Diseño de Reservorio

MEMORIA DE CÁLCULO - PREGUNTA N°1 1) DATOS GENERALES: Para el análisis del muro de contención, se tienen los siguientes datos del problema: V= D= H= Hw = s/c = Acabados = f´c (w) = f´c = fy = γc = γL =

2000.00 20.00 7.00 6.00 50.00 100.00 280.00 210.00 4200.00 2400.00 1000.00

m3 m3 m m kg/m2 kg/m2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/m3 kg/m3

(Volumen del reservorio circular) (Diámetro del reservorio circular) (Altura de las paredes cilíndricas) (Altura de agua) (Sobrecarga) (Peso de acabados) (Concreto armado en contacto con agua) (Concreto armado sin contacto con agua) (Acero) (Concreto armado) (Líquido a contener - agua)

1.50

kg/cm2

(Módulo de balasto)

Terreno: Ks =

2) PREDIMENSIONAMIENTO DE LA CUBIERTA Y EL ANILLO: Como espesor de losa de cubierta inicial asumiremos: ec =

7.00

cm

Según el siguiente diagrama:

Donde:

𝑓=

𝐷 10

𝐷2 4 𝑟= 2×𝑓 𝑓2 +

f=

2.00

m

r=

26.00

m

Luego el peso por cargas de servicio será igual a: P1 =

𝑃1 = (𝛾𝑐 × 𝑒𝑐 + 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠 + 𝑠/𝑐) × 2 × 𝜋 × 𝑓

103.90

tn

Cálculo del radio B:

𝐷 2

B=

10.00

m

V1 =

1.65

tn/m

−1

α4 =

22.62

tn/m

𝑉1 sin(∝ 4)

T1 =

4.30

tn/m

H1 =

3.97

tn/m

94.50

kg/cm2

𝐵= Cálculo de la fuerza V1:

𝑉1 =

𝑃1 𝜋×2×𝐵

Cálculo del parámetro α4:

𝐷 ∝ 4 = tan ( 2 ) 𝑟−𝑓 Cálculo de la fuerza T1:

𝑇1 =

Cálculo de la fuerza H1:

𝐻1 = 𝑇1 × cos(∝ 4) Ahora verificamos el esfuerzo por compresión:

𝑇1 ≤ 0.45 × 𝑓′𝑐 𝑒𝑐 6.14

< OK

El área del anillo será igual a:

𝐴𝑎1 = Aa1 = Aa1 =

𝐻1 × 𝐵 𝐻1 × 𝐵 = 𝑓𝑡 0.1 × 𝑓 ′ 𝑐 0.19 1889.83

m2 cm2

x 45

cm

Escogemos una anillo de sección de: bxh= Area =

45 2025.00

cm2

> OK

3) PREDIMENSIONAMIENTO DE PAREDES CILINDRICAS: Según el siguiente diagrama:

1889.83

cm2

Calculamos Ta:

𝑇𝑎 = 𝛾𝐿 × ℎ1 × 𝐵 Donde: h1 = Ta =

7.00 70.00

m tn

Luego el espesor calculamos:

𝑒𝑝𝑐 =

𝑇𝑎 𝑇𝑎 = 𝑓𝑡 0.10 × 𝑓 ′ 𝑐

epc =

0.25

m

Al espesor anterior le debemos aumentar entre 0.10 a 0.15 m por seguridad, por tanto el espesor inicial de las paredes cilindricas será igual a: epc =

0.40

m

Se deberá mayor rigidez al anillo, es decir mayor dimensión que el espesor del muro. Escogemos una anillo de sección de: bxh=

50

x 50

4) MODELO MATEMÁTICO EN SAP2000: Definimos las unidades: Usamos: Shells

tn-m

cm

Y definimos según los datos del problema:

Consideramos como concreto f'c = 280 kg/cm2 al material 4000 psi y como concreto f'c = 210 kg/cm2 al materia, 3000 psi; el primero será para elementos en contacto con agua y el segundo para aquellos que no lo estan:

Definimos las secciones ya predimensionadas de cubierta, anillos y paredes cilíndricas:

Agregamos cada 1 m en la dirección radial de la malla:

Agregamos el domo esférico con los datos:

Ahora se define los elementos y sus propiedades en el modelo matemático:

Definimos la viga anillo en el modelo matemático y la definimos en el dibujo:

5) ASIGNACIÓN DE CARGAS EN EL MODELO SAP2000: Definimos las cargas de servicio:

Asignamos las cargas de servicio al modelo:

Ahora creamos un patrón de cargas:

Se tiene la carga en el modelo:

Asignamos la carga de AGUA en las paredes cilindricas:

Vemos la carga:

Asignamos la carga en la base:

6) ASIGNACIÓN DEL TIPO DE SUELO: Se eliminan las restricciones del modelo y se asigna el suelo a la BASE como una carga de resortes:

7) CÁLCULO DE PRESIONES EN EL RESERVORIO PARA LA REPRESENTACIÓN DE LAS SOLICITACIONES SÍSMICAS ESTÁTICAS EN EL MODELO ESTRUCTURAL: A continuación detallaremos datos importantes para el cálculo de parámetros a ingresar en el modelo sísmico estático del reservorio:

Fuerzas Dinámicas Laterales: Hl = 6.00 m D= 20.00 m R= 10.00 m Hw = 7.00 m tw = 0.40 m hr = 2.00 m tr = 0.07 m γw = 1.00 tn/m3 γl = 1.00 tn/m3 Wl = 2000.00 tn Ec = 2200000.00 tn/m2 γc = 2.40 tn/m3 γl = 1.00 tn/m4 g= 9.81 m/s2

= 19.69 = 65.62 = 32.81 = 22.97 = 15.75 = 6.56 = 0.23 = 62.43 = 62.43 = 4409268.28 = 3129151.88 = 149.83 = 62.43 = 32.18

pie (Profundidad líquido almacenado) pie (Diámetro del reservorio circular) pie (Radio del reservorio circular) pie (Altura del muro o pared cilíndrica) pulg (Espesor del muro cilíndrico) pie (Altura de cúpula "f") pie (Espesor de losa de techo "ec") lb/pie3 (Peso específico agua) lb/pie3 (Peso específico líquido contenido) lb (Peso total del líquido) lb/pulg2 (Módulo de elasticidad concreto) lb/pie3 (Densidad del concreto) lb/pie3 (Densidad del líquido contenido) pie/s2 (Aceleración de la gravedad)

Calculamos ahora la fuerza de inercia producto de la estructura en base al peso de la cúpula y las paredes cilíndricas: Ww = Wr =

422.23 54.89

tn tn

= 930862.79 lb (Peso total de paredes cilíndricas) = 121012.16 lb (Peso total de la cúpula)

Calculamos el coeficiente de masa efectiva: Donde: HL = Hl

ε=

0.55

(Coeficiente de masa efectiva)

Y procedemos a calcular el peso dinámico efectivo:

𝑊𝑒 = 𝜀 × 𝑊𝑤 + 𝑊𝑟 We =

288.29

tn

= 635572.43 lb (Peso dinámico efectivo del reservorio)

Hallamos las masas convectiva e impulsiva a través de las siguientes formulaciones:

Wi/Wl = Wc/Wl =

0.34 0.61

Despejando tenemos:

Wi = Wc =

688.55 1229.63

tn tn

= 1517990.69 lb (Peso total de paredes cilíndricas) = 2710879.63 lb (Peso total de paredes cilíndricas)

Ahora calculamos los coeficientes para determinar la frecuencia fundamental del sistema reservorio-liquido a través de la siguiente fórmula para reservorios circulares: Para:

D/Hl =

Cw =

3.33

0.14

Y calculamos el siguiente coeficiente Cl con la fórmula: Donde: r = R

Cl =

0.29

Hallamos ahora la frecuencia circular del modo impulsivo de vibración: ωi =

143.10

rad/s

Luego el periodo fundamental de oscilación del tanque (considerando adicionalmente el componente impulsivo del líquido) será igual a: Donde: Ti no debe ser mayor que 1.25 seg. Ti =

0.04

λ=

9.74

s

Hallamos el coeficiente λ con la fórmula:

Ahora calculamos la frecuencia circular de oscilación del primer modo convectivo del chapoteo: ωc =

1.20

rad/s

Con la anterior frecuencia será posible calcular el periodo natural del primer modo convectivo de chapoteo a través de la siguiente fórmula: Tc =

5.22

s

Procederemos a hallar los coeficientes de respuesta sísmica dependientes del periodo, considerando los parámetros que nos brinda la norma E.030 y según los datos del problema:

U= S= Tp = Z=

1.50 1.20 0.60 0.40

(Edificio de categoría esencial) (Tipo de suelo) (Periodo del suelo) (Zona sísmica)

Entonces los coeficientes tanto para el impulsivo como para el convectivo serán: Ci = Cc =

2.50 0.43

Los factores de reducción tanto para la masa impulsiva como la convectiva serán: Rwi = Rwc =

