000 1 Geodesia Zakatov

II. C. 3A}TATOB

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fEoAESVTVT

P. S. ZAKATOV

CURSO DE GtrODESIA SUPERIOR

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l,o

i

lo

i:

:{,

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-! ll , |'|i

l*r l,s l,Ü

lc

lo

Ii ll: EDITORIAL MIR I43AATEJITCTBO «HE,[PA»

[i

a

r

,

esféricas del punto

1l1:

AMt:

de donde

P,

coordena.da ,porrorón F**, del ","orruYuJ;; nunto M sobre r"

dubzÍ

_-L-

az y' Comparand.o las expresiones $'2) V (4'3) obtenemos d.x

determinan exacramenre

ra glda¡ las cooráenarrar g.oJ¿.i"i. ."Jrríi"i"-á;i-;ñ;;;d., ,; son cdno_ rivT't." otras que sean equivalentes) dol ortsen A de las ;J;;iá;l; Ér".irr"-, á"-.rrrá""rlr¿ as (p, q) tlcne mucho en común .iriá*u ñctangurar de coordenadas en "oo ¡l plano.

bxlgten además.otros s-istemas de co_ordenadas curvilíneas esfe_ roldales que depende" ¿" ir-áü"éi"" a"i.j;-a;;r;;á"ou¿u, v ¿"r o¡don de cuenta de las coordenades , .

B:# +

(4.4')

La ecuación $.a) ex¡iresa Ia latitud

geodésica en función de las.

tg

¿§BBr,acro[

s

srsrEuagn

rgcodáriica

b

¡

)

n or I a. e I i p se m e r i rt i a n ;; aouación de esta eirpse

B

A

b

wq.fu";I .purtto qw,

n

ñT;ffi

sc

*- ü;iñiíififfi To_

u

"1. íí# iw' fflí ff.Tffi ñ ;:f i;

7

¡ t b2 "az -Lu'-L'

¡ I

Es sabido oue la tangente del formado por la tangente r la curva ,ro punto Ard; y ;I ángulo, !"ñi":. positivo de las #:t:;:: "r, u la primera derivad a d," esta manera

) )

fl;

Expresemos la primera derivada

tcotangulares

)

I

I Errb*--

r e y.

-cts B.

s0

(4.2)

en función de ras coo¡deiadas Diferenciando'i4.1) obtenemos

ff

$=ffi:0.

) )

-

*:tr(90"+ B)\

)

I

(4.1')

N M

ffMt

E

+B

--X

Pt

Fig. eA

ewrd¿nad,as

-=\ 0

"io;""aT

¡

P

l:-"

auperficie del elipsoiaó ;;;;'il es, a leprolentar parres de rá superficie de la ü;rfffi;"ünI';?sto phna de_acuerdo a. una déterminaáu l"y.rilrra so¡i;;;; Iuperficie Aotualmente en la uRSs h; rid;;;"piada ra proyección d.e Gaussl,rd,scr o ststema d. ;;;;dr;;;;;"r;;;tr ptánas reetangutares en ta

§

r e Y'

coordenadas rectangulates

G.-¡ovwfe6&L(,respL{,na,§,,Én]a'prácticaesindisperr¡¡blo conocer las coord."ría"r áá íár ñ"tos de la red geodésica situado¡ en un sistema de coordenadus cártesianas para que puedan utilhrr¡e fácilmenre t". d;;;r s.;;:r"ilü llevar a iabó diferentes -ur üfpor de.trabajos de proveccié", a. ,.gtr*."tr?i¿" áli"rogi-"., a" thrr¡, etc. Esto conileroá I, ,".e.]¿uá a. i"t"lJ*ii"prJir.".io.r* de *

lii!,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f '#T,-:',1¿l","ll:k*ffi

(4.3).

-

8

Para encontrar Ia dependenoia inversa, es decir, para expresar r eD. función de Ia latitud geodésica B, recordemos Ia ecuación (2.7). ' Partiendo de Ia expresión (4) podemos escribir Y (4.5\ tg

B:a#ry

1.-ez

z'

a:x(l-e2)tgB.

