01- Logica Predicado

INTELIGENCIA ARTIFICIAL Lógica de Predicados

Mapa Conceptual del Curso

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Mapa Conceptual del Curso

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Tabla de Contenido 1. 2. 3. 4.

Lógica de Predicados. Predicados. Sintaxis Fórmulas Bien Configuradas Semántica.. Semántica

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Objetivos • Presentar los conceptos básicos de la lógica de predicados. • Presentar una lógica suficiente para construir agentes

basados en el conocimiento.

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LOGICA DE PREDICADOS Lógica de Primer Orden

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Lógica de Predicados • Lógica de primer orden. • Es una lógica con suficiente expresividad para

representar nuestro sentido común.

• La lógica de predicados tiene alcances

ontológicos más amplios.

• Considera el mundo constituido por objetos y propiedades  que los distingan, a diferencia

de la lógica proposicional que sólo permite representar hechos.

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Lógica de Predicados • Está basada en la idea de que las sentencias  realmente expresan relaciones  entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. • Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o

conceptos. • Las cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado. •  Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro. 7 /40

Ejercicio 1 Para las siguientes oraciones indique donde existe una relación y donde un atributo. 1. Aijo vive en la misma casa que Chucho. 2. Tuka y Pika vuelvan. 3. Yaku y Amarú vuelan juntos. 4. A + B 5. A + B = C 6. f(A) 7. f(A) = φ, f(B) = Φ y f(C) = Ω 8. Ana 17 años, Erika 19 años, Julia 18 años 9. Ana, Erika y Julia van a la universidad 10.Edo administra la empresa donde Rai trabaja. 8 /40

Predicado Un predicado es lo que se afirma del sujeto. Predicado. • Propiedades • Cualidades • Relaciones • Atributos. • Funciones

Sujeto. • Argumentos • Términos • Objetos, Personas, Conceptos

predicado sujeto

objeto

sentencia

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Proposiciones y Predicados • Un proposición  es una oración completa  donde se afirma

algo acerca de un sujeto identificado. • Una sentencia en lógica de predicados es una oración

completa  donde se afirma algo acerca de un sujeto. El sujeto puede ser una constante o una variable.

sentencia = oración = enunciado 10 /40

Ejemplos • Objetos:  – personas, casas, números, la SUNAT, UNI, colores,

guerras, siglos, . . . .

• Relaciones:  – diferente_que,

hermano-de, cerca_de, amigo_de, de_color, hijo_de_y_padre_de, vive_en, es_el_dueño.

• Propiedades:  – Rojo, redondo, pisos, • Funciones:  – el_siguiente, mayor_que, sumatoria, 11 /40

Ejercicio 2 Identifique para las siguientes expresiones el sujeto y el predicado. Indique el tipo de predicado: 1. Uno más dos es igual a tres. 2. R = S + Y2 3. Todos los alumnos de IA llevarán su LT a la capacitación del sábado a las 2:30 PM 4. Los cuadros cercanos al wumpus apestan 5. Wayra vive en la provincia de condorcanqui y chaccha coca. 6. Todos los gatos comen ratones y los ratones comen quesos. 7. Ayer, hoy y mañana son días festivos.

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 Aplicaciones • Especificación 

formal de programas, la cual permite describir lo que el usuario desea que un programa realice, mediante piezas de código.

• Verificación  formal de programas,

las piezas de código son acompañadas por pre y post condiciones, las cuales se escriben como fórmulas del Cálculo de Predicados. 13 /40

SINTAXIS

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Sintaxis (1) El alfabeto está formado por: • Sentencia atómica: predicado (término, ....) termino = término

• Sentencias:  sentencia

sentencias_atómicas. (sentencia conectiva sentencia) cuantificador variable, ...., sentencia

• Símbolos de conectivas: ( ,

, , ,

y

 )

• Cuantificador universal: 

 (para todos)

• Cuantificador existencial: 

(existe al menos uno)

• Término: función término constante variable

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Sintaxis • constantes lógicas:

Verdadero, Falso

• símbolos de constantes

A, D (letras mayúsculas). • símbolos de variables x, z ( x , y , z ) • símbolos de predicados y funciones (letras minúsculas).

