Wade David. Geometria Y Arte. Influencias Matemáticas Durante El Renacimiento.

 

GEOMETRIA  Y A R T E DAVID WADE

Influencias Influen cias matemáticas matemáticas durante duran te el Renacimient Renacimientoo

Librero

 

Título original: Geometrj &Art © 301 7 Librero b.v. (edición española), española), Postbuss 73, 5 33o AB Kerkdriel, Postbu K erkdriel, Países Bajos

INDICE Nota del autor 6

© Alexian Limited 2015

LA BELLEZA DIVINA DE DE LA GEOMETRÍA GEOMETRÍA 9

©Texto: DavidWade 3015

Los orígenes orígenes clásicos de una idea idea irresistible 10 El continuo platónico en el mundo clásico tardío tard ío 14 14,,

Diseño del interior: Roger Walto Walton n Studio Producción de la edición española: DeliveringiBo oks & Design, Design, Barcelona Traducción: Montserrat Ribas para DeliveringiBooks & Design Distribución exclusiva de la edición española: Ediciones Librero S. L. Paseo del Pintor Rosales, 3 ? 38008 Madrid España Printed in Slovenia /Impreso en Eslovenia

La custodia bizantina e islámica del conocimiento griego clásico 17 Pérdida y recuperación parcial 33 Los primeros prim eros traductores traductores 24 El neoplatonismo y su influencia en el arte  2,6  medieval europeo  2,6 El neoplatonismo y su influencia en el arte islámico ?8

EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE  OCCIDENTE  LATINO 35

ISBN 978-90-8998-499-9 Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta obra se puede reproducir, almacenar o transmitir de forma o por medio alguno, sea este electrónico, mecánico, po r fotocopia, grabación o cualquier otro, sin la previa autorización escrita de los titulares titulares de los derechos. Página %: detalle de un armario taraceado, Núremberg, Alemania, siglo  XVI .

Florencia en el Quattrocento 3 6 La medición del mundo: mundo: cosmografía renacentista renacentista 41 Florencia y la la invención de la perspectiva 46 Nuevas maneras maner as de ver: lentes y cámara oscura 50 El cosmos geométrico 52 Piero della Francesca 61 Paolo Uccello 65 Geometría, proporción e «Istoria» en el Quattrocento 68 Luca Pacioli 74 De Divina Proportione  76

Leonardo daVinciy la geometría 78 Proporción Proporc ión armónica de la figura figura humana 84 Geometría Geomet ría y proporción proporc ión en la forma forma de las letras 88 Ciudades ideales del Benacimiento Benacim iento 92  Andrea  And rea Palladio y las proporciones propo rciones armónicas 98

 

Geometríay Geome tríay las artes liberales 103

La Kunstkammer de Dresde 172

Motivos geométricos de la taracea italiana 104

Contribuidores alemanes alemanes tardíos 174 Paul Pfmzing 176 Peter Halt Halt (fl. (fl. 16 29 - 1653 ) 182

LA GEOM ETRÍAY EL RENACIMIENTO RENACIMIENTO   NÓRDICO 109

 Johannes  Johann es Kepler: matemático celestial celesti al 184 Motivos geométricos de la taracea alemana 190

Matemáticas, geometría y perspectiva al norte de los Alpes 110  Alberto Durero: artista, ar tista, humanista y geómetra 116 Los patrones de nudos nudos de Durero y Leonardo 124

DE LA GEOMETRÍA i 9 3

Las formas geométricas geométric as de la figura humana 126

Tratados tardíos sobre geometría y perspectiva

Núremberg: primer centro moderno de iniciativas y cultura cultura 138 Impresión y edición edición en el Renacimiento i 3 o

en Italia 194 El mazzocchio  200 Geometría esotérica, arcana y oculta 202

La versión de Ratdolt de los Elementos 

De Vries, el barroco y el declive del uso imaginativo

de Euclides i 33 Tratados sobre geometría en la Alemania de la década de 1500 185

de la geometría 208 Geometría y simetría en el diseño de jardines renacentistas 212 La forma y la estructura estructura de los cristales 216

Los popularizadores: Rodler, Hirschvogel  y Lautensack Lauten sack i 3 8

Conclusión 219

LOS POLIEDROS Y LA IMAGINACIÓN  IMAGINACIÓN 

Tratados de geometríay Tratados geom etríay perspectiva de los siglos x v - x v ii   220

CREATIVA i 3 9 Los geómetras creativos alemanes 142  Wenzel  Wenz el Jamnitzer 144 Lorenz Stoer 152  Anónim o (h  Anónimo (h.. 15 1566 5 -1 -166 0 0) : Geometrische und    perspekti  pers pektivisch vischee  160  Johannes  Johann es Lencker Le ncker 164 Perspectiva tiva literaria lite raria  168 Letras y perspectiva: Perspec

 

LA CONTINUA INFLUENCIA  

Lecturas adicionales 221  índicee analítico  índic analí tico 222 Créditos fotográñcos 224

I

La

BELLEZA DIVINA de hi

GEOMETRÍA «Platón admiró tanto la geometría básica   de los los poliedros, que er eraa incapaz de im imagin aginar ar   que Dios no los utilizara». Morris Kline, Mathemat Kline,  Mathematics ics in Wester Western n Cultur Culturee

IZQUIERDA: Occidentaly árabe realizando prácticas matemáticas,  manuscrito del siglo XIV. XIV.

 

LOS ORIGENES CLASICOS  

DE UNA IDEA IRRESISTIBLE

PITÁGORAS, PITÁGORA S, PLAT PLATÓN ÓN Y S U LEGADO LEGADO

llegaron a creer que los números y las proporciones

a irresistib irresistible le idea de que ««el el número lo es tod todo», o»,

L

constituían los elementos primordiales primordia les de la natura

que las matemáticas son el fundamento y que,

leza,, y por ello se ccentraban leza entraban en los casos donde estos

por tanto, constituyen la clave para com comprender prender en

eran más evidentes, evidentes, como como en las proporci proporciones ones de las

profundidad el mu mundo, ndo, se suele at atribuir ribuir al ñlósofo

escalas musicales. También estaban muy inte interesa resa

presocrático Pitágor Pitágoras. as. Aunque constituye una figura

dos en las ñguras geométricas, al alas as que atribuían

legendaria y en cierto modo modo misteriosa, con tenden

propiedades místicas, místic as, así a sí como en los números y las las

cia a acumular acumular mitos mitos,, no hay duda de que existió. Se

proporciones. Al parecer, creían que los números y

cree que nació en la isla de Samos y que se estableció

la forma tenían un tipo de vida y existencia ppropias, ropias,

sobre el año ^3 1  a. G. en el sur de Italia, donde fundó

separadas del mundo, y desarrollaron desarrollar on una compleja

una escuela de filosofía cuasi religiosa. Aunque se

cosmología en la la que algu algunos nos de ellos se iden identific tifica a

desconocen los detalles de las tempranas creencias

ban con dioses. Sus especulaciones en el campo de la

de los pitagóricos, parece ser s er que se aplicaban en

geometría estaban por tanto tanto ligadas a la contempla

el estudio de la músicaylas matemáticas. Sulegado más duradero duradero son sin dud dudaa alguna alguna lo loss d descub escubrimien rimien

ción de lo trascendente, lo que bajo su punto de vista

tos que realizaron en esos campos. campos. Según Aristót Aristóteles, eles,

aún para el futuro pensamiento europeo: europeo: sus ideas

constituía una forma de plegaria. Más trascendental conservaron su atractivo. La escuela fundada por Pitágoras Pitágor as perduró durante más de un milenio, y mu chos de sus preceptos fueron fu eron adoptados por Platón e incorporados a su visi visión ón filosófica. La influenc influencia ia de esta corriente de pensamiento queda manifiesta en uno de los diálogos más nota bles de Platón, el Timeo Timeo,, escrito en el año 3 6 o a. C. Siguiendo la enseñanza pitagórica, Platón difere diferencia ncia lo físico, sujeto al cambio y la descomposición, de lo

 AR RIBA RI BA : Pitágoras y Platón en el fresco de Rafael re pres presen en tando a los filósofos filóso fos griegos, Palacio Apostólico Vatica Vaticano. no. Platón sostiene su diálogo Timeo,  la fuente primordial de sus especulaciones sobre s obre la naturaleza del mu mundo ndo físico.

10

eterno, que consiste en formas puras e inmutables. Sin embargo, el mundo físico deriva de lo eterno —aunque los detalles de cómo eso ocurre son algo

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

imprecisos— imprecis os—,, y en última instancia se compone de

resultaba difícil distinguir entre ellos. Pero la noción

partículas elementales. Estas son de cuatro tipos,

de la importancia de ciertos valores proporcionales y

que corresponden a los cuatro elementos del mundo clásico: tierra, tierra , ai aire, re, fuego y ag agua. ua. Los elementos,

la creencia de que las formas geométricas poseían una perfección atemporal perduraron, y fueron fuente de

a su vez, se identifi identificaban caban con los cuatro prime primeros ros

inspiración tanto para las artes como para las cien cien 

sólidos regulares: tierra = cubo, aire =octaedro, fuego =tetraedro =t etraedro y ag agua ua ==icosaedro. icosaedro. La quinta d dee

cias. De h hecho, echo, la idea de que las formas aritmética aritméticass  y geométricas podían ofrecer ofr ecer la vía para una com

esas figuras regulares regu lares — —que que se denom denominaron inaron sól sólidos idos platónicos—, el dodecaedro, se asociaba con el

prensión de la auténtica naturaleza del cosmos, se convirtió en un principio fundamental de la cultur culturaa

propio cosmos. Con el tiempo, las teorías de Platón

occidental.l. Esta es, al fm y al cabo, la asunción bá occidenta básica sica

quedaron tan ligadas a los preceptos pita pitagóricos góricos que

de la ciencia.

FIGURAS PITAGORICAS PITAGORICAS Los pitagóricos pitagóricos interpretábanlos números como patro

consideraba muchas de sus explicaciones en exceso

nes de puntos compuestos compuestos por «fig uras » caract característi erísticas. cas.

rebuscadas. Al igual que m uchos nume rólogos a lo lar largo go

La más importante era la tetmktys,  la ñgura triangu lar de tetmktys, la

de los tiempo s, eran propenso s a modiñcar los hechos

cuatro ñlas cuyos componentes suman el número per fecto de diez, diez, sobre el que se hacían juramentos. A pa rtir

para que encajaran con sus ideas: «S i faltaba algo algo para completar sus teorías, rápidamente lo encontraban».

de ahí y de otros grupos de polígonos simp les, fuero n

Pero a pesar de las excentricidades de algunas de su suss

progresando hacia otras series tridimensionales como la

derable, en esp ecial su afirmación fundame ntal de que

cúbica, cúbic a, la tetraé dricay la piramidal. Posteriormente Aristóteles Aristóteles criticó a los pitagóri cos por su obsesión po r los números, y está claro que

••• • ••• • •••••••

 visi  vi sion on es cosm co smológ ológ icas icas,, sus tteo eoría ríass te tení nían an un pe peso so co ns i las matemáticas son la base de ttodo, odo, y que la geometría es la expresió n más elevada de las matemát matemáticas. icas.

•••••••••

••••• ••••• ••••••••• ••••• ••• ••••••••• •••••

••••••••••••••••••••• •••••••• •••••••• ••••••• •••••• •••••

LOS ORIGENES CLASICOS DE UNA IDEA IRRESISTIB LE

 

PLATONISMO PLATO NISMO Y GEOMETR GEOMETRÍA  ÍA  El platonismo se basa en primer lugar en los propios

Los escritos de Platón tienen un carácter lúdico  y están formados formad os por po r diálogos (básicamente (básicamen te deba de ba

escritos de Platón, la mayoría de los cuales han so brevivido, y en sus enseñanzas y las de sus seguido seguido 

tes), que le permitían permit ían presentar present ar una variedad de propuestas que no son del todo sistemáticas. Aunque

res de las numerosas escuelas de filosofía sucesivas.

las ideas presentadas son examinadas y cuestionadas cuestionadas

Esto significa que, aunque sin duda existía una

a ffondo, ondo, se comunican com unican de forma indirecta median me dian

tradición «pla tónica», tónic a», con el el tiempo tiempo el término ya

te varios interlocutores. A pesar de ello, su gran

no equivalía a un conjunto consecuente y coherente coherente de ideas. De hecho, el platonismo y el neoplatonismo

preocupación por la poca fiabilidad de los sentidos, la transitoriedad del mundo observable y la nece

llegaron a significar cosas distintas en diferentes

sidad de establecer definiciones exactas exactas e hipótesis claras para ello, contribuyeron en gran manera a la

épocas (véase el recuadro de la pág. i 3 ). De todos modos, el núcleo núcleo esencial esenc ial del pensa pens a

tradición occidental del pensamiento matemático y

miento de Platón persistió. Se basaba en la la noción

al método científico.

de la existencia independient independientee de conceptos abstrac

*

tos, y de que el mundo mundo fenoménico tan solo constitu

En La República Platón asevera que que ««la la geometría

 ye una pobre imitac i mitación ión o una ligera aproxima apro ximación ción al

atrae el alma hacia la verdad y crea el espíritu de la

mundo de las ideas, que es eterno y perfecto. Platón

filosofía», y en el Filebo aparece su maestro Sócrates

sentía que esas Ideas o Formas no se podían apre hender directamente con los sentidos, sino que solo

explicando la relación explicando relació n particular entre geometría geometría  y belleza: «P «Por or belleza de las figuras no entiendo

se podían determinar alejándose del «mundo «m undo de las

lo que muchos se imaginan, por ejemplo, cuerpos hermosos, bellas pinturas; sino que entiendo entiendo por

somb ras» de las sombras» las impresiones sensoriales y acer cándose a una una conciencia interior, int erior, y que ese proceso proceso

aquella lo que es recto y circular, y las obras de este

podía desvelar los secretos del universo. La geo

género, planas y sólidas, así como las hechas con

metría ocupaba un lugar en dicho proceso. Platón,

compás, regla y escuadra. Porque sostengo que

como Pitágoras Pitágoras antes que él, sentía fascinación fascin ación por las relaciones puras y precisas entre figuras geomé

estas figuras no son como las otras, bellas por comparación, comparació n, sino que son siempre bellas en sí

tricas, especialmente los sólidos, y llegó llegó a identificar

por su naturaleza».

esas figuras con conceptos de perfección perfecció n espiritual. Es bien conocido que en su escuela, la Academia, se exhibía un rótulo que proclamaba «Que ningún ignorante de la geometría cruce cruce esta puerta», puert a», y en su diálogo Timeo,  donde expone expone sus especulaciones cos mológicas, declara que «Dios siempre geometriza»  y «l «laa geometría geo metría existía exis tía antes de la Creación Creac ión». ».