(4.6\

Volvamos a escribir (4.1), sustituyendo y de acuerdo con la ecua-

ción (4.6)

obtenemos

Í2 , t2 (L-ez)z lgz fi

Af

r

t.

a

arT-;T-:

Resolviendo esta ecuación con respecto a e, encontramos: -2

;U+(.-ez¡tgz

B| --1,

Í, {{r+ @'B)-r,ffi):o,, *

-

a sen-B

{T=;rfeT5E

'

(4.7) 31

Para encon1.rar y.reemplazamos en .la ecuación (4.6) eI valor conrrado para

, "" r¿.ii.iri";i#;";;

obrenemos

1

,rJt=poniendo el

en_

-1,:{.l'l_4l!9la 7-ezsenzB

.

De la fig. 8 se desprende que Ia abscisa del punto .4/

i'rl.ii ffi,:Jr'f]h;"u:l \ 2::'f

D

till'"",,"'

El

que pasa a través der punro 1r{

awe ,ld: iattfud,§aod,6s gegüsica B y I a latilud gcocéntrí.ca i; ii*]l;'gti" e. H-#ffi fi?fs?#uro,i e Ia exbres.ión para_ " bc_&6b

rs

"{l\

o

@:+.

., Jasándonos (4.5) obtenemos

X

en la

U " B: ¡ (t-ez¡,

geodésicas

y

geocéntricas R

fórmula

pu1!-

(B

-

:

O)

= ez'sen B

cas.[B

_

srr zB

(,8

- 4fu

¿a.

'

:

(D) tiene sen 48

moS escribir:

r6úidt,f'&9,ffi radio-victárU

nemos:

se puede

.

(B

_

de donde:

ri..1'"

@)]. 3

-0

;,.k¡cgs2 Y ^2, ;il[b.

(D

sen

(

6a-

(4.14)

fig. g,

(D

(D)

¡a (1.'.-e2cosz(D): {,

;-_ 'F'- fr=74;¡;5'" ^L

o a, p:

(1 --ea) +senz

:

1, :.r,.)

aV [-cz

r'n,

(

(

¿:pcos (D; u:psen(D. (4.15) la elipse-aeridiana (4.{) obte-

Resolvemos esta ecuación cqn ¡espec!

I

{

ndonos en la

Os

I

la siguiente forma:

P2 cosz (D , sens ---;t-:a-n7=q: l.

(4.12)

I

*" (a 1ra*iiá"al, t _ 6¡r fl,Af-'*"

Sustituyendo esta expresión en

*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:1¡1,*;; mos a escribir. I a expresió q+.lii iel;:;s;il#;o#i:i": ;"i:i-

L*

p:lti@.

e2 sen.B cos (D.

"

p,

Designandó el

:,t

sen (B

- @)" :

GúürdÉ-

i I y ar I a en e n lá r á práctica prácrica el sen i"" (B" 1" co) ifl :THlt Hfl :"':i*: I 1:' i]. I:1ia u,ruf,ulzarra se;;;;;i;rf"" lo:gru y,@. B si" a cáusa de la-pesueña j rlifo¡an tiq tp *l {" _^-:.",rwrq n# _-y/,j : ra I í,', cual,-como más i ;i Tá",1'r,?. veiemos adelante, no ::s l": "i::;lp t¿r fl ; ji"" ""m¡rrgá, *?3Hi; r" "i " por el cos B en J:I:li" I:^118 ' ,podemos el cos @ 'eu.órurr; "r Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,iül3i!:*',x#uT'¿:ír;8r:"t3 jl";:rJ#ilr1i11|"r.f

va

I

(4.13)

'Ef!8rJo¡n;*a*a,,Je

(B_ O)

O)

sen2l.

