- Guía 6 - Intervalos Limitados

I.E.I “Rósulo Soto Carrillo”

I BIM – ARITMÉTICA – 3RO. AÑO  

NIVEL& SECNDARIA

TERCER AÑO

INTERVALOS INTERVALOSLIMITADOS LIMITADOS Entre dos puntos de la recta numérica correspondi correspondiente entess a dos números números reales reales diferente diferentes, s, existen otros infinitos infinitos números reales. Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERV!"#. $n INTERV!" en la recta numérica podemos %raficarlo % raficarlo as&' ...()

(*

(+

(

-



+

*

)

/...

01u2ntos números naturales existen entre 3 4  )

"bser9a que los extremos a 4 b est2n resaltados con

inclu4endo a éstos últimos5....................

puntos ne%ros lo cual si%nifica que se inclu4e a los

01u2nt 01u2ntos os números números entero enteross existen existen entre entre 3+ 4  /

extremos.

inclu4endo a éstos últimos5 ..................... 6ero... 0cu2ntos números reales existen entre 3+ 4  / inclu4endo a éstos últimos5 ... .......... Esto Estoss infi infini nito toss núme número ross real reales es pert perten enec ecen en a un

Repres Represent entaci aci8n 8n simb8l simb8lica ica ' x ∈ [a 7 b] 1omo conjunto'

6 ; {x ∈ R < a ≤ x ≤ b}

E"#$%lo&

subc subcon onju junt ntoo de R llam llamad adoo INTER NTERV V!" !",, cu4o cu4oss extremos son 3+ 4 ). $n INTERV!" INTERV!" puede puede o no incluir incluir a los extremo extremos7 s7 como también, un INTERV!" puede incluir s8lo a un

Repr Repres esen enta tarr el inte inter9 r9al aloo de núme número ross real reales es x comprendido entre 3 / 4  inclu4endo a estos extremos. :r2ficamente'

extremo7 se%ún esto podemos tener entonces di9ersos tipos de inter9alos que lue%o pasaremos a estudiar7

(/

pero antes %eneralicemos la idea de INTERV!"'

-

Representaci8n simb8lica ' $n INTERV!" es un subconjunto de R, cu4os elementos x est2n comprendidos entre los E@TREA"# a 4 b que también son números reales que pueden o no estar incluidos en el inter9alo.

1omo conjunto'



x ∈ [ ( / 7  ]

6 ; {x ∈ R < (/ ≤ x ≤ }

b. #i no no incl inclui uimo moss a los ext extre remo mos, s, el el INTERVALO es ABIERTO. ABIERTO. :r2ficamente'

TIOS DE INTERVALOS 6uede ser limitados o ilimitados. !. INTE INTERV RVAL ALOS OS LIMIT LIMITAD ADOS OS.. a. #i incluimos a los extrem remos el INTERVALO es CERRADO. :r2ficamente CERRADO. :r2ficamente a x b donde x representa a cualquiera de los elementos del inter9alo.

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra 

a

x

b

En este caso como los extremos a 4 b no pertenecen al inter9alo, éstos se representan en la recta numérica por dos c&rculos peque=os. Representaci8n simb8lica ' 1omo conjunto'

x ∈ ]a 7 b[

6 ; {x ∈ R < a > x > b } ?+

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E"#$%lo& Representar el inter9alo de números reales x comprendido entre 3 B 4 3 + sin incluir a estos extremos. :r2ficamente'

ROBLEMAS RESELTOS . Dados los inter9alos '  ; [(B 7 + [ 4  ; [ ( / 7 B ] . Fallar aG  ∪ 

(B

(+

Solu'ió-'

-

$n inter9alo es un conjunto. En este caso es

Representaci8n simb8lica' x ∈ ]( B 7 ( + [ 1omo conjunto'

bG  ∩ 

6 ; {x ∈ R < 3 B > x > 3 +

posible el c2lculo de }



∪



4



∩



recordando que un elemento de la $NIHN pertenece a , o a , o a ambos, 4 un elemento de

c. #i incluimos s8lo a uno de los extremos, el INTERVALO es SEMIABIERTO.

la INTER#E11IHN pertenece a ambos conjuntos. :raficando los inter9alos dados en la recta numérica'

A/i#rto %or la i01ui#r)a2 '#rra)o %or la )#r#'3a.4

♦

(B

(/

-

+

B

:r2ficamente' Del %r2fico se nota que' a

x

b

qu&, s8lo / pertenece al inter9alo, no as& el extremo a. Representaci8n simb8lica ' 1omo conjunto' ♦

x ∈ ] a 7 b ]

