Tema2 Matematica Financiera

Matem´ aticas Aplicadas CCSS I Tema 2. Matem´ atica Financiera

´Indice 1. Introducci´ on

2

2. Aumentos y disminuciones porcentuales

2

3. Inter´ es Compuesto 3.1. Temporalidades inferiores al a˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4

4. Anualidades de capitalizaci´ on

5

5. Anualidades de amortizaci´ on 5.1. Tablas de amortizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

6. N´ umeros ´ındice

8

7. Tasa anual equivalente (T.A.E.)

9

8. Ejercicios del tema

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Matem´aticas Ap. CCSS I

1.

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Matem´atica Financiera

Introducci´ on

En estos tiempos que corren, qui´en no ha o´ıdo hablar cr´editos, hipotecas, amortizaci´on, IPC, . . . Estamos inmersos en un constante goteo de noticias, en las que estas palabras nos golpean los t´ımpanos, d´ıa si y d´ıa tambi´en. “Este mes el Euribor est´a en m´ınimos de hace dos a˜ nos, una hipoteca media de unos 150000 euros reducir´a sus pagos mensuales en 50 euros.” Esta es una de las t´ıpicas noticias que se vienen oyendo desde hace unos a˜ nos en los que el precio del dinero ha bajado hasta cero. Los gobiernos de las distintas zonas econ´omicas, como la UE, necesitan mantener un equilibrio entre el precio del dinero y el precio de los productos que m´as usamos. Es lo que se llama control de la inflaci´on. Otro t´ermino que veremos en este tema, y que nos sirve para entender mejor c´omo funciona esta sociedad de consumo en la que estamos inmersos. Queramos o no, son t´erminos y expresiones que nos van a acompa˜ nar el resto de nuestras vidas, y que lejos de poder mantenerlas alejadas, veremos c´omo en muchos trabajos son parte del glosario de t´erminos con los que nos vamos a comunicar en adelante. Es por ello, que en dentro de esta materia, Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, no podemos obviar el hecho de que muchas salidas pasan por ser administradores. Ya sea en un banco, ya sea en una mediana o peque˜ na empresa, o sencillamente para llevar el control de los gastos como aut´onomo en su caso. Veremos el inter´es simple y compuesto, c´omo calcular las anualidades de amortizaci´on entre otros.

2.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Cuando vamos a las rebajas, a la hora de calcular el nuevo precio que nos ofrecen, debemos restar una cantidad al precio inicial o cantidad inicial C0 , que nos dar´a como resultado una nueva cantidad final CF . La cantidad que debemos restar, depender´a del porcentaje de descuento que nos hagan. Pongamos que queremos comprar una camisa que cuesta 20 e (C0 = 20) y que tiene un descuento del 25 %. Directamente hacemos CF = C0 − 0, 25 · C0 . Nos queda CF = 20 − 0, 25 · 20 = 20 − 5 = 15

Sin embargo, si caemos en la cuenta de que C0 − 0, 25 · C0 = 0, 75 · C0 , podemos ahorrarnos una cuenta sin m´as que hacer CF = 0, 75 · C0 = 0, 75 · 20 = 15 De la misma manera podemos hacer si el precio de un art´ıculo aumenta. Pongamos que una vivienda se ha revalorizado en un 12 % con respecto al a˜ no pasado. Si el precio anterior es de C0 , el precio tras el aumento ser´a de CF = 1, 12 · C0 , ya que: CF = C0 + 0, 12 · C0 = (1 + 0, 12) · CF Ejercicio 1. Despu´es de subir un 20 % un art´ıculo vale 52, 30 euros. ¿Cuanto val´ıa antes de la subida? Soluci´ on: Sabemos que CF = 52, 30 y que CF = C0 · (1 + 0, 2) = C0 · (1, 2) luego C0 =

