006 - RAZONAMIENTO MATEMATICO

GUÍA 2 - CIENCIAS

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1 BLOQUE I El método de las operaciones inversas se aplica a aquellos problemas donde encontramos una cantidad inicial (desconocida) que después de una sucesión de operaciones, resulta en una cantidad final (dato). El procedimiento de solución es operar en forma inversa a las operaciones convencionales. Ejemplo 1 La edad de Emilia se multiplica por 3, al resultado se le suma 10, para luego dividirlo entre 4, al cociente así obtenido se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente restarle 2, obteniendo 3 años de resultado final. ¿Cuál es la edad de Emilia? Resolución:

Operaciones Directas ×3

+10

-2

Edad

3 -10

Edad de Emilia: _____

( )2

×4

+2

Operaciones Inversas

Ejemplo 2 Alex, Rommel y Luis juegan a las cartas, con la condición de que el que pierda la partida duplicará el dinero de los otros dos. Cada uno pierde una partida en el orden de presentación y al final de las tres partidas terminaron con S/. 48; S/. 56 y S/. 28 respectivamente. ¿Cuánto tenía inicialmente cada uno de ellos? Resolución: Amigos

Dinero al inicio

Dinero al final

Alex

72

?

12

×2

24

×2

= 48 +

Rommel

40

×2

80

?

28

×2

= 56

Luis

20

×2

40

×2

80

?

= 28

132

132

132

132

Observación: La suma de los tres amigos no varía (132), ya que el dinero entre ellos se intercambia. Ojo: El signo de interrogación "?" nos quiere decir, que el jugador pierde y no sabemos cuánto ahora le queda.

1. Con cierto número hago las siguientes operaciones: lo elevo al cuadrado al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3; al número así obtenido lo divido entre 6 y luego lo elevo al cubo obteniendo un número al cual luego de aumentarle 19 unidades le extraigo su raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final. Siendo positivo el número que tenía inicialmente. ¿Cuál es el número? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2. Un ómnibus parte con cierto número de pasajeros en el primer paradero baja la cuarta parte del número de pasajeros, en el segundo paradero suben los dos quintos del número de pasajeros que había en ese momento, en el tercer paradero suben 14 pasajeros, en el cuarto paradero vuelven a subir esta vez los tres séptimos del número de pasajeros que viajan en ese momento, y en el trayecto al último paradero bajan 10, llegando a ese paradero con 40 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros partió el vehículo? A) 24 B) 20 C) 28 D) 40 E) 80 3. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra. vez se queda sin dinero. ¿Cuánto tenía al comienzo? A) S/.48 B) S/.15,6 C) S/.28.5 D) S/.22,5 E) S/. 17,5 4. Una persona gasta su dinero da la siguiente manera: los 2/3 en alimentos; los 3/7 del resto en pasajes; los 8/35 del resto en ropa y lo que queda, que es 54 soles los ahorra; determinar qué cantidad de su dinero destina para los alimentos. A) 234 B) 244 C) 245 D) 252 E) 255 5. De una pipa de vino se sacan 2/3 del contenido menos 40 litros. En una segunda operación se retiran 2/5 del resto y en una tercera operación se reparte el vino sobrante de la pipa entre 168 personas, dándole 1/2 de litro a cada una. ¿Cuántos litros de vino había en la pipa? A) 580 B) 300 C) 380 D) 450 E) 640 6. Un elefante se dirige a beber agua de un estanque que no está totalmente lleno. El primer día consume 1/2 de lo que había, más 4 litros, el segundo día consume 1/2 de lo que quedaba, más 5 litros, el tercer día consume 1/2 del restante, más 6 litros; sobrándole 6 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque si 1/5 de ésta excede a lo consumido el segundo día en 2 litros? A) 200 B) 180 C) 160 D) 120 E) 240 7. Una persona recibe viáticos por 4 días, el primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedo 15000 soles. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/. 50 000 b) 75 000 c) 150 000 d) 90 000 e) 45 000 8. Estando jugando naipes: José, Juan, Julio y Justo y cada uno de ellos gana una partida en el orden inverso que han sido nombrados. La regla del juego es la siguiente: al que gane el primer lugar, los demás le darán 40 soles, al que gane el segundo lugar, los demás le darán 30 soles, al que gane el tercer juego, los que pierdan le darán 20 soles, al que gane el último juego sólo se le dará 10 soles por cada uno de los que pierdan. Luego de jugarse el cuarto juego y cumplirse con la regla del juego, cada uno tiene 60 soles. Diga cuál es la diferencia entre lo que tenía inicialmente José y Juan. A) S/.120 B) 80 C) 40 D) 20 E) 100

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GUÍA 2 - CIENCIAS 9. Salome recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene. Luego su papá le da 30 soles y por último su madrina la da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento, pero ella gasta la tercera parte del dinero que tiene más 20 soles en golosinas, quedándole al final 140 soles, de lo anterior. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. Salome tenía inicialmente 25 soles. II. En golosinas se gastó 100 soles. III. Salome recibió 160 soles de su madrina. A) Sólo I D) I y II

B) Sólo II E) Todas

C) Sólo III

10. Renzo es un amigo apodado el lobo, el cual va al hipódromo con una cierta cantidad de dinero; en la primera carrera perdió la mitad de su dinero más 10 soles, en la segunda carrera volvió a apostar perdiendo ahora la quinta parte de lo que le quedaba más 20 soles, el insiste y vuelve a apostar en la tercera carrera pero lamentablemente vuelve a perder; esta vez la cuarta parte de lo que le quedaba en ese momento más 5 soles retirándose, luego muy triste con sólo 10 soles. Calcular con cuánto dinero fue Renzo al hipódromo (en soles). A) 200 B) 150 C) 120 D) 180 E) 140

BLOQUE II 1. Hacerle un favor a una amiga significa lo siguiente, darle 20 soles, luego duplicarle el dinero que tenga después que le di 20 soles, y para no perjudicarme tanto decido cobrarle 25 soles por cada favor, si el día de hoy le hago 3 favores sucesivos a Lupita, luego de las cuales ella tiene 425 soles. ¿Cuándo tenía Lupita antes que yo le hiciera el primer favor? A) 40 B) 55 C) 45 D) 65 E) Ninguna 2. En un pueblo existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero que uno tiene, por cada milagro cobra 80 soles para poder mantenerse. Enterado de este caso Robertito coge todos sus ahorros y va con el fin de aumentar su dinero, después del segundo milagro se presta 7/8 de lo que le quedaba y hace 4 milagros más y se presta 5 soles para poder Irse a su casa ¿Cuánto se prestó en total? A) 40 B) 70 C) 120 D) 75 E) 80 3. Una ciudad A tenía cierto número de habitantes. El primer año la población aumentó en un 20%, el segundo año, en un 30% y el tercer año en un 40%. Si al finalizar el tercer año tiene una población de 32,760 habitantes; averiguar cuántos habitantes tenía esta ciudad al empezar el primer año. A) 10000 B) 12000 C) 14000 D) 15000 E) 1800 4. Tres jugadores A, B y C acuerdan que después de cada partida el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden A, B y C resulta que el 1ro. tiene 24 soles el 2do. 28 y el 3ro. 14. ¿Cuánto perdió A? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18 5. Cuatro Jugadores A, B, C y D acuerdan que después de cada juego, el que gane recibirá la mitad del dinero que tenga cada uno de los otros tres. Sabiendo que cada uno ganó una partida en el orden indicado (ABCD) y que al final quedaron: A con 80 soles, B con 120 soles, C con 250 y D con 480 soles. ¿Cuánto tenia A al principio?

A) 240

B) 160

C) 480

D) 350

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E) 300

6. Tres hermanos tienen 72 canicas entre ellos. Si el primer hermano pasa al segundo tantas como este tiene, luego el segundo pasa al tercero tantas como tiene el tercero y por último del tercero pasa al primero tantas como ahora tiene el primero. Resulta que ahora todos tendrán el mismo número de canicas. ¿Cuántas canicas le quedara al primero si en vez de realizar las acciones anteriores, se realiza de la siguiente forma: el segundo le duplica al tercero, el, tercero le duplica al primero y el primero les sextuplica al segundo y al tercero?. A) 16 B) 22 C) 36 D) 42 E) 54 7. Martincito recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene, luego su papá le da 30 soles y por último su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al final Martincito tiene 240 soles, ¿cuánto tenía inicialmente?

8. María Virginia gasta su dinero de la forma siguiente: las 2/3 partes de su dinero, más S/. 1 en una minifalda; las 2/5 partes del dinero que le queda, más S/. 2 en un polo y la mitad del dinero restante, más S/. 3 en un par de zapatos. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente, si al final se quedó únicamente con S/. 2?

9. Angélica y Doris juegan a los dados. Pierde primero Angélica y duplica el dinero a Doris; luego pierde Doris y da 13 soles a Verónica y por último vuelve a perder Angélica, duplicándole el dinero a Doris. Si ahora Angélica tiene S/.12 e Doris S/.46, ¿cuánto ganó o perdió Angélica?

