Administración de Negocios Internacionales
ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA
ALUMNA
:
........................ ...................................... ........................... ......................... ......................... ................ ...
CICLO
:
III
SEMESTRE
:
2012-II
PROFESORA
:
Lic. Gladys Enríquez Mantilla
[email protected]
UNIFÉ
Administración de Negocios Internacionales
Estadística
CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Definición: Estadística es la disciplina que provee de métodos y procedimientos para obtener, describir, analizar e interpretar un conjunto de datos, que permiten, luego, tomar decisiones y predecir fenómenos que puedan expresarse en forma cuantitativa, de acuerdo a ciertos objetivos preestablecidos. Es decir, es la puesta en marcha del método científico desde la obtención de la información (datos) hasta las conclusiones, siempre con relación a los objetivos. La estadística es una ciencia auxiliar para todas las ramas del saber; su utilidad se entiende mejor si tenemos en cuenta que los quehaceres y decisiones diarias conllevan cierto grado de incertidumbre y la Estadística ayuda en la incertidumbre, trabaja con ella y nos orienta para tomar las decisiones con un determinado grado de confianza. La Estadística se clasifica en estadística descriptiva y estadística inferencial.
Estadística Descriptiva: Trata de la recolección, clasificación, presentación y descripción descri pción de los datos. Es decir sólo s ólo se ocupa de describir y analizar un grupo de datos, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor. Es lo que piensa la mayor parte de las personas cuando escucha la palabra “Estadística”. La Estadística descriptiva es una parte de la Estadística cuyo objetivo es examinar a todos los individuos de un conjunto para luego describir e interpretar numéricamente la información obtenida.
Estadística Inferencial o Inductiva: En la estadística inferencial vamos más allá de la mera descripción de los datos, ya que un objetivo básico es el uso de los datos provenientes de una muestra para hacer una afirmación acerca de una característica de la población. Se hacen dos tipos de afirmaciones: una tiene que ver con la estimación de parámetros y la otra con la prueba de hipótesis.
Proporciona la teoría necesaria para afirmar algo acerca de la población o tomar decisiones generales a partir de los datos bajo estudio. Es decir, se pretende inferir conclusiones referentes a la población de donde procede la muestra, estas conclusiones nunca pueden ser totalmente ciertas por lo cual siempre tendrán cierto grado de incertidumbre. Inferir es emitir juicios o conclusiones basados en algún conocimiento o experiencia sobre un evento o suceso.
Gladys Enríquez Mantilla
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Estadística
CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Definición: Estadística es la disciplina que provee de métodos y procedimientos para obtener, describir, analizar e interpretar un conjunto de datos, que permiten, luego, tomar decisiones y predecir fenómenos que puedan expresarse en forma cuantitativa, de acuerdo a ciertos objetivos preestablecidos. Es decir, es la puesta en marcha del método científico desde la obtención de la información (datos) hasta las conclusiones, siempre con relación a los objetivos. La estadística es una ciencia auxiliar para todas las ramas del saber; su utilidad se entiende mejor si tenemos en cuenta que los quehaceres y decisiones diarias conllevan cierto grado de incertidumbre y la Estadística ayuda en la incertidumbre, trabaja con ella y nos orienta para tomar las decisiones con un determinado grado de confianza. La Estadística se clasifica en estadística descriptiva y estadística inferencial.
Estadística Descriptiva: Trata de la recolección, clasificación, presentación y descripción descri pción de los datos. Es decir sólo s ólo se ocupa de describir y analizar un grupo de datos, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor. Es lo que piensa la mayor parte de las personas cuando escucha la palabra “Estadística”. La Estadística descriptiva es una parte de la Estadística cuyo objetivo es examinar a todos los individuos de un conjunto para luego describir e interpretar numéricamente la información obtenida.
Estadística Inferencial o Inductiva: En la estadística inferencial vamos más allá de la mera descripción de los datos, ya que un objetivo básico es el uso de los datos provenientes de una muestra para hacer una afirmación acerca de una característica de la población. Se hacen dos tipos de afirmaciones: una tiene que ver con la estimación de parámetros y la otra con la prueba de hipótesis.
Proporciona la teoría necesaria para afirmar algo acerca de la población o tomar decisiones generales a partir de los datos bajo estudio. Es decir, se pretende inferir conclusiones referentes a la población de donde procede la muestra, estas conclusiones nunca pueden ser totalmente ciertas por lo cual siempre tendrán cierto grado de incertidumbre. Inferir es emitir juicios o conclusiones basados en algún conocimiento o experiencia sobre un evento o suceso.
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Estadística Objetivos de la Estadística: Descripción.-
Los datos que están expresados en su forma natural se clasifican y se presentan en cuadros o tablas. Esta etapa preliminar consiste generalmente en la recopilación, organización, tabulación y representación gráfica de los datos y en la determinación de los estadígrafos que proporcionan en forma resumida una descripción cuantitativa del fenómeno estudiado.
Análisis.- Toda investigación estadística incluye un problema de análisis con el objeto de formarse un concepto de una población y adoptar decisiones; mediante el análisis se infiere propiedades para una población sobre la base de resultados muestrales conocidos. La tarea principal del análisis es producir la decisión que dio origen a la investigación. Sin embargo se considera que el análisis estadístico no está completo sin una estimación del grado de confianza que sea justificado atribuir a esa decisión.
Predicción.- Es la estimación de resultados en el futuro. Esta estimación dependerá del grado de conocimiento del comportamiento pasado y presente presente de las variables en estudio. Permite hacer conjeturas bien informadas acerca de observaciones que aún no se han obtenido.
Campos de aplicación de la Estadística.
Negocios.- Los negocios que utilizan el análisis estadístico pueden: incrementar la rentabilidad, reducir los costos, mejorar la eficiencia operativa, mejorar la satisfacción del cliente, medir las reacciones de los consumidores ante nuevos productos, tomar decisiones en cuanto a la forma de invertir el presupuesto para publicidad, determinar el mejor método para utilizar las habilidades y aptitudes de sus empleados, etc. La estadística lo ayuda a: aprovechar los datos que han recogido a través de los años y establecer un perfil competitivo. La estadística juega un rol importante en los programas de reingeniería, de satisfacción del cliente, de satisfacción laboral del empleado y de mejoras de calidad. Hoy en día, el análisis estadístico es el arma secreta de muchos negocios exitosos. Permite a los usuarios analizar datos y sacar conclusiones. En lugar de confiar en suposiciones, los profesionales de los negocios utilizan las estadísticas para cuantificar las relaciones. Como resultado, estos profesionales toman mejores decisiones. El análisis estadístico ha ayudado a los usuarios a encontrar soluciones a problemas en diversos campos, que incluyen: Análisis de satisfacción del cliente - incrementar la lealtad del cliente. Análisis de segmentación de mercado - manejar más efectivamente el perfil del objetivo. Análisis de productividad de ventas - dirigir mejor al personal de ventas. Evaluación de programa - incrementar la satisfacción del participante. Estudios de mercado - proyectar estrategias de negocios más efectivas. Encuestas de opinión pública - comprender mejor los temas clave y las necesidades. Mejoras de la calidad - manejar un producto o un servicio más efectivamente. Análisis de riesgo crediticio - generar pólizas de préstamo más efectivas. Evaluación del territorio de ventas - cubrir mejor las oportunidades de venta. Análisis de mercadeo directo y promociones - mejorar las ganancias con modelos mejores. Análisis del servicio al cliente - reducir los errores y las quejas. Análisis del soporte al cliente - disponer de un staff más adecuado para cubrir la demanda. Análisis de diseño de producto - mejorar el éxito de nuevos productos. Desempeño de una línea de productos - racionalizar o expandir las ofertas de productos. Predicción de ventas - planear más eficientemente la fabricación. Análisis de logros de los empleados - seleccionar al personal en forma más efectiva.
Para quienes están en el área de investigación de mercados, la estadística es de gran ayuda en el momento de determinar qué tan probable es que un producto nuevo sea exitoso. La estadística también es muy útil para evaluar las oportunidades de inversión por parte de asesores financieros.
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Estadística Economía.-
El economista emplea una amplia gama para estudiar los planes de los consumidores y efectuar pronósticos de la tendencia de las actividades económicas. Un comerciante que quiere formar un stock de un determinado artículo, para tener conocimientos respecto de la futura demanda del mismo, se encontrará a varios interrogantes: el gusto de los consumidores, la competencia, la renta de los consumidores, etc. De ellos no tiene sino un conocimiento promedio respecto del pasado y del presente, base sobre la cual debe formar su inferencia y proceder, para resolver la cuestión ha debido actuar sin saberlo, con mentalidad de estadístico.
Contabilidad.- El auditor de una empresa no pierde tiempo en examinar todos los elementos que ésta posee sino que mediante métodos adecuados selecciona algunas muestras de los inventarios, máquinas o documentos en cobro.
