Introduccicibon a La Metodologiada Experimental

Introducción a la m etodo lo gía experim ental Primera ed ición Arturo Figueroa Montaño Departamento de Física Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías CUCE1 Universidad de Guadalajara -

Hermes U lises Ramírez Sánchez Jaime Alcalá Gutiérrez Instituto de Astronomía y Meteorología Departamento de Física Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías - CUCEI Universidad de Guadalajara

Revisión técnica

Alm a Leticia Rodríguez Domínguez José N ieves Carrillo Castillo D ep artam en to d e F ísica C en tro U niv ersitario d e C ie n c ia s E x actas e In g en ierías - C U C E I U niversidad de G u a d a la ja ra

PEARSON

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3atos de catalogación bibliográfica

FIGUEROA M O N T A N O , ARTURO; RAM ÍREZ SÁ N C H E Z . HERM ES ULISES Y ALCALÁ G U TIÉRREZ, J AI ME Introducción a la m etodología experim ental IVimera edición PEARSON ED U CACIÓ N , M éxico, 2014 ISBN: 978-607-32-2222-8 Á rea: C iencias fo rm ato : 185 x 2 3 5 c m

Páginas: 168

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Philip De la Vega Mario Contreras Gabriela López Ballesteros e-mail: [email protected] Felipe Hernández Carrasco Juan José García Guzmán Marisa de Anta

PRIMERA EDICIÓN, 2014 D.R. O 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlaeomulco 500-5to. piso Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México e-mail: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031 Reseñados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímica, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-2222-8 ISBN E-BOOK: 978-607-32-2221-1 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2220-4 Impreso en México. Printcd in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13

PEARSON

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Introducción Un aspecto fundamental en la formación de quienes se interesan por ejercer una profe­ sión orientada a la ciencia y a la tecnología es el desarrollo de ciertas habilidades en la medición e interpretación de los parámetros obtenidos en procesos experimentales o industriales. Asimismo, deberán aprehender los conocimientos y las herramientas nece­ sarias para el análisis de datos, la elaboración de reportes de investigación y el desarrollo de nuevos experimentos, modelos y procesos, con el propósito de hacer más eficientes los ya existentes. En consecuencia, es necesario destacar la importancia del método ex ­ perimental para el desarrollo científico que no es solamente una herramienta de investi­ gación, sino una actitud del individuo ante cualquier fenómeno que se presente en la naturaleza. Inherente a todo proceso experimental, el error debe someterse a una cuidadosa se­ lección de la instrumentación mediante la aplicación de técnicas de medición, el análisis de datos y la aplicación de procesos estadísticos que coadyuven a la minimización del error experimental. Como parte de la solución a estos problemas se propone el estudio de la metodología experimental. Este libro tiene como finalidad ofrecer una guía para todos aquellos que se introducen ai estudio de la misma; la exposición de los temas de forma práctica y concisa facilitará la comprensión de los métodos y procesos analíticos aplicados al desarrollo de experimentos. La presente obra está dividida en cinco capítulos. En el capítulo 1 se presenta una descripción detallada del origen y desarrollo del pensamiento científico, desde sus ini­ cios en la antigua Grecia como el pensamiento filosófico que ha dado forma a la civili­ zación occidental; además, se expone la definición de los conceptos ciencia, método, m étodo científico, m odelos, entre otros. El tema principal del capítulo 2 es la definición de variable, ya que es preponderan­ te para un estudio científico cuantificar las magnitudes físicas que intervienen en el fenó­ meno a estudiar; por ello, los procesos de medición son fundamentales para cualquier actividad científica. Una falla en el análisis de los errores, ya sea en las ciencias aplica­ das o en las básicas, implica consecuencias lamentables. En los procesos de medición, el valor obtenido no siempre coincide con el valor real de cierta magnitud. Para comprobar una teoría, caracterizar un producto o determinar las propiedades de un objeto, es nece­ sario estimar la variación del valor m edido con respecto al valor real. La teoría de errores se encarga de estimar tal desviación. En el capítulo 3 se examina el concepto de inccrtidumbrc en las mediciones y su evaluación en relación con los resultados experimentales, así com o su propagación y algunos métodos para determ inar la inccrtidumbrc en función de una o más variables. En experimentos donde se obtiene una gran cantidad de datos es recomendable presentar los resultados en una gráfica y en este capítulo se enseña cóm o elaborarlas c interpretarlas adecuadamente.

Introducción En el capítulo 4 se presenta un análisis de los datos basado en descripciones estadís­ ticas, cuyo propósito es validar y clarificar las mediciones y los resultados experimenta­ les. Esta técnica se utiliza tanto para los datos agrupados como para los no agrupados. Finalmente, cualquier trabajo científico debe expresarse de manera que pueda darse a conocer públicamente. Una investigación concluye con un reporte científico y el capí­ tulo 5 está dedicado a su elaboración: se presentan las características que tienen que cum plir un reporte de práctica de laboratorio, un informe técnico y un artículo científico. El campo científico se ha diversificado y no es posible establecer un solo método experimental plausible para definir el estudio de la ciencia: es decir, son tantas las áreas del conocimiento, que es necesario que cada investigador o grupo de investigadores de­ sarrollen perfiles propios para validar sus experimentos en cada proceso particular. Es fundamental tener siempre en consideración que el m étodo científico debe regir el desa­ rrollo de la ciencia en cualquier ámbito.

Contenido In troducción ... 1

M etodología de las ciencias exp erim en tales..............................................1 Origen de la cien cia...................................................................................................................................1 Concepto, objetivos e intereses de la ciencia....................................................................................... 4 Creencia y conocim iento............................................................................................................... 4 Subjetivismo y lenguaje privado..................................................................................................5 Ciencia...............................................................................................................................................5 El método científico.......................................................................................................................5 M odelos.......................................................................................................................................... 11 B ibliografía................................................................................................................................... 21

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M edición de variables y errores de m ed ición ......................................... 23 Introducción............................................................................................................................................. 23 Conceptos generales...............................................................................................................................23 Variable.......................................................................................................................................... 23 M edición........................................................................................................................................25 Trazabilidad de los resultados.................................................................................................... 26 Precisión ••••••••••••••••••«•••••••••••••••••••••••••••••••••••••«••••••••••••••••••«•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a» 26 Exactitud........................................................................................................................................ 26 E rror................................................................................................................................................27 Errores durante el proceso de medición.............................................................................................. 27 ¿De dónde provienen los errores en las m edidas?.............................................................................27 Cifras significativas y redondeo............................................................................................................29 Suma y resta con cifras significativas........................................................................................ 31 Multiplicación y división con cifras significativas................................................................. 31 Redondeo........................................................................................................................................ 31

C ontenido

Notación científica.................................................................................................................................. 32 Sistema internacional de unidades (SI)................................................................................................33 Múltiplos y submúltiplos del S I................................................................................................. 36 Unidades fuera del S I.................................................................................................................. 36 El sistema cegesimal de unidades.........................................................................................................37 Ejercicios........................................................................................................................................38 B ibliografía....................................................................................................................................39

Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales...................................................................... 41 Introducción............................................................................................................................................. 41 E rro r..........................................................................................................................................................41 Incertidumbre........................................................................................................................................... 41 Propagación de incertidumbre.................................................................................................... 43 Método general para la determinación de la incertidumbre en funciones de una variable utilizando cálculo diferencial................................................................................................47 Incertidumbre en funciones de dos o más variables............................................................... 49 Método general para determinación de la incertidumbre en funciones de dos o más variables............................................................................................................ 50 Análisis gráfico de los resultados.........................................................................................................55 Representación de la incertidumbre en las gráficas............................................................... 55 Las gráficas.....................................................................................................................................55 Gráficas en calculadoras y com putadoras................................................................................58 Coeficiente de correlación...........................................................................................................60 Construcción de diagramas de dispersión................................................................................61 Ajuste de datos a funciones matem áticas................................................................................. 63 Ajuste de rectas........................................................................................................................................66 Método de pares de puntos......................................................................................................... 67 Método de los mínimos cuadrados «•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a»*.........70 Análisis dimensional...............................................................................................................................74 Dimensión de una magnitud........................................................................................................74 Teorema de Buckingliam ............................................................................................................76 Cambio de unidades..................................................................................................................... 79 B ibliografía....................................................................................................................................83

C ontenido

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vil

Análisis descriptivo de los datos............... •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 85 Introducción............................................................................................................................................. 85 Términos com unes utilizados en estadística.......................................................................................86 Estadística descriptiva.............................................................................................................................87 Inferencia estadística..............................................................................................................................87 Técnica de muestreo................................................................................................................................ 88 Mitos de la estadística.............................................................................................................................89 Requisitos para aprender estadística.........................................................................................90 Lenguaje matemático

90

Parámct ros estad ísticos.......................................................................................................................... 91 Medidas de tendencia central..................................................................................................... 91 Medidas de dispersión................................................................................................................. 92 Distribución de frecuencias.................................................................................................................. 97 Variables num éricas.....................................................................................................................97 Variables no numéricas ............................................................................................................105 Representación gráfica de una distribución de frecuencias (datos no num éricos)

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Estadística descriptiva para datos agrupados....................................................................................108 Medidas de tendencia central....................................................................................................108 Medidas de dispersión................................................................................................................112 Varia nza........................................................................................................................................ 112 Ejercicios...................................................................................................................................... 115 Bibliografía

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117

Elaboración del inform e de trabajo experim ental..............................119 Introducción............................................................................................................................................119 Estructura de un reporte de práctica de laboratorio......................................................................... 120 Estructura de un informe técnico........................................................................................................121 Parte inicial...................................................................................................................................122 Cuerpo del inform e.................................................................................................................... 123 Anexos

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Parte fin a l..................................................................................................................................... 125 Estructura de un informe y/o artículo científico.............................................................................. 126 Portada...........................................................................................................................................126 Resum en....................................................................................................................................... 127 Introducción.................................................................................................................................128

viii

C ontenido

Estructura general........................................................................................................................128 Extensión......................................................................................................................................128 Citas bibliográficas............................................................................................................................... 129 Materiales y m étodos............................................................................................................................ 129 Sujetos o unidades de observación......................................................................................... 130 Aparatos o instrumentos............................................................................................................ 130 Procedimientos............................................................................................................................ 131 Diseño ......................................................................................................................................... 131 Observación sistem ática............................................................................................................ 132 Resultados...............................................................................................................................................133 Texto....................................................................„ .........................................„ ............................134 Tablas y figuras............................................................................................................................ 134 Recomendaciones....................................................................................................................... 135 D iscusión................................................................................................................................................ 135 Sugerencias................................................................................................................................. 136 Agradecí m ientos....................................................................................................................................137 Referencias bibliográficas.................................................................................................................... 137 C uadros................................................................................................................................................... 138 Ilustraciones............................................................................................................................................139 Pies o epígrafes de las ilustraciones....................................................................................... 139 Presentación del texto...........................................................................................................................139 Integración del inform e.........................................................................................................................140 Abreviaturas, números y sistema m étrico......................................................................................... 142 Abreviaturas •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a* 142 N úm eros....................................................................................................................................... 142 Sistema de m edidas.................................................................................................................... 142 Consideraciones de e s tilo .................................................................................................................... 143 Estilo general de redacción.......................................................................................................143 Gramática y ortografía...............................................................................................................143 Voz y tiempo de los verbos.......................................................................................................143 El estilo según George O rw ell................................................................................................ 144 Escribir, rccscribir y volver a rccscribir........................................................................................... 144 Aprender a escribir..................................................................................................................... 144 Presentación del manuscrito a la revista.................................................................................145 Publicación previa y duplicada................................................................................................ 145 Manuscritos electrónicos........................................................................................................... 146

C ontenido

ix

Revisión de la bibliografía........................................................................................................ 146 Artículos de revistas................................................................................................................... 147 Scicntific Citation Index............................................................................................................ 147 Libros de texto............................................................................................................................. 147 B ibliografía......................................................................................

