02 Números Reais - Operações Com Radicais - Racionalização
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Operações Com Radicais - Racionalização...
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Capítulo
Números reais Números reais
Ao longo de todo o Ensino Fundamental, você teve a oportunidade de conhecer diferentes conjuntos numéricos. O primeiro deles, estudado ainda nas séries iniciais, é conhecido como conjunto dos números naturais e trata-se de números que representam quantidades inteiras, porém não negativas. Depois, conheceu o conjunto dos números inteiros, este, sim, dando conta de valores também negativos. Continuando seus estudos, você pôde verificar aplicações com o uso dos números chamados racionais, representados pela divisão (razão) entre dois inteiros. Os números fracionários, decimais e dízimas periódicas são exemplos de números racionais e, embora você tenha estudado números fracionários e decimais em séries iniciais, apenas no 7º ano, com a apresentação dos números inteiros, houve a definição formal deste conjunto, uma vez que, como foi dito, resulta da divisão ou razão entre inteiros. inteiros. Finalmente, outro conjunto numérico foi apresentado, apresentado, formado por números que não podem ser escritos como uma razão entre dois inteiros. O que não é racional é irracional. Trata-se do conjunto dos números irracionais, de que são exemplos a raiz quadrada de um número primo, como 2 , e o famoso número π, que é igual à razão entre as medidas do comprimento da cir-
c = π ≈ 3,14 . d
cunferência e seu diâmetro
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A sequência em que esses conjuntos foram apresentados a você tem uma lógica. Afinal, nem todos foram criados em um mesmo momento histórico. Na Matemática, os conceitos, teoremas e algoritmos são desenvolvidos com base em uma espécie de ação e reação. Conforme o homem se depara com situações novas, surge a necessidade de desenvolver novos raciocínios lógicos, símbolos, algoritmos e teoremas capazes de solucionar esses novos problemas.
3
Como em todo avanço científico, os matemáticos sentiram a necessidade de organizar o conhecimento. Assim, da mesma forma que os biólogos classificam os seres vivos, e os químicos, as substâncias, cabe aos matemáticos classificar, basicamente, os números e as figuras geométricas. Então, com base nessas classificações, é possível desenvolver outras áreas do conhecimento matemático. Este conceito de organização é muito importante em diversas áreas. R A F A E L R A M I R E Z L E E / S H U T T E R S T O C K
D M I T R Y K A L I N O V S K Y / S H U T T E R S T O C K
A disposição de contêineres em navios e medicamentos em uma prateleira, são exemplos de situações que envolvem organização e classificação.
• O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
Neste grupo, grupo, trabalhar as seguintes competências e habilidades: • Reconhecer os con juntos numéricos. numéricos. • Saber utilizar propriedades da potenciação. • Aplicar as propriedades da potenciação. • Saber reconhecer um número escrito na forma de notação científica. • Reconhecer radicais e aplicar as propriedades da radiciação. • Saber utilizar as propriedades da radiciação na resolução de problemas. • Ler, interpretar e resolver situações-problema envolvendo radicais, • Saber resolver expressões com radicais. • Aplicar o conceito de frações equivalentes na racionalização de denominadores.
58 Embora o conjunto dos números reais já tenha sido apresentado aos alunos no 8º ano, acreditamos ser importante retomar esse estudo, em virtude de sua grande aplicação nos conteúdos algébricos e aritméticos apresentados a eles ao longo do 9º ano. Incentivar os alunos a se manifestarem sobre o que precisa ser recordado ou aprendido dentro do tema. Associar a classificação dos conjuntos numéricos a outros tipos de organização e classificação presentes em diversas áreas, como na logística, disposição de remédios em uma prateleira e grupos alimentares. ali mentares. Reforçar Reforçar que a habilidade de classificação e organização de números auxilia não apenas na Matemática, mas também em outras áreas do conhecimento.
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
Mas, e o conjunto dos números irracionais? Note que não está contido em nenhum dos conjuntos anteriores. A união de racionais com irracionais forma o conjunto dos números reais (). Podemos visualizar essas relações por meio de um diagrama:
K C O T S R E T T U H S / V O K L O V N Y T N E L A V
s i a n o i c a r r I
Na divisão dos grupos de a limentos em um estudo nutricional, também se utilizam uma organização organização e uma classificação.
Do que foi exposto anteriormente, sobre os conjuntos numéricos, temos: Conjunto dos números naturais ( ( ) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} Conjunto dos números inteiros ( () = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Conjunto dos números racionais ( ( )
a = |a ∈ , b ∈ * b Exemplos
= −3, 3; ...; − 1; 0; 2, 5; A potenciação foi trabalhada em séries anteriores, sendo as propriedades estudadas nos últimos três anos. No entanto, dada a sua importância para o cálculo algébrico apresentado no 9º ano e o estudo sobre radicais no próximo capítulo, é importante que os alunos façam uma rápida revisão sobre o tema, inclusive demonstrando, de forma algébrica, algumas de suas propriedades, como a do expoente zero e a do expoente inteiro negativo.
11 2
; ...
Conclui-se então que os números reais formam um conjunto numérico que abrange todos os números dos demais conjuntos numéricos estudados anteriormente. Representação na reta
No capítulo anterior, fizemos uso recorrente de gráficos, construídos em um plano cartesiano. O plano cartesiano faz uso de dois eixos perpendiculares entre si no ponto (0, 0). Cada um dos eixos é a representação geométrica dos infinitos números reais, ou seja, uma reta numerada é a representação geométrica dos números reais em que cada ponto está associado a um dos infinitos números reais. Perceba com isso que, de forma intuitiva, já fazíamos uso da ideia de números reais. Agora, você tem a oportunidade de organizar e sistematizar este conhecimento.
Conjuntos dos números irracionais
Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos sob a forma de uma razão entre dois inteiros. De maneira geral, são formados por decimais não exatos e não periódicos. Perceba que certos conjuntos numéricos são subconjuntos de outros conjuntos numéricos. Por exemplo, todo número natural é também um número inteiro. Assim, dizemos que está contido em ( ⊂ ). De maneira geral, temos:
⊂ ⊂
Potenciação e expoente zero Nos anos anteriores, você teve oportunidade de estudar a potenciação. A potenciação representa, basicamente, multiplicações de fatores iguais. Expoente 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 Base
Potência
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59
Matemáca \ Ação e reação reação
Dizemos “basicamente” porque não é apenas isso. Quando o expoente é zero, zero, ou inteiro negativo, o conceito envolvido na potenciação é ampliado. Vamos relembrar algumas de suas principais propriedades, considerando que todas são válidas para o conjunto dos números reais. A partir delas, mostraremos o que ocorre para expoente zero ou inteiro negativo.
Propriedades da potenciação no conjunto dos números reais 1ª propriedade: produto de potências de mesma base
ab · ac = ab + c
Exemplo [(+9) ÷ (–4)]3 = (+9)3 ÷ (–4)3 5ª propriedade: potência de uma potência c
[ab] = ab · c
(a ∈ , b e c ∈ )
Exemplo 3
[(−0,5)4 ] = (−0,5)4 ⋅ 3 = (−0,5)12 Agora, tomemos como base a 2ª propriedade, que fala da divisão de potências de mesma base, e consideremos a seguinte expressão com a ∈ *: ab
(a ∈ , b e c ∈ )
ab
Exemplo 7 –3 · 75 = 7 –3 + 5 = 72 = 49 2ª propriedade: divisão de potências de mesma base
A expressão acima pode ser simplificada dividindo-se a potência do numerador pela potência do denominador, cujo quociente é 1 (numerador é igual ao denominador). ab ab
a ÷ a = a b
c
b–c
Por outro lado, poderíamos aplicar a 2ª propriedade:
(a ∈ *, b e c ∈ )
Exemplo 58 ÷ 56 = 58 – 6 = 52 = 25
ab a
b
3ª propriedade: potência de um produto
(a · b) c = ac · bc
=a − =a b b
0
Comparando os resultados obtidos nas duas simplificações, temos a seguinte equivalência: a0= 1
(a ∈ , b ∈ , c ∈ )
Na divisão inicial, devemos considerar a ≠ 0, pois não existe divisão por zero. Da
Exemplo
mesma forma, temos então que: 5
1 2 5 1 P 9 F E
=1
5
5
2 1 2 1 − ⋅ ⋅ + = − ⋅ + 3 5 3 5
a0 = 1 , (a ∈ *)
4ª propriedade: potência de um quociente
Seguindo um raciocínio semelhante, acompanhe a próxima situação:
(a ÷ b) c = ac ÷ bc
1
(a ∈ , b ∈ *, c ∈ )
ab
60
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
Do que foi visto anteriormente, podemos substituir o numerador 1 por uma potência qualquer de expoente 0. Assim, temos: 1 a
b
=
a
b
=
a0 a
b
a
b
= a − = a− 0 b
b
Comparando a expressão inicial com o resultado obtido, teremos: 1 ab
= a−
b
, (a ∈ * e b ∈ )
De maneira análoga, temos, ainda: −n
n
a b = b a
, (a ∈ *, b ∈ *e n ∈ )
Notação cienfica Em séries anteriores, já apresentamos uma expressão matemática conhecida como notação científica. Vamos recordar este assunto e aprofundá-lo um pouco mais. Antes, contudo, vamos relembrar alguns padrões observados para potências com base 10 e expoente inteiro. Observe, inicialmente, a regularidade encontrada para base 10 e expoente não negativo: negativo: O estudo sobre a notação científica já foi apresentado, nesta coleção, em anos anteriores. Antes de iniciar o assunto utilizando-se do livro, é interessante questionar os alunos sobre o que sabem a respeito de potências de base 10.
10 −1
=
10 −2
=
10 −3
=
10 10 −4
=
a0
Aplicando a 2ª propriedade, temos: 1
Agora, vejamos o que ocorre com expoentes negativos:
104 = 10.000 103 = 1.000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 Repare que o expoente indica a quantidade de zeros nas potências de base 10.
