01 1 Campos Direccionales

Universidad Politécnica de Victoria

Cálculo vectorial Ecuaciones diferenciales de primer orden

Yahir Hernández Mier

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre

m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

FA

m FG

Fuerza debida a la resistencia del aire Masa del objeto Fuerza debida a la gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton F =m a

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton F =m a

Suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo F G=

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo F G =m g

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t Segunda Ley de Newton Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) FG gravedad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 FA Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 F A =−γ v Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 F A =−γ v Problema: pide velocidad, Coeficiente de proporcional a la velocidad fricción del aire

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a m a= F cuerpo debida a la suma de las Suma de las fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 F A =−γ v Problema: pide velocidad, Coeficiente de proporcional a la velocidad fricción del aire

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a m a= F cuerpo debida a la dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo Aceleración debida F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 F A =−γ v Problema: pide velocidad, Coeficiente de proporcional a la velocidad fricción del aire

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a m a= F cuerpo debida a la dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo dv m =F G+F A Aceleración debida dt F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 F A =−γ v Problema: pide velocidad, Coeficiente de proporcional a la velocidad fricción del aire

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a m a= F cuerpo debida a la dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo dv m =F G+F A Aceleración debida dt F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 dv m =m g−γ v F A =−γ v dt Problema: pide velocidad, Coeficiente de proporcional a la velocidad fricción del aire

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a m a= F cuerpo debida a la dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo dv m =F G+F A Aceleración debida dt F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 dv m =m g−γ v F A =−γ v dt Problema: pide velocidad, γv dv Coeficiente de = g− proporcional a la velocidad fricción del aire dt m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a γ=0.392 Kg / s m a= F cuerpo debida a la m=2 Kg dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan sobre él sobre el cuerpo dv m =F G+F A Aceleración debida dt F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 dv m =m g−γ v F A =−γ v dt Problema: pide velocidad, γv dv Coeficiente de = g− proporcional a la velocidad fricción del aire dt m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a γ=0.392 Kg / s m a= F cuerpo debida a la m=2 Kg dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dv 0.392 v dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan =9.8− sobre él dt 2 sobre el cuerpo dv m =F G+F A Aceleración debida dt F G =m g a la gravedad 9.81 m / s 2 dv m =m g−γ v F A =−γ v dt Problema: pide velocidad, γv dv Coeficiente de = g− proporcional a la velocidad fricción del aire dt m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla Modelado Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial Objeto en caída libre Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad v del objeto respecto del tiempo t

F A (-) Fuerza debida a la resistencia del aire

m

Masa del objeto

Fuerza debida a la (+) Segunda Ley de Newton FG gravedad Aceleración del F =m a γ=0.392 Kg / s m a= F cuerpo debida a la m=2 Kg dv suma de las Suma de las m = F (t , v) dv 0.392 v dt fuerzas que actúan fuerzas que actúan =9.8− sobre él dt 2 sobre el cuerpo dv m =F G+F A dv Aceleración debida dt F G =m g =9.8−0.196 v 2 dt a la gravedad 9.81 m / s dv m =m g−γ v F A =−γ v dt Problema: pide velocidad, γv dv Coeficiente de = g− proporcional a la velocidad fricción del aire dt m

Campos direccionales Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla γ=0.392 Kg / s m a= F F A (-) Fuerza debida a la m=2 Kg dv m = F (t , v) resistencia del aire dv 0.392 v dt =9.8− dt 2 dv m = F + F m Masa del objeto G A dv dt =9.8−0.196 v dt dv m =m g−γ v Fuerza debida a la dt F G (+) gravedad γv dv = g− dt m

Graficación de campos direccionales

¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s? dv =9.8−0.196 v dt dv =9.8−0.196(30) dt dv =3.92 Tangente con inclinación positiva dt

Campos direccionales Graficación de campos direccionales ¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s? dv =9.8−0.196 v dt dv =9.8−0.196(30) dt dv =3.92 Tangente con inclinación positiva dt

Campos direccionales Graficación de campos direccionales ¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s? dv =9.8−0.196 v dt dv =9.8−0.196(30) dt dv =3.92 Tangente con inclinación positiva dt

Campos direccionales Graficación de campos direccionales ¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s? dv =9.8−0.196 v dt dv =9.8−0.196(30) dt dv =3.92 Tangente con inclinación positiva dt

Campos direccionales Graficación de campos direccionales ¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s? dv =9.8−0.196 v dt dv =9.8−0.196(30) dt dv =3.92 Tangente con inclinación positiva dt

Campos direccionales Graficación de campos direccionales Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞ y '=( y 2 − y−2)(1− y)2

Campos direccionales Graficación de campos direccionales Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞ y '=( y 2 − y−2)(1− y)2

Campos direccionales Graficación de campos direccionales Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞ y '=( y 2 − y−2)(1− y)2 Comportamiento Valor de y (0) cuando t →∞

y (0)