10. De la granja del Sr. Molina se pasaron a la granja Escapa tantas gallinas como el doble de las que habían en esta granja. Al día siguiente se regresaron de la granja Escapa a la de Molina tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora Molina tiene 40 gallinas y Escapa 45, ¿quién ganó y cuántas?

Problemita Si consideramos el segmento como la unión de dos puntos, decir cuántos segmentos hay en total en la figura. A) 48 B) 53 C) 55 D) 45 E) 36

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-5 e 12 ; ; ; 1,1010110...; 9 4 3 6 Solución: No son fracciones:

7 11 -5 e 12 ; ; ; ; ; 1,1010110...; -3 e 9 4 3 6

"El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande el denominador más pequeña la fracción". Objetivos 1. Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones. 2. Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado, vía operaciones matemáticas de las fracciones y sus múltiples aplicaciones.

Si son fracciones:

8 2 4 72 11111 ; ; ; ; 6 3 5 13 3395 Situaciones básicas con fracciones

Introducción La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. Se deriva del latín fractum que significa "roto" o "quebrado". En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada, entre una determinada cantidad de individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad de repartir.

Situación 1 Hallar lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad. Ejemplo:

Números racionales Noción Al cociente de la división de dos números enteros "a" y "b", donde "b" es diferente de cero, se le denomina número racional. El cociente puede ser un número entero y si no lo es puede quedar indicado en la representación del número racional. Luego bajo las condiciones dadas en la noción, podemos representar un número racional así:

Practica ahora TÚ!!

a b

a o

Resolución:

2

2 12 5 2 = =1 lo que le falta a 7 7 7 7

a. ¿Cuánto le falta a

5 para ser igual a 8

b. ¿Cuánto le falta a

4 7 para ser igual a 1 ? 7 10

3 ? 4

Situación 2 Hallar lo que sobra a una fracción respecto a una cantidad. Ejemplo: 4 2 ¿Cuánto le sobra a respecto a ? 5 7

para representar a un número racional, estamos haciendo uso, como puede verse, de dos números. El primero es el número entero "a" sobre la línea horizontal que recibe el nombre de numerador y el segundo número entero "b", ubicado bajo la línea, el cual se llama denominador. Números fraccionarios Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición si denotamos por "f" al número fraccionario, tendremos:

a b

2 para ser igual a 2? 7

b

Observación: Cuando escribimos:

f

¿Cuánto le falta a

Resolución:

4 5

2 18 = 7 35

Practica ahora TÚ!! a. Hallar cuánto le sobra a

5 respecto de 6

4 9

b. Hallar cuánto le sobra a

5 2 respecto de 2 3 3

o

; donde:

a b; b 0; a ZZ , b ZZ

Por ejemplo, son números fraccionarios:

2 3 12 -3 21 101 7 ; ; ; ; ; ; ; ... etc. 3 9 14 7 8 19 -4 Fracción Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. ¡Cuidado! debemos aclarar que esta consideración es sólo con fines prácticos, pues para dar la idea de fracción, haremos uso de objetos reales. • Ejemplo: Según la noción dada, indicar cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son:

7 11 8 2 4 72 11111 ; ; ; ; ; ; ; -3 e 6 3 5 13 3395

Situación 3 • Hallar la fracción de una cantidad Ejemplo:

6 de 28 7 Resolución: Hallar los

6 28 = 24 7

Practica ahora TÚ!! a. Hallar los

5 de 81 9

b. Hallar los

3 de los 4

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5 de 48. 6

4

GUÍA 2 - CIENCIAS Situación 4 Hallar que fracción es una cantidad de otra

2. Un caño "A" llena un tanque en 4 horas y otro caño "B" lo desaloja en 8 horas. Se abre el caño "A" y una hora después el caño "B", ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque?

Ejemplo: Hallar que parte de 60 es 24.

Resolución: La parte del tanque que harán ellos en 1 hora 1 1 1 funcionando juntos: = 4 8 8

Resolución: ES DE

24 2 = 60 5

Practica ahora TÚ!! a. Hallar que parte de 48 es 36 b. Son las 10:00 h, ¿qué parte del día ha transcurrido? Situación 5 Si a una cantidad se le quita (o agrega) una parte de ella, ¿cuánto resulta? Ejemplo: 1. Si gasto

2 de mi dinero, ¿cuánto me queda? 7

3 ¿cuánto tendría? 8

En estos problemas generalmente se debe considerar que parte (fracción) representa lo que se saca de una mezcla, ya que de esta mezcla se determinará qué cantidad sale o queda de cada una de las componentes de la respectiva mezcla.

3 11 de mi dinero = 8 8

Practica ahora TÚ!! a. Ha transcurrido los b. Alex recibió los

3 tanque 4

MEZCLAS

Resolución: Tendría: 1

juntos

En "x" horas

3 4 = 6 horas 1 8 Rpta.: El tanque se llenará en: 1 + 6 = 7 horas

2 5 de mi dinero. = 7 7

2. Si aumentara mi dinero en sus

La primera hora solo funcionará el caño "A" y llena 1/4 del tanque, falta por llenar 3/4 del tanque. Esta parte lo llena el caño "A" mientras "B" va desaguando. Luego: juntos 1 tanque En 1 hora 8

x=

Resolución: Me queda: 1

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3 del día. ¿Qué parte del día queda? 8

1. Se mezclan 20 litros de vino y 30 litros de agua. Se extrae de esta mezcla 10 litros y se reemplaza por agua.

6 de lo que tenía. 13

¿Qué parte de la nueva mezcla es vino?

¿Cuánto tiene ahora?

Resolución:

10 litros de mezcla

REDUCCIÓN A LA UNIDAD DE TIEMPO

30 L "Si Manuel hace una obra en 4 días, entonces debemos considerar que en 1 día hace 1/4 de la obra"

50 L 20 L VINO

1. Roberto hace una obra en 4 días y Juanita hace una obra similar en 6 días. ¿En qué tiempo harían la obra, si trabajan juntos? Resolución: Roberto en 1 día hará 1/4 de la obra y Juanita en 1 día hará 1/6 de la obra. Juntos la parte de la obra que ellos hacen en 1 día:

1 1 5 + = de la obra 4 6 12 Luego: En 1 día

hacen

5 obra 12

En "x" días

harán

1 obra (toda la obra)

x

1 1 5 12

12 días 5

2, 4 días

Rpta.: Todo el trabajo lo harán en 2,4 días

Observación: 10 litros de un total de 50 litros, representa la 1/5 parte. Esto quiere decir que se extrae la quinta parte de agua y la quinta parte de vino:

1 (30) 5

6L

1 (20) 5

4L

Entonces queda de vino: 20 - 4 = 16 L 16 8 Nos piden: 50 25 2. Se tiene 100 litros de vino en un tonel y se extrae sucesivamente 1/4; 1/5; 1/4 y 1/5 de la mezcla y cada vez que se extrae se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de vino quedarán al final en el tonel? Resolución: Como lo extraído se reemplaza con agua, el vino irá disminuyendo. Por lo tanto el vino que queda al final será:

3 4 3 4 . . . (100) 4 5 4 5

36 litros

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GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL I. Decimal Exacto Ejemplos: a 5 - 0, a 0,5 10 10 - 0, ab

ab 100

- a,bc

abc 100

4, 75

II. Decimal Periódico Puro Ejemplos:

a 9

 0, a

- 0, aaa...

0, ababab... 0,24

42 100

0, 42

 0, 7

ab 99

0, ab 24 99

III. Decimal Periódico Mixto -

 0, ab

 0, 45

45 4 90

 - 0, abc  0, 253

-

ab a 90

 a,bc

 5,43

1. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5 d) 5/13 e) 2/9 2. Si a los términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? a) 11 b) 8 c) 3 d) 13 e) 10 3. Una propiedad es de dos hermanos, la parte del 1ero. es 7/16 y el valor de la parte correspondiente a otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad? a) S/. 120 000 b) 150 000 c) 140 000 d) 112 000 e) 108 000 4. Un puente cruza un río de 760 pies de ancho, en una orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otra orilla 1/6. ¿Cuál es la longitud del puente? a) 1000 pies b) 1200 c) 1100 d) 1300 e) N.A.

6. Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote pierde 1/4 de la altura anterior, si después de 3 rebotes consecutivos logra elevarse 27/16 dm. ¿De qué altura cayó inicialmente? a) 108 dm b) 60 dm c) 4 dm d) 180 dm e) 40 dm

abc ab 900 228 900

7. Javier, al apostar, pierde 1/3 de su dinero; en una segunda apuesta pierde 3/5 de lo que le quedaba y en la tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿Qué parte de su dinero inicial le ha quedado? a) 4/35 b) 31/35 c) 8/35 d) 27/35 e) 17/35

abc ab 90 543 54 90

7 9

BLOQUE I

5. Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada uno. Si se vacían los 3/5 de las 15 botellas. ¿Cuántos litros quedan? a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 11

41 90

253 25 900

475 100

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

489 90

8. Cierta clase de paño se reduce después del lavado en 1/6 de su longitud y en un 1/5 de su anchura. ¿Qué longitud de paño nuevo 2

a,bc

abc a 99

7,23 =

723 - 7 99

es necesario emplear para tener 30 m de paño, después de mojado, si el paño tenía antes 0,90 m de ancho? a) 100 m b) 50 m c) 40 m d) 80 m e) 60 m

Numeración en base 10

9. Un tigre persigue a un venado que lleva 90 saltos de adelanto. Sabiendo que el tigre da 7 saltos mientras que el venado da 6 y que 4 saltos del venado equivalen a 3 del tigre. ¿Cuántos saltos dará el tigre para alcanzar al venado? a) 600 b) 210 c) 450 d) 129 e) 189 10. Un mantel pierde al ser lavado 1/20 de su longitud; y 1/16 de su ancho. Averiguar cuantos metros de esta tela deben comprarse para 2

abc

ax102 bx10 c 100a

ab

10b

ax10 b 10a b

ba

bx10 10b a

a

c

obtener después del lavado 136,8m . El ancho primitivo del mantel es 6/5 de metros. A) 128m B) 127m C) 126m D) 125m E) 132m 11. En una batalla resultaron muertos la vigésima parte del número de hombres de un ejército, y heridos la doceava parte del mismo número más 60. Los que quedaron ilesos representan la mitad de los que entraron en acción, más 820. ¿De cuántos hombres se componía el ejército? A) 2400 B) 1200 C) 4800 D) 1800 E) 6000

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GUÍA 2 - CIENCIAS 12. En la mitad de un terreno de una finca se siembra pasto, en la tercera parte de lo que queda se siembra café y en las tres quintas partes del resto se siembra maíz. Determinar que parte de la finca no sembrada con maíz, queda sin sembrar. A) 2/5 B) 1/5 C) 4/5 D) 1/6 E) 2/15 13. Una liebre perseguida por un perro lleva ya adelantados 90 saltos y da 5 saltos mientras que el perro da 4 y como 7 saltos de la liebre equivalen a 5 del perro; se desea saber. ¿Cuántos saltos tendrá que dar este para alcanzarla? A) 90 B) 450 C) 60 D) 600 E) 900 14. En una batalla entre los ejércitos "A" y "B" sólo participan los 2/3 del ejército "A" y los 3/4 del ejército "B". Si fallecen 1/3 y 2/5 de los combatientes respectivamente y ahora los efectivos de "A" son los 3/5 de los de "B", hallar en qué relación se encontraban los ejércitos originalmente. A)

2 3

B)

4 5

C)

27 50

D)

2 5

E)

1 3

15. De un depósito que está lleno 1/3 de lo que no está lleno se vacía 1/8 de lo que no se vacía ¿qué parte del volumen inicial quedara con líquido? A) 1/9 B) 2/9 C) 5/9 D) 3/4 E) 5/4

BLOQUE II

91

6. Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamada “Paramo”, si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cuáles son correctas? I. Me quedan 9/40 de la hacienda. II. Me quedan los 5/8 de mi parte. III. Vendí menos de 1/4 del total de la hacienda. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III 7. Euler demostró que la suma de los cuadrados de las inversas de

2 todos los números impares positivos es

8

. Según esto, calcule la

suma de los cuadrados de las inversas de todos los números pares también positivos. a)

π2 24

2 b) π 32

c)

π2 16

2 d) π 6

2 e) π 12

8. Un estanque puede llenarse por una bomba en 2 horas y por otra en 3h y vaciarse en 4h. el depósito se llenará con las tres bombas abiertas en: A) 7/12 B) 12/7 C) 5/12 D) 12/5 E) 1/12 9. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días, después de haber trabajado juntos durante 6 días, se retira el ayudante y el albañil termina el resto de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer toda la obra el ayudante trabajando sólo? A) 30 días B) 20 C) 32 D) 34 E) 35

1. En una oficina 1/4 de los trabajadores son hombres, 1/2 de las mujeres son solteras, 3/5 de las casadas son rubias, 3/7 de los hombres son casados y sólo 1/3 de éstos tienen hijos. Si además se sabe que 1/5 de las rubias casadas tienen hijos, y que éstas son 189, ¿cuántos son los hombres casados que no tienen hijos? A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 480

10. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente el primero se consume en 4h y el segundo en 3h. ¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios la altura del primero es el doble de la del segundo? A) 2h B) 3h C) 4h D) 2,5h E) 2,4h

2. Se distribuyen 300 litros de leche entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará, si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? A) 1/4 B) 2/7 C) 3/8 D) 1/3 E) Ninguna

11. Un caño llena un estanque en 6 horas otro lo llena en 2 horas y el mecanismo de desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el primer caño un ahora a partir de entonces se abre también el segundo caño y el desagüe. ¿Cuánto habrá tardado en llenarse el estanque? A) 2h30’ B) 3h30’ C) 2h D) 3h E) 2h20’

3. Si suma a 2

1 1 dos mitades de 2 , luego sumo el doble de lo 2 2

que ya sume; multiplico por los

3 de dos mitades de 2 1 y 5 2

finalmente divido entre los tres tercios de lo que me queda. ¿Cuánto es lo que me queda? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.A. 4. Un moribundo reparte su fortuna entre sus cuatro hijos. Al primero le da 1/3 del total, al segundo 1/4 del resto, al tercero 1/5 del nuevo resto, quedando $ 600 para el último. ¿Cuál era la fortuna del moribundo? a) $ 1200 b) 1000 c) 1500 d) 1600 e) 1800 5. Un comerciante vendió las 2/5 partes de su mercadería perdiendo 1/5 de su precio de costo. ¿Cuánto debe ganar en la venta de las partes restando para recuperar su capital? a) 2/15 del precio de costo b) 1/5 del precio de costo c) 1/4 del precio de costo d) 1/3 del precio de costo e) 2/5 del precio que le costaron

12. Tres grifos A, B y C pueden llenar un reservorio en 60, 48 y 80 horas respectivamente. Estando vacío el reservorio se abren los grifos A, B y C con intervalos de 4 horas ¿En cuánto tiempo podrán llenar el reservorio? A) 21h 40’ B) 22h 20’ C) 23h 40’ D) 20h 10’ E) 24h 20’ 13. Tres caños pueden llenar un estanque en 3h; 4h y 5h trabajando solos. Se abre el primero y al cabo de 45 minutos el segundo y luego de 30 minutos el tercero. ¿Cuál es la capacidad del estanque si 15 minutos después habían llenado 1770 litros? A) 2400L B) 2500L C) 2450L D) 2550L E) 2600L 14. Se mezclan 4 litros de alcohol y 6 litros de agua. Se extrae 5 litros de esta mezcla y se reemplaza por agua. ¿Cuántos litros de alcohol quedan al final? A) 2,5 B) 1,5 C) 2 D) 3 E) 4 15. Un lechero tenía un porongo de 9 litros y en el porongo había 4 de leche y 5 de agua. Luego el lechero dijo que no le era negocio venderla así por lo que le echaría más agua.

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92

Luego saco 1/3 de la mezcla y lo sustituyó con agua totalmente, vuelve a sacar un ¼ de toda la mezcla y lo sustituyó con agua totalmente, vuelve a sacar la mitad de la mezcla y lo sustituyo con agua totalmente. ¿Cuántos litros de leche y agua son ahora? A) 2 – 7 B) 3 – 6 C) 2,5 – 6,5 D) 1 – 8 E) Ninguna 16. Se mezclan 24 litros de Coca Cola, 36 litros de agua y 60 litros de alcohol. Se extrae de esta mezcla 10 litros y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final la Coca Cola y el alcohol? A)

4 7

B)

7 11

C)

2 5

D)

5 22

E)

1 5

17. Se tiene un recipiente "A" donde hay 40 litros de agua y 48 litros de vino. Se saca 22 litros de esta mezcla y se vierte a otro recipiente "B" donde hay 20 litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros de vino hay en el recipiente "B" ? A) 32 B) 28 C) 24 D) 30 E) 35 18. De un recipiente que contiene vino, se extrae 1/3 y se reemplaza por agua; luego se extrae 3/5 y se reemplaza por agua. ¿Qué parte del total queda de vino? A)

7 15

B)

2 5

C)

3 8

D)

8 15

E)

4 15

19. Se mezclan 12 litros de agua con 18 litros de alcohol, se extrae de esta mezcla 5 litros y se reemplaza por agua. Luego se extrae 10 litros de la nueva mezcla y también son reemplazados por agua. ¿Qué cantidad de alcohol queda finalmente en el recipiente? A) 5 L B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 20. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extrae 3/8 y se reemplaza por agua, luego se extrae 4/5 y también se reemplaza por agua, finalmente se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua? 4 5 3 A) 3 B) C) D) E) 13 11 29 17 29 27 21. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 3/4 de la mezcla y se llena con agua pero sólo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuánto de alcohol y agua hay? (indicar en qué relación se encuentran) A)