147

Bibliografía general................................ - ...........................................................148

C A P ÍT U L O 1

Metodología de las ciencias experimentales Origen de la ciencia La ciencia surge en el momento en que el hombre comienza a buscar el porqué de las cosas, la verdad, a partir del supuesto de que nada ocurre al azar. Esta búsqueda de la verdad se refleja en la trascendencia de nuestras preguntas y en la profundidad de nues­ tras repuestas. El crecimiento individual conlleva el avance de la especie, mientras que el cómo despierta la curiosidad impulsiva de cada ser humano. Los grandes imperios promovían el conformismo y la supresión de ideas; eran sociedades tradicionalistas poco dispuestas a adoptar innovaciones. Sin embargo, había ciertas personas que creían que todo estaba hecho de átomos, que los seres humanos y los anim ales procedían de formas más sim­ ples, que las enfermedades no eran causadas por demonios o por dioses, que la Tierra no era más que un planeta que giraba alrededor del Sol, entre otras ideas. Con este cambio de perspectiva nació la idea de que podrían existir principios, fuerzas y leyes en la natu­ raleza que permitieran comprender el mundo sin atribuir a los dioses lo sucedido. La inquietud por el conocimiento y la exploración del medio provocó la búsqueda de una explicación lógica acerca de los fenómenos naturales. Esta forma de pensamiento inició entre los años 600 y 400 A C . La antigua ciudad griega de Mileto fue el escenario de los primeros indicios de cambio en la forma tradicional de percibir el mundo. Todos los pueblos del Mediterráneo concurrían al intercambio de mercancías, lo que influía tam bién en el intercambio de ideas y nuevos conocimientos adquiridos por los filósofos de la época; por ejemplo. Tales de Mileto veía en el agua el principio del ser, la verdadera sustancia de todas las cosas; Anaximandro de Mileto escribió su libro filosófico del cual se conserva el frag­ mento; “El origen de las cosas es lo indefinido (ápeiron), de donde surgen las cosas (tisis) según el orden del tiempo”; Heráclito de Éfeso con su especulación “Yo me busqué a mí mismo” tropieza con el elemento fundamental de la vida espiritual, el lagos, que en griego significa razón, pensamiento y palabra, al mismo tiempo. Pitágoras de Samos decía que el principio fundamental de la ciencia y de la filosofía eran los números, esen­ cia de todas las cosas. A Parménides de Elea, en materia de filosofía de la ciencia, se le debe la importancia de la diferencia entre la percepción sensible y el pensamiento. Para Empédocles de Agrigento la concepción del mundo era un dualismo, es decir, existían 1

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

dos mundos: el de los sentidos o terreno y el suprasensible o celeste. Demócrito de Abdera, por su parte, fue un personaje influido por la misma pasión de conocimientos que Anaxágoras de Clazomene, pues dedicó toda su vida a la filosofía, además elaboró una Teoría del conocimiento donde se distingue entre el conocim iento oscuro de la percep­ ción sensible y el conocimiento auténtico, fruto del pensamiento. Protágoras de Abdera tiene un escrito que aborda el concepto de verdad y un subtítulo de su obra es discursos derríbadores, tomado de las escuelas de lucha atlética. A su vez. Sócrates de Atenas, buscó la verdad: así, tras la costumbre buscó la moralidad, tras el derecho la justicia. los principios de un orden social tras el Estado y la divinidad detrás de los dioses. Platón de Atenas con sus esfuerzos de renovación política, poco a poco llegó a una reconstrucción de toda la filosofía; mientras que Aristóteles de Atenas, con su incomparable universalis­ mo, intentó organizar en su sistema filosófico todo el saber de la época y, con ello, cul­ minar la investigación de la realidad. Gran parte de Europa perdió contacto con el conocimiento escrito después de la caída del Imperio romano de Occidente (476 D.C.) y entonces dio inicio la Edad Media. Este largo periodo de estancamiento, conocido como Edad Oscura, se caracterizó por una notable paralización del pensamiento filosófico y científico. El poder de los místi­ cos, reforzado con la influencia oriental, consiguió el dom inio de la vida espiritual. Todo el conocimiento se centró en Dios, por lo que la filosofía y el pensamiento científico volvieron a estar unidos. El Renacimiento (Fxiad Moderna), llamado así por el rcdescubrimicnto de trabajos de antiguos pensadores, marcó el fin de la Edad Media y fundó cimientos sólidos para el desarrollo de nuevos conocimientos. Los saberes se individua­ lizaron y la filosofía y la ciencia se separaron de manera definitiva. La Edad Contempo­ ránea se ha caracterizado por estudios que involucran una filosofía científica; sin em bar­ go, filosofía y ciencia se abordan por separado. La ciencia y la filosofía están relacionadas estrechamente: ambas utilizan el razo­ namiento para obtener conclusiones, pero difieren en la generalidad de sus resultados. La ciencia trata de explicar el comportamiento de la naturaleza en áreas particulares, estudia cóm o ocurren las cosas y utiliza muchos resultados de los filósofos; por ejemplo, la va­ lidez de la lógica y los postulados acerca de la naturaleza. La filosofía busca la naturale­ za última de las cosas, de manera que generaliza los resultados de la ciencia, busca qué son las cosas y p o r qué ocurren; además, por su carácter racional, dio la pauta para que los científicos se concentraran en problemas específicos y utilizaran la filosofía de la ciencia como fundamento de sus ideas y deducciones. Hasta mediados del siglo xix. a lo que hoy conocemos como física, se le llamó filosofía natural o filosofía de la naturaleza (ciencia dedicada al estudio de los fenómenos naturales). La filosofía de la ciencia es la investigación acerca de la naturaleza de la práctica científica, se encarga de saber cóm o se desarrollan, evalúan y cam bian las teorías; apor­ ta los conceptos de la fundamentación de la ciencia y es la encargada de averiguar si esta es capaz de revelar la verdad de las entidades ocultas y los procesos de la naturale­ za; provee los elem entos que determinan la comprensión previa del cam po que estudia la ciencia y, de esta manera, orienta la investigación; se usa para nombrar conjuntos de verdades y principios fundamentales de la ciencia o el arte (inicialmcntc la ciencia se explicó mediante bases filosóficas); y sus estudios se basan en la observación y la expe­ rimentación. Se denominó filosofía de la ciencia hasta la conformación del Círculo de Vicna a principios del siglo xx, y alcanzó su madurez en la década de 1920 con un grupo d e fi­ lósofos como Rudolf Cam ap (1891-1970), Otto Ncurath (1881-1945), Hans Hahn (1879-1934), Kurt Gódel (1906-1978) y Willard V. Quine (1908-2000). En la actualidad.

O rigen de la ciencia

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las grandes figuras de la filosofía científica son Karl R. Popper. Thom as Kuhn, Imre Lakatos y Paul Feyerabend. En los últimos 30 años la filosofía de la ciencia ha abordado varios temas de suma importancia, entre los que destacan el gran desarrollo de muchas disciplinas científicas y el método científico; sin embargo, cabe destacar que ya no es posible hablar de un método único y umversalmente válido. Karl Popper (1902-1994) propone que la ciencia no es capaz de verificar si una hipótesis es cierta, pero sí puede demostrar que es falsa. Así pues, frente a la postura del verificacionismo, dominante hasta ese momento en la filosofía de la ciencia, Popper propone el falsacionismo, seguido en España por Gustavo Bueno (1924), autor del materialismo filosófico, en su teoría del cierre catcgorial. Por su parte, M ario Bunge (1919) analiza los problemas de diversas epistemologías, desde el racionalismo crítico popperiano hasta el empirismo, el subjetivismo o el relativismo. Bunge es realista crítico y para él, la ciencia es falible (el conocimiento del mundo es provisional c incierto), pero la realidad existe y es objetiva. La historia reciente de la ciencia está marcada por el continuo refinamiento del co­ nocimiento adquirido y el desarrollo tecnológico, acelerado desde la aparición del méto­ do científico. A continuación se mencionarán algunos filósofos que han colaborado en el desarrollo del método científico desde el siglo xvi hasta la actualidad: • G alilea G alilei (1564-1642): em pleó procedim ientos inductivos para conocer la realidad y señaló que el descubrim iento debía ser el resultado de la experi­ mentación. • René D escartes (1596-1650): pretendía un conocimiento basado en la existencia indudable de un sujeto pensante, así como el avance gracias a ¡deas claras y dis­ tintas. Descartes, en su obra metodológica Filosofía de la naturalezxi, menciona que el mundo de los objetos com ienza a verse desplazado por el mundo de los conocimientos y en su obra Reglas afirmó *‘¡ay de aquellos filósofos que dejan de lado la experimentación y pretenden que la verdad puede salir directamente de su cerebro, como Minerva de la cabeza de Júpiter!". Asimismo, Descartes llegó a la conclusión de que “la experimentación es la herramienta del conocimiento”. • Francis Bacon (1561-1626): su filosofía planteaba un conocimiento empírico e inductivo de la naturaleza. A Bacon se le consideró el fundador de la filosofía moderna. Entre sus frases celebres desatacan: “saber es poder” y “los secretos de la naturaleza se encuentran con mayor facilidad si se les ataca con el arte, que si se les deja que sigan su curso tranquilo; es mejor estudiar la naturaleza, su estruc­ tura y los cambios de la misma”. Propuso una lógica inductiva fundada en la ex ­ perimentación, con el fin de superar la lógica deductiva de Aristóteles, y desglosó el método científico en observación, hipótesis y verificación. • John Stuart M ili (1806-1873): propuso una metodología experimental moderna basada en la sistematización de los conocimientos metodológicos y su papel en la generación del conocimiento científico. En su obra System o f Logic planteó diferentes variantes del método experimental com o el descubrimiento y la demos­ tración; además, utilizó el método de la concordancia: Si “A” es causa de “B” siempre que se dé “A " se dará “B" (tiene una circunstancia en común), y el méto­ do de la diferencia: Si “A” es causa de “ B", al faltar “A” tiene que faltar “B" (por lo menos una diferente).

