Intervalos de Confianza

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y Estadística I Sesiones # 23 y # 24 Intervalos de Confianza

Mario Castillo (Coordinador General Curso)

1

Intervalos de Confianza Caso No. 1: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza conocida. Supuestos: 2 1) Variable aleatoria: X ~ N  ,  0  2) Parámetros poblacionales:  desconocida,  02 conocida. 3) Muestra aleatoria: X , n, S calculables a partir de la muestra aleatoria. Estadístico:   02  1) Estimador del parámetro µ: X ~ N   ,  n   2) Construcción del estadístico:

X  ~ N (0,1) 0 n

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro µ:   X  P  z(1 / 2 )   z(1 / 2 )   1   0 n  

    P X  z(1 / 2 ) 0    X  z(1 / 2 ) 0   1   n n 

IC(1 )100%

0     X  z(1 / 2 ) n   2

Intervalos de Confianza Ejemplo (Cálculo del I. de C.) Variable de interés: precio de las acciones de compañías del sector tecnológico en US. Se sabe que el precio de los acciones se comporta como una VA N(μ, 400). Se tiene una MA de tamaño 9 dada por: (100, 109, 110, 80, 65, 125,120, 85, 85). Calcular el IC para μ, de 90% y 95% de confiabilidad. De la MA se obtiene:

Por otra parte:

X  97.7

- P(XN* ≤ z) = 0.975 => z = 1.96

S 2  404

- P(XN* ≤ z) = 0.950 => z = 1.65

Entonces el IC para μ, de 95% de confiabilidad está dado por:

   20   IC95%   X  z( 0.975) 0   97.7  1.96   [84.64; 110.76] n 9     Ejemplo (Cálculo del I. de C.) Variable de interés: Consumo mensual de minutos de celular de estudiantes de P&E I. Se sabe que esta variable se comporta como una VA N(μ, 703.22). Se tiene una MA de tamaño 10 dada por: (400, 200, 400, 600, 700, 900, 550, 150, 400, 400). Calcular el IC para μ, de 95% de confiabilidad.

   703.2   IC95%   X  z( 0.975) 0   470  1.96   [34.15; 905.8] n 10    

3

Intervalos de Confianza Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza desconocida. Supuestos: 2 1) Variable aleatoria: X ~ N  ,   2 2) Parámetros poblacionales:  ,  desconocidas. 3) Muestra aleatoria: X , n, S calculables a partir de la muestra aleatoria. Estadístico:  2  1) Estimador del parámetro µ: X ~ N   ,  n   2) Construcción del estadístico: X  ~ N (0,1) pero es desconocido.  n Por otra parte, se puede demostrar que: X   n S 2 (n  1)  2 (n  1)

~ t( n 1)



S2



2

(n  1) ~  (2n 1)

X  ~ t( n 1) S n

4

Intervalos de Confianza Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza desconocida. Supuestos: 2 1) Variable aleatoria: X ~ N  ,   2 2) Parámetros poblacionales:  ,  desconocidas. 3) Muestra aleatoria: X , n, S calculables a partir de la muestra aleatoria. Estadístico:  2  1) Estimador del parámetro µ: X ~ N   ,  n 



X  ~ t( n 1) S n Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro µ: 2) Construcción del estadístico:

  X   P  t(1 / 2 )   t(1 / 2 )   1   S n   S S   P X  t(1 / 2 )    X  t(1 / 2 )   1 n n 

S   IC(1 )100%   X  t(1 / 2 ) n  

5

Intervalos de Confianza Ejemplo (Cálculo del I. de C.) Variable de interés: activos de una muestra aleatoria de 1000 clientes de un banco. Según el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(μ, σ2). Con base en la muestra, se calculó que X = 517 ($M) y S = 300($M). Hallar el IC para μ, de 90% y 95% de confiabilidad. - P( t(999) ≤ t ) = 0.950 => t = 1.645 - P( t(999) ≤ t ) = 0.975 => t = 1.96

Los IC del parámetro μ de 90% y 95% de confiabilidad están dados por:

S   300   IC90%   X  t( 0.95)  517  1 . 645     [501.4; 532.6] n 1000     S   300   IC95%   X  t( 0.975)  517  1 . 96     [498.4; 535.6] n 1000     6

