001 - Algebra i

GUÍA 2 - CIENCIAS

b.3) b.3) ] a ; + [ = { x

1

R/ a < x} x

a

b.4) b.4) [ a ; + [ = { x

R/ a

x} x

1. DEFINICIÓN: Es la relación que existe entre cantidades que tienen diferente valor. Puede ser: Mayor que Menor que

2.- INTERVALOS: Es un subconjunto de números reales que definen un conjunto de valores entre 2 límites: inferior y superior.

2.1.- CLASES:

a

2.2.- OPERACIONES: a) b) c) d)

Unión Unión : A B = {x/x {x/x A v x B} Inte Interse rsecci cción ón : A B = {x/x {x/x A x B} Diferencia : A – A – B = {x/x A x B} Complemento : A’ = {x/x R x A}

3.- INECUACIONES INECUACIONES

 A) INTÉRVALOS ACOTADOS

Son desigualdades que se verifican solo para determinados valores que se asignen sus incógnitas.

a.1) Intervalo abierto ]a; b[ = {x R / a < x < b}

*CONJUNTO SOLUCIÓN .- Es el conjunto de valores de la incógnita que reemplazamos en la inecuación, verifican la desigualdad. Se presenta por medio de intervalos.

x

3.1.- CLASES DE INECUACIONES INECUACIONES a

b

a.2) Intervalo cerrado [a; b] = {x R / a

3.1.1.- INECUACIONES LINEALES ax

x

b

ax

b

b} a, b = constantes

x = incógnita

x

3.1.2.- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO a

b

a.3) Intervalo semiabierto Por la izquierda: ]a; b] = {x R /a < x

2

ax + bx + c

0

2

ax + bx + c

0

4.- VALOR ABSOLUTO |x| = b |x| b |x| b

b} x

b 0  x = b v x = -b b 0  -b x b b 0  x b v x -b

5.-INECUACIONES 5.-INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES a

b

Por la derecha: [a; b[ = {x R /a

x < b}

b

B) INTÉRVALO NO ACOTADOS b.1) ]

- ; a[ = { x

R/ x < a}

x

a

b.2) ] - ; a] = { x

R/ x

x

a

a}

3

> x +7 2 2 2 x -x + 7 < 3(x + 1) x 2 x 5 x

x

a

5x

1

x

2

Para resolver las inecuaciones polinómicas y racionales utilizaremos el método de la curva de signos o de los puntos críticos.

5.1.- PROCEDIMIENTO: a. Se despeja la expresión a un solo miembro luego se factoriza procurando obtener factores lineales o cuadráticos con coeficientes principales positivos. b. Se iguala cada factor a cero para hallar los puntos críticos (P.C) éstos se disponen en la recta real y se analizan (abiertos o cerrados) c. Los P.C van van : abiertos abiertos si : P(x)>0; P(x)>0; Q(x) 35x + 35 + 70 – 70  – 10x  10x 17 x> 119 x>7

2

Ejem: Resuelve:

x  – 3x  – 3x + 5 < 4x + 13 2 x  – 7x  – 7x –  – 8  8 < 0 ... ..... .... ( ) 0

Por aspa simple: (x – (x – 8)  8) (x + 1) < 0 los puntos críticos son : {8; -1} graficando en la recta y analizando:

x

+

-

De

Solución:

8

la expresión es menor que cero, cero, se toma la zona negativa C.S = ]-1; 8[

Ejem: Resuelve:

x2

x x

6

x – 7 3x + 1 -8 2x -4 x

0

7

]7 ; >

3) Resuelve: x-7 3x + 1 < x + 15 Indica la suma de las soluciones enteras.