9 25

B)

8 23

C)

13 23

D)

9 23

E)

14 31

25. El valor exacto de la siguiente operación es: (0,123232...) (3,666...) 6,777 A) 2/3

B) 1/15

C) 1/5

D) 1/45

E) 3/5

26. Calcular el valor de (a + b) en:

   + 0,ba  - 0,1 =1,3 0,ab

A) 4

B) 9

27. Hallar x + y: A) 6

B) 8

28. Halla “x” en: A) 4

B) 3

C) 11

D) 15

x y  + = 0,96 3 11

C) 7

D) 9

E) 12

N  = 0,x(x -1) 11 C) 1

D) 2

 + 0,m2  + 0,m3 = 29. Dado: 0,m1 Hallar “m” A) 5 B) 2

E) 17

C) 1

E) 5

14 11

D) 4

E) 3

30. Dada la fracción: a = 0, a , tal que se cumple b

Hallar: “a + b + c + d ” A) 24

B) 25

C) 26

D) 27

E) 28

Problemita En la figura mostrada el cuadrado de la diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de triángulos es:

A) 4 B) 9 C) 25 D) 36 E) 49

22. Un depósito contiene 60 litros de vino del cual se extrae 20 litros de su contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/4 de la mezcla y también se reemplaza por agua. Por último se extrae 1/3 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Cuántos litros de vino quedan en el depósito? A) 15 B) 20 C) 30 D) 35 E) 40 23. Hallar la suma del numerador más el denominador de la fracción que debo sumar a la fracción periódica 0,8787… para ser igual a la fracción periódica 1,2121… A) 6 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5

  24. Se tiene la siguiente condición: 0,3 < x < 0,8 22 ¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”? A) 14 B) 12 C) 13 D) 15 E) 11

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* 20% de 25N =

20 x 25N = 100

93

1 x 25N = 5N 5

II. Operaciones con porcentajes. Ejemplo

TANTO POR CIENTO

20% M + 50%M - 10% M = (20 + 50 - 10)% M = 60% M

1 = 1% 100

40% X + X - 20% X = 40% X + 100% X - 20% X = 120% X

100 part es

M M 25% M = + + 2 4

M x 100% + M x 100% + 25% M 4 2

= 50% M + 25% M + 25% M = 100% M (20% A) (80%A) =

20 80 16 2 = 4 A. A= A A2 25 100 100 100

III. Calcular el tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad.

3 = 3% 100

a% de b% de N = TANTO POR CIENTO Es una o más de las partes de una cantidad dividida en 100 partes iguales. Por ejemplo, si tomamos 1 de las 100 partes, se representa como 1 y se lee "un centésimo". Si tomamos 3 de las 100 partes, se 100 3 representa como y se lee "tres centésimos". 100 El tanto por ciento se representa con el símbolo: % Luego: 1 = 1% (se lee 1 por ciento) o también 100 3 = 3% (se lee 3 por ciento) 100

Por lo tanto:

a% =

a 100

Ejemplo Calcular:

30 20 x x 600 = 36 100 100

20% de 30% de 600 = 15% de 42% de 8000 =

a b x xN 100 100

15 42 x x 8000 = 504 100 100

50 x 10% de 20% de 50% de x = 10 . 20 . .x= 100 100 100 100 IV. Calcular el tanto por ciento de una cantidad, respecto a otra. ¿Qué % de "A" es "B"? =

B x 100% A

Ejemplo * ¿Qué % de 240 es 60?... Rpta:

60 x 100% = 25% 240

* Juan gana S/.1800 y le aumentaron S/.450. ¿Qué % de lo que gana es el aumento?

Fracciones equivalentes a:

10% =

10 1 = 100 10

50% =

50 1 = 100 2

20% =

20 1 = 100 5

100% =

25% =

25 1 = 100 4

200% = 200 = 2 100

100 =1 100

450 x 100% = 25% 1800

APLICACIONES COMERCIALES

I. Aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

a a% de N = 100 x N Ejemplo * 20% de 85 = 20 x 85 = 1 x 85 = 17 100 5 * 65% de 700 = 65 x 700 = 455 100 * 3 % de 800 = 4

3 4 x 800 = 3 x 8 = 6 100 4

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94

Cuando se colocan precios a los artículos para venderlos al público, se tienen presente muchas variables: FOB (precio de factura), FLETE (marítimo, terrestre o aéreo), SEGURO, Ad Valorem (Impuesto arancelario), Comisión Agencia Aduana, Gastos financieros, Gastos operativos (desaduanaje), margen de utilidad, descuento al precio de lista, IGV, entre otros. Los elementos básicos a considerar en el presente capítulo son únicamente: V: precio de venta C: precio de costo g: ganancia p: pérdida Estos elementos están relacionados de la siguiente manera: V=C+g

6. Plutarco iba a comprar una casa en $ 86000, pero le hicieron dos descuentos sucesivos del 20% y 15%. ¿Cuánto se pagó por la casa? Resolución:

1er Dscto.

2do Dscto.

20%

15%

Queda: 80%

68% (86000) =

g = 10% (costo) = 10% (400) =

10 100

(400) = $40

V=C+g V = 400 + 40 = $440

2. Un comerciante compró un VHS en S/.270 y lo vendió ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto vendió el VHS? Resolución: C = S/.270 V=x g = 10% (venta) = 10% (x) = x/10 V=C+g x = 270 + x/10 x – x/10 = 270 9x/10 = 270 x = S/.300

3. Hermenegildo vendió un DVD en $ 420, ganando el 5% del costo. ¿Cuánto costó el DVD? Resolución: V=C+g 420 = x + 5% (x) 420 = x + x 20 420 = 21x x = $400 20

100

% = 68%

(86000) = $58480

PROBLEMAS PROPUESTOS 3

= C +

g

400 =

x +

15% (400)

400 =

x +

60

x = $340

5. Telémaco iba a comprar un auto y le hicieron sucesivamente dos descuentos del 20% y luego del 30%. ¿Cuál fue el descuento único? Resolución:

1er Dscto.

2do Dscto.

20%

30% 80 x 70

% = 56% 100 Luego: El descuento único = 100 - 56 = 44% x

70%

1. Desarrollar las siguientes proposiciones. I. ¿Qué tanto por ciento de 82 es 41? II. ¿De qué número, 27 es el 10% menos? III. ¿Sesenta es el 20% más, de qué número? IV. ¿De qué número 92 es el 15% más? V. ¿Treintaiseises el 20% menos de qué número? 2. Tengo 80% de lo que tenía ayer; que era S/. 400 más ¿cuánto tengo hoy? A) S/. 2000 B) S/.1800 C) S/.2100 D) S/.1700 E) S/.31600 3. Dorita le dice a su hermano Panchito: “Tu dinero y el mío suman S/.1125, pero si tuvieras 30% menos, tendrías lo mismo que yo si tuviera 20% menos de lo que tengo” ¿Cuál es la diferencia entre lo que tiene cada uno? A) 25 B) 75 C) 80 D) 85 E) 525 4. Si una parte de la mercadería (todos del mismos costo) se vende con una pérdida del 8% y el resto se vende ganando el 7%. ¿Qué porcentaje de la mercadería se vendió en la primera venta, si en total se ganó el 4%? A) 25% B) 30% C) 20% D) 15% E) 10% 5. En una tienda se vende bolsas de chocolates. El 20% se vendió perdiendo el 50%, la tercera parte ganando 20% y en lo que resta no ganó ni perdió. Al final resulto perdiendo S/. 50. ¿Cuánto le costó todas las bolsas de chocolates? A) 300 B) 3000 C) 150 D) 1500 E) 2550

4. Casimiro vendió una filmadora en $ 400, ganando el 15% de la venta. ¿Cuánto costó la filmadora? Resolución:

Queda: 80%

80 x 85

BLOQUE I

Resolución: Costo: C = $400 Ganancia:

V

68

100

=

V=C-p

1. Un comerciante compró un TV en $400 y luego lo vendió ganando el 10% del costo. ¿En cuánto vendió el TV?

Costo: Venta: Ganancia: Luego:

85%

Luego: Por la casa se pagó:

EJEMPLOS

Venta:

x

=

6. En una industria se han fabricado 500 artículos, el 70% de ellos, han sido fabricados por la maquina A y el resto por la maquina B. Si se sabe que el 18% de los fabricados por A son defectuosos y el 8% de los fabricados por B también son defectuosos ¿Cuántos artículos no defectuosos hay en los 500 productos? A) 420 B) 430 C) 425 D) 415 E) 405 7. La mano de obra y las indemnizaciones representan el 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra. ¿Qué tanto por ciento del valor de dicha obra importa solamente la mano de obra? A) 25% B) 30% C) 20% D) 15% E) 10% 8. El presidente de un Club de Basketball observa que por partido, en promedio, un tercio de las entradas se quedan sin vender, pero afirma que todas las entradas se vendería, si se rebajase en un 30% el precio de la entrada. Suponiendo correctas las hipótesis del presidente del club. ¿Qué sucederá? A) La recaudación será la misma B) La recaudación aumentara C) La recaudación disminuirá D) Faltan más hipótesis E) No tiene sentido este problema