12

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA  GEOMETRÍA 

 

LA ACADEMIA ATENIENSE

En el año 387 a. G. Platón fundó su  Acad  Ac adem emia ia enAt Aten enas. as. Es probable que en la época de Platón dicha

Entre los seguidore s eguidoress posteriores podemos podemos ci citar tar al matemático y astrónomo Eudoxo y a los ñlósofos Arcesila laoy oy Garnéa Garnéades. des. Tras la muerte muerte de Plató Platón, n, la Academ Academia ia y el «pl «platoni atonis s mo» se vieron dom dominados inados por teorías filosóficas iinno nno

sociedad no propu siera un conjunto de doctrinas en especial o que no tuviera un programa predeterminado, sino que más bien se daban charlas sobre una variedad de temas que después se debatían haciendo hincapié en el método dialéctico de la argumentación lógica. A juzgar por el contenido y la extensión de los diálogos platónicos, en la Academia ateniense se enseñaban matemáticas, ñlosofía natural (protociencia) (proto ciencia) y política. Entre los más ilustres de sus primeros alumnos se encuentran encuentran Aristóteles Aristóteles y Heráclides Póntico-, luego el primero pasó a fundar su propia institución educativa educativa,, el Liceo.

 va  vado doras ras y m más ás evolu evolucio ciona nada das, s, prim primero ero el esc escep eptici ticism smoo  y a con contin tinua uació ción n el es estoi toicis cism mo. Al ñna ñnall pre preva valec leció ió un unaa forma de eclecticismo que adoptó lo que se considera ban los aspectos más razonables de las diversas filosofías rivales, y así es como se siguió enseñando el platonismo hasta y durante la época roma romana. na.  Aunq  Au nque ue log logró ró sobreviv sobrevivir ir a la ccon onqu quista ista ro roma mana nay a la revuelta ateniense del año 88 a. C., el destino de la  Acade  Aca demi miaa qque uedó dó se sella llado do por los even eventos tos polític políticos os qque ue afectaban a Atenas. Los diádocos o sucesores de Platónla revitalizaron hasta cierto punto, pero por ñn el empera dor cristiano bizantino Justiniano la clausuró en el año 529, en un acto de represión que se ha descrito como «el ñnal de la Antigüed Antigüedad». ad».

 ARRIB  AR RIB A: en su diálogo Timeo,  Platón identiñcó los cuatro Timeo, Platón elementos de aire, tierra, fuego y tierra con cuatro de sus cinco «s ólidos b ásic ásicos» os» , que a su vez se derivaban derivaban de dos dos

triángulos rectángulo triángulos rectánguloss «b «básic ásic os» . El quin quinto to y último sólido de este esquema, el dodecaedro, representaba el propio cosmos.

LO LOSS ORÍGENES CLÁSICOS DE UNA IDEA IRRESISTIBLE IRRESIST IBLE

 

E L CONTIN CONTINUO UO PLAT PLATONI ONICO CO  EN EL MUNDO CLÁSICO TARDÍO

i3

omoo hemos visto, el platonismo y la geometría om

 yendo de la propia pro pia Greci G reciaa hasta la Ind India ia y pasando

se siguieron siguiero n enseñando en Atenás tras la muerte

por el norte de Afric a y Oriente Medio.

G

de Platón, y allí se continuaron haciendo grandes

Las matemáticas, y en especial especia l la geometría,

descubrimientos. Pero después de Alejandro Magno Magno

continuaron siendo tema de investigación investigaci ón entre los

en el siglo rv a. C., tanto Grecia como la propia Atenas

estudiosos de ese mundo mundo cosmopolita, cosmopolita, y sus prin ci

perdieron su influencia. Las ciudades de Alejandría

pales ñguras siguieron realizando avances signifi

en el Egipto ptolemaico y de Antioquía en la Siria

cativos. En el año 3 ?o a. G., Aristeo de Crotona, Crotona, un

seléucida, que se habían convertido en importantes

matemático matemát ico que había asistido a la Academia, esc ri

centros del nuevo y más extenso mundo helenísti helen ísti

bió Comparación de los cinco sólidos regulares, donde regulares, donde

co, emergieron como centros rivales de erudicióny

estableció que «el mismo círculo circunscribe tanto

produjeron produje ron ñguras tan destacadas destacadas como Euclides y

al pentágono del dodecaedro como al triángulo del

Ptolomeo.. Aunque todos ellos hablaban Ptolomeo ha blaban griego y su

icosaedro cuando ambos ambos están inscritos en la misma

educación había seguido la tradición griega, muchos

esfera». Esta obra inspiró a Euclides, que vivió casi

de estos eruditos posteriores no eran de etnia griega.

en la misma época, y que pasaría pasa ría la mayor parte de su

El mundo helénico era ahora mucho más extenso,

 vidaa en la ciudad egipcia  vid egipc ia de Alejandría Alejan dría..

DERECHA: los sólidos arquimedianos (de arriba abajo y de izquierda a dere cha: cubo truncado, octaedro truncado, tetraedro truncado, icosaedro truncado, dodecaedro cuboctaedro, cubo chato, truncado, icosidodecaedro, dode caedro chato, rombicuboctaedro, gran rombicuboctaedro, rombicu boctaedro, rombicosidodecaedro, gran icosidodecaedro.

14

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

Euclides, que había sido estudiante de un dis di s cípulo de Platón, siguió investigando toda la gama de geometría plana y sólida de la misma manera sistemática y platónica, platónica, una empresa em presa que culminó en

do clásico realizaron correcciones c orrecciones y nuevos avances basándose en el mismo. El tema de los los poliedros poli edros poseía pos eía un interés especial para otra ñgura sobresaliente sobresaliente de este pe

sus Elementos, el primer sistema completo y lógico de

ríodo clásico tardío: Arquímedes de Siracusa. Siracusa. Este

geometría. geometr ía. En el libro ñnal de los Elementos Euclides

estudioso investigó a fondo las versiones truncadas

explica, en dieciocho proposiciones, cómo inscribir

de los sólidos regulares, y durante dicho proceso

los cinco sólidos regulares r egulares en una esfera. Para algu

descubrió y dio nombre a los trece sólidos semirregu- 

nos comentadores posteriores esto prueba su inten

lares. Apolonio de Pérgamo (263-180 a. C.), residen

ción de que su obra fuera una especie de testimonio de su trascendencia cosmológica. Los Elementos fue

te en Alejandría Alejan dría desde hacía tiempo, tiempo, era famoso por

sin duda uno de los libros de texto más influyentes  jamás escritos; escrito s; muchos de los matemáticos mat emáticos del mun mu n

tratadoo sobre las razones entre las dimensiones tratad dimen siones del

su estudio de de los conos, pero también escribió escr ibió un icosaedro y del dodecaedro. dodecaedro.

 A  ALL E JA N D R O M AG AGNO NO,, H E LE N ISM IS M O E IM PE R IO RO ROMA MANO NO Hacía el siglo rv el mundo clásico se acercaba a una grave crisis de confianza. De hecho, la Edad de Oro de  Atena  Ate nass lle llegó gó a su ñn tras tras eell ccaó aótic ticoo pe perío ríodo do qu quee siguió siguió a la guerra del Peloponeso, cuando cuando Filipo Fili po de Macedonia Macedonia obtuvo la supremacía sobre todas las ciudades-estado griegass antes indepe griega i ndependientes. ndientes. Su hijo Alejandro, tras consolidar las conquistas de su padre, se enfrentó al poderoso imperio persa, y tras una campaña de diez diez años consiguió agregar este inmenso territorio a su hegemonía macedónica. Esas conquistas incluyeron la mayor parte de Oriente Oriente Medio, el norte de Africa Afri ca oriental, Babilonia y Persia, incluso áreas de la India. Las conquistas de Alejandro Magno son legendarias,

seguidas por un prolongado período de colonización griega. Fue así como, incluso a pesar de la división del imperio de Alejandro, surgió una nueva civiliza ción panhelénica. La sociedad y la lengua lengua griegas se impusieron en todas esas regiones, en especial en las ciudades, donde surgieron s urgieron nuevas y pujantes culturas híbridas: Alejandría, situada en el norte de Egipto, fue la más importante de todas. La conquista gradual de territorios griegos por parte de Roma en los siglos 11y 1 a. C. llevó a la situa sit ua ción de «cultura griega, gobierno romano» en el imperio romano oriental. La lengua predominante siguió siendo el griego, que se hablaba en muchos

si bien pudo disfrutarlas poque murió muy joven, 3%no a los años.  A su su muerte uerte esos esos ter territor ritorios ios se se d divid ividier ieron on en entre tre los diádocos o sucesores (sus amigos, familiares y genera les). Como es fácil imaginar, el proceso fue polémico  y muy reñid reñido, o, per peroo eell res resul ulta tado do fue fue la funda fundació ción n de una serie de nuevos reinos helenísticos, incluyendo la Persia seléucida, el reino de Pérgamo y el reino ptolemaico de Egipto. Esas adquisiciones, a su vez, fueron

lugares, i ncluyendomilitarizado, incluyendo la propia Roma. Rom a. Esta,una quepolítica era un estado sumamente adoptó de distanciamiento hacia sus dominios griegos, pero siempre mantuvo el respeto por la cultura helénica. helénica. La filosofía, el arte, la literatura e incluso la religión seguían patrones griegos; la mayoría de los romanos cultos eran bilingües. El resultado final de esta fusión fue un continuo cultural unificado en el Mediterráneo, en el que la creatividad intelectual siguió floreciendo.

EL CONTINUO PLATÓNICO EN EL MUNDO CLÁSICO TARDÍO

i5

 

Esos descubrimientos fueron mejorados por Hipsicles de de Alejandría (1 90 -13 0 a. C.) C.) en una obra obra que posteriormente se conoció como el Libro XV de

El matemático y astrónomo Ptolomeo, también de Alejandría, es famoso por su modelo del universo,

los Elementos de de Euclides. En el período clásico tardío

que perduró hasta Copérnico. Su brillante, aunque desacertada, cosmología, con su complejo sistema de

la especulación en matemáticas matemáticas y física tendía tendí a hacia

epiciclos, se utilizó para predecir los movimientos

aplicaciones más prácticas, en e n lugar de la teoría pura.

planetarios hasta que fue reemplazada por el modelo

Incluso así, Herón de Alejandría (fl. 150 d. C.) estudió la medida, el volumen y el tamaño relativos de los

copernicano, a su vez vez derivado del de Aristarco Aristarco,, con c on ciudadano de Ptolomeo.

poliedros, temas que aun en el siglo IV d. C. siguieron captando el interés de Pappo de Alejandría.

:T/iK7   Ertr//>  AR RI RIBA BA:: Apolonio de Pérgamo, trabajando con la obra de Euclides sobre conos, descubrió las propiedades de las importantes curvas derivadas de las secciones cónicas: de izquierda a derecha, la elipse, la parábola y la hipérbole.

 AR RIB A: el sistema planetario geocéntrico establecido por Ptolomeo de  Alejandría  Aleja ndría en el siglo II II d. G. G. fuen un eficaz indicador de los movimientos movimientos planetarios, planetarios, pero con el tiempo cada  vez se hizo más complicado complicado encontrar una explicación para las aparentes anomalías.

16

DERECHA: el u universo niverso geocéntrico ptolemaico perduró hasta el modelo heliocéntrico propuesto en el siglo xvi xvi por Copé r nico . Esta es una versión tardía, de la Cosmographia Cosmographia   del cartógrafo portugués Bartolomeu Velho, impresa en Francia en 1568.

LA BELLEZA BELLEZ A DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

LA CUSTODIA BIZANTINA E ISLAMICA   D EL CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO GRIEGO CLÁS CLÁSIC ICO O

E

n llos os 900 90 0 años transcurridos transcurrido s entre el cierre de la Academia ateniense por Justiniano y el Rena

cimiento de la Europa occidental, occidental, el platonismo so 

brevivió en tres tradiciones culturalm culturalmente ente distintas: en el imperio bizantino, en el mundo islámico y, de modo mucho más limitado, en la Europa occidental. Hacia el siglo v d. d. G. los problemas prob lemas internos intern os y las amenazas externas que habían afectado al mundo clásico alcanzaron un punto punto crítico que desembocó en la división del Imperio romano, que llevó llevó al hun dimiento de su parte occidental y a la adopción del cristianismo en la oriental. oriental. A Ape pesa sarr de estos even eventos tos trascendentales y a veces catastróficos, catastróficos, existía la determinación entre algunos valientes eruditos de conservar el conocimiento antiguo clásico. Muchas cosas se salvarony salvar ony Euclides, entre otros, nunca fue olvidado del todo. El filósofo romano Boecio (480524/555 d. C.), que vivió en los precarios tiempos

 AR RIB A: ilustración ilustra ción del siglo  XI de la descripción de eclipses lunares del astrónomo astrónomo islámico islámico Al-Biran Al-B iran i; de suKitab al-  al-  tafhim. El tafhim.  El erudito ofrece una explicación completa de los mecanismos celestes que originan esos fenómenos.

poste rioress a la caída de Roma, posteriore Roma, dedicó d edicó su vida a esta causa y traduj o del griego al latín tanto a Euclides

occidental, considerada una guía del pensamiento

comoo a Ptolomeo. com Ptolomeo. Boecio se consideraba consider aba seguidor seguid or de

racional durante la era del Oscurantismo.

Platón además de cristiano, y siguiendo el espíritu de

En el Oriente cristiano, Bizancio siguió siendo un baluarte de la civilización griega durante los

la tradición platónica, escribió tratados que asociaban la geometría con la teoría musical y la astronomía, y que contenían contenían disertaciones sobre los sólidos s ólidos regula

siglos posteriores. posteriores . La ciencia y literatura clásicas

res. Sus opiniones filosóficas filosófic as se convi convirtieron rtieron en una

barbarie de Occidente, Occidente, el listón list ón de la alfabetización

de las principales influencias i nfluencias de la iglesia medieval

 y la matemática básica básic a se mantuvo alto alto en el Oriente.

se siguieron siguiero n enseñando y, en comparación con la

LA CUSTODIA BIZANTINA E ISLÁMICA DEL CONOCIMIENTO GRIEGO CLÁSICO

 

DERECHA: el mundo islámico heredó y amplió los conocimient conocimientos os  y las técnicas de fuentes griegas clásicas y tardías. En esta ilustración de un manuscri

x7

to otomano, un astrónomo calcula la posición de un astro con la ayuda de un astrolabio esférico  y un cuadrante. cuadrante. Los sabios islá micos realizaron avances basándose en este conoci miento científico,  y posteriormente posteriorm ente lo transmitie ron a la Europa cristiana, donde contribuyó en gran manera al desarrollo de la ciencia y la tecno logia europeas.

18

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

del mundo mun do ». El Imperio bizantino, bizantino, aunque perd perduró uró más de un milenio, se vio amenazado con frecuencia por fuerzas fuerzas externas: latinos, persas, diversas tribus bárbaras y más tarde el Islam. El extraordinario auge auge del Islam en el siglo vin ya había despojado a Bizancio de grandes grandes extensiones de su territorio, pero esa

incursión inicialmente inicialme nte nómada pronto se convirtió en una formidable entidad cultural competidora. Las primeras conquistas de gran parte del Oriente Medio bizantino bizan tino abrieron a brieron las puertas a los los m musulmanes usulmanes a un mundo de cultura y riqueza casi equivalente a una se gunda Revelación, lo que supuso un enorme impacto en su propio desarrollo como civilización. El Islam se fue extendiendo por la inmensa zona zona geográfica geográfica que ^^^v¿X>*^p-L»A.^k)(¿iA^; ^^^v¿X>*^p-L»A .^k)(¿iA^; ),?y*)! ) ,?y*)!