Ingeniería.- Existen pocas áreas donde el impacto del desarrollo reciente de la estadística se haga sentir más que en la Ingeniería y en la administración industrial.. La estadística aporta a resolver los problemas de producción, al uso eficiente de materiales y fuerza de trabajo, a la investigación básica y al desarrollo de nuevos productos. El ingeniero industrial, que no puede examinar cada ampolleta o fósforo fabricados sin incurrir en la destrucción del producto, controla su calidad mediante muestras tomadas al azar. La estadística permite al ingeniero comprender fenómenos sujetos a variaciones y predecirlos o controlarlos eficazmente.
Sociología.-
Las técnicas estadísticas se emplean en los estudios comparativos de diferentes grupos socioeconómicos y culturales y en el estudio del comportamiento y las actitudes de grupo. El sociólogo trata de auscultar la opinión pública mediante encuestas, para determinar su preferencia por un candidato preferencial o su posición frente a determinados problemas económicos, políticos y sociales.
Educación.- La educación es campo inagotable de investigación y demanda estadísticas pues permite resumir los resultados en forma significativa y conveniente, permite llegar a conclusiones generales, permite hacer predicciones. Los problemas educacionales que para su solución demandan base estadística son de dos clases: problemas de carácter administrativo y los de orden didáctico.
Psicología.- Los psicólogos se valen de los los conceptos y técnicas de la la Estadística para medir y comparar la conducta, actitudes, la inteligencia y aptitudes del hombre.
Medicina.- La Estadística es muy útil ya que con ella podemos apreciar si las medicinas impartidas en distintos lugares, tienen mejor aceptación en personas de mediana edad por ejemplo, o también para proporcionar mejores métodos para controlar las enfermedades. La Estadística en Medicina es imprescindible, probando nuevos tratamientos en grupos de pacientes o bien, obteniendo conclusiones sobre ciertas enfermedades observando durante un tiempo un grupo de pacientes (saber si para el tratamiento de cierto tipo de cáncer es más efectiva la cirugía, la radioterapia o la quimioterapia, sin más que observar un grupo de pacientes tratados con estas técnicas).
Derecho.- La Estadística se ha aplicado a una amplia variedad de proyectos de investigación que implican el estudio de individuos o grupos. Los medios de comunicación hablan de las estadísticas de criminalidad, de violencia familiar, de suicidios, de divorcios, intervenciones realizadas por la policía, etc.
Periodismo.- Los periodistas además de dedicarse al ámbito de la noticia, realizan crónicas y estudios de investigación, que nos entregan preguntas y respuestas frente a determinados sucesos o situaciones de interés público. Valiéndose de las encuestas u otros instrumentos técnicos de medición es posible conocer la opinión de la gente y con ello informar a la opinión pública, a través de los medios de comunicación, desde donde las autoridades pueden adoptar las medidas correctivas, si es el caso.
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Estadística TERMINOLOGIA USADA EN ESTADÍSTICA
Población o Universo.-
Es la totalidad de individuos o elementos que poseen alguna característica común susceptible de ser estudiada. Es la totalidad de las unidades de análisis. El estudio de la población completa se llama censo y es con frecuencia costoso, lleva mucho tiempo y no es práctico. Si la población es pequeña, es razonable realizar un censo. Ejemplos: - Todas las alumnas del tercer ciclo de la Unifé. - Todos los meses comprendidos durante el periodo 2006-2011 La población puede ser finita e infinita. Población Finita.- Cuando es posible posible enumerar todos sus elementos de tal manera que que haya un primero y un último elemento. Al número de elementos de una población finita se le denota por N. Población Infinita.- Cuando sus elementos elementos no se pueden enumerar. En la práctica toda población extremadamente grande se trata como población infinita.
Muestra.- Es un subconjunto representativo de la población que se aísla para su análisis estadístico. Se toman muestras cuando es difícil o costoso observar todos los elementos de la población. El número de elementos de la muestra se denota por n. Al proceso de obtener la muestra se llama muestreo. Ejemplos: - Las alumnas del tercer ciclo del programa de Administración de Internacionales. - Todos los meses de verano v erano comprendidos durante el e l periodo de 2006-2011.
Negocios
Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población, ejemplificar las características de la misma. Cuando decimos que una muestra es representativa indicamos que reúne aproximadamente las características de la población que son importantes para la investigación. Si una muestra es representativa de una población, es posible inferir importantes conclusiones sobre las poblaciones a partir del análisis de la muestra. Ya que dicha inferencia no es del todo exacta, el lenguaje de las probabilidades aparecerá al establecer nuestras conclusiones.
Unidad Estadística o unidad de Análisis.- Es el objeto o elemento indivisible que será estudiado en una población, sobre el cual se van a obtener datos. La unidad estadística genera el fenómeno que se desea estudiar y proporciona datos concretos. Es cualquier elemento que aporte información sobre el fenómeno que se estudia. Ejemplos:
un alumno, un mes, una empresa, un trabajador, una sección.
Variable.- Es un número o denominación que podemos asignar a la unidad de análisis. Es una característica de la población que interesa al investigador. Son observables y susceptibles de tomar distintos valores o ser expresados en diferentes categorías. Es una característica o propiedad determinada del individuo, sea medible o no.
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Estadística Esta propiedad hace que las personas de un grupo puedan diferir de las de otro grupo en la muestra o población de estudio. A las variables se les denotan con las letras: x, y, z. Las variables pueden ser: Cualitativas y cuantitativas. Variables Cualitativas.- Cuando se refieren a características, atributos o actitudes. Son variables cuyos valores consisten en categorías de clasificación, es decir se refieren a la cualidad que presenta la población. Sus resultados no son numéricos. Ejemplos: - Estado Civil - Marca de PC
- Clase social - Color favorito
- Lugar de Procedencia - Ciclo de estudios.
Las variables cualitativas pueden ser: nominal y ordinal. Variable cualitativa nominal .- N o implica ningún orden jerárquico entre las diferentes
categorías. Ejemplos: - Color de ojos - Sexo - Curso favorito
- Profesión - Raza - Estado Civil
- Partido político - Nacionalidad - Religión
Variable cualitativa ordinal .- Implica un orden jerárquico entre sus categorías.
Ejemplos: - Grado de instrucción - Clase social
- Año de estudios - Contextura física
- Grado académico. - Piso donde reside.
Variables cuantitativas.- Cuando expresan dimensiones o capacidades. Son variables que se obtienen como resultado de mediciones o conteos. Ejemplos: - Nº de acciones - Temperatura
- Gastos - Ingresos
- Nº de empleados - Volumen de ventas
Las variables cuantitativas se clasifican en: Discretas y Continuas. Cuando asumen valores numéricos aislados y no pueden tomar ningún valor entre dos consecutivos. Son contables. Se asocian con los números naturales. Variables cuantitativas discretas .-
Ejemplos: - Número de hijos. - Número de cursos aprobados.
- Número de computadoras en reparación. - Número de Ingenieros que siguen maestría.
Variable cuantitativa continua .- Cuando puede tomar cualquier valor, dependiendo éste
de la precisión con que se trabaje. Es decir, puede tomar infinitos valores entre dos números por muy próximos que estén. Es aquella que puede sufrir cualquier grado de subdivisión. Son medibles. Se asocian con los números reales. Ejemplos: - Edad - Presión Arterial - Sueldo
- Presión arterial - Calificaciones - Nº Horas de Estudio
- Estatura - Peso al nacer - Velocidad
Dato Estadístico u Observación.- Es el valor o respuesta que adquiere la variable en cada unidad de análisis. Son números o medidas que han sido recopilados como resultado de observaciones, que pueden ser comparados, analizados e interpretados. Los datos son la materia prima de la estadística.
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Estadística Un conjunto de datos constituye un grupo de valores o características registradas para cada uno de los individuos observados. Es la información disponible. La característica principal de los datos estadísticos, es que los valores cambian de un individuo a otro. Ejemplos: Variable Peso Lugar de procedencia Nº de cursos reprobados Nivel socioeconómico
Datos 50, 55, 70, 62, 56, 74, … Lima, Ica, Huancayo, Trujillo, Arequipa, … 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, … Alto, Medio, Alto, Bajo, Alto, Bajo, Medio, …
Parámetro.- Es un valor obtenido para describir en forma resumida las características más importantes de una población. Son las medidas de resumen de una población, ésta puede tener muchas características y por lo tanto muchos parámetros. Para determinar su valor es necesario utilizar la información de la población completa y por lo tanto, las decisiones que se tomen basándose en un parámetro serán con certidumbre total. Los parámetros más usados son: Media : µ Proporción :
P
Varianza :
σ2
Ejemplos: - La edad promedio de todos los docentes que trabajan en la Unifé. - La proporción de alumnas a quienes les gusta el curso de Estadística en Administración de Negocios Internacionales de la Unifé.
