Metodo de La Secante

 

Método de la Secante Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función Del Método de Newton-Raphson, ya ue e!isten funciones ue describen fenómenos f"sicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja# $l método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal ue en este método de la secante no reuie reuiere re de la primera derivada# $l principal inconveniente del método de Newton estriba en ue reuiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto# %in embar&o, la forma funcional de f ' x ( di)culta en ocasiones el c*lculo de la derivada# $n estos casos es m*s +til emplear el método de la secante# $l método de la secante no se tiene en cuenta el si&no de la función para estimar el si&uiente punto# %e procede independientemente independientemente de los si&nos de la función# De todas maneras en al&unos casos es m*s +til emplear el método de la secante# $ste método, a diferencia del de bisección y Newton, casi nunca falla ya ue solo reuiere de  puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando# retroalimentando# o ue hace b*sicamente es ir tirando tirando rectas secantes secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la  intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje

en  x , es decir un intervalo   ( “  x ”  x

 x

n−1 ,  n

, los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el  y , eje de la los puntos a obtener  f  xn−1   , f  xn  , por lo que las coordenadas de los puntos que son interceptan intercepta na

 

( ( ) ( ))

(

la función son  xn−1  f ( xn−1 )) y ( xn  ,  f ( xn )).

,

y

  ( x )

F( !

 f  n

 x

n −1

 x n

(

 f  xn−1 



)

iz qui quierd erda a y el pu punto nto

Se debe considerar que los  puntos debe debe estar a la

 x n

)

 

 x n

−1

 x n−1

a l  a d  e r  e c h a d  e l  a r  a í   z .

 

$stos dos puntos ue interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cru.ar el

 x n +1 , el cual uedara ubicado entre el

eje de la /  x 0, &enera el si&uiente punto de acercamiento acercamiento

(

)

intervalo propuesto  xn−1 ,  x xn  , como se muestra en la 1i&ura#

y

F( !  f  xn 

( )

 x n +1  x n −1  f  (

n−1



)

 x

 x

n

2nteresa lle&ar a la ra". por medio del corte del eje /  x 0 de la recta secante, entonces entonces tomando en cuenta el corte con el eje de las /  x 0 de la recta secante y otro punto de tal forma ue se lle&ue a la ra". tenemos entonces los puntos  xn+1 ,  xxn   y sacamos sus im*&enes   f  f    xn+1   ,  f  f     xxn  'esto se hace para tirar la si&uiente recta secante(, por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las / x 0

(

)

( ( ) ( ))

 x n+2

y

x n+2 F(

 x

!

n +1

( )

 f  xn 



 f  (

n+1

n )  x

 x

2nteresa lle&ar a la ra". por medio del corte del eje /  x 0 de la recta secante, entonces entonces tomando en cuenta el corte con el eje de las / x 0 de la recta secante y otro punto de tal forma ue se lle&ue a la ra". tenemos entonces los puntos

( x +  , x +  ) y sacamos sus im*&enes  ( f ( x +  ) , f ( x +  ))'esto n 1

n 2

n 1

n 2

se

hace para tirar la si&uiente recta secante(, por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las /  x

0

 x n+3

y

 x

n+2  n +1 x

F(!

 



   )

 f   x

 f   (( xn+1 ) (

n+2

 

3odemos ver ue con la tercera recta secante apro!imadamente se acerco a la ra".# $ntonces estos pasos se hacen sucesivamente hasta lle&ar a la apro!imación de la ra".# $l método de la secante parte de dos puntos

 (

n−1

,  x

 x

n

( f ( x

) y sus dos im*&enes

n−1

) ,  f ( 

n

)) 'y no

 x

sólo uno como el método de Newton( y estima la tan&ente 'es decir, la pendiente de la recta secante( por una apro!imación de acuerdo con la e!presión4

m =  f 

/

=  f ( x n )− f ( x n−1 )  x n −   x

n− 1

5omo el Método de la %ecante se 3arece 3arece al Método Newton por la b+sueda de la ra". a través del corte de una recta, entonces podemos esco&er la formula de newton y sustituir en e!presión e!pr esión anterior de la pendiente  x   =  −  f ( x n

 x n+ 1

 f 

n

) →

 x

  )

(

/  x

n

  =  −  x n+ 1

n

n

 x

=   x

( x   ) n

la

)



 

 x   − x n

n− 1

 

 

n−1 )  f ( x )( x −  6 Fórmula para el método de la −  x Secante n n−1  f ( x − f  x ) n

n

/

 f ( x    f ( x   )−   ( x   )     f     n n−1

  n+1

 f 

n

) (

3rimero hay ue de)nir al&unos conceptos como4

 x n $s el valor actual de  x

 x n −1

'valor derecho del intervalo en  x 0 ( /  x 'valor i.uierdo del intervalo en /  x 0(

$s el valor anterior de

 x n +1

$s el valor entre

 x n −1 y  x n

5omo su nombre lo dice, este método va tra.ando rectas secantes a la curva ori&inal, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino ue solito va usando las ue ya se obtuvieron, casi nunca falla porue se va acomodando y har* ue encuentre la apro!imación a la ra".# 5oncluyendo con lo anterior tenemos ue4 a técnica que utiliza esta !órmula recibe el nombre de "étodo de a Secante. #omenzamos con las dos apro$imaciones iníciales %& y %' , la apro$imación

 

%( es la inter intersecció sección n del eje de las )$* y la línea que une + %& , !+%&  y + %' , !+%' . a apro$imación %- es la intersección del eje )$* y la línea que une + %' , !+%'  y  + %( , !+%( , y así sucesivamente

 

  ' (: '

:8( :8(

$l método de Newton o el método de la secante a menudo se usan para re)nar las repuestas conse&uidas con otra técnica, como el Método 7isección, dado ue el Método de Newton reuiere reuiere de una bu buena ena apro! apro!ima imació ción n inicia inicial, l, pero pero por lo &en &enera erall da una conver conver&en &encia cia r*pida r*pida,, sirve sirve perfectamente para el propósito antes mencionado#  /0123"0 45 "53040 3aso 8 4 9ener un punto inicial ue encierre a la ra". '  , 45  S5#635 :8

(

 

3aso 4 5alcular la apro!imación apro!imación a la ra". por el corte con el eje de las / !0 de la Recta %ecante  ;8

•

3aso =4 5alcular el $rror del método

<

:

' ('

:

$rror < >

3aso ?4 5alcular

@

 

:

(

:8

>

;8

ó

•

%i @ ó , se encontró la ra". con el numero de cifras consecutivas especi)cada#

•

%i A ó , Re&resar al paso = para cambiar el intervalo tomando en cuenta

;8 y

lue&o iniciar otra iteración hasta ue @ ó

575"%0 "plique el método de la secante para encontrar la ra#$ en el intervalo función

()

()

 f  x  =  x − 0.8 − 0.2sin  x con %era 2teración

'n