 „

J  *¿%«y ^ü ^üjy jyla lat!t! J U s i l ií M í l j, y o )

 Alejandro  Aleja ndro había conquistado un m milenio ilenio antes.

l i i ’.iJ ^ ít ^ U

^‘V. ‘V.jM jM AA-s-a s-a^O ^O^1 ^1  / 

Guando los conquistadores musulmanes tuvieron qu quee administrar adm inistrar su vasto imperio, se dirigieron dirigier on a las fuentes griegas para todo tipo de conocimientos.

 AR RI RIBA BA : diagrama oftalmológico del siglo xm xm que muestra la anatomía del ojo; de un manuscrito del médico árabe Hunayn Ibn Ishaq. Los oftalmólogos gozaban de gran prestigio en la sociedad islámica medieval y habían desarrollado desarrollado una sofisticada variedad de instrumentos quirúrgicos. quirúrgicos.

La urgente necesidad de los recursos que solo una elevada cultura podía suministrar desembocó en el establecimiento de un movimiento de traducciones traducciones musulmán patrocinado por el estado (véase el recua

Los Elementos  de Euclides siguió siendo un texto texto bá

dro de la pág. 21), y en un entusiasmo por los textos

sico familiar, conservando sus asociaciones metafí

clásicos disponibles que perduró en el tiempo.

sicas platónicas, pero estas, junto con otras filosofías

Se creó un ambiente en el que se fomentaba la

clásicas, fueron incorporadas a un marco marco cristiano.

erudición y el conocimiento clásico se absorbía

En ese contexto, la geometría se consideraba un

como una esponja, dando paso a un profundo

modo de alcanzar una mayor comprensión de Dios.

despertar cultural que en la segunda mitad del

Los bizantinos, bizantinos, siguiendo siguiendo la temprana corriente cristiana neoplatónica, neoplatónica, se interesab an más por temas

siglo VI H llevó a la traducción al árabe del corpus principall de las obras griegas médicas y científicas principa

como la relación de lo divino con el mundo físico que

que habían sobrevivido (incluyendo las de Platón,

por la propia ciencia. Durante esa época, pocas cosas

 Aristóte  Aris tóteles, les, Galeno, Euclides Eu clides,, Arquímed Arqu ímedes es y Pto-

originales se añadieron a los aspectos técnicos técnicos de los

lomeo). La inmensa inmen sa transmisión transmisi ón de conocimiento conocimiento

textos más antiguos, pero al menos estos se conser

a este nuevo contexto cultural, seguro de sí mismo,

 varon.. Constantinopla  varon Constantinop la adquirió adquiri ó fama fam a por sus eru e ru

produjo un efecto catalizador que generó un interés

ditos humanistas, considerados los «bibliotecarios

genuino por los temas científicos. científicos.

LA CUSTODIA BIZANTINA BIZANTI NA E ISLÁMICA ISLÁ MICA DEL CONOCIMIENT CONOCIMIENTO O GRIEGO CLÁSICO

19

 

En un principio prin cipio hubo hubo una continuación de las las matemát matemáticas icas —y tambié tam bién n en geometrí geom etría— a—,, óptica tradiciones griegas de estudio, estudio, pero pronto sur su r  y medicina, conocimientos que que se disemina disemin a gió una ciencia islámica independiente, independie nte, plena ron por todo el mundo islámico, incluyendo la de conñanza en sí misma, que produjo críticas lejana España. La conservación, adaptación y  válidas y ampliaciones originales de ese antig antiguo uo subsiguiente transmisión transmis ión de ese legado legado clásico, clásico, saber. Gracias a este resurgimiento intelectual  junto con el de de Bizancio, Bizancio, iba a tener enormes islámico se llevaron a cabo grandes avances en consecuencias para la ciencia occidental.

consecuencias para la ciencia occidental. IZQUIERDA: IZQUIER DA: gran parte del Corpus Corpus matemático matemático £ tradujo al árabe, empezando en el segundo siglo islámico; una página del manuscrito de los Elementos de Euclides por Hunayn Ibn Ishaq. Este famoso médico y traductor residió en la Casa de la sabiduría del Bagdad abasí, durante la Edad de Oro de la ciencia árabe.

« = > <   r r n i Y °°

•

 M  ‘ jcfiv-v y» - \ > ¡ / ; • i > ->it vi7 vi7Vi' r T>l *’  '• tm \¿- T¿k\/  T¿k\/   ' i

IZQUIERDA: el teorema de Pitágoras, de la Proposición Proposi ción 4,7 del Libro I de los Elementos  de Euclides, en un manuscrito bizantino.

(%,rrr (% ,rrr r

IZQUIERDA: la misma página de Euclides, con la demostración del teorema de Pitágoras Pitágo ras («el área cuadrado de la del hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos»), en una traducción árabe.

20

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

LA CASA DE LA SABIDURÍA  En el año 763, el calif califato ato abasí islá mico gobernaba un imperio que se extendía del norte de Africa hasta la frontera con China; su nueva capital

era Bagdad, en Iraq. Durante esa época, el segundo siglo islámico, se empezaron a dar cuenta del inmenso  valo r del sabe s aberr griego, grieg o, ppers ers a e indio indi o al que ahora tenían a cceso gracias a la conquista conquis ta de sus territorios. La a dqui sición de ese conocimiento pasó a ser fundamental para la administración del imperio. El quinto califa abasí, Harun al-Rashid, fundó una escue escuela la de traductores, adonde se empezaron a llevar manuscritos originales de todas las fuentes disponibles. Su hijo, al-Ma'mun , demostró ser incluso más entusiasta dándole al trabajo de tra ducción, en especial de obras griegas científicas y filosóficas, filosóficas, carácter in s titucional en la Bayi al-Hihma (Casa al-Hihma (Casa de la sabiduría). La apreciación y el apetito por el conocimiento clásico era tal, que para finales del d el siglo K la literatura científica de los griegos al completo se encontraba disponible en buenas traducciones árabes. Con el tiempo, laBayt al-Hikma se al-Hikma se convirtió en un centro educativo y de investigación, y sus estudiosos pronto hicieron originales aportaciones pro  AR  ARRIB RIB A: ilustración ilustra ción que muestra el método de calcular los eclipses solares y lunares; de Las maravillas de la creación,  creación,  del astrónomo y geógrafo persa del siglo XIII Zakariya al-Qazwini. La astro nomía islámica se basaba basaba principalm en te en fuentes griegas clásico-tardias, pero también incorporó conocimientos conocimientos

astronómicos persas e indios. De forma general se aceptaba la visión geocén trica de Ptolomeo sobre el universo, que se convirtió en la base de su propia tradición astronómica, aunque los los er eru u ditos islámicos hicieron correcciones significativas a este sistema.

pias en campos como la astronomía, la óptica, el álgebra y la trigonom e tría. Fue así como el pensamiento griego no solo se conservó, sino que se amplió y progresó e n su nuevo marco islámico.

LA CUSTODIA BIZANTINA E ISLÁMICA DEL CONOCIMIENTO GRIEGO CLÁSICO

 

PERDIDA Y RECUPERACION RECU PERACION PARCI PARCIAL AL

21

uando en el siglo iv el emperador romano Cons tantino trasladó la capital cap ital de Roma a Constanti-

G

de fronteras, no se prestaban en absoluto al desa rrollo cultural. Entre lo que quedaba de una clase

nopla, el centro de gravedad intelectual se desplaz desplazóó

intelectual no existía mucho más que una sensación

hacia el este. Las divisiones entre las dos mitades separadas del Imperio romano se exacerbaron con la

de pérdida y de nostalgia por el saber y las artes del pasadoo clásico, y los vínculos con ese glorioso pasado pasad

caída en el siglo v de los territorios occidenta occidentales les en

se fueron haciendo cada vez más tenues.

manos de las las tribus bárbaras. La separación polí po lí

Uno de los pocos textos de esta era del Oscuran

tica y teológica entre el Oriente de habla griega y el

tismo que se conservan co nservan es la traducción parcial que

Occidente de habla latina se fue incrementando con

Calcidio hizo del Timeo, donde Platón exponía sus

el paso de los siglos. Oriente consiguió retener su

ideas cosmológicas y relataba el mito de la civiliza

impor tancia cultural y comercial; su capital, Constan importancia tinopla, siguió siendo un centro estratégico funda

ción perdida de la Atlántida. Esta obra, junto con el comentario de Calcidio sobre la misma, fue la única

mental, pero tras la disolución del imperio occidental

 versión  vers ión que estuvo disponi di sponible ble pa para ra los est estudi udio o

su vida cultural entró en declive. Las conmociones

sos occidentales de cualquiera de los diálogos de

que Europa occidental experimentó entre los siglos v

Platón durante casi 800 años. En el siglo x i i , los

 y viii, viii, con sus constantes fl flujos ujos mig migratorios ratorios y cambios

eruditos franceses hicieron resurgir el interés por

DERECHA; ilustración del siglo  XIV de una mujer, probablemente como personiñcación personiñc ación de la

IZQUIERDA: ilustración de la traducción traducció n del si  glo Xlll de Gerardo de Cremona del

geometría como una de las artes liberales, enseñando geometría a unos estudiantes. Es de una versión de los  de Euclides Elementos de Elementos del siglo xiv traducida originalmente por  Adelardo de Batía Batía en el siglo XII a partir de un original árabe.

tratado sobre me dicina de al-Razi, un médico y po lifacético erudito persa del siglo IX.

??

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA  GEOMETRÍA 

 

IZQUIERDA:  versió n medieval en latín del Timeo de Platón. Derivado de la traducción traducc ión orig i nal del siglo IV del filósofo Calcidio, este es el único ejemplo de los diálogos de

Platón que siempre estuvo estuvo disponible en la Europa medieval.

ese comentario, que incluía algunas observaciones

Como resultado de las tentativas relaciones

astronómicas griegas. Durante esos tiempos difíciles se produjeron

comerciales que Venecia estableció con el Imperio bizantino, por esa época se establecieron establecie ron nuevos

otros intentos por recuperar el conocimiento clásico, entre los que cabe destacar el de Boecio (h. 480-

contactos conta ctos entre Europa occidental y el mundo mundo orien or ien tal de habla griega. griega. Jacobo de Venecia, un estudio estud io

524/535 d. C.). Este aristócrata romano, a quien se atribuye la acuñación del término qaadñvium qaadñvium,,

so veneciano, aprendió el griego suficiente para

tradujo del griego griego al latín una serie de libros lib ros sobre temas matemáticos*, pero su ambición ambic ión de traducir

de Aristóteles. Aristóteles . Sobre la misma época, el emperador emperador bizantino donó un ejemplar del d el Almage  de Ptolo Almagesto sto de

las obras de Platón y Aristóteles Aristót eles se vio vio frustrada

meo al rey rey de Sicilia, donde fue fue posible traducirlo

cuandoo se malogró la relación con sus amos os  cuand

gracias a que todavía se hablaba un poco de griego en

trogodos. Por desgracia, no hubo más intentos de traducción durante cinco siglos.

la región. El E l conocimiento del saber clásico seguía siendo limitado, pero pronto iba a llegar mucho más

emprender la prim era traducción al latín de laFísica la Física  

Durante ese largo período de tiempo, cada vez

allá gracias a los diversos puntos de contacto que el

quedaban menos personas person as en Occidente con conoci

Occidente Occiden te cristiano mantuvo mantuvo con su rival islámico,

miento de la lengua griega. Pero, gracias a las condi

culturalmente superior (véanse (véanse las  las págs. págs. siguientes).

ciones más estables del siglo xi i , se inició un pequeño filón de traducciones importantes del griego al latín que hizo que el saber antiguo reapareciera.

“"Curiosamente, "Curiosamente, el inventario de la biblioteca de Regiomontano registra ejemplares de la Aritmética y Música de Boecio (véase lapág. 55).

PÉRDIDA Y RECUPERACIÓN PARCIAL

 

LOS PRIMEROS TRADUCTORES

?3

urante los primeros años de la Edad Media el mundo islámico era muy superior en los cam

D

 versi ones en latín de traducc  versiones traducciones iones árabes de or origin igina a les griegos.

pos de la ciencia y la medicina si se lo compara con

Uno de los eruditos y traductores traductores más impo importan rtan

la Europa occide occidental, ntal, donde la vida intelectua intelectuall había

tes fue Gerardo de Cremona (1114,-1187). A mediados

estado en declive durante varios siglos. Pero hacia

del siglo xii viajó a Toledo, donde ap aprendió rendió árabe

el siglo xii los estudiosos occidentales iban sabiendo

para poder consultar las numerosas bibliotecas que que

cada vez más sobre el conocimiento islámico de los

allí se encontraban. En el siglo Xii España y Sicilia, durante mucho tiempo bajo dominio musulmán,

clásicos, y una serie de entusiastas entusiastas y decididos erudi erudi  tos fueron en pos del mismo. Para los cristiano cristianoss fue más fácil encontrar

tenían gobernantes cristianos pero mantenían bas tantes poblaciones de habla árabe, lo que facilitaba la

traducciones de obras griegas tras la conquista de Toledo en 1085. Ese fue un momento crucial para el

traducción. Gerardo dedicó su vida a traducir al latín importantes obras clásicas y sus comentarios árabes;

desarrollo de la ciencia en la Europa occidental. Bajo

se le atribuye el asombroso número de ochenta y

el dominio del califato, Toledo había goza gozado do de una era dorada, dorada, famosa por su tolerancia y por la coexis coexi s

siete traducciones. Roberto de Ghester, otro monje, también viajó a España, donde llevó a cabo una

tencia de sus habitantes habitantes judíos, cristianos y musul

recopilación de obras de fuentes árabes que, durante

manes. Tras su caída ante el rey cristiano Alfonso VI,

el siglo siguiente, utilizó el matemático y astrónomo

consiguió sobrevivir sobrev ivir como centr centroo de intercambio

Campanus de Novara (1320-1296) para reunir una  versión  vers ión razonable en latín de los Elementos de Eucli

cultural, alberg cultural, albergando ando numerosas escuelas de traduc tores que atraían a eruditos de diversas partes de la

des, un volumen que se convirtió en la versión versió n más

Europa occidental. Sicilia era otro punto importante de contacto con la cultura islámica, islámic a, y las Cruzad Cruzadas, as,

frecuentemente empleada hasta el siglo xvi.  Adelardo de Bath ((10 10 8 0 -1 -115 15 0 ) viajó v iajó po porr Francia,

a pesar de su brutalidad, también dieron a conocer

Italia y el mundo islámico, y se le conoce por haber

los valores más elevados y civilizados del mundo islámico. De h hecho, echo, uno de los los princ principales ipales estímulos para el avance científico y cultural de la época eran

sabido recoger conocimientos de cada una de las

los contactos personales con la tradición tradici ón islámica.

entre ellas las de al-Khwarizmi, y se cree que fue uno

Esos intercambios dieron como fr fruto uto importantes

de los primeros en introducir introdu cir el sistema numérico

24

escuelas de saber de esas regiones. Tradujo muchas obras matemáticas importantes del árabe al latín,

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETR GEOMETRÍA  ÍA 

 

indoarábigo en Europa, aunque por esa época no se adoptó de forma forma general. El mérito de la popularización de ese sistema se suele atribuir a Leonardo de Pisa, conocido como Fibona^ci (1170-1250), quien lo descubrió durante

Otros muchos estudiosos notables realizaron va liosas aportaciones individuales al resurgimiento del clasicismo en los siglos anteriores al Renacimiento, entre ellos Constantino el Africano, Jacobo de Vene

sus propios viajes por el norte del Africa Afric a islámica,

cia y Guillermo de Moerbeke.Pero la sospecha soste nida durante durante tiempo tiempo sobre las ideas «paga «p aganas» nas» y la

donde reconoció su utilidad y publicó sus hallazgos en un libro titulado Líbe Líberr abad  aba d  (Libro  (Libro del ábaco) en

observancia de la iglesia de un escolasticismo formal solo se superaron gradualmente. El paso a una mayor

el año 1202- Ese novedoso sistema numérico, junto con los avanzados métodos de cálculo cálculo que presentaba presen taba este libro, tuvieron un profundo profundo impacto impacto en el pen p en samiento europeo y en sus prácticas de negocio.

receptividad y a toda una serie de nuevas y revitalizadas ideas quedó reflejado tanto en las ciencias como en las artes de Europa occidental, sobre todo en Italia, en el llamado «Protorrenacimiento».

