กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร PDF

 

 

 

หนา |1

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

  1.  สมการเชงเส งเสน และกราฟเส และก ราฟเสนตรง 1.2 สมการเชงเส งเสนสองตัวแปร วแปร สมการเชงเส งเสนสองตัวแปร วแปร หมายถง สมการทอย อ   ย  ในร    ป Ax + By + C = 0

เม เม  อ x และ y เปนตัววแปร แปร และ A , B , C เปนคาคงตัว โดยท โดยท    A และ B ไมเเทากั ทากับบศศนนยยพรอมกัน

สมการในรป Ax + By + C = 0 เรยกวาสมการในร    ปทั สมการในร ปทั วไป  จากสมการท กาาหนดให  หนดใหตออไปน ไปน  เม   เม อเขยนสมการในร ยนสมการในรป Ax + By + C = 0 แล แลว จงหาค จงหาคาคงตัว A , B และ C ตัตัวอย วอยาง 1  จากสมการท  สมการ

จัดสมการใหม ดสมการใหมในร  ป Ax + By + C = 0

y = 3x – 2 y = 5   32 x   4x – 3y = 5 x = 6y – 7 x=

3  4 y 5

 

2x + 4(y – 3) = 1 -4(x + 2) + 3(y – 5) = 10 2 x 



3

4

=

2x = 5 -4y = 12  

3 y   2 6

 

A

B

C

 

 

 

หนา |2

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

 

สมการเชงเส งเสนในร   ปมาตรฐาน ปมาตรฐาน y = mx + c  ถากาหนดสมการเช าหนดสมการเชงเส งเสนสองตัวแปร วแปร Ax + By + C = 0  โดยท โดยท   A , B , C เป เป นนคคาคงตั าคงตัว และ B  0 เราสามารถจัดสมการ ดสมการ ดังกล งกลาวใหอย  ยในร ในรป y = mx + c ไดดังงตตอไปน อไปน  Ax + By + C = 0 By = -Ax – c y = - Ax -

เน   เนอองจาก งจาก B  0 ดังนั งนัน

B

C B

 

โดยท  m = - A   และ b = โดยท  B

C B

 

ตัตัวอย วอยาง 2  จงเขยยนสมการต นสมการตออไปน ไปนให  อยย  ใในร นรป y = mx + b

(1) 2x + 6y + 1 = 0

(2) -8x + 2y – 5 = 0

(3) 6x – 3y + 2 = 0

(4) -5y – 8 = 0

1.2 กราฟของสมการเชงเส งเสนสองตัววแปร แปร : กราฟเสนตรง กราฟของสมการเชงเสนสองตัวแปรบนระนาบจ สองตั วแปรบนระนาบจาานวน นวน คอ เสนตรง  กราฟเสนตรงประกอบดวย จด (x, y) ตาางๆ งๆ ทท  อยย  บบนเส นเสนตรงซ ตรงซ  งงมมมมากมายนั ากมายนับบไม ไมถถวน โดยมกจะไดจากการแทนคา x ลงในสมการแลวแกสมการหาคา y โดยลักกษณะของเส ษณะของเสนตรงจะแสดงออกมาในล ตรงจะแสดงออกมาในลกษณะท กษณะท  เเรรยกวาความชัน ความชันของเส ความชั นของเสนตรง Y 

 

X

X

m>0

m=0 Y

Y

X

 



X

m หาคาไม าไมไไดด  m < 0,

 

 

 

หนา |3

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

  จดตัดแกน ดตัดแกน X และจดตั ดตัดแกน ดแกน Y ของกราฟเสนตรง Ax + By + C = 0 จดตัดแกน ดตัดแกน Y คอค อคาตอบของสมการ ตอบของสมการ By + C = 0

หาไดจาก กาหนดใหคา x = 0 แลวแกสมการหาคา y สมมตววาาได  ไดคาาเปเป น b จะไดจดดตั  ตัดดแกน แกน Y คอ (0, b) จดตัดแกน ดตัดแกน X คอค อคาตอบของสมการ ตอบของสมการ Ax + C = 0