Estadística o Estadígrafo.- Es una medida usada para describir alguna característica de la muestra. La toma de decisiones basada en un estadígrafo contiene cierto grado de incertidumbre debido al error de muestreo. La estadística puede usarse para hacer inferencias acerca de los parámetros de la población. Los estadígrafos más usados son: Media : x Proporción :
p
Varianza :
S2
Ejemplos: - El promedio aritmético de la edad de 20 docentes elegido al azar en la Unifé. - La proporción de alumnas a quienes les gusta el curso de Estadística en un grupo elegido al azar en Administración de Negocios Internacionales de la Unifé.
Proporción.- Es la fracción de la población que posee una determinada propiedad. Es el parámetro que más se utiliza en la descripción de una población de atributos. Es la relación que existe entre el número de casos observados con una característica y el total de objetos que poseen la característica. Indica el tanto por 1. Ejemplo: Se tiene una población de 1200 administradores compuesta por 300 mujeres y 900 hombres, entonces la proporción de hombres será: 900 3 P= = = 0.75 La proporción de administradores varones es 0.75. 1200 4
Porcentaje.- Es la proporción multiplicada por 100. Permite comparar dos o más series estadísticas cuyos totales son diferentes pues quedan reducidos a 100. Ejemplo: Se tiene una población de 1600 administradores compuesta por 600 mujeres y 1000 hombres, entonces el porcentaje de mujeres será: 600 P% = El 37.5% de los administradores son mujeres. × 100 = 37.5% 1600
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Estadística
EJERCICIOS PROPUESTOS Terminología Estadística
I.-
En cada uno de los siguientes problemas identificar la variable y el tipo de variable. a)
Gastos en insumos efectuados para el buen funcionamiento de una empresa. Variable Tipo de variable
b)
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
Los sueldos que perciben los administradores que trabajan en el Banco de Crédito. Variable Tipo de variable
h)
.......................................................................
El tiempo de reacción de un conductor de automóvil cuando se enfrenta a un peligro inminente. Variable
g)
:
Número de supervisores de turno encargados de operaciones de cómputo en una aerolínea. Variable
f)
.......................................................................
El tiempo que demora un trabajador en realizar una tarea determinada. Variable
e)
:
Nivel socioeconómico de los alumnos de una universidad. Variable
d)
.......................................................................
Nivel de aceptación de cierto producto en el mercado. Variable
c)
:
:
.......................................................................
:
.......................................................................
El número de errores de tipeo observados en un trabajo escrito en Word. Variable Tipo de variable
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:
.......................................................................
:
.......................................................................
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Estadística i)
Sabores de una bebida refrescante que pronto será lanzada al mercado. Variable Tipo de variable
j)
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
Tipo de variable
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
:
.......................................................................
El número de libros de la Biblioteca de la Unifé que diariamente salieron en calidad de préstamo durante el año 2009. Variable Tipo de variable
II.-
.......................................................................
El desempeño en el trabajo de un trabajador se clasifica como: óptimo, bueno, regular, malo y pésimo. Variable
o)
:
Forma de pago al realizar una compra. Variable
n)
.......................................................................
Valor del patrimonio de los ejecutivos de una empresa. Variable
m)
:
La temperatura registrada en Lima durante los últimos veinte días. Variable
l)
.......................................................................
Grado de riesgo de los fondos de inversión de una entidad financiera (riesgo menor, riesgo mayor). Variable
k)
:
:
.......................................................................
:
.......................................................................
Para cada uno de los siguientes problemas, calcular e interpretar la proporción (muestral o poblacional) correspondiente. a)
De 1250 reclamos que presentaron los clientes de una tienda, durante el año pasado, 120 fueron por artículos de mala calidad. =
=
....................................................................... .......................................................................
b)
En la Unifé se eligieron al azar a doscientos alumnas a quienes se les pregunto acerca de su curso favorito, encontrándose que 45 preferían Estadística. =
=
....................................................................... .......................................................................
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Estadística III.-
En cada uno de los siguientes problemas, identificar: Población, muestra, unidad estadística, variable, tipo de variable.
1.-
Con la finalidad de realizar un estudio acerca del Nº de cursos reprobados durante el semestre anterior por las alumnas de Negocios Internacionales de la Unifé, se recopilaron los datos correspondientes a 18 alumnas seleccionadas en forma aleatoria.
2.-
3.-
4.-
Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................................
Se desea hacer un estudio acerca del número de virus informáticos que diariamente han ingresado en las computadoras de la empresa ABC S.A. durante el año pasado, con tal objetivo se han recogido en forma aleatoria 95 datos. Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................................
Se tienen datos que indican el número de trabajadores que faltaron a la fábrica El Sol en 50 días de trabajo durante el periodo enero-marzo del 2012. Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................................
Se desea hacer realizar una investigación acerca del tiempo que las alumnas de la Unifé utilizan Internet. Con tal motivo se seleccionó en forma aleatoria a un grupo de cincuenta y cinco estudiantes correspondientes a las diferentes facultades a quienes se les preguntó cuántas horas usaron Internet durante la semana anterior a la entrevista. Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................................
Gladys Enríquez Mantilla
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Estadística 5.-
6.-
7.-
Se desea hacer un estudio acerca de la efectividad de los técnicos de una gran tienda de computadoras con tal motivo se han registrado el número de computadoras reparadas durante el transcurso de cinco años por un grupo de 35 técnicos seleccionados al azar. Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................................
Interesa realizar un estudio acerca de la cantidad de clientes por día que visitan una tienda que vende computadoras. Para tal efecto se ha tomado una muestra al azar de 15 durante el semestre pasado. Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................
Durante seis años se ha venido registrando el número de autos vendidos mensualmente por los vendedores de una tienda. Se cuenta con los siguientes datos obtenidos en una muestra seleccionada al azar. 59
8.-
62
54
48
73
62
73
49
74
84
Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................
Se realizó una encuesta a algunas alumnas seleccionadas al azar en la Unifé, y se les preguntó “para qué usaban Internet”, obteniéndose los siguientes resultados: 1: Chatear 1
2: correo electrónico
2
3
Población
:
.............................................................................................
Muestra
:
.............................................................................................
Unidad estad. :
.............................................................................................
Variable
:
.............................................................................................
Tipo de var.
:
.............................................................................
Gladys Enríquez Mantilla
2
3
3
3: Bajar información 1
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Estadística
TABLAS UNIDIMENSIONALES DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Las tablas de distribución de frecuencias son un método apropiado para sintetizar información que es numerosa. La idea fundamental en la creación de tablas de frecuencia es que las variables se arreglan en categorías o clases y se calculan frecuencias para cada clase. Una distribución de frecuencias ofrece una lista de todos los valores posibles de la variable y del número de veces que se presenta cada uno de los mismos, tanto en valores absolutos como en relativos. Su propósito es organizar el conjunto de datos recopilados, ya sean éstos cualitativos o cuantitativos, en una forma adecuada para su comprensión y análisis. Una tabla que presenta la clasificación de una variable se llama Tabla Unidimensional de Distribución de Frecuencias.
Elementos de una tabla: 1.-
Valor de la variable: Xi Cuando la variable toma pocos valores diferentes, en la tabla se menciona a cada uno de ellos. Xi : X1 , X2 , X3 , ............ , Xk k : es el número de valores diferentes de la variable. Ejemplo: Edad Xi 18 19 21 22
2.-
Intervalo de Clase: Ii Cuando la variable toma muchos valores diferentes, no pueden mencionarse a todos los valores; por lo tanto deberán construirse intervalos, los cuales pueden ser: a) b)
Cerrados : [ Ii ] Semiabiertos : [ Ii [
si la variable es discreta. si la variable es continua.
Ii : I1 , I2 , I3 , ............. , Ik
k : es el número de intervalos.
Ii : [ Edad [ 15-20 20-25 25-30 30-35
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Estadística Límites Reales.-
Se llaman así a los límites de los intervalos semiabiertos. Entonces si la variable es continua la tabla ya tiene límites reales.
Límites Aparentes.-
Son los límites de los intervalos cerrados. Entonces si la variable es discreta la tabla tiene límites aparentes; por lo tanto deberán construirse los límites reales de la siguiente manera:
Límites aparentes [ L i − L s ]
………………...