LA CULTURA DE LA ANTIGÜEDAD Y LOS COSMAT COSMATII ció en Europa occidental en el siglo

Rávena y Sicilia y la obra de artesanos musulmanes, también en Sicilia.

abrió el camino a cierto cierto resu rgi miento cultural y económico durante

Los Cosmati eran escultores y arquitectos por derecho propio, y

el siglo xii. xii. En Roma la dirección

también participaron en el rescate de

natural de ese ren acer apuntó a la

material antiguo de los monumentos

El período de paz relativa que que se i ni   XI

recuperación de la cultura de la la An 

 ARRIBA:  ARRIB A: pavim paviment entoo de mosai mosaico co cosm cosmate atesco sco.. clásicos romanos (muchas escultu

tigüedad, tigüe dad, y se empren dió un programa de reconstrucción

ras antiguas que hoy día están expuestas en los m useos

con la ambición de restaurar la Roma cristiana al nivel

todavía Uevan su marca). Roma y alrededore s fueron el

anterior de su pasado pagano. A pesar del respaldo de los

principa l centro de producciones cosm atescas, donde

pontíñces, quienes realizaron auténticos esfuerzos por conseguirlo fueron los hábiles artesanos de los gremios

aún se ven much as, pero los Cosmati también recibieron encargos de pavimentos desde la Toscanay Campaniay

 y taller tal leres es que q ue se s e había ha bía n establ es tablecid ecidoo e ntr e las rui ruina nass d dee la

trabajaron en la lejana Inglaterra, donde crearon com ple

ciudad antigua antigua.. E ntre las diversas fam ilias que traba

 jos pav pavime ime nto ntoss para pa ra la abadía abadí a de We stminst stm inster er y la cate dral

 jab an el márm m ármol ol hay ha y que dest d estacar acar a los Co sma ti. Estos, Esto s,

de Canterbury, que todavía se conservan. Esta maravillosa

como artistas y artesanos, se tomaban muy en serio sus proyectos, estudiando los ed iñcios en ruinas de la antigua

tradición floreció en Roma hasta la la partida del papado papado ha

Roma que les rodeaban y descubriendo técn icas propias para la realización de complejos pavimentos de m osaico y

se siguieron elaborando h asta el Alto Renacimiento.

otros motivos de decoración arquitectónica. Había otros

pavimentos de mosaico cosmatescos, que se pueden ob

ejemplos además de los de Roma para su investigación,

servar en muchas de sus pinturas, como en el Pentecostés 

entre eUos los bonitos mosaicos de tradición bizantina de

de Giotto di Bondone y Los embajadores de Hans Holbein.

cia Aviñón en i 3 o 5 , pero sus suelos de marmorari romani  Los artistas del Renacimiento eran aficionados a los los

LOS PRIMEROS TRADUCTORES

 

E L NEOPLAT NEOPLATONIS ONISMO MO Y SU IN IN FLUEN FLU ENCIA  CIA   EN EL ARTE MEDIEVAL EUROPEO

n un principio se siguió enseñando el platonis mo en Atenas durante la época romana, aunque posteriormente entró en declive. A principios del

E

sia, como como Clemente y Orígenes (ambos de Alejan Ale jan dría) , intentaron hacerse con el poder de este legado

siglo v, la Academia fue restablecid res tablecidaa por los neopla-

platónico y alejarlo al ejarlo de los filósofos filósofo s paganos, pero fue san Agustín quien finalmente lo vinculó con el cristia cris tia

tónicos, un grupo de filósofos que se consideraban

nismo. La escuela neoplatónica neoplatónica de Alejandría pervivió

sucesores directos de una tradición que se remontaba

hasta las conquistas islámicas islámica s del siglo Vil Vil,, y demostró

a Platón, Platón, aunque de dudosa continuidad continuidad real. El tér té r

ser un fermento para el pensamiento musulmán igual igual

mino neoplatónico es relativamente moderno, y aun que sus seguidores claramente se mantuvieron ma ntuvieron en la tradición racionalista griega, tenían la mirada puesta puesta

que lo había sido para las creencias c reencias cristianas.

en los aspectos más espirituales del platonismo. Creían que el alma racional podía obtener conoci

En algún momento momento entre 1135 11 35 y 11 1144 44 , el abad abad Suger Suger inició la reconstrucción de la basílica de Saint-Denis Saint-D enis

miento directo del reino de las formas form as platónico, y en

(San Dionisio) cerca de París, una obra maestra que

general su objetivo era escapar del mundo en lugar de

actualmen actua lmente te se considera c onsidera el origen de un estilo ar

implicarse en él. Era una forma de religión personal  y muy cerebral, sin si n plegarias, ritos ni celebración celebr ación co

quitectónico llamado gótico. Por suerte, las ideas que llevaron a Suger a emprender este ambicioso proyec

munitaria. A pesar de ello, numerosos aspectos de su enseñanza, en especial los de la purificación interior,

to están perfectamente presentadas en dos relatos autobiográficos que se han conservado. Resulta evi

se incorporaron incorp oraron a la teología cristiana cristia na más tarde.

dente que el abad estaba profundamente influido por

El primero en desarrollar des arrollar la filosofía neoplatónica fue Plotino de Alejandría, descrito por un contem poráneo como como «sintiend «sin tiendoo vergüenza de de existir en un cuerpo». cuerp o». En su opinión, el auténtico auténtico yo pertenece al

LA TEORÍA DE LA LUZ DEL ABAD SUGER

un autor anterior, el cristiano neoplatónico Dionisio  Areopagit a (véase el recuadro de la pág. 27). Inspira  Areopagita do por las ideas neoplatónicas de Dionisio, el abad

Esto se convirtió en una una filosofía de enorme influencia

Suger desarrolló una filosofía arquitectónica arquitectónica cono cida como anagogicus mos, «el método que conduce hacia arriba». arriba ». Es decir, el edificio de la iglesia debía

en el mundo helénico, y con el tiempo el neoplato neopl ato

reflejar reflej ar nociones de un universo universo ascendente, imbui im bui

nismo influyó en muchos de los los primeros primer os pensadores

do de luz; luz; «l «laa obra debería iluminar ilum inar noblemente sus

cristianos. Algunos de los primeros padres pa dres de la igle

corazones para que puedan alcanzar al canzar la única y verdaverda -

intelecto, que es eterno e independiente del cuerpo.

36

LA BELLEZA BELLEZ A DIVINA DIVIN A DE LA GEOMETRÍA 

 

der aluz ». Por eso los rosetones deraluz rosetones siempre ocupaban ocupaban un lugar preferente en la arquitectura gótica: gótica: el objetivo objetivo pasó a ser la realización del mayor número posible po sible técnicamente, y del mayor tamaño. tamaño. Su propósito era despertar en el visitante el deseo de pasar « de lo material a lo inmaterial», ofreciendo un anticipo del Cielo. En palabras del abad Suger, Suger, «L «Laa mente opaca

asciende hacia la luz mediante lo material, y al ver esta lu luzz resucita resucita de su anterior anterior sum ersión». ersió n». Los vitrales de colores se venían utilizando con moderación en las iglesias románicas desde el siglo xi, xi, pero las innovaciones innovac iones góticas de las bóvedas de crucería y los arbotantes arbotantes ofrecieron o frecieron la posibili posib ili dad de rosetones de mayor tamaño y cada vez más luminosos. La forma, que apareció por vez primera en la basílica de Saint-Denis de Suger, se deriva de un

 ARRIB  AR RIB A: rosetón de la catedral catedral de de Chartres, Chartres, expresión definitiva de la filosofía neoplatónica del anagogicus mos del abad Suger.

estilo de ventana anterior denominado «la rueda de expresa un gran interés interés por los centros centros incognosci incog nosci

la fortuna», pero la impresión que se obtiene obtiene de un rosetón es totalmente distinta. Mientras M ientras que la rueda

bles de círculos y esferas. Los rosetones, como pieza

alude al cambio constante, para bien y para mal, la rosa, especialmente cuando estalla de color, ofrece

central de la visión neoplatónica de Suger, fueron adoptados muy pronto por los constructores de cate

trascendencia. Es posible po sible que también fuera una

drales de todo todo el norte de Francia, y el formato rápi ráp i damente damen te llegó a Inglaterra, Italia, España Españ a y Alemania.

referencia consciente a Plotino, que en sus Enéadas

DIONISIO DIONIS IO AREO PAGITA  Dionisio fue un neoplatónico cristiano de finales del siglo V ; es posible que fuera un discípulo de Proclo, residente en Constantinopla. Su logro fue reinterpretar el canon completo del pensamiento pagano neoplató

En el siglo IX, Jua  Juan n Es Esco coto to Eri Eriúg úgen enaa tradu tradujo jo al latín latín la obra de este autor anónimo. Aunque básicamente se tra ta de una falsificación, tuvo una enorme influencia sobre la cristiandad crist iandad mística del período perí odo medieval, y de hecho se convirtió en un clásico de la espiritualidad occidental.

nico enunnuevo enunnuev o orden cristiano. Dionisio, conocido conocido actualmente como Pseudo Dionisio, no pretendió ser un innovador, sino simplemente el comunicador de una tradición. Sus tratados teológicos, aunque muy influyen tes, resultan engañosos puesto que se presentan como provenientes del Dionisio Areopagita Areopagita bíblico, bíbli co, discípulo de san Pablo.

Dionisio destacó la trascendencia de Dios y la imposi bilidad de aprehender su esencia con solo el lenguaje, aunque aunq ue en su propio escrito emplea elocuentes el ocuentes imágenes poéticas y una exposición imaginativa de las ideas. Su teología era «negativa», en el sentido de que tendía a afirmar únicamente lo que Dios no podía ser, un enfoque que tuvo tuvo mucha aceptación aceptación en los siglos posteriores. post eriores.

EL NEOPLATONISMO Y SU INFLUENCIA EN EL ARTE MEDIEVAL EUROPEO

 

EL NEOPLATONISMO Y SU INFLUENCIA   EN EL ARTE ISLÁMICO

27

ara cuando los eruditos musulmanes se encon traron con el pensamiento griego, hacía ya tiem tiem  po que las ideas neoplatónicas ejercían ejercía n una poderosa

P

 y después material, poseían poseía n un atractivo especial para ciertos místicos islámicos (sufís). Esos con

influencia en el Oriente Medio. Eso significó que los

ser humano lograra, desarrollando el conocimiento

primeros primer os encuentros islámicos con la filosofía griega

interior apropiado, ascender asce nder mediante estadios estadios sucesivos de conciencia material y espiritual hasta la

tendieron tendier on a ser vistos a través través de la lente, por así decirlo, de esas doctrinas posteriores. pos teriores. Con el tiempo los estudiosos musulmanes pudieron acceder al material original y discriminar discrimi nar y formar sus propias propias

ceptos religiosos ofrecían la posibilidad posibilid ad de que el

 vis ión final  visión fi nal y beatífica de Alá. Esas Es as ideas id eas eran er an cues cue s tionadas, sobre todo por quienes sostenían creencias más ortodoxas, ortodoxas, en especial por lo que se refiere refie re a llos os

 vision  vis iones es de las filosofías filosof ías griegas. grie gas. Gracias a su compa

aspectos emanacionistas del neoplatonismo, que

tibilidad con las creencias islámicas, el platonismo platonismo —y también tambi én el neoplatonismo—cobró neoplaton ismo—cobró popularidad. popularid ad.

se consideraba que chocaban con la doctrina corá nica.. Ap esar nica es ar de ello, el pensamiento neoplatónic neoplatónicoo

El concepto platónico de que lo auténticamente bello

quedóó integrado en qued e n la corriente teológica islámica,

no se podía transmitir transm itir por ningún tipo tipo de represen repr esen tación o imaginación, de que debería expresar como

en especial gracias a la influyente figura de Ibn Sina, conocido en Occidente como Avicena.

mínimo parte de la cualidad de las Formas de Platón,

Es de lamentar que no existan relatos biográficos

parecía resonar con las emergentes preferencias

de arquitectos de los períodos formativos del arte y la

estéticas musulmanas. musulmanas. Es imposible im posible determinar

arquitectura arquitectu ra islámicos, por no hablar de los mismos

con cierto grado de precisión cómo las nociones

artesanos, y no es de extrañar que estos últimos

platónicas sobre la belleza belleza trascendente influye influ ye

dejaran muy pocos documentos describiendo sus

ron sobre las expresiones del arte y la arquitectura

prácticas de trabajo. Como resultado de todo ello,

islámicas. Pero la preocupación de esta última por la

no existen indicios que apunten a si sus métodos estaban influidos influidos por alguna teoría teoría general. Los pa

simetría, la geometría, geometría, el espacio, la luz luz y la la d isolu ción de la forma forma material, presentes prese ntes incluso en las más tempranas expresiones artísticas, posee un eco

trones geométricos, los arabescos y la caligrafía, que que

claramente platónico. Las nociones neoplatónicas de que el universo

generalmente provenían de las tradiciones de los talleres y se transmitían de generación en genera

emanó de Dios en etapas de manifestación espiritual

ción. Las reglas no escritas de ese canon decorativo

? 8 

tan destacado papel han desempeñado en ese arte,

LA BELLEZA DIVINA DE LA GEOMETRÍA 

 

* « * y W V W y 0  * % '

.< > :v S í ? S o :o .

Ornamento decorativo geométrico, la expresión más consumada del arte islámico. ILUSTRACIÓN SUPERIOR: complejo minbar  (pulpito (pul pito)) de madera nob noble le y marfil, Egipto Egipto.. AR ARRIRA RIRA : incrus tación de mármol de la tumba de Itimud ad-Daula, Agrá, India. DERECHA: panel de mosaico cerámico de Fez, Marruecos.