2.00 1.00

(Para tanques monolíticos o empotrados en base) (Para tanques monolíticos o empotrados en base)

Ahora procedemos a calcular force de inercia lateral producto de la aceleración de las paredes cilíndricas:

Pw =

210.06

tn

= 463104.24 lb

De igual forma calculamos la fuerza inercial lateral producto de la aceleración del techo en base a:

Pr =

49.40

tn

= 108910.95 lb

También calcularemos las fuerzas impulsiva lateral total asociada al peso Wi y la convectiva lateral total asociada al peso Wc mediante:

Pi = Pc =

619.69 381.38

tn tn

= 1366191.62 lb = 840796.59 lb

Entonces tendremos una cortante basal horizontal total de:

V=

958.31

tn

= 2112719.70 lb

Necesitamos calcular las alturas de las masas ya definidas anteriormente con respecto a la base del reservorio:

ℎ𝑤 =

𝐻𝑤 2

La altura hw será considerada como la mitad de la altura Hw, es decir al centro de gravedad de las mismas

ℎ𝑟 = 𝐻𝑤 La altura hr será considerada con la altura Hw, es decir la distancia desde la parte superior de las paredes cilíndricas al centro de gravedad del techo. Tenemos entonces: hw = hr =

3.50 7.00

m m

= 11.48 = 22.97

D/Hl = hi/Hl = hi =

3.33 0.38 2.25

m

= 7.38

pie (Distancia a C.G. de las paredes) pie (Distancia a C.G. de las paredes)

pie (Distancia a C.G. de fuerza impulsiva) (Excluyendo presión en la base - EBP)

hc/Hl = hc =

0.55 3.27

hi'/Hl = hi' =

1.33 7.96

hc'/Hl = hc' =

1.23 7.36

m

= 10.73

pie (Distancia a C.G. de fuerza convectiva) (Excluyendo presión en la base - EBP)

m

= 26.13

pie (Distancia a C.G. de fuerza impulsiva) (Incluyendo presión en la base - IBP)

m

= 24.15

pie (Distancia a C.G. de fuerza convectiva) (Incluyendo presión en la base - IBP)

Ahora procedemos a calcular la distribución de presiones en base a diferentes alturas del líquido (por metro lineal de altura) y diferentes ángulos de rotación (por metro cuadrado de área):

𝑤𝑦 =

𝑃𝑤 2 × 𝐻𝑤

La fuerza producto de las paredes cilíndricas se distribuye en partes o mitades del reservorio.

𝑝𝑤𝑦 =

𝑃𝑤𝑦 𝜋×𝑅

La fuerza producto de las paredes cilíndricas se distribuye en la mitad del anillo de la base.

Entonces para el fondo y = 0 y un ángulo de rotación β = 0, se tendrán las siguientes fuerzas: y= β= Pwy = Piy = Pcy = pwy = piy = pcy =

0.00 0.00 15.00 90.37 23.15 0.48 5.75 1.31

m ° tn/m tn/m tn/m tn/m2 tn/m2 tn/m2

= 0.00 = 10082.44 = 60727.22 = 15554.96 = 97.82 = 1178.36 = 268.29

pie (Profundidad de análisis) lb/pie (Fuerza inercial lateral por Ww) lb/pie (Fuerza impulsiva lateral por Wi) lb/pie (Fuerza convectiva lateral por Wc) lb/pie2 (Fuerza inercial horiz. por Ww) lb/pie2 (Fuerza impulsiva horiz. por Wi) lb/pie2 (Fuerza convectiva horiz. por Wc)

Donde las fuerzas por m2 de área: pwy, piy y pcy serán las que se introduzcan en el modelo estructural para realizar el análisis sísmico estático del reservorio. La fuerza pwy es una constante inercial que se aplica en toda la pared cilíndrica, quedándonos como variables a piy y pcy. Se debe tomar en cuenta que estas fuerzas estarán en función de la altura del líquido contenido así como del ángulo de rotación en planta. Como el actual modelo matemático del reservorio esta dividido en 64 partes en planta y tiene una altura de 6 m de agua, se calcularán las presiones para incrementos angulares de 11.25° (comenzando por 5.625) y variaciones en altura de 2 m (comenzando por 1 m, 3 m y 5m). A continuación detallamos en tablas: y (m) 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 5.00 5.00

β (°) 5.63 16.88 28.13 39.38 50.63 61.88 73.13 84.38 5.63 16.88 28.13 39.38 50.63 61.88 73.13 84.38 5.63 16.88

