02 Álgebra - UNAL - Problemas PDF
October 8, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Polinomios 1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 04. En el polinomio n n P x 1 2 x 1 3 x la suma de
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I
01. Si P x x tal que
P M x G x 4x 6 y
coeficientes excede en 89 al término independiente. Calcular el valor de n .
P M x 2G x x 12 ,
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
hallar el valor de M G 4 . A) 14 B) 12 C) 8 D) 10 E) 16
1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 05. Si P x 2 6 x 1 y P F x 12 12 x 17 ,
hallar F 10 .
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 02. Si: H x, y, z 2 x m y p z n 3
5
nx
n
mx3 y 8 pz m
C) 17 D) 19 19 D) E) 21
es un polinomio homogéneo de grado 53, calcular la suma de coeficientes. A) 121 B) 100 C) 96 D) 50 E) 45
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – II 06. Si el polinomio 2 2 2 2 2 P x, y mx 4my 3nx 4 x 3 y
es idéntico a F x, y 1 3x2 9 y 2 . Hallar m 2n . A) 3 B) 7 7 C) 10
1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 03. Si el polinomio
2
n4
P x, y z x que
su
m3
y
n 3
m2
y
es tal
D) 2 E) 19
es 12 y GR x P x, y 3GRy P x, y . Hallar el
grado
grado
9
z x
absoluto
Q x, y nx
n 1
2
A) 3 B) 15
absoluto
del
y n 1 x n y n
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – II 07. Si m p n n m H x, y, z 2 x 3 y z 5 nx mx3 y 8 pz
polinomio: 2
1
es un polinomio homogéneo de grado 53, hallar la suma de los coeficientes c oeficientes del polinomio. A) 121 B) 96 C) 50 D) 45
A) 30 B) 33 C) 35 D) 37 37
E) 100
E) 39
1
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 12. Si en el polinomio
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – II 08. Si la suma de la suma de coeficientes y el término independiente es 78, Hallar el valor de m en
2
P x 3mx 2m 12 x 1 , la suma de coeficientes excede en 96 al término independiente, hallar el valor de 2 E m 2 . A) 3 B) 0 C) 1 D) 4 E) 2
3
P x 1 x 1 3 x mx 5
A) 8 8 B) 1 C) 2 D) 16 E) 4 1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 09. Halle la s suma uma de los c coeficientes oeficientes del polinomio homogéneo: nm mn P x; y n 3 x n y m 7m x3 y , si
1° EXAM. PRE AGRARIA 2012 – II 13. Si f x 2 x x y f x a 1 bx 1
con a 0 , calcular E ab . A) 1/2 B) -2 C) 2 D) -1/2 E) 4
además se cumple que: GR x 75 A) 44 B) 40 C) 45 D) 43 E) 42
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2012 – II 14. Hallar el grado absoluto del polinomio mn 12 2m n si es P x, y x y 2x y ,
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 10. Si el polinomio P x x 1 ax b c 1 x x
2
2
homogéneo y la suma de los exponentes de la variable x es igual a 21. A) 12 9 B) 9 C) 7 D) 8 E) 5
es idéntico a Q x 2 x 2 5 x 1 ; calcule el valor de: c a b A) -2 B) 1 C) -1 D) 3 E) 2
PROBLEMAS PROPUESTOS 15. Sean p x y q x dos polinomios. Si 6
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 11. Sea: P x 2 x 5 y
el grado del polinomio p x q x es 27 y el grado del polinomio p x q x
P q x 1 x 7 ;
es 7, hallar el grado del polinomio
entonces, halle q 6
p x q x
2
A) 8 B) 10 C) 3 D) 9 E) 13
A) 17 17 A) B) 14 C) 15 D) 12 E) 21
2
3
16. Si el polinomio p x nx 1
2
n n
A) 12 B) 10 10 C) 9 D) 8 E) 6
4 x n 4 x 3 tal
que p 1 2 p 0 2 , hallar L n2 1 A) 3 B) 8 C) 24 D) 35 E) 15
20. Sea el polinomio
n 9
2
n 8
3
n 7
4
. . .
Si m es el completo y ordenado. número de términos de p x , hallar el p x
17. Si el polinomio 4 2n 2m 4 3 2m 5 9 p x, y mx y nx y m n 5x y
n
x
n
x
n
x
valor de GR p 2 x m . A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 19 E) 16
es ordenado respecto a las variables x e y , hallar el mayor valor de 2m n . A) 8 8 B) 7 C) 5 D) 9
21. De un polinomio p x, y completo,
E) 6
homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a la variable x , se ha tomado tres términos consecutivos que son m n2 n m 2 ... x y K x, y x y ... ,
18. Sean los polinomios
p x 2 x 5x 4 x 1
3
2
q x ax b
c
y
a cx d k ;
k 1 . Si
hallar el GR K x , y . y
p x q x es un polinomio nulo,
A) 5 5 A) B) 6 C) 10 D) 4 E) 2
hallar b d a c c a 1 k c
a
A) 1 2 B) 2 C) 1 D) 2 E) 4
22. Sean los polinomios 2 p x mx 3x n y
q x x n
donde el producto de p x y q x es
19. Si el polinomio
es un polinomio mónico,
un polinomio mónico con término independiente cuatro veces el coeficiente del término cuadrático, hallar el mayor valor m n . A) 1 B) 3 C) 4 D) 5
hallar 2n m a .