+ -1

7

3x + 1 < x + 15 2x

C.S = ]-1; 3[

9

x

< 9/2 ;

>

2

6) Resuelve:  PROBLEMAS ORDINARIO ORDINARIO UNSA RESUELTOS RESUELTOS

x x

Solución:

5 3 x 5 x

3

1

2

0

x – 3  – 3

0

0

1) Determina el número de valores enteros que verifica. 2<

3x 1 2



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3x 1

8.- Resuelve:

 A. 90 B. - 90 C. 21

x 1

23

5 Solución: 3x - 1 > 5x – 5 4 > 2x 2>x 4x

9.- Resuelve:

1 3x

x

< ; 2>

13 2 2(4x + 1) > 13(3x - 1) 8x + 2 > 39x - 13 15 > 31x 15 15 x  x 31 31 Solución:

10.- Resuelve:

x

x

x

2

3

6

Solución:

x

6

2

3x + 2x + x < 6 x

4

3

 A. 5

B. -5

2. 2 x 4

C. 4

3.  x 3

4.

2x

4

C. 8

D. 6

 A.

5

5.  x  x 3

2

2

 A.

B. -17

7. 2 x 3

x

 A.

C. 14

D. 6 E. NA

4

2

3

E. NA

x 1

4

3

E. NA

 x

4 3 B. 15 C. 14 D.-12

 x

E. 5

D. 6 E. NA

3 B. -5 C. 4 D. 6

2  A.

E. NA

4

3x

2

6.

D. 6

3 B. -5 C. 4

2 x

B. 30 C. 40 D. 60

E. NA

8.  x 1  x 2

x 3 3 2  A. -7 B. 30 C. 40  x

9.

3

 x

 A.

10.

2

x 5

90  B.

23 2 x

2 4

3

90

3

3

25

B.

7

x 1

2

B.

D.

5

12.  x 1 2 x 3 4

0

21

C.

 C.

13

21  E. NA 5

0

3

11

E. NA

11

D.

51

21  E. NA 5

FACTORIZACIÓN _ Profesor Chara 13. x 2 + x – 12 = 0 14. x 2  +3x – 10 = 0 15. x 2 + 9x +14 = 0 16. x 2 + 2x – 15 = 0 17. x 2 - 10x +24 = 0 18. x 2 - 6x + 5 = 0 19. x 2 + x – 6 = 0 20. x 2 + 10x +21 = 0 21. x 2 - 6x + 5 = 0 22. x 2 - 13 x +42 = 0

RPTA………. RPTA………. RPTA……….

. .

RPTA…… … RPTA…… … RPTA……….

.

RPTA…… … RPTA………. RPTA……….

.

RPTA…… …

x

3 2  A. -3 B. -5

4  A. 5

2

23

 PRACTICA DIRIGIDA 1

1.

x 1

23

 A 20

1

6

20

 A.

21 5

2x 4

4

1

5

23

11. 3 x 1

D.

3

 C.

23

D. 60 E. NA 0 9

x

4

3

RPTA……… RPTA……… RPTA……… RPTA……… RPTA……

...

RPTA……… RPTA……… RPTA……… RPTA………

MODO GENERAL 32. x2- 4x + 2 = 0

RPTA……...

33. x2+ 4x + 2 = 0 34. x2 + 5x + 3 = 0 35. x2 + x + 3 = 0 36. 2x2 -5x +3 = 0 37. 4 x 2 = 1 – 2x 38. x2 -5x + 7 = 0 39. 3x2 +5x – 2 = 0

RPTA……... RPTA……... RPTA……… RPTA……… RPTA……... RPTA……... RPTA……...

INECUACIONES 40. ( x 2 )( x 3 )

0

A. [

3, 2]

B. [

3, 2[

D. ]

3, 2[

E. [

3, 2[

C.

] 3, 2]

D. 60 E. NA

23

 x 1

 ASPA SIMPLE 23. 2 x 2 -5x+3 = 0 24. 3 x 2 +11x-4 = 0 25. 3 x 2 -4x-4= 0 26. 2 x 2 +3x+1= 0 27. 3 x 2 -23x+30= 0 28. 4 x 2 -11x-3= 0 29. 4 x 2 + 8x +3 = 0 30. 6 x 2 +7x -3 = 0 31. 8 x 2 - 6 x +1 = 0

0

41.  x ( x A. [ D.

2 )( x 3, 2]

]

B. [

3)

0

3, 2[

C.

, 3[ [ 0,2 ]

E.

] ]

, 3] [ 0,1 ] , 3] [ 0,2 ]

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