02. Modelos no Espaço de Estados (Aula 03)

BC1507: Instrumentação e Controle

UFABC

Resolução da Lista 02 (André Luis) v1.0

Do 1 ao 4, determine um modelo de espaço de estados para cada um dos sistemas da lista 1 a) Explicite os vetores de estado x e de entrada u e mostre a equação de estado; b) Escolha uma variável de saída y e mostre a equação de saída; c) Apresente as matrizes A, B, C e D resultantes de sua representação. 1.

Determine uma equação diferencial que descreve o comportamento do circuito RLC paralelo apresentado no diagrama abaixo. Note que a função forçante é uma fonte de corrente.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 De acordo com a equação de estado encontrada 𝑑 2 𝑣(𝑡) 1 𝑑𝑣(𝑡) 1 1 𝑑𝑖(𝑡) + + 𝑣(𝑡) = 2 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐶 𝑑𝑡 ⇒

𝑑 2 𝑣(𝑡) 1 𝑑𝑣(𝑡) 1 1 𝑑𝑖(𝑡) =− − 𝑣(𝑡) + 2 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐶 𝑑𝑡

temos que a variável 𝑣(𝑡) está relacionada com 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡: 𝑑 𝑑𝑣(𝑡) 1 𝑑𝑣(𝑡) 1 1 𝑑𝑖(𝑡) ( ) = (− ) + (− ) 𝑣(𝑡) + ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐶 𝑑𝑡 Então, obtendo a segunda equação de estado em que: 𝑑 𝑑𝑣(𝑡) [𝑣(𝑡)] = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑑 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 −1/𝑅𝐶 ( )=( ⏟ 1 𝑑𝑡 ⏟ 𝑣(𝑡)

−1/𝐿𝐶 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 1/𝐶 )( )+( ) 𝑖(𝑡) ⏟ ⏟ 𝑣(𝑡) 0 0 ⏟ 𝐀

𝐱

⇒

𝐁

𝐱

𝑢(𝑡)

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑣𝑅 /𝑅 𝑣(𝑡)/𝑅 𝑖1 𝐿 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 ) (𝑖2 ) = ( 𝐿 𝑑𝑣𝐿 /𝑑𝑡 ) = ( 𝑖3 𝑖(𝑡) − 𝑖1 − 𝑖2 𝑖(𝑡) − 𝑣(𝑡)/𝑅 − 𝐿 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑖1 0 1/𝑅 0 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 0 )( ) + (0) 𝑖(𝑡) ⇒ (𝑖2 ) = ( 𝐿 ⏟ ⏟ 𝑣(𝑡) ⏟ 𝑖3 ⏟ 1 𝑢(𝑡) ⏟−𝐿 −1/𝑅 𝐲

𝐂

𝐱

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

Fernando Freitas Alves

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18/08/13 – pág. 1/9

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Por outro lado, de acordo com a outra equação de estado encontrada 𝑑 2 𝑖2 1 𝑑𝑖2 1 1 + + 𝑖 = 𝑖(𝑡) 2 𝑑𝑡 2 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿𝐶 ⇒

𝑑 2 𝑖2 1 𝑑𝑖2 1 1 =− − 𝑖2 + 𝑖(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿𝐶

temos que a variável 𝑖2 está relacionada com 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡: 𝑑 𝑑𝑖2 1 𝑑𝑖2 1 1 ( ) = (− ) + (− ) 𝑖2 + 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿𝐶 Então, obtendo a segunda equação de estado em que: 𝑑 𝑑𝑖2 (𝑖2 ) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑑 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 −1/𝑅𝐶 ( )=( ⏟ 1 𝑑𝑡 ⏟ 𝑖2

−1/𝐿𝐶 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 1/𝐿𝐶 )( )+( ) 𝑖(𝑡) ⏟ ⏟ 0 0 ⏟ 𝑖2 𝐀

𝐱

⇒

𝑢(𝑡)

