Colegio Santo Ángel de la Guarda Matemáticas, 2º ESO. Curso 2010-2011
GEOMETRÍA PLANA. Ejercicios resueltos.
1. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas. a)
Solución:
c = 7 cm b = 3 cm
a
Hallamos la longitud del lado c, que es el desconocido: c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = 52 + 2 2 ⇒ c2 = 25 + 4 ⇒ ⇒ c = 29 cm El perímetro, P será: P = 5 + 2 + 29 = 12, 4 cm Solución:
b)
Hallamos la longitud de a: c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 7 2 = a 2 + 32 ⇒ ⇒ 49 = a 2 + 9 ⇒ ⇒ a 2 = 49 − 9 ⇒ a = 40 cm
c
b = 2 cm
a = 5 cm
El perímetro, P será: P = 7 + 3 + 40 = 13, 3 cm Solución:
c)
Hallamos la longitud del lado pequeño del rectángulo, que llamaremos x: 10 2 = 8 2 + x 2 ⇒ 100 = 64 + x 2 ⇒ ⇒ x = 36 = 6 cm
10 cm
8 cm
El perímetro, P será: P = 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 = 28 cm Solución:
d) 5 cm
Hallamos la longitud del lado del cuadrado que llamaremos x: 52 = x 2 + x 2 ⇒ 25 = 2x 2 ⇒ 25 5 ⇒x= = cm 2 2
El perímetro, P será: 5 20 P = 4⋅ = = 14, 1 cm 2 2
[email protected]
Ejercicios resueltos de geometría plana
Matemáticas 2º ESO
2. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas: a) Solución:
ap = 5 cm
7,26 cm
Perímetro: P = 5 ⋅ 2,7 = 13, 8 cm Área: ap ⋅ l ⋅ n 5 ⋅ 7, 26 ⋅ 5 A= = = 90,75 cm 2 2 2
b) Solución: 5,77 cm
ap = 6 cm
c)
Perímetro: P = l ⋅ n = 7 ⋅ 5,77 = 40, 39 cm Área: ap ⋅ l ⋅ n 6 ⋅ 5,77 ⋅ 7 A= = = 121, 17 cm 2 2 2
Solución: Calculamos previamente x, aplicando Pitágoras al triángulo indicado: 4x
10 cm
x
10 cm ap = x
2x 2
102 = (2x) + x 2 ⇒ 100 = 2x 2 + x 2 ⇒ ⇒ 100 = 3x 2 ⇒ x = El perímetro: 100 P = 3⋅ cm = 17, 3 cm 3 El área: ap ⋅ l ⋅ n ap ⋅ perímetro 5,77 ⋅ 17, 3 A= = = = 49, 9 cm 2 2 2 2
[email protected]
100 = 5,77 cm 3
Matemáticas 2º ESO
Ejercicios resueltos de geometría plana
d)
Solución: Calculamos x, aplicando Pitágoras: 2
x 132 = x 2 + ⇒ 2
altura = 13 cm
x
13 cm
x 2
x2 169 = x + ⇒ 4 2 5x ⇒ 169 = ⇒ 4 169 ⋅ 4 ⇒x= = 5 = 11, 6 cm 2
Perímetro: P = 3 ⋅ 11, 6 cm = 34, 8 cm Área: base ⋅ altura 11, 6 ⋅ 13 A= = = 150, 8 cm 2 2 2 3. Halla el radio de la circunferencia y el área del círculo asociado, sabiendo que su longitud es de 12π cm. Solución: Radio L = 2 ⋅π⋅ R ⇒ R =
L 12π = = 6 cm 2 ⋅π 2 ⋅π
Área: A = π⋅ R 2 = 3, 14 ⋅ 6 2 = 113, 04 cm 2
4. Halla la longitud de arco de las dos circunferencia siguientes y también el área asociada a esos arcos a) Solución: R=3 cm
θ = 30º
2 ⋅π⋅ R ⋅θ 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 3 ⋅ 30 = = 1, 57 cm 360 360 π⋅ R 2 ⋅θ 3, 14 ⋅ 32 ⋅ 30 = = = 2, 36 cm 2 360 360
L arco =
A sec tor
[email protected]
Ejercicios resueltos de geometría plana
b)
Matemáticas 2º ESO
Solución: R=12 cm θ = 120º
2 ⋅π⋅ R ⋅θ 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 12 ⋅ 120 = = 25, 12 cm 360 360 π⋅ R 2 ⋅θ 3, 14 ⋅ 12 2 ⋅ 120 = = = 150,72 cm 2 360 360
L arco = A sec tor
5. Halla la longitud y el área de la siguiente figura. Solución:
Longitud. Es la suma de la longitud correspondiente a las semicircunferencias de radio 5, 3, 4 y 0,5 cm: L 1 L 2 L 3 L 4 2 ⋅π⋅ R 1 2 ⋅π⋅ R 2 2 ⋅π⋅ R 3 2 ⋅π⋅ R 4 + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 = π (R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) = 3, 14 ( 5 + 3 + 4 + 0, 5) = 39, 25 m L total =