CF 52, 30 = = 43, 583 1, 2 1, 2 2

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Ejercicio 2. Despu´es de rebajarse en un 45 %, un art´ıculo vale 81, 90 euros. ¿Cu´anto val´ıa antes de la rebaja? Soluci´ on: C0 = 126 e. Ejercicio 3. Una chaqueta que val´ıa al comienzo de la temporada 51 euros. Durante la misma sufre una serie de variaciones. Sube un 15 %, al mes baja un 10 %, al segundo mes vuelve a bajar un 10 % para acabar subiendo un 5 %. ¿Crees que el precio final de la chaqueta ha variado? Sube 15 % Baja 10 % Baja 10 % Sube 5 %

z }| { z }| { z }| { z }| { Soluci´on: CF = C0 · (1, 15) · (0, 9) · (0, 9) · (1, 05) = C0 · 0, 978075 = 51 · 0, 978075 = 49, 88 e Definici´ on 1. Llamaremos r´edito o tanto por ciento r a la ganancia que producen 100 euros en un a˜ no. Por ello, hablaremos de aumento o disminuci´on porcentual r %. CF se calcula como sigue:  r  CF = 1 ± C0 100 Inter´ es, I es la cantidad de dinero producida por un capital en un tiempo determinado. Ejemplo 1. Colocamos en un banco 5000 euros al 3 % de inter´es anual. ¿Cu´anto dinero nos devolver´ an al cabo de un a˜ no? Puesto que tenemos el dinero un a˜ no, el capital final CF se obtiene del inicial C0 = 5000 m´ as el inter´es que produce durante ese a˜ no. CF = C0 + 0, 03 · 3000 = 1, 03 · 5000 = 5150 e Sabemos c´omo calcular el inter´es que obtendremos en un a˜ no a partir de un capital inicial, es lo que llamamos inter´ es simple. Pero ¿y si esos intereses producidos, m´as el capital inicial aportado, lo dejamos otro a˜ no m´as? ¿C´omo calcularemos el inter´es que aporta mi capital inicial en dos a˜ nos? Es l´ogico pensar que el capital inicial, durante el segundo a˜ no ha aumentado.  r  . Durante Durante el primer a˜ no nuestro capital ha aumentado hasta obtener CF1 = C0 1 + 100 el segundo a˜ no, y puesto que no sacamos ninguna parte del mismo, exigiremos que los intereses se calculen a partir de CF1 , de donde CF

z  }|1 {   r  r r  r 2 CF2 = CF1 1 + = C0 1 + 1+ = C0 1 + 100 100 100 100  r 3 Al cabo de 3 a˜ nos, obtendremos CF3 = C0 1 + y al cabo de t a˜ nos: 100 

 r t CF = C0 1 + 100 Es lo que vamos a llamar inter´ es compuesto.

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Inter´ es Compuesto

Como acabamos de decir, cuando ingresamos cierto capital C0 en un banco, querremos que ´este genere intereses durante varios a˜ nos, de manera que los intereses se acumulen a lo largo de los mismos. Es lo que hemos llamado inter´ es compuesto. Algebraicamente se expresa de la siguiente manera:  r  • Primer a˜ no: CF1 = C0 1 + 100   r  r 2 = C0 1 + • Segundo a˜ no: CF2 = CF1 1 + 100 100   r 3 • Tercer a˜ no: CF3 = C0 1 + 100 .. . • Al cabo de t a˜ nos, el capital final CF se obtiene mediante la expresi´on: CF = C0



r t 1+ 100

Ejemplo 2. ¿Durante cu´anto a˜ nos ha de invertirse una capital de 10000 euros al 5 % de inter´es compuesto para llegar a un montante de 14071, 00423 euros?  r t Soluci´ on: Como CF = 14071, 00423 e y C0 = 10000 e aplicando la identidad CF = C0 1 + , 100 la inc´ognita en este caso ser´a t.  t 5 14071, 00423 = 10000 1 + = 10000 (1 + 0, 05)t = 10000 (1, 05)t 100 Para despejar t no podemos pasar sin m´as, como hac´ıamos en las ecuaciones ordinarias, el coeficiente de t dividiendo. En nuestro caso, necesitamos bajar la t de alguna manera del exponente. Para ello, si recordamos que log an = n · log a: log (14071, 00423) = log [10000 · (1, 05)t ] =⇒ log (14071, 00423) = log (10000) + log [(1, 05)t ] =⇒ =⇒ log (14071, 00423) − log (10000) = t · log (1, 05) =⇒ t =

