เนื้อหา hot-ed-ความคล้าย PDF

 

 

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก)

1

www.hot-ed.co.th 

บทท  11 ย   11 ความคลาาย 11.1

นยาม ยาม ความคลาย าย  (Similarity)

ความคลาายในทางคณ ยในทางคณตศาสตร ตศาสตรจะความหมายต จะความหมายตางกั างกับความคล บความคลายท ายท ใใชชในช ในชววตประจ ต ประจาาวัวันอย นอย บบาางง ตัวอย วอยางเช างเชน  ใบไมสองใบน สองใบน คคลลายกั ายกัน เราอาจหมายถงงววาคล าคลายกั ายกันโดยลั นโดยลักษณะเป กษณะเปนแฉก นแฉก ๆ คลายกั ายกัน 

หรอสามเหล อสามเหล ยม  ยม 2 รปน ปน คคลลายกั ายกัน โดยมองจากวาม ามมมมมฉากเป  ฉากเปนลั นลักษณะร กษณะรวมกั วมกัน 

แตในทางคณ ในทางคณตศาสตร ตศาสตรจะยั จะยังไม งไมสร สรปว ปวาสามเหล าสามเหล ยม ยม 2 รปน ปน คคลลายกั ายกัน จนกวาจะม าจะมการตรวจสอบว การตรวจสอบวาามมมสองค มสองค ทท เหล เ หลออของร ของรป  สามเหล ยมเท ยมเทาากักันเป นเปนนคค  ๆ จงจะสร งจะสรปได ปไดววาสามเหล าสามเหล ยยมสองร มสองรปปนน   คคลลายกั ายกัน แตถถาาตรวจสอบแล ตรวจสอบแลวว ววาาพบว พบวาามมมสองค มสองค ทท   เหลออไม ไมเเททาากักัน  กสสรรปได ปไดววาสามเหล าสามเหล ยมสองร ยมสองรปน ปน ไม ไมคคลลายกั ายกัน  11.2

ดานค านค ทท สมนั สมนัยยกักันของร นของรปสามเหล ปสามเหล ยยมม 

ในกรณทท รรปสามเหล ปสามเหล ยยมสองร มสองรปคล ปคลายกั ายกันแสดงว นแสดงวาสามเหล าสามเหล ยยมสองร มสองรปปนันั นต นตองม องมมมมเท ม เทาากักันเป นเปนค นค  ๆ สามค แแลลวอั วอัตราส ตราสวนของ วนของ  ความยาวของดานค านค ทท สมนั สมนัย  ซ งได งไดแแกก ดานท านท ออยย ตรงข ตรงขามม ามมมมคค ทท มม ขนาดเท ข นาดเทาากักัน จะเทาากักันท นทกกอัอัตราส ตราสวนโดยอั วนโดยอัตโนมั ตโนมัตต  ตัวอย วอยางเช างเชน 

 

 

2

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก) www.hot-ed.co.th 

รปสามเหล ปสามเหล ยยมม ABC และรปสามเหล ปสามเหล ยม ยม PQR ม 

 )  )  )P  Q ดาานค  )  ) มมเท มเทาากักันเป นเปนนคค  ๆ 3 ค  คอ A )  B C = P Q R, B C  A = Q R P และ C  A B = R   P  นค ทท สสมนั  มนัยยกักันได นไดแก แก   AB  สมนัยยกักับ  เทากั ากัน,  BC   สมนัยกั ยกับ  QR  และ  CA  สมนัยยกักับ   PR    PQ  เพราะอย ตรงกั ตรงกับ  B )C  A และ Q ) R F ท เท

จะได 

 AB  PQ

  =

 BC  QR

 =

CA

 

 PR

ดังงนั  นั น รปสามเหล ปสามเหล ยม ยม ABC กับบรรปสามเหล ปสามเหล ยม ยม PQR คลายกั ายกัน  11.3

รปสามเหล ปสามเหล ยมท ยมท คคลลายกั ายกัน 

บทนยาม ยาม รปสามเหล ปสามเหล ยมสองร ยมสองรปท ปท มมขนาดของม ข นาดของมมเท มเทากั ากันสามค นสามค  เรยยกว กวา รปปสามเหล สามเหล ยยมคล มคลายกั ายกัน 

ลองทาาดด  1.

จงวงกลมรอบอักษรหน กษรหนาข าขอท อท แสดงว แสดงวาร ารปปสามเหล สามเหล ยมแต ยมแตละค ละค นัน  ันคล นคลายกั ายกัน 

 

 

3

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก) www.hot-ed.co.th 

2.

