Sistemas de Amortizacion
November 20, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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SISTEMAS DE AMOR AMORTIZACIÓN TIZACIÓN Un sistema de amortización es una forma de pago estandarizada, es un modelo. Existen formas de pago no estandarizadas que son los acuerdos a los que arriben las partes. Matemáca Financiera - 1 2020
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Sistemas de amortización - Clasificación: Pago de intereses ♣ Vencidos Sistema Francés Sistema Alemán (cuota decreciente) Sistema Americano ♣ Adelantados Sistema Alemán
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Sistemas de Amortización - Clasificación: Por el importe de las cuotas: §
Fijas. Tal como en los sistemas clásicos o
§
Variables. Pueden variar en función del capital y/o del interés.
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Sistemas de Amortización - Clasificación: Por la periodicidad de las cuotas: §
Sincrónicas Los pagos se hacen entre tiempos iguales
§
Asincrónicas Los pagos se realizan entre tiempos diferentes
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Sistema francés Es una forma de pago donde la cuota es constante y el interés es sobre saldos, donde el destino — composición interna— de todas y cada una de las cuotas es el pago de interés y capital. El importe del préstamo será igual a la sumatoria de los valores actuales de todos y cada uno de sus futuros pagos. Es en este caso, el Sistema Francés, coincidente con el concepto de una renta propiamente dicha de pago vencido . Matemáca Financiera - 1 2020
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Nomenclatura: §
Vo = Valor del préstamo.
§
n = Cantidad de cuotas del préstamo.
§
α = Cuota.
§
α k = C k + I k
§
α k = Cuota que se pagó en el período “k”.
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Nomenclatura: §
k = Momento en que vence el período “k”. Cuotas pagadas hasta ese momento.
§
C k = Amortización, Amortización, capital, que contiene la cuota que se abona en “k”.
§
I k = Interés que contiene la cuota que se abona en el período “k”.
§
E k = Total amortizado hasta el período “k”.
§
R k = Resto o saldo a pagar en el período “k”. Matemáca Financiera - 1 2020
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Gráficamente: 0
1
2
k
n-1
n
/ ---------- / ---------- / --- ........ ------- / ---------- / ---------- / ---------- / Vo
α1
α 2
α k
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α n-1
α n
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Importe del préstamo Por lo tanto el importe del préstamo será: Vo = α ao = α 1 - ( 1+i ) -n
i
Importe de la cuota El importe de la cuota que cancela el préstamo será: α = Vo i .
1-(1+i)n Matemáca Financiera - 1 2020
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Cuota Importe 0
Interés
Capital
Acumulado
Resto R ko = Vo
12
α 1 α 2
I k1 I k2
C k1 C k2
E k1 E k2
R k1 R k2
n
α n
I kn
C kn
E kn
R kn = 0
Interés
Capital
Acumulado
Resto
Cuota Importe 0 1 α 1 2 α 2 n α n
R * i ko R k1 * i
α -I 1 k1 α 2 - I k2
C k1 C k1 + C k2
R ko = Vo αa n-k1 α a n-k2
R kn-1 * i
α n - I kn
E kn = R ko = C k1
R kn = 0
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Cuota 0 1 2 3 4 5 6 7
Importe
Interés
$ $ $ $ $ $ $
114,258.76 114,258.76 114,258.76 114,258.76 114,258.76 114,258.76 114,258.76
8 9
$ $
114,258.76 $ 114,258.76 $
8,158.14 $ 5,505.63 $
10
$
114,258.76 $
2,786.80 $
$ $ $ $ $ $ $
Capital
i = 0,025 25,000.00 22,768.53 20,481.28 18,136.84 15,733.79 13,270.67 10,745.96
$ $ $ $ $ $ $
89,258.76 91,490.23 93,777.49 96,121.93 98,524.97 100,988.10 103,512.80
Acumulado $ $ $ $ $ $ $
106,100.62 $ 108,753.14 $
89,258.76 180,749.00 274,526.48 370,648.41 469,173.38 570,161.48 673,674.28
Resto $ 1,000,000.00 $ 910,741.2 910,741.24 4 $ 819,251.0 819,251.00 0 $ 725,473.5 725,473.52 2 $ 629,351.5 629,351.59 9 $ 530,826.6 530,826.62 2 $ 429,838.5 429,838.52 2 $ 326,325.7 326,325.72 2
779,774.90 $ 888,528.04 $ $ 111,471.96 111,471.96 $ 1,000,000.00 1,000,000. 00
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220,225.1 220,225.10 0 111,471.96 111,471.96 -
11
$120,000.00
$100,000.00 $80,000.00 $60,000.00 $40,000.00 $20,000.00 $0.00
1
2
Imp mpo orte
3
4
5
6
Int nte erés i = 0,025 Matemáca Financiera - 1 2020
7
8
9
10
Capita tall 12
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Resto en el período “k” El importe del préstamo es siempre igual al total amortizado más el resto que a ese momento se adeuda, luego: V0 = R 0 E0 = 0 V0 = E0 + R 0
R k = V0 - E k
Por otra parte también es válido afirmar que el resto que se adeuda en el período “k” será igual al valor actual de las cuotas futuras:
R k = = α a n-k
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Intereses en el período “k” El interés en el período “k” es igual a la tasa de interés por el resto en el período inmediato anterior o sea en “k -1”, luego: Ik = i R k-1
Ik = i α an-(k-1)
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Capital contenido en la cuota del período “k” El capital contenido en la cuota es igual al total de la misma menos el interés, luego: C k = α –α Ik
Ck = α- i α an-(k-1)
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Total amortizado en el momento “k” El total amortizado en el momento “k” es igual al importe del préstamo menos el resto en ese mismo momento. Ek = V0 - R k
Ek = = V0 - α an-k
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Sistema alemán – Interés vencido – Cuota decreciente Se da el caso que en la práctica, comercial y financiera, es de frecuente uso una forma de pago cuya cuota está conformada por capital e interés, donde: ♣ El capital se obtiene de dividir el total adeudado por la cantidad de cuotas, es decir es una suma constante ♣ Los intereses son sobre saldos.