3.1.

log (14071, 00423) − log (10000) 4, 1483251 − 4 ≈ ≈7 log (1, 05) 0, 0211892

Temporalidades inferiores al a˜ no

Supongamos ahora que lo que haremos ser´a hacer un pago mensual de intereses de una hipoteca al banco. En este caso, el periodo de capitalizaci´ on ya no es de a˜ no. Ahora los intereses se pagan en 12 tramos. r % mensual. Si C0 es el capital 12 inicial y r % es el inter´es anual, calcularemos CF de la siguiente manera:  m  r/12 r m CF = C0 1 + = C0 1 + 100 1200 Un r % anual en periodos de capitalizaci´on de un mes pasa a ser un

donde m son los meses. 4

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Ejemplo 3. Si el banco nos da un pr´estamos de 30000 al 12 % de inter´es anual, que hemos de devolver, junto con los intereses, en un u ´nico pago 5 a˜ nos despu´es. Averigua qu´e pago deberemos hacer si los periodos de capitalizaci´on fueran meses. Soluci´ on: En nuestro caso, r = 12 y m = 5 · 12 = 60. Podemos calcular CF : 60  12 = 30000 · (1, 01)60 = 54500, 9 e CF = C0 1 + 1200 Ejemplo 4. El banco nos ofrece un pr´estamo de 3000 euros al 3 % de inter´es anual a devolver de dos formas distintas en dos a˜ nos; una en dos cuotas anuales y otra en cuotas mensuales. ¿Cu´ al nos interesa si nuestro objetivo es el de devolver la menor cantidad posible? Soluci´ on: Calculemos los intereses generados en cada caso. 3 1. Puesto que el inter´es del 3 % anual se convierte en = 0, 25 % mensual y tenemos 24 meses 12 para devolverlo, el capital final ser´a: CF = 3000 · (1 + 0, 0025)24 = 3185, 27 e 2. En el caso de inter´es anual: CF = 3000 · (1 + 0, 03)2 = 3182, 7 e De lo anterior deducimos que preferimos la segunda forma.

4.

Anualidades de capitalizaci´ on

Antes de comenzar con las anualidades de capitalizaci´on, repasemos brevemente un concepto que ya vimos en su d´ıa y que no es otro que el de la suma de los n primeros t´erminos de una progresi´on geom´etrica. Recordemos que una progresi´on geom´etrica es una sucesi´on de t´erminos: a1 , a2 , . . ., an , . . . Esta sucesi´on funciona de la siguiente manera: a2 = a1 · R, a3 = a2 · R = a1 · R · R = a1 · R2 , ..., an = a1 · Rn−1 Por ejemplo, la sucesi´on 3, 6, 12, 24, 48, ... es una progresi´on geom´etrica de raz´on R = 2 y cuyo primer t´ermino es a1 = 3. Fij´emonos que a2 = 6 = 3 · 2, a3 = 3 · 22 y as´ı sucesivamente. Lo que nos va a interesar es c´omo hacer la suma de los n primeros t´erminos de esta progresi´on. Es decir, queremos hacer Sn = a1 + a2 + · · · + an . Para ello vamos a proceder de la siguiente manera: Sn = a1 + a2 + · · · + an R · Sn = R · a1 + R · a2 + · · · R · an = a2 + a3 + · · · an+1 R · Sn − Sn = an+1 − a1 =⇒ (R − 1)Sn = an+1 − a1 a1 · R n − a1 Rn − 1 an+1 − a1 = = a1 Sn = R−1 R−1 R−1 Sn = a1