10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29
3.-
Límites reales [ L i − L s [ 9.5 – 14.5 14.5 – 19.5 19.5 – 24.5 24.5 – 29.5
Marca de Clase : Xi Es el valor representativo de cada intervalo de clase, se calcula hallando la semisuma de los límites inferior y superior de cada intervalo. L + L Xi = i s 2 Ejemplo : Xi 17,5 22,5 27,5 32,5
Ii : [ Edad [ 15-20 20-25 25-30 30-35
4.-
Frecuencia absoluta simple : f i Es el número de unidades estadísticas que presentan cada uno de los valores diferentes de la variable o también es el número de unidades estadísticas que pertenecen a cada intervalo. Ejemplos : Xi Edad 18 19 21 23 total
f i Nº de personas 6 2
Ii : [ Edad [ 15-20 20-25 25-30 30-35 total
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f 3 = 10 diez personas tienen 21 años.
10 4 n = 22 f i Nº personas 4
9
f 2 = 9 → nueve personas tienen una edad de 20 a menos de 25 años.
3 12 n = 28
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Estadística f i Nº empresas 5
Ii : [ Nº de PCs] 10-14 15-19 20-24 25-29 Total
f 2 = 8 → Hay ocho empresas que tienen de 15 a 19 PCs.
8 2 6 n = 21
k
Se debe cumplir:
∑ f i = n
0 ≤ f i ≤ n
i =1
5.-
Frecuencia relativa simple: Es la proporción o porcentaje de unidades estadísticas que presentan los diferentes valores de la variable o que pertenecen a los diferentes intervalos de confianza. Proporción : hi
Porcentaje : hi%
f hi = i n
hi% = hi × 100
Ejemplo: Edad Xi 18 19 21 23 total
Nº de personas f i 6 2 10 4 n = 22
Proporción Personas Porcentaje Personas hi hi% 27 0,27 0,09 9 0,46 46 0,18 18 1,00 100
h1 = 0,27
→
En una proporción de 0,27 están las personas que tienen 18 años.
h3 % = 46%
→
El 46% de las personas tienen 21 años.
Se debe cumplir:
0 ≤ hi ≤ 1
0 ≤ hi % ≤ 100
k
∑ hi
k
=
∑ hi % = 100
1
i =1
6.-
i =1
Frecuencia absoluta acumulada: Fi Es el número de unidades estadísticas que presentan hasta determinado valor de la variable o hasta cierto intervalo de clase. Se obtiene acumulando sucesivamente las frecuencias absolutas simples (f i). Edad Xi
Nº de Personas f i
18 19 21 23 total
hi%
6 2 10 4 n = 22 f 1 ≤ Fi ≤ n
F3 = 18
hi
→
Gladys Enríquez Mantilla
Nº de Personas Fi 6 8
18 22 Fk = n
Dieciocho personas tienen de 18 a 21 años de edad.
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Estadística 7.-
Frecuencia relativa acumulada: Se obtienen acumulando sucesivamente las frecuencias relativas simples (h i o hi% ) o mediante las fórmulas: Proporción: Hi
=
Porcentaje:
Fi
Hi %
n
= Hi ×
100
Ejemplo: Edad Xi
Nº Personas f i
18 19 21 23 Total
6 2 10 4 n = 22
hi
hi%
Nº Personas Fi
0,27 0,09 0,46 0,18 1,00
27 9 46 18 100
6 8 18 22 -
h1 ≤ Hi ≤ 1
H3 :
Proporción Personas Hi 0,27 0,36
Porcentaje Personas Hi% 27 36 82 100 -
0,82 1,00 -
h1% ≤ Hi% ≤ 100
La proporción de personas que tienen de 18 a 21 años es 0.82
FORMAS QUE PUEDE PRESENTAR UNA TABLA DE FRECUENCIAS 1.-
Cuando la variable es cualitativa nominal, la tabla presenta únicamente la variable, frecuencias absolutas simples ( f i ) y frecuencias relativas simples ( hi y h i % ). Ejemplo: Color favorito Xi
Nº de Personas f i
Azul Rojo Negro Blanco total f 1 = 6 h3 = 0,08 h2% = 38%
6 10 2 8 n = 26 → → →
Proporción de personas hi 0,23 0,38 0,08 0,31 1,00
Porcentaje de personas hi % 23 38 8 31 100
Seis personas tienen como color favorito el azul. La proporción de personas que prefieren el color negro es 0,08. El 38% de las personas prefieren el color rojo.
Digitar los siguientes datos en la columna C1. E M E E
M D D M
E E O D
O D M E
D E E E
A E M M
E A A E
D O E E
A E M A
M E E
Stat – Tables – Tally Individual Variables…
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Estadística
Clic en OK.
2.-
Cuando la variable es cualitativa ordinal o cuantitativa (Discreta o Continua) y toma pocos valores diferentes, la tabla presenta frecuencias absolutas y relativas simples así como frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
Ejemplo a): (cualitativa ordinal) Grado de Instrucción Xi Inicial Primaria Secundaria Superior Total f 3 = 6
→
h4 = 0,2
→
Nº de Mujeres f i 2 8
6 4 n = 20
Proporc.de Mujeres hi 0,1 0,4 0,3
0,2 1,0
Porcentaje de Mujeres hi %
10 40 30 20 100
Nº de Mujeres Fi 2 10
Proporc.de Mujeres Hi 0,1
16
0,8 1,0 -
20 -
0,5
Porcentaje de Mujeres Hi% 10 50 80 100 -
Seis mujeres tienen grado de instrucción secundaria. En una proporción de 0,2 están las mujeres con grado de instrucción superior.
h1% = 10% →
El 10% de las mujeres tienen grado de instrucción inicial.
F3 = 16
→
Dieciséis mujeres tienen como máximo secundaria.
H2 = 0,5
→
En una proporción de 0,5 están las mujeres que tienen como máximo primaria.
Ejemplo b): (cuantitativa continua) Peso 40 47 56 60 Total
Nº de Personas 4 12 6 10 n=
f 1 =
→
…………………………………………………………………………………
h2 =
→
…………………………………………………………………………………
h4% =
→
…………………………………………………………………………………
F2 =
→
…………………………………………………………………………………
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Estadística
Digitar los siguientes datos en la columna C1. 4 3 3 3
7 4 2 3
6 7 6 4
3 5 3 4
5 5 5 3
5 5 6 7
3 7 6
4 5 5
4 5 2
5 4 4
Stat – Tables – Tally Individual Variables…
Clic en OK.
3.-
Cuando la variable es cuantitativa y toma muchos valores diferentes, la tabla presenta: intervalos, marca de clase, frecuencias absolutas y relativas simples, frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
a)
Si la variable es continua: los intervalos son semiabiertos.
Temperatura Ii : [L i-1 – L i [
Temperat. Promedio Xi
10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 Total
Nº de días f i
Proporc. de días hi
Porcentaje de días hi%
Nº de días Fi
Proporc. de días. Hi
Porcentaje De días Hi %
5 9 12 6 8 n=
f 5 =
→
………………………………………….………………………….….………
h1 =
→
………………………………………………………………..…….…………
h2% =
→
…………………………………………………………………………………
F4 =
→
……………………………………………………………………...…………
H2 =
→
……………………………………………………………………...…………
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Estadística b) Nº Artículos [L i-1 – L i ]
Si la variable es discreta: los intervalos son cerrados. Promedio de Artíc. Xi
11-14 15-18 19-22 23-26 Total
Nº de obreros f i
Proporc. obreros hi
Porcentaje de obreros hi%
Nº de obreros Fi
Proporc. obreros Hi
Porcentaje de obreros Hi %
L.R.
6 8 10 4 n=
f 3 =
→
…………………………………………………………………………………
h5 =
→
…………………………………………………………………………………
h1% =
→
…………………………………………………………………………………
F2 =
→
…………………………………………………………………………………
H4 =
→
…………………………………………………………………………………
CONSTRUCCION DE UNA TABLA CON INTERVALOS 1.-
Se calcula el rango o recorrido de la variable el cual es igual a la diferencia entre los valores máximo y mínimo que toma la variable.
R = X máx − X mín 2.-
Se encuentra el número de intervalos adecuado, mediante el criterio de Sturges. k ≥ 1 + 3.3 × log ( n )
3.-
Se calcula la amplitud de cada intervalo de clase. A =
4.-
k
Se construyen los intervalos de la siguiente manera: A = 10 k = 4 X mín = 20
Si la variable es continua: Ii : [L i-1 L i [ 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 – 60 5.-
R
Si la variable es discreta: Ii : [L i-1 L i ] 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59
Se ubican cada uno de los datos en el intervalo al cual pertenecen. El número de datos de cada intervalo constituyen las frecuencias absolutas simples f i.
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Estadística Ejemplo 1: En la tienda PQR dedicada a la venta de computadoras se desea hacer un estudio acerca del número de unidades vendidas durante los últimos cinco años, con tal motivo se tomó la información correspondiente a cierto número de meses de dicho periodo. 23 20 24 36 21 34 22 18 17 17 15 29 30 26 37 28 21 32 40 35 42 20 32 16 31 33 19 30 32 18 a)
Identificar : población, muestra, unidad estadística, variable y tipo de variable. Población Muestra Unidad Estadística Variable Tipo de Variable
b)
: : : : :
Cinco años = 60 meses. 30 meses. un mes. Número de computadoras vendidas. Cuantitativa - Discreta.