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C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

C oncepto, objetivos e intereses de la ciencia Creencia y conocim iento Una creencia es un conjunto de proposiciones o suposiciones de una verdad, que en ocasiones constituye un entramado cultural y social que forma una identidad o dogma. La creencia no tiene un valor de verdad en sí misma, por lo tanto no se puede demostrar com o falsa ni como verdadera; es una ¡dea considerada verdadera por quien la profesa, por ejemplo: Juan cree en la existencia de Dios. Las fuentes de las creencias son: • Externas: cuando se originan en explicaciones dadas por la gente para la com ­ prensión de ciertos fenómenos. • Internas: cuando surgen del pensamiento y la convicción propios. Una creencia no tiene base empírica, por ejemplo, las creencias religiosas opuestas a la ciencia, al estar basadas en dogm as no se construyen a partir de datos obtenidos mediante el método experimental. Conocer es una actividad por m edio de la cual el hombre adquiere certeza de la realidad (m anifestada como un conjunto de representaciones sobre las que tenemos la certidum bre de que son verdaderas); es enfrentar la realidad, donde todo conoci­ miento es forzosamente una relación en la que aparecen dos elem entos relacionados entre sí: uno cognosccntc (sujeto) y otro conocido (objeto). Esta relación implica la aprehensión del objeto por parte del sujeto. El conocim iento es la relación entre suje­ to-objeto, es decir, captar algo que inicialm entc está fuera del horizonte del sujeto (véase figura 1.1).

Figura 1.1: Conocimiento es una relación sujeto-objeto.

FJ sujeto determina la relación con el objeto y por lo tanto con el conocimiento, y es capaz de entrar en relación con el objeto de diferentes maneras, lo cual hace que la acti­ vidad del conocimiento fluctúe entre el conocimiento vulgar y el conocimiento científi­ co. El primero lleva a ver el objeto, a entenderlo; en cambio, el segundo se apoya en el método científico y la investigación. Los pensamientos son representaciones mentales del objeto conocido. Pensar es com binar pensamientos ya obtenidos, e inclusive inferir otros nuevos. Saber es disponer de una serie de pensamientos acerca de los objetos que nos rodean. Por medio del conocimiento o del pensamiento se puede aumentar el saber, por ejemplo: Pablo sabe que los cuerpos se dilatan con el calor.

El método científico

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Subjetivism o y lenguaje privado El subjetivismo es la tendencia filosófica en la cual el valor de todo juicio no depende de cómo se muestran las cosas, sino de la visión de quien juzga (sujeto). El lenguaje privado, al igual que el subjetivismo, no tiene cabida en la ciencia como argumento de­ mostrativo o criterio de verificabilidad, por ejemplo: A Francisco le duele el estómago.

Ciencia Es un conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación y el razonamiento, de los cuales se deducen principios y leyes generales. En un sentido más amplio, este tér­ mino se emplea para referirse al conocimiento en cualquier campo, pero suele aplicarse, sobre todo, a la organización del proceso experimental vcrificablc. La ciencia como actividad (investigación) pertenece a la vida social, ya que se aplica al mejoramiento del medio natural y artificial, así como a la invención y manufactura de bienes materiales y culturales, y es el conducto para el desarrollo de la tecnología; trata con problemas de valor de verdad, que son posibles comprobar y verificar, busca establecer las relaciones existentes entre diversos hechos y conectarlos entre sí; describe y explica las cosas rea­ les; busca la verdad. El interés de la ciencia es el conocimiento, no las creencias, el subjetivismo o el lenguaje privado. El propósito de la ciencia es la predicción y el control; establecer una generalización, un modelo de aplicación universal en un lenguaje preciso y sin ambigüe­ dades. Tiene como objetivo la verificabilidad, la corregibilidad, la falsabilidad y la sis­ tematización (ensayo-error). En la sociedad, la ciencia tiene la finalidad de producir modelos útiles para explicar la realidad, dar respuestas y soluciones a problemas de investigación mediante la aplicación de procedimientos científicos, así como la descrip­ ción, explicación, predicción y control de los fenómenos, ya que puede hacer prediccio­ nes basadas en observaciones que, a menudo, benefician a los individuos.

El m étodo científico El método científico se entiende como el estudio sistemático, controlado, empírico y crítico de proposiciones hipotéticas referentes a presuntas relaciones entre varios fenó­ menos. Es un procedimiento aplicado en las ciencias, que inicia con la observación y posee las siguientes características: es fáctico, hace trascender los hechos, es verificable, autocorrcctivo y objetivo. Está sustentado en la reproducibilidad (la capacidad de repetir determinado experimento en cualquier lugar y por cualquier persona) y la falsabilidad. El conocimiento em pírico se obtiene a partir de la exposición de los órganos senso­ riales al mundo exterior y permite orientar a los individuos en su práctica diaria. Sirve como base para la construcción del conocimiento científico, también se extrae del con­ tacto con la realidad, pero su adquisición, a diferencia de lo cotidiano, se realiza con base en métodos e instrumentos debidamente seleccionados y estructurados de acuerdo con los lineamientos que proporcionan las teorías, de manera concreta las hipótesis plantea­ das. La ciencia empírica depende de la experiencia para demostrar el valor de verdad en sus enunciados; se basa en dos formas: la observación sistem ática (el observador no in­ terviene) y la experimentación (el observador interviene, altera y controla el fenómeno en cuestión).

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

El m étodo experim ental se aplica principalmente en las ciencias naturales (física, química y biología) y se basa en la observación de fenómenos, así como en la realiza­ ción de experimentos. Utiliza varios métodos com o la inducción, deducción y estadís­ tica, según lo requiera la naturaleza del experimento. Se entiende por observación al conjunto d e datos que se obtienen del seguimiento de un fenómeno que puede estar dentro o fuera de nuestro control. Cuando se logra reproducir un fenómeno controlando sus variables artificialmente se le llama experimento, el cual es ideal cuando es contro­ lado, diseñado y capaz de reproducir un fenómeno donde es posible seleccionar valores de las variables independientes y medir los efectos en las variables dependientes. Los experimentos pueden realizarse en laboratorio y repetirse cuantas veces sea necesario; además, se espera que los valores medidos varíen dentro de un rango determinado por la incertidumbre en las mediciones. Los pasos del método experimental son: 1. Definición del problema 2. Hipótesis de trabajo 3. Diseño del experimento 4. Realización del experimento 5. Análisis de resultados 6. Obtención de conclusiones 7. Elaboración del informe 1. Definición d el problema: es el primer paso para planear un experimento y consiste en definir su objetivo con precisión, es decir, formular claramente el problema o a qué preguntas se quiere responder. Contempla los siguientes aspectos a) Observación d el fenóm eno: se observa el fenómeno detenidamente, se formulan las preguntas e hipótesis y se define qué clase de error (tipo I ( a ) 1o tipo II (J3): ) se está dispuesto a tolerar. b) Consulta bibliográfica: una vez establecida la pregunta es necesario consultar lo que se ha hecho en casos parecidos (marco teórico). Consultar la bibliografía per­ mite conocer los antecedentes y el estado actual del problema, es decir, qué y cómo se ha hecho y, sobre todo sirve para determ inar si la investigación que se planea es una confirmación o una extensión de otro trabajo científico. Cuando se trate de un problema conocido se pueden consultar enciclopedias, libros espe­ cializados. internet y revistas científicas. Cuando el problema no es del dominio

1 U n error tipo I se presenta si la hipótesis nula H o es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de com eter un error tipo I se representa con la letra alfa o . : U n error tipo II se denota con la letra griega 0 . Se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía se r rechazada. En cualquiera de los dos casos se com ete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que puede tomar el investigador y las posibles consecuencias cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada. En cualquiera de los dos casos se com ete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que puede tomar el investigador y las posibles consecuencias. A c e p ta r Ho R ech azar Ho

Ho v e rd a d e ra No error U p o I (a )

H o falsa Tipo 11 (0 ) No error

El método científico

7 público hay que remitirse a publicaciones especializadas que dan a conocer los resúmenes. Estas publicaciones son conocidas com o abstract o resumen y las hay en casi todas las áreas del conocimiento humano. c) Im portancia: se determina la relevancia de la investigación, su trascendencia y aportación al conocimiento científico. d) Objetivos: es la manera en la que se responderán las preguntas, cóm o se compro­ bará la hipótesis y los efectos que se deberán estimar (redactados en términos precisos). Una vez planteada la pregunta y hecha la consulta bibliográfica, se pro­ cede a formular una hipótesis que tenga posibilidades de explicar la observación, o decidir cuáles de las leyes naturales son aplicables, o por lo menos, esperar a que haya una relación entre dos variables características del problema.

2. Hipótesis Je trabajo: es una predicción para explicar cóm o o por qué sucede un fe­ nómeno, y de la cual se busca su comprobación (o negación) por medio de un experi­ mento. 3. Diseño d el experimento: es la elección del procedimiento experimental y los instru­ mentos capaces de medir y controlar las variables del fenómeno que se va a estudiar. Para ello, es necesario considerar: a) el equipo de medida existente y su precisión, y b) el tiempo y dinero disponibles. 4. Realización d el experimento: una vez realizado el experimento de prueba y la inter­ pretación tentativa de resultados, realizar el experimento final se reduce a llenar co­ lumnas con lecturas de las mediciones y detectar cualquier anomalía que se presente durante el desarrollo del mismo. 5. Análisis d e resultados: la interpretación de resultados, ya sean valores, gráficas, tabu­ laciones u otros, debe contestar con la mayor claridad posible las preguntas plantea­ das durante la definición del problema. 6. Obtención de conclusiones: con los resultados del experimento el investigador hace sus propias conclusiones, es decir, aplica su criterio científico para aceptar o rechazar una hipótesis. También es posible que se hagan conjeturas acerca de un modelo o se proponga la creación de otro nuevo, lo cual conduce a un problema diferente. 7. Elaboración d el informe: reporte en el que se comunican los resultados a la comuni­ dad científica, y constituye una pieza útil para la evolución de la ciencia. \ jx realización del informe debe ser clara; es necesario tener presente en todo mo­ mento al lector a quien va dirigido el trabajo, para así determinar el nivel académico del lenguaje que conviene utilizar. En un reporte de divulgación debe empicarse un lenguaje sencillo y explicar con más detalle todos los conceptos que no sean del dominio público, de manera que sea entendido por la mayoría. F.n cambio, un trabajo especializado está dirigido a un sector más reducido (la comunidad científica) y utiliza un lenguaje especializado, por lo que resulta innecesario explicar todos los conceptos. O tro factor importante es la estructura del informe, la cual consta de seis partes: a) Título, b) Resumen, c) Definición del problema, d) Procedimiento experimental, e) Re­ sultados y f) Conclusiones.

