01 Besaran Dan Vektor

 

 

SISTEM  P PENGUKURAN   NOTASI  IILMIAH   OPERASI-MATEMATIKA  V VEKTOR  

1

B AB  II   Fisika  D Dasar  II 

 

 

I. SISTEM PENGUKURAN 1.1 Definisi Besaran dan Satuan Fisika pada dasarnya selalu berhubungan dengan pengukuran, baik pengukuran secara langsung seperti mengukur waktu, panjang, massa dll, ataupun secara tidak langsung seperti mengukur energi, gaya, kecepatan dll. Dalam Fisika, pengukuran saja tidak cukup, pada tahap selanjutnya pengukuran pengukuran tersebut tersebut haruslah menghasilkan angkaangka yang dapat dihitung dan akhirnya diinterpretasikan (ditafsirkan). Semua hal yang bisa diukur dan dinyatakan dalam angka dalam ilmu Fisika disebut dengan istilah quantity atau BESARAN (Besaran Fisika).

Fisika seperti halnya Matematika merupakan disiplin ilmu yang banyak melibatkan angka dan perhitungan, perbedaannya adalah, di dalam Fisika angka dan perhitungan pada umumnya diperoleh dari hasil pengukuran dan percobaan (secara langsung ataupun tidak dan percobaan ril ataupun dalam fikiran), sedangkan dalam Matematika kita tidak harus melakukan pengukuran dan percobaan. Dapatlah kita katakan bahwa matematika merupakan suatu “alat” yang digunakan Fisika. Sistem, cara atau aturan untuk menyatakan sebuah besaran fisika ke dalam angka dinamakan sistem satuan. Sistem satuan juga menunjukkan bagaimana sebuah besaran diukur atau dibandingkan dengan besaran sejenis lain. Contoh sederhana misalnya, ketika kita mengukur panjang sebuah meja dengan menjengkalnya, kita peroleh bahwa panjangnya 20 jengkal, artinya cara mengukur panjang meja adalah dengan cara membandingkannya dengan jengkal tangan kita, dan hasilnya panjang meja sebanding dengan 20 jengkal kita. Jika kita lakukan menggunakan menggunakan hasta, misalka misalkan n kita dapatkan hasil 4 hasta, artinya kita mengukur meja dengan cara membandingkannya terhadap hasta tangan kita dan hasilnya panjang meja sebanding dengan 4 hasta tangan kita. Namun demikian, tidaklah tidaklah akurat mengukur dengan jengkal jengkal atau hasta, sebab sebab jengkal dan hasta masing-masing manusia tidaklah sama dan mungin berubah menurut usia. Untuk itu perlu dibuat alat pembanding yang standar dan berlaku secara internasional relatif tetap menurut waktu. Salah satu badan internasional yang mengatur sistem satuan ini adalah International Bureau of Weights and Measures di Paris. Badan ini membuat standardisasi untuk panjang (meter), waktu (detik) dan massa (kilogram), seluruh dunia mengacu pada standar ini sehingga disebut juga dengan sistem internasionall (SI atau MKS). internasiona

2

 

 

Untuk satuan panjang,

satuan meter disepakati

sebagai satuan standar internasional. Meter berasal dari bahasa Yunani metron yang berarti ukuran. Pada awalnya yang digunakan sebagai patokan 1 meter adalah panjang tali dalam pendulum yang memiliki perioda ½ detik, kemudian pada tahun 1791 acuan ini Gb 1.1 Jarak dari kutub utara ke katulistiwa melalui kota Paris pernah dijadikan acuan untuk panjang 1 meter

diubah, sebagai patokan panjang satu meter adalah diperoleh dari jarak antar kutub utara ke khatulistiwa melalui kota Paris ditetapkan berjarak 10 7  meter,

sehingga satu meter adalah jarak tersebut dibagi dengan 107. Namun ternyata cara seperti ini selain tidak praktis juga berubah karena jarak ini dipengaruhi oleh faktor gravitasi yang mengubah permukaan bumi. Pada tahun 1927 setelah melalui berbagai

perubahan,

International

Bureau

of Gb 1.2 Batang meter dan kilogram standar terbuat dari platina-iridium

Weights and Measures membuat sebuah batang besi terbuat dari logam platina–iridium sebagai patokan 1 meter dan 1 kilogram. Pada tahun 1960

standardisasi ini diubah diubah agar lebih lebih teliti dengan mengacu mengacu pada