𝐁

𝐱

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Aqui, as variáveis de vetores e matrizes possuem o mesmo nome que do espaço de estado anterior apenas para ilustração. Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: (𝐿/𝑅) 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 𝑖1 𝑣(𝑡)/𝑅 𝑣𝑅 /𝑅 ( 𝑖3 ) = (𝑖(𝑡) − 𝑖1 − 𝑖2 ) = (𝑖(𝑡) − 𝑣(𝑡)/𝑅 − 𝑖2 ) = (𝑖(𝑡) − (𝐿/𝑅) 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 − 𝑖2 ) 𝑣(𝑡) 𝑣𝐿 𝐿 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 𝑖1 𝐿/𝑅 ⇒ ( 𝑖3 ) = (−𝐿/𝑅 ⏟ 𝐿 ⏟𝑣(𝑡) 𝐲

𝐂

0 0 𝑑𝑖 /𝑑𝑡 ) + (1) 𝑖(𝑡) ⏟ −1) ( 2𝑖 ⏟ 2 ⏟ 0 𝑢(𝑡) 0 𝐱 𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido, novamente. Assim, temos os seguintes modelos de espaços de estado possíveis: 𝑑 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 −1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 1/𝐶 ( )=( )( )+( ) 𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡) 1 0 0 𝑑𝑡 𝑖1 𝐿/𝑅 0 0 𝑑𝑖 /𝑑𝑡 𝑖 ) + (1) 𝑖(𝑡) ( 3 ) = (−𝐿/𝑅 −1) ( 2 𝑖2 { 𝑣(𝑡) 0 𝐿 0 ou 𝑑 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 −1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 𝑑𝑖2 /𝑑𝑡 1/𝐿𝐶 ( )=( )( )+( ) 𝑖(𝑡) 𝑖 𝑖 1 0 0 𝑑𝑡 2 2 𝑖1 0 1/𝑅 0 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 0 )( ) + (0) 𝑖(𝑡) (𝑖2 ) = ( 𝐿 𝑣(𝑡) { 𝑖3 −𝐿 −1/𝑅 1

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Determine uma equação diferencial para o circuito série paralelo abaixo.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 De acordo com a equação de estado encontrada 𝑑 2 𝑣𝐶 𝑅1 1 𝑑𝑣𝐶 𝑅1 + 𝑅2 1 ) ) 𝑣𝐶 = +( + +( 𝑣(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝐿 𝑅2 𝐶 𝑑𝑡 𝑅2 𝐿𝐶 𝐿𝐶 ⇒

𝑑 2 𝑣𝐶 𝑅1 1 𝑑𝑣𝐶 𝑅1 + 𝑅2 1 ) ) 𝑣𝐶 + = −( + −( 𝑣(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝐿 𝑅2 𝐶 𝑑𝑡 𝑅2 𝐿𝐶 𝐿𝐶

temos que a variável 𝑣𝐶 está relacionada com 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡: 𝑑 𝑑𝑣𝐶 𝑅1 1 𝑑𝑣𝐶 𝑅1 + 𝑅2 1 ( ) = −( + ) ) 𝑣𝐶 + −( 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿 𝑅2 𝐶 𝑑𝑡 𝑅2 𝐿𝐶 𝐿𝐶 Então, obtendo a segunda equação de estado em que: 𝑑 𝑑𝑣𝐶 (𝑣𝐶 ) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑑 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 −𝑅 /𝐿 − 1/𝑅2 𝐶 ( )=( 1 ⏟ 𝑑𝑡 ⏟ 𝑣𝐶 1

1/𝐿𝐶 −(𝑅1 + 𝑅2 )/𝑅2 𝐿𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 )( )+( ) 𝑣(𝑡) ⏟ ⏟ 0 ⏟ 𝑣𝐶 0 𝑢(𝑡)