 í í i ' á v A ' í J S i '

 y las habilidades habilida des precisa pr ecisass para crearlo crea rlo serían se rían como

excelencia. Un tema aparte, y seguramente imposible

una segunda naturaleza para los artistas y artesanos,

de llegar a determinar, es llegar a conocer cómo se

 y probablemente probab lemente constituían constitu ían en muchos casos un

llegaron a transmitir exactamente exactamente estas especulacio nes filosóficas originales y nobles al nivel artesanal

secretoo profesional. secret de pensamiento implicaba la asociación de formas

de la sociedad. En el pensamiento islámico posterior se produ

ideales y belleza, belleza, y se interesaba principalmente principalme nte por la pureza de las formas geométricas como expresión

 jer on numeros  jeron nu merosos os y conscientes intentos de eliminar elimin ar la influencia de filosofías clásicas tempranas y poste poste 

de tales conceptos. Todo ello tuvo una influencia

riores a ffavor avor de opiniones religiosas más ortodoxas. ortodoxas.

muy importante en los temas conceptuales del arte

Pero esa primera prime ra confluencia de ideas, en especial la

islámico. Con su geometría pura, jugando jugando pperpetua erpetua

asociación de la geometría con la belleza belleza trascenden trasce nden

mente con su danza simétrica en el contexto del pla

te, siguió ejerciendo una influencia in fluencia sobre gran parte parte

no euclidiano, este género parece ser platónico por

de su arte.

El concepto central de la corriente platónica

EL NEOPLATO NEOPLATONISMO NISMO Y SU INFLUEN INF LUENCIA CIA EN EL ARTE ISLÁMICO

29

 

NEOPLATONISMO EN EL PENSAMIENTO ISLÁMICO

medieval. mediev al. Entre ellos se cuentan Avicena (Ibn ( Ibn Sina),  Averroes  Aver roes (IbnRu (Ib nRushd shd ), al-R a l-R aziy az iy al-Tusi. al-Tus i. Pero en el

En algún momento del siglo ix apareció en el mundo

mundo islámico esa corriente de pensamiento un

islámico una obra filosófica anónima que estaba

tanto racionalista chocó con una reacción negativa...

destinada a ejercer una enorme influencia en el desarrollo de la filosofía islámica: elKalámf, mahd  

En el siglo  X I el mujaddid  o  o renovador de la fe

al-khair, también denominado Libro de las causas 

al-Ghazali, en su obra La incoherencia incoherencia de lo lossfilósofos filósof os, atacó ata có a toda toda la tradición filosófica fi losófica griega definiéndola

o Libro de la bondad pura.  La obra tenía un tono neo-

como como una forma forma de herejía y destacando los princi prin ci

platónico y se derivaba en gran parte de dos textos

pios emanacionistas del neoplatonismo como espe

neoplatónicos: los Elementos de teología de Proclo

cialmente incompatibles con los textos coránicos. coránicos.

 y  las Enéadas de Plotino. Esta obra fue influyente

 Aunque era una crítica críti ca filosófic filos óficaa rigurosa, riguros a, la obra de

porque apareció en un medio islámico que ya había

al-Ghazali supuso un giro giro importante para la ep epis is

absorbido gran parte del pensamiento de la filosofía

temología islámica, qne se alejaba del racionalismo.

clásica griega y estaba muy familiarizado con él. El matemá matemátic ticoo al-Kind i (8 01-8 73) fue el más más

Pero para esa época las actitudes filosóficas clásicas  ya habían había n sido bien bi en asimilad as imiladas as en la corriente corr iente pr prin in

importante de los filósofos islámicos tempranos y el primero en presentar prese ntar el neoplatonismo descrito en

bién por el propio al-Ghazali, que empleó empleó los mé mé 

el Libro de las causas  en términos términos puramente puramente islámi

todos dialécticos dialécticos clásicos para sus refutaciones. Los

cos. La versión cos. vers ión de al-Kind al-K indii del neoplatonismo hacía hincapié en la naturaleza naturaleza trascendente de Alá, pero el

preceptos neoplatónicos continuaron influenciando en la cultura cultura islámica de muchas y sutiles formas. El

autor se esforzó esforzó por destacar la compatibilidad entre

gran interés del arte islámico por los misterios m isterios de la

tradiciones filosóficas filosófica s más antiguas antiguas y los los precep prec ep

geometría puede puede consid erarse parte de ese legado

tos de la doctrina islámica ortodoxa. Su misión era

perdurable. No parece probable que las comple com ple

reconciliar sus respectivas cosmovisiones.

 jas ideas de los esquemas rel religio igiososo-filo filosóf sófico icoss del

cipal del pensamiento islámico, irónicamente tam

El neoplatonismo islámico alcanzó su apogeo con

neoplatonismo neoplatoni smo resultaran de interés para la mayoría

al-Farabi (873-950), (873- 950), quien desarroll desarrollóó una compleja compleja filosofía que unía el emanacionismo de Plotino con

de los artistas y artesanos artesanos musulmanes, pero se diría que que sus tradiciones artísticas habían habí an absorbido parte

los sistemas s istemas cosmológicos cosmológicos de Aristóteles y Ptolomeo. Ptolomeo.

de sus conceptos generales por una especie de osmo

El emanacionismo, estrechamente asociado con el

sis cultural. También hay que destacar que el flanco

neoplatonismo, neoplatonis mo, es un modelo modelo religioso-filosófico religioso-fi losófico

místico del Islam, el sufismo, estaba profundamente

según el cual todas las cosas se derivan o fluyen de

influido por el neoplatonismo. neoplatonismo. Muchas Muchas órdenes sufís

un Primer Prim er Principio, que en la esfera islámica se

compartían la idea ide a de que el ser se r humano era capaz, capaz,

identificaba de forma natural conAlá.

mediante el desarrollo de un conocimiento interior

Otros Otr os filósofos islámicos fueron fu eron influenciados

apropiado, de ascender mediante estadios sucesivos

por el neoplatonismo, neoplat onismo, por obras que a su vez tuvieron

de manifestación, primero material y después espi

una gran repercusión en el pensamiento euro europeo peo

ritual,, hasta la visión final ritual fina l de Alá.

3o

LA BELLEZA BELLE ZA DIVINA DE LA GEOMETRÍ GEOMETRÍA  A 

 

CIENCIA CIENC IA Y MATEMATICAS IS ISLAMI LAMICAS CAS

l movimiento de traducciones con sede en

gran respeto respeto por los logros científicos de eminen emin en

E

la Bayt al-Hikma de Bagdad (véase la pág. 21)

signiñcó que los logros griegos en los campos de

la ciencia, las matemáticas matemáticas y la filosofía quedaron

cias como Euclides, Arquímedes Arquím edes y Ptolomeo, y se consideraron los herederos de esa tradición. Incluso en el mundo islámico actual se hacen referencias a

Los musulmanes leyeron con entusiasmo las obras

 Aristó teles como «e l primer  Aristóteles pri mer ma maestro estro ».  Ya se han mencionado los significativos signific ativos avances

de Platón, Platón, Aristóteles y las escuelas ñlosóñcas que

realizados por los eruditos árabes basándose en el

los sucedieron (estoicos, neopitagóricos y neoplatónicos), nico s), y esas ideas tuvieron un impacto tan profun

conocimiento cientíñco griego que habían heredado; heredado; los del campo matemático son especialmente nota

do en el pensamiento teológico y político del mundo

bles. Esto se debe en parte a que los primeros erudi erud i

musulmán como como anteriormente lo habían tenido en

tos islámicos tam bién tuvieron acceso a tradiciones

el Occidente cristiano. Consideraron que gran parte de la filosofía tanto de Platón como de Aristóteles era compatible compatible con las creencias islámicas funda

matemáticas de otras culturas aparte de la griega, como las de Persia, Babilonia y la India.

mentales.. Los musulmanes también mostraron un mentales

ros puestos de la lista de innovaciones matemáticas

totalmente integrados en el conocimiento islámico.

El álgebra (al-jebr) aparece en uno de los prime pri me

__

_

fwjULtíMUIpi  f&tt  f&ttiS iSC Cvij 7-J

¡ J r J •?..

*»

Ir»*EKjUpH Ir»*E-

3 .J

i —1

_¿, IZfX-

..JM

»---- —«►

.

,j

1» 1»..

L¿oi;L¿>v)L. d!acur;8¿ in fphx rá nona quar fecúdum mobi mobile le nomi nominal nal d'ncótraria u" w“ w “ *U *UCTrba tia docentautforis docen tr ----ras ----noué -----—r~l -----------------------r ----------------------r — primos iíta:in fphjeras fphje fdlicet fphx ram nona qua:

rV—l ,..0* motu srfiuc w- y ^ .'1primum mo »iCT Bilc didtur. ^

ft ftdla dla^f ^fñfo ñfojji jji

Y/y0 . 7   jh'q ürm am écú l í ,—vi ,—vi  J

nunc nuncupaf: upaf:8£ 8£

rep repté térasíep fpha:rcpla/ / )■ )■' rasíeprcpla /' / A ,

...

IZQUIERDA: página de Tractatus de  de   del sphaera, del sphaera, escolástico  Johannes  Johann es de Sacrobosco.

medievales, es decir, de las primeras escuelas monásticas cristianas de la  Alt  Altaa Ed ad M edia edia.. Est e m movi ovimi mient entoo se inició a prin cipios del siglo xil y estuvo marcado por el intelectualismo y el redescubrimiento del saber clásico; entre otras revelaciones, esto signifi- . caba una nueva valoración de las obras de Aristóteles. Hacía ti tiempo empo que los los estudiosos conocían a Aristóteles, pero por entonces estaban aparecien do muchas más traducciones de su obra, entre ellas Sobre el cielo. Una cielo. Una de las principales tareas de los escolásti cos fue fue recon ciliar ese conocimiento con las doctrinas de la Iglesia, lo que

rcra^Qua/

r-%^1 111

U ! /

p^ y’/VVÉtiot s ís  / ' ^ ’/ tiotes es fccun/

  i—

 j

íí,j,

' n

mínus ac ccdunt ue l r c •-«■’-H ce du nr af ny i- *t4maméro.Yp ^ j W r í n t e r i llllas Chacra Sa/ tumi maxí/ y- - m macft.Sp acft.Sphsc hsc v '/* a   «roiun*^^

’ * lj>- / tifigucationccontinctur.. t —k_í k_í'' ph 'n£ 'n£ 7 j DiujGafecundun DiujGafecunduniacddcnsfph iacddcnsfphxrs. xrs. •r» l! '^V*‘ '^V*‘'S»*ecunduni 'S»*ecunduni acddcns a utemdi uiditur in fphxram r e' -••^'•gjñiSíobliquam.Illicnim dicúturhaberr fph fpharr arrarn arn - h  i'—S ^ ''J o fé ta m : qu quii manent fub xquino€bali:íi aliquis ib ibii ,'r inanercpoíTic.Ecdidcurrcd inanercpoíTic.Ecdidcurrcdaa quoniam quoniamneurerpolo/ neurerpolo/ 1—i1—i- ^ rT jT jn im magis magisalteroill alteroilliscIcua iscIcuarur.Vd rur.Vdquonia quoniamilloru millorum m " r j V h o rizón rizón inrcrf inrcrfcatxquinofluilem catxquinofluilem &interfearurab

L-r-C't) -xz. -/.■& -w......... E á1 Wxr'.- c$ & sa Jjflr a J ¿  í f  •*7 £>#' —**•*»* —**•*»* /— * - v — * 7* V*>r rr.fl+OÍ...  ^.¡J

 ¡ ¡rrM b i ' m

I Z   Í ' ; ' v

i-)

■;

dio como resultado la paradójica distinción de convertir a Aristóte les

convincentes. Este libro, que también

También produjo un texto titu titulado lado

en un pilar del dogma cristiano. De

se insp iraba en tra ducciones de astro -

Theorica Planetarum, que Planetarum, que presenta

cualquier modo, supuso un consenso

nomía árabe, se convirtió en materia

ba una detallada descripción de la

general entre los eruditos medievales

de lectura obligatoria para estudiantes

astronomía ptolemaica en latín. En

de que la Tierr a era esférica.

durante los cuatro siglos siguientes.

el mismo describe unequatorium, unequatorium,  

Gampanus de Novara (fall. 129 0)

un primitivo dispositivo astronó

Uno de los los eruditos más destaca dos de la temprana astronomía oc cidental fue Johannes de Sacrobosco

fue otra figura importante de la tem prana historia de la ciencia en Europa

mico para determinar la posición relativa del Sol, de la Luna y de los

(h. (h. 119 5-12 56 ). Sacro Sacrobosco bosco facilitó facilitó la

occidental. M atemático y astrónomo

planetas de forma mecánica, sin

introducción introducci ón en Europa del Almagesto   Almagesto 

de mediados del siglo x i i i , Campa

tener que realizar n ingún tipo de

de Ptolomeo y el evolucionado sistema

rais es conocido por su temprana

cálculo. Se sabe que Regiomontano

planetario de su Tractatus de sphaera  sphaera 

traducción d el árabe al latín de los

adquirió un ejemp lar de la Theorica Theorica  

(D (Dee la esfera del mundo ). ). E  E l Tracta

Elementos de Euclides, una versión Elementos de

en Viena.

tus presen tus presen taba la propuesta de una una

que se convirtió en libro de referen

Tierra esférica, aportando pruebas

cia durante más de tresciento s años.

EL COSMOS GEOMÉTRICO

 

ESFERASS CELEST ESFERA CELESTES ES Y GLOB GLOBOS OS TERRA TERRAQUEO QUEOSS La invención de la esfera armilar se atribuye al astró

 yeron allí, aunque ninguno de ellos se conserva, y su

nomo helenístico Eratóstenes de Alejandría, quien

conjunto de conocimientos pasó a Europa occidental.

calculó calcu ló la circunferen circ unferencia cia de la Tierra en el siglo II

El ejemplo más temprano que se conoce de un un

a. C. Su esfera armilar arm ilar y otras posteriores consistían

globo terráqueo en Europa es la versión construida

en una serie de anillos que representan represen tan la latitud y la

por Martin Behaim en Núremberg en 1492- Behaim, discípulo de Regiomontano, había viajado

longitud celestial, la eclípticayla equinoc cial, entre otras nociones,

mucho antes de asentarse en Nú

 y que forman un armazón en cuyo centro está situa da la Tierra. Se trataba

remberg, desde Portugal hasta el Africa occidental. Sus intentos por construir un

básicamente de un

mapamundi esférico se

astrolabio esférico,

 vieron  vier on frustrados frustrad os por

que indicaba el

la falta de conoci

movimiento de las

mientos geográficos.

estrellas alrededor

Por la misma época

de la Tierra. Luego

en que estaba ensa

este instrumento

 yando con su globo globo

fue adoptado y perfeccionado en el

terráqueo, Colón em prendía una travesía

mundo islámico. De

que cambiaría de forma

hecho, todo el sistema

radical y permanente la

ptolemaico, con su serie

percepción percep ción geográfica de todo

de esferas homocéntricasy homocéntr icasy una

el mundo.