หาไดจาก กาหนดใหคา y = 0 แลวแกสมการหาคา x สมมตววาาได  ไดคาาเปเป น a จะไดจดดตั  ตัดดแกน แกน Y คอ (a, 0) วธธก ารเขยนกราฟของสมการเชงเสนสองตัวแปร สองตัวแปร ทาไดโดยการคานวณหาจด (a,b) บนระนาบ จานวนท   านวนทสอดคล สอดคลองกับสมการท  บสมการท กาหนดให หนดให ดังตั งตัวอย วอยางต างตอไปน อไปน  ตัตัวอย วอยาง 3  จงเขยยนกราฟของสมการ นกราฟของส มการ y = -3x + 6  วธธทา

ถา ถา ถา ถา ถา

จากสมการ y = -3x + 2 x = ………….. แลว y = ……………………………. = ………. x = ………….. แลว y = ……………………………. = ………. x = ………….. แลว y = ……………………………. = ………. x = ………….. แลว y = ……………………………. = ………. x = ………….. แลว y = ……………………………. = ……….

x y

จะได จะได จจด จะได จะได จจด จะได จะได จจด จะได จะไดจด จะได จะได จจด

( …… , ……. ) ( …… , ……. ) ( …… , ……. ) ( …… , ……. ) ( …… , ……. )

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 4  จงเขยยนกราฟของสมการ นกราฟของสมการ y = 4x - 8  วธธทา จากสมการ y = 4x - 3

ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. ) ถา x = …………..จะได แลจวด y =( …… ………………… , ……. ) = ………. ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. )

x y

ตัวอยาง 5  จงเขยยนกราฟของสมการ ตัวอย นกราฟของสมการ -2x + 55yy – 4 = 0  จัดดรรปใหม  จะได จะได y = …………………………………. วธธทา

ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. ) ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. ) ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. )

x y

หนา |4

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 6  จงเขยยนกราฟของสมการ นกราฟของสมการ 6x + 5y + 7 = 0  วธธทา จัดดรรปใหม  จะได จะได y = ………………………………….

ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. ) ถา x = …………..จะได แลจวด y =( …… ………………… , ……. ) = ………. ถา x = ………….. แลว y = ………………… = ………. จะไดจด ( …… , ……. )

x y

ตัวอยาง 7  จงเขยยนกราฟของสมการ ตัวอย นกราฟของสมการ x = 5  วธธทา

ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. ) ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. ) ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. )

x y

ตัวอยาง 8  จงเขยยนกราฟของสมการ ตัวอย นกราฟของสมการ y = -7  วธธทา

ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. ) ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. ) ถา y = ………….. แล แล ว x = ………… จะได จะได จจด ( …… , ……. )

หนา |5

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 9  จงเขยยนกราฟของสมการต นกราฟของสมการตออไปน ไปนลลงบนระนาบจ  งบนระนาบจาานวนเด นวนเดยวกัน

(1) 3x + 4 = 0 (4) 9x – 3 = 15

(2) 2y – 3 = 0 (5) 6y + 30 = -6

หนา |6

(3) 5x – 42 = -42 (6) 23 + 5y = 23

 

 

 

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

หนา |7

  1.3 จดท เปป นคาตอบของสมการ าตอบของสมการ เม เม  ออกกาหนดสมการเชงเสนสองตัววแปร แปร Ax + By + C = 0 จด (a,b) เป เป นคาตอบของสมการ าตอบของสมการ Ax + By + C = 0 กตตอเม อ ถาแทน าแทน x ดดวย a และแทน y ดวย วย b แล แลว จะท จะทาาให  ใหสมมการเป การเป นจรง

การทเราแทน การท   เราแทน x ดดวย a และแทน y ดว ย b แล แลว จะทาให ให สสมการเป มการเป นจร นจรง เรากลาาวว ววา จด (a,b) บสมการ สอดคลอง  กับสมการ ตัตัวอย วอยาง 10  กาาหนด หนด 5y + 3x –15 = 0 จงตอบสอบวาจ าจดต ดตออไปน ไปนเป นคาตอบของสมการ ( สอดคลองกับสมการ บสมการ ) หรอไม 

(1) (0,3)

=………………………………… =……………………………………………………………… ……………………………………………….. …………………..

