00002 Ejercicios Resueltos Geometria Plana

April 24, 2017 | Author: Raül Meló Vidal | Category: N/A
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Colegio Santo Ángel de la Guarda Matemáticas, 2º ESO. Curso 2010-2011

GEOMETRÍA PLANA. Ejercicios resueltos.

1. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas. a)

Solución:

c = 7 cm b = 3 cm

a

Hallamos la longitud del lado c, que es el desconocido: c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = 52 + 2 2 ⇒ c2 = 25 + 4 ⇒ ⇒ c = 29 cm El perímetro, P será: P = 5 + 2 + 29 = 12, 4 cm Solución:

b)

Hallamos la longitud de a: c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 7 2 = a 2 + 32 ⇒ ⇒ 49 = a 2 + 9 ⇒ ⇒ a 2 = 49 − 9 ⇒ a = 40 cm

c

b = 2 cm

a = 5 cm

El perímetro, P será: P = 7 + 3 + 40 = 13, 3 cm Solución:

c)

Hallamos la longitud del lado pequeño del rectángulo, que llamaremos x: 10 2 = 8 2 + x 2 ⇒ 100 = 64 + x 2 ⇒ ⇒ x = 36 = 6 cm

10 cm

8 cm

El perímetro, P será: P = 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 = 28 cm Solución:

d) 5 cm

Hallamos la longitud del lado del cuadrado que llamaremos x: 52 = x 2 + x 2 ⇒ 25 = 2x 2 ⇒ 25 5 ⇒x= = cm 2 2

El perímetro, P será: 5 20 P = 4⋅ = = 14, 1 cm 2 2

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Ejercicios resueltos de geometría plana

Matemáticas 2º ESO

2. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas: a) Solución:

ap = 5 cm

7,26 cm

Perímetro: P = 5 ⋅ 2,7 = 13, 8 cm Área: ap ⋅ l ⋅ n 5 ⋅ 7, 26 ⋅ 5 A= = = 90,75 cm 2 2 2

b) Solución: 5,77 cm

ap = 6 cm

c)

Perímetro: P = l ⋅ n = 7 ⋅ 5,77 = 40, 39 cm Área: ap ⋅ l ⋅ n 6 ⋅ 5,77 ⋅ 7 A= = = 121, 17 cm 2 2 2

Solución: Calculamos previamente x, aplicando Pitágoras al triángulo indicado: 4x

10 cm

x

10 cm ap = x

2x 2

102 = (2x) + x 2 ⇒ 100 = 2x 2 + x 2 ⇒ ⇒ 100 = 3x 2 ⇒ x = El perímetro: 100 P = 3⋅ cm = 17, 3 cm 3 El área: ap ⋅ l ⋅ n ap ⋅ perímetro 5,77 ⋅ 17, 3 A= = = = 49, 9 cm 2 2 2 2

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100 = 5,77 cm 3

Matemáticas 2º ESO

Ejercicios resueltos de geometría plana

d)

Solución: Calculamos x, aplicando Pitágoras: 2

x 132 = x 2 +   ⇒ 2

altura = 13 cm

x

13 cm

x 2

x2 169 = x + ⇒ 4 2 5x ⇒ 169 = ⇒ 4 169 ⋅ 4 ⇒x= = 5 = 11, 6 cm 2

Perímetro: P = 3 ⋅ 11, 6 cm = 34, 8 cm Área: base ⋅ altura 11, 6 ⋅ 13 A= = = 150, 8 cm 2 2 2 3. Halla el radio de la circunferencia y el área del círculo asociado, sabiendo que su longitud es de 12π cm. Solución: Radio L = 2 ⋅π⋅ R ⇒ R =

L 12π = = 6 cm 2 ⋅π 2 ⋅π

Área: A = π⋅ R 2 = 3, 14 ⋅ 6 2 = 113, 04 cm 2

4. Halla la longitud de arco de las dos circunferencia siguientes y también el área asociada a esos arcos a) Solución: R=3 cm

θ = 30º

2 ⋅π⋅ R ⋅θ 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 3 ⋅ 30 = = 1, 57 cm 360 360 π⋅ R 2 ⋅θ 3, 14 ⋅ 32 ⋅ 30 = = = 2, 36 cm 2 360 360

L arco =

A sec tor

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Ejercicios resueltos de geometría plana

b)

Matemáticas 2º ESO

Solución: R=12 cm θ = 120º

2 ⋅π⋅ R ⋅θ 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 12 ⋅ 120 = = 25, 12 cm 360 360 π⋅ R 2 ⋅θ 3, 14 ⋅ 12 2 ⋅ 120 = = = 150,72 cm 2 360 360