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GUÍA 2 - CIENCIAS B) 125% E) 132%

95

9. La farmacia A vende sus productos ofreciendo dos descuentos sucesivos del 25% y 20% del precio de costo. Mientras que la farmacia B vende otorgando 2 descuentos sucesivos del 30% y 30%, pero considerando estos porcentajes con respecto al precio de vena. ¿Cuál de las farmacias ofrece una mayor rebaja el cliente? A) A B) B C) Absurdo D) Igual rebaja E) N.A

A) 120% D) 127%

C) 130%

10. Sony anuncia su rebaja increíble: 30% de descuento en el precio de listas de cualquier objeto. ¿Cuál será el precio de lista de un objeto que vale S/. 2000 si la empresa recibe un beneficio del 40% del costo al venderlo y haciéndole una rebaja anunciada? A) S/. 4000 B) S/. 4900 C) S/. 4710 D) S/. 4715 E) S/. 4720

cifras.

BLOQUE II

A) 5%

1. A encarga a B la venta de un reloj y B lo encarga a C; C lo vende y se queda con el 20%, entregando el resto a B; B se queda con el 15% de lo que recibe y el resto que fue S/. 44200 se lo entrega a A. ¿A cómo vendió el reloj? A) S/. 60000 B) S/.65000 C) S/.63000 D) S/.64500 E) S/.67000

13. En una tienda se exhiben los vestidos con un precio “marcado” y un aviso “con la tarjera más-más rebajamos la tercera parte”. El costo de los vestidos es los 3/4 del precio de venta con tarjeta, entonces la razón entre el precio de costo y el precio “marcado” es: A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 2/3 E) ¾

11. El precio de costo de un producto es S/. 2500 que precio se fijó para su venta al público, sabiendo que al venderlo haciendo 2 descuentos sucesivos del 15% y 20%, todavía se está ganando el 44% del 20% del precio de costo. Dar como respuesta la suma de las A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 12. Si “A” aumenta en 10%, “B” aumenta en 20% y “C” disminuye en 36%. ¿En qué tanto por ciento varia “M”?

M=

B) 4,27%

3πR 2 c A 2 AB2 C) 7%

-1

D) 8%

E) 4,72%

2. El m % del n % de una cantidad es su 10% y el n % de 1000 excede en 300 a su m %. Halle el m % de ( n + 450) A) 50 B) 100 C) 150 D) 250 E) 450

14. Un articulo tiene un precio costo de S/. 3300, 00. ¿Cuál será el precio que debe señalar para que al venderlo con un descuento del 20% se obtenga una utilidad del 25% sobre el precio de venta? A) 5500 B) 5600 C) 6000 D) 5800 E) 7500

3. Del total de artículos que tiene un comerciante para la venta el 20% de ellos los vende ganando el 20%, otros 30% los vende ganando el 30%, otros 40% los vende ganando el 10%. ¿Cuál fue su porcentaje de ganancia en la venta de los artículos restantes, si al obtuvo una ganancia total del 21%? A) 40% B) 30% C) 23,33% D) 43% E) 45%

15. En una fiesta, en un determinado momento, los hombres sacaron a bailar a todas las mujeres y se quedaron sin bailar el 20% de los hombres. ¿Qué tanto por ciento de los hombres deberá retirarse para que, al volver a bailar, se queden sin hacerlo el 10% de las mujeres? A) 14% B) 22% C) 33% D) 25% E) 28%

4. El 40% de los socios de un club juegan al tenis. De los socios que no juegan al tenis, el 25% son varones. El número total de mujeres es una vez y media el número de varones que practican tenis. ¿Qué tanto por ciento de los socios del club son mujeres? A) 30% B) 35% C) 48% D) 51% E) 63%

16. He jugado 450 partidas de solitario con una tasa de éxito del 80%. ¿Cuál es el mínimo número de partidas adicionales que debo jugar para elevar mi tasa de éxito a 90%? A) 10 B) 45 C) 50 D) 250 E) 450

5. Al tostar el café pierde un 20% de su peso. Un especiero que vende el kilogramo de café tostado a S/. 23 gana el 15% de su precio de compra. ¿A cómo compró el kilogramo de café verde? A) 14 B) 16 C) 19 D) 15 E) 18 6. El gerente de una empresa ahorra 30% más de lo que ahorra el subgerente, pero éste ahorra el 40% de su sueldo, mientras que aquél, el 35% de lo suyo. Si el gerente gana 1040 soles por mes. ¿Cuál es el sueldo del subgerente? A) 600 soles B) 650 C) 700 D) 720 E) 840 7. Se tiene la misma cantidad de limones de dos clases distintas una de 2 por un sol y las otras de 3 por un sol. Si se juntan y venden a 5 por 2 soles ¿Qué porcentaje se pierde o se gana? A) 4% (P) B) 4% (G) C) 1% (P) D) 1% (G) E) No se gana ni se pierde 8. Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza. Le dan 85 batallas y ya ha disparado 45, consiguiendo sólo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido? A) 60% B) 70% C) 80% D) 85% E) 75% 9. En un colegio nacional se matricularon 7500 estudiantes. Si el 87% de las mujeres y el 12% de los hombres se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se han retirado? A) 465 B) 468 C) 469 D) 472 E) 485 10. Un comerciante compra un artículo a una fábrica y le hacen un descuento del 20% del precio de lista. ¿Qué porcentaje del precio de lista debe de fijar para que su venta de tal manera que haciendo un descuento del 20% del precio fijado, aún gane el 20% del precio de venta?

17. Un recipiente está lleno de la mezcla de alcohol y agua al 60% se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua, y luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por alcohol ¿Cuál es la concentración final de la mezcla? A) 45% B) 60% C) 65% D) 70% E) 50% 18. Se tiene vino de dos diferentes calidades de precios, de 20 soles y 15 soles el litro. Se mezcla obteniendo 200 litros de vino como para vender a 20,8 el litro de la mezcla ganando así el 50% del 60% del precio de costo. ¿Cuántos litros de vino de la mejor calidad entró en la mezcla? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 19. Si la longitud de una circunferencia disminuye 30%, ¿En qué porcentaje disminuye el área de su círculo? A) 64% B) 30% C) 70% D) 51% E) 49% 20. Si la base de un triángulo aumenta un 30% y su altura un 50%. ¿En qué porcentaje aumenta el área? A) 80% B) 85% C) 95% D) 145% E) 135% 21. Si la base de un triángulo aumenta 20% y la altura disminuye 40%, ¿en qué porcentaje varía su área? A) Aumenta 72% B) Disminuye 28% c) Disminuye 30% D) Aumenta 28% E) Disminuye 72% 22. Si la base de un rectángulo aumenta en un 20% y su altura varia de tal forma que el área permanece constante ¿En qué porcentaje varía el perímetro, si la base era el doble de la altura? A) +10% B) –8% C) –7,7% D) –6% E) +7,7% 23. Juanito tiene una región pavimentada en medio de su jardín si incrementa tanto el largo como el ancho de esta región en un 20%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento del área pavimentada? A) 40 B) 144 C) 44 D) 400 E) 20

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24. Si el 15% del área de un círculo es igual al 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar el valor del radio. A) 6 % B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 25. ¿En qué porcentaje varía el volumen de un cilindro cuando su altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%? A) 5% B) 6% C) 8% D) 10% E) 12 Problemita ¿Qué porcentaje del rectángulo PQRS representa el área sombreada en dicho rectángulo? A) 25% B) 30% C) 33,3% D) 45% E) 50%

PROBLEMAS PROPUESTOS 4 2 1. Si una magnitud A es I.P. a B, D.P. a c es I.P. a D . Hallar el valor de A cuándo B es 10; C es 36 y D es 4, si cuando A es 720; B es 2; C = 4 y D es igual a 3. A) 243 B) 81 C) 162 D) 63 E) 729 2

2. La magnitud A es D.P a B e I.P a C. Si el valor de B se duplica y C aumenta 3 veces más, ¿qué sucede con el valor de A? A) Varia B) No varía C) Se duplica D) Se triplica E) Ninguna 3

2

3. Se sabe que A es I.P. a B y B I.P. a C . Hallar el valor de A cuando B = 4 y C = 6, si cuando: A = 27; B = 12 y C = 2. A) 1 B) 2 C) 4 D) 5/2 E) 64 2

4. Se sabe que: A es IP con B y C Si A se duplica y B se reduce a su mitad. ¿Qué pasa con C? A) Se reduce a su mitad B) Se reduce a su cuarta parte C) Se reduce a su octava parte D) Se duplica E) Se cuadruplica 2