1,650,763.73 kali kali

panjang gelombang dari cahaya dalam vakum, dan akhirnya versi terakhir yang lebih akurat adalah mengacu pada kecepatan cahaya, 1 meter adalah jarak yang ditempuh cahaya selama 1/299 792 458 detik. Di samping samping itu dikenal pula sistem sistem satuan satuan

lain yang yang

dikenal dengan singkatan cgs (centimeter, gram dan sekon/detik) atau fps (feet, pound dan sekon). Dalam beberpa

hal

satuan

khusus

diperlukan

untuk

mempermudah perhitungan, misalnya dalam Astronomi dikenal satuan khusus tahun-cahaya yakni jarak yang Gambar 1.3 Panjang diameter galaksi Bimasakti sekitar 100.000 tahu tahun n caha caha a

ditempuh kecepatan

cahaya dalam satu tahun yaitu 1

tahun (365x24x60x60 detik) dikalikan dengan kecepatan cahaya kira-kira 3 x 108 m/s hasilnya 9.460.800.000.000.000

meter, mengingat jarak dalam dunia Astronomi sangatlah jauh satuan khusus semacam

3

 

 

ini sangat diperlukan, jika dalam dunia Astronomi digunakan satuan meter maka betapa tidak praktisnya untuk menyatakan diameter dari galaksi Bima Sakti yang  jaraknya 100.000 tahun-cahaya yaitu 900.460.800.000.000.000.000 meter !! Sebaliknya dalam dunia Kristalografi yang berurusan dengan hal-hal yang sangat kecil, satuan yang lebih kecil diperlukan yaitu Angstrom ( oA), di mana 1

OA

adalah

0,00000000001 meter, sehingga untuk menyatakan panjang ikatan tunggal carbon sepanjang 0, 0,0000000000154 cukup ditulis dengan 1,54 oA.

1.2 Konversi Satuan dan Faktor konversi

Kita bisa saja mengonversi hasil pangukuran kita dalam sistem satuan yang berbeda, misalnya dari meter ke centimeter, contoh sederhana tinggi seroang mahasiswa 1,7 meter adalah 170 centimeter. Nampaknya sangat sederhana, namun kadang untuk satuan yang lebih kompleks harus berhati-hati, misalnya dari 4 km/jam ke satuan SI m/s, maka :

km 4  jam

=

1000m 4 3600 det ik

=

4⋅

5 m 18 detik

≈

m 1,11 det ik  

atau contoh lain : Konversikan 5 kg·m/s2 ke g·cm/s2, maka :

5

kg ⋅ m s2

=

5

(1000g )(  100 cm ) s2

=

5x10 5

g ⋅ cm   s2

angka 5/18 dan 105 pada kedua kasus di atas dikenal dikenal sebagai “faktor konversi”

2. NOTASI ILMIAH dan ATURAN PEMBULATAN Aturan notasi ilmiah diperlukan karena pada kenyataanya kita akan berhadapan dengan angka-angaka yang sangat besar atau sangat kecil, untuk tujuan inilah notasi ilmiah diperkenalkan. Dalam notasi ilmiah sebuah angka harus dinyatakan dalam satuan (angka 1 hingga 10) dikalikan dengan 10 pangkat bilangan bulat. Misalnya 1100000 ditulis dalam notai ilmiah sebagai 1,1 x 10 6. Bilangan 6 pada pangkat 10 dinamakan eksponen. Contoh lain 0,000124 dapat ditulis dengan 1,24 x 10-4 saja. Contoh : Tuliskan dalam notasi ilmiah hasil kali dari 4,55 x 107 dengan 2,77 x 105.  Jawab : (4,55 x 107)x(2,77 x 105) = (4,55x2,77)( 107x105) = (12,6035)x1012 = 1,26035 x 1013 

4

 

 

Karena ilmu Fisika seringkali berhubungan dengan angka hasil pengukuran, dan pada umumnya data hasil pengukuran tidak dalam bentuk bilangan bulat, bahkan bilangan desimal dengan digit yang sangat banyak, maka diperlukan sebuah aturan pembulatan untuk menyingkat laporan pengukuran hingga digit yang diperlukan saja. Misalnya jika kita peroleh panjang meja 2,7435 meter, bukankah cukup melaporkannya hingga satu digit di belakang belakang koma saja menjadi 2,7 meter ? Aturan pembulatan terkadang sangat penting ketika kit berhadapan dengan angkaangka pecahan dengan jumlah desimal yang banyak. Ada tiga aturan pembulatan :