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Sintaxis • Oraciones atómicas  – Los términos y signos de predicado se combinan para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos.  – Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por

una lista de términos entre paréntesis, ejemplo Hermano (Ricardo, Juan) Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan))

 – Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que

alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que aluden los argumentos.

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Sintaxis • Oraciones  – Mediante los conectores lógicos se pueden construir

oraciones más complicadas, ejemplo: Hermano (Ricardo, Juan)

 Hermano

Mayor (Juan, 30)

 Menor

Mayor (Juan, 30)

 Menor

Hermano

(Juan, Ricardo)

(Juan, 30) (Juan, 30)

(Robin, Juan)

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Sintaxis • Términos.  – Es una expresión lógica que se refiere a un objeto.  – Es el argumento del predicado.  – Cuando un término no tiene variables se le conoce como término de base.

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Cuantificadores • Cuantificadores  – Los cuantificadores permiten expresar propiedades de

grupos completos de objetos en vez de enumerarlos por sus nombres.  – La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales  y existenciales .

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Cuantificación universal ( ) • Cuantificación universal ( )  – Facilita la expresión de reglas generales, ejemplo: en vez de decir “Mancha es un gato” y “Mancha es un mamífero” se usa: •

 x Gato

( x )  Mamífero ( x )

 – Lo cual equivale a • Gato (Mancha)  Mamífero (Mancha)  Gato (Rebeca)  Mamífero (Rebeca)  Gato (Félix )  Mamífero (Félix )  Gato (Juan)  Mamífero (Juan)  …  – Por lo tanto la primera expresión será valida si y sólo si todas estas últimas son también verdaderas, es decir, si P  es verdadera para todos los objetos  x  del universo. Por lo tanto, a  se le conoce como cuantificador universal.

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Ejercicio 3 Representa en LP1 las siguientes expresiones: 1. Todos los alumnos deben matricularse para llevar el curso de IA. 2. Todos los perros del barrio fueron vacunados en el VANCAN2005. 3. Todos los congresistas fueron elegidos para ocupar el cargo. 4. Todos los alumnos del curso de IA serán aprobados. 22 /40

Cuantificación existencial ( ) • Cuantificación existencial ( )  – Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha tiene un hermano que es un gato: •  x Hermano ( x , Mancha)  Gato ( x )

 – En general,  x P es verdadero si P  es verdadero para cierto objeto

del universo.  –  x Hermano ( x , Mancha)  Gato ( x ) equivale a las oraciones: • (Hermano (Mancha, Mancha)  Gato (Mancha))  (Hermano (Rebeca, Mancha)  Gato (Rebeca))  (Hermano (Félix , Mancha)  Gato (Félix ))  (Hermano (Ricardo, Mancha)  Gato (Ricardo)) …

 –  Así como  es el conector natural para  –



 es el conector natural para .



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Ejercicio 4 Representa en LP1 las siguientes expresiones: 1. El hermano de Alejandro molesto al intocable periodista. 2. Dos hijos de María salieron a pasear. 3. Juan hijo de María salio a pasear. 4. Algunos estudiantes no entregaron su trabajo. 5. El congresista dijo por dios y por la plata

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Cuantificadores anidados • Para toda x  y toda y , si x  es el padre de y , entonces y  es el hijo de x   –  x,y Padre ( x,y )  Hijo (y,x ) • Para toda x  y toda y , si x  es hermano de y , entonces y  es hermano de x  –  x,y Hermano ( x,y )  Hermano (y,x ) • Todas las personas aman a alguien  –  x y Aman ( x ,y ) • Siempre hay alguien a quien todos aman  – y  x Aman ( x ,y ) 25 /40

Ejercicio 5 Representa en LP1 las siguientes expresiones: 1. Todas ciudades tienen un policía que ha sido mordido por todos los perros de la Ciudad. 2. Para cada conjunto x, hay un conjunto y tal que el cardinal de y es mayor que el cardinal de x. 3. Todos los bloques que están encima de bloques que han sido movidos o que están unidos a bloques que han sido movidos, también han sido movidos.