C IP

5. Si: A DP B ; B DP C y Para A y D, se cumple: 3

A) A

3

D) A

8

3

D. 3

IP D

B) A IP D

C) A IP D

IP D

E) Ninguna 2

3

6. Sabiendo que A es I. P. a la inversa de B , e I. P. a C y además 2

3

B es D. P. a D y C es I.P. a E determinar el valor de A cuando E = 4; D = 9, si cuando E = 2; D = 3 y A = 1. MAGNITUD Es todo aquello que puede ser cuantificado; se divide en dos una discreta y una continua. MAGNITUD DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Dos magnitudes son D.P. cuándo tienen igual comportamiento esto es:

A DPB

A =K B

PROPIEDADES

A DPB A DPB

B DPA

An DPBn

MAGNITUD INVERSAMENTE PROPORCIONAL Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuándo tienen diferente comportamiento esto es:

A I PB

A.B =K

PROPIEDADES

AIPB

BIPA

AIPB

An IPBn

AIPB

ADP

1 B

OBSERVACIÓN Se llama variación conjunta a:

A DPB A DPB

A =K B A =K B

8

9

4

9

A) 3 .2

D) 3 .2

9

8

2

9

B) 3 .2 E) 3 .2

C) 6

9

7. La gratificación para los empleados es proporcional al cuadrado de su edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Cuántos años más deberá tener para que la gratificación que reciba sea el cuádruplo de lo que recibió? A) 10 B) 16 C) 18 D) 24 E) 30 8. Una rueda dentada de 48 dientes da 560 R.P.M. y concatenada con un piñón que da 107520 vueltas por hora. ¿Cuál es el número de vueltas del piñón? A) 14 B) 15 C) 24 D) 34 E) 44 9. Dos engranajes de 8 y 15 dientes están concatenados, cuando funcionan 5 minutos uno ha dado 70 vueltas más que el otro. ¿Cuál es el número de vueltas del engranaje pequeño en R.P.M.? A) 35 R.P.M. B) 30 C) 36,5 D) 37,5 E) 40 10. El radio de un círculo es 3 veces mayor que el radio de un segundo círculo. Hallar la relación, área segundo círculo – área primer círculo. A) 9 B) 16 C) 1/9 D) 1/16 E) 1/4 11. El tiempo que demora un planeta en dar la vuelta alrededor del sol es directamente proporcional al cubo de su distancia e inversamente proporcional a su peso. ¿Cuál es la razón geométrica del peso de un planeta respecto al peso de la tierra, si tarda 1825 días en dar una vuelta al sol y la distancia que las separa es el triple que la de la tierra? A) 27/5 B) 5/27 C) 9/4 D) 64/27 E) 27/64 12. La potencia (Pot) que puede transmitir un engranaje está dada 2

por la relación: Pot= k.A.B.C.(N.D) k1 .k2

donde D es su diámetro. ¿Qué

sucede con la potencia si el diámetro aumenta en 20%?

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GUÍA 2 - CIENCIAS A) + 20% D) + 44%

B) + 40% C) - 20% E) Depende de las otras magnitudes

97

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

13. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia de Arequipa. Si una casa ubicada a 75km cuesta $45000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150km de distancia? A) 45000 B) 22500 C) 11250 D) 90000 E) 180000 14. En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional al cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que: A) Se perdió 140000 dólares B) Se ganó 160000 dólares C) Se perdió 160000 dólares D) Se ganó 200000 dólares E) No se ganó ni se perdió 15. Dos veteranos de guerra tienen concebidos sendas pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo? A) 7 B) 9 C) 16 D) 15 E) 25 Problemita ¿Cuál es la alternativa correcta?

A

B

a1

b1

a2

x

Magnitudes Valores Correspondientes

Sabemos que:

A =k B

A DP B Remplazando:

a2 a1 = b1 x

x =b 1 .

a2 a1

Ejemplito Para pintar un cubo de 10cm el lado se gastó S/. 240. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 15cm de lado? Resolución

Cubo

Cubo 15 cm

10 cm Gasto : S /. 240 Gasto S /. 240 x

x = 240 .

Gasto : x

10 2 15 2 D

152

x =S/ . 540

102

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Sabemos que:

C

D

c1

d1

c2

x

C IP D

Magnitudes Valores Correspondientes

C . D=k

Remplazando: c 1 . d 1= c 2 . x Despejando: x = d 1 .

Es una aplicación de las magnitudes proporcionales y se clasifican en: 1. Simple A ) Directa ( 2 Magnitudes) B ) Inversa 2. Compuesta:

c1 d1

Ejemplito 6 caballos tienen ración para 15 días si se aumenta 3 caballos más. ¿Para cuantos días alcanzará la ración anterior? Resolución

RACIÓN CTE

Caballos

días

6

15

9

x

I

(Más de 2 magnitudes)

x =15 . REGLA DE TRES SIMPLE Conociendo 2 valores correspondientes de 2 magnitudes se puede determinar un valor correspondiente a un nuevo valor de la otra magnitud. Llamándose la R3S directa o inversa, según que la proporcionalidad que sigue a las magnitudes sea directa o inversa. Veamos los siguientes casos:

6 9

x = 10

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GUÍA 2 - CIENCIAS

98

PROBLEMAS PROPUESTOS 5 BLOQUE I La Regla de 3 compuesta se caracteriza por que participan más de 2 magnitudes. Una de las formas de resolución es la siguiente: “Se toma como referencia una de las magnitudes ésta se compara con cada una de las demás e indicándose si son DP ó IP.” Por ejemplo:

A

B

C

D

E

a1

b1

c1

d1

e1

a2

b2

x

d2

e2

(D)

(I)

(I)

(D)

a2

x = c1 ×

a1

×

Magnitudes Valores Correspondientes

Obra

II

III Obreros

b1 d e × 1 × 2 b2 d2 e1

Días

Rendimiento ( eficiencia )

VI

Dificultad ( Dureza )

I

II

D . P.

II

III

I . P.

III

V

I . P.

I

III

D . P.

II

IV

I . P.

III

VI

D . P.

I

IV

D . P.

II

V

I . P.

IV

V

I . P.

I

V

D . P.

II

VI

D . P.

IV

VI

D . P.

I

VI

I . P.

III

IV

I . P.

V

VI

D . P.

Ejemplito Una obra, de la misma envergadura pero el doble de dificultosa que la que hicieron 20 obreros durante “n” días trabajando 6h/d debe ser acabada en 10 días trabajando “n” h/d por un cierto número de obreros. Hallar el número de obreros. Resolución: Obra Dificultad

días

h/ d

20

1

1

n

6

x

1

2

10

n

D

D

I

I

1 2 n 6 x =20 × × × × 1 1 10 n

3

a) 358 m

3

d) 728 m

b) 628 m e) 738 m

3

3

3

de cierta obra. ¿Cuánto habrá 3

c) 78 m

4. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. de lado, un peón cobra 300 soles. ¿Cuánto cobrara por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m. de lado? a) 108 b) 109 c) 110 d) 111 e) 107

6. Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de doble arista? a) 24 b) 48 c) 60 d) 72 e) 96

Análisis Comparativo

Obreros

primero haya realizado 280 m realizado el otro?

5. Si por pintar un cubo me cobran 30 pesos. ¿Cuánto me cobraran por pintar otro cuyo volumen es 8 veces el anterior? a) 50 b) 90 c) 360 d) 200 e) 120

IV h/d ( horas diarias )

V

2. La habilidad de dos trabajadores son como 5 y 13. Cuando el

3. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. de lado, un peón cobra 300 soles. ¿Cuánto cobrara por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m. de lado? a) 108 b) 109 c) 110 d) 111 e) 107

En la R3C participan por lo general las siguientes magnitudes: I

1. 300 hombres tienen alimentos para 51 días. Si estos alimentos deben alcanzar para 153 días. ¿Cuántos hombres deben disminuirse? a) 100 b) 205 c) 210 d) 180 e) 200

X = 24

7. En un recipiente que contiene 8 litros de agua se han disuelto 750 gramos de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se habrá evaporado cuando el litro de líquido restante contenga 220 gramos de azúcar? a) 6,8 b) 3,4 c) 4,6 d) 5,6 e) 3,6 8. Un reservorio cilíndrico de 8m de radio y 12 de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio de un recipiente de 6 m. de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses? a) 8 m b) 16 c) 11 d) 24 e) 18 9. Un envase esférico lleno de cierta sustancia pesa 5 libras pero vacío una libra. ¿Cuánto pasará otro envase esférico del mismo material y lleno con la misma sustancia, si su radio es el doble del anterior? a) 32 libras b) 33 c) 34 d) 35 e) 36 10. Si 4 cajistas en 20 días, trabajando al día 6 horas, componen 80 folletos de 50 páginas cada folleto y de 30 líneas cada página, ¿Cuántos días necesitaran 10 cajistas trabajando al día 8 horas, para componer 100 folletos de 500 páginas cada folleto y de 40 líneas cada página? a) 10 b) 30 c) 15 d) 12 e) 9 11. Una cuadrilla de 15 hombres se comprometen a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días solo han hecho 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el plazo fijado? a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 19 12. Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos. ¿En cuánto tiempo 50 monos comerán 150 plátanos? a) 50 min b) 6 c) 18 d) 150 e) 12 13. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días. ¿En cuántos días talarán 16 leñadores 16 árboles, si estos últimos son 1/4 menos rendidores que los anteriores? a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 16