Área. Es la suma de las áreas de cada uno de los semicírculos que aparecen: A 1 A 2 A 3 A 4 π⋅ R 12 π⋅ R 22 π⋅ R 32 π⋅ R 24 + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 π 3, 14 2 = (R 21 + R 22 + R 23 + R 24 ) = (5 + 32 + 42 + 0, 52 ) = 78, 89 m 2 2 2 A total =
6. Halla el área de la zona comprendida entre el cuadrado y el círculo Solución: R=3m
A = A cuadrado − A círculo = l 2 −π⋅ R 2 El radio es 3 m y el lado del cuadrado es el doble de 3 m Entonces, sustituyendo datos:
A = A cuadrado − A círculo = 6 2 −π⋅ 32 = 36 − 28, 26 = 7, 74 m 2
[email protected]
Matemáticas 2º ESO
Ejercicios resueltos de geometría plana
7. Halla el área comprendida entre el círculo y el cuadrado Solución: A = A círculo − A cuadrado = π⋅ R 2 − l 2 El lado del cuadrado es 9 m, pero para obtener el radio Hay que hacer unos cálculos previos.
l=9 m
Hallamos x. El radio será la mitad de esta distancia:
x
9m 9m
x 2 = 9 2 + 9 2 ⇒ x 2 = 162 ⇒ x = 162 = 12, 73 m , 12,73 por lo que, como hemos dicho, R = = 6, 36 m 2
Ahora sólo nos queda sustituir datos en la expresión del área: A = A círculo − A cuadrado = π⋅ 6, 36 2 − 9 2 = 46, 01 m 2
8. Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 1 cm. Solución: A = A cuadrado −
A círculo − A cuadrado − A círculo 2
Área del cuadrado:
12 = x 2 + x 2 ⇒ x 2 = A cuadrado = x 2 =
1 1 2 ⇒x= = cm 2 2 2
1 cm 2 2
Área del círculo: 2
2 1 A círculo = π⋅ R = 3, 14 ⋅ 2 = 3, 14 ⋅ = 0, 39 cm 2 2 8 2
Entonces: A = A cuadrado −
=
3 (A cuadrado − A círculo ) A círculo − A cuadrado − A círculo = = 2 2
3 (0, 5 − 0, 39) = 0, 165 cm 2 2
[email protected]
Ejercicios resueltos de geometría plana
Matemáticas 2º ESO
9. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que el lado del triángulo equilátero es de 7 m. Solución: A = A círculo − A triángulo = π⋅ R 2 − l= 7
m
base ⋅ altura 2
Cálculo de la altura del triángulo: 7m
2
2
( 7)
7 = + altura 2 ⇒ 2
⇒ altura = 7 −
altura
7 21 = m 4 2
7 m 2
Cálculo del área del triángulo equilátero:
base ⋅ altura = A triángulo = 2
21 2 = 7 ⋅ 3⋅ 7 = 7 3 m2 2 4 4
7⋅
Cálculo de la apotema del triángulo: 7 3 2A triángulo 2 ⋅ 4 ap ⋅ l ⋅ n 1 7 2 A triángulo = ⇒ ap = = = m 2 l⋅n 2 3 3⋅ 7 Cálculo del radio del triángulo: 2
2
7 1 7 ⇒ R = + 2 2 3 2
2
2
7 1 7 7 2 = ⇒ R = + m 2 2 3 3
R
ap
7 2
Después de todos estos pasos, tan solo nos queda sustituir el radio de la circunferencia y la altura del triángulo en nuestra expresión del área buscada: 21 2 7⋅ base ⋅ altura 7 2 = 28π− 21 3 = 4, 3 m 2 A = π⋅ R 2 − = π⋅ − 2 2 4 3
[email protected]
Matemáticas 2º ESO
Ejercicios resueltos de geometría plana
10. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 2 m. Solución: A = A cuadrado − A círculo = x 2 −π⋅ R 2
Cálculo del lado del cuadrado: D 2
( 2)
= x2 + x2 ⇒
D= 2 m
x
2
⇒ 2 = 2x ⇒ x = 1 m
x Por otro lado, el radio de la circunferencia (las cuatro esquinas) es la mitad del lado del cuadrado. El área buscada es: 2
1 A = x 2 −π⋅ R 2 = 1 − 3, 14 ⋅ = 0, 2 m 2 2
[email protected]