E) 7 7 E)
2
p x nx nx x 1 2
2n
15 x 2 15
es tal que la suma de sus coeficientes es el doble de d e su término independiente 3m y 7 2 m 2 m 4 x mx h x x a 1 m 2 x mx 4 ax5
3
Productos notables 1° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 05. Si x 4 7 4 7 , hallar la suma
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 01. Si a 1 3; a 1 ,
de
número N x 1 x 1 x 4 x 2 1 .
a
1
encontrar el valor de a a . A) 5 B) 6 C) 3 5 D) 7 E) 5 2
E
x
3
2
x 1
3
x
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – II 07. Sabiendo que 3a 3b ab ab 0 , Hallar el valor de: a 3 b 3 a b E 3ab A) 6 B) 1 C) 1 D) 9 E) 3
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I x
x
03. Si 25 4 9 4 15 , determinar el valor de E 5
2 x 1
5
32 x 2
2 x 1
A) 180 B) 195 C) 205 D) 115 E) 215
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – II 08. Si a3 b3 m y a b n , Hallar el valor de ab . A) m n3 n3 B) m
1° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 04. Determinar el valor de x en
e
20
x 14
2e10 1 e 1 10
167
e10 1
del
1° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 06. Si se cumple que x2 1 11x , Hallar el valor de: 1 1 1 K x x x x A) 38 B) 37 C) 36 D) 34 34 E) 33
A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) 2
x
cifras
A) 11 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 16
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 02. Si x3 1 0; x 1 , calcular el valor de
x 1
las
; 2 e 3
n C) C) m n3
A) 29 B) 49 C) 98 D) 101 E) 113
3n 3 D) m n
3n 3
E) m n
4
N ,
si
1° EXAM. PRE AGRARIA 2012 – II
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2013 – II
09. Si x 2 b 2 bx , determinar el valor de
13. Si x x 1 2 5 , calcular el valor de 4 x x2 .
M x 6 b 6 1 2 x3b3 A) 0 B) 1 C) 8 D) 27
A) 5 B) 5 C) 3 25 D) 25 E) 2
E) 64 1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 10. Si n a b , siendo n N , la expresión
reducida de E b
a
n 1
1° EXAM. PRE AGRARIA 2012 – II 14. Simplificar
2
E x 4 10 x 1
, es
n 1 n
n 1
3
x 1 x 2 1
5
x
2
8 2 1 x 4 1
1 A) 1 B) 2 C) x 4 1 D) x 2 E) x
. a
A) A) a B) ab C) a
3
1° EXAM. PRE AGRARIA 2011 – I
D) b
a 2 b2 6 , entonces 15. Si a b 8 ; hallar el valor de E a3 b3 . A) 2 5
n E) a
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 – I 11. Sabiendo que: a b c 0 , Calcule el valor de a a 2 bc b b 2 ac c c 2 ab E a a b b b c c c a
B) B) 10 2 C) 3 2 D) 5 2 E) 2 3
A) b c B) a c
1° EXAM. PRE AGRARIA 2010 – I 16. Considerando que 3 2 , Calcular el valor de 4 4 .
C) 0 C) D) a E) a b
A) 104 B) 98 B) 98 C) 40 D) 86 E) 49
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2013 – I
12. Sabiendo que: a 3 5 7 y
1° EXAM. PRE AGRARIA 2010 – I 17. Si a3 b3 40 y a b 4 , Hallar a 2 b 2 .
b 3 5 7 ,
Hallar el valor de 2
2
E a 2 b 2 2ab 2 .
