C. a II P2

PAUTA CÁLCULO APLICADO II

1. Un cuerpo a una te temp mpe er atur  atur a desco escon noc ocid ida a se col coloca en en un cuart rto o que se mant ntiiene a una temperatura co con nsta stan nte de 30 °F. Si des espu pués és de 10 minuto nutos s la temperatura del cuerp rpo o es de 0° 0° F y después de 20 min minu utos la temperatura del del cuerp rpo o es de 15° F ,¿C ¿Cu uál es la temp te mperat eratur  ur a ini inic cial (desco escon noc ociida da)) del cuer po? po?

Resolución: dT     T m   k T   dt  dT   T T m 

kdt 

 T dT T      kdt  

m

lnT      T m 



kt   c 1

T   ce kt    T m

La solu solución general general es T   ce kt    T m como T 10 

0

T 20



15

T 10 



ce 10 k    30

T 20 



ce 20 k    30

0



15

ce 10 k    30



ce 20 k    30

ce 10 k 



ce 20 k 



30 15

Resolv Resolviendo el sistema: ce 10 k   30 ce 20 k   15

de la la ecuación ecuación 1 c  30k   30e 10 k  e 10

c



30e 10 k 

reempla reemplaz zando ando en la ecuación ecuación 2 ce 20 k   15 30e e 10 k e 20 k  30 10 k  30e e 30 30e e 10 k  30

e 10 k  k 



k 



c



c



15

15 15

 

1





aplicando aplicando logaritmos logaritmos y despejando despejando

2

  ln0.5

931 5  10 2   6. 931



10

931 5  10 2   6. 931 30e e 10 0.069315  30 60



069315 15   0. 0693

La solución solución particular particular es: 0.069315t  T t   60 60e e 0.069315t    30 La tempera temperatu tura ra inicial es: T 0   60 60e e 0  30 T 0 

 30° F    30° F 



2. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 20 ohm y la capacitancia es de 10 - 2

  F, se le aplica una tensión de 200 e -5t V. Si q(0) = 0. calcule la carga q(t ) en el

capacitor y obtenga la corriente i(t).

Resolución: 20

dq

dq

  5

dt 

e



  100

dt 

 5 dt 

q



dq

e 5 t  dt 



q



10e

200e 5 t 

1 20

5 t 

e 5 t 

  5

e 5 t q



10e

5 t e 5 t 

d   e  e 5 t q   10 dt 

e 5 t q



e 5 t q



q



1

  10dt  10t    c

 c  c   10 t  t 

e 5t 

resolviendo resolviendo sujeta sujeta a la condición inicial q0 qt 



10te

5 t 

para la corriente it 



it 



dq dt 

10e



d    10te 5 t   10e 5 t 1 dt 

5 t 1   5 t  t 

  5t  t 



0

3. Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80% de la masa original. a)

La can cantid ida ad r estant estante e de masa en cualqui lquier er in insta stan nte.

b)

¿Qué ca cantidad ntidad de de material hay hay desp espu ués de 5 horas?

c)

¿Cuánto ¿Cuánt o tiempo debe tran ransc scurrir urrir pa para que la ca cantid ntida ad de material material sea un cuart cuarto o de la ca cantid ntida ad inic inicial?

a) Sea  x material restan restante te después después de cierto cierto tiempo t   x t  la masa del material dx  kx dt  dx  x  kdt  dx  x   kdt 



 

ln x

kt    C 1 t   e kt  C  



1

Solución Solución general: general: x  x t 



Ce kt 

empleando empleando la condición condición inicial: 0  Ce 0 60

C 



t 



60e kt 

Por otra parte tenemos que: después después de 3 horas, solamente solamente permanecí permanecía a el 80% de la masa original 80 esto es  60   10  48 0 3



48

3



60e 3 k 

48



60e 3 k 



e 3 k 

48 60 4 5

ln

 4 5

k  

e 3 k  3k 

 ln

4 5

3

k     7. 4381   10 2 07438 8 k   0. 0743 Respuesta a)  x  x t   60e 0.07438t 

b) después después de 5 horas horas 5  60e 0.074385 5

  41.

365  mg

c) 1

 x t 

15

1 

ln

e

e



t 



15

0.07438 t 



0. 07438 07438t 

ln

t 



0.07438 t 

1 4

 60

0.07438 t 



60

4

60e 



15

4



1 4

0.07438

  18. 637 horas