1
= 0 ,1
10 1
100
= 0, 01
1 1.000
= 0,001
1 10.000
= 0,0001
Neste caso, considerando o expoente negativo, podemos chegar a algumas conclusões: • O valor absoluto do expoente indica quantascasas decimais tem a potência de base 10. • Ou o valor absoluto do expoente indica o total de algarismos zero da potência de base 10 que antecedem o primeiro algarismo significativo. Agora, tomando como referência potências de base 10, podemos trabalhar com mais segurança a notação científica. Por definição, uma expressão é chamada de notação científica quando apresenta apresenta as seguintes condições: a · 10n em que: a é um número real maior ou igual a 1 e menor que 10 (1 ≤ a < 10);
n é um número inteiro (n ∈ ). Assim, são exemplos de números escritos em notação científica: a. 3,2 · 105 b. 9,99 · 10 –11 c. 6 · 10
47
d. 3,051 · 10 –103
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61
Matemáca \ Ação e reação
Mas, qual é a utilidade deste tipo de expressão? E por que recebe esse nome?
A L E X S T U D I O / S H U T T E R S T O C K
J O R G H A C K E M A N N / S H U T T E R S T O C K
Telescópios cada vez mais potentes permitem o estudo de astros cada vez mais distantes.
Por meio desses e de outros instrumentos, o homem precisou fazer uso de números com uma quantidade cada vez maior de algarismos, para representar medidas ou muito grandes ou muito pequenas. Veja estes exemplos: O garoto tem razão. Afinal, para que serve uma expressão escrita nesse formato? E por que recebe esse nome? Para responder a essas perguntas, vamos voltar um pouco na história. Ao longo dos vários séculos de desenvolvimento das diversas áreas ligadas às ciências, o homem evoluiu muito em seus estudos, sobretudo com a invenção de instrumentos de observação, como o microscópio e o telescópio.
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K C O T S R E T T U H S / A I D E M K A E R B E V A W
A distância média do planeta Saturno ao Sol, em determinado instante, é de: 1.429.400.000 km A massa de um átomo de hidrogênio é de aproximadamente: 0,00000000000000000000000166 g Assim, escrever e ler esses números e operar com eles não é uma tarefa muito rápida. Mesmo com auxílio de modelos comuns de calculadora, não podemos trabalhar com esses números, em razão da grande quantidade de algarismos. Por outro lado, por meio da notação científica, podemos escrevê-los de uma maneira mais simples. Acompanhe alguns exemplos: 3.000 = 3 · 1.000 = 3 · 103 520.000 = 5,2 · 100.000 = 5,2 · 105
Microscópios cada vez mais avançados permitem o estudo de elementos cada vez menores.
0,0005 = 5 · 0,0001 = 5 · 10 –4 0,000047 = 4,7 · 0,00001 = 4,7 · 10 –5
62 O uso de notação científica passará a ser, a partir desta série, recorrente no estudo das ciências, seja em Física ou em Química. Dessa forma, é importante que os alunos compreendam bem esse conceito, que servirá de ferramenta para o estudo de conteúdos nessas disciplinas.
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
Com isso, o exemplo dado sobre a distância média de Saturno ao Sol poderá ser reescrito da seguinte maneira: 1.429.400.000 = = 1,4294 · 1.000.000.000 = = 1,4294 · 109 = 1,4 · 109 km
Observe que o cálculo foi realizado sem o uso de muitos algarismos em cada fator. De maneira geral, a notação científica é também uma forma-padrão de escrever números utilizando potências de base 10, até mesmo porque nosso sistema de numeração é de base decimal. Em outras áreas do conhecimento, como em Física ou Química, essa forma de escrita é muito comum.
Assim, a distância média entre Saturno e o Sol é, aproximadamente, de 1,4 · 109 km. Já a massa de um átomo de hidrogênio pode ser assim representada: 0,00000000000000000000000166 = = 1,66 · 0,000000000000000000000001 = = 1,66 · 10 –24 g
É, realmente. A escrita em forma de notação científica possui várias utilidades!
A L E X S T U D I O / S H U T T E R S T O C K
Perceba que representamos esses números de uma maneira mais simples, ocupando um espaço menor. Da mesma forma, para descobrir a massa de 1.000 átomos de hidrogênio, deveríamos multiplicar a massa de 1 átomo por 1.000. Fazendo uso da notação científica, temos: 1.000 · (1,66 · 10 –24) = = 103 · 1,66 · 10 –24 = = 1,66 · 10 –24 + 3 = = 1,66 · 10 –21 g
Mapa conceitual Números reais
Potenciação e expoente zero
Notação cientfica
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Números reais Avidade 19 • Números reais Exercícios de Aplicação 01) No estudo dos números reais, verifi-
camos a existência de outros conjuntos e a possibilidade de fazer classificações. Ainda na teoria, fizemos aplicações desse estudo em situações de nosso cotidiano que exigem algum tipo de classificação ou organização. Além das citadas na teoria, cite três outras situações que requerem o uso de algum tipo de classificação.
• Sobre a reta r, a uma unidade distante da origem, trace um segmento AB com 1 unidade de comprimento (segmento OA), perpendicular à reta r no ponto A. • Com o compasso e centro em O, trace um arco de raio OB que cruza a reta r num ponto C. O segmento OC terá medida de
Resposta pessoal. Sugestão: livros em prateleiras de uma biblioteca, ordem das palavras apresentadas em um dicionário, disposição de produtos em um grande estoque.
2 unidade de
Capítulo
3 • O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
comprimento. B
02) Complete as lacunas com
(perten-
∈
O
ce) ou ∉ (não pertence). a. 18
∈
b. –12 c. 9 d. 0,5 e.
2
∉
∈
3
1
2
2
r
∉ ∈
0
C
A
04) Considere o quadrado a seguir, de
lado 1 unidade. Determine a medida de sua diagonal d.
d
f.
7
g. –6
∉ ∈
03) Para representar números inteiros,
2 2 5 1 P 9 F E
ou até mesmo certos números racionais, em uma reta, basta considerar intervalos iguais, com pontos equidistantes, e fazer algumas poucas divisões. No entanto, a representação geométrica de números irracionais não é tão direta, a menos que se represente de forma aproximada. Porém há caminhos alternativos. Siga os passos indicados e represente, na reta numérica, o número irracional representado por 2 .
1 unidade
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
= 12 + 12 d2 = 1 + 1 d2 = 2 d = 2 (d>0) d2
Pedir aos alunos que providenciem um compasso e uma régua para esta aula. O exercício 04 tem por finalidade mostrar a razão pela qual a construção realizada no exercício 3 resulta, de fato, na identificação do irracional 2 na reta. Fazer com que os alunos percebam esse fato estabelecendo essa relação.
64
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
05) O número representado pela letra do
alfabeto grego π indica o quociente entre o perímetro da circunferência e o seu diâmetro. Porém, apesar de ser obtido por meio de uma divisão, π é um número irracional. Explique o motivo pelo qual isso acontece. Apesar de π representar o resultado de uma divisão, os termos envolvidos nela não são, simultaneamente, inteiros. Assim, se a medida do diâmetro for dada por um número inteiro, o mesmo não ocorre com a medida do comprimento da circunferência, e vice-versa.
Exercícios Propostos 06) Considerando que a raiz quadrada de
08) Determine o número irracional que
um número real não negativo e não quadrado perfeito resulta num número irracional, quais das raízes a seguir são números irracionais?
corresponde à medida da diagonal do retângulo com lados medindo 2 u e 3 u e, depois, represente-o na reta r.
12 ;
12
;
91
49 ;
64 ;
;
;
104
91 ;
104 ;
32
32
2
–1
0
= d
3 1
1
2
3
4
5
r
13
No exercício 07, os resultados apresentados são apenas sugestões. Deixar claro que podem existir, considerando razões equivalentes, infinitas soluções possíveis.
07) Um número será considerado racio-
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
nal se puder ser escrito sob a forma de uma razão entre dois inteiros. Com base nisso, represente cada número racional a seguir como uma razão entre dois inteiros.
d2
a. 0,7 =
7 10
b. –5 = − c. 1,07 = d.
3
1 4
=
= 22 + 32 d2 = 4 + 9 d2 = 13 d = 13 (d>0)
10 2 107 100 13 4
2 2 5 1 P 9 F E
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Matemáca \ Ação e reação
Avidades 20 e 21 • Potenciação e o expoente zero
Exercícios de Aplicação 01) No texto teórico, tivemos a oportuni-
dade de estudar o que ocorre quando uma potência tem expoente zero. Vimos isso de forma algébrica. Neste exercício, vamos verificar essa mesma propriedade fazendo uso de uma sequência numérica. Acompanhe os passos. a. Complete a tabela com o valor de cada potência. 25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
b. De uma linha para a próxima, o que
ocorre com o valor do expoente? E com o valor da potência? O expoente diminui 1 unidade e, consequentemente, pelo fato de a base ser 2, a potência é dividida por 2.
c. Considerando sua conclusão no
item anterior, complete, de maneira coerente, a tabela com a próxima linha. 20
23
8
22
4
21
2
20
1 1
2 –1
2
1
2 –2
4
Sem utilizar propriedades da potenciação, como é possível chegar ao valor de 2 –1 apenas tomando como base o valor da linha superior? Uma vez que o expoente diminuiu 1 unidade, basta dividir a potência por 2.
03) Faça uso das propriedades da poten-
ciação e determine o valor numérico de cada expressão. a. 3 –2 ˸ 3 –1 3 –2 ˸ 3 –1 = 3 –2 – (–1) = = 3 –2 + 1 = = 3 –1 =
1 3
1
02) Ainda no texto teórico, mostramos al 2 2 5 1 P 9 F E
gebricamente o que ocorre com o valor da potência quando ela apresenta o expoente inteiro negativo. Agora, considerando a tabela, complete-a seguindo o padrão existente entre expoente e valor da potência e responda ao que se pede. Nas duas últimas linhas, escreva a potência sob a forma de fração.
b. (–2)8 · (–2) –10 (–2)8 · (–2) –10 = = (–2)8 + (–10) = = (–2)8 – 10 = = (–2) –2 =
1
= 2
(−2)
1 4
66
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
d. [(–3) · (–2)] –2
3
c. (2−1 )
= 2(−1) ⋅ 3 = 2−3 1
=
2
3
=
−2
[( −3) ⋅ ( −2)]
1
=
8
1 (−3)
2
1
⋅
(−2)2
1 1
1
9 4
36
= ⋅ =
No exercício 04, o ob jetivo é apenas reforçar o fato de que, qualquer que seja a base real não nula elevada a zero, a potência será sempre 1.