(2) (5,0)

=……………………………… =………………………………………………………………… ………………………………………………….. ………………..

(3) (-1,5)

=……………………… =……………………………………………………… ………………………………………………………….. …………………………..

(4) (-10,9)

=………………………………… =……………………………………………………………… ……………………………………………….. …………………..

(5) ( 12  , 25 ) =………………………………………………………………………………….. (6) ( 13 , 145 ) =………………………………………………………………………………….. (7) ( 143 , 15 ) =………………………………………………………………………………….. (8) (0,0)

=……………………………… =………………………………………………………………………… ………………………………………………….. ………..

ตัตัวอย วอยาง 10 กาหนด าหนด 5x + 7y = 31 จงหาจานวน านวน c ซ งท ทาาให  ใหจด ( 5,c) เป เป นคาตอบของสมการ าตอบของสมการ

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 11  กาหนดสมการ าหนดสมการ x + 6y = 8

หนา |8

จงหาสมาชกอ กอกตั กตัวท   วทเเหล หลออของค   ของคลลาดั า ดับบท ท ทาาให ใหแตลละค  ะค เปป นคาาตอบของสมการท   ตอบของสมการทกกาาหนดให  หนดให

(1)  ( -2,…….)

(3) ( 9, ……)

(2)  ( ……., 11)

(4) (……,

3

)

ตัตัวอย วอยาง 12

กาาหนดสมการ หนดสมการ kx – 2y + 1 = 0 จงหาจาานวน นวน k ทท  ททาให ( 21 , 32 ) เปนคาตอบของสมการท   ตอบของสมการทกกาาหนดให  หนดให

ตัตัวอย วอยาง 13 

กาหนดสมการเช าหนดสมการเชงเสนในตาราง จงหา k ท  ทททาให (a,b) ดังงกล กลาว าว เปนคาาตอบของสมการท  ตอบของสมการท กาาหนดให  หนดให สมการ

(a,b)

2x + ky – 4 = 0

(-1,2)

Kx + 4y = 1122

(2, 23 )

Y + 2x = ky – 3x - 5

(1,10)

2y + x = 3y + kx + 16

(-2,-10)

ค า k

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 14  จงหาจดตั ดตัดแกน ดแกน X และ Y และวาดกราฟของสมการ 12y + 5x – 8 = 0

ตัตัวอย วอยาง 15 

หนา |9

กาหนดสมการเช าหนดสมการเชงเสนในตาราง จงหาจดตั ดตัดดแกน แกน X และจดดตัตัดดแกน แกน Y ของแตลละสมการ ะสมการ สมการ

จดตัดแกน ดตัดแกน X

จดตัดแกน ดตัดแกน Y

2x + y – 14 = 0 -9x + 7y = 12 3Y + 2x = y – 4x + 2 2y + x = 3y + 4x + 16 3x – y + 8 = 3x +y – 6

สรปเก ย วกับบการหาจ การหาจ ดดตัตัดดแกน แกน X และ แกน Y จากสมการเชงงเส เสนสองตัววแปร แปร Ax + By + C = 0   หาจด ดตัตัดดแกน แกน X กาาหนดค หนดคา y = 0 แลว แกสมการหาคา x จาก Ax + C = 0   หาจด ดตัตัดดแกน แกน Y กาาหนดค หนดคา x = 0 แลว แกสมการหาคา y จาก By + C = 0 ดังนั งนัน จะได จดตัดแกน ดตัดแกน X  คอ จด ( - C ,0)  จดตัดแกน ดตัดแกน Y  คอ จด ( 0, - C )  A B

 

 

 

หนา |10

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

1.4 จดตัดดของเส ของเสนตรง  กาาหนดเส หนดเสนตรง L1  และ L2  ซ  ซงงมมสมการ Ax + By + C = 0 Dx + Ey + F = 0

……(1) ……(2)