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Ejercicio 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Algunos estudiantes llevaron Chino en el verano Todos los estudiantes que llevaron Chino, pasaron Únicamente un estudiante llevó Inglés en el verano La mejor nota en Inglés es siempre mayor que la mejor nota en Chino. Toda persona que compra un político es inteligente. Ninguna persona compra un político caro. Este es un agente quién vende políticos únicamente a personas que no son seguras. Hay un barbero en la ciudad, quien afeita a todos los hombres quienes no se pueden afeitar por si mismos. 27 /40

Solución •

 x

[estudiante(x)

 llevo_curso

•



•

x estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano) alternativamente  x [estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano)] Λ  y [estudiante (y) Λ llevo_curso (y, Ingles, Verano) Λ  (x = y))]

•

 x,

•

 x,y

[ [persona(x) Λ politico(y) Λ compra(x, y)]  inteligente(x) ] alternativamente  x compra(x, Politico)  inteligente(x)

•

¬[ x persona(x) Λ compra (x, Politico) Λ caro(Politico)]

•

x y

•



x [[estudiante(x) Λ

(x, Chino, Verano)]

llevo_curso(x, Chino)]  paso(x, Chino)]

!

y [ [mejor_nota(x, Ingles) Λ mejor_nota (y, Chino)]  mayor(x,y) ]

[ vende_politicos(x, y)

 persona_insegura(y)

x barbero(x) Λ  y [ hombre(y) Λ ¬ afeita_a(y, y)

]

 afeita_a(x,

y)] 28 /40

FORMULAS BIEN CONFIGURADAS

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Fórmula bien configurada • Una oración como  x  P (y ), en la que y 

carece de cuantificador, es incorrecta.

fbc

• El término fórmula bien configurada o fbc se emplea para calificar oraciones en

las que todas sus variables se han introducido adecuadamente. 

~ f (A)



f (P(A))



Q{ f (A), [P (B)



A V

 Q

(C) ] }

( ~) 30 /40

Relaciones entre  y  • Relaciones entre  y   –  Ambos

cuantificadores están estrechamente relacionados entre sí mediante la negación.

 –  A todos les desagradan las espinacas  No hay alguien

a quien le gusten las espinacas ( , espinacas)

 x LeGustan  x 

 ( x , espinacas)

  x LeGustan

 –  A todos les gusta el helado  No hay alguien a quien no

le guste el helado ( , helado)

 x LeGusta  x 

  x LeGusta

 ( x , helado)

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Relaciones entre  y  • Relaciones entre

 y   – Puesto que  es una conjunción (Λ) de objetos del universo y  es su disyunción (V), es natural que obedezcan las leyes de De Morgan: 

x P

 x

x

 x P

(P  Q)  P  Q

P

P

P  Q

 (P  Q)

x

P

 x P

P

Q

  (P  Q)

x

P

 x P

P

Q

  (P  Q)

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Igualdad • Igualdad  – Para formular aseveraciones en las que los dos términos se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de igualdad: Padre(Juan) = Enrique

 – El signo de igualdad sirve para describir las propiedades

de una función determinada o se puede emplear en la negación para insistir en que dos términos no son el mismo objeto: ,

 x y Hermano

(Mancha, x )  Hermano(Mancha, y )  ( x =y )

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SEMÁNTICA

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Semántica • En lógica de proposiciones para definir la semántica nos

apoyamos en satisfacción.

los

conceptos

de

interpretación

y

• En lógica de predicados se debe de añadir el de

asignación, que consiste en «dar valores» a las variables y, en general, a los términos.

Estructura

Una estructura está constituida por un conjunto que se designa como universo U y la interpretación I de las relaciones que actúan sobre los elementos de dicho universo, su notación es: < U, I> 35 /40

Interpretación • Interpretación Lógica Proposicional.  – Una fórmula tiene una interpretación cuando al asignar

valores de verdad a sus átomos se obtiene un valor de verdad (cierto o falso) para la fórmula completa.

• Interpretación Lógica de Predicados.  – Una interpretación está asociada a un dominio, que es

un conjunto de valores que las variables pueden tomar.  – Para cualquier interpretación de una fórmula sobre un dominio, la fórmula puede ser evaluada como cierta o falsa.

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 Asignación •  Asignación de variable:

Una asignación es una función que va desde el conjunto de las variables a un determinado universo.  A: V → U

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