= ( −3) −2 ⋅ ( −2 )−2 = =
04) Determine o valor de cada potência a seguir. 1
a. 150 =
1
b. (–15)0 = 0
c.
1 = 15
d.
(
1
0
15
) =
1
Exercícios Propostos Por meio de expressões como a apresentada no exercício 05, o aluno tem a oportunidade de retomar conteúdos elementares, como a divisão de frações. Verifique se o grupo está seguro sobre a resolução desse tipo de expressão. Se necessário, propor expressões semelhantes para que possam treinar.
05) Determine o valor numérico da se-
06) Determine o valor numérico da se-
guinte expressão:
guinte expressão: 1 2 1 3
1 2 1 3
= O exercício 06 tem por objetivo avaliar a atenção do aluno, que deverá perceber que toda a expressão está elevada a 0. Logo, o resultado será 1. Comente também que é importante verificar, ainda que por estimativa, se a base dada pela expressão indicada entre colchetes não será zero.
−1 + −
1 2
=2 2
6
− +
2
6 3 5
=−
4 + (−5)3 ÷ 6 −2 ⋅ (1,5)−1
0
+ 2−
1
0
1
2 2 3
07) Considere a seguinte expressão:
=
(xn + y −n )2
6
1
5
=−
1
−2
3
6 ⋅ = 2 5
1 1
Determine o valor dessa expressão para x = 2, y = 3 e n = 2. (22 + 3 –2 )2 = 2 1 = 4 + 2 = 3 2
1 = 4 + = 9 2
36 1 = + = 9
9
2
37 1.369 = = 9
81
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Matemáca \ Ação e reação
08) Considere uma relação com inverso
do quadrado dada por: y=
1 4x
2
, x ≠ 0
Mostre, utilizando propriedades das potências, que uma forma equivalente de se escrever essa relação é dada por y = (2x) –2.
y= y= y=
1 4x2 1 22 ⋅ x 2 1 (2x)2
y = (2x)−2 y=
(2x)0 (2x)2
y = (2x)0 − 2 y = (2x)−2 , para x ≠ 0
Avidades 22 e 23 • Notação cienfica
Exercícios de Aplicação 01) A velocidade da luz no vácuo é difícil
02) Considerando-se que a distância média
de se imaginar, pois é de aproximadamente 300.000.000 m/s, ou seja, a luz percorre uma distância de 300 milhões de metros em apenas 1 segundo!
entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros, quantos segundos um feixe de luz que foi emitido pelo Sol demora para chegar ao nosso planeta? E quantos minutos? Realize os cálculos fazendo uso da notação científica. (Dado: velocidade da luz = 3 · 108 m/s)
K C O T S R E T T U H S / K O T Y K K I
Temos que a velocidade da luz é de aproximadamente 3 · 108 m/s ou 3 · 10 5 km/s. Por outro lado, a distância considerada (Terra-Sol) é de aproximadamente 150.000.000 km ou 1,5 · 108 km. Agora, efetuamos uma divisão: 1, 5 ⋅10 8
N
3 ⋅105
Feixe de luz partindo da lâmpada de uma lanterna.
Escreva essa velocidade em quilômetros por segundo, usando a notação científica. 300.000.000 m/s = 300.000 km/s 300.000 = 3 · 10 5 A velocidade é de 3 · 10 5 km/s.
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=
1, 5 108 3
⋅
105
= 0, 5 ⋅10
3
Assim, o tempo será de 0,5 · 10 3 ou 500 segundos. 500 : 60 = 8 e resto 20 Portanto o feixe de luz demorará 500 segundos ou 8 minutos e 20 segundos para chegar ao nosso planeta.
É interessante comparar os resultados obtidos nos exercícios 01 e 02. Apesar de ser muito rápida, a velocidade da luz nos mostra quão distantes estamos do Sol. Afinal, mesmo com uma velocidade de 300 mil km/s, esta “viagem” demora cerca de 8 minutos.
68
Capítulo 3 – Números reais \ Grupo 2
03) Escreva cada número a seguir sob a
forma de uma potência de base 10. a. 100 =
102
b. 100.000 =
105
c. 0,0000001 =
10 –7
d. 0,0000000001 =
10 –10
04) Considere que a massa de 1 átomo
de oxigênio seja de aproximadamente 2,7 · 10 –23 g. Com base nisso, qual deverá ser a massa aproximada de 8 · 1020 átomos de oxigênio? 8 · 1020 · 2,7 · 10 –23 = = 8 · 2,7 · 10 20 · 10 –23 = = 21,6 · 10 –3 = 0,0216 A massa será de 0,0216 g
05) Escreva cada notação a seguir sob a
forma de um número inteiro ou decimal. a. 3 · 109 =
3.000.000.000
b. 5,12 · 106 = c. 9 · 10 –7 =
5.120.000 0,0000009
d. 1,023 · 10 –5 =
0,00001023
Exercícios Propostos 06) Escreva cada número a seguir sob a
forma de notação científica. a. 56.000 = b. 32.000.000 =
5,6 · 104 3,2 · 107
c. 0,0000056 =
5,6 · 10 –6
d. 0,0000000197 =
1,97 · 10 –8
b. (1,1 · 10 –9) · (1,6 · 10 –11) 1,1 · 10 –9 · 1,6 · 10 –11 = = 1,1 · 1,6 · 10 –9 · 10 –11 = = 1,76 · 10 –20
07) Utilizando propriedades da potencia-
ção, efetue os cálculos e dê a resposta sob a forma de notação científica. a. (8 · 10 –18) · (1,5 · 1023) 8 · 10 –18 · 1,5 · 1023 = = 8 · 1,5 · 10 –18 · 1023 = =12 · 105 = 1,2 · 106
(7, 5 ⋅1017 )
c.
7, 5
(2, 5 ⋅10 −15 )
⋅
1017
2, 5 10−15
= 3 ⋅ 10
32
2 2 5 1 P 9 F E
69
Matemáca \ Ação e reação
08) Saturno é o sexto planeta do Sistema
Solar, com órbita localizada entre as órbitas de Júpiter e Urano.
K C O T S R E T T U H S / T A R D A V C
2 2 5 1 P 9 F E
Considere Saturno uma esfera de diâmetro 120.000.000 m. Em notação científica, a medida do diâmetro de Saturno, em metros, é representada por: a. 1,2 · 107 d. 1,2 · 1010 8 e. 1,2 · 1011 R.: B b. 1,2 · 10 c. 1,2 · 109 09) Escreva as expressões a seguir sob a
forma de notação científica. a. 23 · 1023 =
2,3 · 1024
b. 10,6 · 10 –11 = 1,06 · 10 –10 c. 0,06 · 1031 =
6 · 1029
d. 0,95 · 10 –15 =
9,5 · 10 –16
No exercício 08, convertendo o diâmetro em notação científica, obtemos: 120.000.000 = 1,2 · 10 8
Capítulo
4 • O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
Radiciação Radiciação
No capítulo anterior, retomamos o estudo da potenciação. Considerando que toda operação matemática que estudaremos possui uma operação inversa, temos que a radiciação é o inverso da potenciação. Por definição, temos que: Índice n
Radical n
a = b ⇔ b = a
Radicando
Raiz
O termo raiz, em Matemática, pode estar associado, segundo alguns historiadores, à ideia de origem. Para alguns matemáticos da Antiguidade, todo número quadrado tinha uma origem, da mesma forma que todo número cúbico, e assim por diante. Dessa maneira, eles acreditavam que: • a origem do 4 é 2, pois 2² = 4; Faremos, neste início de capítulo, uma revisão sobre os conceitos elementares envolvidos na radiciação. Na sequência, serão apresentadas as propriedades e operações com raízes, além da simplificação e racionalização de denominadores.
Observações
Se pensarmos em um número real que, elevado ao quadrado, resulta em 25, chegaremos a dois números: +5 e –5. (+5)² = 25 (–5)² = 25 No entanto, quando falamos em raiz quadrada, por definição, devemos buscar o número não negativo que, elevado ao quadrado, resulte no radicando. Raciocínio semelhante aplica-se para qualquer raiz de índice par. Além disso, o símbolo de radical sem o índice aparente ( ) indica, por definição, uma raiz quadrada. De maneira resumida, temos que, para um número real a qualquer: se a ≥ 0: n
a
=b⇔b =a n
• a origem do 49 é 7, pois 7² = 49. Nos casos apresentados anteriormente, teríamos a raiz (origem) quadrada. Se o número estiver elevado ao cubo, teremos a raiz (origem) cúbica, e assim por diante. O símbolo de radical ( ) seria uma variação da letra r, da palavra radix, com origem no latim.
r→ → → Aplicando a definição mostrada anteriormente, temos os seguintes exemplos:
=3⇔3 =9 125 = 5 ⇔ 5 = 125 5 −32 = −2 ⇔ (−2)5 = −32
I.
2
II.
3
III.
9
onde n é um número natural positivo e b é um número real não negativo. se a < 0:
devemos, neste caso, considerar duas possibilidades: n é par ou n é ímpar. • Para n inteiro e par: não definimos a
raiz nos reais (). • Para n inteiro e ímpar: a raiz é um nú-
mero real negativo.
2
3
Podemos observar que, para índice par, só existirá raiz de radicandos reais não negativos. Ao mesmo tempo, para índice ímpar, existirá raiz no conjunto dos reais, qualquer que seja o radicando real.
Cálculo de raiz por esmava ou ulizando-se a calculadora O cálculo de uma raiz pode ser feito por meio de algoritmos, ou por meio de estimativa ou com uso de uma calculadora. Além desses métodos, podemos fazer uso da decomposição do radicando em fatores primos. Falaremos sobre esse método logo após o estudo das propriedades da radiciação.
1 2 5 1 P 9 F E
71
Matemáca \ Ação e reação
Para o cálculo ser realizado por meio de estimativa, é importante que se tenham em mente as principais tabuadas. É por meio delas que podemos estimar valores de raiz para radicandos relativamente pequenos. Veja um exemplo: Determinar, com aproximação de 1 casa decimal, o valor de
20 .
primeiro pressionar a tecla para depois digitar o número referente ao radicando. Fazendo desta forma, temos o seguinte valor aproximado para
20 :
20 ≈ 4, 472135954999579
Esse valor é aproximado e dado pelas primeiras 15 casas decimais de infinitas existentes.