A) 2 3 B) 3 5 C) 14 D) 12
A) 11 B) 33 C) 44 66 D) 66 E) 80
E) 4
5
1° EXAM. PRE AGRARIA 2008 – I 18. Si x x 1 5 , hallar x3 x 3 . A) 23 21 B) 24 21
x z 2 y
22. Si
x y z y
4
0,
x z 2y
Determinar el valor de:
L
C) 19 21 D) 12 7
x2 z 2
xz
xz
x z 2
2
1/2 A) 1/2
E) 6 7
B) 0 C) 2 D) -1/2 E) 2
1° EXAM. PRE AGRARIA 2008 – II 19. Si x y a b 2 ,
3 3 3 3 x y a b
Calcular el valor de a 2 ab b2 E 2 x xy y 2 A) x y a b B) -1 C) 1 C) 1 D) 4
23. Hallar el valor de P , si 8 P 8a 4 5 8a 6 6 y 1 1 1 1 1 1 a 2 4 a 1 a 2a 2a A) 5 B) 4 C) 2 D) 1 1 E) 3
E) 2 1° EXAM. PRE AGRARIA 2007 – II 20. Si x 2 5 x 1 0 , Hallar:
x x 3
3
1
1
24. Si a b c Simplificar
N
A) 24 29 B) 16 19
9
b9 c9 3a3b3c3
6
b6 c6 3a2b2c2
a a
1
0 ; abc abc 0 , 4
a b
3a
2
3
c3
bc
4
b a
3b
2
3
c3
ac ac
4
c a
3c
2
3
b3
ab ab
A) a 3 b3 B) ab ac bc
C) 26 29 D) 24 21 E) 19 21
C) a 3 b3 c3 D) a b c E) a 3 a b
PROBLEMAS ADICIONALES A DICIONALES
25. Si 1 1 1 1 1 1 a b a c b c ab a ac c bc 1 abc 0 , ; abc Hallar: 2 2 2 a b c M bc ac ab A) 1 B) a+b+c C) 3 D) abc E) 1/abc
21. Si a, b, c, x, y, z R abc 0 verifican que 2 a b c 3 ab ac bc x2 y 2 z 2 indicar el valor de
a3 b3 c 3 x y z 2014 abc x y z 3 A) abc B) 2014 C) 1 D) 3 E) 0
6
ivisión algebraica
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 01. Al dividir ax 5 bx 4 c a x 3 a b x 2 b a x a x 1
x
2
x2 3
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I
n es un número entero positivo, Hallar el resto en 2
x 1 x 1
2
C) 3 D) 50 E) 24
03. Si
x2 n
y
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 06. Si el ter tercer cer término del cociente notable generado por toma el valor de 1024 cuando x 4 , Calcular el valor de n 2 1 A) 99 B) 8
C) 1 D) 2 E) -3
2
1
cociente notable, ¿Cuántos términos tiene su desarrollo? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
el resto es 4 x 1 . Hallar el valor de m – n . A) 0 B) 1
x 2 n
resto es 28.
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 5 n 6 n x5 3 y 05. Si la división genera un n n
3 x m 9 x nx x 2
x 3 el
A) 2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
1° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 02. En la siguiente división 3
dividirlo entre
Hallar el resto de dividir dicho polinomio P x entre x 3 .
el resto que se obtiene es 5. Hallar la suma de coeficientes del cociente. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
5
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 – I 04. Un polinomio de tercer grado con coeficiente principal la unidad, es divisible por x 2 y x 1 , pero al
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2014 – I
07. Al efectuar la división
21 x
A) 1
3
x 2 3 11x 4 15 x5 x 3x 2 2
se obtiene un resto de la forma ax b , determinar el valor de a b . A) -5 B) -2 C) -3 D) -6 E) -4
B) x 2 1 C) 2 D) x 1 E) x 1
7
2° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 12. Calcular a + b + c si el término de lugar 24 a 18, en el cociente notable x y es
1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 08. Al dividir el polinomio P(x) por d x x2 3x 1 se obtiene por cociente n 1
q x x
ax 5
y
por
xb y c
residuo
xa 54 y17
r x 5x 35 . Si P (x) es de grado
A) 78 B) 74 C) 80 76 D) 76 E) 75
absoluto 6 y P(1)=0, Hallar el valor de a + n. A) 17 B) 16 C) 14 13 D) 13 E) 11
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 13. Si se divide el polinomio x5 2 x 4 3x3 2 x m x 2 , el
residuo es 4. Hallar el valor de m. A) 20 B) 28 C) 30 D) 32 D) 32 E) 36
1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 09. Si el residuo de dividir ax5 bx4 x3 8x2 2014 x 2 3x2 x 1
es 2014x, hallar el valor de a + b. A) 34 B) 32 C) 30 D) 28 28 E) 26
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 14. El polinomio El polinomio P x x3 ax2 bx , donde
a y b son números reales, tiene restos de 2 y 4 cuando se le divide entre x - 2 y x - 1 respectivamente. Entonces el valor de a es: A) -6 B) -7 C) -8 D) -9 E) -10
1° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014 10. Calcular el resto de la división 31 12 8 5 7 x 5 x 2 x x 1
x 2 1
A) 8x + 1 B) 8x + 2 2 C) 8x + 3
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 15. Determinar el residuo de la división P x Q x x 2 x 1 , si el residuo de
D) 8x + 5 E) 0 2° EXAM. PRE AGRARIA INT 2014
11. En el cociente notable
x
y n31 5 3 x y
ejecutar las divisiones P x x 2 2 y Q x x 2 1 es común e igual a 5 x 2 .