เม   เมอ A , B, C, D, E และ F เปนคาคงตัว ถา L1  และ L2  ไมขขนานกั นานกัน แลว L1  และ L2 ยออมจะต มจะตองตัดดกักันท   นทจจด ๆ หน หน  ง จดนั ดนันเร น เรยกวา จดตัด ดตัด ของเสนตรง L1  และ L2 สมมตตใให  หจดดตั  ตัดดแทนด แทนดวยค ยค  อันดั นดับ (a,b) ดังร งรป เน   เนอองจาก งจาก (a,b) เปนจดตั ดตัดท  ดท อย  ยบบนเส นเสนตรง L1  และ L2 ดังนั งนัน (a,b) จงงเป เปนคาาตอบของสมการ ตอบของสมการ (สอดคล (สอดคลอง) กับ L1  และ L2  (a,b) เราเรยก (a,b) วาาเป เปน คาตอบร าตอบรวม ของสมการของ L1  และ L2  กลาวคออเม   เมออแทน แทน x ดวย a และแทน y ดวย b ในสมการทังงสอง สอง จะทาาให ใหไดสมการเปนจรง นันค น คอ Aa Da ++ Bb Eb ++ CF == 00 เปนสมการท   สมการทเเปปนจรง

L1 

L2 

ตัตัวอย วอยาง 1จงเขยนกราฟของสมการ นกราฟของ สมการ x – 2y – 6 = 0

3x + y – 4 = 0 ลงบนระนาบจานวนเด ยวกั ยวกัน และบอกพกักัดดของจ ของจดตั ดตัดดของกราฟทั ของกราฟทังงสอง  สอง พรอมทังงตรวจสอบด  ตรวจสอบดดดวยวาพ าพกกััดดของจ ของจดดตัตัดดท  ทไไดด จากกราฟเปนคาาตอบของสมการทั ตอบของสมการทังงสองหร  สองหรอไม 

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  หนา |11 ตัตัวอย วอยาง 2 จงหาคาตอบร าตอบรวมของสมการท ของสมการท  สสอดคล อดคลองกับบสมการทั สมการทังงสอง  สอง พรอมทังงเข  เขยนกราฟในแต ลละข ะขอ (1)  2x + y = -3 (2) -3x + 6y = 0

-x + 2y = 4

(3) -5x + 7y = 3 10x – 14y = 5

x – 2y = 6

(4) 4y – x – 3 = 0 -2x + 8y – 6 = 0

 

  คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน  ตัตัวอย วอยาง 3  จงเขยยนกราฟของสมการต นกราฟของสมการต อไปน อไปนบบนระนาบจ  นระนาบจาานวนเด นวนเดยยวกั วกัน

5x – 10 = 0 -4y – 4 = 0 4x – 3y + 1 = 0

….(1) ….(2) .…(3)

พรอมทังงหาจ  หาจดดตัตัดดของกราฟเหล ของกราฟเหลานั านัน และรปทท  ไไดดจะเกดม ดมลัลักกษณะเป ษณะเปนอยางไร มพพนท   น  ทเท เทาาไรไร

หนา |12

 

 

 

หนา |13

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

แบบฝกหัด 1.  สมการในขอตอไปนเเป ปนสมการเชงงเส เสนสองตัววแปรหร แปรหรอไม (1) ……….. 5x + 4y – 1 = 0 (2) ……….. 6x + 5 = 0 (3) (5) (7) (9)

……….. y = -3x + 4 ……….. xy + 6 = 0 ……….. x2 + y2 = 4 ……….. 2x – 4y = 1

(4) ……….. –5y + 3 = 0 (6) ..……… 3(x – 3) + 3(y – 8) = 1 (8) ……….. 4 x  2 y  + 5 = 0 (10) ……….. 3(x – 1) + 5(y + 4) = x + y

2.  จงเขยยนสมการให นสมการใหอยย  ในรปปของ ของ Ax +By +C = 0 พรอมทังหาค ง หาคา A ,B และ C สมการ

