004 - GEOMETRIA ANALITICA

GUÍA 2 - CIENCIAS

59

Es una expresión matemática que sólo se verifica o satisface para los puntos de la recta.

m2

tag =

m1

1+ m1m2

De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la ecuación puntopendiente y la ecuación general.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Ecuación Punto Pendiente y L L : y

(0,b)

mx b d(p d(p1;L) ;L) =

º 0

 A 2 +B 2

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

x

(a,0)

 A1x +B1y + C1

a, b y c: constantes

Ec. General: ax + by + c = 0

Recta que pasa por el origen de coordenadas Sea la ecuación:

C1 - C1

d (L1;L2 ) =

Y=-X

 A 2 +B 2

Casos particulares:

Rectas Paralelas:

Si: m = 0

L1 1

Pendientes iguales

2

1

m1

2

resulta

y = b = constante

y

m2

y=b

b

Rectas Perpendiculares:

b L1

L2

Si: L1

(m1)

(m2)

m1 x m 2

x

L2 1

será una recta paralela al eje x. Un caso similar se presenta si:

(m1

m2): Son Pendientes

 ÁNGULO FORMADO FORMADO POR DOS RECTAS

x = a = constante

y y=a a x

 L1 : A1x +B +B1y +C + C1 = 0 Sean: Sean :

de pend pendie ient nte e m1 = -A1 /B1 L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0

Su representación será una recta paralela al eje Y.

de pendiente m2 = -A2 /B2

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60

11. Hallar la pendiente de la recta “L”. 1  A) Y  3

 PROBLEMAS  PROBLEMAS APLICATIVOS APLICATIVOS 1

NIVEL I 01. Hallar la pendiente de la recta “L”  1  A) 3 B)

C)

Y 

1

3

3 3

D)

L

3

30º

3

E)

C)

3

12. Hallar “n” de la figura

3 E) 3

30º

 A)

02. Hallar la intersección de la rectas: x+9y –6=0  –6=0

0;

3

B)

2

5 3 ; 2 2

0;

3

5

C)

2

2

9x –y  –y –21=0  –21=0

;0

L

11 11

C)

11

D)

2 11

E)

-5

03. El punto (-3;5) pertenece a la recta: 3x – 3x – 2y + k = 0. Hallar: “k”.  A) 8 B) 2 C) 17 D) 6 E) 19 04. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: (1;2) y (5;0).  A) y – y –xx = 5 B) y = 3x C) y + x= 5 D) 2x+x= 5 E) 2y - x= 5 05. Las rectas de pendientes: m0 =

3

4 Hallar el mayor ángulo que forman. B) 98º

m1 ==-1

se interceptan.

C) 128º D) 138º E) 118º

B) 0

C) 1

D) 2

E) -2

07. Una recta pasa los puntos (-3;1), (-3;1), (0;4) y (8;n). Hallar “n”.  A) 6

B) 12

C) 4

D) 8

X 

10

NIVEL II 13. Hallar el área del triángulo sombreado.  A) 46

2

B) 20

2

C) 40

2

D) 18

2

E) 36

2

Y  

y

2x

12

0

X  

14. Hallar el área del triángulo sombreado.

06. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135° y pasa por lo puntos P(5; -1) y Q(k;3). Hallar “k”. Hallar “k”.  A) -1

(6;n)

2 11

E) (0;7)

 A) 108º

Y 

X 

B)

D)

X 

3

3

D)

 A)

L

3

B)

E) 7

2

 A) 100 B) 20

2

C) 50

2

D) 25

2

E) 40

2

Y  

y

x

10 10

0

y

x

X  

08. Hallar el área del trapecio sombreado.  A) 78

Y 

2

B) 78 3

2

C) 50 3

2

D) 100

m

3

(10;k)

 A)

2

E) 100 3

C) 2

(16;0)

09. De los siguientes puntos, cuál no pertenece a la recta: y x 8 0  A) (-4;20) B) (0;-8) C) (3;1) D) (-1;-11) E) (2;-4) 10. Hallar el punto de intersección de las rectas:  A) (1;-2) D) (0;-5)

15. Hallar la ecuación de una recta que tiene un ángulo de inclinación de 120° y que pasa por el punto 3 3; 6

x+2-5=0

2x - y - 10 = 0

B) (0;-8) E) (5;0)

C) (5;-5)

X 

y = - 3x

B) y - 2x +

y + 3x - 3 = 0

D) y -

E) y =

3

0

3x + 1 = 0

3x

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-5;0) y (0;4).  A) x- y = 20 B) 5x -4y = 20 C) y – y – 4x  4x = 20 D) 5y – 5y – 4x = 20 E) x + y = 20 17. Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto (1;2) y que es perpendicular a la recta: 3x 4y 12 0  A) 4y + 3x – 3x – 10 = 0 B) 3x  – y  – y + 20 = 0 C) x + y – y – 10 = 0 D) 4x + 3y – 3y  – 10  10 = 0 E) x + y – y – 20  20 = 0

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18. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(7;9) y B(-5;7).  A) x + y = 0 B) x - y = 0 C) y + x – x – 7 = 0 D) 4y + 3x – 3x  – 7  7 = 0 E) 4y + 3x + 7 = 0 19. Hallar el área del triángulo determinado por las rectas de ecuaciones y = x, y = 6, y = 2x.  A) 6

2

B) 10

2

D) 9

2

E) 18

2

C) 20

2

20. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(0;0) y B(-6;-8)  A) x - y + 8 = 0 B) 3x + 2y - 8 = 0 C) 3x - 4y - 25 = 0 D) 3x + 4y + 25 = 0 E) x + y = 0 21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;8) y es perpendicular a la recta: y + 3x – 3x – 8  8 = 0  A) 3y + x + 24 24 = 0 B) x + y = 0 C) x - y = 0 D) 3y - x - 24 = 0 E) 3x – 3x – 3y  3y + 1 = 0 22.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;-1) y es paralela a la recta: 2x - 5 = 0 2  A) x = B) x = -2 C) x = 2 5 D) x = -4 E) x = 4

23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1;3) y que es perpendicular a la recta: y + 3x – 3x – 8  8 = 0  A) x – x – 3y + 8 = 0 B) x – 3y  – 3y –  – 8  8 = 0 C) 3x – 3x – 4y + 15 = 0 D) x  – 3y  – 3y + 15 = 0 E) 3x – 3x – 3y  3y + 7 = 0 24. Hallar “k” del gráfico.  A) B) C) D) E)

25. Hallar

X 

37º

para

que

y + 3 - 2k x + 8 = 0

las

rectas

k + 1 y - x - 5 = 0 sean

B) -2

C)

1 3

D)

2

1

B) -

7

7

C) 7

D) -7

E) 1

4. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2y y+ 9 = 0 2x + y - 8 = 0 ; 3x - 2  A) 4x+y-10=0 4x+y-10=0 D)4x-y+2=0

B)4x+y-2=0 E) 2x+y – 2x+y  – 8=0  8=0

C) 4x+y+10=0 4x+y+10=0

5. Una recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas

L1

y

L2

. Halle la ecuación.

L1 : 3x 3x + 2y 2y - 14 14 = 0  A) 4y-x=0 D) x+4y=0

L2 : x - 3y 3y - 1 = 0

B) x-4y=0 E) x+y=0

C) 4y+x=0 4y+x=0

6. Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y 5x+3y –4=0  –4=0 y el punto (2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K  A) 0

B) -1

C) -2

D) -3

E) -4

2nx - 9y + 12 129 = 0  corta al 7. Halle “n” de modo que la recta L : 1 2n segmento AB en el punto “P” tal que:7 AP

 A(2;3  A(2;3))

2PB ;además

B 11; 11; 6 B) -

 A) 1

1 2

C)

1 2

D) -2

E) 2

B 4;8

 A) x+y+7=0 x+y+7=0 D) x-y+7=0

B) x-y-7=0 E) x+y=0

C) x+y-7=0

9. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo ABC, y el origen de coordenadas. Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2) B) 2x+5y=0 E) 3x-5y=1

C) 5x-2y=0

E) 4

3

2y - kx kx - 3 = 0 10. Si L1 : 2y

4x + 2 = 0 . Son las y L2 : k + 1 y - 4x

ecuaciones de dos rectas perpendiculares y si “ m1" y "m2"  son

NIVEL III 1. Halle la diferencia de m1

4y 12

L2 : 3x

y 5 B) 2,5

sus pendientes, halle el valor de m1 + m2 .

m2 : si:

L1 : 2x 2x

 A) 2

1

 A) 2x-5y=0 D) 5x-2y=0

perpendiculares  A) 2

 A)

 A -1; -1; 3

(-10;k)

“k”

3. Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es: y mx 5 , para que pase por el punto de intersección de las rectas: 4x + 2 y = -3x - 5 ; y = 4x

AB;   si: 8. Halle la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB;

Y 

6.5 8 15 7.5 4

61

 A)

0

8 3

B)

15 4

C)

35 6

D)

24 5

E)

48 7

0 C) 3

D) 3,5

2. De la figura, halle: “K” 

E) 4 y (k;7a)

 A) 6a B) 7a C) 8a D) 9a E) 10a

0

(3a;0)

x

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62

 PROBLEMAS  PROBLEMAS APLICATIVOS APLICATIVOS 2

NIVEL I 01. La ecuación de una circunferencia es: x-2

DEFINICIÓN Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.

Ecuación ordinaria de la circunferencia Sea P(x; y ) un punto del plano X-Y cuya distancia constante a otro punto fijo C(h, k ) es R, luego, la ecuación de la circunferencia es:

 Y

C:

circunferencia

2

+ y+6

2

= 49 . Hallar su centro y el radio.

 A) (3;6); r = 7

B) (2;6); r = 49

C) (2;-6); r = 7 E) (-2;6); r = 49

D) (2;-6); r =

7

02. La ecuación de una circunferencia es:

x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0 . Hallar su centro y el radio  A) (-2;4); r = 3 B) (2;4); r = 3 C) (0;0); r = 3 D) (0;4); r = 3 E) (2;4); r = 6 03. Hallar “m” si el punto (2;3) pertenece a la circunferencia.

P( x; y)

x2 + y2 + 2x + my + 25 = 0  A) 12 B) 14 C) -14

R

D) -12

E) 16

c( h; k) 04. Hallar el área sombreada.

C

:

 x – h

2

8) 8)2

4

2

D) 80 E) 80

(y

2

C) 40

2 2 2 C = (x –  h   h )  + (y –  h   h )  = R  , así: En la figura: Centro: C (h; k ) radio: R Punto genérico: P(x; y ) Entonces por distancia entre dos puntos:

10 10)2

(x

2

B) 40 -

X

Y 

2

 A) 100 -

R

X 

2

05. Para que la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , represente a un punto, ¿qué se debe cumplir?  A) D + E – E – F < 0 B) D + E – F  – F > 0

y –k

2

R

2

C) D2 + E2 - 4F > 0

 

D) D2 + E2 - 4F < 0

E) D2 + E2 - 4F = 0

Ecuación ordinaria de la circunferencia

06. Hallar la distancia del punto (4;-3) al centro de la circunferencia: x2 + y2 = 3

Ecuación general de la circunferencia

 A) 3

La ecuación ordinaria de la circunferencia de los puntos P(x; y) de 2

2

2

centro C(h; k ) y cuyo radio R está dado: C: (x – (x – h)  h)  + (y – (y – k)  k)  = R  . Desarrollando y ordenando: 2

2

2

2

2

h  + k   – R   – R   = C Luego:

C

 x

2

y

2

 A x B y C

Ecuación general de la circunferencia

0

D) 10

E)

5

x +y =y

2

C = x  + y  – 2hx  – 2hx –  – 2ky  2ky + h  + k   – R  – R = 0

C) 2

07. Hallar el centro de la circunferencia de ecuación. , 2 2  A) 0;1

2

Haciendo: –2h  –2h = A,  –2k  –2k = B y

B) 5

D)

0;-

B)

1 2

0;

1 2

C)

1 1 ; 2 2

E) (1 ; 1)

08. Hallar la ecuación de una circunferencia de diámetro AB siendo  A(-5;7) y B(-2;3). B(-2;3). 2 2  A) x + y + 10x - 31 = 0 2 2 B) x + y - 31 = 0 2 2 7x - 10y 10y - 31 = 0 C) x + y - 7x

2 2 D) x + y + 7x - 10y + 31 = 0

10y + 31 31 = 0 E) x + y + 10y 2

2

09. Se tiene la circunferencia: x2 + y2 - 7x - 10y 10y - 31 31 = 0 . Hallar el perímetro del cuadrado

circunscrito a dicha circunferencia.  A) 15 B) 30 C) 60 D) 20

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E) 40

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10. Hallar la ecuación de una circunferencia de radio 5 que se encuentra en el tercer cuadrante y además es tangente a los dos semiejes. 2 2  A) x + y + x + y + 25 = 0 B)

2

2

2

2

x + y + 10 10x + 10 10y + 25 25 = 0

C)

x + y = 25

D)

x2 + y2 - 10 10x - 10 10y - 25 25 = 0

E)

2

19. Hallar el área del trapecio.

y 

2  A) 50 y

2 B) 108

C) 40

2

D) 54

2

6 X 

2 E) 48

2

63

x2

y2

100

x + y - x - y + 25 = 0

11. Hallar

la

x2 + y - 2

distancia 2

 A) 4

del

centro

de

la

circunferencia

 A) x2 + y2 - 4x - y - 64 = 0

4y – 18  18 = 0 = 16  a la recta 3x + 4y –

B) 5

C) 2

D) 6

20. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2;8), siendo además tangente al eje de coordenadas. B) x2 + y2 = 64

E) 3

C) x2 + y2 - 4x - 16y 16y + 64 = 0

NIVEL II

D) x2 + y2 = 100

12. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;0) y (10;0) además tiene por centro el punto (6;3).

E) x2 + y 2 - x - y - 64 = 0 21. Hallar la longitud de la circunferencia, que tiene por ecuación

 A) x 2 + y2 - 12 12x - 6y + 40 40 = 0

x2 + y2 - 8x 8x - 10y 10y + 25 25 = 0

B) x 2 + y2 - 12 12x - 6y + 20 20 = 0

 A) 16

C) x2 + y2 - x - y + 40 = 0

B) 6

C) 4

D) 8

E) 10

22. Hallar el centro de la circunferencia x2 + y2 + 8y + 1 = 0  A) (0;2) B) (0;-2) C) (0;-4) D) (0;4) E) (0;-1)

D) x2 + y2 - x - y + 20 = 0 E) x2 + y2 = 20

23. Qué punto de la circunferencia: 13. Hallar los interceptos de la circunferencia 2

x - 15

2

x + y + 6x - 2y + 5 = 0 ; con el eje X.  A) (5;0) y (1;0) B) (2;0) y (-2;0) C) (4;0) y (-2;0) D) (-4;0) y (-1;0) E) (-5;0) y (-1;0)

Y 

x2

y2

16x

20 20y

13 139

0

2 B) 50

C) 20

2

= 100  está más cerca al eje X.

B) (15;10) (15;10) E) (15;18)

24. Hallar las coordenadas graficar: x2 + y2 = 10  A) (1;-3) y (-1:-3) C) (-1;3) y (1;3) E) (0;8) y (-3;0)

C) (15;8) (15;8)

de los puntos de corte que se tiene al 3x - y = 0

B) (0;3) y (-1;3) D) (1;3) y (0;-3)

25. Hallar la ecuación de la circunferencia mostrada.  A) x2 + y2 - 4x - 4y = 0

2

2 D) 30

E) 10

+ y - 18

 A) (8;15) D) (0;10)

14. Hallar el área del triángulo sombreado. 2  A) 40

2

Y  

B) x2 + y2 - x - y + 4 = 0

2

2

X 

4x

3y

24

0

2

C) x + y - 4x - 4y + 4 = 0 D) x 2 + y2 + x + y + 4 = 0

15. Cuántos

puntos de coordenadas enteras hay en la 2 2 circunferencia x + y = 5  A) 2 B) 5 C) 4 D) Infinitos Infinitos E) Ninguno

2

+ y-b

2

= 15

01. Hallar la distancia del centro de la circunferencia al origen de coordenadas, sabiendo que su ecuación es:

C2 = x2+ y2 - 8x + 6y + 20 = 0

Son concéntricas. Hallar a + b  A) 7 B) 10 C) – C)  – 7 17. Qué punto de la circunferencia más cerca al eje Y.  A) (-1;5) B) (-1;8) D) (1;8) E) (1;-5)

D) -10 x+5

2

x2

E) 8 + y-8

2

 A. 3

C) (-5;8)

2

B) 1

C) 2

8x

6y B. 5

0 C. 4

D. 1

E. 6

02. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3;5) y que sea tangente a la recta y – y – 1  1 = 0

x + y - 4x 4x - 8y 8y + 11 = 0

 A) 3

y2

= 16   está

18. Hallar la distancia mínima del punto (5;8) a la circunferencia 2

X  

NIVEL III

16. Las circunferencias C1 = x + a

E) x2 + y2 = 4

 A. (x 3) 3)2 (y 5) 5)2

16

3)2 B. (x 3)

(y 5) 5)2

C. (x 3) 3)2 (y 5) 5)2

16

3)2 D. (x 3)

(y

5) 5)2

16 4

E. N.A. D) 6

E) 5

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64

03. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y su centro está en las rectas: L1 : 3x 2y 24 0  y L2 : 2x 7y 9 0 . 45

B. (x 6) 6)2

(y 3) 3)2

45

2

45

2

2

45

E. (x 3) 3)2 (y 3) 3)2

45

 A. (x 6) 6)2 2

C. (x 6) 6)

(y

3) 3)2

(y

3) 3)

D. (x 3) 3)

(y

6) 6)

6y 12 0   y el 04. Se tiene la circunferencia: x2 y2 4x 6y punto (3;3). Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto.  A. x+y-1=0 C. x-2=0

E. x=-3

0  en el punto P (-5;7). B. 3x+4y+43=0 3x+4y+43=0 D. 3x+y-43=0 E. X+y+4=0

06. Una circunferencia longitud 12   tiene su centro en el tercer cuadrante y es tangente a los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha circunferencia.  A. (x 3) 3)2

(y 3) 3)2

36

B. (x 6) 6)2

(y 6) 6)2

36

C. (x 6) 6)2

(y 6) 6)2

36

6)2 D. (x 6)

(y 3) 3)2

36

3)2 E. (x 3)

(y 6) 6)2

36

07. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje “X” en S(4;0) y pasa por T(7;1). 2

2

(y 1) 1)

38

3)2 C. (x 3)

(y 1) 1)2

38

1)2 E. (x 1)

(y 1) 1)2

38

3)  A. (x 3)

2

3) B. (x 3)

2

(y 1) 1)

38

3)2 D. (x 3)

(y 3) 3)2

38

08. Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto P(6;4) a 2 y2 4x 6y 6y 19 0 . la circunferencia: x  A. 7

B. 8

C. 9

6x

y2

B. 6x2

12y2

14

D. 1

2x

y2

D. 36x2

36y2

564x 384

0

E. 36x2

12y2

564x

 A. x2

0

4

2

y

3

4

C. x2

y2

4x

E. x

4

2

y2

2

4

0

4

D. x

4

2 2

y

3

y

3

2 2

667

y2 2

2

B. x 3

4 y 5 y

5

2

2

2

0 ; cuyo radio es

y 5

D. x 3

9

2 2

9 y 5

2

4

4

 A. x2

y2

6y 11

0

B. x2

y2

6y 29

0

C. x2

y2

6y 29

0

D. x2

y2

6y 11

0

E. x2

y2

6y 11

0

15. La ecuación 16x2

16y2

8x

64y 17 177

 A. Un conjunto vacío B. Un punto C. Una circunferencia de centro (-1/4 ; 2) D. Una circunferencia de radio 7 E. Una circunferencia circunferencia de centro (1/4 ; -2) y radio 7.

E. 4

B. x

E.

14. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son: A = (2 ; 7) y B = (4 ; 1). La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje Y es:

10. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (4; 1) y que tiene su centro en la recta 3x-4y=0 es:  A. x

D. 9

13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 y2 2x 2y 2y 23 23 0 . En el punto P=(2;5).  A. 3x - 4y = 26 26 B. 4x – 4x – 3y  3y = 26 C. 3x + 4y = 26 D. 4x + 3y = 26 E. 6x + 2y = 13

0

420

C. 26

595

circunferencia, x2 y2 6x 10y 2 un tercio del radio de esta circunferencia.

0

C. 36x2

B.

0  es:

12. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la

0

12x 56 56

26x 30 30y 31 313

 A. 17

09. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1;2), B(4;6) y cuyo centro está sobre el eje X, es:  A. 12x2

y2

E. x 3

05. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia: 12

x2

C. x 3

B. x+2y-1=0 D. x=3

x2 y2 4x 6y 6y  A. 3x-4y+43=0 3x-4y+43=0 C. 3x+4y-43=0

11. La distancia mínima del punto (3; 9), a la circunferencia:

4 4

1

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