Rn − 1 R−1

5

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Definici´ on 2. Las anualidades de capitalizaci´ on son aportaciones peri´odicas que hacemos al comienzo de cada a˜ no, para que, junto con los intereses que generan obtener un r´edito de nuestro dinero al cabo de t a˜ nos. Llamemos C a la cantidad fija que vamos a ingresar, r al r´edito, t al n´ umero de a˜ nos que mantenemos r : esos ingresos. Sea i = 100 • La primera cuota se convierte en C(1 + i)t , que es el capital que produce C en t a˜ nos. • La segunda cuota se convierte en C(1 + i)t−1 , que es capital que produce C en t − 1 a˜ nos. .. . • La u ´ltima cuota nos aporta C(1 + i) que es el capital que produce C en un a˜ no. Si sumamos el dinero que hemos producido durante los t a˜ nos, ser´a: desde el 1er a˜ no

desde el 2o a˜ no

u ´ltimo a˜ no z }| { z }| { z }| { C(1 + i)t + C(1 + i)t−1 + · · · + C(1 + i)

= C(1 + i) + C(1 + i)2 + · · · + C(1 + i)t−1 + C(1 + i)t Estamos ante la suma de t t´erminos de una progresi´on geom´etrica cuyo primer t´ermino es a1 = C(1+i) y de raz´on R = (1 + i). El capital final, que ser´a la suma de las cantidades ganadas por cada aportaci´on lo calcularemos mediante la suma de los n t´erminos de una progresi´on geom´etrica: a

z }|1 { (1 + i)t − 1 (1 + i)t − 1 CF = C(1 + i) =⇒ CF = C(1 + i) (1 + i) − 1 i Ejemplo 5. Se ingresan 2500 euros al a˜ no durante 15 a˜ nos al 3 % de inter´es anual. ¿Qu´e dinero se obtiene al final de ese periodo? 3 Soluci´ on: En nuestro caso, C = 2500, i = = 0, 03 y t = 15. 100 Apliquemos la identidad que nos calcula el capital final CF : CF = C(1 + i)

(1 + i)t − 1 (1, 03)15 − 1 = 2500(1, 03) · = 47892, 22 e i 0, 03

Ejercicio 4. Un trabajador inicia las aportaciones a su plan de pensiones cuando cumple 50 a˜ nos. Aporta 3 600 e cada a˜ no y el banco se compromete a aplicarle un 3 % de inter´es. ¿A cu´anto ascender´ a su capital el d´ıa que cumple los 65 a˜ nos? Soluci´ on: C = 66956, 09 euros. Ejercicio 5. Un producto de inversi´on de un banco ofrece el 2, 5 de inter´es anual. La condici´ on que impone dicho producto es que se tiene que aportar cada a˜ no 3000 euros. Si el producto nos aporta un total de 23 208, 3477 euros, ¿cu´antas anualidades de capitalizaci´on ha hecho? Soluci´ on: t = 7 a˜ nos. Ejercicio 6. ¿Qu´e anualidad tendr´ıamos que abonar al principio de cada a˜ no durante 12 a˜ nos para capitalizar o conseguir 18000 euros al 7 % anual ? Soluci´ on: C = 940, 41 euros. 6

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Anualidades de amortizaci´ on

Definici´ on 3. Las anualidades de amortizaci´ on son aportaciones peri´odicas que hacemos al final de cada a˜ no, para amortizar o cancelar una deuda que junto con sus intereses compuestos, durante un n´ umero de a˜ nos. Llamemos C a la cantidad fija que vamos a ingresar, r al r´edito, t al n´ umero de a˜ nos que mantenemos r : esos ingresos. Sea i = 100 • La primera cuota se convierte en C(1+i)t−1 , que es el capital que produce C en t−1 a˜ nos (recuerda que se aporta al final del primer a˜ no). • La segunda cuota se convierte en C(1 + i)t−2 , que es capital que produce C en t − 2 a˜ nos (se aporta al final del segundo a˜ no). .. . • La u ´ltima cuota nos aporta C que es el capital que produce C en 0 a˜ nos (se aporta al final del u ´ltimo a˜ no). Por supuesto, ese capital sumado es dinero nuestro depositado en el banco, que ha generado intereses. En total tendremos depositado: CF = C + C(1 + i) + C(1 + i)2 + · · · + C(1 + i)t−2 + C(1 + i)t−1 = C