Tierra esférica, había sido adoptado en

Colón nunca se dio cuenta de que la

su totalidad totalidad por los primeros ñlósofos y matemático matemáticoss islámicos y formó la base de sus propios estudios

tierra que había descubierto no era Asia sino un con

astronómicos. Mediante el uso de observatorios,

tinente nuevo, pero otros sí lo vieron, y las grandes zonas zon as vacías vacías del «globo «g lobo terrestre de Núremberg» Núremb erg» de

mucho más complejos que los del mundo clásico,

Behaim no tardaron en llenarse. llenarse. Hacia Hacia el año 1522, 152 2,

realizaron muchos descubrimientos relevantes en este campo. Pero, como ocurrió en Europa occidental

la forma esférica de la Tierra quedó demostrada más

hasta el Renacimiento, siguió imperando la teoría geocéntrica. De hecho, existió una continuidad de

que quedaba de la expedición de Magallanes en su

allá de cualquier duda, con el regreso a Sevilla de lo circunnavegación circunn avegación del mundo. m undo.

la tradición tradició n clásica tardía, aunque con numerosos e interesantes avances. Las técnicas de cartografía esférica y los primeros globos globos terráqueos se constru

58

 AR RIB A: dibujo de una esfera armilar armila r geocéntrica usa usado do por el jesuita alemán Christopher Chri stopher Clavius en la página del título título de su Tractatus de sphaera.

EL RESURGIMIENTO RESURGIMI ENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

 

Hacia el año 1580, el emprendedor Regnier Gemma Frisius (véase,la pág. pág. 44) ya fabricaba fabrica ba  juegos de globos terráqu ter ráqueos eos y celestes celes tes en su taller talle r

obra contenía un glosario de términos geográficos ge ográficos  y astronómico astr onómicos, s, entre en tre ellos ell os latitud, longitud, polos,  meridiano y eclipses, y gráficas descripciones de los

de Lovaina, junto con un libro que los acompañaba

nativos y de la flora de tierras tierra s lejanas, la mayoría de

con el título Sobre los principios de la astronomía.  Esta

ellas recién descubiertas.

 ARRIB  AR RIB A: globo celeste donde se observa^rg'o Navis, la constelación del hemisferio sur nombrada por la nave de Jasón y los lo s argonautas en su viaj e en busca del vellocino de oro. oro.

 ARR IBA : globo terráqueo de Martin Behaim, construido en Núremberg a principios de la década década de 1400 . Emplea los conceptos de latitud y longitud, que

eran parte del legado ptolemaico, pero incorpora todos los descubrimientos más recientes de las travesías del último período medieval.

EL COSMOS GEOMÉTRICO

59

 

LA ESFERA EMBLEMÁTICA  Sea cual sea su utilidad práctica, las esfera esferass astro astro

santos, en cuyo caso representábanla contemplación

nómicas de todo tipo siempre han h an tenido un valor

de los cielos.

emblemático significativo.. Las esferas armilares, en emblemático significativo

En el Renacimiento, en especial tras el descu

particular, parecen pare cen haber adquirido toda una serie

brimiento del Nuev Nuevoo Mundo, los globos celestes y

de significados significados simbólicos. Ap Apart artir ir de finales de la

terrestres representaron represe ntaron la universalidad, y por lo

Baja Edad Media, aparecen con frecuencia en retratos

general se encontraban por parejas, una tradición

de astrónomos, astrólogos y matemáticos, y se con

establecida por el polifacético erudito y construc

 virtieron  virti eron en el atributo reconocido de Astronomía,

la personificación del arte de la astronomía (o de Ura

tor de esferas Johannes Johann es Schóner. Para aquellos que podían costearlos, constituían preciados objetos

nia, su musa). En el caso concreto de los retratos de

de distinción, y también una muestra de su cultura y

gobernantes también se empleaban como referencia

de su predile predilección cción por el Humanismo Humanismo.. Por supuesto supuesto,,

a su poder terrenal, o en la descripción y emblemas de

los Médici poseían pos eían un gran número de ellos, y en 1535 el emperador Carlos V de Habsbur Habsburgo go encargó una pareja de globos, uno terrestre y otro celeste. La moda por estas esferas se extendió y, gracias al nuevo medio de la imprenta, resultaron más fáciles de conseguir en los siglos sig los xvi xvi y x v i i . Núremberg, con c on su tradición en cartografía, fabricación fabricació n de instrumentos  y edición, edic ión, se con convirtió virtió en el pri prime merr centro destacado de manufactura manufactura;; posteriormente, pos teriormente, esta especialización se trasladó a los Países Bajos. En La Cittá del Solé (La ciudad del sol), el sol), el trata do visionario y utópico que Tommaso Campanella escribió en 1602; 1602;,, el autor describe el interio in teriorr de su inmenso templo, situado en el centro de la ciudad: «No se ve nada sobre el altar aparte de una esfera gigantesca donde están pintados todos los cuerpos celestes, y otra que muestra todos todos los rinco rincones nes de la Tierr Ti erra» a».. Muchos, como Campanel Campanella, la, habían llegado llegado a asociar estas representaciones representac iones del Cielo y de la Tierra con una aspiración asp iración más general por un mayor conocimiento y comprensión compren sión del mun mundo. do.

 AR  ARRI RIBA BA:: ilustración ilus tración de una una esfera esfer a armilar usada para demostraciones; de Libro Libross del saber de astronomía de  Alfonso X el Sabio, rey de Castilla. Castilla.

60

EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

 

PIERO DELLA FRANCESCA 

 A 

unque más conocido como pintor, Piero

 un cuaderno sobre los cinco sólidos regularibus, un regularibus,

,della ,de lla Francesca Francesca (14 15- 14 9? ) también fu fuee

regulares; Tra Trattat ttatoo d ’abaco ’abaco,, que trata sobre álgebra y

un matemático matemático con un interés especial por la geo geo

la medición de polígonos y poliedros, y De prospec prospe c

metría que se fue incrementando con los años; de

tiva pingendi, un pingendi, un examen rriguroso iguroso de los problemas

hecho, el historiador Vasari le describió como « el

de la óptica y de la perspectiva. Ninguno de ellos se

más grande grande geómetr geómetraa de su época». Escribió tres

publicó durante su vida pero se guardaron en forma

obras sobre el tema: Libellus de quinqué corporibus

manuscrita en la biblioteca de su mecenas, el duque

 AR  ARRIB RIB A: detalle de Natividad  de  de Piero della Francesca.

PIERO DELLA FRANCESCA

 

61

de Urbino, donde había iniciado su estudio de las matemáticas clásicas. También se sabe que Piero poseía traducciones de la obra de Arquímedes y de Euclides. Por estar acostumbrado al método práctico de un pintor, muestra un interés espacial, así como matemático abstracto abst racto,, por los poliedros regulares y sem irregulares. Es muy probable que construyera modelos de

 AR RI RIBA BA : Flagelación de Crist Cristoo de Piero della Francesca, una obra enigmática que muestra el gran interés de los pintores por la perspectiva lineal y la proporcionali proporcionalidad dad geomét geométrica. rica. La división del cuadro mediante una prominente columna corintia, que se acerca a la sección aúrea del rectángulo que forma el cuadro, parece demarcar dos tiempos y lugares distintos. La parte izqui izquierda erda presenta la escena bíblica del tema principal; la derecha es contemporánea y posiblemente representa a miembros de la familia de su patrón, el duque Federico da Montefeltro.

estas ñguras ñguras para serv servirse irse de ellos en la medición y comparación de sus volúmenes respectivos. Por otra parte, Piero della Francesca fue el primero en dibujar d ibujar los sólidos sólidos platóni platónicos cos en per s pectiva. Además, se le reconoce la gran influencia

6?

EL RESURGIMIENTO RESURGI MIENTO DEL OCCIDENTE LATIN LATINO O

 

PIERO PIE RO Y ARQ UÍMEDES  A finale fin ale s de la

teoremas matemáticos que presentaban. El

década de 1450,

manuscrito, solo atribuido a Piero en época

Piero se encontró

reciente, compre nde och entay dos folios. EL cui

con varias traduc

dado y la delicadeza delicadeza con que dispon e las form as

ciones de obras

geométricas en su obra confirman que Vasari lo

de Arquímedes

describiera como como «u n gran geómetra».

que habían estado recorriendo los

Los tratados de esta antología son: Sobre 

la esferay el cilindro, Sob Sobre re la medida del círcu

círculos círcu los huma nis tas de las cortes

Piero della Francesca

italianas. Decidió transcribir uno de

lo, Sobre los conoides y los esferoides, Sobre  las espirales, Sobre el equilibrio de los pla nos, Sobre la cuadratura de la parábola  yy El contador de arena. Este volumen

esos manuscritos,

se conserva actualmente en la Bibliot e ca Riccardiana, situada en el Palacio Médici Riccardi de Florencia.

una recopilación de siete textos que habían sobrevivido,  y lo ilu stró str ó co n más de d dosc oscien ientos tos dibu jos r elativ ela tivos os a los

n r a i lo TÍCT ÍCT.i.ira ra plunüri-. ¿vricrutorum nwai : m*f cribar cri barur ur hr»*» recia re cia qwff e>-oi-nnibui e>-oi-nnibui ti ;< n \ \ t   e r r c u I c n p i E ' U r T r ib i b u r " i n n u l - m d - ir ir s

_

 ¿o í nnrn ■wfatPavaá'ii a ra»   ffcrtijn  ¿oí  nnrn \ - ' t t r ’A ’A

 *»»«" w -> íp « r v -  *

wwíhiAwí' 1^1 1^1;>» ;>»■■ dm nétUim   j»o|Vlié j»o tjt’H AJ >ri\y\0)rt iW W > ’íUf 7\ obcn-i  wmort’jJ. mA

 jt ^ u h u ta ' Po/lbv -ryiAiO A d rr\\OY-Z ¿¡hnn ¿¡ hnntAW tAWV  V  

ii-| |

i.nhV  Jm  Jm  • m ¿ £ n i h * d m * P « ¿ . ‘miTU".  A\ A\cv íin^fiuíw  Wft  Wft**  í-t^  í- t^ i dnKt fek.y\ ttXlyufih i 1i u" rA ¡N,hvj'  pfeái tá  ¿«' e«A\d\U\>r-  «^UI 'ijort.d jort.d lMw^i l il f ,-r U n

rfbT

—

- t v h é f f á í  ipil c o A

los trece poliedros semirregulares o arquimedianos.

rs ih ín 'A

rftY W  J’  * *  ■ £11  '

, volt

 AR  ARRI RIBA BA:: dibujo de Piero de un icosaedro truncado, uno de

m

urjiurtii ■i)L¿rtt''at.\r  --m mAi1” ji jipp. . d. _| _|ü

it

  H

  4 «n« «n«tt1| tt1|oli oli

.AK-^yW 

/ ÍBA ••f’íi . -m ul tip líx lU líll ^ éjH svrtr I BU|>Mt" a al >X-nwdtf U  3jp  Jdtf á  í /' au m . AK-  '. A  :.  líjVrífVÍím r tto .f- i. jp-nw  AY Y. é'mim)  L fflla tf- . A w - ^ i v i i í ' . í í V 4 i u w m  A  A .AK. iwvu’r  V i^ i^//s. d. m  >cío-ujIiHii • e.|iu»l*r< rtfirttv  imrvt. A ¿ . Ad . d.AK t & t H t A " % c £ > k u ¡ - n t ■cAK..«M-AK. ujMt ujMtum um/ / í idj.A c-.ji4.il>- C l H A n t t& AH..-4-AK. ^' ^'-•A -•A^L' ^L'" • . -íva -ívaíí- ip fí.d . fiiinf ¿AWf.eVgu^ -> a li-n íÁ 'm in u n pyjjhri ACL’ - w . llm m l l i^ i^ /iJiyjRC /iJiyjRC.. j . |vm?ht rU rUff dní \rtdt ’iíSltf ¿jní- id  WtrttírtS fliiiMtfliiiMt- sff ez vn l- ut-^ ut-^n. n.iv ivd” d” lüfwm í |V rzM W im-niri ^ -mxufi d.ira

.

IZQUIERDA: a mediados del siglo xv aparecieron en el norte de Italia unos manuscri tos de las obras de Arquímedes que empezaron a circular por centros humanistas, humanist as, inclu in clu  yendo los de Flo  rencia. Piero della Francescatrans cribió traducciones latinas de obras de  Arquímedes  Arquímed es sobre geometría. Esta es una página de Sobre 

la esferayel cilindro.

PIERO DELLA FRANCESCA

 

63

que ejerció sobre el monje franciscano Luca Pacioli  y Leonardo L eonardo da Vin Vinci, ci, cuyas con contribu tribucion ciones es me menci ncio o naremos en breve. El enfoque de Piero hacia la pintura, contem plativo y estructurado de forma geométrica tal como se muestra durante toda su carrera, estuvo estuvo muy in fluido por Masaccio y su empleo del punto de fuga. Su obra ejempliñca el uso imaginativo del espacio y de la perspectiva para producir la ilusión de escenas tridimensionales.

64

EL RESURGI RESURGIMIENTO MIENTO DEL OCCIDENTE LATI LATINO NO

 

PAOLO UCCELLO

 AR RI RIBA BA : en estos dibujos dibujo s de « Ele vac ion esy contornos contorno s ho hori ri zontales», de su suDe De prospectiva prospectiva pingendi pingendi,, Piero della Francesca indica las proporciones ideales de la cabeza humana. Para ello adopta un sistema, posiblemente sugerido por Alberti, de hacer cortes transversales del sujeto, después trazan mediante una proyección ortográfica, unque método queseteórica mente puede generar una reproducción repro ducción fiel de la cabe cabeza za desde cualquier ángulo.

E

teriores. En 1425 se le encargó a Paolo la realización de unos mosaicos para la fachada de la basílica de San

que aprendió aprendió habilidades habilida des matemáticas y geomé

Marcos de Venecia, donde permanecieron hasta 1481.

tricas del erudito humanista florentino Gianozzo Manetti, y podría haber tenido al geógrafo Paolo

Por desgracia, poco ha sobrevivido de esta obra, aparte

Toscanelli como profesor, aunque poco se conoce de

dodecaedro estrellado, unañgura que doscientos años

este aspecto de su carrera. Fue aprendiz del escultor

después se asociaría asocia ría con Johannes Kepler. Tomadas Tomadas

Lorenzo Ghiberti, con quien trabajó durante varios

en conjunto, estas dos figuras indican in dican un profundo

años, y probablemente fue en su taller donde apren ap ren

conocimiento de la geometría de los sólidos.

l pintor florentino Paolo Uccello (1897-1475) también fue un consumado matemático. Se cree

dió las técnicas técnicas de perspectiva que iban a interesarle durante el resto de su vida. Se conservan varios de sus dibujos de tema geométrico, entre ellos un bosquejo en perspectiva perspectiv a de un mazzocchio y una curiosa esfera estrellada, ambos motivos muy recurrentes recurrente s en la obra de artistas pos pos 

de un misterioso panel que muestra un pequeño

Está claro que Uccello poseía una mente clara y analítica y que sentía fascinación por po r el problema de  ABAJO : dibujo a pluma de P Paolo aolo Uccello de un mazzocchio,  un ejercicio de dibujo en perspectiva, un tema por el que el pintor sintió una creciente obsesión; década de 1480.