Intervalos de Confianza Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas pero iguales. Supuestos: 2 2 1) Variables aleatorias: X 1 ~ N 1 ,   ,2 X 2 ~ N  2 ,   2) Parámetros poblacionales: 1 ,  2 ,  desconocidas. 3) Muestras aleatorias: X 1 , n1 , S1 , X 2 , n2 , S 2 calculables a partir de la M.A. Estadístico:  2 2  1) Estimador del parámetro (µ1 - µ2): X 1  X 2 ~ N  1   2 ,   n1 n2   2) Construcción del estadístico: X 1  X 2  1   2 

2 n1



2

~ N 0,1

pero  es desconocido.

n2

S12

S 22

Por otra parte, se puede demostrar que: 2 (n1  1)  2 (n2  1) ~  (2n  n  2)   X 1  X 2  1   2  1

2 n1 S12

2



(n1  1) 

X 1  X 2  1   2 

2 n2 S 22

2

~ t( n1  n2  2 ) (n2  1)

n1  n2  2

1 1  n1 n2

S (n1  1)  S (n2  1) n1  n2  2 2 1

2 2

2

~ t( n1  n2  2 ) 7

Intervalos de Confianza Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas pero iguales.

Estadístico:

X 1  X 2  1   2  ~ t( n1  n2 2) 1 1 Sp  n1 n2

S12 (n1  1)  S 22 (n2  1) Sp  donde n1  n2  2

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (µ1 - µ2):     X 1  X 2  1   2    P  t(1 / 2 )   t(1 / 2 )   1   1 1   Sp    n n 1 2    1 1 1 1  P X 1  X 2  t(1 / 2 ) Sp   1   2  X 1  X 2  t(1 / 2 ) Sp    1 n n n n2  1 2 1 

IC(1 )100%

 1 1   X 1  X 2  t(1 / 2 ) Sp   n1 n2   8

Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias - Ejemplo X1

X2

n1 = 100

n2 = 100

S12 = 41

S22 = 46

Media Muestral 1 =101

Media Muestral 2 = 80.3

IC95%

 1 1   X 1  X 2  t( 0.975) Sp   n1 n2   Sp 

S12 (n1  1)  S 22 (n2  1) n1  n2  2

Sp 

41(100  1)  46(100  1)  6.595 100  100  2

 1 1  IC95%  101  80.3  1.96(6.595)    [18.87; 22.53] 100 100   9

Intervalos de Confianza Caso No. 4: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, para muestras grandes n1 , n2  30 y varianzas conocidas. Supuestos: 1) Variables aleatorias: X 1 , X 2

E X 1   1 , E X 2    2 , Var X 1    12 , Var X 2    22

2) Parámetros poblacionales: 1 ,  2 desconocidas  1 ,  2 conocidas. 3) Muestras aleatorias: X 1 , n1 , S1 , X 2 , n2 , S 2 calculables a partir de la M.A. 2

2

Estadístico:   12  22  1) Estimador del parámetro (µ1 - µ2): X 1  X 2 ~ N  1   2 ,   

2) Construcción del estadístico:

X 1  X 2  1   2 

 12 n1



 22

n1

n2 

~ N 0,1

n2

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (µ1 - µ2):       X 1  X 2  1   2  P  z(1 / 2 )   z(1 / 2 )   1    12  22      n1 n2  

IC(1 )100%

  12  22    X 1  X 2  z(1 / 2 )   n1 n2  

  12  22  12  22   P X 1  X 2  z(1 / 2 )   1   2  X 1  X 2  z(1 / 2 )   1   n n n n 1 2 1 2  

10

Intervalos de Confianza Caso No. 5: Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones cuando se muestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, para muestras grandes y varianzas conocidas. Supuestos: 1) Variables aleatorias: X 1 ~ Bernoulli  p1  ,

X 2 ~ Bernoulli  p2 

E X 1   p1 E X 2   p2 Var X 1   p1 (1  p1 ) Var X 2   p2 (1  p2 ) Estadístico:  pˆ (1  pˆ 1 )  1) Estimador del parámetro (p1 - p2): pˆ1  pˆ 2  X 1  X 2 ~ N  p1  p2 , 1 

2) Construcción del estadístico:

n1

pˆ 2 (1  pˆ 2 )   n2 

pˆ 1  pˆ 2   p1  p2  ~ N 0,1 pˆ 1 (1  pˆ 1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )  n1 n2