จงตรวจสอบวาร ารปสามเหล ปสามเหล ยมในแต ยมในแตละค ละค ทท กกาหนดให า หนดใหตตอไปน อ ไปน  คล คลายกั ายกันหร นหรอไม อไมพพรรอมทั อมทั  งงให ใหเหต เหตผล ผล  (1)

รปสามเหล ปสามเหล ยยมม ABC คลาายกั ยกับบรรปสามเหล ปสามเหล ยม ยม AEF เพราะมมมมเท ม เทาากักัน 3 ค  คอ 

(2)

รปสามเหล ปสามเหล ยยมม PRQ ……………รปสามเหล ปสามเหล ยม ยม SRT เพราะ 

(3)

รปสามเหล ปสามเหล ยยมม AEC …………… รปสามเหล ปสามเหล ยม ยม EBD เพราะ 

 

 

4

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก) www.hot-ed.co.th 

11.4

สมบัตตของร ของรปสามเหล ปสามเหล ยมคล ยมคลาย าย 

พจารณาร จารณารปสามเหล ปสามเหล ยม ยม  ABC และรปสามเหล ปสามเหล ยม ยม DEF พบวาามมมมมเท ม เทาากักัน 3 ค  ดังนั งนั น สามเหล ยยมม AEB ~ สามเหล ยยมม CED จะไดออััตราส ตราสวนของด วนของดานท านท สมนั สมนัยกั ยกันเท นเทากั ากันดั นดังงนน  

 AB CD

 AE 

 =

  =

 BE 

 ED

 

CE 

ถาารรปสามเหล ปสามเหล ยมสองร ยมสองรปใดคล ปใดคลายกั ายกัน อัตราส ตราสวนของความยาวของด วนของความยาวของดานค านค ทท ออยย ตรงข ตรงขาามกั มกับบมมมมคค ทท มม ขนาด ข นาด  เทาากักันจะเท นจะเทาากักัน  หรอ  ถาารรปสามเหล ปสามเหล ยมสองร ยมสองรปใดคล ปใดคลายกั ายกันนอัอัตราส ตราสวนของความยาวของด วนของความยาวของดาานค นค ทท สสมนั  มนัยยกักันจะเท นจะเทาากักัน  กาหนดให าหนดให สามเหล ยม ยม ABC ~ สามเหล ยม ยม PQR

จากสามเหล ยมคล ยมคลายกั ายกัน  จะได 

 AB  PQ

 =

 BC  QR

 =

 AC   PR

 

 

 

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก)

5

www.hot-ed.co.th 

ขออสัสังเกต งเกต  1.

2.

ถาใช าใชดดานของสามเหล านของสามเหล ยมใดเป ยมใดเปนตั นตัวเศษ วเศษ กตตอองเป  งเปนด นดาานของร นของรปสามเหล ปสามเหล ยมนั  ยมนั น เปนตั นตัวเศษท วเศษทกกอัอัตราส ตราสวน วน ในทานองเด านองเดยวกั ยวกัน ตัวส วสวน วน  กตตองมาจากด องมาจากดานของร านของรปสามเหล ปสามเหล ยมอ ยมอกร กรปหน ปหน งเสมอ งเสมอ  ถาามมรรปสามเหล ปสามเหล ยยมคล มคลายกั ายกัน 2 รปและอั ปและอัตราของแต ตราของแตละด ละดานท านท สมนั สมนัยยกักันม นมคคาาเท เทาากักับ a: b จะไดออััตราส ตราสววนของพ นของพ นนทท ขของร องรปสามเหล ปสามเหล ยยมม   2

 2

 a : b  

ทั ทั งสองเท งสองเทาากักับ

 

ดังงแสดงข แสดงขางล างลางน างน 

จากรป พ นท นท  สามเหล ยม ยม ABC

1

=

  (BC)(AF) 2 1

  (ak) (am) ; k,m

= 2 1

2

 a  (km)

= 2

พ นท นท สสามเหล ามเหล ยม ยม ADE

1

 (DE)(AG)

= 2 1

=

 (bk) (bm) 2

1

 2

 b  (km)

= 2

ดังงนันั น 

พ นนท ท  ABC  พ นนท ท  ADE 

 

=

a b

2

2

 

เปนจ นจานวนจร านวนจรงบวกใด งบวกใด ๆ 

 

 

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก)

6

www.hot-ed.co.th 

ลองทาาดด  1.