(1 + i)t − 1 (1 + i)t − 1 = C (1 + i) − 1 i

Por otro lado, la deuda que hemos adquirido con el banco, D, a lo largo de t a˜ nos genera un montante de: CF = D(1 + i)t Puesto que ambos montantes deben coincidir: C

(1 + i)t − 1 Di(1 + i)t = D(1 + i)t =⇒ C = i (1 + i)t − 1

Ejemplo 6. Hemos firmado una hipoteca con el banco de 150000 a un inter´es anual del 3 %. ¿Cu´ al debe ser la amortizaci´on anual si queremos saldar la deuda en 15 a˜ nos? Soluci´ on: Aplicamos nuestra igualdad identificando i = 0, 03, D = 150000 y t = 15: C=

150000 · 0, 03 · (1, 03)15 = 3911, 83 e (1, 03)15 − 1

Ejemplo 7. Para la adquisici´on de un cami´on cuyo precio es de 75545, 6 euros una empresa dispone en su presupuesto de 9000 euros anuales, efectuando el pago al final de cada a˜ no. ¿Cu´antos pagos o anualidades de amortizaci´on debe hacer si se le aplica un 6 % anual? Soluci´ on: De nuevo, vamos a identificar lo que tenemos sabiendo que la inc´ognita ahora es el tiempo t. Sabemos que D = 75545, 6 e, C = 9000 e e i = 0, 06. Aplicamos nuestra igualdad: C=

Di(1 + i)t (1 + i)t − 1

Nuestro objetivo es despejar t, por lo que C=

Di(1 + i)t =⇒ Di(1 + i)t = C · [(1 + i)t − 1] (1 + i)t − 1 7

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Para despejar t aplicamos el logaritmo decimal una vez que hemos sustituido y aislado el t´ermino (1 + i)t . 75545, 6 · 0, 03 · (1, 06)t = 9000 · [(1, 06)t − 1] =⇒ 4527, 28 · 1, 06t = 9000 · 1, 06t − 9000 1, 06t · (9000 − 4527, 28) = 9000 =⇒ 1, 06t = 22, 012 =⇒ log (1, 06)t = log 22, 012 t · log 1, 06 = log 22, 012 =⇒ t =

log 22, 012 ≈ 12 log 1, 06

Ejercicio 7. Un pr´estamo de 120000 e con un inter´es anual del 6 % se ha de devolver en 20 cuotas anuales. ¿Cu´al es el importe de cada cuota? Soluci´ on: C = 10462, 15 e. Ejercicio 8. Una hipoteca de 180000 e con un inter´es anual del 6 % cuya cuota mensual es de 1 200, 58 e ¿cu´antos a˜ nos tardar´a en cancelarse? r Soluci´ on: 240 meses que equivale a 20 a˜ nos. (Recuerda que ahora i = y que t est´a en meses). 1200

5.1.

Tablas de amortizaci´ on

La tabla de amortizaci´ on nos ayudar´a a resumir toda la informaci´on de un pr´estamo. Contendr´a la cuota anual, los intereses del periodo, el capital amortizado y el capital pendiente. Vamos a elaborar la tabla de amortizaci´on de un pr´estamo de 22000 eal 8, 5 % durante 6 a˜ nos.  Calculemos la cuota anual identificando CF = 22000 e, i = 0, 085 y t = 6 a˜ nos: 22000 = C0 ·

(1 + 0, 085)6 − 1 =⇒ 22000 = C0 · 4, 554 =⇒ C0 = 4830, 92 e 0, 085(1 + 0, 085)6

 Calculamos el inter´es del periodo, es decir, los intereses generados por el capital pendiente: En 2015: 22000 · 0, 085 Anualidad 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

6.