𝐀

𝐱

𝐁

𝐱

𝑑 ⇒ 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑅1 𝑖1 𝑅1 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 + 𝑣𝐶 𝑅1 /𝑅2 𝑅1 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 + 𝑣𝐶 𝑅1 /𝑅2 𝑣𝑅1 𝑣𝐿 𝐿 𝑑𝑖1 /𝑑𝑡 −𝑅1 𝐶𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 − (𝑅1 /𝑅2 + 1)𝑣𝐶 + 𝑣(𝑡) 𝐿𝐶 𝑑 2 𝑣𝐶 /𝑑𝑡 2 + (𝐿/𝑅2 ) 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 + 𝑣𝐶 /𝑅2 = = 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 + 𝑣𝐶 /𝑅2 𝑖2 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑣𝐶 /𝑑𝑡 𝑖 𝑣 /𝑅 3 𝑣𝐶 /𝑅2 𝑣𝐶 /𝑅2 ( ) ( 𝑅2 2 ) ( ) ( )

𝑣𝑅1 𝑅1 𝐶 𝑣𝐿 −𝑅1 𝐶 𝑖1 = ⇒ 𝐶 𝑖2 𝐶 ⏟ ( 𝑖3 ) ⏟ ( 0 𝐲

𝑅1 /𝑅2 0 −𝑅1 /𝑅2 − 1 1 𝑑𝑣 /𝑑𝑡 ( 𝐶 ) + 0 𝑣(𝑡) 1/𝑅2 ⏟ ⏟ 𝑣𝐶 0 0 𝑢(𝑡) 𝐱 1/𝑅2 ⏟ 0) ) ( 𝐂

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

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Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Haverá uma equação diferencial para 𝑥1 e outra para 𝑥2 , mas ambas serão acopladas. Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 De acordo com as equações de estado encontradas 𝑏 𝑏 𝑘1 + 𝑘2 𝑘2 𝑥̈1 + 𝑥̇1 − 𝑥̇ 2 + 𝑥1 − 𝑥 =0 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 2 𝑏 𝑏 𝑘2 𝑘2 1 𝑥̈ 2 + 𝑥̇ 2 − 𝑥̇1 + 𝑥2 − 𝑥1 = 𝐹(𝑡) { 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 e com 𝑥̇ = 𝑣, temos: (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑏 𝑏 𝑘2 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑥1 + 𝑥 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 2 𝑏 𝑏 𝑘2 𝑘2 1 𝑣̇ 2 = 𝑣1 − 𝑣2 + 𝑥1 − 𝑥2 + 𝐹(𝑡) 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑥̇1 = 𝑣1 { 𝑥̇ 2 = 𝑣2 𝑣̇ 1 = −

podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑣1 𝑣1 −𝑏/𝑚1 𝑏/𝑚1 −(𝑘1 + 𝑘2 )/𝑚1 𝑘2 /𝑚1 0 𝑑 𝑣2 𝑣 1/𝑚 𝑏/𝑚2 −𝑏/𝑚2 −𝑘 /𝑚 𝑘 /𝑚 2 ) 𝐹(𝑡) 2 2) ( 2) + ( 2 2 ( )=( ⏟ 𝑥1 0 𝑑𝑡 𝑥1 1 0 0 0 𝑢(𝑡) ⏟𝑥2 ⏟𝑥2 ⏟ 0 ⏟ 0 0 1 0 𝐱

𝐱

𝐀

𝐁

𝑑 ⇒ 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑣1 1 𝑣2 0 (𝑥 ) = ( 1 0 ⏟𝑥2 ⏟0 𝐲

0 1 0 0

0 0 1 0 𝐂

𝑣1 0 0 𝑣2 0 0 ) (𝑥 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ 1 0 0 𝑢(𝑡) ⏟ 1 ⏟𝑥2 0 𝐱

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido. Fernando Freitas Alves

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18/08/13 – pág. 4/9

BC1507: Instrumentação e Controle 4.

