- Physics - Quaderni Di Fisica Teorica - I Cammini Di Feynman

Marco Roncadelli e Antonio Defendi

I CAMMINI DI FEYNMAN

QUADERNI DI FISICA TEORICA Universit`a degli Studi di Pavia Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica

QUADERNI DI FISICA TEORICA Collana curata da Sigfrido Boffi

Comitato Scientifico Bruno Bertotti Sigfrido Boffi Italo Guarneri Alberto Rimini Marco Roncadelli Volumi gi`a pubblicati: 1. Le onde di de Broglie, a cura di Sigfrido Boffi 2. Onde di materia e onde di probabilit`a, a cura di Sigfrido Boffi 3. Il principio di indeterminazione, a cura di Sigfrido Boffi 4. La meccanica delle onde, a cura di Sigfrido Boffi 5. Paradosso EPR e teorema di Bell, a cura di Oreste Nicrosini 6. I cammini di Feynman, a cura di Marco Roncadelli e Antonio Defendi 7. L’interpretazione statistica della meccanica quantistica, a cura di Sigfrido Boffi 8. L’origine delle statistiche quantistiche, a cura di Fulvio Piccinini 9. Le radici della quantizzazione, a cura di Sandro Graffi 10. La fase di Berry, a cura di Franco Salmistraro 11. Il postulato dei quanti e il significato della funzione d’onda, a cura di Sigfrido Boffi 12. Indice di rifrazione adronico, a cura di Francesco Cannata 13. La formulazione delle storie della meccanica quantistica, a cura di Irene Giardina 14. La regola d’oro di Fermi, a cura di Paolo Facchi e Saverio Pascazio 15. Le radici del dualismo onda-corpuscolo, a cura di Sigfrido Boffi e Michele D’Anna 16. Teoria delle caratteristiche ed equazioni ondulatorie quantiche, a cura di Paola Orsi I primi dieci Quaderni sono disponibili su richiesta presso il Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica dell’Universit`a di Pavia. I successivi sono pubblicati dalla Casa Editrice Bibliopolis

Marco Roncadelli e Antonio Defendi

I CAMMINI DI FEYNMAN

QUADERNI DI FISICA TEORICA Universit`a degli Studi di Pavia Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica

Prima edizione: gennaio 1992 Edizione web: ottobre 2001 ISBN 88–85159–06–0

INDICE Premessa

























7 

1. Concetto di propagatore quantistico











11 

2. Aspetti dell’integrale di Feynman












 15 

3. Analogie fra meccanica quantistica e processi stocastici classici 

34

4. Osservazioni storiche 

















51

–  

Approccio spazio-temporale alla meccanica quantistica non relativistica 



















 57

5. Nuova formulazione della meccanica quantistica 





 95 6. Bibliografia 




















 122

–

Addendum





















 129

PREMESSA

Un fondamentale cambiamento di prospettiva nell’impostazione dei problemi di meccanica quantistica si `e avuto agli inizi degli anni ’50 principalmente ad opera di Richard Feynman, al quale si deve una formulazione della teoria quantistica diversa da quella usuale di Heisenberg, Schr¨odinger e Dirac. La formulazione di Feynman e` basata sul concetto di “         ” e permette di esprimere l’  "!"! (quantistica) di transizione fra due punti spazio-temporali senza far ricorso a vettori di stato ed operatori in uno spazio di Hilbert. Questo approccio fornisce inoltre una rappresentazione intuitiva del #$%  &' "( della meccanica quantistica. L’importanza pratica della strategia di Feynman e` dovuta al fatto che essa rappresenta un’ ) * *+%,- alle tecniche di soluzione dei problemi quantistici basate sull’equazione di Schr¨odinger. Naturalmente, nei casi in cui tale equazione sia risolubile .*/0 1   , il nuovo metodo non aggiunge nulla di nuovo. Tuttavia e` ben noto che si tratta di pure eccezioni: per la maggior parte dei problemi fisicamente rilevanti risulta impossibile risolvere l’equazione di Schr¨odinger. E` proprio in queste circostanze che un nuovo approccio alla teoria quantistica diventa molto importante, in quanto esso permette di sviluppare   ( , metodi di soluzione approssimate. Ora, nell’ambito pi`u ristretto della meccanica quantistica  (  relativistica, i vantaggi derivanti dalla formulazione di Feynman si manifestano principalmente in alcuni tipi di problemi, come quelli basati sull’approssimazione semiclassica e sulla trattazione dei fenomeni quantistici nei sistemi macroscopici. La situazione cambia radicalmente se si considera l’estensione relativistica, cio`e la teoria quantistica dei campi. Il motivo di fondo e` molto semplice. La quantizzazione canonica e` basata sul formalismo hamiltoniano, in cui il tempo gioca un ruolo 2,'  . ( dalle coordinate spaziali: la teoria non pu`o quindi essere “covariante a vista” rispetto a trasformazioni di Lorentz. Questo serio inconveniente e` ovviato nell’approccio di Feynman, poich´e il tempo e le coordinate spaziali vengono poste sullo . . ( piano. Un ulteriore importantis-

8 simo vantaggio rispetto al metodo canonico e` di permettere la quantizzazione delle teorie di gauge in modo notevolmente pi`u semplice. Si noti che le “   ( & 32546 7- 8 ” per tali teorie sono state derivate proprio facendo uso dell’“    9& :  $  ”. Scopo del presente Quaderno e` fornire un’ $+% ( 2/!* ( ; alla formulazione di Feynman della teoria quantistica. Ci limiteremo quindi a considerare solo la meccanica quantistica non relativistica (per ci`o che concerne la teoria quantistica dei campi verr`a data soltanto una traccia bibliografica). Com’`e consuetudine dei Quaderni di Fisica Teorica, presentiamo in traduzione l’articolo fondamentale sull’argomento, che e` stato pubblicato da Feynman nel 1948. Desideriamo sottolineare che questo lavoro e` oggigiorno pi`u un documento storico che non un’esposizione consigliabile a chi voglia imparare il metodo di quantizzazione di Feynman. Pensiamo per`o che la sua lettura costituisca una notevole esperienza intellettuale – anche per gli studenti di Fisica – se corredata da un’opportuna introduzione in chiave moderna e da alcuni commenti che illustrino il contesto storico in cui si colloca il lavoro di Feynman. Il presente Quaderno si articola nel modo seguente. Dopo un breve richiamo del concetto di  (