Cuota anual (e)

Intereses periodo (e)

Capital amortizado (e)

4830, 92 4830, 92 4830, 92 4830, 92 4830, 92 4830, 92

1870, 00 1618, 32 1345, 25 1048, 97 727, 50 378, 71

2960, 92 3212, 60 3485, 67 3781, 95 4103, 42 4452, 21

Pendiente (e) 22000, 00 19039, 08 15826, 48 12340, 81 8558, 86 4455, 45 0, 00

N´ umeros ´ındice

Los n´ umeros ´ındice se utilizan para comparar cantidades de una forma sencilla. Fijaremos el ´ındice 100 para cada magnitud en un determinado momento, que tomaremos como periodo base y transformaremos los dem´as datos proporcionalmente al periodo base. Ejemplo 8. Las siguientes tablas muestran, en primer lugar, las cantidades de ocho alimentos diferentes, consumidas por persona y a˜ no en el periodo 2005 − 2008. La segunda, es la tabla de n´ umeros ´ındice tomando como referencia el consumo de alimentos en el a˜ no 2005. 8

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Huevos (uds.) Carne (kg.) Pescado (kg.) Leche (l.) Pan (kg.)

2005 162, 2 54, 2 27, 8 91, 3 47, 4

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2006 155, 6 53, 1 28, 6 90, 4 46, 9

2007 149, 3 52 28, 4 87, 3 45, 9

2008 134, 4 50, 6 28, 2 82, 5 43, 4

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Huevos (uds.) Carne (kg.) Pescado (kg.) Leche (l.) Pan (kg.)

2005 100 100 100 100 100

2006 96 98 103 99 99

2007 92 96 102 96 97

2008 88 93 101 90 92

En nuestro caso, el periodo base es el a˜ no 2005. A partir de los datos del resto de magnitudes tomando las de 2005 como referencia obtenemos el resto de ´ındices. Por ejemplo, para el caso de los huevos en el 2007, puesto que 162, 2 corresponde al 100 %, una simple regla de tres nos dir´a que en 2007 obtendremos un “porcentaje” de 92. Si 162, 2 7−→ 100 % 149, 3 7−→ x =⇒ x =

149, 3 · 100 ≈ 92 162, 2

Ejercicio 9. La tabla muestra el PIB per c´apita de cinco pa´ıses, en el periodo 2007 − 2011. Elabora una tabla de n´ umeros ´ındice tomando como ´ındice 100 los datos correspondientes a 2008 y despu´es a 2010. Espa˜ na Ecuador Marruecos China Australia

7.

2007 32315, 83 3285, 52 2425, 68 2691, 02 46590, 84

2008 35294, 63 3856, 41 2873, 65 3472, 03 48822, 64

2009 31902, 19 3647, 7 2873, 67 3864, 55 46, 055, 81

2010 30148, 81 4008, 24 2841, 9 4514, 94 57631, 11

2011 31820, 23 4526, 19 3106, 53 5439, 47 67039, 08

Tasa anual equivalente (T.A.E.)

Al depositar una cantidad de dinero o solicitar un pr´estamo en un banco, la informaci´on sobre los intereses que se aplicar´an suele ser anual. Sin embargo, hay productos cuya cuota (capitalizar o amortizar) se hace en plazos inferiores, como por ejemplo en meses. Si queremos tener una informaci´on anual de dicho producto, nos tienen que informar sobre la Tasa anual equivalente (TAE). Definici´ on 4. La Tasa Anual Equivalente (TAE) es el inter´es producido por 1 euros en un a˜ no. Si p es el n´ umero de veces al a˜ no que se hace la liquidaci´on y r % es el r´edito del producto, podemos calcular la TAE mediante:  p  i r TAE = 1+ − 1 · 100, siendo i = p 100 Ejercicio 10. A la hora de hacer frente un pr´estamo cuyo inter´es anual es del 5 %, nos ofrecen la posibilidad de hacer los pagos por meses, trimestres, semestres o mediante un u ´nico pago anual. Si el objetivo es pagar lo menos posible, ¿qu´e periodo nos interesa m´as? Soluci´ on: Averig¨ uemos la TAE en cada caso y la que resulte inferior es la que nos interesa. • Cuotas mensuales: p = 12 e i = 0, 05 " T AE =