Aturan I :  Jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan kurang dari 5, maka hilangkan angka tersebut dan semua angka dibelakangnya. Misalnya kita ingin membulatkan 5,3467 menjadi 1 angka dibelakang dibelakang koma, karena angka terakhir terakhir setelah angka 3 adalah 4, dan 4 kurang dari 5, maka kita hilangkan seluruh angka dibelakang 3 tersebut menjadi 5.3. Contoh : Bulatkanlah 4,3423 menjadi sampai dua digit di belakang koma

 Jawab : Hasil pembulatannya 4,34 karena setelah digit kedua bernilai di bawah 5 (yakni 2) Aturan I : Namun jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan lebih dari 5, maka tambahkan digit terakhir dengan 1. Misalnya kita ingin membulatkan 5,3867 menjadi 1 angka dibelakang koma, karena angka angka terakhir setela setelah h angka 3 adalah 8, dan 8 lebih dari 5, maka kita hilangkan seluruh angka dibelakang 3 tersebut dan tambahkan 3 dengan 1, sehingga 5,4 Contoh : Bulatkanlah 4,3473 menjadi sampai dua digit di belakang koma

 Jawab : Hasil pembulatannya 4,35 karena setelah digit kedua bernilai di atas 5 (yakni 7)

5

 

 

Aturan III :  Jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan sama dengan 5, maka  jadikanlah digit terakhir menjadi bilangan genap terdekat. Misal jika kita bulatkan angka 5,3567 menjadi 1 digit di belakang belakang koma maka karena di belakang 3 adalah 55,, da 3 adalah bilangan ganjil maka genapkanlah menjadi 4 (bukan 2, karena 4 lebih dekat) menjadi 5,4. Atau jika kita bulatkan angka angka 5,6567 menjadi 1 digit di belakang koma maka karena di belakang 6 adalah 5, dan 6 adalah bilangan genap maka genapkanlah menjadi 6 (bukan 8 atau 4, karena 6 lebih dekat) menjadi 5,6. Contoh : Tulislah dalam otasi ilmiah dan bulatkanlah menjadi 1 digit di belakang koma hasil pengukuran berikut : 0,0000016534.

 Jawab : 1,6534x10-6 dibulatkan menjadi 1,6x10-6.

3. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar   yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar

saja. Kedua, adalah besaran vektor , yaitu besaran Fisika yang selain memiliki nilai, nilai, juga bergantung bergantung pada arah. Definisi vektor seperti ini sudah kita kenal sejak SMU. Gb.1.4 Kapasitas Memori Disket 1,44 MB. SkalarAnda atau vektor ?

Definisi ini sebetulnya tidaklah cukup, karena arus listrik misalnya, memiliki nilai dan juga arah, akan tetapi kuatarus bukanlah besaran vektor. Dengan demikian

diperlukan definisi yang lebih lengkap untuk vektor sebagai berikut : “Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah serta dapat memenuhi aturan-aturan operasi matematika vektor ”. ”. Aturan-aturan Aturan-aturan operasi operasi Matematika untuk untuk vektor akan dijelaskan dijelaskan

dalam bagian berikutnya.

6

 

 

Dalam kehidupan sehari-hari sehari-hari volume air, massa benda, temperatur, jumlah mah mahasiswa, asiswa, waktu, temperatur dll merupakan contoh-contoh besaran skalar yang tidak bergantung arah dan hanya memiliki nilai/besar (magnitude),

artinya

dari

arah

manapun kita mengukurnya nilainya

y Vektor B

tetap sama, sedangkan hal-hal seperti kecepatan

aliran

gravitasi,

medan

sungai, listrik

gaya

30° 

adalah

bergantung

nilai arah,

tapi

juga

maksud

dari

x

330° 

beberapa besaran yang tidak hanya mempunyai

Vektor A

135° 

Vektor C

bergantung pada arah adalah bahwa nilai dari besaran tadi dapat berubah Gambar 1.5 Sudut nol dimulai dari +x dan berlawanan arah arum am

pada arah yang berbeda. Arah, dalam operasi vektor didefinisikan lebih

khusus adalah sudut yang dibentuk terhadap sumbu x positif atau arah timur dengan arah putaran berlawanan jarum jam (Counter Clock Wise /CCW), seperti gambar berikut ini : Pengategorian besaran ke dalam dua jenis ini tidak semata-mata untuk tujuan klasifikasi, akan tetapi nantinya sangat berguna dalam perhitungan dan operasi matematika, dan juga bermanfaat dalam menjelaskan sifat-sifat sebuah besaran fisika. Dibandingkan dengan besaran skalar, besaran vektor memiliki banyak keunikan dan kompleksitas dalam sifatnya, sehingga memerlukan pembahasan tersendiri yang (biasanya) terangkum dalam suatu kajian ANALISIS VEKTOR. Untuk tujuan itulah dalam awal kuliah Fisika Dasar, akan diberikan pengantar singkat analisis vektor.

4. SIFAT VEKTOR DAN CARA MENYATAKANNYA Sebuah vektor dilukiskan sebagai sebuah anak panah, yang vektor,

dan

B

pangkalnya disebut titik tangkap ujung

lainnya

(mata

panah)

menunjukan arah vektor. Panjang dari anak panah tersebut mewakili nilai (magnitude) dari besaran Fisika yang dimaksud, artinya jika sebuah vektor

A Titik tangkap

Gb 1.6 Penggambaran vektor 7

 

 

memiliki panjang anak panah lebih besar dari yang lain maka hal tersebut menunjukan vektor tersebut lebih besar. Sebuah vektor dapat disebut "sama" jika : berjenis sama, berarah sama dan nilainya sama, walaupun letaknya berpindah.

Maksud dari berjenis sama adalah kedua vektor yang besar dan arahnya sama tidak dikatakan sama jika memiliki dimensi atau satuan yang berbeda, misal vektor gaya yang besar dan arahnya 2 N dan 45° berbeda dengan vektor kecepatan yang besarnya 2 m/s dan arahnya 45°.

Gambar 1.7 Sebuah vektor dikatakan sama jika arah dan besarnya sama, meskipun posisinya berpindah

Sebuah vektor dapat dituliskan dengan salah satu cara berikut : • 

Huruf bercetak tebal, misalnya : F, r 

• 

Huruf dengan tanda panah, misalnya :

• 

Dua huruf yang mewakili pangkal dan ujung vektor, misal : AB  

• 

Diuraikan dalam komponen-komponen basisnya, seperti : 2ˆi  − 5 jˆ  

r

F  →

Komponen basis atau vektor ˆi   dan  jˆ   basis adalah vektor –vektor yang arahnya sesuai dengan arah sumbu koordinat dan dan nilainya 1, tanda tanda topi (^) di atas huruf huruf i dan j menujukan bahwa vektor tersebut adalah vektor basis. Namun untuk kemudahan penulisan, dalam buku ini vektor basis dituliskan dengan menggunakan hrurf i, j dan k bercetak tebal ( i, j, k) dan vektornya tidak ditulis menggunakan panah di atasnya naum dengan cetak tebal, misalnya F, v, x  Perhatikan sebuah vektor gaya 3 dimensi yang diuraikan dalam vektor-vektor basisnya :

8

 

 

z F = 3i  j+4 k  3i+2 j +4k

5

k y

2 x

3

i

Gambar 1.8 Vektor gaya F yang diuraikan dalam komponen-komponennya 

Cara penulisan vektor pada umumnya dituliskan dalam komponen basisnya, misalnya vektor kecepatan

: v  = 2i +3j.  Besar dari vektor v  tersebut dapat diketahui dari

hubungan Phytagoras : v= v=

  v 2x +

22

v 2y , maka :

+ (3)

2

=

5 

y

v

vy 

θ 

x vx  Gambar 1.9 Besar dan Arah Resultan Gaya

 Jika kita ingin mengetahui mengetahui arah dari vektor terse tersebut, but, maka dapat ditentukan ditentukan melalui : θ=

θ=

tan −1

vy vx

  −1 tan  3 2

, dengan θ merupakan sudut vektor terhadap sumbu x positif, sehingga :

≈

56,3 o  

9

 

