Identidades Trigonometricas

Relaciones trígonométricas fundamentales sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

Suma y diferencia de ángulos

Ángulo doble

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Comprobar las identidades:

1



!

"

#

$

%

Simplificar las fracciones:

1



!

"

#

$

Identidades Trigonométricas

Objetivos Al concluir esta lección, deberás ser capaz de: •

Simplificar expresiones trigonométricas.

•

Verificar identidades trigonométricas.

Introducción En esta lección revisaremos las propiedades de las funciones trigonométricas que estudiamos anteriormente, desde el punto de vista algebraico. Utilizaremos estas propiedades para simplificar expresiones trigonométricas y verificar identidades trigonométricas. as identidades trigonométricas nos ayudan a simplificar expresiones comple!as y de esta forma nos ayuda a comprender de me!or manera el significado de la expresión.

Identidades Trigonométricas Fundamentales Una Identidad Trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de la variable.

En la lección El "#rculo Unitario y las $unciones Seno y "oseno  estudiamos algunas identidades fundamentales, las cuales las podemos resumir en la siguiente tabla% &

cos ' ( ) * + sen ' ( ) *  &

'

cos -)  cos )



sen -)  - sen )

/

sen &01 - )  sen )

2

cos &01 - )  - cos )

3

cos &01 + )  - cos )

4

sen &01 + )  - sen )

Simpliicación de !"presiones Trigonométricas !jemplo #:

Simplificar% sen x cos' x - sen x Solución:

sen x cos' x - sen x $actorizando sen(x*

sen x ( cos ' x - & *

Usando la identidad cos ' ( ) * + sen ' () *  &

sen x ( cos ' x - ( cos ' ( x * + s en ' ( x * * * sen x ( cos ' x - cos ' ( x * - sen '(x**

Simplificando

sen x ( - sen ' ( x * * $ sen % & " '

!jemplo (:

Simplificar% sen x + cot x cos x

Solución:

sen x + cot x cos x 5eescribiendo cot(x*  cos(x*6sen(x*

sen x + cos x sen xcos x sen ' x + cos ' x senx sen' x + cos' x s en x

Usando la identidad cos ' ( ) * + se n ' ( ) * &

# sen "

!jemplo %:

Simplificar% sen x csc x + cos x sec x Solución:

sen x csc x + cos x se cx 5eescribiendo sec(x* y sen x & sen x + cos x csc(x* en términos de seno y &cos x coseno sen ' x + cos ' x Usando la identidad cos ' ( ) * + sen ' ()*&

!jemplo ):

Simplificar% ' + tan ' ( x * sec ' ( x * 7 &

#

Solución:

' + tan ' ( x * sec ' ( x * & 5eescribiendo tan(x* y sec(x* en términos de seno y coseno

' + sen' x cos' x & cos' x-&

' cos ' x + sen ' x cos ' x & cos' x - & ' cos ' x + sen ' x - & cos ' x + cos ' x + sen ' x - & cos ' x + cos ' x + sen ' x-& Usando la identidad cos ' ( ) * + sen cos ' x + & - & '()*& Simplificando

cos ( "

*eriicación de Identidades Trigonométricas Verificar una identidad trigonométrica consiste en demostrar que efectivamente ambos lados de la igualdad son equivalentes. Usaremos operaciones algebraicas e identidades trigonométricas conocidas para convertir uno de los lados de la ecuación exactamente en la forma en que est8 expresado el otro lado de la ecuación. !jemplo #:

Verificar% sec ' ( x * -& sec ' ( x *  sen ' ( x * Solución:

9artiendo del  lado iz+uierdo de la ecuación

sec ' ( x * -& sec ' ( x*

5eescribiendo sec(x* en términos de coseno

& cos' x - & & cos' x & - cos ' x cos ' x & cos ' x & - cos ' x cos ' x & cos ' x

Simplificando

& - cos ' x

Usando la cos ' ( ) * + sen ' ( identidad cos ' ( ) * + sen ' ( ) * - cos' x )*& Simplificando obtenemos el lado dereco de la ecuación

sen ( "

!jemplo (:

Verificar% & &- sen ( x * + & &+ sen ( x *  ' sec ' ( x * Solución:

9artiendo del  lado iz+uierdo de la ecuación

& &- sen ( x * + & &+ se n(x*

"ombinando las fracciones

& + sen ( x * + & - sen ( x * & - sen (x * & + sen ( x*

Simplificando

' & - sen' ( x *

Usando la ' cos ' ( ) * + sen ' ( ) identidad cos ' ( ) * + sen ' ( ) * * - sen' ( x * & Simplificando

' cos ' ( x *

Usando la definición de sec(x*

( sec ( & " '

obtenemos el lado dereco de la ecuación

&'()T*, TR./,0,2TR)' 32 &)R&*,

-4$ 5erificaci6n de identidades trigonométricas4 -4$41 .ntroducci6n4 Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que aparecen en la expresión.

As, por e!emplo, es una identidad trigonométrica porque no importa el valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, "a que, como se sabe la secante de un ángulo cualquiera es el inverso del coseno.

-4$4 .dentidades trigonométricas fundamentales4 #l estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas, se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en otras equivalentes, " estas $acen que ciertas operaciones de integración, diferenciación, etc. se realicen con ma"or facilidad. Además, de las relaciones deducidas en secciones anteriores, se volverán a escribir algunas identidades fundamentales a saber:

•

 .

•

 .

•

 .

 .

•

 .

•

•

 .

•

 .

27emplo 1"4 %ransformar el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad.

 .

Soluci6n4 Si se reduce el primer miembro a com&n denominador, se tiene:

, pero

, pero

27emplo 1#4 #n la siguiente identidad, transformar el primer miembro en el segundo.

 .

Soluci6n4 Se observa que en el segundo miembro, aparece que

en el numerador, además se sabe

.

'a anterior observación sugiere una multiplicación en el numerador " en el denominador, del primer miembro, por

.

#s decir,

27emplo 1$4 %ransformar el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad..

 .

Soluci6n4 Una forma de enfocar el problema es transformar cada una de las expresiones del primer miembro, en función de " " simplificar. #s decir,

.320T.3'32S TR./,0,8TR.&'S 'o primero fue entender que una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene ra(ones trigonométricas " que es verdadera, cualesquiera sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas ra(ones.

#ste tipo de e!ercicios, se resuelve traba!ando con un solo miembro de la identidad, transformándolo $asta lograr la identidad con el otro miembro, ver los siguientes e!emplos.

&.

'.