Combinatoria
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combinatoria psu...
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MA B A SS E
R A G O R P
Cuadernillo Ejercitación Combinatoria
A C I T Á M E T A M
Mapa conceptual
Para determinar el número de casos totales C T en un experimento, se utilizan los métodos de
Combinatoria
Sin repetición:
Permutación
C T = n! Con repetición: n! C T = a! • b! • c ! • ... • r !
Sin repetición: n! C T = (n – k )! )!
Variación
Con repetición:
No se ocupan todos los elementos e importa el orden.
C T = nk
CUACAC052MT22-A17V1
Se ocupan todos los elementos e importa el orden.
Sin repetición: n! C T = (n – r )! )! • r !
Combinación
Con repetición: (n + r – – 1)! C T = (n – 1)! • r !
No se ocupan todos los elementos y no importa el orden.
1
MATEMÁTICA
Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dicultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
1.
Un joven tiene siete caramelos, todos de distintos sabores entre sí. Si el joven desea regalar tres de estos caramelos a una amiga, ¿de cuántas formas distintas podría hacerlo? A)
7!
D)
9! 3! 6! •
B) C)
2.
3.
E)
7! 3! 4! •
7! 3!
El azulejo de la gura adjunta está dividido en nueve secciones que corresponden a cuadrados congruentes y cada uno de ellos será pintado con un color que puede ser amarillo, rojo, verde o azul. ¿De cuántas formas distintas puede pintarse el azulejo? A)
49
B)
( 94 )
C)
94
D)
9!
E)
9 4 •
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 6 personas en una la? A) B) C)
2
7! 4!
46.656 720 36
D) E)
30 21
CUADERNILLO
4.
¿Cuántos números distintos se pueden escribir con los dígitos 4, 5 y 6, sabiendo que se pueden utilizar una sola vez? A) B) C)
5.
9.
27 35 210
D) E)
343 840
56 84 168
D) E)
504 729
La clave de una caja fuerte corresponde a un número de tres dígitos, todos ellos mayores que 1. ¿Cuántos números distintos podrían ser la clave de la caja fuerte? A) B) C)
8.
27 120
En una carrera de velocidad participan 9 competidores. ¿De cuántas formas distintas se pueden denir los tres primeros lugares, sabiendo que no hay empates? A) B) C)
7.
D) E)
Un juego consiste en escoger al azar 3 números distintos del 1 al 7. ¿De cuántas formas se puede realizar esta selección? A) B) C)
6.
6 9 15
90 336 512
D) E)
720 1.000
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras AEIOUCCDN? A)
7!
D)
9! 7!
B)
9!
E)
9! 2! • 7!
C)
9! 2!
Juan tiene siete tarjetas, de las que cuatro son de color blanco y tres son de color azul. Si Juan dispone las siete tarjetas sobre una mesa, formando una la, ¿cuántas secuencias de colores distintas podría formar? A) B) C)
12 35 210
D) E)
420 5.040
3
MATEMÁTICA 10.
Una banca posee seis asientos dispuestos en la. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse tres personas en la banca? A) B) C)
11.
4
6 Faltan datos para determinarlo.
36 72 28
D) E)
56 40
Se tienen 7 lápices de colores de manera tal que hay solo un color que está repetido una determinada cantidad de veces. Si se desea pintar cada franja de la bandera de la gura adjunta, utilizando cada lápiz solo una vez, se puede hacer de 210 formas distintas. ¿Cuántos lápices del color repetido hay en total? A) B) C) D) E)
13.
D) E)
En un local de venta de refrescos los clientes pueden pedir jugos mezclando hasta dos de las ocho variedades de frutas que tienen disponibles; además, pueden elegir mezclarlas con agua o con leche. Si el local decide colocar en una carta cada uno de los jugos que podría ofrecer, ¿cuántos tipos distintos de jugos habrían? A) B) C)
12.
720 240 120
2 3 4 5 6
En una heladería, un postre está hecho con dos bolitas de helado de hasta dos sabores de los diez distintos que hay disponibles. Además, lleva una de las cinco salsas que hay para elegir y si se desea se puede agregar crema, cobertura de chocolate o ambas. Si una persona pide un postre, ¿de cuántas formas distintas podría hacerlo? A) B) C)
45 220 825
D) E)
900 1.100
CUADERNILLO
14.
15.