PAOLO PAOL O UCCE LLO

 

65

la reconstrucción de objetos en un espacio tridim en sional. Pinturas como El milagro de la hostia profa nada revelan una comprensión avanzada del arte de

la perspectiva lineal, del que se le puede considerar uno de los los primeros maestros. Se dice que su rep repre re sentación en escorzo de una ñgura caída en el cuadro La batalla de San Romano causó sensación.

Es probable que sus estudios sobre perspectiva influyera n en las obras que Piero della Francesca y influyeran Leonardo da Vinci realizaron también sobre el tema. El historiador historiado r Vasari hac hacee unos comentarios más bien negat negativos ivos sobre la obsesión de Ucc Uccello ello por la perspectiva (véase el recuadr recuadroo del delapá apá g. 67) 67)..

66

 

EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE LATI LATINO NO

 ARR IBA: IBA : este dibujo en tinta y aguad aguadaa de una esfera esfe ra estrellada es un claro reflejo de la maestría de Uccello en el dibujo en

COMENTARIOS DE VASARI

perspectiva. Es probable que el artista construyera antes un modelo del objeto que, como el propio mazzocchio, se convirtió en parte de su programa de estudios sobre perspectiva. persp ectiva.

SOBRE UCCELLO

 ARRIB  AR RIB A, BEB ECH A: incrustaciones incrustacion es de mármol en el suelo de la basílica de San Marcos de Venecia atribuidas a Uccello. Uccello. Este ejemplo de mosaico que ha sobrevivido hasta nuestros días es notable porque muestra un pequeño dodecaedro estre llado unos doscientos años antes de que Kepler lo describiera en 1619. milagro de la hostia profa PÁGINAANTERIOR, AR RIBA: El milagro nada de Uccello ejemplifica el sentido que tenía el pintor de la organización de la perspectiva. El tema de la profanación de

la era bien conocido en larefleja iglesialosmedieval, pero aquí se hostia representa de un modo que ideales renacentistas de una armonía universal universa l basada en las matemáticas y en la proporción geométrica.

«E ra solitario, excéntrico, melancólico y pobre. Pasaba toda la larga noche en su estudio estudio intentan do resolver los puntos de fuga de su perspectiva, y cuando su esposa lo llamaba para que fuera a la cama, contestaba contesta ba con sus famosas palabras: "Qué bella cosa es esto de la perspe ctiva ” . Dotado po porr naturaleza de una dispo sición sofisticada y sutil, sutil, no sentía placer más que investigando cuestiones difíciles e imposi bles de la perspectiva. Guando andaba ocupado con estos temas, Paolo permanecía solo e n su hogar, hogar, casi comoo un erm itaño, sin ve r a nadie durante com durante semanas y meses, sin dejar que nadie le viera. Por emplear tod todoo su tiempo en estas fruslerías, siguió siendo pobre toda su vida, en lugar d dee fam oso» .

PÁGINA ANTERIOR, ABAJO: dibujo dibujo en perspectiva de un cáliz, para cuya cuya realización Uccello emplea emp lea la misma mism a técnica de «armazón de alambre» que usó para el dibujo del mazzocchio  de la página anterior. De hecho, la parte superio su periorr del cáliz lleva incorporada la forma del mazzocchio.

PAOLO UCCE UCCELLO LLO

 

GEOMETRÍA, PROPORCIÓN E «ISTORIA»  EN E L QUATTROC QUATTROCENT ENTO O

67

E

 y racional racio nal de figuras, arquitectur arquitectura, a, etc. «E «Esta sta concordancia se da en un número, proporc p roporción ión y

cimiento italiano, el Quattrocent Quattrocento. o. En E n términos

disposición particular exigida por la armonía», una

generales, se podría describir como un acercamiento

percepción claramente derivada de una interpreta

a un mayor realismo y profundidad espacial, aleján al eján

ción reactivada de la tradición platónico-pitagórica. platónico-pitagó rica.

xiste una división estilística e stilística entre la pintura de finales del Medioevo Medioevo y la del del inicio del Rena R ena

dose de las cualidades más planas y hieráticas del

 Además de destacar el papel de las matemáticas

estilo ítalo-bizantino. Los orígenes de esta transi

en la pintura, Alberti proponía pro ponía otras técnicas para

ción se encuentran en el siglo siglo anterior, en especial

animar una obra y darle dramatismo. dramatismo. Entre ellas se

en la obra del artista del Trecento Giotto, aunque

incluyen el uso uso de luces y sombras para indicar in dicar volu

esas innovaciones protorrenacentistas se vieron

men, la colocación de figuras en grupos animados

interrumpidas interrum pidas por la peste negra. El E l gusto gusto por las

(a diferencia de los posados formales de la pintura

representaciones más realistas de personas, en un trasfondo que transmitía un sentido de alejamiento y

medieval), el uso de gestos y expresiones de emoción

de profundidad interior, cobró auge durante el Qua

el fondo. Todos estos efectos pretendían aumentar la

ttrocento como una manifestación más del mismo

sensación de realismo y dar la impresión impre sión de que los

impulso humanista que acabaría por afectar a todos

eventos retratados concernían a individuos de carne

los aspectos de la vida intelectual europea.

en las dramatispersonae, dramatispersonae, y  y cierta monumentalidad monumentalidad en

 y hueso (lo que ahora llamaríamos llamaría mos una «his « histo toria ria de

Los escritos de León Battista Alberti representa

fon do ») »),, y de que existían en un mundo corpóreo. corpóreo.

ron una contribución significativa a esas esas innovacio innovac io

 Alberti  Alb erti denomina Istoria Istoria a  a este principio, según el

nes, especialmente Della pittura, publicado pittura, publicado en 1435. En este tratado tratado Alberti hacía varias recomendaciones

cual la organización de las figuras, figura s, la arquitectura arquite ctura y los ob objj etos del cuadro cuadro deberían transmit tran smitir ir la imp impresión resión

sobre cómo lograr una mayor mayor sensación sensació n de naturalis

de un momento momento concreto en el espacio real. Estas

mo, que incluyen la prim primera era explicación exp licación escrita del

innovaciones constituían constitu ían la expresión consumada de

uso del punto de fuga para conseguir una perspectiva lineal (véase (véase el  el recuadro de lapág. 71). También esti pula que cada cada elemento de una composición debería deb ería guardar una relación proporcional pro porcional con las demás partes, lo que implica una representació repre sentación n ordenada

68

 

EL RESURGIMI RESURGIMIENTO ENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

PÁGINA SIGUIENTE: \a.Anu \a.Anunciación nciación de Santa Sant a Ana  de Giotto, de su serie de paneles sobre Escenas de la vida de San Joaquín   pintados entre i 3 o4 y i 3 o 6 ; capilla de los Scrovegni, Padua. Con su uso de la profundidad espacial y de un realismo domés tico, su estilo anticipó nuevos avances en el Renacimiento.

GEOMETRÍA, PROPORCIÓN E «IST «I STOR ORIA IA»» EN EL QUATTRO QUATTROCENT CENTO O

69

 

IZQUIERDA: Crucifijo Crucifijo de  de Cimabue, iglesia de Santo Domingo,  Arezzo, década de 1 3 7 0 . La obra de este artista se considera un punto de inflexión en la pintura italiana, cuando todavía estaba influida por el estilo bizantino pero explorando ya formas de expresión más naturalistas y tridimensionales. tridimension ales. Cima Cimabue bue (1240-1802) fue maestro de Giotto. PÁGINA SIGUIENTE: El tributo de tributo de Masaccio, capilla Brancacci,, Santa María del Carmine, Florencia, década de cacci de 143 0. El uso pionero que Masaccio hizo de la perspectiva lineal, los planos estratificados y los modelo modeloss volumétricos ejerció una profunda influencia en el arte florentino.

Observando obras como La sanación del lisiado  de Masolino, La Anunciación de Fra Fr a Angélico y la Flagelación de Piero della Francesca es fácil imaginar

la cuidadosa atención que habrían prestado a la dis posición posic ión inicial inicia l y al boceto de estas obras maestras. Podemos estar seguros de que durante los primeros años del Quattrocento, además de adoptar las nuevas técnicas de la perspectiva, también concedían gran los nuevos principios humanistas aplicados al arte. arte. El foco estaba pasando de lo divino a lo humano, tanto en el arte como en la sociedad. No existe duda alguna de que muchos artistas artis tas de la época pusieron en práctica estas ideas, tal como como se puede observar en sus obras, en especial las de Fra

pictórico. El propósito, aunque ciertamente no seguía ningunaa fórmula, era transmitir una sensación de ningun profundidad tridimensional con las cualidades más intangibles de una geometría ideal y proporcional. El empleo de medidas armónicas en la composición general de los cuadros cuadros servía para reforzar esa im pre

 Angélic o, Andrea  Angélico, Andr ea Mantegna, Piero della Fran Fr ances cescay cay Uccello. Por supuesto, es imposible saber hasta qué

sión. El efecto, especialmente evidente en las obras

punto pun to Alberti ejerció una influencia directa d irecta sobre

de Fra Angélico y de Piero della Francesca, es de una

los artistas o si lo que hizo fue expresar en un marco formal las tendencias que estaban en el aire y que los

elegancia formal, casi trascendente. Sin embargo, esta preocupación por el ordena

pintores ya practicaban. practicaban. La contribución de de Alberti al debate fue signifi sign ifi

miento proporcional del plano no duró demasiado tiempo. Pintores de la siguiente generación, como

cativa, pero otros artistas también dieron sus propias cativa, respuestas a esos esos criterios estilísticos, aunque pro

Mantegna Mant egna y Boticelli, usaron la perspectiva de una forma mucho más sofisticad sofis ticadaa —se había convertido realmente realme nte en e n la base de su lenguaje pictórico pic tórico— —, pero

bablemente no tuvieron la sensación de pertenecer a un «mov « movimie imiento» nto» en el sentido sentido que hoy le damos

 ya no se centraban centraba n tanto tanto en la proporción propor ción geométrica geo métrica

al término.

de las disposiciones del plano. plano.

70

 

importancia importanc ia a las principales divisiones del plano plano

EL RESURGIMIENTO RESURGIMI ENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

PERSP ECT IVA Y PUN PUNTO TO DE FUGA   A pes p esar ar de su a dm ira iració ción n po r los concept conc eptos os plat p latóni ónicos cos

extraordinaria influencia. Según Vasari, todos los pinto

del ideal estético, probablemente Platón no hubiera

res florentinos estudiaron estudiaron sus frescos para aprender los

aprobado aprob ado los intentos de los primeros teóricos rena  centistas centi stas de la la perspectiva perspectiva por «pro fund izarla ilu sión»

nuevos preceptos y reglas de la pintura. pittura,, A lberti produjo  Al poco tiem t iem po, con su Della pittura

en sus cuadros. Platón se oponía a la creación de lo

el primer tratado sobre perspectiva que presentaba de

que él consideraba nuevos nive les de engaño y error.

manera formal varias técnicas para dar sensación de

No obstante, era muy consciente de los problemas de

profundida d a un cuadro, incluyendo el punto de fuga,

la perspectiva y de la imperfección de la percepción

el sombreado y la reducc ión del tamaño relativo de los

humana, y concluyó concluyó que, en ese sentido, solo « las artes

objetos, figuras y ediñcios repre sentados, para que

de la medición, la numeracióny el pesaje pueden acudir

parecieran alejarse en el espac espacio io imaginario.

al rescate rescate de la com prensión hum ana ». Gomo Gomo ya hemos  visto,  vis to, la re so soluc lución ión de las diñcul diñ cultad tades es para pa ra pr proye oyecta ctarr un espacio tridimensiona tridimensiona l en el plano bidimensional se consiguió mediante modelos matemáticos. Los primeros artistas en introducir técnicas de dism inución geom étrica y su concept conceptoo vinculado de convergencia en un imagin ario punto de fuga único en el horizonte, mediante el uso de líneas o rtogonales, fueron Masaccio y Masolino da Panicale, que colaboraron en  vario  va rio s proye pr oyecto ctoss conjunt con juntos. os. A Aunq unque ue Mas Masacci accioo m urió uri ó a

 AR RIBA  ARRI BA:: diagrama de perspectiva perspe ctiva de León Battista Alberti de su obra Della pittura, libro i.

la temprana edad de vein tiséis años, su obra tuvo tuvo una

GEOMETRÍA, PROPORCIÓN E «ISTORIA» EN EL QUATTROCENTO

71

 

PAISAJES URBANOS URBANOS «C UB ISTAS » DEL RENACIMI RENACIMIENTO ENTO Durante la época medieval, medieval, el problema de representar

idealizadas en el trasfondo de un cuadro. Al ojo moderno, la

escenas tridimensionales solía soslayars soslayarsee con la proyección

ingenuidad de estos vacilantes intentos por indicar solidez

axonométrica, que en esencia utiliza utiliza líneas paralelas a los

 y alejamie ale jamiento nto puede pu ede resul r esultar tar encantadora encant adora,, pero per o pa para ra los

ejes principales. Esta técnica resulta insatisfactoria a una

artistas del Quattrocento Quattrocento era un problema prob lema que se tomaban

escala mayor, donde produce obvias distorsiones de diago

muy en serio. En los ejemplos aquí presentados podemos podemos

nales y curvas, pero resulta adecuada o no tan obvia cuando

 ve  verr tanto la fasc inació ina ción n artística artí stica por p or mostra mo strarr la or orden denaci ación ón

se usa individualmente para los elementos de un cuadro.

geométrica de los ediñcios urbanos, como la la gradual asimi

Se solía emplear para representar ciudades imaginarias o

lación de las técnicas de la perspectiva.

 AR RIBA  ARRI BA : Ambrogio Lorenzetti: detalle deta lle de La alegoría del buen buen y del  del   mal gobierno (h. i 33 8 ).

 AR RI RIBA BA : Pier Pieroo della Francesca: detalle de La recuperación de la  Vera Cruz (década de de 1450 ).

