02 Fuerzas y Equilibrio en 3D

FUERZAS Y MOMENTOS EN 3D E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Hasta ahora hemos estudiado sistemas de fuerzas cuyas líneas de acción están contenidas en un plano. Ahora comenzaremos el estudio de los sistemas en tres dimensiones. Prácticamente no habrá ninguna nueva teoría que añadir, pues simplemente tendremos que trabajar con una componente más de todas las fuerzas. Sin embargo, esto complicará las representaciones gráficas, la determinación de las direcciones de las fuerzas y, sobre todo, lo relativo a los momentos de las fuerzas.

Ahora tendremos que retomar el hecho de que los momentos de las fuerzas son tendencias a hacer girar los cuerpos respecto a ejes y no a puntos. Nos resultará muy útil ahora utilizar vectores para representar  tanto las fuerzas como sus momentos.

REPRESENTACIÓN DE UNA FUERZA EN 3D E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

La representación de la fuerza F indicada más arriba, se llama forma   “Polinómica” , dada su semejanza con un polinomio algebraico, o también puede ser llamada “Normal” , puesto que sus tres componentes son normales o perpendiculares entre sí.

COSENOS DIRECTORES E S T Á T I C A

Conocida la forma polinómica de un vector o una fuerza, se puede conocer el ángulo que forma con cada uno de los ejes coordenados. Como Fx y F son respectivamente el cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo entonces:

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Es el mismo caso para las componentes de F y y Fz con F.

COSENOS DIRECTORES E S T Á T I C A

Estos son llamados los cosenos directores del vector y los ángulos α,  y γ, son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes cartesianos. Un vector unitario cualquiera en forma polinómica sería:

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Por tanto, dado que la magnitud de un vector es La suma del cuadrado de los cosenos directores será:

Que viene a ser una ley de dependencia de los tres ángulos que una recta forma con los ejes coordenados

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN 3D Método Nro. 1 E S T Á T I C A

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DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN 3D Método Nro. 2 E S T Á T I C A

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En el caso de que se conozcan los tres ángulos de la fuerza F con los ejes   x, y, z, las componentes de F, pueden hallarse en función de los cosenos directores:

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN 3D E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

En función de los vectores unitarios i, j y k, se podría expresar de la siguiente forma:

Ejemplo de Descomposición de una Fuerza en 3D E S T Á T I C A

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La tensión del cable AB es de 390 kg. Diga qué vector representa la tensión que el cable ejerce sobre el punto A del poste de la figura. SOLUCIÓN

RESULTANTE DE UN SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Si las líneas de acción de “n” fuerzas que concurren en un mismo punto, la iteración del principio de Stevin nos llevaría a determinar una sola fuerza equivalente, llamada Fuerza Resultante. Dicha fuerza sería la resultante del sistema, se obtendría mediante la suma vectorial de las “n” fuerzas.

Matemáticamente, se puede representar por la siguiente expresión:

RESULTANTE DE UN SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D E S T Á T I C A

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EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D E S T Á T I C A

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EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D EJEMPLO E S T Á T I C A

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EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D SOLUCIÓN E S T Á T I C A

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EQUILIBRIO DE SISTEMAS DE FUERZAS EN 3D SOLUCIÓN E S T Á T I C A

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