8

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

Elementos del método científico 1. Hechos observados: la ciencia empieza con la observación. 2. H ipótesis: establecer una explicación tentativa de un fenómeno, esto es, afirmar las posibilidades, razones necesarias o suficientes para la ocurrencia de un fenómeno. Es una conjetura o idea provisoria y especulativa de cóm o los hechos han de ser interpre­ tados y explicados y con el tiempo se pueden ir depurando y ajustando a un fenómeno hasta convertirse en una ley y después en un teoría científica. 3. Experimento: proceso obscrvacional por medio del cual el hombre incrementa su experiencia sobre el mundo externo y permite la comprobación del enunciado. En el diagrama de flujo de la figura 1.2 se ¡lustra la secuencia del experimento en tres eta­ pas: la plancación, la experimentación y la evaluación. Los experimentos pueden ser de verificación o demostración y empíricos. Un experim ento de verificación o dem os­ tración es aquel cuya plancación se deriva de una ley física conocida. Un experim en­ to em pírico es aquel cuya plancación está orientada hacia la obtención de una ley física. Estos conceptos son los que dividen el diagrama de flujo en dos caminos: I ) Si el fenómeno físico sobre el que se desea experimentar tiene antecedentes teóricos, se sigue el camino de los experimentos de verificación o demostración; 2) Si el fenóme­ no físico sobre el que se desea experimentar no tiene antecedentes teóricos, se sigue el camino de un experimento empírico. P rim e ra etapa • Planeación: constituye la columna vertebral de todo experimento, ya que el éxito o fracaso dependen de ella y tiene por objetivo analizar el experimento. • M odelo m atem ático teórico: un modelo matemático implica una relación explícita entre las variables involucradas, que tienen la cualidad fundamental de predecir el valor de una variable dependiente a través del conocimiento del valor de las variables independientes. Cuando se realiza un experimento de verificación o de demostración a partir de un m odelo se pueden seleccionar fácilmente las variables. Si el experim en­ to es empírico, para la obtención del modelo se recomienda efectuar, en primer térm i­ no, el análisis dimensional. • O bsen’ación: análisis visual del comportamiento de un fenómeno físico, a través de las variaciones de los parámetros involucrados. A partir de esto se puede deducir la variable dependiente y cuál como independiente. • Selección de variables: en general, es un paso obvio, ya que al experimentador se le encomienda la tarca de medir una cantidad específica como función de otra variable específica y. por consiguiente, se decide cuáles son las cantidades que se definirán como las variables principales y cuáles serán las subsidiarias. • Precisión del experimento: para estimar la precisión de un experimento se recomienda utilizar la propagación de ¡ncertidumbres para averiguar cóm o afecta al resultado final cada incertidumbrc individual; lo anterior dará la estimación de la inccrtidumbrc total en el resultado del experimento y, a partir de esto, se seleccionarán los instrumentos de medición adecuados para la precisión requerida.

El método científico

9

• Programa de mediciones: el program a de m ediciones para diferentes valores de la variable independiente se formula procurando cubrir el m ayor intervalo posible de variación; m ientras que el número de m ediciones y el intervalo de valores a cubrir en cada caso se predeterminarán de acuerdo con los instrum entos de medición y con el tiempo disponible para todo el experimento. Se recom ienda escribir el programa de m ediciones en forma de tabla y se sugiere que esta contenga las variables y sus cam bios de variables, propuestas a partir del modelo m atem ático o del análisis di­ mensional. S egunda etapa • Experimentación: son todas las acciones requeridas para que sucedan los fenómenos implicados en el experimento. Dentro de estas acciones se considera el montaje del dispositivo, el control de las variables, las mediciones correspondientes y su registro en el programa de mediciones. • A nálisis gráfico: consiste en dibujar las gráficas correspondientes de los datos obteni­ dos del experimento, utilizando el eje horizontal para la variable independiente y el eje vertical para la variable dependiente. El análisis gráfico permite verificar si las obser­ vaciones se dispersan dentro de los límites del error experimental. Si existen uno o varios puntos que no queden dentro de los límites del error, se realizan nuevamente estas mediciones. T ercera etap a • Evaluación: cuando se tiene determinado que es una recta la que describe el fenómeno bajo estudio, se obtiene lo siguiente: • Tratamiento estadístico: se inicia con el cálculo de los parámetros de la recta (pen­ diente c intersección) y sus incertidumbres de acuerdo con las fórmulas dictadas por el método de mínimos cuadrados. En este punto es importante encontrar el error rela­ tivo que expresa el porcentaje de error del resultado. Con ello, se pretende constatar que dentro del error experimental, la cantidad es confiable y se ajusta a la precisión del experimento. • M odelo m atemático em pírico: una vez obtenidos los parámetros de la recta, estos se insertan en la relación matemática para expresar de m anera completa la relación fun­ cional. Si este modelo empírico no describe el fenómeno estudiado, entonces se reco­ mienda repetir la observación original y buscar las posibles discrepancias y, en su caso, repetir todo el experimento. Si ocurre lo contrario, se considera terminado el experimento. • Comparación teoría-experimento: en los experimentos de verificación es conveniente realizar un cálculo teórico basado en el modelo matemático de la etapa de plancación. Una vez realizado, se compara con el resultado experimental; si este último queda muy alejado del primero y fuera de los límites del error experimental, se recomienda regresar al paso en el que se determina la precisión experimental. En caso contrario, se considera terminado el experimento. • Resultados y su interpretación: los resultados del experimento, los hechos adicionales y la interpretación de estos nuevos hechos conducen al apoyo, rechazo o alteración de una hipótesis.

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

Demostración o verificación

Empinsmo

Modelo matemático

Observación

4 Identificación de variables

Selección de variables

4

si PLANEACIÓN

Determinación do la precisión y selección de aparatos d e medición

Determinación d e la precisión y selección d e aparatos do medición

4

4

Programa da mediciones

Programa de mediciones

4 Realización del experimento

Realización do! experimento

4

4

EXPERIMENTACIÓN

Análisis gráfico

Análisis gráfico

■4

■4

Tratamiento estadístico

Tratamíonto estadístico

4

EVALUACIÓN Modelo matemático fronto a resultados expen mentales

Modelo matemático empírico

4 ' ¿Resultado dentro del error experimental?

SI > IZ *

SI ^

-

- NO Describe \ el fenómeno /

Figura 1.2: Diagrama de las etapas para los experimentos de verificación o demostración y empíricos. (Lara-Barragán, 1988).

M odelos

II

M odelos El concepto de modelo en el pensamiento científico Los modelos intentan describir y explicar las características del fenómeno, sin pretender ser una fotografía de la realidad. En la ciencia, el modelo se consituye de proposiciones coordinadas y subordinadas que, con frecuencia, se expresan mediante fórmulas que explican relaciones reales de los objetos; son esquemas teóricos (que no tienen existen­ cia real) que se refieren a esquem as objetivos (que sí existen en realidad). Las teorías se prueban mediante los modelos, lo cuales son solo una parte de la teoría.

Observaciones y modelos Un modelo, comparado con el sistema verdadero que representa, proporciona informa­ ción a un costo m ás bajo y permite un conocimiento m ás rápido de las condiciones que no se observan en la vida real. El valor de un modelo surge cuando este mejora la comprensión de las características del comportamiento de forma m ás efectiva que si se observara el sistema real. Los modelos de cualquier clase son poco prácticos si no están respaldados por datos confiables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos tiene un efecto directo en una precisión del m odelo y su recopilación es una parte más difícil de deter­ minar. 1. Identificación de las variables significativas: la primera fase de la investigación de un fenómeno nunca antes estudiado consiste en la búsqueda de las variables que parecen estar relacionadas. Mediante la identificación de estas se reduce el campo de la investigación a niveles prácticos, lo cual facilita el trabajo sistemá­ tico tanto a nivel experimental como teórico. 2. Concepto de modelo: se concibe por medio de construcciones hipotéticas e ima­ ginarias creadas a partir de conjuntos de definiciones del mundo real de nuestras percepciones acerca de este. El uso de los modelos es casi universal en nuestro pensamiento, sea científico o no. Los modelos proporcionan un marco de refe­ rencia para el pensamiento y la comunicación, una descripción esquemática de los sistemas, una base para el cálculo, una guía para el estudio futuro, etcétera. Los modelos son diversos, pero tienen una característica en común: son con­ ceptos inventados. Se construyen con la intención de que correspondan, lo más posible, con el mundo real; sin embargo, ningún modelo puede ser jam ás una réplica exacta de su contraparte real. Además, pertenecen a diferentes categorías, por ejemplo: una pared no puede ser realmente un rectángulo, ni un círculo. Em­ pero, las propiedades de un m odelo pueden ser semejantes a las del mundo real y resultar útiles en la medida en que sus propiedades sí correspondan con las del mundo real. 3. Comparación entre los m odelos y el mundo real: para que las propiedades del modelo y las de su contraparte real en un experimento científico correspondan, es necesario em pezar con una comparación entre el modelo y el sistema real. Y solo será útil si se demuestra ex pe rimen tal mente que las propiedades del modelo

12

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

guardan una correspondencia adecuada con las del sistema real. Para ello, un modelo o concepto debe ser verificable mediante la observación. 4. Refinamiento de los modelos: en el trabajo científico es posible modificar o cam ­ biar los modelos en el momento que sea necesario. Para empezar, el modelo es una construcción, una idea presente en la mente. Cuando se propone efectuar un cambio, la única consideración que debe tomarse en cuenta es la utilidad básica de la idea y el provecho que aporta si se modifica. Un proceso de refinamiento continuo y de eventual remplazo forma parte del proceso científico. Es asunto propio y normal de los científicos, ya sean aplicados o sociales, llevar a cabo el proceso de comparación entre modelos y sistemas en una búsqueda continua del mejoramiento del modelo. 5. Comparación detallada entre modelos y sistemas: para comparar los procedi­ mientos reales con las propiedades de los modelos y los sistemas no basta con un concepto gráfico de la situación, además se requiere llevar a cabo una observa­ ción cuantitativa del sistema y emplear procedimientos matemáticos para especi­ ficar el modelo.