6 ; {x ∈ R < a > x ≤ b}

A/i#rto %or la )#r#'3a2 '#rra)o %or la i01ui#r)a.4

[

+. Dados los inter9alos '  ; ] (* 7 + ] 4  ; [ / 7 [  . Fallar ' aG  (  bG  3  Solu'ió-' Recordemos que los elementos que pertenecen a la diferencia  3 , pertenecen a  pertenecen a

x

b

En este caso, s8lo a pertenece al inter9alo, no as& el extremo /. Representaci8n simb8lica ' 1omo conjunto'

bG  ∩  ; [(/ 7 +

pero no

pertenecen a . simismo, los elementos que

:r2ficamente' a

aG  ∪  ; [(B 7 B ]

 3 , pertenecen a  pero no

pertenecen a . :raficando los inter9alos dados en la recta numérica'

x ∈ [ a 7 b C

6 ; {x ∈ R < a ≤ x > b}

(*

-

/



Del %r2fico se nota que'

?* Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra 

aG  3  ;

]

bG  3  ;

∅

(* 7 / [

∪ [

 7 + ]

+

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TAREA TAREADOMICILIARIA DOMICILIARIAN6 N677

E+ERCICIOS E+ERCICIOSDE DEALICACI5N ALICACI5N . 1ompleta el si%uiente cuadro, %raficando en la recta numérica cada inter9alo dado' Representaci8n simb8lica del inter9alo x ∈ [ ( / 7 * ]

Inter9alo como conjunto {x ∈

R < ( / ≤ x ≤ * }

{x ∈

R < (  > x ≤ B}

{x ∈

R < ( + ≤ x ≤ )}

x ∈ J / 7 ? C

x ∈ [ 3 ) 7 - C {x ∈

R < (  ≤ x > 3 * }

x ∈ [ 3 + 7 3 * J {x ∈

R< *> x>B}

G Dados los si%uientes inter9alos efectuar las operaciones indicadas.  ; [ 3 * , + ] 1 ; ] 3 / 7 3 + ] E ; ] - 7 + ] G +G *G )G /G KG BG G ?G -G

7 7 7

 ∪   ∩  3 3  ∪ 1  ∩ 1 31 13  ∪ D  ∩ D

 ; ] 3 ) 7  [ D ; ] *, /[ M ; [ 3  7 ) [ G +G *G )G /G KG BG G ?G +-G

G Desarrolla cada uno de los problemas propuestos' . En la si%uiente recta numérica se representan dos inter9alos  4 . Encontrar el inter9alo  ∩ .  A

x ∈ J 3 * 7  C {x ∈

B

R < 3 / > x ≤ 3  } -2

. Dados los si%uientes inter9alos efectuar las operaciones indicadas'  ; J (B 7 ) ]

 ; ] + 7  [

1 ; [ (  7 K

D ; [ 3 * 7 B ]

[

 ∪ M M3E LE ∩ 1G 3  L ∩ DG 3 1 L ∩ EG 3 L ∩ 1G L 3 G ∪ L 3 G  ∆  L E 3 M G ∆ D L ∩ DG 3 L 1 ∆  G [ L 3 G ∪ 1 J ∆ D

a) { 2 } d) [ -2 ; 6 [

2

6

b) [ – 2 , 2 ] e) ∅

c) ] –2 ; 2 [

+. Del problema anterior calcular  ∪  aG { + } dG [ (+ 7 K [

bG [ 3 + , + ] eG ∅

cG ] 3 + 7 K J

LG  ∪

L+G  3 

L*G L 3 1G ∩ D

L)G  ∩

L/G  ∪ 1

LKG L1 3  G ∪

LBG 

LG 1 ∪ D

L?G L 3 1G 3 

L-G  3 D

LG 

L+G  ∪ L 1 ∩ G

L*G D 3 

L)G  3 D

L/G L  ∆ G 3 1

/. #abiendo que '  ; [ 3 B ,  ]   ; [ 3 + ,  [  4 1 ; ] 3 * , + [ Fallar L 3 1G ∩ L 3  G

LKG  3 

LBG 1 ∆ D

LG L

K. Representa conjuntos'

∩ D

∩ D

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra 

∪ DG ∩ 1

*. Del problema uno calcular  3  aG { ( + } dG [ + 7 K [

 bG [  3 + , K ]  eG ∅

cG ] 3+ 7 K [

). 01u2ntos números enteros existen en el inter9alo ] ( B 7 B [ aG / dG *

bG B eG N..

los

si%uientes

cG )

inter9alos

como

?)

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< 3 B ≤ x ≤ 3 * }

. Elabore un mapa conceptual de acuerdo al tema tratado.

Do'. (r#)* +a,i#r Villa-#ra 

?K