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GUÍA 2 - CIENCIAS 14. Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si se le dieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola máquina? a) 36 días b) 42 c) 48 d) 30 e) 32 15. Un grupo de obreros realiza una obra en “d” días, pero si agregamos 8 obreros, el número de días disminuirá en 1. Calcule “d” si es el mayor entero posible, además el número de obreros iníciales es menor que 45. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 16. En una comunidad cuatro hombres y una mujer cultivan un terreno en 24 días. Si se aumenta un hombre y una mujer cultivan el mismo terreno en 6 días menos. ¿En cuántos días cultivarán el mismo terreno los 4 hombres solos? a) 24 b) 27 c) 36 d) 21 e) 16 17. En 6 días, 16 obreros han construido una pared que tiene de largo 18 m. de altura, 6 metros y 95 cm. de espesor. Si hubieran trabajado solo 12 obreros. ¿Cuántos días habrían empleado? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 9 18. El transporte en carro de 20 toros hasta una distancia de 800 km. pesando cada toro 400 kg. ha costado S/. 4000. ¿Qué distancia se habrá transportado 50 toros de 1200 kg. cada uno costando el transporte S/. 18 000? a) 980 km. b) 1040 c) 1080 d) 1120 e) 1320 19. Seis obreros se comprometen en hacer una obra en 6 días trabajando 6 horas diarias. Si luego de 2 días de trabajo se retiran 2 obreros. ¿En qué tanto por ciento deberán aumentar su eficiencia cada uno de los restantes para que pueda entregar la obra en el plazo fijado? a) 20% b) 30% c) 40% d) 45% e) 50% 20. Se necesitan 12 hombres o bien 18 mujeres para efectuar una obra en 30 días. ¿Cuántas mujeres hay que añadir a 8 hombres para hacer una obra el triple que la primera de difícil en 36 días? a) 15 b) 33 c) 20 d) 12 e) 9 BLOQUE II 1. Una obra será hecha por 30 obreros trabajando 7 h/d, luego faltando 12 días para terminar la obra se retiran 20 obreros y no son reemplazados hasta 5 días después por “n” obreros y trabajan todos desde allí a 5 h/d. Calcular “n” si el trabajo se hace en el tiempo establecido. a) 40 b) 8 c) 52 d) 54 e) 56 2. Jorge es un empedernido fumador, se fuma 5 cigarros por cada 4 horas que transcurren. Compra una caja de fósforos y observa que para encender un cigarro tiene que utilizar siempre 2 fósforos. ¿En cuántas horas Jorge consumirá toda la caja de fósforos (1 caja de fósforos de 40 palitos) y cuántos cigarros consumirá? a) 20 h; 16 cig b) 12 h; 18 cig c) 30 h; 15 cig d) 16 h; 20 cig e) 18 h; 12 cig 3. En una fábrica había 80 obreros, se calcula que el jornal que cobraba cada uno diariamente iba a alcanzar para 10 días transcurridos 4 días se retiraron 20 obreros. ¿Diga para cuántos días más de lo calculado alcanzó el dinero? a) 8 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 4. Para arar un terreno con 4 tractores, lo hacen en 12 días. La fuerza de los tractores está representada por 9 y la resistencia del terreno por 6. ¿Cuánto tardaran para arar otro terreno de igual extensión, 3 tractores si la fuerza está representada por 8 y la resistencia del terreno por 7? a) 20 días b) 21 c) 23 d) 22 e) 25

99

5. Treinta obreros deben entregar una obra en 29 días, 5 días después de iniciado el trabajo se decidió que se entregue 9 días antes del plazo fijado para lo cual se contrató 10 obreros más y se trabajó cada día 2 horas más. ¿Cuántas horas diarias se trabaja inicialmente? a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 6 6. Cecilia es el doble de rápida que Diana y esta está es el triple de rápida que Silvia. Juntas participan en una carrera de postas (recorriendo espacios iguales) logrando el equipo una marca de 27 segundos. ¿Cuánto tardaría Cecilia en hacer sola todo el recorrido? a) 12seg. b) 10 c) 24 d) 9 e) 15 7. Una cuadrilla de 22 obreros, trabajando 5 horas diarias, han empleado 6 días para abrir una zanja de 220 m. de largo, 1 m de ancho y 0,625 m. de profundidad. ¿Cuántos días más empleará otra cuadrilla de 12 obreros, trabajando 4 horas diarias para hacer otra zanja de 100 m. de largo; 1,5 m. de ancho y 1 m. de profundidad? a) 5 b) 4 c) 9 d) 3 e) 6 8. Las eficiencias de un hombre, una mujer y un niño para realizar un trabajo, están en la relación de 3 : 2 y 1 respectivamente. Si dicha obra puede realizarla 2 hombres y 3 mujeres, trabajando juntos en 15 días. ¿En cuántos días realizaran el mismo trabajo un hombre, una mujer y un niño? a) 20 b) 15 c) 25 d) 10 e) 30 9. Si 32 obreros se comprometen a realizar una obra en 16 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 8 días solo ha realizado los 2/5 de una obra por lo que se aumenta 8 obreros más y trabajan todos durante 4 días más dándose cuenta que no terminarán la obra en el plazo fijado y deciden aumentar las horas diarias de trabajo. ¿Cuántas horas diarias aumentarán? a) 3 h b) 5 c) 7 d) 4 e) 2 10. Una cuadrilla de 40 obreros hacen los 3/10 de una obra en 18 días trabajando 7 h/d, luego de los cuales abandonan el trabajo 10 obreros por enfermedad. ¿En qué fracción debe aumentar la eficiencia de los obreros que quedan si estos aumentan en una hora el trabajo diario y desean terminar la obra una semana antes de lo planificado? a) 1/4 b) 3/5 c) 5/8 d) 3/4 e) 2/5 11. Si 12 obreros de la misma habilidad prometen hacer una obra en 15 días, pero cuando han hecho la mitad, abandonan 8 obreros. ¿Qué habilidad con respecto a los primeros deben tener los 5 obreros nuevos que se contratan para cumplir con el tiempo establecido? a) 20% más b) 30% más c) 40% más d) 50% más e) 60% más 12. Una azucarera esférica llena de azúcar pesa 600 g. Si el contenido de esta azúcar pesa 500 g. más que la azucarera. ¿Cuánto pesaría la azucarera llena de azúcar si tuviera el doble de radio? a) 4,4 kg. b) 4,6 kg. c) 4,8 kg. d) 4,3 kg. e) 4, 5 kg. 13. Un grupo de 30 obreros se comprometen hacer 30 m. de una zanja en 30 días. A los 5 días de empezado el trabajo se aumenta 5 obreros y 10 días después se aumenta 5 obreros más. ¿Cuántos días emplearon en hacer la obra? a) 20 d b) 23 d c) 25 d d) 27 d e) 28 d 14. 72 soldados empiezan a cavar una trinchera, pensando terminar en 10 días, al cabo de 2 días, se les notifica de un ataque dentro de 5 días, por lo que aumentan sus horas diarias de trabajo de 10 a 12 y su esfuerzo en 25% más, pidiendo un contingente de refuerzo para culminar un día antes del ataque. Hallar con cuántos soldados se reforzaron. A) 75 B) 72 C) 81 D) 65 E) 24 15. Se necesitan 16 hombres ó 24 mujeres para coser 240 pantalones con doble costura en 10 días trabajando 8 horas diarias.

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GUÍA 2 - CIENCIAS

100

¿Cuántas mujeres se deben añadir a 8 hombres que van a coser 150 pantalones con triple costura en 12 días trabajando 10 horas diarias? A) 2 B) 3 C) 6 D) 9 E) 11 Problemita Dado el arreglo:

Problemita Indicar el valor veritativo de las siguientes proposiciones: I. La media aritmética de: 7; 10; 13; 16; ... ; 91 es 49. Resolución: Como: 7; 10; 13; 16; … ; 91 tiene r = 3 Hallamos el número de términos esto es: 91 = 7 + ( n – 1 )3 n = 29

7

S

Halle: a + b + c + d A) 45 B) 36 C) 54

D) 56

91

S = 49( 29 )

29

2

E) 63

Nos piden el promedio: ma =

49 29

29 Siendo la proposición verdadera.

= 49

II. La media geométrica de: 2; 6; 18; 54; ... ; 2.3 Resolución: La sucesión: 2; 6; 18; 54; …; 2.3 0

1

2

3

12

2.3 ; 2.3 ; 2.3 ; 2.3 ; … ; 2.3 I. DEFINICIÓN Es un número representativo de un conjunto de cantidades que tiene la propiedad de ser mayor que la menor de las cantidades pero menor que la mayor. II. CLASES DE PROMEDIOS 2.1. Promedio Aritmético (M.A.) o media aritmética, es la enésima parte de la suma de “n” cantidades.