 

5. OPERASI MATEMATIK DASAR PADA VEKTOR 4.1  Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor biasanya dilakukan antar besaran yang sejenis, misalnya panjang dengan lebar (untuk (untuk menghitung keliling), keliling), gaya dengan gaya, dll. Ada beberapa metoda yang bisa dilakukan dalam menjumlahkan vektor : a.  Metoda Jajaran Genjang Dalam metoda jajarang genjang, dua vektor yang akan dijumlahkan diimpitkan antar titik pangkalnya, sehingga nilai 

penjumlahannya penjumlahannya diperoleh melalui

persamaan :

C = A2

+B

2

+

2AB cos θ  

(1)

dengan : C = besar vektor hasil penjumlahan A = besar vektor pertama yang akan dijumlah B = besar vektor kedua yang akan dijumlah θ =

sudut terkecil antara vektor A dan B  sudut

contoh soal : Diketahui dua buah vektor yang besarnya masing-masing A = 3 dan B = 4 serta keduanya mengapit sudut sebesar 60°. Berapakah hasil penjumlahan kedua vektor tersebut : A

C

60°  B

Gambar 1.10 Penjumlahan vektor A dan B

Besarnya vektor hasil penjumlahan C adalah : 2 

C  =  A 

2 

+  B  + 2 AB cos 60   

= 

3 2  + 4 2  + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 

= 

37 

o

1  2 

10

 

 

Arahnya dapat kita tentukan melalui hubungan sinus :

C

α 

A θ 

120°  B

Dari hubungan sinus

sin θ A

=

sin α B

=

sin 120 o   C

atau :

sin 120 o sin θ = A C 1 3 2 =3 ≈ 0 , 427   37 o θ ≈ 25 ,28 arah dari vektor C adalah 25,28o terhadap sumbu x+ Cara menjumlahkan dengan metoda jajaran genjang kurang praktis jika kita berhadapan dengan penjumlahan lebih dari dua vektor, sebab dalam metoda ini kita hanya bisa menjumlahkan dua vektor. Untuk menjumlahkan vektor misalnya, kita harus melakukannya dua kali penjumlahan. Dan itu tidaklah praktis.

b.  Metoda Poligon Metoda

poligon

(poli=banyak,

gon=bentuk/sisi) dilakukan dengan cara menghubungkan ujung suatu pangkal

vektor

yang

lain.

dengan Dan

hasil

akhirnya (vektor resultan) adalah dengan menarik garis (anak panah) dari titik pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Gambar di samping ini adalah sebuah contoh penjumlahan dari tiga vektor yang masing-masing besarnya 20 m,

Gambar 1.11 Metoda Poligon

11

 

 

25 m, dan 15 m, dengan arah terhadap sumbu x positif seperti terlihat dalam gambar. Hasil dari penjumlahan adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor ketiga. Cara seperti ini tentu saja kurang praktis ketika berhadapan dengan persoalan vektor 3 dimensi, di mana vektor harus digambarkan dalam suatu ruang dan cukup sulit ketika harus menghitung resultannya. resultannya.

c.  Metoda Analitik (2 dimensi) Metoda

y

analitik

menguraikan

vektor

dilakukan dalam

dengan

komponen-

komponen arahnya. Sebuah vektor dapat Ay 

diuraikan dalam komponen-komponennya A

menurut Ax 

x

Gb. 1.12 Aodiuraikan dala al amk mko omVektor onen-k -ko m onenn a

sistem

dipergunakan,

koordinat

misalnya

pada

yang sistem

koordinat kartesius 2-D yang umumnya kita kenal, suatu vektor A, dapat diuraikan

dalam komponen x (searah sumbu x) yaitu Ax  dan komponen yang searah sumbu y, Ay.  Jika beberapa vektor hendak dijumlahkan secara analitik maka vekor-vektor tersebut diuraikan dalam komponen-komponennya,. komponen-komponennya,. Misalkan untuk komponen x, jumlahnya Rx  dan arah y hasil penjumlahannya R y, kemudian jumlahkan komponen-komponen yang searah, lalu besar   vektor resultannya dihitung melalui :

R =   R x2

2

+ Ry

 

(2)

dengan : R = besar vektor resultan Rx = Jumlah total vektor dalam arah x Ry = Jumlah vektor dalam arah y dan arahnya : θ=