Construcción de modelos La construcción de un modelo requiere de diversas etapas y depende del experimento en cuestión. Por ejemplo, se puede generar un nuevo modelo para un fenómeno nunca estudiado y del cual no hay información previa. Por otra parte, puede existir alguna propuesta o teoría anterior que pueda aplicarse a un sistema y que dé como resultado un nuevo modelo. Existen dos tipos de modelos: em píricos y teóricos. El modelo empírico está basado únicamente en observaciones, sin referencia alguna a la operación interna y detallada del sistema. En cambio, un modelo teórico se construye de forma más general (no solo para un intervalo particular de observaciones), y se basa en algún concepto o principio acerca del modo de operar del sistema.

Modelos empíricos Una vez que se ha logrado reunir un grupo de observaciones acerca de un sistema para el que no existe un modelo que describa alguna propiedad del mismo (por ejemplo, de las mediciones de peso vs. alargamiento en un resorte cargado), los resultados probable­ mente tomarán la forma de 5 (como la de la figura 1.3). El problema, entonces, es cons­ truir un modelo adecuado, para lo cual deben considerarse los siguientes pasos: 1. Enunciado verbal: el modelo más sencillo es una descripción verbal de la varia­ ción: El alargamiento aumenta uniformemente con el peso, según la c u n a en forma de S. 2. Trazar una cur\’a continua po r los puntos: la siguiente etapa de la construcción del modelo está representada por el trazo con puntos de una curva continua. Se tendrá el conjunto de observaciones mostradas originalmente en la tabla 1.1 y en la figura 1.3. El conocimiento del sistema es bueno en los puntos en los que se han realizado mediciones reales. Sin embargo, si se desea conocer el valor del alargamiento para un peso intermedio entre dos de los valores medidos, entonces se tendrá un problema. Se debe inferir d valor deseado por interpolación sobre la base de las

M odelos

13

Tabla 1.1: Peso frente a alargamiento de un resorte cargado. Peso (kg)

A largam iento (m m )

05.0 10.0 15.0 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0

0.2 0.5 0.8 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.7 1.8 1.9 2.0 2.3 2.5 2.8 3.2

mediciones practicadas. La curva suave y continua proporciona una forma de hacerlo, tal com o lo muestra la línea continua a) en la figura 1.4. De igual manera, se puede emplear la curva suave y continua para extrapolar m ás allá del intervalo existente de valores, como se muestra con la línea discontinua b). Este procedi­ miento permite hacer conjeturas sobre los valores fuera del intervalo medido, pero la validez del procedimiento es mucho más limitada que en el caso de la interpolación. 3. Búsqueda de funciones: como una forma más elaborada de trazar curvas conti­ nuas por puntos se puede usar una variedad d e métodos matemáticos para encon-

3.5 3.0

0.5

•

0.0 -| 0

1 10

1 20

1 1------ 1— 30 40 50 Peso, kg

Figura 1.3: Peso frente a alargamiento de un resorte cargado.

14

C apítulo 1 M etodología de las ciencias experim entales

E E

2 5 E §>

20

10

30

40

50

Peso, Kg Figura 1.4: Curva suave de las variables peso frente a alargamiento de un resorte cargado, a) Valor interpolado, b) Valor extrapolado.

trar una función analítica que se ajuste a esos puntos. Pese a toda la elaboración matemática que representan, estos procedimientos todavía dependen, para su va­ lidez. de la suposición básica de un comportamiento regular en el sistema; en tanto, las curvas y funciones asociadas constituyen el concepto de compor­ tamiento del sistema. Las funciones generadas empíricamente para ajustarse a conjuntos de observaciones pueden ser muy útiles, ya que como modelos mate­ máticos del sistem a pueden, con precisión variable, aplicarse para obtener valo­ res inferidos de algunas características del sistema.

Modelos teóricos Los modelos teóricos se construyen con bloques conceptuales básicos, como definicio­ nes, axiomas, hipótesis, principios, entre otros, seguidos de una derivación analítica a partir de estos elementos básicos. Como todos los elementos de las teorías son construc­ ciones de la imaginación humana, las teorías y los resultados de estas son, de igual ma­ nera, construcciones imaginarias. Por lo tanto, su pertinencia en los sistemas reales debe evaluarse a través de la experimentación, por ejemplo: un balín de acero que desciende en caída libre por efecto de la fuerza de gravedad. Fn este caso, primero debe medirse el tiempo de caída desde diferentes alturas y después graficar los resultados; sin embargo, para construir un modelo teórico de la misma situación el enfoque cambia: se elige un conjunto de axiom as o hipótesis básicas, a partir de las cuales se derivan los resultados requeridos (puede suponerse en la hipótesis básica un valor de la aceleración del balín: a = 9.81m/s2). Además del supuesto valor constante para la aceleración, de manera implí­ cita se está despreciando la presencia del aire. FJ modelo quedaría de la siguiente forma: v = 9 .8 1 /

(Suponiendo v = 0 e n / = 0)

(1.1)

x=

(Suponiendo v = 0 en / = 0)

(1.2)

' = 10

AX = m á x (p ,S m)

Si

Donde Dmes la desviación máxima que está definida como: Dm =

2

(3.5)

Y Sn es la desviación típica de la media (desviación estándar o error cuadrático de la media) expresada: I f i W - X ) 7

( 3 .6 )

S_ = \/4=!----------------

(n-1)

donde: X = X. fi = n=

media aritmética. valores de la variable X desde el valor i = 1 hasta el valor n-ésimo. frecuencia del valor Y desde el valor / = 1 hasta el valor n-ésimo. número total de datos de Y o el tamaño de la muestra.

Así, Smes una medida del grado d e dispersión de la distribución de los valores alre­ dedor de la media. Cuando S es grande, los valores individuales están muy dispersos. En resumen, para series de mediciones directas la incertidumbre absoluta de la serie de medidas será igual a Dm para los casos en que el número de datos se encuentre entre 2 y 10, y Smen los casos que el número de datos sea mayor que 10.

Medidas indirectas que tienen incertidumbre asociada Las mediciones indirectas son aquellas que requieren la determinación de una o más mediciones directas y se obtienen efectuando un cálculo matemático con dichas m e­ diciones, lo cual en la mayoría de los casos, se debe a que no existen instrumentos para determinarlas y, en otros casos, aunque estos existan no se dispone de ellos, por lo que se tienen que evaluar mediante relaciones matemáticas. Por ejemplo, si se pretende determinar la aceleración a de un cuerpo, no existe un acelerómetro; sin embargo, se establece mediante relaciones matemáticas como: a=m

(3.7)

Existen instrumentos para medir la fuerza F (dinamómetro) y la masa m (balanza). Sin embargo, es importante recordar que las mediciones de F y m tendrán que estar aso­ ciadas con sus respectivas ¡ncertidum bres:dF y Am, y por lo tanto, a también presentará su incertidumbre asociada: Aa. De manera que: a + Aa = — — m + A/tí

(3.8)

En virtud de que la mayoría de las mediciones realizadas en ciencias e ingenierías son indirectas es importante determinar cómo se propaga la incertidumbre. Hasta aquí se ha presentado únicamente el concepto de incertidumbre de una sola variable medida; sin embargo, es raro que el proceso se termine con la medición de una variable única. Con

46

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

frecuencia, el resultado deseado es una combinación de dos o más cantidades medidas, o por lo menos, es una función calculada a partir de una sola variable. Por ejemplo, se puede calcular el área transversal de un cilindro por la medida de su diámetro, o su volu­ men por la medida tanto del diámetro com o de la altura. Las diferentes mediciones son de distintos tipos: el cálculo de la aceleración de la gravedad (g) a partir de los valores de la longitud, el periodo de un péndulo, etcétera. En estos casos es obvio que la presencia de incertidumbre en las medidas originales trae consigo la presencia de una incertidum­ bre en el valor final calculado. Para propósitos prácticos se supone que en la experim en­ tación las incertidumbres tienen el carácter de alcances o intervalos, dentro de los cuales existe la probabilidad de que se encuentre el valor correcto. Para los valores calculados se encuentran intervalos dentro de los cuales, nuevamente, existe la probabilidad de que ahí estén los valores buscados. Esto significa que se tienen que hacer cálculos para el p e o r caso de combinación de incertidumbres.

Incertidumbre en funciones de una variable Si se considera una cantidad medida (X^ con una incertidumbre (± AX) y un valor calculado (>0, que es una función de la variable X, es decir. Y = /(X )

(3.9)

Esta función permite calcular el valor estimado Ya¡, a partir de un valor medido M ejor aún, permite laposibilidad de estimar que pueda variar de X ^ - AX a X + AX, lo que implica un interv alo de posibles valores de Y - A Y a Y , + AY. Ahora interesa saber cómo se calcula el valor de DK Antes de considerar los méto­ dos generales de evaluar D J\ es ilustrativo ver la propagación de las perturbaciones fini­ tas en funciones sencillas. Por ejemplo, la función: Y =X 2 Si X puede variar entre X a Yai + AY, donde:

(3.10)

- AX a X ^ + AX , entonces Y puede variar entre Y(¡¡ -A Y

n , ± AK =

± AX)2 =

±

+ AX7

(3.11)

Si se ignora el término AX2, debido a que se supone que AX es pequeña en compa­ ración con XnrJ y al elevarla al cuadrado se obtiene un valor todavía m ás pequeño, se puede igualar Ytt¡ con XmJ , lo que para el valor de DXda: A Y = 2X medAX

(3.12)

Esto se expresa, de forma más conveniente, en términos de la incertidumbre rela­ tiva: AX = 2 X ^ = 2 AX Ym

X ^

X_

Así, la incertidumbre relativa del valor calculado es dos veces la de la medición inicial. Aunque es esencial tener en mente la naturaleza de la incertidumbre propagada.

M étodo general para la determ inación de la incertidum bre

47

como lo ilustra el uso de diferencias finitas, puede lograrse una simplificación conside­ rable de la formulación lograda usando el cálculo diferencial.