Construir una tabla de distribución de frecuencias adecuada. R = 42 - 15 = 27 k ≥ 1 + 3,3 log (30) = 5,87 ⇒ k = 6 A = 27/6 = 4,5 ⇒ A = 5
TABLA Nº 1 Número de computadoras vendidas por mes durante el periodo 2007-2011 Nº PC vendidas [L i-1 - L i]
Prom. de PC vend. Xi 15-19 17 20-24 22 25-29 27 30-34 32 35-39 37 40-44 42 TOTAL
Nº de meses f i
Prop.de meses hi
% de meses hi%
Nº de meses Fi
Prop.de meses Hi
% de meses Hi%
7
0,23 0,23 0,10 0,27 0,10
23
7 14 17
0,23 0,47
23
7 3 8 3 2 30
0,07 1,00
23 10 27 10 7 100
25 28 30 -
0,57 0,83 0,93 1,00 -
47 57 83 93 100 -
[L i-1 -
L i[
14,5-19,5 19,5-24,5 24,5-29,5 29,5-34,5 34,5-39,5 39,5-44,5 -
Fuente: Datos ficticios. c)
Interpretar : f 2
,
F4 ,
H3 ,
H2 %
f 2= 7
Hay 7 meses en los que se vendieron de 20 a 24 PCs.
h6 = 0,07
0,07 es la proporción de meses en los que se vendieron de 40 a 44 PCs.
h1 % = 23%
En el 235 de los meses se vendieron de 15 a 19 PCs.
F4 = 25
Hay 25 meses en los que se vendieron de 15 a 34 PCs.
H3 = 0,57
En una proporción de 0,57 están los meses en que se vendieron de 15 a 29 PCs.
H2% = 47%
En el 47% de los meses se vendieron de 15 a 24 PCs.
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Estadística →
TABLA CON INTERVALOS CERRADOS
1. Digitar los datos en la columna C1.
2. Data – Code – Numeric to Text…
Clic en OK 3. Los intervalos se muestran 4. Stat – Tables – Tally Individual Variables… en la columna C2.
Clic en OK 5. Se obtiene la siguiente Tabla en la hoja de sesión.
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Estadística Ejemplo 2: Se aplicó una encuesta a 27 trabajadores de la empresa A y se les preguntó su edad, los datos obtenidos fueron: 30 36 27 a)
26
39 29
29 30 19
27 21
17
22 26 29
29 18 30
17 31 24
21 23 29
Identificar : población, muestra, unidad estadística, variable y tipo de variable. Población Muestra Unidad Estadística Variable Tipo de Variable
b)
31 36 23
: : : : :
todos los trabajadores de la empresa A. 27 trabajadores. un trabajador. Edad. Cuantitativa - Continua.
Construir una tabla de distribución de frecuencias adecuada.
R = 39 - 17 = 22 k ≥ 1 + 3,3 log (27) = 5,7 A = 22/6 = 3,7 ⇒
k=6
⇒
A=4
TABLA Nº 2 Trabajadores de la empresa A clasifica dos según edad. Edad [L i-1 - L i[
Edad Nº de Promedio Trabaj. Xi f i 17-21 19 4 6 21-25 23 25-29 27 4 29-33 31 10 33-37 35 2 37-41 39 1 TOTAL 27
Prop.de % de Nº de Trabaj. Trabaj. Trabaj. hi hi% Fi 0,15 4 15 0,22 22 10 15 14 0,15 24 0,37 37 0,07 7 26 0,04 4 27 1,00 100 -
Prop.de Trabaj. Hi 0,15 0,37
0,52 0,89 0,96 1,00 -
% de Trabaj. Hi% 15 37 52 89 96 100 -
Fuente: Datos hipotéticos. c)
Interpretar: f 2
,
h3
,
h1 % ,
F4
,
H3
f 2 = 6
Seis trabajadores tienen de 21 a menos de 25 años
h3 = 0,15
La proporción trabajadores que tienen de 25 a menos de29 años es de 0,15.
h1 % = 15% . F4 = 24
El 15% de los trabajadores tienen de 17 a menos de 21 años
H3 = 0,52
En una proporción de 0,52 están los trabajadores que tienen de 17 a menos de 29 años.
24 trabajadores tienen de 17 a menos de 33 años.
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20
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Estadística →
TABLA CON INTERVALOS SEMIABIERTOS
1. Digitar los datos en la columna C1.
2. Data – Code – Numeric to Text…
Clic en OK 3. Los intervalos se muestran 4. Stat – Tables – Tally Individual Variables… en la columna C2.
Clic en OK 5. Se obtiene la siguiente Tabla en la hoja de sesión.
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21
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Estadística EJERCICIOS PROPUESTOS Tablas de Distribución de Frecuencias
A. Para cada uno de los siguientes problemas: a) b) c)
Identificar: población, muestra, unidad estadística, variable y tipo de variable. Clasificar los datos en una tabla de distribución de frecuencias, usar el criterio de Sturges cuando sea necesario. Interpretar: f 2 , h3 , h1% , F4 , H3 , H2%
1.-
Una empresa que vende microcomputadoras ha llevado a cabo un estudio para averiguar el número de microcomputadoras que existen en pequeñas empresas del distrito A. Para el efecto toma una muestra aleatoria de 40 empresas encontrando los siguientes resultados: 5 7 9 7 8 5 4 4 3 7 8 4 9 6 8 7 6 9 8 4 6 4 7 4 3 5 8 5 9 6 7 9 4 7 5 8 7 9 6 8
2.-
Se tienen los siguientes datos correspondientes al grado de instrucción de un grupo de personas entrevistadas al azar al momento de ingresar a un cine. 1: Primaria 1 3 2 2
3.-
3 2 2 3
1 3 2 2
3 2 2 3
3 3 1 3
2 3 1 2
3 3 3 1
3 1 3 3
20 30 32
24 26 16
36 37 31
21 28 33
34 15 19
22 21 30
18 32 32
17 40 18
17 35 42
El departamento de personal de una empresa aplica un test de habilidad mental a sus empleados con el objetivo de seleccionar a un número determinado de ellos para la realización de ciertas tareas. Las puntuaciones obtenidas han sido las siguientes: 43 45 39 59 46
5.-
2 1 3 2
3: Superior
En la tienda PQR dedicada a la venta de televisores se desea hacer un estudio acerca del número de unidades vendidas durante los últimos cinco años, con tal motivo se tomó la información correspondiente a cierto número de meses de dicho periodo. 23 29 20
4.-
3 2 3 3
2: Secundaria
40 58 51 62 45
41 30 48 60 68
50 33 53 32 50
62 45 66 39 69
35 49 38 42 53
38 46 41 30
50 47 71 35
32 51 45 40
35 64 68 38
36 36 55 36
Los siguientes datos representan el número de clientes que visitan una tienda de electrodomésticos en un periodo de días seleccionado al azar durante el año pasado. 33 12 33 12
25 20 25 25
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20 33 16 16
33 33 25 16
25 20 33 20
16 33 25 16
16 20 20 25
16 12 20 20
16 25 20 25
20 20 20
22
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Estadística 6.-
Con la finalidad de realizar un estudio acerca del número de reclamos que presentaron los clientes de una compañía durante los últimos cinco años, se ha tomado la siguiente información correspondiente a un grupo de semanas. 23 35 15 20 39
7.-
20 16 37 15 32
37 26 35 17
25 12 23 37
21 33 24 31
18 20 36 42
31 27 18 36
16 39 23 24
40 19 12 40
22 25 14 27
26 12 16 13
Los siguientes datos corresponden al número de trabajadores que faltan a una fábrica en 45 días de trabajo de Enero-marzo. 13 8 3 11 29
8.-
28 15 30 10 27
5 21 11 3 12
13 12 19 6 9
37 11 6 10 19
10 7 15 4 8
16 9 10 6
2 16 14 32
11 49 10 9
6 18 7 12
12 7 24 7
Se realizó una encuesta en algunos hogares del distrito de Jesús María, acerca de la credibilidad de los noticieros, obteniéndose los siguientes resultados: 1: periódico 2: televisión 3: radio 1 2 2 3
2 3 3 2
3 2 1 1
2 3 3 3
3 2 2 3
3 1 3 2
1 3 2 2
3 2 3 3
2 2 3 3
3 3 1 1
9.-
