  196 kN  Vz,Ed  45,4 kN . Nema redukcije otpornosti zbog poprečne sile.

6.2.9.1(4)

0,25  Nc,Rd  347 kN  NEd  12,7 kN . 0,5 

h w  t w  fy 22,04  0,62  35,5  0,5   243 kN  NEd  12,7 kN M0 1,0

Nema redukcije otpornosti zbog uzdužne sile.

MN,V,y,Rd  My,Rd  130 kNm . My,Ed  MN,V,y,Rd

6.2.9.1(1)

75,5 kNm  130 kNm .

 Otpornost elementa  Otpornost elementa na izvijanje Dužine izvijanja: Liy =L/2=400 cm

Liz= L/4=200 cm

Elastična kritična sila: Ncr,y 

Ncr,z 

y 

z 

 2  EIy L2iy

2  EIz L2iz

A  fy Ncr,y

A  fy Ncr,z





2  21000  3892 400 2

2  21000  283,6 200 2

 5042 kN

 1469 kN



39,12  35,5  0,525 5042



39,12  35,5  0,972 1469

Krivulja izvijanja oko osi y-y a



  0,21

Krivulja izvijanja oko osi z-z b



  0,34

6.3.1.2(1)

Tablica 6.2. Tablica 6.1.

11

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii EN 1993-1-1

1



  2  



2

6.3.1.2(1)



2   0,5  1      0,2     





 y  0,5  1 0,21 0,525  0,2  0,525 2  0,672 y 

1 0,672  0,672 2  0,525 2

 0,916





 z  0,5  1  0,34  0,972  0,2  0,972 2  1,104

z 

1 1,104  1,104 2  0,972 2

Nb,y,Rd   y  Nb,z,Rd   z 

A  fy M1 A  fy M1

NEd  1,0 Nb, y,Rd



NEd  1,0 Nb,z,Rd



 0,916   0,614 

 0,614

39,12  35,5  1272 kN 1,0

6.3.1.1(3)

39,12  35,5  853 kN 1,0

12,7  0,01  1,0 . 1272 6.3.1.1(1)

12,7  0,02  1,0 . 852

 Otpornost elementa na savijanje

Č.K. 1

 2  EIz  Iw    Iz L2cr 

Tablica VII.30.

Mcr  C1 

Mcr  1,77 

L2cr  GIT  , C1  1,77 (linearna apr.)  2  EIz 

2  21000  283,6  37390 200 2  8077  12,88    2  283,6 200 2   21000  283,6  

0,5



 37025 kNcm  370 kNm

LT 

Wy  fy Mcr

EN 1993-1-1



366,6  35,5  0,593 37025

6.3.2.2(1)

12

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

Krivulja izvijanja a 

EN 1993-1-1

LT  0,21

Tablica 6.4. Tablica 6.3. 6.3.2.2(1)

1

LT 

2

2  LT   LT   LT





2 LT  0,5  1  LT  LT  0,2  LT   





LT  0,5  1  0,21 0,593  0,2  0,593 2  0,717 LT 

1 0,717  0,717 2  0,593 2

Mb,Rd  LT  My,Ed Mb,Rd

 1,0

Wy  fy M1

 0,893 

 0,893

366,6  35,5  11622 kNcm  116 kNm 1,0

75,5  0,65  1,0 . 116



6.3.2.1(2)

6.3.2.1(1)

 Interakcija M i N s problemom bočnog izvijanja (I)

My,Ed Mz,Ed NEd  k yy   k yz   1,0  y  NRk / M1 LT  My,Rk / M1 My,Rk / M1

(II)

My,Ed Mz,Ed NEd  k zy   k zz   1,0  z  NRk /  M1 LT  My,Rk /  M1 My,Rk /  M1

6.3.3.(4)

Određivanje interakcijskih faktora k ij (Annex B)

  NEd  k yy  Cmy  1   y  0,2    y  NRk /  M1  





  NEd   Cmy  1  0,8    y  NRk /  M1     NEd 0,1   z  k zy  1   CmLT  0,25   z  NRk / M1  

Tablica B.2.

  NEd 0,1   1     C  0 , 25   N /  mLT z Rk M1   Faktori ekvivalentnih momenata Cij 13

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij) Separat 2: Elastična analiza II reda Mii

Razmatra se savijanje oko osi y-y između oslonaca u ravnini: Ms 34    0,45 ; Mh  75,5    Cmy  0,1 0,8  s  0,4 M 0,5    B  0  MD 75,5

EN 1993-1-1

s 

Tablica B.3.

Cmy  0,1 0,8   0,45  0,46  0,4 Razmatra se savijanje oko osi y-y između oslonaca izvan ravnine: Ms  36    0,48 ; Mh  75,5    0 

s 

CmLT  0,2  0,8 s  0,4

CmLT  0,2  0,8  0,48  0,58

  12,7   0,46  k yy  0,46  1  0,525  0,2  0,916  1389 / 1,0     12,7   0,46  0,46  1  0,8  0,916  1389 / 1,0     0,1  0,972 12,7   0,99  k zy  1   0,58  0,25  0,614  1389 / 1,0     0,1 12,7   1,0  1   0,58  0,25  0,614  1389 / 1,0   12,7 75,5  0,46   0  0,38  1,0 . 0,916  1389 / 1,0 0,717  130 / 1,0 12,7 75,5  1,0   0  0,82  1,0 . 0,614  1389 / 1,0 0,717  130 / 1,0

14