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Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação a seguir. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Haverá uma equação diferencial para 𝑥1 e outra para 𝑥2 , mas ambas serão acopladas. Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 De acordo com as equações de estado encontradas 𝑏 𝑏 𝑘1 + 𝑘2 𝑘2 1 𝑥̇1 − 𝑥̇ 2 + 𝑥1 − 𝑥2 = 𝐹(𝑡) 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑏 𝑏 𝑘2 + 𝑘3 𝑘2 𝑥̈ 2 + 𝑥̇ 2 − 𝑥̇1 + 𝑥2 − 𝑥 =0 { 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 1 𝑥̈1 +

e com 𝑥̇ = 𝑣, temos: (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑏 𝑏 𝑘2 1 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑥1 + 𝑥 + 𝐹(𝑡) 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 2 𝑚1 (𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑏 𝑏 𝑘2 𝑣̇ 2 = 𝑣1 − 𝑣2 + 𝑥1 − 𝑥2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑥̇1 = 𝑣1 { 𝑥̇ 2 = 𝑣2 𝑣̇ 1 = −

podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑣1 −𝑏/𝑚1 𝑑 𝑣2 𝑏/𝑚2 ( )=( 𝑑𝑡 𝑥1 1 ⏟𝑥2 ⏟ 0

𝑏/𝑚1 −𝑏/𝑚2 0 1

−(𝑘1 + 𝑘2 )/𝑚1 𝑘2 /𝑚2 0 0

𝐱

𝑣1 𝑘2 /𝑚1 1/𝑚1 −(𝑘2 + 𝑘3 )/𝑚2 ) (𝑣2 ) + ( 0 ) 𝐹(𝑡) ⏟ 𝑥1 0 0 𝑢(𝑡) ⏟𝑥2 ⏟ 0 0 𝐱

𝐀

⇒

𝐁

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑣1 1 𝑣2 0 (𝑥 ) = ( 1 0 ⏟𝑥2 ⏟0 𝐲

0 1 0 0

0 0 1 0 𝐂

𝑣1 0 0 𝑣2 0 0 ) (𝑥 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ 1 0 0 𝑢(𝑡) ⏟ 1 ⏟𝑥2 0 𝐱

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido. Fernando Freitas Alves

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18/08/13 – pág. 5/9

BC1507: Instrumentação e Controle 5.

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Determine um modelo de espaço de estados para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade, um para cada massa. Adote como saída os deslocamentos 𝑥1 e 𝑥2 .

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Através das premissas de forças para a mola e para o amortecedor, onde, Tomando 𝑥̇ = 𝑣, temos respectivamente 𝐹𝑘 = 𝑘𝑥 e 𝐹𝑏 = 𝑏𝑣 , podemos balancear as forças do sistema com a força resultante para cada objeto de massa. Logo, obtemos o seguinte sistema para a massa 𝑚1 e 𝑚2 : 𝐹(𝑡) − 𝐹𝑘1 − 𝐹𝑘2 − 𝐹𝑏1 = 𝑚1 𝑣̇ 1 { −𝐹𝑘2 − 𝐹𝑏1 − 𝐹𝑏2 = 𝑚2 𝑣̇ 2 ⇒{

𝐹(𝑡) − 𝑘1 𝑥1 − 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑏1 (𝑣1 − 𝑣2 ) = 𝑚1 𝑣̇ 1 −𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝑏1 (𝑣2 − 𝑣1 ) − 𝑏2 𝑥̇ 2 = 𝑚2 𝑣̇ 2

(𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑏1 𝑏1 𝑘2 1 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑥1 + 𝑥 + 𝐹(𝑡) 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 2 𝑚1 (𝑏 + 𝑏2 ) 𝑏 𝑘2 𝑘2 ⇒ 𝑣̇ 2 = 1 𝑣1 − 1 𝑣2 + 𝑥1 − 𝑥 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 2 𝑥̇1 = 𝑣1 { 𝑥̇ 2 = 𝑣2 𝑣̇ 1 = −

podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑣1 𝑣1 𝑏1 /𝑚1 −𝑏1 /𝑚1 −(𝑘1 + 𝑘2 )/𝑚1 𝑘2 /𝑚1 1/𝑚1 𝑑 𝑣2 𝑣 𝑏1 /𝑚2 −(𝑏1 + 𝑏2 )/𝑚2 −𝑘 /𝑚 0 𝑘 /𝑚 2 2 2 2 2 ( )=( ) (𝑥 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ 1 0 𝑑𝑡 𝑥1 1 0 0 0 𝑢(𝑡) ⏟𝑥2 ⏟𝑥2 ⏟ 0 ⏟ 0 0 0 1 𝐱