En un colegio, al término del año escolar, se escogen al azar tres estudiantes de cada curso para asistir a un paseo. Si un curso inicialmente tenía n estudiantes y durante el año se incorporó un nuevo estudiante, ¿en cuánto aumentó la cantidad de selecciones posibles para asistir a este paseo que se pueden realizar en dicho curso? A)
n – 1 6
B)
n + 1 2
C)
n2 + n 6
D)
n2 – 1 2
E)
n2 + n 2
Se puede determinar la cantidad de estudiantes de un curso, si: (1) (2)
Al escoger dos de ellos para formar una comisión, se puede realizar de 45 formas distintas. Al escoger tres de ellos para los cargos de presidente, secretario y tesorero, se puede realizar de 720 formas distintas.
A) B) C)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).
D) E)
Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
Estrategia de s íntesis Uno de los pasos fundamentales para resolver una pregunta de técnicas combinatorias es determinar el tipo del cual se trata: permutación, variación o combinación. ¿Tienes alguna estrategia para analizar el enunciado y obtener esta información? Lo más práctico es vericar primero si hay una selección de elementos o si se utilizan todos, y en caso de haber selección, si importa o no el orden en que se seleccionan. ¿A qué tipo de técnica combinatoria correspondería cada caso?
5
MATEMÁTICA 16.
17.
Del conjunto Z = {a, b, c , d } se extraen todas las muestras de los distintos tamaños posibles, sin orden y sin reposición. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
La muestra {a, d , d } es una de las muestras de tamaño 3. La mayoría de las muestras extraídas son de tamaño 2. La cantidad de muestras extraídas de tamaño 1 es 4.
A) B) C)
Solo III Solo I y II Solo I y III
Solo II y III I, II y III
A partir de una población de 720 elementos distintos, ¿cuántas muestras de tamaño 6 se pueden obtener, sin considerar orden ni reposición? A) B) C)
18.
D) E)
720! 714! 720 6!
D) E)
720 719 718 717 716 715 •
•
•
•
•
Sea M una población compuesta por (2 x + 3) elementos, con x un entero mayor que 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite determinar el número de muestras de tamaño ( x – 1), sin orden y con reposición, que se pueden extraer desde M ? (3 x + 1)! ( x – 1)! (2 x + 2)!
D)
(3 x + 1)! (3 x + 2)!
B)
(2 x + 3)! ( x – 1)! (3 x – 2)!
E)
(2 x + 3)! ( x + 1)!
C)
(2 x + 3)! ( x – 1)! ( x + 4)!
A)
•
•
•
19.
Una población de datos está compuesta por los pesos de 15 recién nacidos, siendo todos estos valores distintos entre sí. Si se desea tomar una muestra de tamaño 3 de esta población, sin ordenar ni repetir datos, se podría hacer de A) 2.730 maneras distintas. B) 455 maneras distintas. C) 45 maneras distintas.
6
D) E)
15 maneras distintas. 5 maneras distintas.
CUADERNILLO
20.
Sea Q una población formada por los nueve primeros números primos. ¿Cuántas muestras de tamaño 7 se pueden extraer de Q, sin orden y sin reposición? A) B) C)
21.
D) E)
36 715
Una población A está compuesta por 7 elementos distintos. ¿Cuántas muestras de tamaño 5, sin orden y con repetición, se pueden formar con los elementos de A? A) B) C)
22.
6.435 72 7
462 42 21
D) E)
120 2.520
De una población de x elementos se extraen muestras de tamaño y , con x e y en los enteros positivos, tal que x ≥ y . Con respecto a esto, es posible armar que x . 2
I)
si x es un número par, la mayor cantidad de muestras se obtiene cuando y =
II)
si x es un número impar, la mayor cantidad de muestras se obtiene cuando y =
III)
si x = y , entonces se obtiene solo una muestra.
x + 1 . 2
Es (son) siempre verdadera(s) A) B) C)
23.
solo I. solo I y II. solo I y III.
D) E)
solo II y III. I, II y III.
De una población compuesta por 12 elementos distintos entre sí, I) II) III)
se pueden extraer 66 muestras distintas de tamaño 2, sin considerar orden ni reposición. la mayor cantidad de muestras distintas, sin orden y sin reposición, se obtiene cuando el tamaño de la muestra es 6. la cantidad mínima de muestras, sin orden y sin reposición, que se pueden obtener para cualquier tamaño de muestra es 12.
Es (son) verdadera(s) A) B) C)
solo I. solo II. solo I y II.
D) E)
solo II y III. I, II y III.
7
MATEMÁTICA 24.
Dada la población B = {5, 5, 5, 7, 9, 11}, ¿cuál es la cantidad de muestras de tamaño 3, sin orden y sin reposición, que se pueden extraer de la población B? A) B) C) D) E)
25.
