PROGRAMACION LINEAL

ACTIVIDAD 6. TRABAJO COLABORATIVO 1. PROGRAMACION LINEAL

GRUPO 34

JUAN CARLOS VALDERRUTEN GUARIN OMAR MONTAÑO TORRES FABIÁN H. ÇEDANO CAMARGO RAUL MORERA AVILA LUIS ALBERTO MELO VALENCIA

CODIGO 16771122 CODIGO 16792094 CODIGO 16774358 CODIGO 16747476 CODIGO 16784540

TUTOR: EDGAR MAURICIO ALBA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PALMIRA ABRIL DE 2014

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INTRODUCCION El material presentado a continuación pretende identificar la importancia que tiene la programación lineal, para la solución de problemas por medio de la construcción de modelos matemáticos, usados en la Investigación de Operaciones y la solución de problemas reales, tales como modelos de programación lineal, que no es otra cosa, que asignar recursos limitados entre actividades de la forma más óptima posible, mediante un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas, para aplicarlos a diferentes sistemas con el fin de mejorarlos, obteniendo grandes beneficios y optimización de las actividades en las organizaciones. En esta primera unidad (Introducción a la programación lineal) hemos trabajado en grupo, con la intención de construir conocimientos básicos de la Investigación de Operaciones y la utilización de un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicables a diferentes sistemas con modelos matemáticos, clasificados como determinísticos, híbridos y estocásticos, acompañados de la presentación de ejemplos y ejercicios, contemplados en la primera unidad del módulo del curso.

MODELO I.O 1. Elabore una síntesis de cada modelo clasificándolo de acuerdo al cuadro anexo. MODELO DETERMINÍSTICO Los modelos determinísticos son los que hacen predicciones definidas de cantidades, dentro de cualquier distribución de probabilidades; también se les puede definir como aquellos que se aplican a problemas en los que hay un solo estado de la naturaleza, y donde variables, limitaciones y alternativas son, después de que se aceptan los supuestos, conocidos, definibles, finitos y predecibles con confidencia estadística. Algunos modelos, herramientas o técnicas determinísticas son: programación lineal, análisis de Markov, costo/beneficio, entre otros (krone, 1980; López, 2001). En otras palabras, un modelo determinístico se construye para una condición de certeza supuesta, y el modelo asume que solo hay un resultado posible (el cual es conocido) para cada acción o curso alternativo (Malczewski, 1999). Los modelos determinísticos tienen las siguientes características: Como la literatura del modelo estocástico se ha ganado la atención en la economía, los modelos determinísticos se han convertido en algo raro. Los ejemplos incluyen los modelos OLG (Modelos de Generaciones Traslapadas) sin incertidumbre agregada. Estos modelos suelen ser introducidos para estudiar el impacto de un cambio en el régimen, como la introducción de nuevo impuesto, por ejemplo. Asume toda la información, hay suposición perfecta y no hay incertidumbre en torno a los choques. Los choques pueden afectar a la economía de hoy o la de cualquier momento en el futuro, dado el caso de previsión perfecta. También puede durar uno o varios períodos.

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Muy a menudo, sin embargo, los modelos introducen un choque positivo hoy y ningún choque a partir de entonces (con certeza) MODELOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos determinísticos y probabilísticos como la teoría de inventarios. a) La programación dinámica es un método para reducir el tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la utilización de subproblemas superpuestos y subestructuras óptimas, como se describe a continuación. El matemático Richard Bellman inventó la programación dinámica en 1953 que se utiliza para optimizar problemas complejos que pueden ser discretizados y secuencializados. b) Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga su salida. Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos. MODELOS ESTOCASTICOS Se denomina estocástico (del latín stochasticus, que a su vez procede del griego στοχαστικός, "hábil en conjeturar")1 al sistema cuyo comportamiento es intrínsecamente no determinista. Un proceso es aquel cuyo comportamiento es no determinista, en la medida que el subsiguiente estado del sistema está determinado tanto por las acciones predecibles del proceso como por elementos aleatorios. No obstante, de acuerdo a M. Kac2 y E. Nelson,3 cualquier desarrollo temporal (sea determinista o esencialmente probabilístico) que pueda ser analizable en términos de probabilidad merece ser denominado como un proceso estocástico. Un proceso estocástico es aquel cuyo comportamiento es no determinista, en la medida que el subsiguiente estado del sistema está determinado tanto por las acciones predecibles del proceso como por elementos aleatorios. Cualquier desarrollo temporal (sea determinístico o esencialmente probabilístico) que pueda ser analizable en términos de probabilidad merece ser denominado como un proceso estocástico.