𝐱

𝐀

⇒

𝐁

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑣1 0 𝑥1 0 0 1 0 𝑣2 0 (𝑥 ) = ( ) (𝑥 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ ⏟ ⏟ 1 0 0 0 1 0 2 𝑢(𝑡) 𝐂 ⏟𝑥2 𝐲 ⏟ 0 𝐱

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

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BC1507: Instrumentação e Controle 6.

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Determine um modelo de espaço de estados para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Adote como saída os deslocamentos 𝑥1 e 𝑥2 .

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Através das premissas de forças para a mola e para o amortecedor, onde, Tomando 𝑥̇ = 𝑣, temos respectivamente 𝐹𝑘 = 𝑘𝑥 e 𝐹𝑏 = 𝑏𝑣 , podemos balancear as forças do sistema com a força resultante para cada objeto de massa. Logo, obtemos o seguinte sistema para a massa 𝑚1 e 𝑚2 : −𝐹𝑘1 − 𝐹𝑏1 − 𝐹𝑘2 − 𝐹𝑏2 = 𝑚1 𝑣̇ 1 { −𝐹𝑘2 − 𝐹𝑏2 + 𝐹(𝑡) = 𝑚2 𝑣̇ 2 ⇒{

−𝑘1 𝑥1 − 𝑏1 𝑣1 − 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑏2 (𝑣1 − 𝑣2 ) = 𝑚1 𝑣̇ 1 −𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝑏2 (𝑣2 − 𝑣1 ) + 𝐹(𝑡) = 𝑚2 𝑣̇ 2

(𝑏1 + 𝑏2 ) (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑏2 𝑘2 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑥1 + 𝑥 𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 2 𝑏 𝑏 𝑘 𝑘 1 ⇒ 𝑣̇ 2 = 2 𝑣1 − 2 𝑣2 + 2 𝑥1 − 2 𝑥2 + 𝐹(𝑡) 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑥̇1 = 𝑣1 { 𝑥̇ 2 = 𝑣2 𝑣̇ 1 = −

podemos formar a equação de estado na forma matricial: 𝑣1 𝑣1 0 −(𝑏1 + 𝑏2 )/𝑚1 𝑏2 /𝑚1 −(𝑘1 + 𝑘2 )/𝑚1 𝑘2 /𝑚1 𝑑 𝑣2 𝑣 1/𝑚2 −𝑏2 /𝑚2 −𝑘2 /𝑚2 𝑏2 /𝑚2 𝑘2 /𝑚2 ( )=( ) (𝑥2 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ 1 0 𝑑𝑡 𝑥1 0 0 1 0 𝑢(𝑡) ⏟𝑥2 ⏟𝑥2 ⏟ 0 ⏟ 0 1 0 0 𝐱

𝐱

𝐀

⇒

𝐁

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑣1 0 𝑥1 0 0 1 0 𝑣2 0 (𝑥 ) = ( ) (𝑥 ) + ( ) 𝐹(𝑡) ⏟ ⏟ ⏟ 1 0 0 0 1 0 2 𝑢(𝑡) 𝐂 ⏟𝑥2 𝐲 ⏟ 0 𝐱

𝐃

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

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18/08/13 – pág. 7/9

BC1507: Instrumentação e Controle 7.