Resolução
A 20 é um número irracional. Vamos fazer uma primeira aproximação pensando em números inteiros: 4² = 16 5² = 25
Propriedades da radiciação Como toda operação matemática estudada anteriormente, a radiciação apresenta também algumas propriedades, no con junto dos números reais. Vejamos algumas dessas propriedades.
Portanto: 4
<
20
3
−27
c.
4
81
=
d.
2
25
>
e.
2
36
<
9 3
−125 100
06) Algumas raízes não pertencem ao
conjunto dos números reais. De acordo com o valor do índice e do radicando, é possível verificar se a raiz é real ou não. Com base nisso, escreva que condição deve existir para que a raiz seja pertencente ao conjunto dos números reais. Caso o índice da raiz seja par, o radicando deve ser positivo ou nulo. Sendo ímpar o índice, o radicando pode assumir qualquer valor real. Respeitadas essas condições, a raiz será pertencente ao conjunto dos números reais.
2 2 5 1 P 9 F E
77
Matemáca \ Ação e reação
Avidades 25 e 26 • Propriedades da radiciação Exercícios de Aplicação 01) Verificamos, na teoria, que existem
duas propriedades na radiciação sobre operações com radicais, sendo uma referente ao produto e outra referente ao quociente de radicais. Mas será que essas propriedades são válidas também para a adição e a subtração? Para responder a essa pergunta, considere os itens a e b. a. Calcule o valor de cada expressão apresentada a seguir isoladamente. Depois, verifique se a igualdade é, de fato, verdadeira, inserindo o sinal = ou ≠ entre elas, completan-
do adequadamente a frase. 3
1
+8
3
≠ 3
3
1
+
3
8
≠1+2 9 ≠3
As expressões mostradas não são equivalentes. Logo, a raiz de uma soma não é equivalente ,necessariamente, à soma das raízes. b. Faça como no item anterior. 16
−4
16
−
e.
3
4
≠ 4 −2 12 ≠ 2 12
f.
2 2 5 1 P 9 F E
a.
2
5
zar mais de uma propriedade. Acompanhe o exemplo: 3
6
2
⋅5 = 9
6
b.
3
c.
5
d.
2
7
9
= 5
11
= 7 = 343 3
6
6
5
=
52
= 5 = 125 3
3
9
5
=
3
Faça como no exemplo e dê o valor numérico de cada raiz. a. 2
⋅
74
2
7
2
36
⋅3
4
6
=
6
4
= 7 ⋅3 = = 7 ⋅3 = = 49 ⋅27 = = 1.323 2
2
2
3
3
b. 5
3
5
5
5 10
5
15
10
=
15
= = =
= 11
⋅
3
35 10
=
5
3
73
6
2
9
3
5 9
3
= 2 ⋅5 = = 2 ⋅5 = = 4 ⋅125 = = 500
= 3
3
2
03) No cálculo de uma raiz, pode-se utili-
02) Aplique as propriedades da radicia2
10 5
15
ção e determine o valor de cada raiz.
3
10
não são
As expressões mostradas equivalentes. Logo, a raiz de uma diferença não é equivalente necessariamente à diferença das raízes.
2
2 2 4 2 = = = 3 3 3 9
2
9
≠
3
2 = 3
3
2
5
27 25
=
78 No exercício 04, item d, verificar se os alunos fazem uso adequado dos parênteses.
Capítulo 4 – Radiciação \ Grupo 2
04) Em cada item a seguir, transforme o
radical na forma de uma única potência com expoente fracionário. a.
No exercício 06, comentar também que se trata de operações inversas (a raiz enésima elevada à enésima potência). Assim, anulam-se. Exemplificar que pode ser entendido como “adicionar n e subtrair n” ou “multiplicar por n e dividir por n”.
5
c.
3
=
5
3
2
a
=
3
7.776
3
=
4
729
3
6
=
4
9
3
d.
94
diciação e da potenciação já estudadas,
1
7
5
=
06) Com base nas propriedades da ra-
3
7 =
b. c.
2
2
63
n
mostre que (
2
n
a
) = a, para a > 0, e n ∈ *.
2
=
a3 4
4
1 1 = 2 2
n
( a ) = (a ) 1
n
n
1
=a
n
n
⋅n
=a =a 1
3
d.
3
05) Escreva cada potência na forma de
um radical com radicando inteiro. 2
a.
5 3 =
b.
74
3
=
2
5
3
25
1
=
4
1
7
=
4
7
Exercícios Propostos 07) Considerando as propriedades da radiciação e dois números positivos, x e y,
09) Simplifique cada expressão a seguir,
escrevendo-a na forma de um único radical.
identifique quais igualdades a seguir são verdadeiras e quais são falsas. x2 + y2
a.
15
a.
⋅
15 6
x2 ⋅ y2
b.
9
= x⋅y
6
9
= x+ y
Falsa
⋅ 90
=
=
9
10
Verdadeira
x⋅x = x
c.
Verdadeira
d.
x
−
y
=
x
−y
2
⋅
16 5
Falsa
⋅
16
b.
⋅
2 8
⋅
5 8
80
=
16
=
5
08) Fazendo uso das propriedades da ra-
diciação, determine o valor numérico da potência indicada:
3
c.
3
2
8
3
=?
3
3 2
8
3
=
3
2
8
=
3
64
=4
⋅
5 4 10
⋅
5
4
10
3
=
3
3
20 10
=
20 3
10
=
3
2
2 2 5 1 P 9 F E
79
Matemáca \ Ação e reação
ciação, escreva cada expressão na forma de uma única potência e, em seguida,escreva na forma de um único radical. 1
2
a. 1
2
2
+
2
1 3
3
b. 1
3
2
−2
÷3
2
5
=3
5
10
−
5
4
1
=3 =
10
10
10
3
=
1
10
3
1
⋅2 3
=2
2
1
10) Aplicando as propriedades da poten-
6
+
2 6
3
5
=2 = 6
6
5
2
=
6
32
−1
11) A potência
1 é equivalente a: 8 3
a. –3 b. 8 R.: C c. 2
d. –2 e. 3
No exercício 11: −1
1
1 = 8 = 8 1 3
3
1
8 = = 1 3
3
8
=2
Avidade 27 • Simplificação de radicais
Exercícios de Aplicação 01) Veja o cálculo aproximado da raiz
02) Simplifique os radicais a seguir.
quadrada de 30. O valor aproximado será: 30
=
2⋅
3⋅ 5
a.
≈ 1, 4⋅ 1, 7 ⋅2, 2 = 5, 236
2
5
50
⋅2 =
⋅
2
=5
⋅
2
=
=3 ⋅
2
=9
2
=3⋅
2
5
2
No entanto, com auxílio de uma calculadora que possui a função de raiz quadrada, chega-se ao seguinte valor aproximado: b.
30 ≈ 5, 47722558
Podemos perceber que os valores obtidos não são exatamente iguais. A que se deve esta diferença? O que poderia ser feito, no primeiro cálculo, para que esta diferença fosse menor?
2 2 5 1 P 9 F E
No cálculo apresentado para obtenção da raiz quadrada de 30, foram utilizados três valores já aproximados com apenas uma casa decimal cada um. Assim, se utilizarmos aproximações com mais casas decimais para cada um dos fatores obtidos, o resultado final será mais próximo do valor correto obtido com o uso da calculadora.
3
4
162
⋅2 =
3
4
4
=3 ⋅ 2
3
c. 3
3
3
2
10
2
2
54
⋅2 =
d.
2
3
3
3
⋅
3
3
2
5.120
⋅5 =
⋅
5
=
=2 ⋅
5
= 32
10
2
10
=2 ⋅ 2
5
5
5
É importante que os alunos escrevam todas as passagens na simplificação de um radical. Desta forma, compreenderão melhor como isso ocorre e memorizarão as propriedades.
80
Capítulo 4 – Radiciação \ Grupo 2
Para o exercício 03, verificar se os alunos lembram-se dos casos de produtos notáveis e fatoração do trinômio quadrado perfeito.
03) Cada um dos radicandos a seguir
apresenta um trinômio quadrado perfeito. Considerando que as variáveis contidas nos radicandos são positivas, fatore-os e simplifique cada radical. 2
2
a
+ 2a + 1 , a ≥ −1
a
a.
+ 2a + 1 =
(a + 1)
4x 2 + 4x + 1 , x ≥ −
b.
4x
2
1 2
2
+ 4x + 1 = (2x + 1) = 2x + 1 9m2 − 12m + 4 , m ≥
c.
= a +1
2
9m2
2 3
2
− 12m + 4 = (3m − 2) = 3m − 2
Exercícios Propostos No exercício 04, item C, verificar se os alunos estão escrevendo a expressão (x – 4) sem o sinal de parênteses. Mostre que, desta forma, apenas o 4 estará multiplicando o radical.
04) Considerando que os radicandos a se-
guir não são negativos, simplifique ao máximo cada radical. 4m2p6 y , m ≥ 0, p ≥ 0 e y ≥ 0
a.
2 ⋅ m ⋅p 2
2
6
⋅y =
⋅
m
= 2mp3
y
2
2
2
⋅
p
6
⋅
y
=
6
= 2 ⋅m ⋅p 2 ⋅
y
3x 2 − 24x + 48 , x ≥ 4
c.
− 8x + 16) = 3(x − 4 )2 = = 3 ⋅ (x − 4)2 = (x − 4) ⋅ 3 3(x
9a5b3
b.
,a>0 e b>0
ab 5
9a b ab
2
3
=
4
2
9a b
=
9
⋅
a4
⋅
b2
=
4
No exercício 05: 3
250
= 5 = 5⋅ 3
3
3
= ⋅
3
2
3
⋅ =
53 2
2
=
= 3 ⋅ a ⋅b = 3a b 2
2
05) Pode-se dizer, corretamente, que a
raiz cúbica de 250 equivale: a. ao dobro da raiz cúbica de 5. b. ao triplo da raiz cúbica de 5. c. à metade da raiz cúbica de 5. R.: D d. ao quíntuplo da raiz cúbica de 2. e. ao dobro da raiz cúbica de 2.