0, 05 1+ 12

12

# − 1 · 100 ≈ 5, 12 %

9

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• Cuotas trimestrales: p = 4: " T AE =

0, 05 1+ 4

4

0, 05 1+ 2

2

# − 1 · 100 ≈ 5, 09 %

• Pagos semestrales: p = 2: " T AE =

# − 1 · 100 ≈ 5, 06 %

• Pago anual: p = 1: " T AE =

0, 05 1+ 1

11

# − 1 · 100 = 5 %

Est´a claro que a m´as cuotas, m´as dinero pagaremos.

8.

Ejercicios del tema

1. Una bicicleta cuesta 300 esin IVA. Si le aplican el 16 % de IVA, ¿cu´anto deber´e pagar por ella? (Soluci´ on: PF = 348 e). 2. Despu´es de subir un 20 %, un art´ıculo vale 45, 60 euros. ¿Cu´anto val´ıa antes de la subida? (Soluci´ on: P0 = 38 e). 3. Despu´es de rebajarse en un 35 %, un art´ıculo vale 81, 90 euros. ¿Cu´anto val´ıa antes de la rebaja? (Soluci´ on: P0 = 126 e). 4. En un ordenador que el a˜ no pasado costaba 950 e, se aument´o su precio un 10 % y luego se rebaj´o un 15 %. ¿Cu´al es su precio actual? (Soluci´ on: PF = 888, 25 e). 5. Colocamos en un banco 9000 euros al 4, 5 %, percibiendo los intereses semestralmente. Si hemos cobrado 607, 5 euros en concepto de intereses, ¿cu´anto tiempo hemos tenido el dinero en el banco? (Soluci´ on: t = 3 semestres). 6. Un banco ofrece un dep´osito en el que, por una inversi´on de 15000 e durante 15 meses se regala un televisor valorado en 630 e. ¿Qu´e r´edito ofrece el dep´osito? (Soluci´ on: r = 3, 36 %). 7. Un capital de 1000 euros colocado al 12 % de inter´es simple durante tres a˜ nos, ¿en qu´e capital se transforma? (Soluci´ on: CF = 3360 e). 8. Un banco nos concede un pr´estamo de 10000 e al 12 % anual. En el momento de la formalizaci´on nos cobra unos gastos de 500 e. Realizamos un solo pago al cabo de un a˜ no, tomando periodos de capitalizaci´on mensuales. ¿Cu´al es la T.A.E.? (Ten en cuenta que nos dieron 9500 ey que hemos de devolver 10000 · 1, 12). ¿Y si lo tuvi´eramos que devolver, ´ıntegro, a los dos a˜ nos? (Soluci´ on: Nos dieron 9500 e y hemos de devolver 11268, 25 e. Por tanto, la T.A.E. ser´a del 18, 6 %. Como nos dan 9500 e y tenemos que devolver 10000 · 1, 0124 = 12697, 35, la TAE es del 33, 7 %).