Se desea hacer un estudio acerca del tiempo que las alumnas de la Unifé usan Internet. Para tal efecto se eligió en forma aleatoria a un grupo de estudiantes correspondientes a las diferentes facultades a quienes se les peguntó cuántas horas usaron Internet durante la semana anterior a la entrevista. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 20 16 26 15 16 7 13 22 30 26 18 20 16 21 23 26 22 25 24 17 20 14 9 18 17 12 10 12 25 28 19 22 25 20 10 17 12 26 21 18 12 13 19
10.-
La profesora de estadística desea conocer la capacidad de memoria de las alumnas de Administración de Negocios Internacionales de la Unifé, para ello elige a un grupo de alumnas del tercer ciclo y les indica memorizar cincuenta fórmulas. Al evaluarlas encuentra los siguientes resultados: 18 32 15 21 12 20 20 29 22 18 13 8 14 30 27 31 28 10 11 22 9 31 5 29 19 18 13 17 26 10 16 15 15 17 27 20 12 25 7 23
11.-
A un grupo de personas tomadas al azar entre aquellas que ayer ingresaron a una tienda de automóviles, se les preguntó el color de carro que pensaban comprar. Se obtuvieron los siguientes resultados: R: rojo B N A N B
A: azul A R B R B
Gladys Enríquez Mantilla
V R V N N
V A B R N
B: blanco
V: verde
N: negro
V A B R A
R R B N A
R N A B V
N A R V N
N V R N B
V A V B B
23
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Estadística 12.-
Del número de accidentes de tránsito registrados por la policía nacional según causa, durante el periodo 2003-2010 se tiene la siguiente información de algunos de estos accidentes: 1: exceso de velocidad. 2: ebriedad del conductor. 3: imprudencia del conductor. 1 1 3 1 2
13.-
2 6 3 4 1
3 1 4 3 1
1 0 3 5
0 4 0 4
3 2 3 5
1 3 1 2 3
2 2 3 1 4
1 4 1 2 2
3 3 3 3 5
1 4 3 1
3 1 2 3
3 4 3 5
3 4 5 3
4 0 1 9
4 2 5 3
3 2 0 5
7 4 0 3
4 3 3 0
4 2 0 9
3 4 2 4 2
2: Bachiller 2 2 4 2 3
3 2 3 2 4
4 2 2 1 3
3: Magister 3 4 1 4 2
2 3 2 2 3
2 4 1 2 4
4: Doctor 1 4 2 4 3
4 3 2 3
2 4 2 1
Se desea hacer un estudio acerca del número de impresoras vendidas mensualmente por importaciones Hiraoka, para tal efecto se cuenta con la información correspondiente a los últimos diez años. Finalmente, y luego de haber elegido la muestra adecuada, se obtuvieron los siguientes datos: 60 65 60 33 59 84
16.-
4 3 2 6 2
En la Unifé se realizó una encuesta con la finalidad de averiguar con respecto a los docentes, ¿qué grado académico poseen? Los resultados obtenidos fueron: 1: ninguno
15.-
6 3 1 3 2
El departamento de prevención de riesgos laborales de una gran empresa de la construcción ha recogido información sobre el número de accidentes laborales diarios con baja laboral que se han producido durante los 44 días siguientes a la aplicación de nuevas normas de seguridad, obteniendo los siguientes resultados: 2 1 0 7
14.-
5 3 1 4 5
4: imprudencia del peatón. 5: desacato de señales. 6: falla mecánica.
44 68 50 61 62
39 70 90 71 54
34 47 84 38 48
75 40 71 47 73
86 36 88 53 46
92 72 71 63 62
48 50 38 75 73
47 40 34 41 49
52 57 35 68 74
En la Unifé se realizó una encuesta con la finalidad de averiguar con respecto a las alumnas, ¿en qué País te gustaría seguir una maestría en Negocios Internacionales? Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 1: Perú 1 3 1 2 3
2 2 3 1 4
2: Estados Unidos 3 4 2 4 2
Gladys Enríquez Mantilla
2 2 4 2 3
3 2 3 2 4
4 2 2 1 3
3: Alemania 3 4 1 4 2
2 3 2 2 3
2 4 1 2 4
4: Francia 1 4 2 4 3
4 3 2 3
2 4 2 1
24
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Estadística
TABLAS UNIDIMENSIONALES INCOMPLETAS Ejemplos: 1.-
Completar las tablas de frecuencias siguientes en base a la información dada.
Xi : Temperatura 5a hi : 3a 2 u.e.: Meses
L 1 = 5 2a 3
Temperat. Temperat [L i-1-L i[ Promedio Xi -5- 5 0 5-15 10 15-25 20 25-35 30 35-45 40 45-55 50 TOTAL
a
L 5 = 45 a 3
0,1 n = 100
Nºde Meses f i 36 30 8 12 10 4 100
Prop.de Meses hi 0,36 0,30 0,08 0,12 0,10 0,04 1,00
% de Meses hi % 36 30 8 12 10 4 100
Nºde Meses Fi 36 66 74 86 96 100 -
Prop.de Meses Hi 0,36 0,66 0,74 0,86 0,96 1,00 -
% de Meses Hi% 36 66 74 86 96 100 -
5 + 4A = 45 A = 10 ∑hi =
1
5a 2a a + + a + 0,1 + = 1 3a + 2 3 3 18a + 15a + 4a + 6a + 2a = 0,90 6 45a = 5,4 a = 0,12 2.-
Xi : Nº de virus X2 = 10,5 X4 = 18,5 u.e.: meses Nº de Promedio virus de virus Xi [L i-1-L i] 5- 8 6,5 9-12 10,5 13-16 14,5 17-20 18,5 TOTAL
f 3 = 12 h1 = 0,08 h4 = 0,36 Nº de meses f i 4 16 12 18 50
10,5 + 2A = 18,5 2A = 8 A = 4
Gladys Enríquez Mantilla
Prop.de meses hi 0,08 0,32 0,24 0,36 1,00
H2 = 0,40 ∑f i = 50 k=4 % de meses hi % 8 32 24 36 100
Nº de meses Fi 4 20 32 50 -
Prop. meses Hi 0,08 0,40 0,64 1,00 -
% de meses Hi% 8 40 64 100 -
L.R. [L i-1-L i[ 4,5- 8,5 8,5-12,5 12,5-16,5 16,5-20,5 -
Discreta ⇒ +(A - 1) = 3 Xi ± 1,5
25
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Estadística 3.-
Xi : Peso X1 = 37.5 X5 = 57.5
F5 = Fmáx f 3 = 20 f 2 = f 4
Peso [L i-1-L i[
Peso promedio Xi 35-40 37,5 40-45 42,5 45-50 47,5 50-55 52,5 55-60 57,5 TOTAL F5 = Fmáx
⇒
Xi : continua Xi ± 2,5
4.-
Nºde Prop.de % de Nºde alumnas alumnas alumnas alumnas f i hi hi % Fi 4 0,10 10 4 6 0,15 15 10 20 0,50 50 30 6 0,15 15 36 4 0,10 10 40 40 1,00 100 k=5 ⇒
Xi : Nºde faltas X2 = 50 k=4
Nº de Prom. faltas faltas Xi [L i-1-L i] 19- 39 29 40- 60 50 61- 81 71 82-102 92 TOTAL
f 1 = f 5 = 4 f 2 - f 5 = 2 u.e.: alumnas
Nºde semanas f i 8 32 50 10 100
37,5 + 4A = 57,5 4A = 20 A =5
Prop.de alumnas Hi 0,10 0,25 0,75 0,90 1,00 -
% de alumnas Hi% 10 25 75 90 100 -
f 2 - f 5 = 2 f 2 - 4 = 2 f 2 = 6
+A
f 1 = 8 f 3 = 50 n = 100
∑Xi =
242 F2 = 40 u.e.: semanas
Prop.de % de Nºde semana semana semana hi hi % Fi 0,08 8 8 0,32 32 40 0,50 50 90 0,10 10 100 1,00 100 ∑Xi
Prop.de semana Hi 0,08 0,40 0,90 1,00 -
% de semanas Hi% 8 40 90 100 -
= 242
A = 21
X1 + X2 + X3 + X4 = 242
A-1 = 20
(X2 - A) + X2 + (X2 + A) + (X 2 +2A) = 242
L.R. [L i-1-L i[ 18,5-39,5 39,5-60,5 60,5-81,5 81,5-102,5 -
Xi ± 10
50 - A + 50 + 50 + A + 50 + 2A = 242 A = 21
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Estadística EJERCICIOS PROPUESTOS Tablas Incompletas a)
Completar las siguientes tablas de distribución de frecuencias para la información dada:
1.-
Xi hi
2.-
: 1 : c
2 2c
3 3c
4 c2
5 2c
6 2c2
7 7c2+c
n=200
Xi: Nº de hijos
u.e.: señoras
Xi : Horas Estudio
f 2 = 2f 5
h5% = 12,5
X3 = 15
f 5 = f 3/3
u.e. : alumnos 5
A=3
∑ f i = 24
f 4 = f 2-2
i =1
3.-
Xi : Edad
f 2+f 5 = 62
X3f 3 = 1260
f 1 = 8
A = 10 4.-
h3 = 0,21 k=7
H6 = 0,96
Simétrica
Xi : Sueldos
H3-h2 = 0,26
H4 = 0,76
X2 = 550
h5 = 0,20
h6 =
4 = H1 100
k=6
X6 = 950
h2 = 0,14
Xi : Peso
f 4 = 8
H4 = 0,96
X3 = 45
h1 = h5
k=5
h2 = h4 u.e.: niños
A=3
n = 50
Xi : Nº Tardanzas
f 1 = 4
h4 = 0,24
f 3 = f 6 = f 4/2
f 2 = f 7
k=8
I2 : 24-33
F2 = 9
F8 = 50
h8 = 0,08
u.e.: trabajadores
Xi : Nº Faltas
h1 = 0,30
H2 = 0,45
X1 = 10
h4% = 17,5%