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (p1 - p2):

IC(1 )100%

   pˆ 1  pˆ 2  z(1 / 2 ) 

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )    n1 n2 

11

Intervalos de Confianza Caso No. 6: Intervalo de Confianza para la varianza cuando se muestrea una distribución normal. Supuestos: 2 1) Variable aleatoria: X ~ N  ,   2 2) Parámetros poblacionales:  ,  desconocidas. 3) Muestra aleatoria: X , n, S calculables a partir de la M.A. Estadístico:

S2



2

(n  1) ~  (2n1)

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro σ2:   S2 P  ( / 2 )  2 (n  1)   (1 / 2 )   1      2  S 2 (n  1) S (n  1)  2  P    1     ( / 2 )   (1 / 2 )

IC(1 )100%

 S 2 (n  1) S 2 (n  1)   ;     (1 / 2 ) ( / 2 )  

12

Intervalos de Confianza EJEMPLO Variable de interés: estatura de los estudiantes de P&E I. Según el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(μ, σ2). Se quiere construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza de dicha variable a partir de una MA de tamaño 15 en la que se obtuvieron las siguientes estaturas en centímetros: 182, 167, 170, 165, 169, 169, 180, 181, 175, 157, 168, 168, 183, 178, 162. Solución: De la muestra aleatoria se obienten S2 = 61.54 y n = 15.

IC99%

 S 2 (n  1) S 2 (n  1)   ;     ( 0.005 )   ( 0.995)

 61.54(15  1) 61.54(15  1)  IC99%   ;  [27.51; 211.43]  4.075   31.32

13

Intervalos de Confianza Caso No. 7: Intervalo de Confianza con respecto al cociente de varianzas de dos distribuciones normales independientes. Supuestos: 2 1) Variables aleatorias: X 1 ~ N 1 ,  1  ,



X 2 ~ N  2 ,  22



2) Parámetros poblacionales: 1 ,  2 ,  1 ,  2 desconocidas. 3) Muestra aleatoria: X 1 , n1 , S1 , X 2 , n2 , S 2 calculables a partir de la M.A. 2

Construcción del Estadístico: 2

S1



2 1

(n1  1) ~  (2n1 1) ,

S



2 2 2

(n2  1) ~  (2n2 1)

2

S 22 (n2  1)  22 (n2  1) S 12 (n1  1)

2

~ F( n2 1,n1 1)

 2 (n1  1)

S 22 12 S1  2 2

2

~ F( n2 1,n1 1)

1

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (σ12/ σ22 ):   S 22 12  P F( / 2 )  2 2  F(1 / 2 )   1   S1  2    S12   12 S12 P 2 F( / 2 )  2  2 F(1 / 2 )   1    2 S2  S2 

IC(1 )100%

 S12  S12   2 F( / 2 ) ; 2 F(1 / 2 )  S2  S2 

14

Tabla de la Distribución Normal Estándar

Probabilidad acumulada hasta el punto z. 𝐹𝑍 𝑧 = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) 𝑃 𝑍 ≤ −𝑧 = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧)

15

Tabla de la Distribución 𝑡(𝑛)

n: Grados de libertad.

16

2 Tabla de la Distribución 𝜒(𝑛)

n: Grados de libertad.

17

Tabla de la Distribución F P(V  v)  0.05

m: Grados de libertad del numerador. n: Grados de libertad del denominador. 18

Ejercicios Propuestos 1. Suponga, que se quiere analizar el comportamiento de la media de la variable “Consumo mensual de Minutos de Celular” en la población de estudiantes de P&E 1. Usando las 100 muestras aleatorias que se encuentran en el archivo Ejercicios IC.xlsx construya los intervalos de confianza del 95% para la estimación de la media poblacional si se sabe que σ es 703.72 minutos/mes , y encuentre la proporción de veces que dicho intervalo contiene a la media. 2. Repita el procedimiento anterior asumiendo que no se conoce la varianza poblacional. 3. Suponga que se desea comparar los tiempos de desplazamiento CasaUniversidad y Universidad-Casa de los estudiantes de P&E 1. Usando el archivo Ejercicios IC.xlsx construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias, asumiendo normalidad y que la desviaciones son de 20.11 y 21.81 minutos, respectivamente . Analice sus resultados.

19