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Matem´atica Financiera

9. Nos venden un coche por 1800 euros. Me ofrecen un cr´edito al 8 % anual. ¿Qu´e cuota mensual nos permitir´a amortizar la deuda en dos a˜ nos? (Soluci´ on: 81, 41 euros.) 10. Comprueba que podemos amortizar 10000 e al 10 % anual mediante cuatro pagos trimestrales de 2658, 18 e cada uno. 11. Calcula en cu´anto se transforman 5 000 euros en un a˜ no al 10 % si los periodos de capitalizaci´on son: a) semestres; b) trimestres; c) meses. Di, en cada caso, cu´al es la T.A.E. correspondiente. (Soluci´ on: a) 5512, 5, T.A.E. del 10, 25 %, b) 5519, 06, T.A.E. del 10, 38 %, c) 5523, 56 T.A.E. del 10, 47 %). 12. Una persona paga un coche en sesenta mensualidades de 333, 67 e. Si el precio del dinero est´a al 12 % anual, ¿cu´al ser´ıa el precio del coche si se pagara al contado? (Soluci´ on: 15000). 13. Recibimos un pr´estamo de 8500 e al 15 % anual, que hemos de devolver en un solo pago. ¿Cu´antos a˜ nos han transcurrido si al liquidarlo pagamos 14866, 55 e? (Soluci´ on: t = 4 a˜ nos). 14. Una inversi´on ofrece el 2 % anual, siempre que se inviertan 4000 al a˜ no. Si al final del periodo de inversi´on se reciben 16816, 16 e, ¿cu´al ha sido el tiempo que se ha mantenido el plan? (Soluci´ on: t = 4 a˜ nos). 15. Mi banco me ofrece un 3 % anual si al comienzo de cada a˜ no ingreso 1000 e y mantengo los ingresos durante 5 a˜ nos. ¿Qu´e dinero conseguir´e con dicho producto? (Soluci´ on: CF = 5309, 14 e). 16. Una entidad financiera cobra un inter´es mensual del 1, 5 % en sus cr´editos al consumo. ¿Cu´al es la TAE de ese producto? (Soluci´ on: 19, 56 %). 17. Halla la anualidad con la que se amortiza un pr´estamo de 40000 euros en 5 a˜ nos al 12 % anual. (Soluci´ on: 11096, 39 euros). 18. Pablo contrata un plan de pensiones a los 36 a˜ nos, con cuotas mensuales de 95 eal 6, 6 % anual, con periodos de capitalizaci´on mensuales. Calcula el capital que tendr´a a los 65 a˜ nos. (Soluci´ on: 99772, 23 e). 19. Calcula el valor de la anualidad con la que se amortiza un pr´estamo de 25000 euros en 6 a˜ nos al 10 % de inter´es anual. (Soluci´ on: 5740, 18 euros). 20. Recibimos un pr´estamo de 21000 e al 8 % anual que amortizamos pagando, cada trimestre, una cuota de 2866, 71 e. ¿Cu´anto tiempo tardaremos en saldar la deuda? (Soluci´ on: Saldaremos la cuenta en 8 trimestres, es decir, 2 a˜ nos). 21. Un banco concede un pr´estamo de 32000 e al 8, 1 % anual. En el momento de gestionar el pr´estamo, cobran 480 e de gastos de administraci´on. Si el pr´estamo se devuelve al cabo del a˜ no con plazos mensuales, ¿cu´al es la T.A.E.? (Soluci´ on: La T.A.E. ser´a del 10, 06 %).

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22. Una empresa estudia la evoluci´on de los precios en euros de tres componentes (A, B, C) para una pieza en los u ´ltimos 5 a˜ nos. A˜ no A B C 1 3 4 1 2 4 6 1, 5 3 5 6, 5 2 4 4, 5 7 2, 5 5 7 4 3 Elabora una tabla de n´ umeros ´ındice tomando como periodo de referencia el a˜ no 1. 23. El consumo en combustible en una empresa (en miles de litros) u los ´ındices de precios del combustible en seis a˜ nos han sido: A˜ no 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Consumo 60 70 75 78 80 85

24. Una empresa de electrodom´esticos facilita la serie de n´ umeros ´ındices del precio medio de frigor´ıficos durante el periodo (2005 − 2011), con base en 2000. A˜ no 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Consumo 114 123 131 176 202 208 212

EL precio del frigor´ıfico en 2005 fue de 420 euros. ¿Cu´al ser´ıa el precio del electrodom´estico en 2011? (Soluci´ on: Precio 781 euros).

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