F3 = 69
X4 = 31
k=6
n = 120
f 5 = f 2-3
u.e.: alumnos
Xi : Peso
n = 30
u.e.: trabajadores 5.-
6.-
7.-
8.-
I i
:
10-15
hi
:
b/2
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15-20 0,17
20-25 2b
u.e. paquetes 25-30 b
30-35 0,13
27
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Estadística 9.-
2f 3 + f 2 = 41
h1% = 15%
f 6 + f 7 = 36
I5 : 108 – 120
F5 = X3
f 4 = 12
H3 = 0,42
u.e.: máquinas
f 1 + f 3 = f 7
Xi : Puntajes
F2 = 20
f 1 = 4
X2 = 50
f 3 = 25
n = 50
u.e.: postulantes
k=4
Xi : Edad
X1 = 28
H4 = 1,00
n = 16
X4 = 52
H3 = 0,81
F2 = 7
u.e.: personas
h1 = 0,13
Xi : Peso
X3 = 30
h3 = 0,15
n = 300
X7 = 70
H2 = 0,11
h1 = h6 = 0,03
H8 = 1
H4 = 0,46
h5 = 0,22
u.e.: máquinas
H7 = 0,93
Xi: Tiempo (min)
f 1 = f 5
L 0 = 12,5
f 4 – f 5 = 10
f 2 = f 4
L 4 ∗ f 4 = 975
f 4 – f 3 – f 1 = 0
n = 110
k=5
Xi : Nº obreros
h1% = 2%
h6 +h7 = 0,31
X5 : 87
H2 = 0,12
X1 ∗ f 1 = 133
H6% = 97%
F4 = 163
Xi : Nº artículos producidos. 10.-
A = 62 11.-
12.-
13.-
u.e.: viajes. 14.-
f 2 + f 3
= 63
7
∑ X i = 490
u.e. : empresas
i =1 7
15.-
Xi : Nº de reclamos
∑ X i = 434
H6% = 98%
i =1
16.-
u.e.: meses
f 1 + f 2 = 38
f 5 = 59
X7 ∗ f 7 = 445
h6 + h7 = 0.26
F3 = 62
X3 = 53
k=7
f 1 = f 7
X i : Nº de faltas
f1
50 u.e.: semanas
50 k=4
X2
=
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=
f 3 =
8
∑ Xi
=
242
40 n = 100 F2
=
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Estadística b)
Resolver los siguientes problemas: 1.-
Dada la siguiente distribución de frecuencias:
L i − L s 30 – 50 50 – 70 70 – 90 90 – 110 110 – 130
f i m p r 10 30
Fi n q s u v
hi 0,15 w 0,25 x y
Hi z a b 0,7
Hallar: a) m+n b) r-p+a
30 5.35
2.-
Completar la tabla para una muestra de 4308 elementos, si se sabe que a partir de la segunda frecuencia absoluta se cumple que cada frecuencia es la quinta parte de la anterior más dos. Además se conoce que: k=5 X1 = 60 X4 = 105
3.-
Para una muestra de 360 elementos donde sus frecuencias absolutas forman una progresión aritmética decreciente; completar la tabla de distribución de frecuencias si el producto de la frecuencia absoluta de la segunda y cuarta clase es 5120. Además se sabe que: Xi : NºArt. Defectuosos u.e. : Nº de máquinas.
4.-
k=5 I3 : 28-36
En la siguiente distribución de ancho de clase constante, L i − L s a-b b–c 80 – 100 100 – e e–f Total
fi 20
60
Xi 50 70 p 110 130 q
Completar la tabla.
5.-
Una compañía tiene 60 trabajadores. El sueldo mínimo de un trabajador es $100 y el máximo $590 mensuales. El 80% de los trabajadores ganan por lo menos $210; 18 perciben haberes inferiores a $390 mensuales; 20% son profesionales y reciben un haber de por lo menos $490 mensuales. Construir la tabla de distribución de frecuencias relativas.
6.-
En una fábrica se sabe que el jornal mínimo es S/115, si se conoce además que: 20 obreros ganan por lo menos S/155, pero menos de S/165 68 obreros ganan por lo menos S/145; 106 obreros ganan por lo menos S/135; 135 obreros ganan por lo menos S/125 y el restante 10% de los obreros ganan menos de S/125. Además se sabe que el rango es 50. Completar la tabla de distribución de frecuencias.
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Estadística
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Un gráfico o diagrama es un dibujo complementario a una tabla o cuadro, que permite observar las tendencias de un fenómeno en estudio y facilita el análisis estadístico de las variables allí relacionadas. Un gráfico, al igual que un cuadro o una tabla, debe constar de: Título adecuado: El cual debe ser claro y conciso, que responda a las preguntas: ¿qué relaciona, cuándo y dónde se hicieron las observaciones? El cuerpo: o gráfico en sí, cuya elección debe considerar el o los tipos variables a relacionar y el diseño artístico del gráfico. Notas de pie de gráfico: Donde se otorgan los créditos a las fuentes respectivas.
TIPOS DE GRÁFICOS: 1.-
Diagrama Circular: (Pie, Torta, Pastel) Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas.
EJEMPLO 1: cuando se tienen todos los datos por extensión. Se realizó una encuesta en hogares del distrito de Pueblo Libre, seleccionados al azar, acerca de la credibilidad de los noticieros, los resultados obtenidos fueron: 1: Periódico 2: Televisión 3: Radio 1 2 3 2
2 3 2 3
3 2 3 1
2 3 1 3
3 2 3 2
3 1 2 3
1 3 2 2
3 2 3 3
2 3 1 3
3 2 3 1
Digitar los datos en la columna C1. Ingresar como:
Convertir en:
Graph – Pie Chart…
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Estadística
Clic en Labels… Clic en Slice Labels
Clic en OK
Clic en Pie Options…
Si se elige la opción Default las porciones del Pie aparecerán en orden alfabético. Si por el contrario, se elige la opción Increasing volume las porciones aparecerán de menor a mayor, y con la opción Decreasing volumen las porciones se mostrarán de mayor a menor. Ángulo de inicio: 90. El primer corte se realiza en 90º y luego las porciones se muestran en sentido horario.
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Estadística Al hacer clic en OK y luego en OK, aparecerá el gráfico: Gráfico Nº 1 Hogares de Pueblo Libre clasificados según credibilidad de los noticieros
Periódico 7; 17,5%
Category Periódico Radio Televisón
Televisón 14; 35,0%
Radio 19; 47,5%
Fuente: datos ficticios
En este gráfico se puede cambiar el color de fondo así como también el color de las porciones del Pie Chart.
Para cambiar el color del fondo: 2. Elegir la opción Custom.
1. Doble clic en el fondo gris.
Clic en la flecha de Background y elegir el color deseado.
3. El color del fondo ha cambiado. Gráfico Nº 1 Hogares de Pueblo Libre clasificados según credibilidad de los noticieros
Periódico 7; 17,5%
Category Periódico Radio Televisón
4. Clic en la porción roja y luego clic en la misma porción. Luego doble clic en dicha porción y elegir el tipo de relleno y el color de fondo.
Televisón 14; 35,0%
Radio 19; 47,5%
Fuente: datos ficticios
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Estadística 5. Clic en Explode
6. Al hacer clic en OK. Gráfico Nº 1 Hogares de Pueblo Libre clasificados según credibilidad de los noticieros
Periódico 7; 17,5%
Category Periódico Radio Televisón
Televisón 14; 35,0%
Radio 19; 47,5%
Esta opción permite extraer dicha porción. Fuente: datos ficticios
7. Repetir el paso 4. para las porciones 8. Finalmente el gráfico es: verde y azul.
Haciendo doble clic en el texto, se puede cambiar el color, el tamaño y la fuente.
Observa que en la esquina superior izquierda del gráfico aparece una cruz verde. Ahora, en la columna C1 agrega el dato “periódico” y luego observa que la cruz verde ha cambiado a un botón amarillo; esto indica que ha habido un cambio en los datos.