M étodo general para la determ inación de la incertidum bre en funciones de una variable utilizando cálculo diferencial Este método, en el caso de relaciones matemáticas complejas, provoca que las estima­ ciones de propagación de incertidumbre se vuelvan difíciles de obtener, no obstante, se puede recurrir al cálculo diferencial. Las diferencias finitas AY y AX se expresan en térdY minos de la derivada — . Por lo tanto, es posible conocer el valor de AY usando primero dX dY las técnicas normales para obtener — de la siguiente forma: dX

o también: ¿ Y = d- W » A X dX

(3.15)

Este es un procedimiento relativamente simple y funciona bien en los casos en que el planteamiento de diferencias finitas lleva a una excesiva complejidad algebraica. Por ejemplo, si Y= —

(3.16)

( X 2 + l)

entonces:

y finalmente:

d Y _ ( X 7+ \ ) - ( X 2 X ) _ - , ,

AY =

1 -X 2

2 AX

i-x 2 (3.17)

(3.18)

(1 + X 2) Más aún, da una expresión general para AY en función de X y AX. Este cálculo ha­ bría sido muy complicado con otro tipo de planteamiento.Cualquier valor deseado en particular puede obtenerse haciendo X = X ^ . Estas técnicas sirven para evaluar incertidumbres de algunas funciones comunes, por ejemplo: 1. Potencias: Y =X'

(3.19)

— = nX ^' dX

(3.20)

A Y = ,iX " A X

(3.21)

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

Lo significativo de este resultado se hace un poco más obvio cuando se expresa en términos de la incertidumbre relativa: AY

AX

rat

i

( 3 -2 2 )

Por lo tanto, cuando se evalúan potencias, la incertidumbre relativa del resultado es la incertidumbre relativa de la cantidad original multiplicada por la potencia respectiva. Esto es válido tanto para potencias como para raíces, de modo que laprecisión dism i­ nuye si una cantidad se eleva a potencias y mejora alsacar raíces. Esta situación debe vigilarse con cuidado en un experimento que implique potencias; cuanto más alta es la potencia, mayor es la necesidad de una alta precisión inicial. 2. Funciones trigonométricas. En el caso de:

se tiene que

Y = senX

(3.23)

dY — = eos X dX

(3.24)

A y = (cosX)AX

(3.25)

3. Funciones logarítmicas y exponenciales. Para la función: K = lo g X

se tiene que

(3.26)

dY 1 — =— dX X

. (3.27)

AY = - A X X

(3.28)

La incertidumbre relativa se calcula dividiendo ambos lados entre Y = f ( X ) , según la expresión inicial de la función: Si

se tiene que

Y = ex dY — dX

x =e

A Y - e xAX

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Este es un caso importante, ya que las funciones exponenciales ocurren con frecuen­ cia en la ciencia y la ingeniería. Estas funciones pueden hacerse muy sensibles al exponente cuando toma valores mucho mayores que la unidad, y por lo tanto, la incertidumbre D Y puede volverse muy grande. Como se mencionó antes, este método se aplica fácil­ mente a cualquier función si se evalúa la derivada respectiva.

Incertidum bre en funciones de dos o m ás variables

49

Incertidum bre en funciones de dos o m ás variables Si el resultado se calcula a partir de dos o más valores medidos X. Y, Z ..., la ¡ncerti­ dumbre de ese resultado se observa de dos maneras: se puede ser tan pesimista como sea posible y suponer que las desviaciones reales de X y Y ocurren combinándose de ma­ nera tal que desvíen el valor de Z, tan lejos como sea posible de su valor central. De esta manera, se calcularía un valor de Z que d— 7 at X fd lYmtd

(3.50)

Nótese que este proceso da la incertidumbre relativa de manera directa y eso, con frecuencia, es conveniente. Si se requiere la incertidumbre absoluta DZ, puede multipli­ carse la incertidumbre relativa por el valor calculado Z,Bque, por lo general, está dispo­ nible. Esta forma de diferenciación implícita sigue siendo el procedimiento más sencillo aun cuando la misma Z csté elevada a alguna potencia. Por ejemplo, si la ecuación es: 7} = X Y

( 3 . 51 )

52

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

Z = X '2Y ' 2

es innecesario rescribirla como: y si se expresa en logaritmos:

(3.52)

AZ AX AY 2— = --------- + --Z X mrd Y‘mrd

(3.53)

.

entonces:

lo que da ^

21og Z = log X + logJ'

.

.

.

como se requería.

2. Cocientes. Pueden tratarse como productos en los cuales algunas de las potencias son negativas. Como antes, el valor máximo de AZ se obtiene despreciando los signos negativos de la diferencial y combinando todos los términos de forma aditiva. Si se encuentra una función distinta a las ya enumeradas, por lo general funciona alguna forma de diferenciación. Con frecuencia es conveniente diferenciar una ecuación de forma implícita, así se evita el requisito de calcular explícitamente la cantidad desco­ nocida en función de las otras variables. De esta manera, se prepara una fórmula para la incertidumbre en la que se insertan directamente todas las incógnitas. Asegúrese de que se usen los signos adecuados para que todas las contribuciones a la incertidumbre se sumen para dar los límites extremos de posibilidad del resultado. Cuando la función sea tan grande y complicada que no se pueda obtener un valor general de AZ, siempre se pueden tomar los valores medidos Xme/ entre otros, y encontrar Zru. Entonces se trabaja con dos resultados diferentes, uno utilizando los valo­ res numéricos propios de XmfJ + AX. YmeJ+ A y (o Y ^ - A Y , si es el adecuado) para obtener uno de los valores extremos de Z; y el otro utilizando Xm j - AX. Esos dos valores corres­ ponden a los límites de Z y así se conoce el valor de AZ Finalmente, se calcula la incertidumbre de Y en las medidas indirectas en función de varias medidas directas X r X2,...Xn: K = / ( X „ X 2,...X J

(3.54)

donde f e s una función de n variables. La incertidumbre de Y está dada por la expresión matemática general: AY = dX

3X,

AX,, AXr ... AXn son las incertidumbres totales de las medidas directas. Los casos particulares sencillos más usados son: Cambio de escala: Potencias:

Y = cX => A Y =|cjAX Y = cX* => A Y =

kY

AX

(3.56) (3.57)

X Suma y diferencia:

Y = X, + X 2 => A Y = V'(AX,)J +(AX: )J J ^ X .- X ,

(3.58)

M étodo general para determ inación de la incertidum bre

Y = X,X2 => A Y = |K|

T r

AX,

* ►

Producto y cociente:

53

AX, 1

(3.59)

Y=

Logaritmo:

Y = logX =* AK =

Exponencial:

K=

AX

(3.60)

=> A Y = e x AX

(3.61)

Ejemplos utilizando los casos particulares sencillos Sum a y diferencia El error absoluto de una suma o una diferencia es la raíz cuadrada de la suma de los errores absolutos elevados al cuadrado de cada una de las cantidades que interv ienen en dicha suma o diferencia (fórmula 3.58).

a k = v/ ( a x , ) : + ( a x !

)3

E jem plo 1: una mesa cuadrada se mide con una cinta métrica; los lados son iguales a un valor de (75.0 ± 0.5) cm. ¿Cuál es el valor de su perímetro? Expresa el resultado con su incerti­ dumbre. Se tiene que:

L -L ^ ± A L

y el valor del perímetro

P = P ^ ± AP

Lmíá = 75.0cm y AL - 0.5cm

y si

Entonces: / , = ^ + / w + í w + í w = (75.0 + 75.0 + 75.0 + 75.0) cm = 300 cm AP = V'(A/.2+ AL2 + AL2 + AL7) = ^((0.5cm )2 + (0 .5 c m )2 + (0 .5 cm )2 + (0.5cm )2) = 1 cm

y El perímetro de la mesa es: P = (300± 1) cm.

54

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

E jem plo 2: si al medir el volumen de un objeto por desplazamiento de agua en una probeta se obtie­ nen los siguientes valores: V, = (350.0 ± 0.5) mi y V ,= (400.0 ± 0 .5 ) mi. ¿Cómo se repor ta el volumen del objeto? V = V 2- V ¡ y A V = JA V ? + AVj2

V = (400.0 - 350.0) mi = 50.00 mi AV = J ( 0 5 mi)2+ (0.5 m i)1 = 0.707mi - 0.7ml

Se puede escribir que el desplazamiento de volumen fue de V = (50.00 ± 0.7) mi.

E jem plo 3: si se tienen dos resistencias: K, = (300 ± 3) £2 y /?, = (200 ± 6 ) £2 y se conectan en serie, ¿qué resultado se obtiene? Rs = /?, + /? ,= (300 + 200) £2 = 500 £2 ARs =

+ AR:: = J (3£2)2 +(6£2)2 =6.71£2 = 7£2

Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: Rs = (5 0 0 ± 7 ) £2 P ro d u cto y cociente p o r un núm ero exacto

AT“P .ll 1

1

J+

V AX,2 X 2¿ /

E jem plo 4: en la determinación de la potencia eléctrica d e una resistencia se midieron el voltaje y la corriente eléctrica, y se obtuvieron los siguientes resultados: V = (50.0±1.0) V ; / = (4 .0 ± 0 .5 ) A La potencia eléctrica y la incertidumbre asociada a la potencia eléctrica es igual a:

P - V t v AP = P

avY

j

( ai

+

i

P = 5 0 V x 4 A = 200W = 2 x l 0 2 W

+

0.5 A V

= 2 x 102V a 16 = 2 x 102(0 .13) = 25.32 W = 3 x 10'W

14A Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: P = ( 2 ± 0 .3 ) x l 0 : W

55

Las gráficas

E jem plo 5 : 1en un experimento la medición de la densidad reportó los siguientes valores: masa (25.00 ± 0.05) g y volumen (10.5 ± 0.1) cm3. Am 2 Í A V

m donde: p = — y A p - p

m 25.00g

p= 2 / A p = 2.38—^ cm ' V I 25.00cm 3

0.1 cm

= 2.38 g 10.5 cm ' cm

. V

10.5 cm '

= 2.38 —^-r V0.000095 = 2.38 - A r (0.0097) = 0.023 - 1 cm cm cm

Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: /> = (2.38 ± 0.02)

g cm

Análisis gráfico de los resultados Representación de la incertidum bre en las gráficas El análisis gráfico es una herramienta útil para la evaluación de experimentos y repre­ senta el comportamiento esquemático y/o matemático del sistem a analizado. Existen dos tipos de gráficas: las descriptivas y las d e cálculo. Las primeras ilustran el comporta­ miento de un sistema físico (simple descripción esquemática del sistema), mientras que las segundas permiten hacer estimaciones de valores no conocidos dentro del rango de valores (interpolación) y en algunos casos extrapolarlos a valores no analizados (con un alto grado de probabilidad de cometer una subestimación o sobrestimación). Para extraer toda la información posible de las observaciones es necesario graficar, además de los puntos, la incertidumbre correspondiente d e cada uno de ellos, de manera que sea apreciable cualquier desviación y se evidencie la incertidumbre total del experi­ mento. A menos que sobre cada punto se marque el intervalo de error, será imposible decidir si una desviación particular de la tendencia general es o no significativa.