+TÉry

asea;ti -ettgB, sen (.8

ez

En eite caso (B-_ ó),

una rormula más exacta para =_45":, 127, pág. 24)

t

tgB-rg(D* eztgB, sen

(8-@):#

ha sido cometido un error do orden apreciar fácilmente que se obtiene ,i-"ul-*

Fncontremos la expresión oa_ _ ra_ la d,iferencia d" ií. i;;;;;t;, @. De la iórmula &.ltiiá;;;r,

-

"r(B

donde nuevamente

(4.11) 9

_ {D) sen Bl,_ @) senz.B.

(B-@) :{p,ezsen2B,

tg@:tgB(l-er).

Fig.

,;r;f

segundo término del. segundo miembro en

«.to)

por lo tanto, I

¿.

Descomponiendo, sen (B O) en una serie y limitándola al primer término, obtenemos ;la fOrmula aproximada

'1'

tE

-

sen

la Iatitud áeoc6n. funcjón d" i;; ;;;;;;: 11,:1..1 oasrectangularesrey.

M

- *r, en una .."i.

la expresión obte. nida es una pequeña magnirud de orden ;' d;ü_"rtí¿ iA _ O), de acuerdo a Ia fórmuli (4.r2), resurta una pequeña magnitud. de ordet ez). por esto' si en el segundo miembro de ra ecuac ión (4.12) reemprazamos el cos (D por el cgs B, enronces á;rpüñ;l=ií Érminos de orden ea. Con este grado ae exactitrra -'-----*r" '*

MC

(4.e)

P

-,

(D) : e2 sen B lcos B + (B (D) : e2senB cos B + sen (A ._ sen (B

(4.8)

V

fi : eMt:

cos La

obtenemos:

(4.16)

14A8

80n'

,

( ( ( ( ( ( (

Baiánilonos en (4.15) tenemos

,:ffi,r:-lfug ".1/T=Acos

@

Y 't-ez

rrdem¡minil;;;;,'ii,?¡,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l ,H;ffi:'f1#,t,p*; Án J^l -- ,.

COS2

(4.17)

@ '

i,,,i' iñ|ffi;*,

,

,f,1?ri3:"ff"liJ*ación

y basándonos en (4.21) * :

_,":',::

!:

pero como

mrnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff ,I,?,1,':*ÍTd::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrér_ :*H,1Lr.,:f,"I nemos en

* ir"-",:6

iío#::

ll

^i.

tat¡tuüs

;; ;tff ;?';Ytr; IX

;:*:i1:"*:"""é' ;;ñ;i;i' *H',9ai,,1,7 #

jñ;d;il

en consecuencia,

esrabtecemos ra Ios puntos Il;:,:l*"le abscisa. li:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs# pr qxe ,1"#H,xTXt,}¿{?"11i# -posean-ro, .1.-"

01t4r¡z

c

a

¡1i"", i,1;#:i 3,::::,f tr :iii¡::!i% ¿:,*ü'f ", :I " \vtvt z)' , (t[zMyz 9#+@ff)1_r, ¿2 -r- ----ñ'---

(4.Le)

jl',',ll i:* lltr:: :iii:: -.",r,,, AXj :..H#

," *r;l::;?,:":rnos

(4.26)

l:"

y

de donde

b¡¡----

e2\- t

;§l.,=-:1+ -l1-¿2) !s'u "os

'B:-{?l}

tot

t

,

*rn, ',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,. . *rrf;m,,.. ¡,: ...

t

tg2B:€L 'l' * t'

(4.20)

MrMr*,

r;::!

Deft.27)escribim9¡§oIlZZ-Hc.ión(2.7)y«.8.)¡esuIta

I

gü(l

serán

(4.28)

@20) se obtiene IVITMT: iwr,M$,

IVIMz:,y ¿

G'24) (4.25)

(oMr)z+(jwrtry#:or. Comparando las expresiones (4.1g)

^.

--'*-5ü

;ii1"1ffi H*,0,,,,0u _ tg u:llT-Vruu. *{{f";lí*#idhjffi::::#r n* n.s

j

or.

(4'23)

o^-

de donde rinarmente

o..rr",r. ;" -: (Mrnrry

* En vista de que el nunrn n/r ^^_-

oo¡d en a d a,

tr¡

:::'-v**/ r(4.5)

Pero basándon^' ros en ^^

x,?iT'11: Pu"q' ¡eauCidi f,t1n, $,".,z.