Piy (tn/m) 77.46 77.46 77.46 77.46 77.46 77.46 77.46 77.46 51.64 51.64 51.64 51.64 51.64 51.64 51.64 51.64 25.82 25.82

Pcy (tn/m) 26.03 26.03 26.03 26.03 26.03 26.03 26.03 26.03 31.78 31.78 31.78 31.78 31.78 31.78 31.78 31.78 37.54 37.54

piy (tn/m2) 4.91 4.72 4.35 3.81 3.13 2.32 1.43 0.48 3.27 3.15 2.90 2.54 2.09 1.55 0.95 0.32 1.64 1.57

pcy (tn/m2) 1.47 1.41 1.30 1.14 0.93 0.69 0.43 0.14 1.79 1.72 1.59 1.39 1.14 0.85 0.52 0.18 2.11 2.03

5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00

28.13 39.38 50.63 61.88 73.13 84.38

25.82 25.82 25.82 25.82 25.82 25.82

37.54 37.54 37.54 37.54 37.54 37.54

1.45 1.27 1.04 0.77 0.48 0.16

1.87 1.64 1.35 1.00 0.62 0.21

Se calcula hasta 90° ya que lo demás será simétrico y en la misma dirección X-X. Con los valores anteriores ya podremos ingresar las presiones en el modelo matemático para realizar un análisis estático con presiones equivalentes. 8) DEFINICIÓN DE CARGAS Y PRESIONES EQUIVALENTES EN EL MODELO SAP 2000: Se debe restringir el modelo en 2 puntos:

Ahora definimos los casos de sismo estáticos como:

Asignaremos la carga pwy a las paredes cilíndricas ya que esta en una fuerza inercial constante, elegimos las paredes y asignamos la carga en la dirección X-X:

Ahora asignamos la fuerza inercial producto del techo en el anillo de 50 x 50 cm: Sea:

Pr 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 = # divisiones =

𝑃𝑟 # 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 64.00

Pr (punto) =

0.772

tn/punto

Procedemos a asignar las cargas piy y pcy en toda la altura del muro y con la variación angular en planta, por lo que primero definimos tres grupos de diferentes alturas de las paredes cilíndricas:

Asignaremos ahora las cargas por grupos:

De la misma forma asignamos para todas las paredes y a diferentes alturas y ángulos de rotación, resultándonos un modelo de la siguiente forma:

Ahora definimos las combinaciones de diseño:

Y las envolventes serán:

9) DISEÑO DE LA CÚPULA ESFÉRICA: DISEÑO A TRACCIÓN:

Extraeremos los datos necesarios para el diseño de la cúpula esférica; deberemos considerar el valor e Nθ como fuerza anular que será igual a la fuerza F11 en los elementos tipo SHELL que definimos en el programa SAP, así como el tipo de envolvente en TRACCIÓN:

Teniendo una fuerza anular máxima de:

Nθ = Tu =

43.61

tn/m

Para el diseño utilizamos la fórmula siguiente:

𝑇𝑢 = ∅ × 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦 Φ= As =

𝐴𝑠 = 0.90 11.54

Usando: 1 Φ 3/4": 1.91 Espaciado a: S= 16.55 Finalmente: Φ 3/4" @ 15 cm

𝑇𝑢 ∅ × 𝑓𝑦 (Factor de reducción a tracción) cm2/m cm2 cm

DISEÑO A FLEXIÓN: Para el diseño en flexión revisaremos el momento M22 en el programa SAP para hallar el valor de MΦ y usarlo para calcular la cantidad de acero correspondiente. Revisaremos tanto el máximo como el mínimo esfuerzo para tener el mayor valor de momento:

Extraeremos el mínimo valor que será el mayor momento negativo:

MΦ = Mu =

0.74

tn-m/m

Para el diseño necesitamos saber: Φ= b= h = ec = r= d=

0.90 1.00 7.00 2.50 4.50

(Factor de reducción a flexión) (Ancho de diseño) (Espesor de la cúpula) (Recubrimiento) (Recubrimiento)

m cm cm cm

La cuantía se hallará con la fórmula: 𝑀𝑢 ) ∅×𝑏×𝑑2 ×𝑓′𝑐

1± 1−(2.36×

𝜌= ρ Muneg = As neg =

1.18 0.0112 5.04

×

𝑓′ 𝑐 𝑓𝑦

; se tomará el valor negativo.

