02 El Fibrado Tangente

El fibrado tangente 15 de octubre de 2014

1.

Func uncion iones es difere diferenci nciabl ables es entre entre vari varieda edades des

Definición 1.1.   Sean

Una función coordenadas

variedades variedades diferenciables y sea se dice dice   diferenciable  o de

,

Una función continua par de sistemas de coordenadas es . Una función de tal que

es

un abierto. abierto. si para para todo todo sist sistem emaa de .

se dice dice   diferenciable  o si dado cualquier cualquier de y de , la función función

es diferenciable es  diferenciable en  es diferenciable.

si existe un entorno entorno abierto abierto

se dice dice un  un   difeomorfismo  si admite una

Una función diferenciable inversa diferenciable.

Claramente una función es diferenciable si y sólo si es diferenciable en cada punto. Además, es fácil ver que la composición de funciones diferenciables es diferenciable. En efecto, sean y funciones funciones diferenciab diferenciables les y sean

1

sistemas de coordenadas en   para se tiene que

. Entonces, en su dominio de definición,

es diferenciable (pues es composición de funciones diferenciables de varias variables). Notación.   Denotamos por el conjunto de funciones de diferenciables de en . El conjunto se denotará usualmente como y se llama el álgebra de funciones diferenciables  en . Observar que es, en efecto, un álgebra asociativa sobre los números reales (con las operaciones usuales de suma y multiplicación de funciones). Ejemplo 1.2.  La inclusión

de la esfera en es . En efecto, como los cambios de coordenadas en una variedad diferenciable son , basta chequear que la composición de con cartas coordenadas es diferenciable sólo para una familia de sistemas de coordenadas que cubran la variedad. Consideramos en los sistemas de coordenadas “casquetes”  y en la identidad. Luego, si , entonces

es diferenciable.

1.1.

Particiones de la unidad

Recordemos que, por definición, todas las variedades diferenciables son Si se define como

es una función definida en un espacio topológico

Definición 1.3. Sea

una variedad diferenciable. Una familia se dice una partición de la unidad  en si

1. la familia un entorno 2. 3.

de

.

, el soporte  de

de funciones

es localmente finita (es decir, para cada   existe tal que salvo una cantidad finita de s);

para todo para todo

y para todo

;

.

Una partición de la unidad se dice subordinada   al cubrimiento de si para cada   existe tal que . Decimos que dicha partición de la unidad está subordinada al cubrimiento con la misma   familia de índices  si para todo . Dado , denotamos por centrado en el origen con lados de longitud 2

para todo el cubo abierto paralelos a los ejes coordenados.

Lema 1.4.   Existe una función diferenciable no-negativa 

el cubo cerrado

y cero en el complemento del cubo abierto

Demostración. Basta probarlo para , pues si , si y para todo   , entonces

que vale  .

es tal que

en  si

tiene las propiedades deseadas. Veamos pues que existe una tal . Se sabe que la función

es no-negativa,

y positiva si

es no-negativa,

y vale

si

(ejercicio). Luego, la función

y

si

. Finalmente, la función buscada es

Lema 1.5.   Sean 

una variedad diferenciable, Entonces existe un entorno abierto de  , no-negativa  tales que  y 

un abierto de  y  . , y una función diferenciable  .

Demostración. Sea un sistema de coordenadas alrededor de tal que , y . Sea diferenciable y no-negativa tal que y (la cual existe por el lema anterior). Sea y definamos

Observemos que y . Para ver que es diferenciable basta ver que es diferenciable en cada . Si , entonces es y si , podemos tomar un sistema de coordenadas alrededor de con y en este caso es también . Teorema 1.6  (Existencia de particiones de la unidad) . Sea 

una variedad diferenciable y sea  un cubrimiento abierto de  . Entonces existe una  partición de la unidad numerable  subordinada al cubrimiento y con  compacto para todo . Si no se requiere que los soportes sean  compactos, entonces existe una partición de la unidad    subordinada  al cubrimiento , con la misma familia de índices, con a lo sumo una cantidad  numerable de las  no idénticamente nulas. 3

Para probar el teorema usaremos el siguiente resultado, que sigue de la paracompacidad de las variedades diferenciables y ya fue probado en la unidad anterior. Lema 1.7.  Existe una familia de abiertos 

1.

de 

, con 

tales que 

es compacto para todo ;

2.

para todo ;

3.

.

Demostración del Teorema  1.6 .   Sean , , como en el lema anterior y definamos . Dado , sea y sea tal que . Sea . Por el Lema 1.5, existen un entorno abierto de , ,y diferenciable y no-negativa tales que y . Luego es compacto. Como es compacto y es un cubrimiento abierto de , existe un subcubrimiento finito . Sean las correspondientes funciones diferenciables. Haciendo obtenemos una familia numerable de funciones diferenciables tales que es no negativa para todo , es compacto y la familia es localmente finita, pues cada tiene intersección no vacía con a lo sumo una cantidad finita de . Además,

para todo . Notar que la serie anterior, es en realidad una suma finita en un entorno de cada y por ende está bien definida y es una función diferenciable en .