,X{.trü:;,,{,:);:ñHTf:f oer trienÁ ;1;"ó ir,,íi:Í,,. '*;:itul7trWo'ú:),;,'

sal

,df,ü|;;ñ:;;

""",iff"Jí1,í;r s.'ii*.* :*g:ri"ÉH!1F'r,t Édii1,lu,!i

Fig. to

ct,

;,l,{,rfif ,}:,?i;i;i:'"+ffi *: *rro:l/T::&w u,

«rB)

entre ra.s .

IWllVIr-1,

," J,"r-,'f:; Ty*'-expresiones "(nrq;;;.2,3)

-F$ senza-$ro".n¿B_ Í;, *r!:, oi,y :.u y i""

(4.22)

a:asetu4:bsenu.

senza_¡

_- ')

y tageodésica

a cos u,

lL[rM, :

obtenemos que:

rorml-áiitirfi,::

p: (t " -f

enrre ra rarirud reducida u

8a

|:acé5¿r:''"

(4'2s)

rsmo escribir para eI

Deduzcamos la fórmula aproximada para Ia diferencia (B la cual resulta cómoda para efectuar los cálculos

-

u),

Basándonos en (4.32), (4.7)

tgB-tgu:tgB-1fGtgA, :isBlt-1:--e\ttzl.

Y-:n^§r.]

l/

-

-u)' = $

n

p'ez

Si sustituimos en obtenemos

-$'."8^a+...], 5. Rebión

anÚc

(4.35)

DtsenB

si

hacemos

VFñEWB:p.

(4.36)

Las fórmulas (4.35) se ¡eesoribirán de

,

o

1,

-

a2cosBcostr p

atcosBsenL P ó¿ son

(4.371

I

i

P

I

§ f. Pnsfq* T EH UI{

I

(4.32)

X:aCO'S¿¿COSZ

?e

1

x- {@¿;gtrEl'z L

ry&ry,

L

i Z:bsenq:ay l-ez

al-bo a2

1/ at cosz B{bzsenz B

A continuación, basándonos et (4.32), (4.22) y (4,23) obtenemos: Y :aCOs

)

setz B

a'cos B ser. L

(4.3I)

X:xcosL r.S1n

I

1/ L-ez

(4.34)

(4.34)

¡rd¿nadns coilafriilí"; bü courihnndac otre srrú€rrti¿§, Enlafig. ll PRrPtResüna elipse foeiitliana en cuyo plano se halla'el punto G, a partir del cual se cuentan las longitudes yr por lo talto en este plano se ubica ql eje-de-coordenadas Oy; PETPiE es una elipse meridiana en Ia cual se hallan ubicados el punto M y los ejes coordenado s Or y Oy. El ángulo entre Io! dangs de-estas elipses meridianas es igual a Ia longitud geodésica .L. En la fig. 11 tenemos

Y:

I

a(!-e')setB

o

cl Mru

X,Y, Z y

-

I

'-{@B

a-b le B-ls. u '"- a+b:- tgBftgu'

lt

I

az cos B cos

donde

Fig.

r

B

acosB

sen2B. (4.30)

R¡ (B-u)":P'lusen2B- f t"" 4^B + $sen 68-

B

acosB t-ezsenz

^ oa--

Una fórmula más precisa para (B - u) tiene la siguiente forma

x+.