จากรป สามเหล ยยมม ABC ~ สามเหล ยม ยม AEF ถาอั าอัตราส ตราสวนของ วนของ 

 EF   BC 

2.

2

 =

และ EB = 3 หนวย วย จงหาความยาวของ AE

  3

รปสามเหล ปสามเหล ยยมม ABC มม ABC เปนนมมมฉาก มฉาก  BN   ตั งฉากกั งฉากกับ   AC   ท จจด  N, BN = 12 เซนตเเมตร มตร และ NC = 16 เซนตเเมตร มตร  จงหาความยาวของ BC, AN และ AB

 

 

7

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก) www.hot-ed.co.th 

11.5

การนาไปประย าไปประยกต กต ใช 

มะลตตอองการทราบว  งการทราบวาต าตนตาลท นตาลท ในสวนต ในสวนตนหน นหน งส งสงเท งเทาาไรเธอจ ไรเธอจงลองเด งลองเดนนไปยั ไปยังต งตนตาลแล นตาลแลววเด เดนนออกจากต ออกจากตนนตาลออกมาพร ตาลออกมาพรอมทั อมทั ง  นับบจจานวนก านวนกาวไปด าวไปดววยย เม อเด อเดนมาห นมาหางได างได 40  40 กาาวเธอหย วเธอหยดดแล แลวมองไปยั วมองไปยังต งตนตาลพบว นตาลพบวาาจะต จะต  อองท   งทาาม มมเงยกั มเงยกับแนวระดั บแนวระดับสายตาเป บสายตาเปนม นมม ๆ  หน งเธอจ งเธอจงงคคดดววาาททาอย าอยางไรจะได างไรจะไดเเคร คร องม องมอมาช อมาชวยค วยคานวณตรงน านวณตรงน ไไดด เธอคดได ดไดววาน า นาาจะใช จะใชประโยชน ประโยชนของร ของรปปสามเหล สามเหล ยมคล ยมคลายท ายท เรเรยนมา ยนมา  ชวยได วยไดเธอจ เธอจงเร งเร มมนนากระดาษมาแผ ากระดาษมาแผนหน นหน งให งใหฐานของกระดาษขนานกั ฐานของกระดาษขนานกับพ บพ นราบแล นราบแลวเล วเลงไปท งไปท ยยอดต อดตนตาลดั นตาลดังร งรปใช ปใชดดนสอข น สอขดเส ดเสนบน นบน  กระดาษใหไไดดมมมพอด ม พอดทท จะตรงไปยั จ ะตรงไปยังยอดมะพร งยอดมะพราาวว 

  40   เม   อสร อ สร างร า งร ปสามเหล ป สามเหล   ยมม ย มม มฉากบนกระดาษได ม ฉากบนกระดาษได แ แล ล ว วก ก น น ามาสร  า มาสร า างร งร ป ปเพ เพ   อการค อ การค านวณดั า นวณดั งน ง น   มะล พ พบว บว า ก า าวของเธอประมาณ วของเธอประมาณ 30 เมตร และเธอสง 150 เมตร 

สามเหล ยม ยม AEF ~ สามเหล ยม ยม ABC จากสมบัตตของร ของรปสามเหล ปสามเหล ยมคล ยมคลาย าย 

จะได 

 AF 

 =

 AC 

แทนคา 

 EF   BC  5

12

 

  =  BC 

30

BC

 

=

30 × 5

  = 12.5

12

ดังงนันั น ตนตาลต นตาลตนน นน สสงประมาณ ง ประมาณ  12.5 + 1.5 = 14 เมตร 

 

 

8

อ.ณัฐส ฐสททธธ   ((อ.  ปก) www.hot-ed.co.th 

ลองทาาดด  1.

2.

จากรป แมนน าสายหน าสายหน งม งมความกว ความกวางเท างเทากั ากับบเท เทาไรถ าไรถา  EF = 12 เมตร, BC = 20 เมตร และ BF = 5 เมตร 

ชายคนหน งอย งอย รรมหาดมองเห มหาดมองเหนเร นเรอสองล อสองลาอย าอย กลางทะเล กลางทะเล เขาอยากทราบวาเร าเรออสองล สองลาานั นั นนอย อย หหางกั างกันเท นเทาไร าไร เขาจงจ งจาลองภาพดั าลองภาพดังร งรป  จากรป  CD  //  AB  และ AB = 10 เมตร, AE = 15 เมตร และ ED = 45 เมตร