θ =

tan −1

Ry Rx

 

sudut yang dibentuk antara sumbu x dengan vektor resultan

12

(3)

 

 

Sebuah contoh soal akan memberikan gambaran lebih jelas :  

Diketahui tiga vektor A, B, dan C  yang besarnya 2, 3 dan 5 dalam koordinat kartesius

yang arahnya seperti pada pada gambar di bawah. Dengan menggunakan menggunakan

metoda analitik, tentukanlah vektor resultan (R) nya , baik besar maupun arahnya:  Jawab : Langkah pertama adalah menggambarkan vektor dan uraian komponennya dalam sebuah koordinat kertesius sebagai berikut : y  Ay 

A

135°  By 

B

60° 

Bx 

x

 Ax 

270° 

C

Gambar 1.13 Penjumlahan vektor dengan menguraikan dalam komponennya

Kemudian kita uraikan masing-masing dalam komponen x dan y (dengan pembulatan) : Ax = A cos 60° = 2 (0,5) = 1 Ay = A sin 60° = 2 (0,866) = 1.732 Bx = B cos 135° = 3 (0,707) = 2.121 By = B sin 135° = 3 (-0,707) = -2.121 Cx = C cos 270° = 0 Cy = C sin 270° = 5 (1) = 5

Langkah kedua, jumlahkan komponen-komponen yang sejenis : Komponen x : Rx = Ax +Bx + Cx  = 1 + 2.121 + 0 = 3.212 3.212 Komponen y : Ry = Ay +By + Cy  = 1.732 - 2.121 + 5 = 4.611 untuk menghitung besarnya vektor resultan :

13

 

 

R = (R x )2  + (R y )2 ( 3 ,212 ) 2

= =

+ ( 4 ,611)

2

 

5 ,619

arah dari vektor resultan :

R tan θ = =

y

Rx 4,61

3,212 o θ ≈ 55,14 4.2 Perkalian skalar dengan vektor  Jika sebuah vektor A  = Axi +Ayj +Azk dikalikan dengan suatu skalar b maka hasilnya adalah sebuah vektor baru C yang dengan : C = bAxi +bAyj +bAzk

Contoh : A  = 2i +3j -5k dan b = - 2 Maka C = (-2)( 2i +3j -5k) = -4i -6j +10k

4.3 Perkalian Antara Dua Vektor Ada dua jenis perkalian antar vektor : a.  Perkalian titik antara dua vektor (dot product), dilambangkan dengan •  Pada perkalian vektor ada ketentuan : • 

Komponen vektor yang sejenis (searah), misal i dengan i, j dengan j  dan k  dengan k menghas  menghasilkan ilkan nilai 1

• 

Komponen yang tidak sejenis (tegak lurus), misal j dengan k menghasilkan nilai 0

contoh : Diketahui dua vektor gaya : F1 = 2i +4j - 3k  F2 = -i +2j -2k

Berapakah perkalian titik antara kedua vektor gaya di atas ?  Jawab : F1 • F2 = (2i +4j - 3k) • (-i +2j -2k) 14

 

 

= -2 + 8 + 6 = 12 b.  Pekalian silang (cross product), dilambangkan dengan x Pada perkalian silang, terdapat ketentuan : ixj =k

j x i = -k

jxk=i

k x j = -i

kxi=j

i x k = -i 

contoh : diketahui dua buah vektor: V1 = 2i + 4j - 2k V2 = i + 2j + 5k

Berapakah perkalian silang dari kedua vektor di atas ( V3) ? V3 = ( 2i + 4j - 2k ) x ( i + 2j + 5k )

= (2i x i) + (2i x 2j) + (2i x 5k) + (4j x i ) + (4j x 2j) + (4j x 5k) (-2k x i) + (-2k x 2j) + (-2k x 5k) menurut aturan perkalian silang di atas maka akan dihasilkan : = 4k - 10i - 4k + 20i - 2j + 4i  = 14i - 2j  Anda tidak harus mengingat-ingat mengingat-ingat aturan perkalian silang silang ini. Untuk mendapatkan mendapatkan hasil perkalian metoda ini dapat digunakan : Perkalian dengan urutan seuai siklus i-j-k hasilnya vector satuan berikutnya dan bernilai positif, contoh : i x j = k (sesuai urutan i-j-k) j x k = i (sesuai siklus i-j-k kembali ke i) k x i = j (seuai siklus i-j-k-i-j) dan sebagainya.