L arco = A sec tor

5. Halla la longitud y el área de la siguiente figura. Solución:

Longitud. Es la suma de la longitud correspondiente a las semicircunferencias de radio 5, 3, 4 y 0,5 cm: L 1 L 2 L 3 L 4 2 ⋅π⋅ R 1 2 ⋅π⋅ R 2 2 ⋅π⋅ R 3 2 ⋅π⋅ R 4 + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 = π (R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) = 3, 14 ( 5 + 3 + 4 + 0, 5) = 39, 25 m L total =

Área. Es la suma de las áreas de cada uno de los semicírculos que aparecen: A 1 A 2 A 3 A 4 π⋅ R 12 π⋅ R 22 π⋅ R 32 π⋅ R 24 + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 π 3, 14 2 = (R 21 + R 22 + R 23 + R 24 ) = (5 + 32 + 42 + 0, 52 ) = 78, 89 m 2 2 2 A total =

6. Halla el área de la zona comprendida entre el cuadrado y el círculo Solución: R=3m

A = A cuadrado − A círculo = l 2 −π⋅ R 2 El radio es 3 m y el lado del cuadrado es el doble de 3 m Entonces, sustituyendo datos:

A = A cuadrado − A círculo = 6 2 −π⋅ 32 = 36 − 28, 26 = 7, 74 m 2

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Matemáticas 2º ESO

Ejercicios resueltos de geometría plana

7. Halla el área comprendida entre el círculo y el cuadrado Solución: A = A círculo − A cuadrado = π⋅ R 2 − l 2 El lado del cuadrado es 9 m, pero para obtener el radio Hay que hacer unos cálculos previos.

l=9 m

Hallamos x. El radio será la mitad de esta distancia:

x

9m 9m

x 2 = 9 2 + 9 2 ⇒ x 2 = 162 ⇒ x = 162 = 12, 73 m , 12,73 por lo que, como hemos dicho, R = = 6, 36 m 2

Ahora sólo nos queda sustituir datos en la expresión del área: A = A círculo − A cuadrado = π⋅ 6, 36 2 − 9 2 = 46, 01 m 2

8. Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 1 cm. Solución: A = A cuadrado −

A círculo − A cuadrado − A círculo 2

Área del cuadrado:

12 = x 2 + x 2 ⇒ x 2 = A cuadrado = x 2 =

1 1 2 ⇒x= = cm 2 2 2

1 cm 2 2

Área del círculo: 2

 2  1 A círculo = π⋅ R = 3, 14 ⋅  2 = 3, 14 ⋅ = 0, 39 cm 2   2 8 2

Entonces: A = A cuadrado −

=

3 (A cuadrado − A círculo ) A círculo − A cuadrado − A círculo = = 2 2

3 (0, 5 − 0, 39) = 0, 165 cm 2 2

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Matemáticas 2º ESO

9. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que el lado del triángulo equilátero es de 7 m. Solución: A = A círculo − A triángulo = π⋅ R 2 − l= 7

m

base ⋅ altura 2

Cálculo de la altura del triángulo: 7m

2

2

( 7)

 7 =   + altura 2 ⇒  2 

⇒ altura = 7 −

altura

7 21 = m 4 2

7 m 2

Cálculo del área del triángulo equilátero:

base ⋅ altura = A triángulo = 2

21 2 = 7 ⋅ 3⋅ 7 = 7 3 m2 2 4 4

7⋅

Cálculo de la apotema del triángulo: 7 3 2A triángulo 2 ⋅ 4 ap ⋅ l ⋅ n 1 7 2 A triángulo = ⇒ ap = = = m 2 l⋅n 2 3 3⋅ 7 Cálculo del radio del triángulo: 2

2

 7   1 7   ⇒ R =   +   2   2 3  2

2

2

 7   1 7  7 2  = ⇒ R =   +  m  2   2 3  3

R

ap

7 2

Después de todos estos pasos, tan solo nos queda sustituir el radio de la circunferencia y la altura del triángulo en nuestra expresión del área buscada: 21 2 7⋅   base ⋅ altura 7 2 = 28π− 21 3 = 4, 3 m 2 A = π⋅ R 2 − = π⋅   − 2 2 4  3 

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Ejercicios resueltos de geometría plana

10. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 2 m. Solución: A = A cuadrado − A círculo = x 2 −π⋅ R 2

Cálculo del lado del cuadrado: D 2

( 2)

= x2 + x2 ⇒

D= 2 m

x

2

⇒ 2 = 2x ⇒ x = 1 m

x Por otro lado, el radio de la circunferencia (las cuatro esquinas) es la mitad del lado del cuadrado. El área buscada es: 2

1 A = x 2 −π⋅ R 2 = 1 − 3, 14 ⋅   = 0, 2 m 2 2

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