2 2 5 1 P 9 F E
81
Matemáca \ Ação e reação
Avidades 28 e 29 • Aplicando conhecimentos Exercícios de Aplicação 01) Tomando por base a fórmula d = L
2,
03) Na natureza, é relativamente comum
que relaciona a medida L do lado de um quadrado e sua diagonal d, mostre que, qualquer que seja o quadrado, a medida de sua diagonal é aproximadamente 41% maior que a medida de seu lado.
encontrarmos elementos cujo formato sugere uma espiral.
2
S / K O R C T T O T O E S F L R E K R E E B G T T O I S N U K H M G S E N G U A H T C N O E D M
≈ 1, 41. Assim, substituindo 2 por seu
valor aproximado, temos: d=L 2 d ≈ L ⋅1, 41
Multiplicar um valor (L) por 1,41, significa aumentar esse valor em 41%: 1,41 = 1 + 0,41 = 100% + 41%
02) Considerando que, em um triângulo
Elementos que lembram a formação de espirais são encontrados na natureza.
Na Matemática, são estudados vários tipos de espiral. Uma das mais conhecidas tem como base a formação de triângulos retângulos com pelo menos um de seus catetos medindo 1 u. Veja esquema:
equilátero de lado L, a medida de sua altura h é dada por h =
L
3 2
1
1
, mostre que a área
L
3 4
?
. 1
L
3
1
1 1
, temos:
1
2
L A
=
⋅
L 2 2
L2 A
2 2 5 1 P 9 F E
A
A
=
3
L2
⋅
2 3 4
2
y2
2
2
3 1
L2
(II) = 12 + ( y2 = 1 + 2 y2 = 3 y= 3
(I) = 1 + 1 x = 1+1 x =2 x= 2 2
2
2
1
1
Sobre essa figura, faça o que se pede. a. Determine a medida de x, y, z e w. x2
2
= =
3
1
1
?
1
A área de um triângulo pode ser obtida pela metade do produto da base pela altura. Assim, considerando base L e altura
x
?
A dessa mesma figura pode ser obtida por meio da fórmula A =
y
z
w
1
2
1
1
(III)
=1 +( z =1+3 z =4 z= 4 z
2 2 2
2
2
3
)
(IV)
2
2
=1 +( w = 1+ 4 w =5 w= 5 w
2 2 2
2
)
2
4
)
No exercício 03, item a, embora 4 seja um número inteiro, é importante deixar a medida indicada na forma de radical para que se possa observar toda a regularidade.
82
Capítulo 4 – Radiciação \ Grupo 2
b. De acordo com os valores encon-
trados no exercício anterior, após o cateto de medida w, quais devem ser as medidas dos próximos 3 catetos na figura dada? De acordo com a regularidade observada,
Com isso, determine o tempo de queda de um objeto que foi abandonado de uma altura de: a. 5 m t
⋅
5 5
=
5
devemos ter as medidas: 6 , 7 e 8 . t
t
25
=
5 5
= =1 5
O tempo de queda será de 1 s.
b. 20 m t
04) Um corpo, quando abandonado em
queda livre, como um paraquedista antes de acionar seu paraquedas, tem seu tempo de queda calculado com base na altura em que foi abandonado. K C O T S R E T T U H S / R E V I D Y K S N A M R E G
t
t
= = =
⋅
5 20 5 100 5 10 5
=2
O tempo de queda será de 2 s.
05) Na fórmula sobre a queda livre de um
corpo t = Paraquedista em queda livre, antes de acionar o paraquedas.
No capítulo 2, sobre representação gráfica de proporções, já ilustramos a situação apresentada nos exercícios 04 e 05. Talvez seja o momento oportuno para retomar a discussão sobre proporções.
Na verdade, outros fatores podem ser levados em consideração, como a resistência do ar. No entanto, considerando condições ideais, temos a fórmula: t
=
5a 5
t = tempo, em segundos; a = altura em que o corpo foi abando-
nado, em metros.
5a 5
, as grandezas t (tempo) e a
(altura) são diretamente proporcionais? Explique. As grandezas t (tempo) e a (altura) não são diretamente proporcionais, uma vez que, ao multiplicar-se a altura por 4, o tempo foi apenas duplicado.
2 2 5 1 P 9 F E
83
Matemáca \ Ação e reação
Exercícios Propostos 06) Ao traçarmos algumas das diagonais
07) Os pontos M, N, P e Q são os pontos
de um hexágono regular, que passam, particularmente, pelo centro da circunferência que o contém, podemos observar que ele se divide em seis triângulos equiláteros cujo lado tem a mesma medida que o lado do hexágono. Observe o esquema:
médios de cada um dos lados do quadrado ABCD. Com isso, temos a construção do quadrado MNPQ. D
P
C
Q
N
A
M
Considerando essa figura, faça o que se pede. a. Se chamarmos o perímetro do quadrado ABCD de P 1 e o perímetro do quadrado MNPQ de P2, mostre que a seguinte relação é verdadeira:
Lado do hexágono regular = lado do triângulo equilátero
Assim, considerando que um hexágono regular tenha seu lado medindo 2 2 metros, qual deverá ser a medida de sua área? 2
A
∆ =
L
3 4 2
A∆
(2 2 ) ⋅ =
A∆
A
=
∆ =
A∆
3
4
2
2
⋅(
2
)⋅
3
⋅ ⋅
4 2
=2
d
2
= 6 ⋅ A∆ = 12
P1
= ⋅
P
3
Ahexágono
⋅
2
2
2
Ainda, d é a medida do lado do quadrado MNPQ. Logo, temos que P 2 = 4 · d, ou seja:
4
= 6 ⋅2
P1
8
3
Ahexágono
=
Chamamos de d a medida da diagonal QP do quadrado de lado DP. Por outro lado, temos que DP corresponde à oitava parte do perímetro P1. Logo, podemos estabelecer a seguinte relação: d = (DP) ⋅ 2
4
Ahexágono
P
2
3 3
Portanto, a área pedida será de 12 2 2 5 1 P 9 F E
P
2
2
B
3 m².
P = 4 ⋅ ⋅ 8 P ⋅ 2 = 1
1
2
2
Exercícios como 06 e 07 exemplificam a relação existente entre o estudo de raízes, na álgebra, e elementos da geometria.
84
Capítulo 4 – Radiciação \ Grupo 2
b. Qual deverá ser a medida do pe-
rímetro do quadrado MNPQ se o perímetro do quadro ABCD mede 50 cm? P
2
=
2
=
P2
=
P
P
2
=
⋅
P1
2
2 50
⋅
2
2 100 2 10 2
09) Qual é a medida da diagonal de um
=5
quadrado cujo lado mede
O perímetro do quadrado MNPQ será de 5 cm.
=L⋅ 2 d = 72 ⋅ d = 144 d = 12
72 cm?
d
2
A diagonal mede 12 cm.
08) Qual é a medida da altura de um triân-
gulo equilátero cujo lado mede h
h
h
h
=
L
⋅
12 m?
3 2
12
=
⋅
3
2 36
=
2 6
= =3 2
A altura será de 3 m.
2 2 5 1 P 9 F E
Operações com radicais Adição e subtração com radicais Na adição e subtração de radicais, devemos considerar o conceito de radicais semelhantes. Para isso, chamaremos de radicais semelhantes àqueles que tenham o mesmo radicando e o mesmo índice. Com base nisso, tanto a adição quanto a subtração de radicais seguem um dos três casos seguintes: 1º) Todos os radicais da expressão são semelhantes.
Neste caso, adicionamos os fatores que estão externos aos radicais e mantemos o radical comum. Exemplo 3 2 + 5 2 −2 2
= (3 + 5 − 2)
2
=
=6
2
Podemos comparar essa operação com o cálculo algébrico em que cada radical pode ser entendido como um fator comum. Se substituirmos 2 por x, teremos:
3º) Nem todos os radicais da expressão são semelhantes.
Efetuamos as adições e subtrações dos radicais semelhantes e apenas repetimos os termos com radicais não semelhantes. Exemplo
+ 2 3 − 45 + 5 3 +2 20 = = 5 + 2 3 − 3 ⋅5 + 5 3 + 2 2 ⋅ 5 = = 5 + 2 3 − 3 5 + 5 3 + 2 ⋅2 5 = = 5 +2 3 −3 5 +5 3 + 4 5 5
2
6x = 6 2 2º) Todos os radicais da expressão podem ser transformados em radicais semelhantes.
Devemos simplificar alguns radicais de tal forma que fiquem com radicandos iguais em todos os termos. Exemplo 1 2 5 1 P 9 F E
7 12 + 8 3 − 75
(
5
−3
5
+4
5
) + (2
3
+5
3
)
Finalmente, adicionando e subtraindo os temos semelhantes, chegamos a: 5
+7
3
Observação
Conforme a necessidade do problema, podemos ainda extrair cada uma das raízes de forma aproximada. Com isso, chegaremos a um valor numérico aproximado para a expressão dada. Exemplo 2 + 2 3 ≈ 1, 41 + 2 ⋅ 1, 73 =
= 1, 41 + 3, 46 = = 4 , 87
=
= 7 22 ⋅3 + 8 3 − 52 ⋅3 = = 7 ⋅2 3 + 8 3 − 5 3 = = 14 3 + 8 3 − 5 3 = = (14 + 8 − 5) 3 = 17 3
5 • O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
Repare que nesta última linha, após as devidas simplificações, temos termos com radicando 5 e termos com radicando 3. Por meio das propriedades comutativa e associativa da adição, podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:
2
3x + 5x – 2x = = (3 + 5 –2)x = 6x Como x = 2 , então:
2
Capítulo
Mulplicação, divisão e potenciação com radicais Vejamos agora as operações de multiplicação e divisão com radicais, além da potenciação.
É importante que os alunos façam uma comparação entre radicais semelhantes em uma expressão numérica e fatores comuns em expressões algébricas. Dessa forma, podem compreender melhor cada um dos temas apresentados.
86
Capítulo 5 – Operações com radicais \ Grupo 2
Mulplicação
= 3 ⋅(3 − 3 ) A = 3⋅ 3 − 3 ⋅ 3 A=3 3− 9 A = ( 3 3 − 3) cm A
A multiplicação de radicais de mesmo índice ocorre por meio da recíproca da propriedade já estudada anteriormente:
2
n
⋅ =
a b
n
⋅
a
n
b
Com a e b reais não negativos, n é natural e positivo. Observe os exemplos: a.
3
5
⋅
3
7
=
3
5 7
b.
4
2
⋅
4
8
=
4
2 8
c.
1 2
⋅
1 50
=
3
35
⋅ =
4
16
⋅
1
2 50
A
= (3
=2 1
=
100
=
a n
10
Aplicação na geometria
b
(3 – 3) cm
Vamos determinar a medida de sua área. Para isso, devemos multiplicar a base pela altura: Nos Exercícios de Aplicação, trabalharemos uma forma algébrica de mostrar que a propriedade da potenciação é válida.
3
− 1) cm
2
=
n
a
n
b
3
a.
3
b.
4
20 4
=
250 125 72 2
20 3
4
=
250 4
125 72
=
=
2
3
5
=
=
4
2
36
=6
Potenciação A potenciação de radicais é realizada de acordo com a seguinte propriedade:
3 cm
3
(
Exemplos:
c.
⋅(3 −
ou 3
Com a real não negativo, b real positivo e n natural positivo.
Consideremos o seguinte retângulo, com suas dimensões:
3
2
1
4
=
− 3) cm
A divisão também ocorre por meio da recíproca de uma das propriedades da radiciação estudadas anteriormente:
Observe, por meio dos dois últimos exemplos, que a multiplicação de radicais pode ser particularmente útil nos casos em que os fatores, isoladamente, não determinam raiz exata mas que, ao se multiplicarem, geram um produto cuja raiz é exata.
A
3
Divisão
⋅ =
1
Podemos ainda, nesse caso, fatorar a expressão, colocando o fator comum (3) em evidência:
)
Para esse cálculo, fazemos uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, da mesma forma que fazemos para qualquer outro número real.
(
m
p
an
) =
m
⋅ anp
Com a real positivo, m, n e p naturais. Observe que elevar um radical a um expoente p equivale a elevar o radicando a esse mesmo expoente. Neste caso, o expoente do radicando é multiplicado pelo expoente do radical.
1 2 5 1 P 9 F E
87
Matemáca \ Ação e reação
Exemplos d.
(
3
7
e.
(
4
9
2
+
= 2+ = 2 + 18 = 2 + = 2 +3 2 = 4 2 2
5
) = 3
) =
4
3
⋅
25
7
⋅
1 3
9
= =
3
4
10
7
9
f.
⋅
12
Expressões com radicais Ao longo do estudo das operações com radicais, pudemos analisar diferentes expressões. Nesse sentido, percebemos que o cálculo com radicais deve ser realizado com base em propriedades, respeitando-se a ordem de resolução de operações, sobretudo quando, no radicando, temos uma expressão. Um radical com radicando e índice dados por números reais é, também, um número real. Assim, a ordem de resolução de uma expressão com radicais segue a ordem de resolução de expressões numéricas como qualquer outro número real. Vamos observar alguns exemplos que ilustram a resolução de algumas expressões. a.
2
+
6
⋅
3
Efetuamos primeiramente a multiplicação e, depois, a adição:
1 2 5 1 P 9 F E
3
⋅ = ⋅2 =
6 3 32
62
− 5⋅ 4
2
1 1 = = 5 5 5
1
⋅
3
b. 2
6
Neste caso, o radicando apresenta-se sob a forma de uma expressão numérica. Assim, resolvemos a expressão indicada no radicando e, depois, extraímos a raiz do resultado.
− 5⋅ 4 = = 36 − 20 = 62
c.
5
3.125
− 5⋅4 = 16 = 4
36
+(
3
3
32
) +
3
512
−
54 3
2
2
Simplificamos primeiramente os radicais para depois adicionar ou subtrair. Finalmente, elevamos o resultado ao quadrado.
3.125 + ( 32 ) + = [ 5 + 32 + 2 − 5
3
3
5
5
9
3
2
3
3
512
−
54 3
2
2
27
] =
2
= [5 + 32 + 2 − 3 ] = = [5 + 32 + 8 − 3] = [ 42 ] = 1.764 3
3
3
2
2
=
É sempre importante lembrar os alunos, ainda que estejam no 9º ano, de que uma expressão deve ser resolvida com calma, escrevendo todos os passos. Com isso, diminui-se a possibilidade de erros, bem como fica mais fácil localizar possíveis erros cometidos.
Capítulo
5 • O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
Operações com radicais Avidades 30 e 31 • Adição e subtração com radicais Exercícios de Aplicação 01) Um determinado retângulo tem as
c.
medidas de seus lados indicadas no esboço a seguir.
2 6
3
6
−
+ 12 6 − 6 − 5 = (2 + 12 − 5 ) 6 = =9 6 3
3
3
3
3
6
6
+
−5
3
3
=
6
6
+
3
6
3
3
) 3 + 2) cm
03) Quando possível, simplifique os radicais
e, depois, efetue as adições e subtrações.
) 12 + 1) cm
Com isso, determine a medida do perímetro desse retângulo. ⋅ ( 12 + 1) + 2 ⋅ ( 3 + 2) = 2 12 + 2 + 2 3 + 4 = = 2 2 ⋅3 + 2 3 + 6 = = 2 ⋅2 3 + 2 3 + 6 = = 4 3 +2 3 +6 = = (6 3 + 6 ) cm 3
+8
3
2 16
3
2
⋅ +8 2 = = 2 ⋅2 2 + 8 2 = = 4 2+8 2 = = 12 2 3
3
2 23 2
3
3
3
3
2
O perímetro mede (6
a.
3
2
Para o cálculo do perímetro dos retângulos apresentados nas atividades 30 e 31, permitir que o aluno escreva a expressão de outras formas, como indicando a soma das quatro medidas ou calculando o dobro da soma de duas dimensões.
+ 12
3
2 6
+ 6 ) cm .
b.
−5
3
+ 13
12
−5 3 + 13 2 ⋅ 3 = = −5 3 + 13 ⋅2 3 = = −5 3 + 26 3 = = 21 3 2
02) Efetue as expressões e indique o re-
sultado sob a forma simplificada. 3
a.
4
+3
= (1 + 3 − 5) =− 4
3
3
4
−5
4
3
4
=
3
c. 4
3 2
b.
17
4
5
− 20
= (17 − 20 −1 ) = −4 5 4
4
5
4
=
5
−
4
5
4
4
32
−7
4
− 2 2 ⋅2 − 7 3 ⋅2 = 2 − 2 ⋅2 2 − 7 ⋅3 2 = 2 − 4 2 − 21 2 =
=3 =3 = −22 4
−2
4
3 2 4
4
4
4
4
4
2
162
4
4
4
2 2 5 1 P 9 F E
89
Matemáca \ Ação e reação
04) Efetue as expressões a seguir, simplifi-
cando ao máximo o resultado. a.
5
+2
3
= 5 − 3 5 −2 = −4 5 + 9 3
−3
5
+2
+7
5 3
+7
−2
3 3
5
=
= = =
b.
3
5 2
−3
3
27
−6
3
54
+ 10
3
c.
=
3
2
⋅
3
6 3 3 6 3 3
+
+
+3
5
⋅
6 3 5 6
18 5
+2
6 3
−
−
−
3 5 3
⋅
2 3 5 6
6
5 6
+ 18
+
5
+
+
2
−6
3 6 5
6 5 3
+ 12
2
3 6
2
3 6
=
=
=
5
6
− 3 3 − 6 3 ⋅2 + 10 = = 5 2 − 3 ⋅ 3 − 6 ⋅3 2 + 10 = = 5 2 − 9 − 18 2 + 10 = = −13 2 + 1 3
3
5 2
3
3
3
3
3
3
3
3
Exercícios Propostos 05) Determine a medida do perímetro de
b.
cada retângulo a seguir. a. )2 5 – 1) cm
) 2 + 3) cm ) 20 + 2) cm
⋅ (2 5 − 1) + 2 ⋅ ( 20 + 2) = = 2 ⋅2 5 −2 + 2 ⋅ 20 + 4 = = 4 5 −2 + 2 ⋅ 2 ⋅5 + 4 = = 4 5 − 2 + 2 ⋅2 ⋅ 5 + 4 = = 4 5 −2 + 4 5 + 4 = = 4 5 −2 + 4 5 + 4 = = 8 5 +2
)3 8 + 1) cm
2
⋅(3 8 + 1) + 2 ⋅ ( 2 + 3) = = 2 ⋅3 8 + 2 +2 ⋅ 2 +6 = = 6 2 ⋅2 +2 +2 ⋅ 2 + 6 = = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 +2 2 + 6 = = 12 2 + 2 + 2 2 + 6 = = (14 2 + 8)
2
2
2
O perímetro será de (14 2 2 5 1 P 9 F E
2
+ 8) cm .
O perímetro será de ( 8
5
+ 2) cm.
90
Capítulo 5 – Operações com radicais \ Grupo 2
No exercício 07, perímetro de ABCD:
+ = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅2 + + 5 ⋅ 2 + 2 ⋅2 = = 3 2 +2 ⋅ 2 + + 5 2 +2 2 = =3 2 +4 2+ + 5 2 +2 2 = = 14 2 18
+
32
+
50
2
4
2
2
8
=
2
06) Em uma adição de duas parcelas,
a soma é dada pela expressão
2
+ 3. Se
uma das parcelas é 18 − 2, que expressão indica a outra parcela? Chamando de x a parcela desconhecida, temos: x
+
18
−2 =
2
07) Admita que, no quadrilátero ABCD
a seguir, a medida do segmento 18 ,
a medida do segmento BC seja
a medida do segmento
CD seja
32 ,
50
ea
medida do segmento DA seja 8 .
+3 B
Isolando a incógnita:
= 2 + 3 − 18 + 2 x = 2 + 3 − 3 ⋅2 + 2 x = 2 + 3 − 3 2 +2 x = −2 2 + 5 x
A
2
D
A outra parcela é dada pela expressão
−2
2
+5.
C
Podemos afirmar que o perímetro do quadrilátero ABCD é: a.
10 2
d.
13 2
b.
11 2
R.: E e.
14 2
c.
12 2
08) A expressão
No exercício 08:
18
+
32
−7
d.
3
2 é
equi-
valente a:
⋅ + 2 ⋅2 − 7 2 = = 3 2 +2 2 − 7 2 = = 3 2 +4 2 −7 2 = =0 32 2
AB seja
4
a. 2 2
2
b. 2 R.: C c. 0
e.
2
3
Avidades 32 e 33 • Mulplicação, divisão e potenciação com radicais Exercícios de Aplicação 01) Na teoria, vimos que a potenciação
de radicais ocorre de acordo com a propriedade:
(
m
p
n
a
) =
m
⋅
n p
a
Faça uso de outra propriedade da radiciação já estudada anteriormente e mostre que essa propriedade é, de fato, verdadeira. m
Podemos transformar o radical a em uma potência com expoente fracionário e, depois, aplicar propriedades da potenciação:
(
) = (a p
m
n
a
n
m
)
p
n
=a
m
⋅p
⋅
n p
=a
m
n
Escrevendo a última potência obtida novamente sob a forma de radical, temos:
(
an
⋅
n p
) =a = p
m
m
m
⋅
n p
a
2 2 5 1 P 9 F E
91
Matemáca \ Ação e reação
02) Faça uso dos casos de produtos notá-
03) Calcule a área do retângulo a seguir:
veis e desenvolva cada expressão a seguir. a.
( 2
2
( 2) +2⋅ = 2 +2 = 5+2
2
+
3
)
⋅ 3 +( 6 +3 = 2
) 3 + 2) cm
2
3
) = ) 12 + 1) cm
6
= ( 3 + 2) ⋅ ( 12 + 1) A = 3 ⋅ 12 + 3 + 2 12 + 2 A = 36 + 3 + 2 2 ⋅ 3 + 2 A = 6 + 3 + 4 3 +2 A = (8 + 5 3 ) cm A
2
2
b.
(
5
2
−
7
2
( 5) − 2 ⋅
5
⋅
)
7
+(
2
7
) =
= 5 − 2 35 + 7 = = 12 − 2 35
04) Um determinado retângulo tem uma
área de 2
3 m,
10 27
m². Se sua altura mede
qual deve ser a medida de sua
base? Chamando a base de B, temos:
⋅
B 2 3
= 10
27
Aplicando a operação inversa (isolando B), temos: B
c.
( 2
2
+
7 2
( 2) −( 7) = =2−7 = = −5
2 2 5 1 P 9 F E
)⋅(
2
−
7
) B
=
10 27 2
= 5⋅
3 27 3
= 5⋅ 9 B = 5 ⋅ 3 = 15 m B
Aproveitar o exercício 02 para revisar os principais casos de produtos notáveis. O produto da soma pela diferença será utilizado na racionalização de denominadores.
92
Capítulo 5 – Operações com radicais \ Grupo 2
05) Determine a medida da área de cada
b.
uma destas figuras. a. )2 5 – 1) cm ) 2 + 3) cm ) 20 + 2) cm )3 8 + 1) cm
= ( 20 + 2) ⋅ (2 5 −1 ) A = 2 5 ⋅ 20 − 20 + 2 ⋅2 5 − 2 A = 2 100 − 2 ⋅ 5 + 4 5 − 2 A = 20 − 2 5 + 4 5 − 2 A = (18 + 2 5 ) cm ou 2 (9 + 5 ) cm m A
= ( 2 + 3 ) ⋅ (3 8 + 1) A = 3 8 ⋅ 2 + 2 + 3 ⋅3 8 + 3 A = 3 16 + 2 + 9 2 ⋅ 2 + 3 A = 12 + 2 + 18 2 + 3 A = (15 + 19 2 ) cm A
2
2
2
2
2
Exercícios Propostos 06) Efetue as multiplicações de radicais a
seguir, simplificando o resultado sempre que possível. a.
3
⋅ ⋅ =
3 5 7
⋅
5
⋅
105
b. 3
3
⋅ ⋅
5
5 2 20
⋅
3
=
3
2
⋅
3
200
20
=
3
⋅
23 25
=2
3
25
7
2 2 5 1 P 9 F E
93
Matemáca \ Ação e reação
2
c.
⋅
9
⋅ ⋅ =
2 9 5
d. 4
4
2
⋅
90
4
⋅ ⋅ ⋅
2 2 6 10
2
=
⋅ =
⋅
4
08) As dimensões de uma propriedade ru-
5
4
⋅10 = 3
3
2
6
240
⋅
4
=
ral com formato retangular são (
10
2
) 7 – 5 ) km
⋅15 = 2
4
+ 2) km
de comprimento e ( 7 − 5 ) km de largura, como representado na figura abaixo.
10
4
5
4
No exercício 08:
= ( 5 + 2 ) ⋅ ( 7 − 5) A = 5⋅ 7 − 5 ⋅ 5 + + 2⋅ 7 − 2 ⋅ 5 A = 35 − 25 + + 14 − 10 A = ( 35 − 5 + A
+
14
−
)
10 0 km2
15
) 5 + 2 ) km
A área dessa propriedade, em km 2, é: e.
⋅
⋅
3 2 4 6 5 12
⋅ ⋅
60 2 6 12
= 60
= 60 ⋅12 = 720
144
07) Efetue as divisões a seguir, simplifi-
cando o quociente sempre que possível. 12
a.
3
75 4
c.
320 4
3
d.
e.
2 2 5 1 P 9 F E
=
150
b.
4
40
3
5
3
75
=
=
=
150
=
=
128 2
12
4
4
320 4
40 3
5
=
3
128 2
2
=
8
=
4
80
=
4
=2 64
⋅ =2
24 5
4
39
−5
R.: B b.
35
−5+
14
−
10
c.
35
+5−
14
−
10
d.
35
−5−
14
+
10
e.
35
09) Seja a = 5 − 2 a · b é:
=2
=
a.
5
=
2 e b
2
− 3 3, então
No exercício 09:
− 3 3) = = 5 ⋅ 2 − 5 ⋅3 3 − 2 2 ⋅ + 2 2 ⋅3 3 = = 5 2 − 15 3 − 2 4 + + 6 6 = 5 2 − 15 3 − − 4 +6 6
(5 − 2
a.
5 2
− 15
3
−6
6
−4
R.: B b.
5 2
− 15
3
+6
6
−4
c.
5 2
− 15
3
−6
6
−8
d.
5 2
− 15
3
−6
6
+8
e.
5 3
−5
2
+6
6
2
)⋅(
2
2
−4
=8
Avidades 34 e 35 • Expressões com radicais Vamos aproveitar este momento para colocar em prática as operações com radicais estudadas anteriormente. Lembremo-nos de que resolver expressões requer paciência e atenção. Além disso, é bom deixarmos escritos todos os passos seguidos, para facilitar a identificação de possíveis erros. Aproveitamos também este momento para rever algumas situações-problema em cuja resolução fazemos uso de radicais.
Optamos por apresentar os Exercícios Propostos sob a forma de teste, proporcionando aos alunos uma revisão mais ampla de alguns dos conceitos estudados no capítulo.
+
94
Capítulo 5 – Operações com radicais \ Grupo 2
Exercícios de Aplicação 01) Considere a seguinte expressão com
02) Calcule o valor numérico sob a forma
as variáveis a, b e c:
mais simplificada.
−b −
b2
− 4ac
2a
Determine o valor dessa expressão para: a. a = 2, b = 3 e c = 0,5 −3 −
− 4 ⋅2 ⋅0,5 = 2 ⋅2 −3 − 9 − 4 = = 32
2
1 2 ⋅
a.
1 ⋅ 2 2
4
5
2
= 4
5
1 5
5
4 4
16
= ⋅ =
4
=
−3 −
5
4
b.
2
(1 +
5
+ 2 5 +( = 1+ 5 =6
12
No exercício 01, item b, acompanhar o uso correto dos sinais de parênteses pelos alunos.
b. a = –1, b =
−
3−
) −2
5
2
5
) −2
5
=
3 e c = 1,5
2
( 3 ) − 4 ⋅( −1 ) ⋅1,5 = 2 ⋅ ( −1)
=
−
3−
3 +6
−2 − 3 − 9 = = −2 − 3 − 3 = = −2 3 +3 = 2
= c.
81 3
3
+( 7) 5
−4
5
−4
27 + 7 = − = [3 + 7 ] = − = [10 ] = 0,0001 3
4
4
2 2 5 1 P 9 F E
95
Matemáca \ Ação e reação
03) A figura a seguir mostra uma parte de
04) Fazendo uso das propriedades da po-
uma colmeia constituída apenas por hexágonos regulares.
tenciação, simplifique a expressão algébrica a seguir e, depois, calcule seu valor para a = 2 e b = 4. b
b
+
3
a6 b2 a2
b
ab
6
5
2
4
ab
=
= b + a ⋅b = = b + a ⋅a⋅b = = b + a a⋅ b 3
A
⋅
+
3
B
4
3
3
3
R.: A a.
6
3
d.
9
b.
7
3
e.
10 3
c.
8
3
Ahexágono
+ 2 ⋅ 2⋅ 4 = = 4 +2⋅ 8 = = 4 + 2 ⋅2 = = 4+4 =8 3
4
3
3
Exercícios Propostos 05) Simplifique as expressões. a.
9
3 512
+ 5 −27 − −216 3
3
3
3
+ 5 ( −3) − ( −6 ) = = 3 ⋅ 2 + 5 ⋅( −3) − ( −6 ) = = 6 − 15 + 6 = −3 9
3 29
3
3
c.
(2 −
3
2
− ( 3) = −2 4−3 = = −2 22
b. 2 2 5 1 P 9 F E
5 + 27 + 3 − 3 ⋅ ( −5) 3
+ 3 + 3 + 15 = = 8 + 18 = =2 2 +3 2 = =5 2 5
=−
1 2
3
)⋅(2 + −8
No exercício 03, a área de um hexágono regular é equivalente à área de 6 triângulos equiláteros com lado de mesma medida que o lado do hexágono correspondente. Assim, temos:
L2 3 = 6 ⋅ 4 22 3 Ahexágono = 6 ⋅ 4 4 3 Ahexágono = 6 ⋅ 4 Ahexágono = 6 3 mm2
Para a = 2 e b = 4:
Considerando que o segmento AB, destacado na figura, tem medida de 2 mm, a área de um dos hexágonos, em mm², dessa figura é:
O exercício 04 pode apontar eventuais dúvidas sobre propriedades da potenciação. Aproveitar o momento para reforçar esses conceitos.
3
)
96
Capítulo 5 – Operações com radicais \ Grupo 2
No exercício 06, para encontrar a altura do triângulo equilátero, temos: h
h h
= =
L
3
06) Uma caixa de presentes tem uma de
08) O jardim da casa de Juliano está re-
suas faces sob a forma de um triângulo
presentado na figura a seguir:
equilátero, cujo lado mede 20 mostra a figura a seguir.
3 cm,
como
20 3
⋅
=
A
20
3
20
3
⋅
b h 20
2
⋅
20 3 30
3 cm2
A ABCDE
=A
A ABCDE
=1 +
ABCDE
ABDE
2
=1+
+A
12
BDC
3 4
3 4
Aproveitar o exercício 07 para retomar conceitos relacionados ao cálculo do volume do bloco retangular e do cubo. No exercício 07, como o volume do cubo, de aresta x, é igual ao volume do bloco retangular, temos: volume do cubo = volume do bloco retangular:
= 8 ⋅6 ⋅3 6 x = 2 ⋅6 x = 2 ⋅6 x = 2 ⋅6 x = 12 cm x3 3
3
3
3
3
3
A área dessa face da caixa, representada pelo triângulo equilátero, em cm 2, é de:
2
No exercício 08:
A
D
2
= 300
A
B
3
Para encontrar a área, temos:
=
E
2
= 30 cm
A
A
a.
100
3
d.
400
3
b.
200
3
e.
500
3
R.: C c.
300
3
C
O quadrilátero ABDE é um quadrado de lado 1 m e o triângulo BCD é equilátero. Assim, a área do jardim ABCDE, em metros quadrados, é dada por: 3
a.
4
07) A figura a seguir mostra um aquário
em forma de bloco retangular em que as dimensões são 8 cm, 36 cm e 6 cm.
3
b.
2
c. 1 8 cm
R.: D d.
1
e.
1
+
3 4
6 cm 36 cm
Se esse aquário fosse trocado por outro aquário em forma de cubo, com mesmo volume, teríamos um cubo de aresta: a. 10 cm d. 13 cm b. 11 cm e. 14 cm R.: C c. 12 cm
+
3 2
3
2 2 5 1 P 9 F E
Capítulo
Racionalização Racionalização de denominador No decorrer dos tempos, matemáticos desenvolveram muitos de seus teoremas, fórmulas e algoritmos no intuito de facilitar operações que, feitas à mão, eram demasiadamente longas e cansativas. Veja como exemplo o cálculo do inverso da raiz quadrada de 2:
2
Primeiro, deve-se calcular a raiz quadrada de 2, de forma aproximada: 1 2
≈
Assim, na fração mostrada no início, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada do denominador. Veja como fica: 1 2
1 1, 414213562
Efetuando a divisão, temos, de maneira simplificada, o cálculo:
7 7
0,707106781
2
b.
3
Com isso, chegamos ao valor aproximado:
1 2 5 1 P 9 F E
⋅
2
2
=
(
2
2
=
2
)
2
2 , 2
≈ 0,707106781
Podemos constatar que, quando o divisor apresenta um número decimal com muitos algarismos à direita da vírgula, o cálculo torna-se menos direto do que se o divisor tivesse sido dado por um número. Existem formas de facilitar esse cálculo por meio de frações equivalentes. Apenas para lembrar, multiplicando-se ou dividindo-se o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se outra fração equivalente à primeira.
• O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
Veja mais exemplos:
1 1,414213562
2
2
2
a divisão de 2 por 2 é mais fácil de ser realizada, uma vez que devemos considerar a metade da raiz quadrada de 2. Esse procedimento, que consiste em “eliminar” o radical do denominador, é conhecido como racionalização do denominador.
a.
1
1 = ⋅
Perceba que, na fração obtida,
1
6
= =
7
⋅
7 2
7
⋅
⋅
3
7 3
⋅
3
= =
7
( 2
(
7 7
2
=
2
=
)
3 3
)
7
7 7
2
=
7
3 3
Há casos em que, no denominador, temos um binômio com um ou os dois termos dados por raízes quadradas. Nesses casos, devemos multiplicar o denominador pelo seu conjugado. Fazemos, assim, o uso de produtos notáveis, o produto da soma pela diferença. De forma geral, temos: • O conjugado de (
(
a
−
b
a
+
b
+
b
) é
a
−
b
) é
).
• O conjugado de (
(
a
).
É importante que os alunos reconheçam a utilidade da racionalização de denominador. O exemplo a ilustra bem esta utilidade. Fazer com que o aluno atente para este fato que pode tornar a aprendizagem mais significativa.
98
Capítulo 6 – Racionalização \ Grupo 2
Acompanhe alguns exemplos numéricos:
b.
a. 6 6 ⋅( 5 + 2 ) = = ( 5 − 2 ) ( 5 − 2 )⋅( 5 + 2 ) 6 ⋅( 5 + 2 ) 6 ⋅( 5 + 2 ) = = = − 5 2 ( 5) −( 2) 2
2
=
6
= 2(
⋅(
2
5
+
2
3 5
+
2
)
=
)
3
3
= (2 − 2 ) (2 − 3 ⋅ (2 + 2 ) = = ( ) 2 − 2 3 ⋅ (2 + 2 ) = = 4−2 3 ⋅ (2 + 2 ) =
⋅ (2 + 2 ) = ( ) ) 2 ⋅ 2+ 2
2
2
2
Mapa conceitual Radiciação
Propriedades da radiciação
Simplificação de radicais
Operações e expressões com radicais
Situações -problema com radicais
Racionalização de denominadores
1 2 5 1 P 9 F E
Racionalização Avidade 36 • Racionalização de denominador Exercícios de Aplicação 01) Na teoria, vimos como racionalizar
denominadores que apresentam uma raiz quadrada. Mas e se a raiz for cúbica ou de outro índice? O procedimento será o mesmo? Considere a seguinte fração:
7
b.
(
−
5
− 5 ) ⋅( = 7−5 =2 7
7
+
2
5
2
) = ( 7) − ( 5) =
3 3
5
Encontre uma maneira de racionalizar o denominador dessa fração. Para que o radical possa ser eliminado, devemos ter, no radicando, um expoente igual ou múltiplo do índice. Para que o expoente seja igual ao índice (3), devemos multiplicar o radicando por uma potência de base igual (5) e expoente 2, pois, assim, o produto será uma potência de base 5 e expoente 3. Assim, temos: 3
3
3 52 3
5
⋅
3
52
=
3 52 3
⋅
5 52
3
=
3 25 3
(3 −
3
) ⋅ (3 +
) = 3 − ( 3) = 2
= 9−3 =6
5
03) Em algumas expressões, o radical
02) Multiplique cada binômio por seu
conjugado. a.
5
+
não aparece apenas no denominador, mas também no numerador ou indicado para toda a fração. Ainda assim, podemos racionalizar o denominador. Nos itens a seguir, racionalize o denominador.
3
2
a.
(
+ 3 )⋅( = 5−3 =2
2 2 5 1 P 9 F E
5
5
−
2
3
2
) = ( 5) − ( 3) =
• O 2 Ã O Ç P A U E R R G E • O A Ã Ç C I A T Á M E T A M
2
3
3 25
53
6
c. 3 − 3
3
=
Capítulo
⋅ 3⋅
2
3 3 3
=
6 3
O exercício 01 tem uma abordagem mais desafiadora. É necessário, no entanto, que os alunos se sintam motivados a vencer desafios. Embora alguns alunos possam desistir com certa facilidade, devemos enaltecer o empenho daqueles que procuram, com base no raciocínio lógico, desenvolver seu pensamento.
100
Capítulo 6 – Racionalização \ Grupo 2
Aproveitar para verificar a habilidade dos alunos em aplicar os casos de produtos notáveis. Caso sinta necessidade, fazer uma rápida revisão dos principais casos, uma vez que, no 9º ano, trabalharemos com casos de fatoração para resolução de equações.
b.
5
04) Determine o valor final da seguinte
7
expressão:
⋅ = = 7 7 7⋅ 5
5
5
7 7
35
=
2
(1 +
3
2
) + (1 −
3
) − (1 +
3
+2
+ 3 +1 − 2
3
3
+ 3 − 1 − ( 2
3
c.
1
=
+
3
)
3
7
1
1
)⋅ (1 −
−1+3
8
3
3
10
=
3
=
⋅ 3⋅
10
3 3
=
) 2
3
=
10 3 3
5
+
3
=
5
(1 +
3 5
)⋅
⋅
5
5
(1 +
=
3
)⋅
5
5
Exercícios Propostos 05) Racionalize os denominadores em
cada item.
2
c.
3
2
a.
−2
2 ⋅ ( 3 + 2) ⋅ ( 3 + 2) = = ( 3 − 2) ⋅ ( 3 + 2) ( 3 ) − 2
5
2
2
2
2
⋅
5
5
⋅
=
5
2
5
=
5
2
⋅(
+ 2)
3
3
−4
= −2 ⋅(
3
=
2
⋅(
3
+ 2)
−1
=
+ 2)
3
b. 3 5
=
⋅
3
2
3
5
5
⋅ 5
32 5
3
3
5
3
3
27
3
d.
=
3
2
3
⋅3
3
=
3 27 5
35
=
2 3
=
5
27
5
3 3
5
3 3 5
2
⋅ 3⋅ 5
3 3
=
2 15
⋅
3 3
=
2 15 9
2 2 5 1 P 9 F E
101
Matemáca \ Ação e reação
06)
− Racionalizando o denominador da expressão 10 + 10
a.
b.
c.
2 2 5 1 P 9 F E
7
−2
30
7 7
+2
30
7 10
+2 7
30
d.
R.: E e.
13
+2
No exercício 06: 3 3
, obtemos:
30
7 13
−2
30
( (
− 10 +
)⋅( 3 )⋅(
(
−
10
=
( (
=
7
= =
− 10 −
3
10
10
2
3
)
2
2
) − ( 3) 10 ) − 2 10 2
−2
30 7
13
=
10
10 10
) = 3) 3
−2 7
30
−3
+3
=
3
+(
2
3
)
=
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