 Jika urutan perkalian berlawanan berlawanan dengan siklus siklus maka hasilnya negatif : j x i  = -k (berlawanan dengan siklus i-j-k) k x j = -i (berlawanan dengan siklus i-j-k) i x k = -j (berlawanan dengan siklus i-j-k)

15

 

 

6 PEMAKAIAN VEKTOR : PERSOALAN KECEPATAN RELATIF Persoalan klasik tentang penjumlahan vektor adalah kasus river boat yang menyebrangi sungai sebagai berikut : 8 m/s

Sebuah river boat hendak menyebrangi sungai selebar 10 m dengan kecepatan relatif terhadap bumi 8 m/s. Laju aliran

6 m/s

???

sungai relatif terhadap bumi 6 m/s.

Berapakah kelajuan river boat relatif Gb. 1.12 Aliran arus menyebabkan arah boat membelok

terhadap sungai ? Pemecahan dari kasus

seperti ini tentu saja harus menggunakan aturan operasi matematika vektor, karena kita tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Jika kita sederhanakan gambar di atas menjadi vektor-vektor kecepatan dengan vp = kecepatan perahu terhadap bumi, vs  = kecepatan arus sungai terhadap bumi dan vp’ = kecepatan perahu terhadap arus sungai. Maka didapatkan bahwa vp’ bisa didapatkan dengan menjumlahkan vp secara vektor dengan vs dengan menggunakan metoda jajaran genjang : vp 

vp 

270° 

38,87° 

vp’ 

vs 

v 'p  

=

v p2

=

2

6

+

v s2

+8

2

+ 2 ⋅ v p ⋅ v s ⋅ cos =

36 + 64

=

(270 o )

100

=

 

10 m/s

arahnya dapat dihitung dengan θ =tan-1(vs/vp) = tan-1(6/8) ≈ 38,87° 

16

vs 

 

 

SOAL-SOAL 1.  Carilah jumlah (resultan) dari dua vektor gaya berikut dengan menggunakan metoda jajaran-genjang : 30 N arah 30 ° dan 20 N pada 140°  2.  Dua gaya masing-masing sebesar 100 N dan 80 N membetuk sudut 60 o  menarik sebuah objek, hitunglah :  a.  Gaya resultan (baik besar dan arahnya) b.  Gaya ketiga agar benda diam 3.  Sebuah truk diparkir dalam sebuah galangan kapal dengan kemiringan θ, berapakah gaya penahan minimum yang harus dimiliki landasan galangan agar tidak ambruk

θ 

4.  Lima orang anak masing-masing menarik sebuah objek dengan menggunakan seutas tali dengan arah yang berbeda. Jika digambarkan pada suatu bidang kartesius hailnya seperti gambar di bawah. Ke manakah objek tersebut akan begerak dan berapa besar gaya yang menggerakkannya ?  

Anak 2 Anak 1

3N

Anak 3 2N

45° 

45°  4N

3N 30° 

4N 30°  Anak 5

Anak 4

5.  Sebuah perahu bermotor menyebrangi lebar sungai selebar 60 meter dengan kecepatan 0,5 m/s. Jika arus sungai konstan sebesar 0,3 m/s, hitunglah : a.  Berpakah sudut arah kapal dengan arah tegak lurus lebar sungai b.  Berapa waktu yang diperlukan untuk menyebrangi sungai

17

 

 

6.  Hitunglah vektor resultan dari diagram berikut dengan besar vektor A = 5 N, B =2 N, C = 3 N dan D 4 N :

y

B

A

30o  x

C

45o  30o  D

 

7. Sebuah pesawat terbang ringan dengan laju 600 km/jam bergerak ke arah barat sementara angin bergerak ke arah utara dengan kecepaan 100 km/jam. Ke manakah pesawat akan bergerak karena tiupan angin ini ? 8.  Diketahui beberapa vektor berikut :  A = 4i – 2j + k B = -3i + 2j C = -i + j – 3k

Hitunglah operasi berikut ini : a. D = A + C

d. B ⋅ A

b. E = B – C

e. A x C 

c. A  ⋅ B

f. C x A 

18