(4.8) escribimos

Y:¡ffisenL['

Descomponiendo en serie (L - ez)uz y reemplazando cos u por oos B (admitiendo, por tanto un error de un infinitésimo del orden en), obtonemos Ia expresi6n final z para (B z)

(B

y

¿ Sen

senu

l

-

r,,

,

(4:33)

(

Por Ia normal a Ia superficie del elipsoide se p¡ede trazar un conjunto innumerable de planos. Los mismos, perpendiculares aI piano tangente a la superficie del elipsoide en un p_unto dado, se -denominañ

planos normáles. Las curvas, formadas por laintersecoión planós los normales, trazados en el punto dado, con Ia superfioie de det elipsoide, se denomínan secciows normnles. Fn cada punto sxistendos seóciones normales recíprocamente perpendiculares, la curvatú¡d de las cuales posee valores máximo y mínimo; estas secciones normales se llaman secciones normales principales

st

(

I

I

"

I

(

(

I

I

I Como se sabe

de la geometría diferencial, en algún punto M de revolución las princip"ales'secciones norriiales son: *f) sección meridiana. Ia cual pasa'por el-puntolkió='M y ambos polos del eiipsoide P y P1 (en la fig. 12 la sección meridiala del punto M es la elipse _ PMEQTE): t,* laSrimeraver.F- 2J @¡de

Diferenciando

dela superficie del elipsolde P

0

d,r:a { -- sen B (L .

curva WME, {Iue también

P,

una elipse.

Fig. t2

es

Designamos por M y N alos radios de curvatura del meridiano y de-Ia prifera vertical, respectivamente. Hallemos la expresión para los radios de curvatura de las principales secciones norm-ales en función de Ia latitud geodésica B. Ei radio de curvatura de la curva pla4-a gxpresada mediante Ia ecuación del tipo A : f (r), se define por la fórmula

{'* (#)'}'''

(el signo menos se toma porq

*: d,Í

"u

nn (t*ctg¡ ,rr:@. Finalmente,

¡4:

-cts

Considerando B como una función de

ff a: $:¿ Y{

empleamos

r, diferenciamos la fórmula

-¿¿

sen¿.8

la fórmuta cos

B (7-szser'B)-112.

(5.3)

r

t(1,-e2) :-L (t-es)lt2 * llé:

\ M:"(F;\.

Introduzoamos además

Como de acuerdo con (2.5)

y

.2

e'!:fui

i

(5.4)

(5.5) (5.6)

Ia función

V:1t[¡;'zso-g B.

(5.2) (4.7)

a(l-ez) -.- ez setz fi)a '

o

'

y obtenemos d,a_ I dB drz sen¡ B d,x '

de nuevo con respecto a z

(l

B)slz asensB(l-a2)

\ c: --7+:*:olfW. V l-r' Designando . \W:1[l_e\ñ8. podemos escribir

B

$'1),

Tomando en cuenta (2.7.) V (2.5), obtenemos

(5.1)

tenemos

fll ffiet

De la expresión (5.3) es evidente que M aumenta aI cambiar B a 90o. . desde - -Al 0" radio de curvatura de la elipse de meridiano en los polos (para B : 90") Io designamos oon Ia letra c, entonces

t. --

0). De (4.2)

coszb (L

hallamos que:

"

#<

B

Reemplazando las expresiones obtenid.as puru

Utilizando esta fórmula para Ia elipse meridiana obtenemos

38

sen

dzA (,1,-ez seú B)3tz -lF: -;ñET=4-

¿l2v

i,, {'* (#\'}''' ,,,__-.=#-.

Bl-'l' +

Por lo tanto,

a

Para calcuiur,

e2

M perpendicularmente a

Iá sección meridiana del punto M. La sección de la primera vertical está representada en la fig. 12 por la

e?'sen'z

'

- r' seú B)-.312t- d'8, etz (t ez senz B) + e'cosz B}, $ : osen B (t - ez se¡,z B)- { - ( #: ¿ sen B (l- ez senz B'¡-srz -e'). *

"tÉql, lac@o

n

la úItima fórmula, encontramos

(5.7)

(2.6), ot2 €=:úrT,

entonces

\ t-

ezsenz

B:L-#-sen¿B:Wéy 39

l

.,

..ir

..

.

.*-..

I i

v

de donde a(1.{e'\l12 tt Jyt :--n6-.

o de acuerdo con (5.4),

(5.e)

W y V se llaman, respectivamente, primera y segunda funciones fundamentales de la latitud geodésica; ellas tienen gran impoltancia esferoidal. en - Ia teoría de Ia geodesia Sustituyendo eñ (5.3) Ia primera exce¡trioidad por-su expres_ión dada en fünción del'seáieje y empleando (4.36), 1a fórmula (5.3) paru

M

adquiere la forma

M:+.