2 n 25
Sabiendo
Hallar el grado absoluto del término central de su desarrollo. A) A) 144 144 B) 166 C) 40 D) 136 E) 90
a 0 y
A) B) C) D)
que
3
2
0 Q x dx3 cx2 bx a , d
2 x 1 2 x 1 8 x 4 8 x 4
E) 8 x 4
8
P x ax bx cx d ,
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 16. Hallar el resto en la división
20. Halle el resto de dividir:
x x x ... x 1 15
14
x
2
13
1 x 1
A) -2 -2 A) B) 0 C) 2 D) -1 E) 1
5
A) 2 B) -2 C) D) 064 x 16 E) 64 x 64
n
35
x 2 x 4 36 x 2
2
A) x 2 35
10
división x 2 1 x 1 A) 0 B) 1023 C) -10 D) 10 E) -102
B) x 2 x 4 C) 0 D) 36 E) 36 x 2 35 2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 22. Un polinomio mónico P x (coeficiente
principal la unidad) de cuarto grado es divisible por x 2 3 y por x 2 y al
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II
18. Si el cociente notable x 1 tiene cuatro x m 1 términos, calcular el valor de 8
dividirlo por
A) 1026 B) 1024 C) 1030
A) 578 B) 579 C) 588 588 C)
D) 1025 E) 1023 E) 1023
D) 589 E) 608
como residuo
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 23. En el desarrollo del c cociente ociente notable:
1° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 19. Si el residuo de dividir: bx 4 x3 8 x 2 2012 x 2 3 x 2 x 1
es 2012x, determine el valor de: A) 30 B) 26 C) 34 D) 32
x 4 da
228. Halle el resto de dividir P x por x 5
E m9 m8 ... m 1
5
1 , n Z 3 x 1
x
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 21. Halle el resto en:
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 17. Hallar la suma de coeficientes del cociente notable que resulta de la
ax
2n
3
a b
x
n 3 m
y 7 m hay 14 términos, halle el x2 y 4
grado absoluto del término que ocupa el lugar m n . A) 12 B) 32 B) 32 C) 8 D) 56 E) 18
E) 28
9
2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 28. Si al dividir P x entre x 2 x x 3 se
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 24. Halle el término central del cociente notable que se obtiene al dividir 3 n 9
y n 1 2 n 3 x y
x
9
obtiene como resto 6 x 5 , hallar el resto de dividir P x entre x 3 .
6 n 11
.
A) 11 B) 25
15
A) x y
C) 27 D) 23 E) 5
B) x12 y1155 12 C) x15 y12
15 D) x19 y15
2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 29. Hallar el resto en la división
E) x 1 2 y15
x
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2013 - I
3
29
1 x15 x5 1 x x 1 2
25. Si la división Ax4 Bx3 21x 2 x 12 es 2 x 4 x 3 2
A) x + 1 B) 1 C) x D) -x E) 1 - x
exacta, hallar B - A. A) 30 B) 16 C) 10 D) 8 E) 3
3° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 30. Si el polinomio P x x3 ax2 bx c ,
1° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 26. Si el divisor es x 2 5 x 2 y el dividendo
A) 7 x 7 B) 1 C) 7 x 7
de coeficientes coeficientes enteros, se a anula nula para x 2 y x 3 , determinar su término independiente, si además la suma de sus coeficientes es 10. A) 6 B) 12 C) 16
D) 7 x 7 E) 7 x 7
D) 18 E) 24
es x 2 2 x 5 , calcular el residuo. (1er exam. CEPRE-UNALM 2012 – II)
3° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 31. Si el desarrollo del cociente notable
1° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 27. Si la división x5 ax b deja como resto
x 1
x R y S tiene 14 términos, hallar R - S.
2
x 3 y 4
2ax b , el valor de ab es:
A) 15 B) 22 C) 10 D) -10
A) 14 B) 14 C) 98 D) 98
E) -15
E) 0
10
35. Se tiene el siguiente esquema de una división por el método de Ruffini:
3° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 91
91
32. Si x 1 x 1 adopta la forma de un 2 x
cociente notable exacto, en el cual uno de los términos del desarrollo es 7m m x2 1 x 1 , determinar el valor de
k L
p M
q e
10 -15
b
c
3
r
d
f
Hallar el valor de J am k L ad f A) 2 B) 3 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 36. Determinar el residuo de la división x 1 x2 1 x4 1 x8 1 ... x64 1
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2012 - II
33. Determinar e ell resto que s se e obtiene al 77 38 13 8 4 2 dividir x x x x x x x 1
x x 1 2
x 1 4
A) -1 B) 0 C) x 1 D) 1 x E) x 1
A) x 2 x x 1 2 B) 2 x x 1 C) x 1 D) 2 x 2 x 1 E) x3 x 1 2
37. El polinomio P x dividido por separado
PROBLEMAS ADICIONALES A DICIONALES
entre x 2 x 1 y
x
2
x 1 originan
residuos x 1 y 3 x 5 , respectivamente. Determine el término independiente del residuo de dividir 4 2 P x entre x x 1 , x R .