Sea A una población donde todos los elementos son distintos entre sí. Se puede determinar la cantidad de elementos que componen la población A, si: (1) (2)
A) B) C) D) E)
8
12 20 8 7 4
La cantidad total de muestras posibles de tamaño 2 que se pueden extraer de la población, sin orden y sin reposición, es 10. La cantidad total de muestras posibles de tamaño 2 que se pueden extraer de la población, sin orden y con reposición, es 15. (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
CUADERNILLO
Torpedo Datos y Azar Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Glosario Datos •
•
•
•
Población: conjunto sobre el cual se realiza el estudio estadístico. Muestra: subconjunto de la población utilizada como datos en el estudio estadístico. Variables cuantitativas: variables que representan una propiedad numérica. Pueden ser discretas (ciertos valores jos) o continuas (ciertos valores dentro de un intervalo). Frecuencia absoluta (o frecuencia): número de veces que aparece un dato dentro de la muestra o cantidad de elementos que agrupa un determinado intervalo.
•
•
•
•
•
Frecuencia relativa: proporción del dato dentro del total de la muestra. Frecuencia porcentual: frecuencia relativa en forma de porcentaje. Frecuencia acumulada: suma de frecuencias desde el primer valor hasta el valor indicado. Clases: intervalos donde se encuentran agrupado los datos de una variable estadística continua. Marca de clase: valor representativo de un intervalo o clase. Se obtiene calculando el promedio entre los extremos de un intervalo.
Tipos de gráfcos De barras
Polígono de frecuencia
Frecuencia
Frecuencia f 4 f 5 f 2 f 3
f i
f 1
x i
Dato
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
Circular
Dato
Histograma Frecuencia
100
200
300
400
Dato
El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfco circular , la información se representa en porcentajes. 9
MATEMÁTICA Tablas Dato
Frecuencia
Frecuencia acumulada
x 1
f 1
f 1
Frecuencia porcentual f 1
• 100%
N
x 2
f 2
f 1 + f 2
. . .
. . .
. . .
x k
f k
f 2 N
f 1 + f 2+... +f k = N
Marca de clase
Frecuencia
[35 – 56[
35+56 2
17
[56 – 76]
56+76 2
8
• 100% . . .
f k
Intervalos de pesos
• 100%
N
Medidas de tendencia central en datos no agrupados Moda: dato que más se repite dentro de la muestra
Mediana: valor que ocupa la posición central de una muestra (¡OJO! Los datos deben estar ORDENADOS)
(¡NO CONFUNDIR CON LA FRECUENCIA DE LA MODA!)
Sea una muestra con una cantidad N de datos: Si N es un número impar , entonces la mediana
Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda (amodal). En una muestra puede haber más de un moda.
es el dato que ocupa el lugar número
x =
x k f k
·
f 1 + x 2
·
f 2+ x 3
·
f 3 + ... + x k
·
.
Si N es un número par , entonces la mediana es el promedio entre los datos que ocupan los
Promedio o media aritmética: x 1
N + 1 2
N lugares N y + 1.
f k
2
2
N
:
Dato
:
Frecuencia del dato
Glosario Azar •
•
•
•
Experimento aleatorio: actividad cuyo resultado no se puede predecir a pesar de que se manejen todas las condiciones. Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados distintos de un experimento. Evento o suceso: subconjunto del espacio muestral que cumplen con alguna condición. Suceso imposible: evento que no tiene elementos, es decir, la probabilidad de que ocurra es nula.
•
•
•
Suceso seguro: evento cuyo elementos son los mismos que los del espacio muestral, es decir, la probabilidad de que ocurra es uno, siempre ocurrirá. Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no tienen ningún elemento en común, es decir, no ocurren simultáneamente. Eventos independientes: eventos cuya ocurrencia de cada uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Sea A un evento en un determinado experimento aleatorio. P ( A) =
10
número de casos favorables número de casos totales
⇒
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P (no A) = 1 – P ( A)
CUADERNILLO
Tabla de corrección Nº
Clave
Habilidad
Difcultad Estimada
1
Comprensión
Media
2
Comprensión
Fácil
3
Aplicación
Media
4
Aplicación
Media
5
Aplicación
Media
6
Aplicación
Media
7
Aplicación
Media
8
Aplicación
Media
9
Aplicación
Media
10
Aplicación
Difícil
11
ASE
Difícil
12
ASE
Media
13
ASE
Difícil
14
ASE
Difícil
15
ASE
Media
16
Comprensión
Media
17
Comprensión
Media
18
Comprensión
Media
19
Aplicación
Fácil
20
Aplicación
Fácil
21
Aplicación
Media
22
ASE
Media
23
ASE
Media
24
ASE
Difícil
25
ASE
Difícil
11
_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfco y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
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