(5.9',)

t6

"

i,¡u I ¡¡tada e s Isu

WW:

s-il-ii,

al

at'

B

(5.10) '

(4'16) obtenemos o, tomando en cuenta la expresión

N:+.

De la

fig. {2

(5.10',)

se desPrende, que

Mn:#:N,

es decir, la longitud á-e cu¡vatura d1

del segmento

de-

la primera vertical.

Para determinar eI radio ll de la primera vertical notemos, que si ta secciOltúa primera vertical WME (fig. 12) es la sección normal, á"io"""r el paraláIo MQS es una seccióIr-inclinada, por. cuanto Ia normal no yice en el pláno de esta sección. Las dos secciones señaIadas poseen una tanfente común en el punto M. Pata demostrar lo antérior trazamos p"or el punto M una-tangente aI p-aralelo Mf; esta tangente, yacent'e en ei plano-MQSC, perpendicular al-plano meridaná MEri'rEP, es perpendicular a la recta MC, forma{1-Pot t"liotám".ción de estos pla-nos. De esta forma- Ia tan§ente MT es eI plano de ;;r;;di;tar ar prá"o aér -é"iai"ro PMEtPr, porestó a la Ia normal Mn es si MT; la recta il-;"ilil verticál contendrá TMn el ángulo entonces punto M, el en elipsoide ."f..firi. del seia ig""t a g0o, for lo tanto, MT seú,. también tangente a'la curva EMW. Teniendo esto en cuenta, aprovecharemos el siguiente teorema: *;,ttrrtrt§'rLá ff,tnti§-fu;llm"ñ¡nwl¡at¿ sr0;lffl§odd§ do§'réPof§rlt8' Eho g1!s de run un Puntglh&g6X",*o fu¡ ya enfr' cr. Gb.'t).ttoov uuYUt'yv :'T--i*&crtrto que. irrcLÍnura, §wfuu) oTa urcLlflapa, nñnat vv.offa ndlm"4a t&gqntc efrntÍ*, ctzÉoni§-t7 *ccionei tic¡¿ñ simuká¡Womente.'una -t¿rr¡

;áií d"r;;;ú ; e- k

l/62

jv:#:1,

o

M:#.

&

N:

(5.8)

(5.1 t

),

Ia normal Mn es igual al radio

De (5.3) Y (5.{0) tenemos

jL:7-e.2s?l28

Mt-

=yw:l+

#.

6.t2).

De aquí se Puede aPreciar que

l¿1>

rur'i Durante los cáIculos se utilizan las magnitudes

{* t *,

depen-

por los símbolos diendo delicaso; estas cantidades los designaremos

(t)

y (2), así

ffitis,-

nor"et mvntd*l trtgut'ü Ínmado ooi

loi J." "t "udio d"I paralelo r- se_determina m.ediante eI radio de cur+rt"r, de la primefa vertical I{ utilizando la fórmula

r.:N cosB:MC.

Tomando en cuenta la expresión'para eI radlo del paralelo de (4.9)n cbtenemos acosB

---=l-r, V 40

senz

=-!c^"8 B

tes. vergenres.

'Descomponiendo en 'DpscomPonrenc -1t una serie bonomial los denominadores ,' senz B¡-ttz, en ias expres-iones (5;3) (l - ,'senz F")-elz v transfármaciones y de substituir los' y (5.10), desPués de "'Inrom -l& de

valores numéricos de

elementos del elipsoide de'referencia

§(rasovsky en mettos, obtenemos:

'M

+ +

:6

+

-32

072,9605 eos28

*

67,g723cos4B- 0,14{9 cos 6.8 +0,0002cos

:

6 335 552,7 1.70+ 63 609,7883 senz B

532,2089 sen4B

-ly':

+

367 558,4969

en donde,

L3,5077 cos

-

sens

B

* cos 6^8+''' -

:

I

I

(s.t¿)