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Resulta así un sistema de cuotas decrecientes y se lo denomina “Sistema Alemán”. Este nada tiene que ver con el precitado de pago de intereses adelantados pero se los llama de la misma manera.
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Sistema Alemán – Interés vencido - Nomenclatura §
Vo = Importe del préstamo.
§
α = Cuota.
§
α k = C k + I k
§
α k = = Cuota que se pagó en el período “k”.
§
n = Cantidad de cuotas del préstamo.
§
k = Momento en que vence el período “k”.
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Sistema Alemán – Interés vencido - Nomenclatura §
C k = Amortización Amortización real contenida en la cuota del período “k”.
§
I k = Interés que contiene la cuota que se abona en el período “k”.
§
E k = Total amortizado en el período “k”.
§
R k = Resto o saldo a pagar en el período “k”.
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Sistema Alemán II - Desarroll Desarrolloo de las fórmulas Capital Capital contenido en la cuota del período “k” Ck = Vo /n Interés contenido en la cuota del período “k” Interés Ik = R k-1 i Cuota de pago αk = Ck + Ik
αk = Vo/n + R k -1 i
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Cuota 0 1 $ 2 $ 3 $
Importe
Interés
Capital
Acumulado
Resto
i = 0,025
C = Vo / n
$ 1,000,000.00
125,000.00 $
25,000.00 $
100,000.00 $
100,000.00 $
900,000.00
122,500.00 $
22,500.00 $
100,000.00 $
200,000.00 $
800,000.00
120,000.00 $
20,000.00 $
100,000.00 $
300,000.00 $
700,000.00
$
117,500.00 $
17,500.00 $
100,000.00 $
400,000.00 $
600,000.00
$
115,000.00 $
15,000.00 $
100,000.00 $
500,000.00 $
500,000.00
$
112,500.00 $
12,500.00 $
100,000.00 $
600,000.00 $
400,000.00
$ $
110,000.00 $ 107,500.00 $
10,000.00 $ 7,500.00 $
100,000.00 $ 100,000.00 $
700,000.00 $ 800,000.00 $
300,000.00 200,000.00
$
105,000.00 $
5,000.00 $
100,000.00 $
900,000.00 $
100,000.00
10 $ 102,500.00 $
2,500.00 $
100,000.00 $ 1,000,000.00 $
-
4 5 6 7 8 9
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Sistema Alemán – Cuota decreciente
$140,000.00 $120,000.00 $100,000.00 $80,000.00 $60,000.00 $40,000.00 $20,000.00 $0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Sistema americano Este sistema se basa en el concepto de que periódicamente se pagan intereses a la tasa “i” (V0 i) y a su vencimiento el pago total de la deuda (V0). A efectos de contar con el capital para cancelar el crédito al vencimiento del plazo en cada oportunidad que se pagan intereses se destina una suma a efectos de conformar un ahorro de valor V 0
Evidentemente se trata de una imposición (V0 Sni’-1) cuya tasa de interés la llamaremos “i’”.
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Simbología §
Vo = Valor del préstamo. présta mo.
§
α = Cuota.
§
i = Tasa Tasa de interés que se paga por el préstamo.
§
i’ = Tasa Tasa de interés que se cobra por el dinero que q ue se deposita. d eposita.
§
n = Cantidad de cuotas del préstamo.
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Desarrollo Desarrol lo de las fórmulas Luego la cuota “α” “α” a pagar en cada vencimiento será: Cuota = Interés + ahorro α = Vi + V S
-1
ni’
α = V (i + Sni’-1) Gráficamente 0 1 n-1 n / ---------------------- / ---------------........... ------- / ------------------------/ V0 α1 αn-1 αn
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Cuota
Interés Pasivo
0
i = 0,025
Cuota de la Imposición
Total Ahorrado
Total de la Interés Activo cuota i´ = 0,20
1
$
25 250. 0.00 00 $
91 913. 3.27 27 $
1,16 1,163. 3.27 27
2
$
250 250.00 .00 $
913 913.27 .27 $
3 4 5
$ $ $
250 250.00 .00 $ 250 250.00 .00 $ 250 250.00 .00 $
6 7
$ $
8 9 10
Resto $ 10,000.00
$
91 913. 3.27 27 $ 10 10,0 ,000 00.0 .00 0
1,163 1,163.27 .27 $
18.27 18.27 $
1,844 1,844.80 .80 $ 10,000 10,000.00 .00
913 913.27 .27 $ 913 913.27 .27 $ 913 913.27 .27 $
1,163 1,163.27 .27 $ 1,163 1,163.27 .27 $ 1,163 1,163.27 .27 $
36.90 36.90 $ 55.90 55.90 $ 75.28 75.28 $
2,794 2,794.96 .96 $ 10,000 10,000.00 .00 3,764 3,764.12 .12 $ 10,000 10,000.00 .00 4,752 4,752.67 .67 $ 10,000 10,000.00 .00
250 250.00 .00 $ 250 250.00 .00 $
913 913.27 .27 $ 913 913.27 .27 $
1,163 1,163.27 .27 $ 1,163.2 1,163.27 7 $
95.05 95.05 $ 115 15.22 .22 $
5,760 5,760.99 .99 $ 10,000 10,000.00 .00 6,78 6,789.4 9.47 7 $ 10,000 10,000.00 .00
$ $
250 250.00 .00 $ 250 250.00 .00 $
913 913.27 .27 $ 913 913.27 .27 $
1,163.2 1,163.27 7 $ 1,163.2 1,163.27 7 $
135 135.79 .79 $ 156 156.77 .77 $
7,838.5 7,838.53 3 $ 10,000 10,000.00 .00 8,908.5 8,908.56 6 $ 10,000 10,000.00 .00
$
250.00 250.00 $
913.2 913.27 7 $
1,16 1,163.27 3.27 $
178.1 178.17 7 $ 10,0 10,000.0 00.00 0 $ 10,0 10,000.0 00.00 0
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SISTEMAS DE AMORTIZACION Con pago de intereses intereses adelantados Sistema Alemán El sistema de cancelación de deudas con pago de intereses, sobre
saldos, adelantados se lo conoce como “Sistema Alemán Alemán”. ”. El primer pago, al inicio de la vida del sistema, es solo intereses y el último pago es, necesariamente, solo capital. Las restantes cuotas contienen parte de interés y parte de capital, al ser el interés sobre saldos la composición interna de la cuota va variando, la participación del interés en la composición de la cuota tiende a decrecer en el tiempo, y, consecuentemente, aumentar la del capital.
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Nomneclatura: § § § §
V = Valor Valor del pr préstamo éstamo o Α = Cuota i = Tasa de interés que se paga por el préstamo. n = Cantidad de cuotas del préstamo.
Formulas Valor actual: Vo = α 1 - (1 - i)n Cuota:
i α = Vo
i 1 - (1 - i)n
.
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Cuota 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Cuota $ $ $ $ $ $ $ $
109, 109,333 333.12 .12 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2 109,33 109,333.1 3.12 2
9
$
109,33 109,333.1 3.12 2 $
10
$
109,33 109,333.1 3.12 2
$ $ $ $ $ $ $ $ $
Total $ 1,093,331.16 $
Interes 20,0 20,00 00.00 0.00 18,17 18,176.8 6.88 8 16,31 16,316.5 6.54 4 14,41 14,418.2 8.25 5 12,48 12,481.2 1.21 1 10,50 10,504.6 4.64 4 8,4 8,487 87.73 .73 6,4 6,429 29.66 .66 4,3 4,329 29.59 .59
Capital $ $ $ $ $ $ $ $
2,1 2,186 86.66 .66 $ $
91, 91,156 156.24 .24 93, 93,016 016.57 .57 94, 94,914 914.87 .87 96, 96,851 851.91 .91 98, 98,828 828.48 .48 100 100,84 ,845.3 5.38 8 102 102,90 ,903.4 3.45 5 105 105,00 ,003.5 3.52 2
Total Pagado $ $ $ $ $ $ $ $
107 107,14 ,146.4 6.45 5 $
91, 91,156 156.24 .24 184,17 184,172.8 2.81 1 279,08 279,087.6 7.68 8 375,93 375,939.5 9.59 9 474,76 474,768.0 8.07 7 575,61 575,613.4 3.45 5 678,51 678,516.9 6.91 1 783,52 783,520.4 0.43 3
Resto $ 1,00 ,000,0 0,000.0 00.00 0 $ 908, 908,843 843.76 .76 $ 815 815,82 ,827.1 7.19 9 $ 720 720,91 ,912.3 2.32 2 $ 624 624,06 ,060.4 0.41 1 $ 525 525,23 ,231.9 1.93 3 $ 424 424,38 ,386.5 6.55 5 $ 321 321,48 ,483.0 3.09 9 $ 216 216,47 ,479.5 9.57 7
890,66 890,666.8 6.88 8 $ $ 109,33 109,333.1 3.12 2 $ 1,0 1,000, 00,000 000.00 .00
113,331.16 $ 1,000,000.00
109 109,33 ,333.1 3.12 2 -
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