02. Formulario de Teoría de Conjuntos

Formulario de Algebra I

Teoría de Conjuntos

Teoría de Conjuntos Clasificación de los Números Complejos

⎧ ⎧ ⎧ ⎧ Naturales : N  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Enteros : Z ⎨0 ⎪ ⎪Reales : R ⎪ Racionales : Q⎨ ⎪ −  Enteros  Negativos : Z  ⎪ ⎨ ⎩ ⎪ Complejos : C ⎨ ⎪ ⎪Fraccionar ios : Z ' ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ Irracionales : Q' ⎪ ⎪⎩Imaginarios : I  Relaciones entre conjuntos -

Inclusión de conjuntos. (⊂: Subconjunt o, ⊃: Superconjunto)

 A ⊂  B ⇔ ∀ x :  x ∈  A ⇒  x ∈ B Propiedades: Reflexividad: ∀ x :  x ∈  A ⇒  x ∈  A;Verdad ,∴ A ⊂  A Transitividad: Si  A ⊂  B ∧  B ⊂ C  ⇒  A ⊂ C  Antisimétrica: Si  A ⊂  B ∧  B ⊂  A ⇒  A =  B -

Igualdad de conjuntos.

 A =  B ⇔  A ⊂  B ∧  B ⊂  A -

Conjuntos de partes.

Sea el conjunto A, con n elementos  X :

Subconjuntos de A

P( A) : Conjunto de partes, con 2 n elementos

P( A) = { X  /  X  ⊂  A}  X  ∈ P( A) ⇔  X  ⊂ A

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Teoría de Conjuntos

Operaciones entre conjuntos -

Unión de conjuntos.

Caso general: n

U Ai

=  A1 ∪  A2 ∪  A3 ∪ ... ∪ An

i =1

Caso específico:

 A ∪ B = { x /  x ∈  A ∨  x ∈ B} -

Intersección de conjuntos.

Caso general: n

I Ai

=  A1 ∩  A2 ∩  A3 ∩ ... ∩ An

i =1

Caso específico:

 A ∩ B = { x /  x ∈  A ∧  x ∈ B} -

Complemento de un conjunto.

 A = { x /  x ∈ U  ∧  x ∉  A} C 

-

Diferencia de conjuntos.

 A −  B = { x /  x ∈  A ∧  x ∉ B ∧  x ∉ ( A ∩  B )} -

Diferencia simétrica de conjuntos.

 AΔ B = ( A −  B ) ∪ ( B −  A)  AΔ B = { x /  x ∈  A ∧  x ∈ B ∧  x ∉ ( A ∩ B )} Leyes de operaciones de conjuntos -

Leyes de idempotencia.

 A ∪  A =  A  A ∩  A =  A -

Leyes de identidad.

 A ∪ φ  =  A  A ∪ U  = U   A ∩ φ  = φ   A ∩ U  =  A

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Teoría de Conjuntos

Leyes de complemento.

φ C  = U  U C  = φ  C 

 A ∪  A = U   A ∩  A C  = φ 

( A )

C  C 

-

= A

Leyes de diferencia.

 A −  A = φ  C 

 A −  B =  A ∩  B  AΔ B = ( A −  B ) ∪ ( B −  A) -

Leyes conmutativas.

 A ∪ B =  B ∪  A  A ∩ B =  B ∩  A -

Leyes asociativas.

 A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C   A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C  -

Leyes distributivas.

 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )  A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) -

Leyes de Morgan.

 A − ( B ∪ C ) = ( A −  B) ∩ ( A − C )  A − ( B ∩ C ) = ( A −  B) ∪ ( A − C )

( A ∪ B )C  =  A C  ∩ B C  ( A ∩ B )C  =  A C  ∪ B C  -

Leyes de absorción.

 A ∩ ( A ∪ B ) = A  A ∪ ( A ∩ B ) = A

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Teoría de Conjuntos

Relación entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Matemática. -

El conjunto vacío (φ ) , corresponde con una contradicción.

-

El conjunto universal (U ) , corresponde con una tautología.

 A ⊂  B  p ⇒ q

Conjuntos Proposiciones

 A =  B  p ⇔ q

 A ∪ B  p ∨ q

 A ∩ B  p ∧ q

 AC  ¬p

 A − B  p ∧ ¬q

 AΔ B  p ∨ q

Cardinal de un conjunto.

Sean  A, B,

C  tres

conjuntos dados, entonces: El cardinal de cada conjunto respectivamente

es: n( A) , n( B ) , n(C ) , por tanto tenemos las siguientes propiedades:

n( A −  B ) = n( A) − n( A ∩ B) n( AΔ B ) = n( A ∪ B ) − n( A ∩ B ) n( A ∪ B ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B ) n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C ) + n( A ∩ B ∩ C ) Producto Cartesiano.

Símbolo:

 A × B

Definición:

 A × B = {( x,  y ) /  x ∈  A ∧  y ∈ B}

O bien:

( x, y ) ∈  A × B ⇔  x ∈  A ∧  y ∈ B

Si  B =  A , entonces

 A 2 =  A ×  A = {( x,  y ) /  x ∈  A ∧  y ∈  A}

Partición de conjunto.

Sea el conjunto A, donde sus particiones son:  A1 +  A2 + A3 + ... Tales que: Si i ≠  j (Disjuntos)

o

 Ai ∩ A j = φ 

o

 A1 ∪  A2 ∪  A3 ∪ ... =  A

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