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Seja o circuito RLC abaixo. Determine um modelo de espaço de estados para o mesmo. a) Explicite os vetores de estado 𝑥 e de entrada 𝑢 e mostre a equação de estado; b) Escolha como variáveis de saída as correntes 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖3 e mostre a equação de saída; c) Apresente as matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 resultantes de sua representação.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Sabendo de antemão as premissas dos componentes do sistema, em que: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 𝑣(𝑡) − 𝑣𝑅1 − 𝑣𝐿1 = 𝑣𝐶1 = 𝑣𝑅2 + 𝑣𝐿2 + 𝑣𝐶2 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 = 𝑅2 𝑖3 𝑑𝑡

𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑑𝑖3 = 𝐿2 𝑑𝑡

𝑣𝑅1 = 𝑅1 𝑖1

𝑣𝐿1 = 𝐿1

𝑣𝑅2

𝑣𝐿2

𝑑𝑣𝐶1 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝐶2 𝑖3 = 𝐶2 𝑑𝑡 𝑖2 = 𝐶1

podemos perceber que uma das correntes é linearmente dependente das outras, e cada um dos potenciais dos capacitores dependem das correntes dos indutores, que são taxas de variações independentes, podemos montar uma variável de controle 𝐱 tal que: 𝑖1 𝑖3 𝐱 = (𝑣 ) 𝐶1 𝑣𝐶2 Através das premissas, temos, para 𝑖1 : 𝑣(𝑡) − 𝑣𝑅1 − 𝑣𝐿1 = 𝑣𝐶1 𝑑𝑖1 ⇒ 𝑣(𝑡) − 𝑅1 𝑖1 − 𝐿1 = 𝑣𝐶1 𝑑𝑡 𝑑𝑖1 𝑅1 1 1 ⇒ = − 𝑖1 − 𝑣𝐶1 + 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝐿1 𝐿1 𝐿1 Para 𝑖3 : 𝑑𝑖3 𝑑𝑡 𝑑𝑖3 𝑣𝐶1 − 𝑣𝑅2 − 𝑣𝐶2 ⇒ = 𝑑𝑡 𝐿2 𝑣𝐿2 = 𝐿2

⇒

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𝑑𝑖3 𝑅2 1 1 = − 𝑖3 + 𝑣𝐶1 − 𝑣𝐶2 𝑑𝑡 𝐿2 𝐿2 𝐿2

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18/08/13 – pág. 8/9

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Para 𝑣𝐶1 : 𝑑𝑣𝐶1 𝑖2 = 𝑑𝑡 𝐶1 𝑑𝑣𝐶1 1 1 ⇒ = 𝑖1 − 𝑖3 𝑑𝑡 𝐶1 𝐶1 E para 𝑣𝐶2 : 𝑑𝑣𝐶2 1 = 𝑖3 𝑑𝑡 𝐶2 Podemos então formar a equação de estado na forma matricial: 𝑖1 𝑖1 0 −1/𝐿1 −𝑅1 /𝐿1 0 1/𝐿1 𝑑 𝑖3 𝑖3 −𝑅2 /𝐿2 1/𝐿2 −1/𝐿2 0 0 ( )=( ) (𝑣 ) + ( ) 𝑣(𝑡) ⏟ 1/𝐶1 1/𝐶1 0 0 𝐶1 𝑑𝑡 𝑣𝐶1 0 𝑢(𝑡) 1/𝐶2 ⏟ 0 0 0 ⏟ 0 ⏟𝑣𝐶2 ⏟𝑣𝐶2 𝐀

𝐱

⇒

𝐱

𝐁

𝑑 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

Assim, podemos encontrar as variáveis de saída como as relações algébricas: 𝑖1 𝑖1 1 0 0 0 0 𝑖3 (𝑖2 ) = (1 −1 0 0) (𝑣 ) + (0) 𝑣(𝑡) ⏟ 𝐶1 ⏟0 1 0 0 ⏟ 𝑖3 𝑢(𝑡) ⏟ 0 ⏟𝑣𝐶2 𝐂 𝐃 𝐲 𝐱

⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡)

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18/08/13 – pág. 9/9