จัดสมการใหม ดสมการใหมในร  ป Ax + By + C = 0

A

B

C

y = 9x + 12 y = - 23x   4y + 3x - 6 = 5 x = 6y + 5y + 42 x= 3   54 y + 9 x + 7(y – 3) = 5 -4(x + 2) + 3(y – 5) = 10 x  3 3 y   2  5 =   5 6 2x = 5 + 8y – 2x -4y = 12 x – 8y + 6 3.  ในโจทยขขอตออไปน ไปน ก   กาาหนดสมการเช หนดสมการเชงงเส เสนสองตัววแปรและจ แปรและจด 1 จด จงตรวจสอบดววาจ า จดดท  ทกกาหนดใหอยย  บนกราฟ เสนตรงของสมการท  กกาาหนดให  หนดใหหรอไม  (1) x + y – 8 = 0 ; (-1,9) (2) 5x + 3y –15 = 0 ; (6,-5) (3) 2x + 3y = 5 ; (-2,-3)

(4) x – 2y = 3 ; (1,-1)

(5) -x – 2y + 4 = 0 ; (2,-1)

(6) 2x + y + 3 = 0 ; ( -2,1)

 

 

 

หนา |14

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

4. จงหาจาานวน นวน c ซซ  งงททาาให ใหค  อันดั นดับบในแต ในแตลละข ะขอตออไปน ไปนเป นคาตอบของสมการท  าตอบของสมการท กาาหนดให  หนดให (1) 2x + 3y –12 =0 : ( c , 6 ) (2) 5x – 6y + 7 = 0 : ( -7 , c)

  

(3)

2x

4

5

 

8

4



y

 : ( 2,c)

(4)

9x  1 2y  2 5 2 3

  : ( c , 0)

(5) 3(x – 5) + 4( 2y + 5 ) = 6y – 4 : ( c ,1)

(6) 3x + 15y – 11 = 3( x + 5y) + 4 : ( 3 , c )

(7) 5x = 8 : ( 85 , c )

(8) 6y = 12 : (c , 2)

5.  จงหาจาานวน นวน k ทท  ททาใหคอัอ   ันดั นดับบท ท กาาหนดให  หนดใหเปนคาตอบของสมการในแต ละข ละขอตออไปน ไปน   (1) 6x + ky – 4 = 12 : (-2,3) (2) kx – 7y + 13 = 0 ; ( 9,-9)

(3) 6x – 17y + k = 2x ; ( 4,-5)

(4) 7y + 3(8 - 2x) = k + 6 : ( 0 , 6)

6. จงหาจดดตัตัดดแกน แกน X และแกน Y ของสม ของสมการเส การเสนตรงในขอตออไปน ไปน  พรอมทังงเข  เขยยนกราฟ นกราฟ (1) 2x + 3y = 12

(3) 5x + 3y –15 = 0

(2) -4x + 3y = -12

(4) 4x – 2(9 – y) = 12

 

 

 

หนา |15

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

7. จงเขยนกราฟเส ยนกราฟเสนตรงของสมการท  กกาาหนดให  หนดใหตออไปน ไปน โดยการหาจ  ดดผผาน 3 จด (1) 2x + 3y = -6 (2) x – 2y = 5

(3) –5x + 7 = 2y + 6

(4) 4(x – 5) – 3(y + 2) = 0

8. จงเขยนกราฟของสมการสองสมการกท ยนกราฟของสมการสองสมการกท  กาาหนดให หนดใหในแตลละข ะขอตออไปน ไปน  และหาจดดตัตัดดจากกราฟท   จากกราฟทเข เขยยนพร นพรอมทังงตรวจ  ตรวจ ดวยงา จดท   ดทไไดดเปนคาาตอบร ตอบรวมของสมการทังงสองจร  สองจรงหรอไม  (1)  2x + y = 7 -x + 2y = 12

(2)  2x – y = -3 -x + 2y = 0

 

 

 

คณตศาสตรมธ ธยมศ ั ยมศก กษาตอนต ษาตอนตน

หนา |16

(3)  x + y = 1 2x + y = 3

(4)  x – y = 1 x + y = -5

9. จงเขยนกราฟเส ยนกราฟเสนตรงของสมการท  กกาาหนดให  หนดใหตออไปน ไปน พรอมทังงหาพ  หาพนท   น ทขของร องรปปท  ทมมดด านทังงสามอย  สามอย  บนเส บนเสนตรงท   ตรงทกกาาหนดให หนดให (1)  5x + 3y = 4 x=0 y=1

(2)  2x + 3y = 5 x- 4 = 0 y–3=0