PERSAMAAN HAMILTON & CONTOHNYA.pdf

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

FUNGSI HAMILTON

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat umum :

H

 q  p k 

k 

L 

(1)

k 

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q   dan energi  potensialnya  potensialnya merupakan merupakan fungsi q saja :

L  T(q k  , q k  )  V(q k  )  

(2)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh:

 q  p k 

k 

L 

 q

k 

k 

k 

L  q k 

 q k 

k 

T  2T   q k 

(3)

Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (1), kita peroleh :

H

 q  p k 

k 

 L  2T  (T  V)  T  V  

(4)

k 

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah  persamaan  persamaan yang ditulis ditulis sebagai sebagai :

 p k  

 L q k 

(k = 1,2, …n)

(5)

dan nyatakan dalam q  dalam p dan q :

q k   q k  ( pk  , qk  )  

(6)

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

Dengan persamaan (5) dan (6), kita dapat nyatakan fungsi H (persamaan (1)) yang bersesuaian dengan variasi  p k , q k   sebagai berikut :

 H     



  p   q k 

Dari persamaan (5),

 L

 k  q



k 

k 

 q k    p k  

  L  L  k     q   q k     q k  q k  

 k  =  pk   dan menurut defenisi  p

H 

q  p

k 

(7)

 L / q k  , oleh karena itu:

 p k q k    

(8)

k 

Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

H 

 H

   p k 

 p k  

k 

 H q k     q k  

(9)

Dari persamaan (8) dan (9), akhirnya diperoleh :

H  q k   p k 

(10)

H   p k  q k 

(11)

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan Hamilton  banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

Contoh soal : 

Tunjukkanlah gerak partikel massa



 yang bergerak dipermukaan silinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya



yang sebanding dengan jaraknya ke sumbu- . Penyelesaian :

Berdasrkan koordinat silinder

,,

 :

 = 12 ̇ + 12  ̇ + 12 ̇ ̇ =0  =  →   = 12  ̇ + 12 ̇ ⃗ = −⃗   = 12  = 12  +   =  − = 12  ̇ + 12 ̇−12  +  = 12 ( ̇ + ̇)− 12  +   =  ̇  →  = ̇;  =  ̇  = 2  + 2 Karena

Karena

Sehingga :

, maka :

, maka :

Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian

dan :

       =  + = 2 + 2+ 12  +  ̇ =  ; −̇ =  ;  = − ̇  =  →  ̇  = −   = − ̇  = 0 →  =     = ̇ =  →  =  ̇     =  ̇ =  →  =  ̇  

  ̈ +̇ = 0 →  =  √  ;  = cos +     = 2 ̇ =  Dari persamaan

 dan

, kita peroleh :

Dengan bentuk solusi :

dan dari persamaan

 dan

, kita peroleh :