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Estadística Antes de ingresar el dato adicional:
Después de ingresar el dato adicional:
Para actualizar el gráfico, se procede así: click sobre el fondo blanco. Editor – Update – Update Graph Now…
Entonces, aparece nuevamente la cruz verde; esto significa que el gráfico ha sido actualizado con el nuevo dato.
EJEMPLO 2: cuando se tienen los datos en una Tabla. Grado de Instrucción Primaria Secundaria Superior
Porcentaje 7.69 30.77 61.54
Digitar los datos de la tabla en la hoja de trabajo.
Graph – Pie Chart…
A continuación se realizan todos los pasos del Ejemplo 1.
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Estadística 2.-
Gráfico de Barras: El gráfico de barras está constituido por barras rectangulares de igual ancho que pueden ser verticales u horizontales. Conservan la misma distancia de separación entre sí. Se utiliza básicamente para mostrar y comparar frecuencias de variables cualitativas o comportamientos en el tiempo, cuando el número de valores es reducido.
EJEMPLO 1: Barras Verticales Con los datos de la Columna C1, correspondientes a Datos:
Graph – Bar Chart…
Al hacer click en OK,
Bar Chart Options…
permite hacer los siguientes cambios:
Clic en OK.
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Estadística Clic en Labels…
Clic en Data labels
Clic en OK. Clic en Scale…
⇒
⇒
Clic en Gridlines
Clic en OK.
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Las Barras serán verticales.
Las Barras serán horizontales. Clic en Data View…
Clic en OK
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Estadística Al hacer clic en OK, se muestra el siguiente gráfico: Gráfico Nº 3 Hogares de Pueblo Libre clasificados según credibilidad de los noticieros 50
46,3415
40 34,1463
t 30 n e c r e P 20
19,5122
10 0
Periódico
Radio Datos
Televisón
Fuente: datos ficticios Percent within all data.
En este gráfico se pueden realizar las mismas modificaciones que se hicieron en el Pie Chart. Pero además se puede hacer: Doble clic sobre el eje X Al hacer clic en Labels se puede corregir los nombres de cada barra.
Al hacer clic en Font se puede cambiar el formato de las letras.
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Estadística Al hacer clic en Aligment… se puede cambiar el ángulo de los nombres de las barrar, por defecto aparece 0º, es decir los nombres en forma horizontal.
Clic en OK entonces los nombres de las Barras aparecerán en forma oblicua. Finalmente, luego de realizar los cambios se tiene el siguiente gráfico: Gráfico Nº 3 Hogares de Pueblo Libre clas ificados según credibilidad de los noticieros 50
46,3415
s e r 40 a g o h 30 e d e j a 20 t n e c r o P 10
34,1463
19,5122
0 o i c ó d i r P e
i o a d R
Credibilidad de los Noticieros
ó n i s v l e T e
Fuente: datos ficticios
Si se desea graficar BARRAS HORIZONTALES: Scale activar:
Hacer doble click sobre el eje Y, luego en
⇒
Las Barras serán horizontales.
Gráfico Nº 3 Hogares de Pueblo Libre clasificados según credibilidad de l os noticieros
s Periódico o r e i c i t o N s o l Radio e d d a d i l i b i d e r Televisón C
19,5122
46,3415
34,1463
0
10
20 30 Porcentaje de hogares
40
50
Fuente: datos ficticios
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Estadística
BARRAS VERTICALES U HORIZONTALES: EJEMPLO 2: cuando se tienen los datos en una Tabla. Grado de Instrucción Primaria Secundaria Superior
Porcentaje 7.69 30.77 61.54
Graph – Bar Chart…
Digitar la tabla:
Graph – Bar Chart…
Al presionar OK.
Clic en Chart options…
Clic en OK
A continuación se sigue el mismo procedimiento explicado para cada opción.
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Estadística 3.-
Gráfico de Bastones: Se utiliza cuando la variable es cuantitativa y toma pocos valores diferentes. Ejemplo:
Ingresar en la columna C1 los siguientes datos:
NroHijos 0 4 3
2 3 1
3 1 1
3 1 1
3 3 0
4 2 0
4 2 1
4 1 3
1 4 0
1 2 4
2 1 3
1 3
3 4
2 4
4 1
2 2
3 2
Graph – Histogram…
OK Ingresar la variable que se desea graficar:
En Labels ingresar: el título y la fuente; en Data Labels activar Use y-value labels
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Estadística Click en Data View y activar Project lines (Bastones). Debe ser el único activado.
Al hacer click en OK y luego en OK.
Histogram of NroHijos 12
12
11
10 9
9
8
y c n e u q 6 e r F 4
4 2 0
0
1
2 NroHijos
3
4
Utilizando los mismos procedimientos anteriores este gráfico se puede convertir en:
Gráfico Nro. 13 Personas clasificadas según número de hijos 14 12
12 s a 10 n o s r 8 e P e d 6 . o r N 4
11 9
9
4
2 0 0
1
2 Nro. de Hijos
3
4
Fuente: Datos Ficticios
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Estadística 4.-
Histograma de Frecuencias: Se utiliza cuando la variable es cuantitativa y toma muchos valores diferentes. Ejemplo:
Ingresar en la columna C2 los siguientes datos:
Edad 18 52 72
28 48
25 43 65
43 28
45 26
48 30
53 28
54 43
60 45
70 48
72 53
65 54
63 60
59 70
Graph – Histogram…
Hacer click en OK y luego ingresar la variable que se desea graficar.
En Labels ingresar: el título y la fuente; en Data Labels activar Use y-value labels
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Estadística Click en Data View y activar Bars (Histograma de Frecuencias).
Hacer click en OK y luego en OK. Finalmente, realizar los cambios necesarios para que el gráfico resulte como el siguiente:
Gráfico Nro. 14 Personas clasificadas según edad 12 10
10 s a n o s r e P e d o r e m ú N
8 6
6
4
4 2
6
3 1
0 20
30
40
50
60
70
Edad Fuente: Datos Ficticios
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Estadística 5.-
Gráfico Área: Se utiliza cuando la variable es cuantitativa y toma muchos valores diferentes. Ejemplo:
Trazar el gráfico Área para los datos de la columna C2
Graph – Histogram…
Click en OK y luego ingresar la variable Edad de la columna C2.
En Labels ingresar el título y la fuente y en Data View activar el gráfico Area
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Estadística Hacer click en OK y luego nuevamente en OK . Finalmente, realizar todos los cambios necesarios hasta obtener un gráfico similar al siguiente: Gráfico Nro. 15 Personas clasificadas según edad 12 10
10
s a n o s 8 r e P e d 6 o r e m 4 ú N
6
6
4 3
2
1
0 20
30
40
50
60
70
Edad Fuente: Datos Ficticios
6.-
Polígono de Frecuencias: Se utiliza cuando la variable es cuantitativa. Ejemplo:
Trazar el Polígono de Frecuencias para los datos de la columna C1
Graph – Bar Chart…
click en OK. Luego, ingresar la variable a graficar.
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Estadística En Bar Chart Options… fuente y en Data Labels (Polígono de Frecuencias)
activar Show Y as Percent OK. En Labels colocar título y activar None. En Data View activar gráfico Connect line
Hacer click en OK y luego otra vez en OK. Después realizar todos los cambios necesarios hasta obtener el siguiente gráfico:
Gráfico Nº 16 Personas clasificadas según Número de Hijos 30 25 s a n o s r e P e d e j a t n e c r o P
20 15 10 5 0 0
1
2 Nro. de Hijos
3
4
Fuente: Datos ficticios
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Estadística EJERCICIOS PROPUESTOS Gráficos Estadísticos
1.-
Interpretar la situación que se observa en cada uno de los siguientes gráficos: ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….
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Estadística 2.
Analizar el siguiente gráfico y hacer un comentario al respecto.
3.-
El histograma siguiente muestra la frecuencia relativa de las puntuaciones de 500 estudiantes en una prueba de estadística. Observe cuidadosamente y luego conteste a las preguntas que se formulan.
0 1 0
0 2 0 1
0 3 0 2
0 4 0 3
0 5 0 4
0 6 0 5
0 7 0 6
Puntuaciones a)
¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo puntuaciones: • • • •
b)
entre 20 y 29? menores de 30? mayores o iguales a 30? mayores de 39?
¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuaciones: entre 40 y 49? menores de 50? mayores o iguales a 10? ¿Bajo qué puntuación estuvo la mitad inferior de la distribución? ¿Cuál es la frecuencia acumulada relativa del intervalo 40-49? ¿Cuál es la frecuencia acumulada absoluta del intervalo 20-29? • • •
c) d) e)
Gladys Enríquez Mantilla
48