Usando: cm2

1 Φ 1/2":

1.27

cm2

S=

25.17

cm

Espaciado a: Finalmente: Φ 1/2" @ 25 cm 10) DISEÑO DE LAS PAREDES CILÍNDRICAS: DISEÑO A TRACCIÓN: De la misma forma hallaremos la fuerza Nθ considerando el valor de F11 en las paredes cilíndricas y a diferentes alturas:

Extraeremos valores a diferentes alturas:

A 3.50 m. de altura tenemos: Nθ = Tu =

211.99

tn-m/m

Para el diseño utilizamos la fórmula siguiente:

𝑇𝑢 = ∅ × 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦 Φ= As = Usando: Espaciado a:

𝐴𝑠 =

𝑇𝑢 ∅ × 𝑓𝑦

0.90 56.08

cm2/m

(Factor de reducción a tracción)

2 Φ 1":

10.14

cm2

S=

18.08

cm

Finalmente: Φ 1" @ 15 cm

A 4.50 m. de altura tenemos: Nθ = Tu =

169.17

tn-m/m

Para el diseño utilizamos la fórmula siguiente:

𝑇𝑢 = ∅ × 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦 Φ= As = Usando: Espaciado a:

𝐴𝑠 =

𝑇𝑢 ∅ × 𝑓𝑦

0.90 44.75

cm2/m

2 Φ 1":

10.14

cm2

S=

22.66

cm

Finalmente: Φ 1" @ 20 cm

(Factor de reducción a tracción)

A 6.00 m. de altura tenemos: Nθ = Tu =

119.40

tn-m/m

Para el diseño utilizamos la fórmula siguiente:

𝑇𝑢 = ∅ × 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦 Φ= As = Usando: Espaciado a:

𝐴𝑠 =

𝑇𝑢 ∅ × 𝑓𝑦

0.90 31.59

cm2/m

(Factor de reducción a tracción)

2 Φ 1":

10.14

cm2

S=

32.10

cm

Finalmente: Φ 1" @ 30 cm DISEÑO A FLEXIÓN: De la misma forma hallaremos el momento M22 que representa el valor de MΦ de las paredes cilíndricas a diferentes alturas:

MΦ = Mu =

20.69 tn-m/m (Máximo Negativo)

Para el diseño necesitamos saber: Φ= b= h = ec = r= d=

0.90 1.00 40.00 5.00 35.00

(Factor de reducción a flexión) (Ancho de diseño) (Espesor de la cúpula) (Recubrimiento) (Recubrimiento)

m cm cm cm

La cuantía se hallará con la fórmula: 𝑀𝑢 ) ∅×𝑏×𝑑2 ×𝑓′𝑐

1± 1−(2.36×

𝜌= ρ Muneg = As neg =

1.18 0.0047 16.56

×

𝑓′ 𝑐 𝑓𝑦

; se tomará el valor negativo.

Usando: cm2

1 Φ 1/2" +1 Φ 5/8":

3.25

cm2

S=

19.62

cm

Espaciado a: Finalmente: 1 Φ 1/2" + 1 Φ 5/8" @ 20 cm

MΦ = Mu =

7.37 tn-m/m (Máximo Positivo)

Para el diseño necesitamos saber: Φ= b= h = ec = r= d=

0.90 1.00 40.00 5.00 35.00

(Factor de reducción a flexión) (Ancho de diseño) (Espesor de la cúpula) (Recubrimiento) (Recubrimiento)

m cm cm cm

La cuantía se hallará con la fórmula: 𝑀𝑢 ) ∅×𝑏×𝑑2 ×𝑓′𝑐

1± 1−(2.36×

𝜌= ρ Muneg = As neg =

1.18 0.0016 5.68

×

𝑓′ 𝑐 𝑓𝑦

; se tomará el valor negativo.

Usando: cm2

1 Φ 1/2":

1.27

cm2

S=

22.35

cm

Espaciado a: Finalmente: Φ 1/2" @ 20 cm

11) DISEÑO DEL ANILLO PERIMETRAL: Para el diseño del anillos se debe considerar la envolvente en COMPRESIÓN y se debe usar la fórmula de tracción pura: Tenemos entonces:

Cu =

C𝑢 = ∅ × 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦

𝐴𝑠 =

Φ= As = Finalmente: 4 Φ 5/8" 12) ESQUEMAS: ESQUEMA DE CÚPULA:

0.70 7.67

22.56

tn/m

𝐶𝑢 ∅ × 𝑓𝑦 (Factor de reducción a compresión) cm2/m

ESQUEMA DE PAREDES CILÍNDRICAS:

ESQUEMA DE ANILLO: