002 - Albebra II
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GUÍA 2 - CIENCIAS
21
Origina un cociente notable entonces se cumple:
DEFINICIÓN Se denomina C.N., a ciertos cocientes de tal forma que sin efectuar la división se puede escribir su desarrollo. Es el cociente que se obtiene de divisiones exactas entre binomios de la forma: xn x
an
xn x
an a
x
xn x
an
an a
xn 1
a
;
xn x
xn 2 a
xn 3 a2
xan 2
an 1
an
an a
xn 1
a
;
x
x
an
an a
xn 1
a
an a
ó
xn x
Cuando el divisor es de la forma forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.
EJERCICIOS 1 xn 2 a
xn 3 a2
xan 2
an 1
1.
Si el cociente es exacto donde a) 2
;
donde “n” es par
2.
n N
b) 4
xn 2 a
xn 3 a2
xan 2
3.
a
;
b) 10
No es cociente notable
4.
Si:
Si el cociente de
xm
an
xp
aq
c) 15
x 3 yp
d) 8
hallar el valor de n,
e) 10
c) 18
d) 20
e) 25
es exacto, indicar el total de d) 24
e) 30
El numero de términos que tendrá el cociente notable
x 3 5n y 5n 30
PROPIEDADES
y
n
es:
xp y 432
sus términos a) 6 b) 12
“n” es par o impar
x
2n 3
El numero de términos que tendrá el cociente notable
x n 8 yn 9
an 1
x 6n 1 y 5n
c) 6
x 4n 12 y 4n 3
4to. Caso:
x
( 1)k 1 xn k ak 1
a
Los signos se intercalan (+ , –)
an
tk
an
Cuando el divisor es de la forma (x forma (x – a) el signo de cualquier término es positivo.
a) 5
xn
xn k ak 1
3er. caso: xn
tk
donde “n” es impar
Los signos se intercalan (+ , –)
xn
, tendremos:
Regla para el signo:
donde “n” es par o impar
2do. caso:
x
Número de términos
Tendremos:
xn
xn
q
Para el caso:
1er. caso:
x
p
Para el caso:
CASOS DE COCIENTES NOTABLES
xn
n
Fórmula del término general: Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. Se representa por: tk que leeremos como término de lugar “k”.
a
CONDICIONES: Resto = 0 n entero y positivo
m
xn 1 yn 2 a) 6
b) 9
es: c) 12
d) 15
e) 18
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22
5.
Hallar x+y+z, si el termino central de a) 29
6.
b) 39 5n
y
x5
y7
x
a) 109
es a b az b2 d) 59 e) 89
c) 49
Si:
7n
d)
c) 9
x3(x5 )n ( y5 )n ( y10 )3 xn 1
yn 2 b) 6
x15y15
d) 40
e) 45
x 4n 12
y4n 3
xn 8
yn 9
d) 12
b) 10
c) 5
c) 9
18. Si el cociente notable de c) -54
Dado el siguiente cociente notable
x6n
y 40
xn 4
y4
indique el
b) x12y15
d) x12y28
e) x10y14
c) x14y16
10. Indicar cuantos términos tiene el siguiente desarrollo
x 7n
y 6n
x7
y6
11. Dado el cociente
c) 6
d) 12
e) 9
np
xmn
y
xm
yp
se sabe que el 5to termino de
su desarrollo tiene por grado absoluto 42, el 8vo termino tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y”, 21, hallar el
valor de m a) 10 12. Si:
b) 8
a4 b3k 60
a a) 145
0,5
k
b
c) 4
d) 2
e) 1
c) 105
d) 95
13. Sabiendo que el 5to término del siguiente cociente notable
a 4x b4x y a5 9
y b5 9
x4
y7
a) 13
c) 12
d) 16
e) 20
el termino que tiene grado absoluto 252 b) 23
c) 33
d) 43
a) (n 1) an 1
b) nan
d) nan 1
e) an
c) (n 1)an
21. Calcular el grado absoluto del decimo primer término en el cociente notable que se obtiene al dividir
22. En
b) 24 el
cociente
20 m 35
y
c) 34 notable
20 m 57
y m 1 y m 3 a) 13 b) 23
x3n 2
b) x15 y 15
c)
y31 y
x 15y15
y 5n 1
x 2 yn 5
d) 44
e) 54
generado
por
la
división
determinar el número de términos c) 27
d) 31
e) 34
xam xbn x2
x 3
el
decimo termino contando a partir del final, es independiente de x ¿Cuántos términos racional enteros contiene dicho cociente notable? a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 24. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable
e) 53
x31 15. Hallar el termino de lugar 16 del desarrollo de x a) x15y15
(x a) a) n a n x
23. En el cociente notable que se obtiene de
14. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable
y280
x ab x ab b
175 64 b es: a175 el numero de términos que
tiene su desarrollo es: a) 4 b) 8
x160
10
c) 2 + 1
20. Hallar el termino independiente del cociente notable
x
e) 85
e) 13
donde a, b N (a>b) xa xa 1 se sabe que el grado del término central es 15, calcular el número de términos del cociente a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
es: a) 14
es cociente notable, hallar k 2 1
b) 125
10
b) 2 - 1 e) 1
19. En el cociente notable
sabiendo que, el término del lugar 7 tiene como
grado absoluto 57. a) 10 b) 8
x 4b
tiene 4 términos; calcule:
xm 1
a) 2 - 1 9 d) 2 + 1
octavo termino de su desarrollo a) x2 y3
x8 1
m9 m8 m7 ... m 3 9
9.
d) 11
e) -12
d) -81
x 4m
“n” ¿Cuántos términos racionales enteros contiene dicho
cociente notable? a) 5 b) 7
e) 15
5
32x 243y es: 2x 3y a) -108 b) -27
e) 1
el x2 x 3 décimo termino contado contado a partir del final es independiente de
Hallar el coeficiente del cuarto termino del desarrollo de: 5
d) 3
17. En el cociente notable que se obtiene de:
es un cociente notable, hallar “n”
c) 9
e) x 15 y 15
16. Hallar el numero de términos del cociente notable
a) 15
es 309
b) 50
a) 3 8.
x 24
Hallar “n” si el grado absoluto de termino 33 en el cociente
notable
7.
a75 b y
xmn
yn
xm
y
van disminuyendo de dos en dos y además el
cuarto termino tiene un grado absoluto de 21. Hallar el numero de términos a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2
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25. Sabiendo que el siguiente cociente notable
xm
yp
x2
y7
admite
un desarrollo como termino central a x a y 70 calcular el valor de E p 3m 20 a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) 4 2(p 6) 26. Si: x p y28 ; x16 y2(p son términos equidistantes en el
cociente notable de la división E m n p es: a) 35 b) 70
xm
yn
x4
y7
el valor de
c) 135
d) 235
x2 y38 , el valor de E=m+n es: a) 12 b) 22 c) 32 d) 42
a50b20
d) a b
e) a
a100 1 a5 1
A11 b44
desarrollo del cociente a) 32
c) a20b50
b
x5n 12
29. Si el término término “k” con todo
y
tiene un
yp
xn
x 7 5 y 30 x5
y2
tiene grado
absoluto 40 calcular el el grado absoluto del t k 2 partir del primero. a) 22 b) 52 c) 42 d) 32 e) 62
contar a
la forma de un cociente notable:
b) a+b=1 e) a=2b
n
b) 39
c) 128
d) 112
e) 98
(xy)ab
para (m=impar) el grado absoluto
am b
b) 12
c) 18
d) 24
xm
yn
x3
y5
e) 30
es ocho ¿Cuál es el quinto
b) x20 y9
d) x19y17
e) x5 y5 35 x20m 35
xm 1
c) x20y12
57 y20m 57
ym 3
da lugar a un cociente
notable, indicar el numero de términos de dicha división a) 13 b) 23 c) 33 d) 35 e) 37 38. En el siguiente cociente notable
x3n 9 x3
y3n y2
, calcular el
a) 56
b) 156
c) 256
d) 280
e) 310
a14
x2 2a2 2ax a)
a6 (x a)6
b) a6(x
a)6
c)
a7 ( x a)7
d) a7 ( x
a )7
40. En el desarrollo de
x155 x5
y 93 y3
e) a5 (x
a)5
existe un término cuyo grado
absoluto es 122, determinar la diferencia entre los exponentes
e) 69
de “x” e “y “ en dicho termino
(x 2y 2 y)n yn 32. Hallar “n” si en el cociente notable x y penúltimo termino de su desarrollo es: xy5 2y 6 a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10
m
a) x9 y20
(x a)14
2 2 ya b
el noveno y tiene como valor m40nz d) 59
bm
39. Determinar el termino central en el cociente notable
3 3 y a b ab
c) a-b=0
c) 49
m 1
del término que ocupa el lugar “k” excede en (4m-4) al grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” contando de sde la
31. Calcular x+y+z si el termino central del cociente notable
a) 29
e) 52
valor numérico del término central para x=1, y=2
30. Qué relación debe cumplir “a” y “b” para que la relación tenga
x a b y ab
notable
am
37. Si la división
a partir del extremo final final del
desarrollo de cociente notable
y
es
termino?
4p
término que contiene a x24 y3 el valor de E=n+p es: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
mx
yn
(x 3)36 x36 2x 3
36. El numero de términos de
40 30
28. Si el desarrollo del cociente notable
3 n y 114
b) 64
derecha a) 6
A b4
b) a50b20
30 40
3 mx 40
xn
34. Hallar el valor numérico del termino de lugar 29 para x=-1, del
e) 335
proporcione el termino central del cociente
a) ab= 1 d) ab=-1
33. Si el vigésimo termino del cociente notable
xm 2 y m 2
35. Calcular el mínimo valor de “k” de manera que en el cociente
27. Si “A” es el decimo sexto termino del cociente de
a)
23
a) 9
el
b) 19
c) 38
d) 39
e) 42
n 41. Hallar el numero de términos del cociente notable x 1 x 1
sabiendo que t10 t50 t100 x236 a) 66 b) 132 c) 152 d) 184
e) 196
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n 42. Si x 1 tiene 5 términos y es cociente notable hallar la x3 1 suma de los términos 3ro y 5to a) x 8 x 2 b) x 6 x c) x 6 1 d) x 6 x 2 e) x 6
43. En
(xn
el 29 7n
)n
27-1
términos a) 72
siguiente 2
1
(y
x27
cociente
2 29 7n nn 1
)
81 1 y9
b) 36
notable
Ejemplos:
determinar el número número de de
d) 52
e) 62 m
y x q y 24 es 44. En el desarrollo del cociente notable x p x y2 el termino central, el valor de E=m+p+q es: a) 123 b) 223 c) 63 d) 93 e) 113 245
n x3 3
x2
p2
1
n y3 3
y2
termino es x 210 y15 , el valor de E a) 8
b) 6
c) 4
p2
a
y
a) 19
4p
d) 2
, el segundo
2
n es:
5
e) 1
c) 76
d) 84
Ejemplos:
3
2
P(x) = (x + 2) (x + 1) (x + 5) Son factores primos de P(x):
P(x) = (x) (x + 2) (x – 1) Son factores primos de P(x):
6
6
2
FACTORIZACIÓN Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicación 2
P( x x) = x + 3x + 2
(x + 1) (x + 2)
3 114 yb 11 es el noveno e igual a x 40 y c b b
b) 39
c) 49
d) 59
e) 69
49. Calcular el lugar que ocupa el término del grado absoluto 85 en el cociente notable
x15m 50 y15m 10
b) 15
50. Si el cociente notable valor de (m+n) a) 23 b) 21
xm 1 ym 2 c) 13
d) 11
d) 35
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS Factor Común Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente. Ejemplos:
1.
Factorizar: 2 2 P(x,y) = 2x y + 3xy + xy
2.
Factorizar: A(x,y) = (x + 2) y + (x ( x + 2) x + (x + 2)
AGRUPACIÓN Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común. Ejemplos:
e) 9
x 30 y m tiene 10 términos, hallar el xn y 2 c) 25
Factorización
e) 96
48. Calcular E= a+b+c, si el termino central del cociente notable
a) 17
Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.
es xb yc
x m y n si el termino séptimo tiene la forma x b y b x2 y3 a) 44 b) 22 c) 11 d) 16 e) 26
a) 29
2
FACTOR PRIMO
xa y24
47. Hallar el grado absoluto del t15 en el cociente notable
xa
3
P( x x) = (x + 2) (x + 1)
17
b) 38
3 xa 4 0
1
46. Calcular E=a+b+c, si t18 del cociente notable a 54
Un polinomio “F” no constante será factor algebraico de “P” si y sólo si “P” es divisible por “F.
Son factores algebraicos de P(x):
c) 46
45. Si el cociente notable
FACTOR ALGEBRAICO
1. 2.
2
Factorizar: x + x + xy + y – xz – z 2 Factorizar: x + ax + x + xy + ay + y
ASPA SIMPLE Forma general de polinomio a factorizar:
e) 50
2n
n m
m, n N 2n
n
P( x x) = Ax + Bx + C
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2m
P( x,y x,y) = Ax + Bx y + Cy
GUÍA 2 - CIENCIAS
Ejemplos:
1. 2.
2
Factorizar: 2x + 7xy + 6y
METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
2
Se utiliza para factorizar polinomios que adopten la siguiente forma general: 4n 3n 2n n ax + bx + cx + dx +e
2
Factorizar: (x + y) – 2 (x + y) + 1
TEOREMA Sean f (x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que: n
P(x) = i) ii)
El método consiste en descomponer los términos extremos de tal manera que que la suma de los productos productos en aspa nos verifique verifique una cantidad igual o aproximada al término central. La cantidad faltante se agrega descompuesto para para verificar los demás términos del polinomio. Ejemplo: 4 3 2 factorizar: E = x +7x +19x +36x +18
p
f( x ) . g( x )
Números factores primos = 2 Números factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) – 1
Ejemplo:
2
x 2 x
3
Sea P(x) = (x + 2) (x + 4) i) ii)
Números factores primos = Números factores algebraicos =
Factorizar:
3
2
3
2
– 2x –
1.
24
1. 2. 3.
1
2 x x4
n m
2m
Esquema P( x, y)
2 2
2n
Los términos: Ax , Bx y , Cy 2m m Los términos: Cy , Ey , F 2n n Los términos: Ax , Dx , F
IV. Los factores se tomarán de manera horizontal. horizontal.
2
Factorizar: x + x + 1: x
Ax2n Bxnym Cy 2m Dx n Ey m F
Procedimientos para factorizar: I. Se debe ordenar el polinomio de acuerdo a esta forma general. II. De faltar algún término, se reemplazará en su lugar por cero. III. Se aplicarán aspas simples a:
MÉTODO DEL QUITA Y PON 4
ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma general. P(x, y)
Factorizar:
x + 5x
6 3
Tengo: 9x 2 Falta: 10x 2 Necesito: 19x
6
–
2x 5x
2
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.
x + 4x + x
25
1 = 2x 2x 2
Ax2n
Bxn ym
Cy2m
Dxn
Eym
F
a1xn
c1ym
f1
a1xn
c1ym
f1
1 x2
( x 2 1)2 x2
2
2
(x + 1 + x) (x – 1 – x) 4 2 x + x + 1 = (x 2 + x + 1) (x 2 – x + 1)
Luego tenemos: P(x, y)
a1xn
c1ym
f1
a2 xn
c2 ym
f2
Ejemplo 1 2.
4
Factorizar: 1 + 4n
Factorizar P(x, y) y)
2
1 2n 2 2 2 1 2n = 4n 1
4n2
2
4n4
(1 2n2 )2 4n2 2 2 2
6x2
13xy 6y2
7x
8y 2
Resolución: Aplicando las aspas simples: 4n2
(1 + 2n ) – (2n ) 2 2 (1 + 2n + 2n) (1 + 2n – 2n) 4 2 2 1 + 4n = (2n + 2n + 1) (2n – 2n + 1)
P(x, y) y)
6x2
13xy 6y2
7x 8y 2
3x
2y
2
2x
3y
1
Entonces la forma factorizada es: (3x + 2y + 2) (2x + 3y + 1)
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26
GUÍA 2 - CIENCIAS a) VFF
EJERCICIOS 2
Calcular cuáles de los trinomios son cuadrados perfectos y, descomponerlos: 2 (1) x +2x+1 4 2 (2) 9+6x +x 2 (3) 4y -4y+1 2 (4) 16u +16u+4 2 (5) 9v -18v+9 2 4 6 (6) U +16U +64U 2 2 2 2 2 4 (7) 16a b -8ab c +b c 4 2 (8) 9+6x +x 2 (9) –30x+225+x 2 2 (10) 4x +6xy+8y
e) VFV
En la expresión 3a4b 3a3b2 6a2b2 se observa que todos los términos contienen al factor común: a) a3b b) a2b 2 c) a2 b d) 3a2b e) 3ab2
4.
En la diferencia de dos cubos perfectos se observa que es posible extraer un factor binomio. Así de: 8x 3 27 el factor binomio es: a) 8x-3 b) 2x+3 c) 2x-9 d) 2x-3 e) N.A.
5.
Señale la afirmación Falsa: a) Uno de los factores de: a3 b3 es ( a2 ab b2)
Sacar factor común en las siguientes expresiones:
Desarrolla los siguientes cuadrados sin hacer la multiplicación: 2 (1) (x+6) 2 (2) (2x-6) 2 (3) (2x+6y) 2 (4) (2x-6y) 2 2 (5) (A -2) 2 2 (6) (2b +1t) 22 (7) (4-5w ) 2 2 (8) (2u -av) 2 (9) (2ax-3by) 2 22 (10) (2x +3xy )
d) VVF
3. I PARTE
(1) 3b+12 (2) 7x-21 (3) 15xy+30z (4) 12xy-30xz (5) 9x2y+21x (6) 4u2v2-12uv2 (7) 7ab-14ac+21ad (8) 12abc2-42bc+6ab2c (9) 5axy4-6ax4y+7a2xy (10) 13-26hk-39uv (11) x2y-x4y2+ax6y6 (12) 15ap2-30a2p2+5p4 (13) 100m2-200mn+300mn2 (14) 250x2-1000x6y (15) 52x-52x2 (16) 17A2-51B2 (17) 13(AB)2-65(AB)2 (18) 15A2B2+30A2B2 (19) (x-2)a+(x-2)b
b) FVV c) VVV
b) Uno de los factores de: a3 b3 es (a b) c) ( a b) b )2 ( a b) b)2 4 ab d) ( a b) b)2 ( a b)2 a2 b2 e) ( a b) b )2 (b a)2 6.
El método de aspa simple se puede aplicar a la factorización de: I. 5x2 7 x 6 II. 4x2 9y2 III. x2 3x 10 10 a) solo I b) solo II c) I y II d) I y III e) I, II y III
7.
Uno de los factores de: x2y y3 x3 xy2 es: a) x+y b) x2 y c) x2 y
8.
9.
d) y2 2x e) 2x+y
Factorice: 3x7 243x3 a) 3x3(x2 9) (x (x 3) (x (x 3)
b) 3x3 (x (x 3) 4 (x 3)
c) 3x3( x 3)2 ( x 3) 2 e) N.A
d) 3x3( x 3)2 ( x 3)
La expresión: x3 x 6 se anula cuando x=2, por lo tanto (x-2) es un factor y el otro es: a) x2 x 3 b) x2 x 3 c) x2 2x 3 d) x2 x 3
e) N.A.
10. Uno de los factores de: 8 (m (m 1) 1 )3 125 es: a) 5m2 6
b) 3m 2
d) 4m2 18m 3 9
e) 4m-25
c) 5m+2
11. Indique un factor de: (x 1)2 2(x 1) 24 a) x+1 b) x+2 c) x+3 d) x+4 e) x+5 12. Indique un factor de: a2 ab ac bc bc a) a+1 b) b+1 c) c+1 d) a+b
e) a+bc
13. Señale un factor de: x20 y 40 x22y 42 II PARTE 1.
2.
La expresión x (a (a b) y (a (a b) es equivalente a: a) a (x (x b) b( y a) b) (x y) (a (a b) c) b (x (x a) b(y a) d) (a b) (x (x y) e) N.A. Señale verdadero o falso: I. x2 36 (x 6) (x 6) II. a2 a 30 3 0 ( a 6) ( a 5) III. 2ax 4ay 2a (x (x 2 y)
a) 1+x
b) 1+xy c) 1+y
d) x2 y2 e) x-1
14. Halle un factor de: x5 2x 4 x 2 señalando el factor del menor termino independiente a) x-3 b) x-2 c) x-1 d) x+1 e) x+2 15. ¿Cuál de las siguientes es un factor de: (x y)2 18 (x (x y) 65 a) x+y+13 b) x+y+5 c) x-y-13 d) x-y-5 e) x+y-13
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16. Con respecto a la expresión: 4x 4 y 4x3y2 24x2y3 Señale verdadero o falso: I. Un factor es (x-3y) II. Un factor es (x+2y) III. Tiene más de dos factores primos a) VVF b) VFV
c) FVF d) FFV e) VVV
17. El equivalente de la expresión: 1 x(x 1) (x (x 2) (x (x 3) es: a) (x2 2x 2 2)) 2
b) (x2 3x 1) 1 )x
d) (x2 3x 1) 1 )2
e) ( x 1)2 (x (x 1)
c) ( x 1)2 (x (x 1)
b2 c 2 a2 d2 2ad 2bc
(b (b (b (b (b
c c c c c
a a a a a
d) (b d) (b d) (b d) (b d) (b
c c c c c
a a a a a
28. Factorizar y dar como respuesta la suma de los factores de: 9 (x y)2 12 ( x2
a) 5x-y b) 5x+y c) 10x-2y d) 10x+2y e) N.A. 29. Factorizar: (x 1) (x (x 3) (x (x 4) (x (x 6) 8 a) (x 9)(x b) (x2 )(x 11)(x 11)(x 12)(x 12)(x 14) 14) c) (x2 2x 8) d) (x2 8 ) (x (x2 2x 10 1 0) e) N.A.
a) II y III son verdaderas c) I y III son verdaderas e) N.A.
d) d) d) d) d)
19. Factorizar: m2 2mn 3n 3 n2 sumando los términos de sus factores primos a) 3(m-n) b) 3(n-m) c) m+n d) -2(m-n) e) 2(m-n)
2
b) 2 m2 3mn 3n2 c) 2m2 3m n 3 n2
2
d) 2m
22. Descomponer el trinomio: x4 x2 1 en el producto de dos factores reales a) (x 1) b) (x2 1) (x2 x 1) 1) 1) (x3 x2 x 1) 1)
33. Hallar
a) x2 x 7
b) x2 x 14
d) x2 x 4
e) N.A.
c) x2 x 4
suma 25x3
a) 11x+1 d) 11x+5
de 25x2
factores
primos
de:
4x 4
b) 11x+4 e) 11x+3
c) 11x+2
2
la 2
(a b) (c d)
b) 7x-2
a) 2x2 1 d) x2 x 1
los
factores
primos
de:
72x 18 180
c) 6x+5 d) 9x+1 e) 8x+3
b) x2 1 e) x3 4
13x 12 12
2x 4 5x3 x2 5x 2
es:
c) x2 x 1
Un factor de: P (x (x; y; y; z) 4x2z 4xy 2 4 yz 2 2x 2y 2y 2z 2xz 2 9xyz
suma
de 2
2ab (c (c d)
los 2
2cd (a
b) 2y+z c) 2x+z d) 2z+x e) x
factores
48x
72 72
38. Luego de factorizar: P (x (x; y) y) 3 (x 2y 5)2 2 (x (x 2y) 5 indicar el cociente de los términos independientes de los factores primos que se obtienen: a) 20 b) 5 c) 4 d) 8 e) 10 39. Luego de factorizar: P (x) x5 2x3 x 1 indicar la suma de coeficientes de un factor primo a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 40. Cuantos
26. Factorizar: mn (x2 a2 ) xa (m2 n2 ) a) (nx-an)(nx-am) b) (ax-nm)(ax+nm) c) (mx-an)(mx-am) d) (mn-nx) e) N.A. 27. Indicar
de
65x2
37. ¿Cuántos divisores presenta: P (x) x5 6x4 9x3 8x2 a) 3 b) 4 c) 12 d) 6 e) 13
24. Factorizar: (a b)2 (a2 b2) a 2b 2 luego indique el mayor grado de uno de sus factores a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 36x4
suma
26x3
a) 2x+7
x4 2x3 4x2 3x 28
la
la
2x 1)
23. ¿Cuál de los siguientes trinomios es factor del polinomio?
36x5
5x 4
35. El factor primo de mayor grado de:
36.
25. Dar
b) I y II son verdaderas d) solo I es verdadera
34. Hallar la suma de los factores primos de: x3 a) 3x-1 b) 4x+7 c) 3x-5 d) 7x+4 e) 3x
d) (x2 x 1) 1) (x2 x 1) 1)
2x 1) (x2
7 x 10 1 0) (x2 7 x 8) 8)
e) x2 x 1
x2 3x 1
a) 5x+6
21. Indicar el factor numérico de: (x y) y)4 x 4 y 4 2xy 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
e) (x2
d)
2x5
c) no es posible
5x 8) 8)
32. Un factor de: (x3 x2 x 1) 1) (x 1) 1) (x 4 1) x 4 2 es: a) x2 x 2 b) x2 2x 1 c) x2 3x 1
e) N.A.
3mn 3n
7 x 18 1 8) (x (x2
31. Factorizar: a (a (a 2) b (b (b 2) c (c (c 2) 2(ab bc ac) 3 indicando un factor: a) a+b+c+1 b) a-b+2 c) a+b+c+3 d) a+c-b e) a+c-2
20. Factorizar: 4 m 4 3m2 n2 9 n 4 e indicar uno de sus factores: a) 2m2 3m2n 3n2
y2 ) 4 (x (x y)2
30. Luego de factorizar: x6 x 5 x 4 x2 x 1 I. (x 1)3 .(x 3 1) II. (x 3 1)(x 2 1)(x 1) III. (x 1)3 (x 1)(x 2 x 1)
18. Encontrar el equivalente de la expresión: a) b) c) d) e)
27
P (x (x; y; y; z)
a) 2
factores x4(y
z)
b) 3
primos y 4 (z (z
x)
c) 4
presenta z 4 (x (x
el
polinomio:
y)
d) 5
e) 6
de:
2
b )
a) a2 b2 c2 d2
b) a 2b 2 b c 2d
c) a2 b2 c2 d2
d) a b2 c d
e) N.A.
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28
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EJERCICIOS 3
I PARTE MÁXIMO COMUN DIVISOR (MCD)
1.
expresarse en fracciones equivalentes con un:…………… común
El MCD de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado posible contenida como factor, un numero entero de veces, en dichas expresiones
y entonces se suman (o restan) los numeradores mientras se conserva el…………… a) numerador- denominador b) denominador- numerador c) denominador – denominador d) factor- numerador e) factor –factor
Para calcular el MCD se factorizan estas expresiones y el MCD estará formado por los factores comunes con su menor exponente 2.
MÍNIMO COMUN MULTIPLO (MCM) El MCM de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado posible que contiene, un número entero de veces, como factor a dichas expresiones Para calcular el MCM se factorizan estas expresiones y el MCM se formara con los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
3.
Fracción algebraica reductible si reductible si los términos tienen factores comunes
Fracciones homogéneas.- si homogéneas.- si tienen denominadores iguales Fracciones heterogéneas.- si heterogéneas.- si tienen distintos denominadores Fracciones equivalentes.- si toman los mismos valores numéricos para todos los valores admisibles de sus variables Fracción compleja.- cuando compleja.- cuando al menos uno de sus términos es una expresión fraccionaria
Los factores del denominador Q(x) son todos lineales y P (x ) (a1x b1 )(a 2 x b 2 ) ninguno se repite A1 B2 a1x b1 a 2 x b 2
P (x)
4.
3x
2 Simplificar: 3x 4x 15
a) 3x 5 d)
x 5
b) x 2
c) 3x 5
5
x2
3x
3x
e) N.A.
x2
5.
1 2 a 2b 1 El equivalente de: a b es: 2 2 b a 1 a) b) 1 c) a-b
ab
6.
6 6 2x 6 3x b) 2x 6 e) 3x 6 6 2x
Una expresión equivalente a: 6 6 d) 6 2x 2x
3x
e) 1
x 4
3x
c)
3x 6 2x 6
x 1
Efectuar: x 3 x 1 2 a) x 3x 4
2 b) x 3x 4
x 2 2x 3
x 2 2x 3
2 c) x 3x 4
2 d) x 3x 4
x 2 2x 3
x 2 2x 3
P (x )
repite ninguno de los factores (ax 2 bx c)(a x b ) 1 1 8.
d) a+b
a b
a) 3x 6
7.
C 2 ax bx c a1x b1
4
x 2 5x 6
Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y no se
Ax B
c) x(2x+1)
e) N.A.
A1 A2 B2 2 a1x b1 (a1x b1 ) a2 x b 2
b) (2x-1)x e) N.A.
Señalar la afirmación falsa:
2x
Los factores del denominador Q(x) son todos lineales y algunos se repiten (a1x b)(a2 x b 2 )
el denominador común es:
4 3 d) 3x 2x 5 es una fracción propia
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCION EN FRACCIONES PARCIALES
4x2 1
x 2 3x 1
DE ACUERDO A LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES
x
4
x 5 2x 2 6 2 b) 3x x 1 es una fracción impropia x 2 2x 1 4 c) x 3x 6 es una fracción impropia
DE ACUERDO A LOS FACTORES COMUNES ENTRE LOS TERMINOS
2 2x 1
3 a) x 3x 8 es una fracción propia
Es la división indicada de un polinomio no nulo N(X), llamado numerador, entre otro polinomio no constante D(x) llamado denominador
Fracción algebraica irreductible si los términos no tienen factores comunes
Para efectuar: 1 a) 4x 2 1 d) x(4x 2 1)
FRACCIÓN ALGEBRAICA
Para sumar o restar fracciones algebraicas, primero deben
La forma simplificada de: a) 1
b) -1
d) x 1 x 1
e) x
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e) N.A.
x 2 3x 2 x 2 x 6 es: x 2 2x 3 x2 4
c) x 2 1
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9.
m ¿Cuál es la forma simplificada de: m m m a) m n m1
b) 1
c) m
n n 1 n 1 1
d) -1
17. Efectuar: a) 1/x e) m n 2
2
d)
x
a) {-2;-1} d) {-1;2} 11.
m2
b)
c)
x3 x 1 e) x2
x 1 x2
b) {-1;2;-2} e) {1;-1;2;-2}
c) {2;-2}
Escriba con exponentes positivos la fracción: a)
b a
b)
ab a2 b 2 d) a b
12. Simplificar:
a) a=c=1 y x d) x=0
4
b a ab
a
1
b
19. La fracción
1
A y x2
b2 ab c) ba a
2
a) 5x;-11
e) a-b
2
x2 x 4x 4 4
1 a) x2 d) (x 2)(4x 5) x2
13. Hallar “a” si: a) -3
3 b) x2 e) 4x 5 x2 4x
1
(x 2)(x 5)
b) -10
c) -1/7
c)
a
x2
2x
x
a) 1/x
2x
1
a) -246
c) 2x(x 3y) y(x 2y)
2x 1 x 4x 1 4
d)
1 x
e) x-1
2
x2 1
1
x2
x x
a) x 1 4
b) x 1 2
el denominador es:
1
35x
29
2
x2 2 e) x
d) 2x
23. La expresión:
x 3x 2 2
N1
b) -210 c) -29
d) 210
x 2 3x 6
x 2 5x
x 5x 6 2
1
x
c) x 4
(x 1)(x 6) (x 3)(x 4)
b)
d) 1
2
x
16. Luego de reducir:
c) 0
N2
es una
x2
e) 246 4
x 7x 12 2
cuando se
simplifica, es igual a:
c) x 1
b) 1
2
1
x 1 identidad, el valor numérico de N1N2 es:
e) 10
8x 2 y 6xy 2
3
2
b) 2x
22. Sabiendo que:
a)
2
21. La expresión simplificada de:
x2
2 e) x xy xy 1
2
con ciertas restricciones
a2 c 2 b 2 2ac
2
x5
y (x 2y)
15. Efectuar: 1
a2 b 2 c 2 2ab
e) 5;11
b
2
xy 2y
Los valores de A y B deben ser: 3 b) -11;5x c) -1;3 d) 3;-1
a) 1
b) x(x 3y)
2 d) 2x 3y
se obtuvo sumando las fracciones
5
x 2 y 3xy 2 2y 3
x 4y
2x2 x 6 B
c) a=c=0
2
d) 2/7
14. Reducir a su mínima expresión:
a) x 3y
ax b b y son desiguales desiguales si: cx d d
para los valores valores de de a,b y c es: a) irreducible irreducible b) reducible reducible a: ab c 1 c) reducible a: un trinomio d) reducible a: e) abc abc reducible a: ab c
2
2x
x2
b) a=b=0 e) ad=bc
0
5x 11
2x
20. La fracción:
1 2x
x2
12
x 2 5x 6 x 2 9x 14 x 2 10x 21 1 x2
18. Si b d ; las fracciones
en el conjunto de los números reales m 2 m 2
5
10. Para que valores de m, la expresión mostrada no está definida 1
29
d) x 2
e) x-1
x2 x3
c)
e) 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x2 1 2x 24. Calcular A+B si: A x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 2a 2b a b x 1 x 1 x 1 B x2 2 x2 x2 x x 1 1 1 x 1 a) x b) c) x d) x+1 e) x-1 2
2
2
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30
25. Si a+b+c=0; donde a 0; b 0 c
hallar el valor de:
0
a b b c c a c a b c a b a b b c c a
a) -1
b) 3
26. Sabiendo
que:
c) 9
d) 8
ax+by+cz=0,
e) 0
simplificar
a) abc d) xyz
la
expresión:
que 12x2
7.
cz2
b) a+b+c e) 1
27. Para 3x3
by2
c) x+y+z verifique
la
equivalencia:
Ax 1 x B los valores de A y B, 2 x 1 x 4x 5
x3 5x2 9x
2
8.
x 1
b) -4
c) 0
d) 6
e) -6
28. Cuando x toma valores mayores que -4 y menores que 1, la 2 expresión: x 2x 2 tiene: 2x 2
29. Si:
b
calcular el valor de
b) 2
c) 3
d) 4
abc d
d
a) 1
b) -1
c) 0
ab
d) 2
Reducir: E
cd
e) -2
2.
Efectuar: Y a) a+1
3.
4.
3 2a 4
c) 1
b) a-1
1
a 2
d) 0
c) 2a-1
e)
xa Reducir: E b x b) x
(ab)
1
xb . xc
c) 1
b) a b
d) a b c
e) a b c
ab ab
d) x
(ca)
a) 4 14. Calcular:
1
a b c
a2 ab b 2 a b Reducir: M 2 2 a3 b3 a b a) 1 b) a/b c) a-b d) a-b e) b/a
1
x
e) a
b
1 1 1x
c) –x
d) 0
e) 2x
2 2 2 10. Reducir: A a (b c) b (c a) c (a b) (a2 ac ab bc b c)
b) b+c
b) a+b
c) 1
d) abc
e) a+b
d) 0
e) a b 2
4
c) 1
b) 3a+2 c) 2a+1 d) 2a-1 e) 3a-2 5x 11 2x2 x 6
e) 0
xc . xa
e)
c) a c
b) x
13. Hallar a+b, si:
2
1
x 1
1
Calcular: R x
a) 1
2a 8
(bc)
x 1
d) 2a
c
a 10
d) a/2
1
1
1 12. La expresión: 1 3a 2 1 2a 1 1 1 1 a
9a2 6a b Efectuar: R 2 1 2 b 3a b 3a 2 a) 1 b) 2 c) 0 d) a/b e) b/a
a) 2 5.
b) a/b
a) 1
a) a-b
a2 b 2 ab b 2 ab ab a2
a) b/a
c) 2b
4
II PARTE 1.
x 1
b ) (a b) b) 11. Efectuar: R (a b) 8a3b 8ab3
30. Si: a c Reducir: (a c)(b d) ab cd b
x2
d) d)
2 2 2 c) Calcular: M ( a b c 2bc)(a b c) 2 2 2 (a b c)( a c 2ac b )
a) b-c
e) 5
1
c)
b) a-b
a) 1
x 1 x 1 x 2 ( x2 1)(x 2) 2) “a+b+c”
a) 1
2
1
5x2 3
c
(x2 3)(x2 1) x 2 3
1
a) no tiene un valor máximo o mínimo b) un valor mínimo igual a 1 c) un valor máximo igual a 1 d) un valor mínimo igual a -1 e) un valor máximo igual a -1 a
9.
2
2 2 2 2 3 3 Simplificar: N a b a b a b a b a b a2 ab b2
deben ser tales que A+B sea igual a: a) 4
8
b)
a) a+b
se
15x 2
Simplificar: S
a)
bc (y (y z)2 ac (x (x z )2 ab (x (x y)2 ax2
6.
a) 4
e) x
abc
b) 3 3
2
3
2
4.
b) 5
x
Alexander Fleming… 20 años años insuperables en tu preparación
a x 2
c) 5
2 15. Calcular: M 1 x
a) 1
b) n+1
b 2x 3
d) 2
e) -3
d) 2
e) 8
3 2
c) 3 x 1 x2
c) n
2 para: x2 n n 4 2n
d) n-1
e) n 2
GUÍA 2 - CIENCIAS
31
1x 1x 16. Reducir: P 1x 1x 1x x
a) -1
b) –x
c) x
d) 1
Transformación de Radicales Dobles a Simples:
e) x+1
er
1
4b a2 3b2 17. Calcular: E 4b a a 4b
a) 1
3b a
a 3b 3b
b) 2
c) 0
b) x-1
d) 3
c) x
d) x+2
2
1 x 1 1 x 19. Simplificar: P 2 1 x 1 1 x
a) 0
b) 3x
Es decir:
e) 4
a) 1 22. Si:
c) 4
b) 2 a4
(b c) c)2
b4 (c a) a)2
23. Si:
d) 3
do
2
a) 1
c4 (a b) b)2
x
y
d) -2
A
B
C
A
C
2
2
A
2
B
2 y ; Luego podemos afirmar que:
x
CASO:
x
2 y
a
b
Ejemplo 1: Transformar a radicales simples la siguiente expresión: er
3
CASO:
5
2 6
....
Ejemplo 2: El equivalente de: E Es:....
e) 0
A
e) 0
B
C
6 D
2 5
11 2 30
1.
Se transforma en:
A+ B± C ± D = x + y ± z
Donde se cumple de: x + y + z = A B = 4xy C = 4xz D = 4yz
27 a(b+c)=bc, Calcular el
a2 b2 c2 b c c a a b
b) 3 3 c) 3
d) 1/3
e) -3
(a b c)6 ( a6 b6 c6 ) ( ab ab)3 (bc)3 (ac)3 b) 2
B
Donde se debe cumplir que: * a > b a +b = x ab = y
e) x
( a2 b2) (b2 c 2) ( a 2 c 2) 2 calcular: ab bc ac
R
A
METODO PRÁCTICO: PRÁCTICO: Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma:
abc(x y z)(xy xz yz) xyz(a b c)(ab (ab ac bc)
c) -1
valor numérico de: E a) 27
d) 1
A
21. Si: ax=by=cz Calcular: N
. Se transforma en
Ejemplo: Transformar Ejemplo: Transformar a radicales simples la siguiente expresión: ... E 8 60
e) x-2
2x x 1 x
c) 2x
b) 1
B
No olvidar que A, B, C son racionales.
2x 2x 3(x 1) x 3 x 3 x x 2 4 1 1 x 2 x4
a) 2
A
Donde “C” se calcular así: C =
2
20. Calcular:
:
a2 9b2
2 18. Efectuar: R x 3 x 2x x 2x x x 1 x 1 x 1
a) x+1
CASO:
c) 4
d) 8
e) 6
Es el proceso que consiste en transformar una expresión expresión irracional en otra equivalente parcialmente parcialmente racional. Con frecuencia se racionaliza racionaliza denominadores para lo cual se debe debe multiplicar a ambos términos de la fracción por un mismo factor racionalizante (FR) Ejemplo: E
1 34
1 F.R. 3 4 F. F.R.
FR RACI RA CION ONAL AL
er
1 CASO DE MONOMIOS: MONOMIOS : Tener en cuenta lo siguiente: n
Am
n
An
m
n
Am
n m
n
An
A
m0, en otra que solo contenga 2 radicales simples: x2
a)
2x 2 2
3
4
2
2x ;
2.
d)
x2 2x 2 2
x 2
e) N.A.
3.
Calcular: M
392 3 20
392
4.
Calcular: M
5.
Efectuar: 2 3 2 3 3 1 3 1
6.
Simplificar:
7.
Racionalizar:
8.
Racionalizar: P
9.
Racionalizar:
c)
3
d) 2
12
e)
3
1
2
c) 6
b) 7
d)
c) 11
2 3
e)
2 3
d) 13
e)
7
E 8 28 11 112 16 252 e d) 21
25. Efectuar: E 5 23
3
a) 2
7(
11 23 23
c) 7
13 13 b) 4
7
d) 12
b)
5
c) 6
27. El valor de 4 17 6 8 a) 6 2
2 3 2
2 3 2
3 7
1 7 5
6 3 2 3 2 3 2 2 3
12 3 2 2 3
A 2 2 42
m 25 será: m 7 m 10
8 15 5 3 1
10. Racionalizar: R
e) 17
11. Al simplificar:
26. El valor más simple de 3
3 5
2
e) 64
24. Efectuar: E 5 2 3 ( 47 2 3 8 2 3 ) a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 15
b) 3
1
indicar el valor de: E2 a) 60 b) 1000 c) 63
E
5
Racionalizar
x 2
b) 4
3
3
75 45
22. Efectuar: E 5 23 ( 47 12 8 12 )
a)
3
x 2
23. Reducir:
2
4x 2 2
21. Efectuar: E : 3 7 13 1 3 7 5 7
a) 3
3
b)
b) 4
a) 2
Racionalizar:
x
20. Calcular el valor de esta suma: 3 20 a)
x2
1.
x2
4
2 c) 2x x 2
RACIONALIZAR
ab2
1 8 1 8 32
2 72 50 8
7) d) 2
e)
3
27 10 2 , es equivalente a:
2 3
c) 4
d) 6
e) 8
28. El valor de E 55 8 89 103 16 16 39 es igual a: a) 2
b) 4
d) 5 3
e) 5 7
c) 3 39
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