M.A. =

n

2.2. Promedio Geométrico (M.G.) o media geométrica, es la raíz enésima del producto de “n” cantidades:

M.G. =

n 1 1 1 1 + + +…+ a1 a2 a3 an

M.G. =

a b 2



Para tres números a, b y c: M.A.= M.G. = M.H. =



Para “n” números: M.A. M.G. M.H.

13

2

M.G = M.A. M.H. M.A. M.G.

12 13 2

213 •3

= 2•36

mg

1458

Siendo la proposición verdadera. III. La media armónica de: 1; 1/2; 1/3; 1/4; ... ; 1/36 es 0,054. Resolución: Al aplicar la definición tenemos:

36 1 + 2 + 3 + ... + 36

=

36.2 36.37

esto es: 2 = 0.054 37 Con lo cual la proposición es verdadera.

BLOQUE I 1. Las edades de 4 hermanos son proporcionales a 2, 3, 4 y 5. Hallar la edad del menor si el promedio de todas las edades es 21. a) 12 b) 30 c) 14 d) 10 e) 24 2. Si M.A. x M.H. de A y B es 196 y M.A. x M.G. de A y B es 245. ¿Cuál es la diferencia entre A y B? a) 25 b) 24 c) 23 d) 22 e) 21

ab

2ab M.H. = a b

se puede expresar como:

PROBLEMAS PROPUESTOS 6

III. PROPIEDADES  Sólo para dos números: M.A.=

mg =

n a × a × a ×… × an 1 2 3

2.3. Promedio Armónico (M.H.) o media armónica, es la inversa de la media aritmética de las inversas de “n” cantidades:

M.H. =

es 1458.

Luego nos piden:

mh =

a1 + a2 + a3 +...+ an

12

12

M.G. M.H.

3. Se sabe que el promedio aritmético de 2 números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 2 números? a) 6 b) 7 c) 4 d) 8 e) 3 2 4. La MA , MG y MH de 2 números están representados por 3 números enteros y positivos, cumpliéndose lo siguiente: MA

a) 10

MG

4

= 3125 b) 15 c) 20

d) 25

e) 30

5. El promedio aritmético de 2 números es 22,5 y su promedio geométrico es 18. La diferencia de los números es: a) 7 b) 17 c) 27 d) 20 e) 9 6. Si a un grupo de 5 números se le agrega los números 18, 12 y 10 se observa que su media aritmética disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmético de este nuevo grupo de números. a) 20 b) 24 c) 21 d) 28 e) 30

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 7. El promedio aritmético de 50 números es 16. Si a 20 de ellos se les añade 7 unidades y a los restantes se les quita 3 unidades. ¿Cuál es el nuevo promedio aritmético? a) 10 b) 17 c) 15 d) 20 e) 18 8. Si el promedio de los “n” primeros números múltiplos de 3, positivos es 57 y el promedio de los “m” primeros impares positivos es 43 entonces (m + n) es: a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100 9. Un trailer emplea 18 llantas para su desplazamiento si el conductor quiere que tanto sus 18 llantas como sus 2 llantas de repuesto se desgasten igualmente en un recorrido de 2000 Km ¿Cuántos kilómetros recorrerá cada llanta? a) 2000 b) 1800 c) 1500 d) 1750 e) 1600 10. Se tiene 100 números, A es el promedio aritmético de los 30 primeros y B es el promedio aritmético de los números restantes. Se sabe que la media geométrica y media armónica de A y B son 10 2 y 13 1 respectivamente. 3

¿Cuál es el mayor valor del promedio

aritmético de los 100 números? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18

e) 14

BLOQUE II 1. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67 m 150 son mujeres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60 m. ¿Cuál es el promedio aritmético de la estatura de los varones de dicho grupo? a) 1,7 m b) 1,59 c) 1,71 d) 1,64 e) 1,68

a) 4

m

2m

b) x

"n" veces

c) x

3mn

mn/2

d) x

e) N.A.

3. La media aritmética de 70 números es 40 y la media de otros 30 números es 50. Si a cada uno de los números del primer grupo se le aumenta 10 unidades y también a c/u de los números del segundo grupo se le disminuye en 20. ¿En cuánto varía el producto original de los 100 números considerados? a) aumenta en 1 b) disminuye en 1 c) aumenta en 11 d) disminuye en 11 e) no varía 4. Calcular la estatura promedio en metros de 3 personas, sabiendo que miden: “a” cm, “b” cm y “c” metros

b c 100 a b 100c d) 300 a)

a

b 10c 100 a b c e) 300 b)

a

c)

a

b 3

8. Una hormiga recorre los lados de un polígono regular con velocidades respectivamente por cada lado de 2; 6; 12; 20; ….. ; 600 metros por segundo. Calcule la velocidad promedio de la hormiga en recorrer por una vez todos los lados del polígono. a) 25m/s b) 24 c) 20 d) 18 e) 14 9. Un avión está volando alrededor de un pentágono regular con velocidades de: 200; 300; 400 y 600 km/h respectivamente, en sus cuatro primeros lados. ¿Qué velocidad desarrollo en el último lado, si la velocidad promedio al dar una vuelta completa al pentágono fue 375 km/h? a) 1200 b) 800 c) 1000 d) 900 e) 500 10. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 60 años y el promedio de edades es 54, la mínima edad que puede tener una de ellas es: a) 22 años b) 24 años c) 26 años d) 28 años e) 30 años 11. Un equipo de tiro al blanco, compuesto por 5 tiradores tiene un promedio de 80 aciertos. Ninguno de ellos da en el blanco menos de 76 veces. ¿Cuál es el máximo número de aciertos que puede realizar uno de ellos? a) 90 b) 96 c) 98 d) 94 e) 95 12. Un avión sobrevuela una pista que posee la forma de un m/min; el segundo a razón de V2 m/min y el tercero a razón de V3 m/min. Si V1, V2 y V3 se encuentran en la misma relación que los números: 2, 4 y 5 y la velocidad media del avión en su recorrido



"m" veces

7. En una huerta donde hay 80 animales entre conejos y pavos se observa que el promedio de las patas es 2,75. Si al cabo de una semana se ha vendido cierto número de pavos y han nacido ese mismo número de conejos, se tiene que el promedio ahora es 3,5. Determinar cuántos animales nacieron. a) 10 b) 25 c) 30 d) 40 e) 50

triángulo equilátero. El primer lado lo sobrevuela a razón de V1

2. Halle la media geométrica de M y N. Si: n n n n M = x . x . x ... x N = (y5m . x) (y5m . x)...



101

c

5. Pepe compro 50 acciones de una compañía a S/. 600 cada una y 2 meses más tarde compro 25 acciones más a S/. 560 cada una. ¿A qué precio deberá comprar 25 acciones adicionales para tener un promedio de S/. 580 por acción? a) S/. 570 b) S/. 560 c) S/. 530 d) S/. 540 e) S/. 550

total es de 360 m/min. Hallar V3 a) 456m/min b) 570m/min d) 545m/min e) 495m/min

c) 475m/min

13. Estudiantes de Ingeniería y Administración rinden conjuntamente un examen de Estadística; el promedio general es de 11,5. La medía o promedio de los estudiantes de Ingeniería es 12, los 49 estudiantes de administración obtuvieron un promedio de 10,8. ¿Cuántos estudiantes de Ingeniería rindieron examen? a) 42 b) 36 c) 32 d) 35 e) 28 14. De “N” alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 1,65m; el 30% son mujeres. Si la estatura promedio o media aritmética de las mujeres es 1,58. Calcular la estatura promedio de los varones de dicho grupo. a) 1,68m b) 1,72m c) 1,66m d) 1,69m e) 1,70m 15. El sueldo promedio de una empresa es $500, posteriormente se incorporan a la empresa un conjunto de empleados igual al 25% de los que trabajan inicialmente. El nuevo empleado ingresa a la empresa con un sueldo promedio igual al 60% del sueldo promedio de un empleado antiguo. Tres meses después la empresa concedió un aumento de $70. ¿Cuál será el nuevo sueldo promedio de todos los empleados? a) $530 b) $460 c) $525 d) $480 e) $490

6. Sea Yk una variable que representa ingresos en nuevos soles: si la variable Yk está relacionada con Xk (gastos) de la forma: YK = XK – 3; para k = 1, 2, 3, … n ¿Cuál es el promedio aritmético de los Xk si el promedio de los Yk es 15? a) 12 b) 13 c) 18 d) 20 e) 12

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