Las gráficas En experimentos donde se obtiene una gran cantidad de datos, con frecuencia se orga­ nizan para presentarlos en forma de una gráfica, es decir, un diagrama que usa líneas, círculos, barras o alguna otra forma geométrica para representar los datos. I-as gráficas: 1. Concentran información que facilita la comparación entre un experimento y otro, y se pueden comparar con otras gráficas, lo cual no ocurre si solo se utilizan ta­ blas. 2. Revelan rápidamente ciertos rasgos como: máximo, mínimo, periodicidad, varia­ ción de la pendiente, ordenada al origen, entre otros. En las ciencias c ingenierías, las gráficas tienen, principalmente, tres aplicaciones: 1. Es muy rápido y sencillo determinar alguna característica de un fenómeno. 2. Funcionan como una ayuda visual. 3. En el trabajo experimental permiten conocer la relación existente entre dos o tres variables.

56

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

Construcción de gráficas Para la construcción de gráficas, a partir de datos experimentales, se deben seguir las siguientes recomendaciones: 1. Elección del papel adecuado (depende del tipo de datos obtenidos y del problema por resolver): a ) Papel de coordenadas rectangulares uniformes (milimétrico): se caracteriza por­ que ambos ejes, abscisas x y ordenadas y están a escala lineal. Por lo general se utiliza para determinar un fenómeno con comportamiento lineal (figura 3.3).

01

2 3 4 5 6 7 8 9

1011 12 1314 15 16 17 18 19

P e s o (k g )

Figura 3.3: Representación, en papel milimétrico, del incremento en la longitud de un resorte (cm ) en función del peso (kg) que se le aplica. b) Papel semilogarítmico: tiene una escala lineal y otra logarítmica. Se emplea en funciones exponenciales y en el caso de funciones que representan variaciones muy grandes de una variable (figura 3.4).

10000001 1000000

100000 10000

10

15

20

Oías transcurridos

Figura 3.4: Representación, en papel semilogarítmico, del incremento en la concentración de levadura (escala logarítmica) en función del tiempo en días (escala lineal).

57

Las gráficas

c) Papel logarítmico: se caracteriza porque ambos ejes: abscisas y ordenadas son en escala logarítmica. Es útil cuando las dos variables presentan variaciones grandes o cuando se trata de representar una función potencial del tipo Y = Aje■ (figura 3.5).

1

10

100

D ía s tra n s c u rrid o s

Figura 3.5: Representación, en papel logarítmico, del incremento en la concentración de ¡sotopos (escala logarítmica) en función del tiempo en días (escala logarítmica). 2. Elección de la escala (el valor asignado a la menor división de la escala en cada eje debe ser igual a la incertidumbre absoluta de la magnitud medida): el rango de cada escala debe permitir gráficas que ocupen espacios más o menos cuadriculados (figura 3.6).

45 40 35 30 ?

— 25 T> 2 »20

l

,

10

5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 P o so (k g)

Figura 3.6: La escala de los dos ejes presenta como mínima división la incertidumbre absoluta del instrumento de medición, que es en este caso de 0.1 kg para el peso y de 0.5 cm para la longitud.

58

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

3. Trazo de los punios experimentales: los valores experimentales en una gráfica deben ser representados por rectángulos y no por puntos, en los cuales se muestre el in­ tervalo de incertidumbre absoluta que corresponde a cada magnitud en cada eje (figu­ ra 3.7). Ejemplo:

Figura 3.7: Representación de la incertidumbre absoluta de un punto donde se toma el intervalo del valor X, - 14.4 ± 0.1 y Y, = 15.6 ± 0.2.

En la figura 3.7 el punto (14.4, 15.6) es representado por un rectángulo que en el eje X tiene un rango de valores entre 14.3 y 14.5, y en el eje Y un rango entre 15.4 y 15.8. Por lo tanto, la gráfica de este resultado experimental puede pasar por cualquier punto dentro del rectángulo y no necesariamente por el punto, ya que la precisión del instru­ mento utilizado, tanto para medir la magnitud del eje X com o la del eje Y, no permite discriminar ningún punto (del rectángulo) de error como preferente para trazar una nue­ va curva.

Gráficas en calculadoras y com putadoras Con el desarrollo de la tecnología ha caído en desuso el papel milimétrico, el logarítmico y el semilogarítmico, ya que en las computadoras existen herramientas para tabular, graficar y obtener las ecuaciones de un conjunto de datos. Esto ha facilitado el trabajo en la ciencia, pues permite ahorrar tiempo en el análisis gráfico en la interpretación de resultados. Luis figuras 3.8 y 3.9 muestran el uso de las calculadoras para graficar con­ juntos de datos. Existe una amplia variedad de programas de cómputo que permiten realizar el aná­ lisis gráfico de datos; entre los más populares se encuentran las hojas de cálculo como Excel, Harvard Graphics, Quatro Pro, entre otros. Del mismo modo, existen muchos programas estadísticos para graficar, entre los que se encuentran: Statistica, Statgraphics, SPSS, DataStudio, entre otros.

Gráficas en calculadoras y com putadoras

59

Figura 3.8: Utilización de las calculadoras para graficar conjuntos de datos.

D B 05

(p p m )

D 0 O t e n m u e s t r a s d e a g u a s r e s id u a l e s d e l m u n ic ip io d e T o n a l* . J a l i s c o

D 6 0 a e n m u e s t r a s d e a g u a s r e s i d u a l e s d e l m u n ic ip io d e T o n a lA . J a l i s c o

1400

3000

1200 1000

2500

a M1

2000

i i

800 600

«o

400

I 8 - 2 = 6 D i= ( / , - , > 9 - 3 = 6 0 '4 = ( '.o “ ' > 1 0 - 4 = 6 Dr, = ( / , , - / > 11 - 5 = 6 D , = ( , 12- , 3 = 1 2 - 6 = 6

D d{= (d1- d t)= 1 4 0 - 2 0 = 120 Dd2= (dt - d ¿ = 160 - 4 0 = 120 Dd\ = ( - < /> 180 - 60 = 120 Dd4= ( d „ - d A}= 2 0 0 - 8 0 = 120 ¿W5= (< /„-< /,)= 2 2 0 - 100= 120 Ddt = {d tí- d 6)= 2 4 0 - 120= 120

y y y y y y

Se calcula la media aritmética de estas diferencias: Df, y y la pendiente:

, D/¿ = 6 y £)) = 1 1 - 4 = 7 D x 4 = ( x s - x 4) = 1 4 - 6 = 8

y y y y

Dyi = ( y ; - y l) = 5 - 1 = 4 D y = ( y - y 2) = 7 - 2 = 5 0 '7- > ’3) = 8 - 4 = 4 D y = (ya- y 4) = 9 - 4 = 5

Se calcula la media aritmética de estas diferencias Dx, y Dx- , Dx, = 7 y Dy = 4 .5 y la pendiente se da por medio de la siguiente ecuación: Dy, 4.5 m - — = — = 0.64 Dx, 7 Rara terminar, se calcula la ordenada al origen despejando b de la ecuación de la línea recta y los valores medios de Dx, y Dy, . lo que da com o resultado: b = y - rnx = 4 .5 -0 .6 4 (7) « 0 En la siguiente sección se analizará el método de los mínimos cuadrados y se utili­ zarán los ejemplos anteriores para observar las diferencias entre ambos métodos.

M étodo de los m ínim os cuadrados Con frecuencia, el experimentador recurre a métodos gráficos para encontrar la relación existente entre dos variables. Cuando esta relación es lineal se enfrenta al problema de ajustar la mejor línea recta para los datos experimentales, pues es posible adaptar un conjunto de líneas rectas por medio de los mismos. Para resolver este problema el expe­ rimentador recurre al empleo del método de los mínim os cuadrados y así evita que en la construcción de la línea influya su juicio.

M étodo de los m ínim os cuadrados

71

Suponga que como resultado de un experimento se obtuvo un conjunto/» de valores de Y en función de valores de X> es decir, se tiene un conjunto de valores (X¡, Y¡), la ¡ncertidumbre prácticamente es cero para Xi, pero no así para Y¡. Cuando estos valores se grafican aparecen com o se muestra en la figura 3.19, donde se observa que la línea recta puede representar dichos datos, lo que quiere decir que la relación entre las variables es del tipo: Y = a +bX

(3.72)

Donde: X = variable independiente. Y = variable dependiente. a = ordenada al origen o término independiente y. b = pendiente de la recta. De acuerdo con lo antes mencionado, se determinan los valores de a y b cuando la desviación es mínima. Por medio del método de mínimos cuadrados, se obtienen los valores de a y de b:

± X ͱ Y i-± X ¡± X M U ——

M

M i-l

b =- ü

(3.73)

l-l

;* ■ A

D ia g ra m a d e d is p e rs ió n

Figura 3.21: D iagram a de dispersión de datos experim entales de x y y,

(3.74)

72

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

E jem plo 9: construir la linca recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.3 y hallar la ecuación de dicha recta mediante el método de los mínimos cuadrados. Solución: La ecuación de la recta es del tipo: Y = a + bX Para determ inar los parámetros a y b de la línea recta que mejor se adapta a dichos datos se aplica el m étodo de mínimos cuadrados, por lo que los valores de a y b se obtie­ nen de las ecuaciones 3.73 y 3.74. Al ordenar el cálculo de las sumas se obtiene la tabla 3.5: Tabla 3.5: Cálculos útiles para el método de mínimos cuadrados. X,

y,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

X * , = 78

Y .Y , = 1560

V

X tY,

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

20 80 180 320 500 720 980 1280 1620 2000 2420 2880

=650

Y ,X ,Y t = 13000

Si se sustituyen los valores de los sumatorios de la tabla 3.5 en las ecuaciones 3.73 y 3.74 se obtiene: a=

650(1560)-78(13000) _ 1014000-1014000 _

b=

1 2 (6 5 0 )-(7 8)2

7800 - 6084

12(13000)-78(1560)