n1 34. Si el polinomio p x ax bxn 1 es
divisible por (x – 1)2 , calcular ab. A) n n 1 B)
n 10
a
m. A) 14 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6
3
m
n n 1 C) n 1 n 2
A) 1 B) 3 C) 5 5 D) 6 E) 8
D) n n 1 E) n n 2
11
Factorización Método de las identidades i dentidades
R econocimient econocimiento o de factore factoress primos. primos . 01. Completar respecto expresiones factorizadas
a
04. Factorizar cada polinomio a) P x, z x2 z 2 2 2 b) P x, y 9 x y c) P x, y, z x2 y 2 9z 2 d) P x x4 256 e) P x, y 3x 2 y 2 2 2 x y 1 2 2 2 f) P x, y x 2 1 y 2 1 g) P x x2 12 2 x 2 2 h) P x, y x3 3 xy 2 3 x 2 y y 3 2 i) P x, y x3 12 y3 12
las
a) . P x 5x 2 x 1 x 1 Factores primos: b) P x x x 1 x 1 x2 3 Factores primos: Factores primos lineales: Factores primos cuadráticos: c) P x, y xy x y xy 3
Factores primos: Factores primos lineales: Factores primos cuadráticos:
Método del as aspa pa s i mple.
d) P x, y x3 y2 3x 1 x2 1 xy 72
05. Factorizar cada polinomio a) J x 6 x2 19 x 8 b) x4 13x 2 36 c) x6 7 x3 8 d) x 2 5 x 2 10 x 2 5 x 24
Factores primos: Factores primos lineales: Factores primos cuadráticos: Factores primos múltiples: Factores primos simples:
Método del factor ccomún. omún. 02. Factorizar cada polinomio a) P x, y x5 y7 x3 y8
Método del as aspa pa doble. 06. Factorizar cada polinomio a) x2 xy 6 y 2 x 13 y 6 b) E x 2 x2 2 xy 5x 3 y 3
b) P x, y x5 y x3 y 2 x4 y 2 c) P x, y, z x4 y3 z 4 x2 y 5 z 4 x 2 y 3z 6 d) P x, y xy xy 3 y xy 3
Método de la la agr ag r upación. upaci ón. 03. Factorizar cada polinomio a) P x, y y2 7 y xy 7 x b) P x, y x2 y 3xy x 3 c) P x, y x3 y 2 2 x2 y 2 x2 y 2xy d) P x, y, z x 2 xz xy yz 2x 2z
2
2
c) 6 x 9 x 9 xy 3 y 7 y 2 d) 12 x2 19 y 17 x 14 xy 6 10 y2 2
2
2
Método del as aspa pa doble es pecial peci al.. 07. Factorizar cada polinomio a) x4 4 x3 6 x2 5 x 2 b) 3 x 4 x 2 2 x3 4 x 1 c) 4 x 4 2 x 1 4 x3 3x2 d) 4 3 9 2 13 6 x x x x
2
xyz yz xz z e) e) P x, y, z xy z x y xyz
12
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 12. Luego de factorizar el polinomio 3 2 18 , determinar P x 12 x 44 x 51x 18
Método de los los divi div i s or ores es bi binómi nómicc os . 08. Factorizar cada polinomio a) J x x3 x 6 b) M x 4 x3 x 3 3 2 c) 45 x 9 x 5 x 1 d) x 4 x3 9 x 2 13 x 6
la suma de los factores primos de dicho polinomio. A) 5 x 4 B) 5 x 5 C) 5 x 6 D) 5 x 7 E) 5 x 8
e) x 4 2 x3 x 2 5 x 7 f) x 5 3 x 4 7 x3 9 x 2 7 x 3
Método del qui quita ta y pon.
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2014 - I 13. Si un factor primo del polinomio 4 2 Q a a 6a 25 es idéntico al
09. Factorizar cada polinomio a) x 4 3 x 2 4 b) E x 3 6 x4 15x2 4 c) x 4 7 x 2 9 d) x5 x 1 e) Q x x5 x4 1
polinomio P 0 ,
2 F a Ma Pa N ,
donde
1 . calcular E P N M
A) 81 81 B) C) 125 4 D) 16 E) 10
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 10. Si la suma de los factores primos del polinomio P x, y x2 x y 2 y x2 y xy2 es
equivalente
al polinomio x a 3 x b 1 , hallar el valor de ab
A) 12 B) 20 C) 15 D) 24 E) 40
2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 13. Cuántos factores primos tiene el polinomio 11
E x, y x y
9
7
x y x2 y 2
A) 2 4 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1
2° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 11. Si los polinomios 2 x 2 ax 6 y 2 2 x bx 3 admiten un factor común de la forma 2 x c , determinar el valor de E c b a .
2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 14. Factorizar
P x 2 x x 10 x 5x 8x 4
5
4
3
2
e
indicar el factor primo con mayor suma de coeficientes. A) x 4 B) 2 x 3 C) x 1 D) x 2 E) x 1
A) 2 B) 2 C) 6 D) 6 E) 9
13
2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 15. Si la suma de los factores primos cuadráticos del polinomio 3 3 P x x 8 x 19 27 es equivalente a Ax 2 Bx C ,
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 19. Hallar la suma de los términos lineales de todos los factores primos de P x x 1 x 2 x 3 x 4 21
hallar el valor de AB C B 3
A) 169 B) 216 C) 144 D) 125 225 E) 225
A) x B) 2 x C) x D) 2 x E) 4 x
EXAM. FINAL PRE AGRARIA INT 2014 16. El factor primo de mayor grado del polinomio P x 3x4 x3 23x2 9x 36
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 20. La suma de los factores primos de: 2 es: E x xy 3x 2 y 2 ,
es de la forma Ax 2 Bx C . Hallar el 3B valor de 1 .