72

EL RESURGIMIENTO RESURGIMIEN TO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

 

 VO  V O LÚ M EN ES Y PR O PO RC IO N ES En una época en que había escasa normalización de pesos  y medid me did as, quie nes se o cupa cupaban ban d dee cu alqu ier tip tipoo de transacción comercial precisaban un mecanismo para calcular y conv ertir cantidades. E n el siglo xv las matemá ti cas usadas para ello se basaban en conceptos de proporción geométrica, y esas eran las matemáticas matemáticas que se ense ña ban en los abaco abaco,, escuelas secundarias fundadas con ese

 AR RIBA  ARRI BA : Giotto: detalle de El exorcismo de los demonios de   Arez  Arezzo zo (h. década de 1390).

propósito específico. Gomo resultado, muchos ciudadanos de clase media, precisam ente los que se habrían interesado por el arte, estaban familiarizados con las proporcion es geométricas adoptadas por los pintores del Quattr Quattrocento ocento.. En palabras de Michael Baxandall, «Muchas personas del Quattrocent Quatt rocentoo estaban acostumbradas a la idea de aplicar la geometría del plano al mundo más amplio de las apa riencias, porque la habían estudiado para medir tierras y edificios». Gomo ya mencionamos, el propio pintor Piero della Francesca produjo un tratado matemático, el Trattato Trattato    dond e enseñ a el us usoo de la matemática de las pro  d’abaco, dond d’abaco, porciones para resolver problemas relativos al comercio y a la banca. Este fue uno de muchos libros de text textoo popu  lares que trataban trataban sobr sobree la «re gla de tre s» , un sistema de cálculo esencial para cuantiñcar divisiones proporcionales de mercancías o dinero en efectivo. Que eLestudio de la proporció n formara parte integral de las matemáticas comerciales significó que « el pintor podía depender de la disposición de su público a calibrar», pues era una geometría con la que estaban familiarizados.

 AR RI RIBA BA:: La Anunciación de Anunciación de Piero della Francesca, de la serie La Leyenda de la Vera Cruz, Cruz, basílica de San Francisco de Arezzo, Arezzo, 1464,. Esta pintu ra está imbuida de una serena sensación de proporción geométrica.

COMO PREPARAR UN FRESCO En la pintura al fresco se mezclaban pigmento pigmentoss con yeso

ambos métodos los detalles detalles adicionales se añadían con di

fresco, que debía aplicarse con rapidez. rapidez. Antes se prepa rá

bujos subyacentes subyacentes de sinopia antes de la pintura final (e s

ban los muros con un yeso más tosco y se dividían en zonas

tos pueden queda r expuestos cuando un fresco ha sufrido

geométricas con líneas de sinopia (pórfido molido). Los

daños o una restauración). Habría una reflexión previa

dibujos preliminares s e hacían sobre papel en la misma pro -

sobre la división inicial del área a pintar y, conforme las

porción* en que luego se transferían a la pared empleando la cuadrícula. Esto fue evolucionando a un sistema más directo d irecto

ideas de la perspectiva arraigaban, sobre la colocación de las líneas verticales, h orizontales y ortogonales. ortogonales.

en el que dibujos del mismo tamaño fina l se trazaban sobre grandes hojas de papel (cartones) que se perforabany des (cartones)   que

*Hacia finales de la Edad Media era fácil encontrar en

pués se estarcían con pigmentos negros sobre la pared. pared. E n

Italia papel de buena calida calidad. d.

GEOMETRÍA, PROPORCIÓN E «ISTORIA» EN EL QUATTROCENTO

 

LUCA PACIOLI

L

uca Paci Pacioli oli (h (h.. 144 55-151 1517) 7) procedí procedíaa de Sansepol Sansepol-ero, la pequeña población pobla ción toscaña donde nació Piero della Francesca. Piero enseñó matemáticas al

 joven  jove n Pacioli y lo presentó al duque de Urbino. Am  bos tenían acces accesoo a la biblioteca de su noble patrón,

PÁGINA SIGUIEN TE, IZQUIERDA: I ZQUIERDA: retrato retrato contem contemporán poráneo eo de Luca Pacioli demostrando las teorías de Euclides, h. 1500. 150 0. Se suele atribuir a Jacopo Jacopo de’Barbari. El libro cerrado probablemente sea la Summa de arithmetica  de Pacioli. El joven de la derecha es el duque de Urbino, que posteriormente se convertiría en su patrón.

que en su época tenía fama de ser la mejor de Europa. En 1494 Pacioli, que en esos años se había hecho fraile franciscano y era un erudit eruditoo ambulante, pro pro dujo su Summa de arithmetica, arit hmetica, geometría, geometría, proportioni  etproportionalitá, un sumario de matemáticas que posteriormente se editó en Venecia con el nuev nuevoo

método Gutenberg. Esta obra le supuso cierta fama

unos cincuenta años después, fue bastante mordaz con la obra de Pacioli, acusándolo de plagio y dicien do que había copiado gran parte de la misma de

e hizo hizo que Leonard Leonardoo da Vinci se ñjara en él. Leonar L eonar do lo llevó a Milán, donde permaneció durante tres

Piero della Francesca, sin darle al artista y mate mático el reconocimiento ñnal. Aunque puede que

productivos años. Durante ese tiempo, entre 1496 y

esta afirmación tenga cierta base, parece demasiado

1499, escribió De Divina Proportione, un libro basado en las especulaciones ñlosóñcas de Pla Platón, tón, la geo

dura; Pacioli transmite la imagen de un erudito

metría euclidiana y la teología cristiana, temas que relacionó con la proporción proporci ón áurea en un esquema

 Al poco tiempo de la pub publicaci licación ón de De Divina 

cosmológico grandioso, aunque algo confuso (véanse  laspágs. 76-77). Leonardo, que por esa época recibía eenseñanza nseñanzass

Elementos de Euclides.  A este extra extraordinar ordinario io homb hombre re tamb también ién le ccorr orres es

matemáticas de Pacioli, colaboró con él en su libro aportando aporta ndo numerosas ilustraciones, entre ellas

Proportione, hizo una traducción al latín de los

ponde el honor de haber introducido la técnica de la contabilidad de doble entrada, y es famoso por ello

una atractiva atractiva serie de versiones de poliedros, tan tanto to

—especialmente especia lmente en el mundo de la contabilidad contabilidad,, donde se le considera una figura fundamental—así

en forma sólida com comoo de «esq «esque ueleto leto». ». La obra se

como por De Divina Proportione.  Resulta interesante

publicó en 150 15099 en Venecia, donde tuv tuvoo un éxito inmediato.. El historiador Vasar inmediato Vasari,i, aunqu aunquee escrib escribió ió

que los Médici fueran los primeros banqueros mer

74 

 

auténticamente devoto y de un profesor dedicado.

EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE LAT LATINO INO

cantes en adoptar ese sistema.

 ARRIB  AR RIB A: detalle del cuadro que que muestra un rombicuboctaedro suspendido, parcialmente lleno de agua. agua. Debido a la de delicada licada represen repr esenta ta ción de sus complejos reflejos y refrac ciones, se ha sugerido que el amigo de Pacioli, el famoso Leonardo da Vinci, podría haber intervenido en esta parte del cuadro.

DE VIRIBUS QUANTITATIS  En 2006, el matemático David Singmaster halló halló una referencia a

la perplejidad, perplejidad, la actuacióny el en tretenimiento. Pacioli, aunque muy

una obra de Pacioli hasta entonces

serio en sus propuestas matemáti cas, poseía un lado más informal.

desconocida en la bibliotec a de la Universidad de Bolonia. Resultó ser un extenso tratado sobre juegos y problemas matemáticos, De viribus  quantitatis,  un inmenso compendi compendioo

 AR  ARRIR RIR A: página p ágina ilustrativa de la Summa de arithmetica, geometría,   proportioni  propor tioni et etproportio proportionalitá nalitá de Pacioli.

Parece ser que compuso el libro a lo largo de un período de diez años, empezando por la misma época en que trabajaba enDe Divina Propor Propor

en tres partes que trata, respe ctiva

tione. En  E n el libro menciona en varias

mente, sobre problemas matemá

ocasiones a su amigo Leonardo da

ticos, trucos y diversiones, versos y proverbio s. Ha sido descrito como

 Vinci  Vin ci (con ( con insi nua nuacion ciones es de que

«el primer manual relevante que enseña cómo realizar traeos de m a gia». Entre otras cosas, da instruc

mo), y le agradece profusamente su colaboración en De Divina Proportio ne.  Por álgún moti motivo vo desconocido,

ciones sobre sobr e trucos de cartas, juegos

probablemente porque ambos

malabares, cómo tragar fuego y otr otras as

tuvieron que huir de Milán tras la

habilidades de prestidigitación. prestidigitación. Alo

invasión francesa de la ciudad en

largo de la obra se hace hace hincapié en

14,99, Ia obra nunca fue publicada.

podría haber colaborado colaborado en el mi s

LUCA PACIOLI

 

DE DIVINA PROPORTIONE

75

Piero della Francesca. Leonardo da Vinci colaboró colaboró estrechamente con Pacioli en esta obra, realizando muchas de sus ilustraciones y diagramas. La obra alude a la cosmología del Timeo de Platón  y a los Elementos de Euclides, dejando claro que su disertación se basa en los sólidos fundamentos de los conceptos geométricos clásicos. Como Como hemos mencionado, también se basó basó en la obra de su su anti guo maestro Piero della Francesca. Su originalidad radica en presentar estas ideas de forma clara, grá fica y sistemática; los numerosos nu merosos dibujos de figuras tridimensionale tridime nsionaless son su ejemplo más notable. notable. Se sabe que Pacioli encargó encargó modelos poliédricos poliédr icos incluso antes de conocer a Leonardo, y es muy probable que se hicieran muchos más más para facilitar el dibujo de fi guras sólidas y «en « en esqueleto» esqu eleto» que que el artista incluyó incluyó

L

uca Pacioli compuso su obra maestra De Divina  Proportione en Milán, Milán, entre los los años años 14 97 7

1498, 149 8, y finalmente se publicó en Venecia en 1509.

en su obra (en total, cincuenta y nueve). La «proporción «prop orción divina», div ina», qu quee Pacioli Pacioli describe

Comprende tres secciones que tratan, tratan, respectiva respe ctiva

como como «esencial, «esen cial, impresionante e inestimable», inestimable », es un valor matemático que ahora conocemos como fi  

mente, de la proporción áurea y de la perspectiva,

ophi  (véase el símbolo de esta página). EnDe Divina 

de los los principios prin cipios matemáticos y el sistema racional

Proportione explora la relación entre esta proporción

de proporción avanzado por el autor y arquitecto

 y los poliedros polie dros regular regulares es platónicos plató nicos y los semirre sem irregugu-

romano Vitrubio Vitrubio en su De architectura, y finaliza con

lares arquimedianos. ar quimedianos. Para Pacioli Pacioli la interconexión

un tratado tratado sobre los cinco sólidos platónicos regula regu la

de estas relaciones geométricas tenía claras connota

res, consistente en gran parte en una una transcripción

ciones místicas y divinas; como él mismo dice, hace

en italiano de De quinqué corpoñbus regularibus  de

referencia a «una «u na ciencia muy secreta».

76

EL RESURGIMIENTO RESURGIMI ENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

 

FI O PHI Muchos Muc hos términos d escriben este va lor (número áureo, regla de oro, sección  áurea,proporción áurea ,proporción áur ea...),  que se halla en el Libro 6 de los Elementos  de Euclides. Euclides. Es el punto donde la la sec  ción o corte de una línea produce dos

IZQUIERDA: esta simple fórmula, que fue presentada por primera  vez en el año año 3 oo a. Cpor

Euclides, deñne el misterioso  valor inconmen incon men surable conocido actualmente como fi  o phi.

segmentos que expresa n exactamente exactamente la misma proporción que la la del seg mento más grande con respecto a la línea entera (véase abajo). La proporció n entre la línea lín ea A - -B es la mism m ism a que la de A- B con respe res pecto cto a A - :  A __________________ __________________ 5 ___________ B Esta razón, que los pitagóricos probablemente ya conocían, está está

 íntima  ínti ma mente me nte relacion rela cionada ada con la geometría del cinco (el pentágono, pentágono, el pentagrama, el dodecaedro). El rectánguloo que contiene esta pro  rectángul

porción se conoce como rectángulo áureo; se dice que sus proporciones son especialmente armónicas y de un gran atractivo atractivo visual.

 ARRIB  AR RIB A: De Divina Proportione de Pacioli está profusamente ilustrado con dibujos de poliedros, en forma sólida o «en esqueleto» esque leto»,, una aportación de su amigo Leonardo Leonardo da Vinci.

DE DIVINA PROPORTIONE

 

LEONARDO DA VINCI   Y L A G E O M E T R ÍA 

77

na de las actitudes más novedosas y productivas que apareció con el resurgimiento de la cultura

U

 y de las ideas clásicas durante el Renacim Renacimiento iento fue el concepto de que las matemáticas, en especial espec ial la geometría, eran un tema fundamental tanto para una mayor comprensión de la naturaleza como para constituir una base adecuada para el arte. Leonardo da Vinci (14 52 52-15 -15 19) 19 ) estuvo estuvo en la vanguardia de de este movimiento. Gomo hemos visto, realizó las ilus traciones para De Divina Proportione de Pacioli, y los dibujos de su cuaderno cuaderno son testimonio de un pro prolon lon gado interés por muchos aspectos de la geometría, la proporción y la perspectiva, e incluyen esbozos de  vario s sólidos  varios sólido s geomét geométricos ricos que no se encuentran encu entran en la obra de Pacioli, por ejemplo, una serie completa de sólidos regulares y semirregulares. Leonardo empez empezóó a dedicar mucho tiempo a la

 ARR IBA: IB A: autorretrato de Leonardo da Vinci cerca de los sesenta años; tiza roja sobre papel.

geometría cuando contaba alrededor de cuarenta años. Se sabe que estaba familiarizado con los cinco

PÁGINA SI que GUIE NTE: sobre edad d deeLeonardo cuarenta cuarentaempezó años, por la época en conoció a LucalaPacioli, a mostrarse cada vez vez más interesado por p or las matemáticas y  llenó cuadernos con esbozos esbozos geométricos, ejercicios ejercic ios y  cálculos. Por entonces, bajo la guía de Pacioli, también tam bién empezó a estudiar los Elementos de Euclides, dedicando al tema un centenar de hojas con anotaciones. Leonardo, que se había descrito a sí mismo comoo «an com «analfab alfabeto» eto»,, realmente realmente querí queríaa mejorar su conocimien to de la geometría formal, e incluso aprendió latín para facilita facilitarr sus estudios. No obstante, al cabo de unos años tendió a seguir su propia dirección. direcció n. De forma característica, su enfoque era práctico y sus cálculos, mucho más visuales que abstractos. abstractos.

sólidos regulares platónicos y los trece semirregu semi rregu lares arquimedianos (puesto que aparecen en su Códice diceAtlá At lán n colección de dibujos conocida como el Có tico), y  que para cuando terminó su colaboración con

Pacioli, andaba tan inmerso en las matemáticas que había descuidado su pintura. Un observador con temporáneo comentó en la época que «la vista de un pincel le pone de mal humor». humor» .

78

EL RESURGIMIENTO DEL OCCIDENTE LATINO LATINO

 

■T 1

¿**j r

-  A  jí *,.yi/| .yi/|/j/ /j/,M ,M-tiN,t

4--.^ [ j l h 'v M.'{ .'{** \J> \J>'A-'s

 f H < &    j *

r'

-------

v

+-v¿í,i" v¿í,i" 'i * *'> *'>jj t-, '* '*ttj¡  * w j ., f 

,' iy y »*> »*>r'   i-1M  WVfM/*' [//„.’t [// „.’t’’ ,V H-rK  [/AffjJ   [/AffjJ* l rf **'f'fa' a'S  S   a  Rjíe.Cmsfitbli.