156000-121680

12(650)- ( 7 8 ) 2

7 8 0 0 -6 0 8 4

0

_A

1716 34320 : -------- = 20 1716

Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 20X + 0 y su representación gráfica se muestra en la figura 3.19. E jem plo 10: construir la línea recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.4 y hallar la ecuación de dicha recta mediante el método de los mínimos cuadrados. Solución: La ecuación de la recta es del tipo: Y = a + b X . Para determinar los parámetros a y b de la línea recta que mejor se adapta a dichos datos se aplica el método de mínimos cuadra­ dos, por lo que los valores de a y b se obtienen de las ecuaciones 3.73 y 3.74. Ordenando el cálculo de las sumas se obtiene la tabla 3.6:

M étodo de los m ínim os cuadrados

73

Tabla 3.6: Cálculos útiles para el método de mínimos cuadrados. x ,y,

V

y, 1

i

1

i

3

2

6

4

4

9 16

16

6

4

36

24

8

5

64

40

9

7

81

63

11

8

121

88

14

9

196

126

O «O II

X*

=40

=364

X * í =524

Con la sustitución de los valores de los su matónos de la tabla 3.6 en las ecuaciones 3.73 y 3.74 se obtiene: Q —

5 2 4 (4 0 )-5 6 (3 6 4 ) ~

2 0 9 6 0 -2 0 3 8 4

= — — — — ——

8(524)-(56)*

576

— — —

4192 - 3136

— U «9 4 D

1056

^ _ 8 (3 6 4 )-5 6 (4 0 ) _ 2912 - 2240 _ 672 _ Q636 8(524)- ( 5 6 ) J

4 1 9 2 -3 1 3 6

1056

Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 0.64X + 0.54 y su representación gráfica se muestra a continuación:

A ju s te s d e re cta m é to d o d e lo s m ín im o s c u a d ra d o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

V a ria b le X

Figura 3.22: Línea recta que representa el mejor ajuste para el conjunto de datos de la Tabla 3.4 mediante de los mínimos cuadrados.

74

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

Si comparamos los resultados de la ecuación de la línea recta de los datos de la tabla 3.3. mediante el método de pares de puntos y de los mínimos cuadrados, observamos que son ¡guales, ya que todos los puntos están sobre la línea recta de ajuste; sin embargo, cuando no todos los puntos están sobre la línea recta de ajuste los resultados de ambos métodos son diferentes. El método de los mínimos cuadrados proporciona un mejor ajuste que el método de pares de puntos, por ese motivo tiene un mayor uso que el de los pares de puntos.

A nálisis dim ensional El análisis dimensional es una herramienta que permite investigar las relaciones que intervienen en un sistema físico, así como predecir el comportamiento de dichos siste­ mas. Mediante esta técnica es posible obtener una guía para el diseño de experimentos encaminados a resolver problemas de fenómenos físicos de los que no se tenga elaborada una teoría completa. El análisis dimensional es útil para: 1. Comparar cualitativamente las ecuaciones. 2. Determinar las dimensiones de los coeficientes empíricos. 3. Establecer y realizar experimentos para generalizar los resultados. 4. Formular leyes a partir de una investigación. 5. Realizar cam bio de unidades.

Dim ensión de una m agnitud Cualquier observación directa de un fenómeno físico se puede relacionar con las mag­ nitudes de las variables que intervienen en este. Las magnitudes físicas factibles que pueden medirse se dividen en: * Magnitudes fundamentales * Magnitudes derivadas Las magnitudes fundam entales están representadas por los símbolos M , L T, /, t, le y m (tabla 3.7) y la dimensión de una magnitud física derivada es una expresión en tér­ minos de las letras M , L, T, l , t , I e y m . Las dimensiones de las magnitudes fundamenta­ les son: Tabla 3.7: Magnitudes fundamentales. M agnitudes fundam entales Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

Sím bolo L M T 1 t le m

75

Dim ensión de una m agnitud

Para hacer referencia a la dimensión de determinada magnitud se utiliza los corche­ tes, que significan “la dimensión de". Por ejemplo, para el caso de la dimensión de la velocidad se tiene: [v] = L T l

(3.75)

Las magnitudes de la misma clase como distancia, altura,longitud de onda y pro­ fundidad. además de tener la misma dimensión L (tabla 3.8), se miden y registran con la misma unidad (metro en el SI). Área = [A] = longitud x longitud = L-

Ejemplos:

Dcnsidad = [p] = masa/volumen = MLry Cantidad de movimiento = \Mo) = masa x velocidad = M l.T 1 Las dimensiones de ciertas magnitudes, como la fuerza, se obtienen cuando se ana­ liza determinada ley; en este caso, de la segunda ley de Newton: F = ma Se deduce la dimensión de F:

(3.76)

[F] =[ ma] = [m][a]= MLT~2

(3.77)

Tabla 3.8: Dimensiones de algunas magnitudes derivadas. C an tidad

Aceleración Capacitancia Energía Frecuencia Impulso Inductancia Presión Resistencia Viscosidad Trabajo Coeficiente de transferencia de calor Calor específico Coeficiente de dilatación lineal R ujo magnético Iluminación R ujo luminoso

Sím bolo

Exponente M

L

T

t

I

le

m

0

1 -2 2 0 1 2

-2 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

A C E F 1 L P R N W H

-1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

-1 2 -1 2 0

Ce a f E F

0 0 1 0 0

2 0 2 -2 0

-2 -1 -1 2 -2 -3 -1 -2 -3 -2 0 -2 0 0

-1 -1 -1 0 0 0

-2 0 -2 0 0 0 0 0 -1 0 0

76

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

Teorema de Buckingham Para aplicar el análisis dimensional en una investigación, el experimentador debe cono­ cer, en su totalidad, la cantidad y clases de variables fundamentales que intervienen en el experimento. Se entiende por variable fundamental cualquier variable experimental que influya en la prueba y que se pueda modificar, independientemente de las otras variables que intervengan. Cuando el investigador conoce todas las variables puede reducir su nú­ mero por medio de la aplicación de la primera parte de teorema de Buckingham, el cual establece que “cualquier ecuación dimensional mente homogénea se puede reducir en un conjunto completo de productos adimcnsionalcs”. Una ecuación dimcnsionalmcntc homogénea es com pleta cuando su forma no depende de las unidades fundamentales que se emplean. Un ejemplo de estas ecuaciones es el que relaciona el tiempo (/) que tarda en caer un cuerpo en reposo y la distancia (x) que recorre durante su caída libre, matemática­ mente se simboliza: x =^~

(3.78)

donde: / = tiempo. g = aceleración de la gravedad. Bar el contrario, la expresión x = 16 r es una ecuación correcta solamente si x se representa en pies y / en segundos, pues si x se expresa en metros ya no es correcta, por lo que se dice que esta ecuación no es dimensión al mente homogénea. Los productos adimensionales señalados en el teorem a de Buckingham son simple­ mente productos y cocientes de las variables que intervienen en el experimento, de tal modo que las dimensiones en cada grupo se cancelan. Por ejemplo, en el caso del pén/ dulo simple, un grupo adimensional está dado por: . La segunda parte del teorem a de Buckingham, conocido como teorema de k , esta­ blece que “si existe una relación única de 4>(X, Y. 7 . ) - 0 entre las n variables físicas que involucran k dimensiones fundamentales también existe una relación”: # { x l t K2, x 3... * ,_ * ) = (> entre los (n - k) productos adimcnsionalcs ( * , , n ,

(3.79)

n n ¿ integrados por las variables

Una de las aplicaciones de este teorema consiste en la deducción de la forma de relaciones desconocidas, y su éxito en un problema particular depende, aparte de la ex­ periencia, de cierta sagacidad al establecer cuáles variables son significantes y cuáles no. Si ó ( X Y„ . . Z) no se conoce, es posible, a pesar de ello, deducir la estructura de ^ (K¡t .... /rn l ) y así tener información útil acerca del sistema.

E je m p lo 11: suponga que no se conoce la expresión analítica para el periodo de oscilación d e un péndulo sim ple y se desea calcularla a través de la aplicación del teorem a de B uc­ kingham ; en este caso, lo prim ero q u e debe hacerse e s una lista de todas las variables

Teorem a de Buckingham

77

fundamentales (tabla 3.9), pero si la lista está incompleta no se podrá dar respuesta d e­ bido a falta la información.

Tabla 3.9: Variables fundamentales para un péndulo simple. M agnitud

Sím bolo

F o rm a dim ensional

M L G T 0

M L LT2 T 0

Masa del péndulo Longitud del péndulo Aceleración de la gravedad Periodo de oscilación Amplitud angular

En este caso no se toman en cuenta las propiedades microscópicas de las esferas y el hilo. La resistencia del aire y la masa del hilo se desprecian porque es prácticamente nula su influencia en el periodo de oscilación. En la tabla 3.9 se observa que hay cinco variables fundamentales (n = 5) y tres di­ mensiones fundamentales (* = 3). Entonces, de acuerdo con el teorema de Buckingham, debe haber (n - k - 2) dos productos adimcnsionalcs independientes (/r,y /r,). Estos se determinan por ensayo y error; en este caso es simplemente 0 (amplitud angular) y n, es

• Q1^ no aparezca m se debe a que ninguna otra variable que interviene en el

experimento contiene su fórmula dimensional M y se concluye que el periodo de oscila­ ción de un péndulo simple no depende de la masa de la esfera. Por lo tanto, del teorema ;rsc obtiene: 9

/ .

=0

(3.80)

(»*«) Com o T aparece en uno de los productos adimensionales, se obtiene T por una ex­ presión igual: T = G( 9)

(3.81)

donde: G ( 9 ) = función arbitraria de 9. Si en un principio se hubiera supuesto que 0 era muy pequeño para despreciarlo se tendría: n = 4, n - k = \ y

I

=

0

y despejando para T: (3.82) De acuerdo con los resultados obtenidos con el teorema jc, el periodo de oscilación del péndulo simple varía en forma directamente proporcional a la raíz cuadrada de la

78

C apítulo 3 Incertidum bre en las m ediciones y evaluación de resultados experim entales

longitud del péndulo e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. La magnitud de la constante adimensional (en este caso 2 ji) no se obtiene del análisis dimensional. También se aplica el análisis dimensional en el diseño del modelo. Con frecuencia, el comportamiento de grandes sistemas complejos se deduce de los estudios que se rea­ lizan a modelos en escala con grandes ahorros en el costo. En el modelo, cada parámetro se reduce a la misma proporción relativa de su valor en el sistema original; de nuevo, el caso del péndulo simple sirve de ejemplo. Si las magnitudes de 0, L 7 y g se vieran de modo tal que no cambie el argumento de