A) x y 3 B) x y 1
A) 81 B) 49 C) 125 D) 343 343 E) 216
C) 2 x y 3 D) 2 x 2 y 1 E) x 2 y 3
A C
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 21. Indique el factor primo cuadrático del polinomio: 2 P a, b, c a 2b2 a 2 c 2 b2c 2 a 2 ab b 2
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 17. Determinar el número de factores primos del polinomio 2013 P x, y, z x9 y6 z 2 x7 y8 z x5 y10 z
A) b 2 c 2 B) a 2 b 2
A) 4 5 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
C) a 2 1 2
D) c 1 D) E) a 2 c 2
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 18. Si la suma de los factores primos lineales del polinomio 7 6 4 3 es P x x 4 x 11x 6 x
equivalente a B 1 .
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 22. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio P x 27 x3 28 x3
Ax Ax B , hallar el valor de
E
A
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 D) 6
A) 81 B) 32 C) 216 D) 63 E) 243 243
E) 8
14
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2013 - I 23. Al factorizar m3 mnp m2 p n 2 p n 3
indicar un A) m n p
factor
primo.
B) m n p
3° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 27. La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio: es: E x x2 y 2 2 x 1
A) 0 B) 1 C) 2
2 C) m mn n2 D) m2 mn n2 E) m2 mn n2
D) 1 E) 2
2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 24. Al factorizar el polinomio 9 6 9 7 8 9 5 10 9 P x, y, z x y z 2 x y z x y z
, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( ) Tiene 5 factores primos. ( ) La suma de los factores primos es 3 x y z . ( ) Tiene un factor primo cuadrático. A) FFV B) VVV C) VVF VVF D) FFF E) VFF
ADMISIÓN AGRARIA 2014 - II 4 28. Factorizar x 3 x 4 81 , indicar un
factor primo. A) 2 x 3 B) x 6 C) x 3 D) 2 x 6 E) x
PROB LEMAS LEMAS PR OPUES OPUES T OS 29. Al
factorizar
el
polinomio p x x 1 x , si m x es el factor 5
primo de mayor coeficiente lineal, hallar m 2 .
2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 25. La suma de los factores primos del polinomio E x 2 x2 2 xy 5 x 3 y 3 es:
A) 2 B) 1 1 C) 3 D) 5 E) 4
A) 2 x y 3 B) 2 x y 3 C) 3 4 x y D) x y 3
30. A partir del esquema
x 4 5 x3 8 x 2 cx 2
E) x y 4 2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - II 26. Factorizar e indicar el coeficiente del término lineal de uno de los factores primos del polinomio: 4 2 E x 36 x 15x 4
x 2
ax
2
x 2
bx
1
hallar
ab 2
15/2 A) 15/2 B) 15 C) 5/2 D) 7/2 E) 3/2
A) 6 B) 2 C) 3 C) 3 D) 2 E) 6
15
c ; a b.
,
31. Al factorizar el polinomio p x 4 x8 57 x6 210x4 193x2 36 ,
A) 7 B) 5 C) 6 6 C) D) 3 E) 2
hallar el número de factores primos mónicos de término independiente negativo. A) 4 B) B) 3 3
34. Al
factorizar
polinomio 3 p x, y x4 16 y4 3 13x4 208 y4 27 ,
el
hallar la suma de coeficientes del factor primo de mayor término independiente. A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 5 33. Al
factorizar
5
4
el 3
polinomio 2
p x x 15 x 85 x 225 x 274 x 120 , hallar la suma de los factores primos de término independiente impar. A) 3 x 11 B) 2 x 4 C) 2 x 12 D) 2 x 8 E) 3 x 9
C) 5 D) 2 E) 6 32. Al
factorizar
35. Dado el polinomio x5 3 x 4 4 x 2 4 x 1 , hallar la suma de coeficientes de los términos lineales de sus factores primos mónicos. A) 5 B) 1 C) 4 D) 2 D) 2 E) 3
el
polinomio p x 1 0 x5 2 x4 x3 11x2 4x 4 , hallar
la menor suma de coeficientes de sus factores primos.
16
Fracciones algebraicas
C álculo d del el MCD y mcm. Fr acciones cc iones parci parci ales. es .