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a) Teoría de las colas: En ciencias de la computación, y más específicamente en investigación de operaciones, la teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros. La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones. b) Teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego c) El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de un proyecto, entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entre sí, donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.

2. Ilustre con un ejemplo cada modelo Ejemplo modelo determinístico de programación entera. Un fabricante de dos productos A y B dispone de 6 unidades de material y 28 Horas para su ensamblaje, el modelo A requiere 2 unidades de material y 7 horas de ensamblaje, el modelo B requiere una unidad de material y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son $120 y $80 respectivamente. ¿Cuántos productos de cada modelo debe fabricar para maximizar su ingreso? Sea x1 y x2 la cantidad de productos a producir de A y B El objetivo se Expresa Como: Maximizar z = 120x1 + 80x2 El fabricante está sujeto a dos restricciones: De Material: 2x1 + x2 6 De Horas: 7x1 + 8x2 28 De no negatividad x1 0 y x2 0 Además no se venden productos no terminados por lo tanto las variables x1 y x2 deben ser enteras.

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Programación no lineal En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-¥, ¥). Si la búsqueda se circunscribe a un sub intervalo finito [a,b] el problema es de optimización no lineal restringida y se transforma a Optimizar z = f(x) con la condición a x b. Optimización no lineal multivariable Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir: Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restringido. Ejemplo Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 Km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al Norte) respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. Sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A. Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias: Ö (x12 + x22) + Ö ((x1 - 300)2 + (x2 - 400)2) + Ö ((x1 - 700)2 + (x2 - 300)2) No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal sin restricciones. Programación Cuadrática Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa matemático en el cual cada restricción es lineal pero el objetivo es cuadrático se conoce como programa cuadrático, es decir f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi Ejemplo

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Minimizar z = x12 + x22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3 Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 = 1 y d1 = d2 = 0. Programación Dinámica El programa matemático: Optimizar z = f1(x1) + f2(x2) +... + f(xn) Con la condición x1 + x2 + ... + xn b Con todas las variables enteras y no negativas. En que las funciones fi (xi) son funciones no lineales conocidas de una sola variable, b es un número entero conocido. Corresponde al modelo importante de decisión en etapas múltiples en que el número de etapas es n. La etapa 1 comprende la especificación de la variable x1 con contribución f1(x1) al rendimiento total; etc. La programación dinámica es una forma de enfoque de los procesos de decisión de optimización de n etapas. Ejemplo Una persona dispone de $4000 para invertir y se le presentan tres opciones de inversión. Cada opción requiere de depósitos en cantidades de $1000, puede invertir lo que desee en las tres opciones.Las ganancias esperadas son las siguientes Inversión Ganancias | 0 | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | Opción 1 | 0 | 2000 | 5000 | 6000 | 7000 | Opción 2 | 0 | 1000 | 3000 | 6000 | 7000 | Opción 3 | 0 | 1000 | 4000 | 5000 | 8000 | ¿Cuánto dinero deberá invertirse en cada opción para maximizar las ganancias? Sea z la ganancia total, que es la suma de las ganancias de cada opción, las inversiones tienen la restricción de ser múltiplos de $1000, la tabla muestra las fi(x) = Etapa i, (i = 1,2,3), x es la cantidad de dinero invertida en cada opción. El programa matemático es el siguiente: Maximizar z = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) La persona sólo posee $4000 para invertir: Las condiciones son:

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X1 +x2 + x3 4000 Con todas variables enteras y no negativas. 3. Escriba la importancia que tiene la investigación de operaciones en su carrera profesional. Considero que la Investigación de operaciones es muy importante en mi vida profesional como Administrador de Empresas ya que la aplicación de las diferentes metodologías me permite solucionar de la manera más óptima posible problemas cotidianos que se pueden presentar en una empresa, permitiendo la maximización de beneficios a través de la optimización de recursos y tomar las decisiones más acertadas para los intereses de la parte que represento. A través de la investigación de operaciones, puedo modelar y simular situaciones reales de la Empresa para determinar las posibles soluciones de las mismas mediante o la utilización de técnicas diversas permitiendo la toma de decisiones basadas en un proceso analítico. La importancia que tiene la investigación de operaciones en mi carrera de Ingeniería de Sistema es que a partir de ella puedo solucionar problemas con un mayor análisis de los diferentes factores que intervienen en dicho problema, La investigación de operaciones en creo que es muy importante en todas las carreras por que proporciona herramientas lógicas para analizar distintos problemas que se puedan presentar en nuestros trabajos e incluso los de la vida diaria, con el cual el principal objetivo es encontrar la mejor solución. Definitivamente los modelos matemáticos son de gran importancia para las empresas por la forma en que pueden aplicarse a los procesos, es por eso que en mi caso como Administrador de Empresas la investigación de operaciones, será de gran ayuda en la resolución de problemas de control y sistemas, para soportar la toma de decisiones, de modo que sirvan para mejorar los objetivos de la organización. La investigación operacional está al servicio del hombre de acción. Su propósito es el de preparar la elección de éste entre diferentes medios o métodos disponibles para realizar todo objetivo que se proponga, de modo que se optimice el resultado en relación a un cierto criterio de juicio. Ciertamente, fundándose en la experiencia y la intuición es como cada uno de nosotros asume las innumerables decisiones que implica la vida profesional o privada. Sin embargo, algunas de entre ellas merecen un estudio más profundo, en razón de sus consecuencias y de la complejidad de la situación en la cual se inscriben. EJERCICIOS PERSONALES OMAR MONTAÑO: La compañía O.M.T fabrica dos modelos de teléfonos de tecnología IP (KX-TS500LX y KY- TT300MX) en los cuales tiene los siguientes requerimientos de producción. En el departamento 1 fabrican 20 del KX-TS500LX no producen ninguno del modelo KYTT300MX en 2.300 horas.

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En el departamento 2 fabrican 30 del modelo KY-TT300MX y ninguno del modelo KXTS500LX en 1.540 horas. En el departamento 3 producen 25 del modelo KX-TS500LX y 23 del modelo KY-TT300MX en 2.440 horas. Y en el departamento 4 producen 11 de cada uno de los modelos en 1.300 horas. Los beneficios alcanzados por la venta del modelo KX-TS500LX son de $5,000 y del modelo KX-TS500LX son de $4.000 Se necesita encontrar el número óptimo de cada producto que se va a producir. Si la compañía OMT está produciendo actualmente 30 unidades del modelo KX-TS500LX y 20 del modelo KX-TS500LX; cuanto está dejando de ganar?

PRESENTACIÓN DE FORMA CANÓNICA Maximizar Z= 50X1 + 40X2 Sujeto a

20X1 < 2.300 30X2 < 1.540 25X1 + 23X2 < 2.440 11X1 + 11X2 < 1.300 XJ > 0; J= 1, 2

JUAN CARLOS VALDERRUTEN: El almacén Deportivo “EL GRAN ATLETA” encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de Poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 MIL y el de la chaqueta en 40 MIL .Que numero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? 1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2 Función objetivo F(x, y)= 50x + 40y 3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

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Pantalones 1 2

Algodón Poliéster

Chaquetas 1.5 1

Disponible 750 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: X≥0 Y≥0 FABIAN CEDANO: Una Sastrería Francesa desea fabricar tres tipos de Prendas de Vestir para Caballero ( pantalón Largo, Camisa Manga corta, Camisa Manga Larga) para ello cuenta con 3 clases de diferentes procesos (P1,P2,P3) de fabricación de las diferentes prendas ya que cada una tiene una forma diferente de Fabricación, donde corta la tela de manera diferente, se cose , y finalmente se detallan las prendas ,aunque cada una de las diferentes prendas cuentas con diferentes horas de fabricación y con más detalles que otras para la primera se espera una ganancia de $15000 por pantalón largo, la segunda prenda , camisa de manga corta de $10000 y la tercera prenda Camisa de Manga Larga de $ 18000. En la siguiente tabla se muestran los recursos Tipo de Prenda Pantalón Camisa Manga corta Camisa manga larga Ganancia por unidad

Producto 1 horas por unidad 2 1

Producto 2 horas por unidad 2 2

Producto 3 horas por unidad 2 2

Total horas semanal 30 20

3

2

1

36

15000

10000

18000

¿Qué cantidad de cada producto p1, p2 y p3 se debe producir cada semana para obtener la ganancia máxima? Dónde: X1= “unidades p1” X2=”unidades p2” X3= “unidades p3” Max z= 15000x1+10000x2+18000x3 Restricciones 2x1+2x2+2x3 1x1+2x2+3x3

30 20

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3x1+2x2+1x3 36 X1≥0, x2≥0, x3≥0 RAUL MORERA AVILA: En la planta cervecera se dispone de 3 turnos de producción cada uno de 8 horas y para soportar la operación se cuenta con un equipo de mantenimiento soportado así: TURNO

ELECTRICISTAS

MECANICOS

A B C COSTO

2 3 2 $100

2 3 3 $90

UNIDADES PRODUCIDAS 500 900 700

Variables de decisión: = Elecricistas = Mecanicos Función objetivo:

Z= $100

+ $90

Restricciones: 2

+2

≤ 500

3

+3

≤ 900

2

+3

≤ 700

LUIS ALBERTO MELO: Proindustrias Cauca produce dos tipos de bolsas tamaño 19 y tamaño 21 para una cadena de almacenes. L a bolsa tamaño 19 deja una utilidad por kilo de $1000, la bolsa tamaño 21 deja una utilidad de 1200. Su producción en planta no puede producir más de 100,000 kilos para la bolsa 19, para la bolsa 21 su producción en planta no puede ser más de 80,000 kilos. . De acuerdo a las ultimas ordenes de pedido de clientes estos no superan para la bolsa 19 los 20,000 kilos y para la bolsa 21 los 30,000 kilos. Cuantos kilos de cada bolsa deben producir en Proindustrias Cauca para obtener la mayor utilidad? FORMA CANONICA Función Objetivo: Maximizar la utilidad Variables

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Restricciones

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CONCLUSIONES ♦♦ En el presente trabajo se logró comprender claramente la importancia de la investigación de operaciones, mediante la identificación de cada uno de los modelos, determinado sus diferentes componentes básicos, como resultado de todo este aprendizaje, donde cada uno de los integrantes del grupo tuvo la oportunidad de formular ejemplos aplicados a los diferentes modelos matemáticos. ♦♦ Logramos interiorizar y reconocer la importancia de la investigación de operaciones y los modelos matemáticos, así como su aplicación en nuestras vidas profesional y cotidiana, lo que nos permitirá ofrecer soluciones a situaciones que a diario se presenten en nuestras actividades. ♦♦ Por último, se logró la integración de forma participativa de todos los integrantes del grupo, al presentar un material que cumple con el objetivo y todas las instrucciones propuestas en la guía de actividades para el desarrollo del trabajo colaborativo 1.

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BIBLIOGRAFIA ARAGON, G. L. (2010). PROGRAMACION LINEAL. En G. L. ARAGON, PROGRAMACION LINEAL (pág. 129). Sogamoso: Unad. http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:dD7RIy7_WlAJ:clubensayos.com/T emas-Variados/Modelos-Investigaci%25C3%25B3n-DeOperaciones/666762.html+&cd=3&hl=es-419&ct=clnk&gl=co

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:mEnc9SegCNUJ:caecemys1.wikispaces.com/Modelos%2Bdetermin%25C3%25ADsticos%2By%2Bestoc%25C3%25 A1sticos+&cd=3&hl=es-419&ct=clnk&gl=co

http://modelo-determinisco.webnode.com.ve/news/modelo-deterministico/ http://es.wikipedia.org/wiki/Estoc%C3%A1sticoes.scribd.com/doc/81241357/ProgramaciónLineal-I

www.eici.ucm.cl/Academicos/F_Lillo/cursos/.../inv_de_operaciones.pptdiposit.ub.edu/dspace/ bitstream/2445/104/3/154.pdf.txt

www.vitutor.com/algebra/pl/a_3.html

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