A

ouenta la importanciá de las fórmulas obtenidas, así como también consideraciónes'metódicas, damos a continuación la deducción .d.e las fórmulas para M y trf empleando otro procedimiento para su "obtención. Utilizando Ia conocida descomposición de Euler para las tunciones exponenciales en una serie de fracciones

(5.16)

usando conocidos métodos de cálculo para las fracciones, omitiendo detalles de los cómputos matemáticos que :siguen, para la expresión (5.10) podemos escribir que

¡t.42

o.-c

w v'

Entonoes Ias fórmulas (5.18)

'(5.17)

¡¡tI, . (5.r8) (5:1.e)

cosz

(5.24)

B

(5.25)

v

(5.19) qdquieren eI siguiente as-

ffi+:,ffi#, N:a-;iilWWZ:c

pecto

(7-e')

L-O,Z1ez serz B

(5.{5)

A continuación,

ltf-#:#,

(5.23)

l*'!'.25e'z

M --a

La descomposición de (5.15) converge' corno es conocido, en todo ,oI plano complejo de la variable y, cortado por el eje-real desdq y-: :'-t hasta y : -oo. En eI oaso de que y sea positiva real, la descomposición (S.fS) es aplicable para cuáIquier valor del argumenlo y. Pará esto es suficíente tomar la cantidatl necesaria de términos de la .serie de fracciones (5.15). timitándonos a dos de ellos, tenemos:

Aplicando la fórmula (5.!7) para calcular las cantidades ¡podemos indicar a éstas de la siguiente forma:

B l*0.75e'z v:TT6W;ñT' l-7.25e'sefi B w":TñA#;ñ¡, ' r _- L-4.25e'2coszB' ' a!ó

+#*

(r+a)n,,ffi

(5.20)

(5.22)

-

cos'|

.ü

(1*y)'*+ff+ff.

senz R)r/2''

L- O,l1ezsens B 1;:6p572;;¡t§,

w

Anteriormente han sido obtenidas las fórmulas para los prin-

znt, +W+....

ez

-e2

,cioales radios de curvatura, Ia deducción de ellas se basó en el enfo.qüe clásico aI resolver problemas-de geodesia esferoidal. Teniendo

+9*+...+@

-

(5.21) ({ + e'2 cosz B)'t' ' v.alores de Ia'variablo U' ProEn las fórmulas (5'20) y (5'21) Ios iguales a: amente toii li I ""d;;;;"- 1s : "ttpé'tiv senz B e tJ : e'2 cosz B,

:1/[¡TadszÉ=

:

(1*y)':t+++

(L

v eI valor d,e'¡ : ll2. " ' P;e;;;por Io tanto escribir:

6378 245,0000 +21'346,74t6senzB* 107, {586 sena B + 0,5982 seno B + 0,0033 sens B

(r-!)u

:

:1|TQÑB

Y

I

10 726,9320 cos 2.B

48-0,0189

1y

I

f

-¡ 4,1558ien6 B + 0,0317

6 388 958,4431

8.B-''' 5 l

de

-

7{0,25e'2

ooss B

G1JW@'

(5.26)

(5.27)

aproPodemos demostrar que eI error -absoluto de la expresión lasfracciones entre la diferencia de *i*ráa (5-iO¡ igual at=;Odulo po4Ia siguiente consecutivas de",un *lráo-tipo y puedo ser caloulado

fórmuIa

a,(y)(á[ffi*r¡,

(5.28)

con donde eI símbolo A, indioa que eI error es-ta en corres.qondencia (5.16). (5.16 .16). la r^^ r^+Á-*i¡no,lo Io oa.io do?rqncinnosesdecir. conlafórmula co-n es decir, de iracciones, lá serie de iZ"*i"os ["r*Jot -""á;;;;;,

en las ;ñ;";i;;s (5.20j v (5'21) las cantidades del Ia excent"iáia"a e2 (ó'e'2) iguai a 0;0067, para cualquier c1e "r"¿*rdó valor de Ia latitud B obtenemos:

.

az

ty)