1. Calcular el MCD en cada ca caso. so. 2
4. Calcular las fracciones parciales en cada caso. a) 7 x 31 x 3 x 5 5 x b) x 2 x 6 2 c) 3 x 3 x 1 x 3 x 2 d) 2 x 8 x3 x2 4 x 4
4
a) P x x 1 x 3 x5 y 4 3 Q x x 1 x 2 x7
b) P x 2 x 15 x 1 x 7 2 x5 y Q x 2 x 1
3
4 5 3 x 1 x 4 x 7
c) P x; y; z x3 y 4 x y 5 xz 1 2 Q x; y; z x 4 y 2 z 4 x y 3 2 R x; y; z x 5 z 2 x y xz 1
Lí mit mite e de fracciones. fracciones . 5. Calcular los verdaderos valores en cada caso. 2 a) Lim x 4 x2 2 x3 5 x 6 b) Lim x 2 x 1 x1 x2 5 x 4 3 2 5 x 37 x c) Lim 37 4 3 5 x 37 x x
2. Calcular el mcm en cada caso. a) P x 2 x 13 x 1 y 2 Q x 3 x 2 2 x 1 b) P x x 4 3 2 x 1 2 y Q x 2 x 1
5
x 3 x 4
5
4
5 x 243
5
c) P x; y; z x8 z 2 2 x 3 y xyz 5 Q x; y; z x y z 2
3
4
d) Lim x3 x 4 81
9
xyz 5 3
R x; y; z x 5 y 7 z 4 2 x 3 y
6. Calcular los límites al infinito. 7 10 a) Lim 3 x 2 x 1 x 5 x 2 3 5 x10
Operacione Ope racioness con fr acciones cc iones alg ebraica ebraicass
4 x 5 x 6 x b) Lim x 2 x8 1 7 x 3 9 10 2 c) Lim x 4 x x x 3 x 2 x3 9 10 2 d) Lim x 4 x x x 3 x 2 x3
3. Operar en cada caso. a) 2 x 3 3 x 8 x 1 x 1 b) x 2 x 6 x 2 4 x 3 2 x 2 4 x 5x 6 c)
2 x x 1 2
x2 2 x 1
d) e)
x 3
2 x 3x 4
x 2
x2 x2
7. Operar en cada caso. a) 2 50 18 32 5 8 b) 5 12 3 27 27 2 48 48 3 7 75 5 3 c) 2 16 16 2 3 54 54 2 3 250
12 x
x 3 x 3 x 2 9 x 2
Operacione Ope racioness con radical radicales es..
x2 1
x3
3
8x 2 x 4
324 2 18 5 4 64 64 2 8 d) 2 4 32
17
3° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I
R adical dicales es doble dobless
11. Una fracción parcial de
8. Transformar a radicales simples en cada
A) 3 x 1 B) 10
caso. a) b)
7 2 10 10
11 2 3 0
c) d) e) f) g) h)
9
72
x 1
C)
D)
13 120 21 6 6 77 10 6
x 1
3° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 12. Hallar el equivalente de la fracción
6 12 3 3 A) 4 2 3 F
Racionalización 9. Racionalizar en cada caso. 5
b) c)
5
2 x 4
d)
C) 3 1
3
3
B) 3 1 D) 2
2
2 x
5 2
8 3 7
3
3° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 13. Si se cumple 4 2 5 1
hallar A) 24 B) 38 C) 15 D) 36 E) 18
10. Calcular los verdaderos valores en cada caso. a) Lim x 1 x 1 x 1 3 b) Lim 5 x 5 x25 x 2 625 Lim x 4
3
E) 4 2
Lí mite de fracci ones con c on radicale radicaless .
c)
6
E) 5
28 5 12 12
a) 10 7 3
3 x 1 x 1
19 3 8
3 x es: x 2 2 x 1
el
valor
7 5
de
M N
,
M N .
3° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I 3 2 14. Hallar x 4 3 x 4 Lim 2 x8 x 8
A) 1/8 B) 1/144 C) 1/12 D) 1/64
x 5 3 3 x 4 4
3 2 d) Lim x 1 2 x3 3 x 9
E) 1/16
18
2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 19. Al descomponer en fracciones pa parciales rciales x 5 indique una de ellas. F x 2 x 2 x 8 1 A) 2 x 4
4° EXAM. PRE AGRARIA 2014 - I. 15. Transformar a radicales simples e indicar el denominador racionalizado. E 1 2 2 12 108
A) 1 B) 2
3
B)
2 x 2
C) D) 3 4 E) 5
3
C)
2 x 4
EXAM. FINAL PRE AGRARIA 2014 - I . x 2 x 2 x 4 16. Hallar Lim x 2
x
3
5
D)
2 x 4
8 x 3
1
E)
2 x 2
A) 1 4
3° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 20. Determinar el valor de a 2 b 2 , si se
B) 2 C) 1
verifica
2
40 8 10 6
D) 1 8
E) 1 2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 17. Calcular el valor numérico para x 4 del máximo común divisor de los siguientes polinomios y P x x 2 4 x 3 x 2 x 2 x 1 Q x x 3 3 x 2 4 x 2 x 2
A) 16
son números 234 A) 234 B) 224 C) 214 D) 204 E) 201
; y b 5 5 a b a racionales
positivos.
3° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 21. El denominador racionalizado de la 1 es: fracción F 10 14 15 21 A) 1
B) 2 C) 2 5 D) 14 E) 15
B) 108 C) 50 D) 48 E) 100 2° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 18. Hallar el valor límite de 2 2 x 5 x 3 para x 1 E x 3 2 2 2 x 7 x 7 x 2 A) 14/3 14/3 B) 2 C) 7/3 D) 3/7
E) 15/4
19
3° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 22. Si se verifica la siguiente igualdad 4 4 49 2400 17 288 M N ; donde 2 M , N Z , hallar el valor de M 5 N . A) 9 B) 14 14 C) 12 D) 10 E) 11
3° EXAM. PRE AGRARIA INT. 2014 23. Determinar el valor 2 x 2
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II. 26. Dada la siguiente identidad
de
8 6
K 2 Lim
x 2 x 1 3
2 2 3
A) 7 B) 6
P, Q Z
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II. 24. Hallar el valor numérico, para x 3 , del
MCD
de
los
27. Determinar
polinomios
4
4
2
.
el
valor
10 2 10 6
ab
de
si
a b,
B) 10 C) 80 D) 30 E) 25 4° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II 28. Sabiendo que se
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II. 25. Sea la fracción racional pr propia opia en
x 1
tal que
2
x
es una de
x 5 x 12 x 35 sus fracciones parciales, determinar el producto de multiplicar por la otra 2
7 1 , hallar el
valor de m . A) 1 1 B) 2 C) 3
2° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 29. El equivalente de:
1 x 1 x 2
R
x 7
1
6 2m 10 2 8 2 7
cumple
D) 4 E) 5
fracción parcial. A) 2 x 7 B) 5
x 7
x 7
20
x 3
3
x 1 x 1 x
A) 2 B) 1/x C) x2 D) x 1 E) 1
x 7
4
2 P
Q P
hallar
A) 65
A) 1 B) 2 C) 3 D) D) 4 4 E) 5
E)
donde
a, b Q0
R x x3 7 x 6
3
4 3 5 3 5
Q x x4 x3 x2 x
D) D)
,
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - II
P x x 2 x 3
,
Q 3
A) 64 64 B) 81 C) 27 D) 125 E) 216
C) 3 5 D) 3 E) 1
C)
P
2
x 2
1
x3
1
x
2
1
,
es:
ADMISIÓN AGRARIA 2014 - I 2x 8 entonces 34. Si A B 2 3 x 2 2 x 3 6 x 13 x 6 el valor de 2 A B es igual a: A) 2 B) 0 C) 6 D) 4 E) 3 3 E)
3° EXAM. PRE AGRARIA 2013 - I 30. Simplifique
3 2.
3 2. 4
12
E
6
3 2
3 2
A) 1 B) 3 C) 5 E) 9
D) 7
PROBLEMAS ADICIONALES
31. Racionalice
8
35. Si p x x 2 2 x 3
e indique
15 5 3 1
y
el denominador resultante. 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
32. Simplificar
2
b E 2 1 b 2 a
2n
2
3
5
y 3
x 2 x 3 x 3
hallar el valor de . A) 4 B) B) 5 5
a
1
2 n
b 2n n 1 b a
C) D) 6 3 E) 7 36. Calcular el producto de los radicales simples A) 5 B) 2
al
6 2 12 .
transformar
C) 3 D) 9 E) 3 E) 3
2n
C) a b
37. Proporcionar el valor de :
2n
D) b a
11 2 12 4 4
de
n
E) ab
, N A) 1
ADMISIÓN AGRARIA 2014 - II
33. Hallar el verd verdadero adero valor de
1
2
M MCM CM p x , q x x 1
A) 1 B) ab
2
2 2 MCD MC D p x , q x x 1 x 2
2° EXAM. PRE AGRARIA 2012 - nII 2 1
a
x x 6 x 2 p x x 5 x 6 x 3 x 2
3
B) 3 2
x 2 1 ,
4
2 x 2 1
C) 2
si x 3 A) 1 B) 1/6 C) 0 D) 3/2 1/12 E) 1/12
3
D) 3 2 2
E) 2
2 3
21
4
a partir
4
40. Calcular una fracción 3 2 2 x 3 x 19 x 20
38. Al racionalizar la expresión 10 se obtiene: E 3 3 4 2 2
x 7
A) 4 4 3 2 2 3
3
C) 3 3 4 4 3 2 1
x
D)
4 2 1
E)
3
4 43 2 2
3
Lim x
7
2
x 7 2
x 5 x 2 2
2a 3 x x x 1 3
2
C) 2 x 3 2 x 7 D) 3 x
39. Si el límite de 3
A) 5 x 1 2 x 7 B) 2 x 1
B) 3 3 4 4 3 2 2 3
2
b
calcular el valor de b 0,1
,
2
E) 3 x 1 x 2 7
a b . Además
A) 1 2 B) 5 2 C) 1
8
D) 4 3
E) 5 4
22
2
parcial
de
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