Sea , entonces bordinada al cubrimiento cada .

es una partición de la unidad su. Además es compacto para

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Si ahora definimos idénticamente cero si ninguna tiene soporte contenido en y en caso contrario como la suma de las con . Entonces, poniendo , se tiene que es una partición de la unidad subordinada al cubrimiento con la misma familia de índices. Para ver que usamos que

en donde la segunda igualdad vale porque la familia mente finita. Corolario 1.8  (Existencia de funciones meseta). Sea 

un abierto en  y  un cerrado en tal que  , tal que  1.

para todo

2.

para todo

3.

.

es localuna variedad diferenciable, . Entonces existe una función 

; ;

Demostración. Tomemos una partición de la unidad subordinada al cubrimiento de con y . Entonces tiene las propiedades deseadas.

2.

Vectores tangentes

Un vector puede pensarse como una transformación sobre las funciones diferenciables por medio de la derivada direccional. Más precisamente, si es una función diferenciable en , a valores reales, la derivada direccional de en en la dirección de es

Observemos que la derivada direccional tiene la siguientes propiedades

en donde son funciones diferenciables y es un número real. Se dice entonces que es una  derivación lineal   del álgebra de funciones diferenciables en en el punto . Esto motiva la definición de vectores tangentes a una variedad diferenciable en un punto dado.

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una variedad diferenciable y sea . Un vector tangente  a en es una derivación lineal del álgebra en . Es decir, satisface para todas y para todo , Definición 2.1. Sea

1.

;

2.

.

El conjunto de todos los vectores tangentes a a en y se denota por . Observemos que ,

y

,

así definidos son derivaciones lineales de

.

1. Notemos que cualquier función constante 2. Si

se llama el espacio tangente 

es un espacio vectorial real, definiendo para

Chequear como ejercicio que en . Nota  2.2. Sea

en

, de donde se tiene

vale en un entorno de   , entonces tal que en un entorno de , de donde sigue que

. Esto implica que para .

 

y

. En efecto, sea . Entonces

3. Sigue del ítem anterior que si dos funciones coinciden en un entorno de , entonces . En particular, esto implica que un vector tangente puede aplicarse a funciones que estén definidas sólo en un entorno de . Teorema 2.3. Sea 

Entonces 

una variedad diferenciable de dimensión  es un espacio vectorial (real) de dimensión  .

y sea 

.

Daremos una demostración constructiva de este teorema, pero antes necesitamos la siguiente definición. Definición 2.4. Sea

un sistema de coordenadas alrededor de

. Definimos

para

.

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Es fácil ver que

(hacerlo como ejercicio). Es frecuente la notación

Observemos que

La demostración del Teorema 2.3 consistirá en probar que es una base de . Para ello necesitamos el siguiente resultado auxiliar. Lema 2.5. Sea 

una función  , tales que 

con 

un abierto convexo alrededor del origen y sea  . Entonces existen funciones  , de clase 

1. 2.

; .

Demostración. Sea entonces tiene sentido definir

. Como es convexo y contiene al origen, para todo . Observemos que

Luego podemos poner

.

Demostración del Teorema  2.3 . Sea y sea un sistema de coordenadas alrededor de tal que y es convexo. Sea tal que y apliquemos el Lema 2.5 a la función . Luego, existen funciones diferenciables tales que (1) y

Podemos reescribir (1) como

. Luego, como

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, se tiene que

Notemos que la condición , entonces

no es restrictiva, pues si y llamamos y la ecuación anterior sigue valiendo. Luego

y por ende   generan son linealmente independientes. En efecto, si

. Veamos que estos vectores tangentes son tales que

entonces aplicando el lado derecho de esta igualdad a la -ésima función coordenada y usando el comentario posterior a la Definición 2.4, tenemos que

para todo

. Esto concluye la prueba del teorema.

Nota  2.6. 1. Sigue de la demostración del teorema que si un sistema de coordenadas en y , entonces

2. Supongamos que coordenadas en   , entonces

y

es

son sistemas de

en donde

son los coeficientes de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas en . Observar que hemos denotado por la -ésima función coordenada de .

2.1.

Vectores tangentes como velocidades de curvas

Sea una variedad diferenciable. Una curva  (diferenciable) en es una función , en donde es un intervalo abierto en . Sea . Dada , la asignación (2) 8

es un vector tangente en el cual se denota por . En efecto, es claro que la asignación (2) es lineal en . Además, si , entonces

con lo cual es una derivación lineal en llama la velocidad  de la curva en .

Proposición 2.7. Sea 

vector tangente  pasa por  .

se

una variedad diferenciable y sea  . Entonces todo se obtiene como la velocidad de una curva en  que 

Demostración. Sea y sean tales que

Sea tal que por efecto, si

. El vector tangente

un sistema de coordenadas en

  para . Observemos que , entonces

y sea   . Se afirma que

con

definida . En

lo cual concluye la prueba.

3.

Diferencial de una función

Definición 3.1.   Sean

La  diferencial  de por

en

variedades diferenciables y es la transformación lineal

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una función .   definida