Ν.Ματζάκος - Ανάλυση σε Απλά Κλάσματα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Για να αναλύσω µια ρητή συνάρτηση σε απλά κλάσµατα αρχικά εξετάζω τον βαθµό του αριθµητή και του παρονοµαστή και έτσι αν: •

•

ο βαθµός του αριθµητή είναι > του βαθµού παρονοµαστή τότε κάνουµε f ( x) v( x) v( x) την διαίρεση = p( x) + και στην συνέχεια αναλύω το σε g ( x) h( x ) h( x ) απλά κλάσµατα (βήµα 2). ο βαθµός του αριθµητή είναι < του βαθµού παρονοµαστή, τότε αναλύω σε απλά κλάσµατα (βήµα 2).

Βήµα 1 ∆ιαίρεση Πολυωνύµων Θα θυµηθούµε την διαίρεση πολυωνύµων µέσω ενός παραδείγµατος x3 − 3x + 2 Έστω η ρητή συνάρτηση . Ο βαθµός του αριθµητή είναι x2 − 5x + 6 µεγαλύτερος του βαθµού του παρονοµαστή άρα διαιρώ.

x3

2 − 3x + 2 x − 5 x + 6 x +5 −5 x 2 +6 x

0

5x2 − 9 x + 2

x3 −

− 5 x 2 − 25 x + 30 16 x − 28 άρα x3 − 3x + 2 16 x − 28 = x+5+ 2 2 x − 5x + 6 x − 5x + 6

Νίκος Μ. Ματζάκος

[email protected] 1

Βήµα 2 Ανάλυση σε απλά κλάσµατα: Παραγοντοποιούµε τον παρονοµαστή g ( x) και εάν α) Το g ( x) έχει µια πραγµατική ρίζα τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας A όρος της µορφής : a1 x + a2 β) Το g ( x) έχει µια πραγµατική ρίζα µε πολλαπλότητα ν τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας όρος της µορφής: Aν A1 A2 + + ... + ν 2 a1 x + a2 ( a1 x + a2 ) ( a1 x + a2 ) γ) Το g ( x) έχει ένα ζεύγος µιγαδικών ριζών τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί Ax + B ένας όρος της µορφής: 2 a1 x + a2 x + a3 δ) Το g ( x) έχει ένα ζεύγος µιγαδικών ριζών µε πολλαπλότητα ν τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας όρος της µορφής: A1 x + B1 A2 x + B2 Aν x + Bν + + ... + ν 2 2 2 2 a1 x + a2 x + a3 ( a x + a x + a ) (a x + a x + a ) 1

2

3

1

2

3

Παράδειγµα : (2 ρίζες πραγµατικές) 5x − 3 Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2 x − 2x − 3 Λύση: Αναλύω το κλάσµα ως εξής

5x − 3 A B = + ⇒ A = 2, B = 3 x − 2x − 3 x + 1 x − 3 2

Παράδειγµα : (1 ρίζα πραγµατική πολλαπλότητας 2) 6x + 7 Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2 x + 4x + 4 Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής

Νίκος Μ. Ματζάκος

6x + 7 A B = + ⇒ A = 6, B = −7 x + 4 x + 4 x + 2 ( x + 2) 2 2

[email protected] 2

Παράδειγµα: (2 ρίζες συζυγής µιγαδικές και 1 ρίζα πραγµατική πολλαπλότητας 2) −2 x + 4 Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2 ( x + 1)( x − 1) 2 Λύση: −2 x + 4 Ax + B C D Αναλύω το κλάσµα ως εξής = 2 + + 2 2 ( x + 1)( x − 1) x + 1 x − 1 ( x − 1)2 Παράδειγµα: (2 συζυγής µιγαδικές και 2 πραγµατικές) x2 Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 4 x −1 Λύση: x2 Ax + B C D = 2 + + Αναλύω το κλάσµα ως εξής 4 x −1 x +1 x +1 x −1 Παράδειγµα (2 συζυγής µιγαδικές πολλαπλότητας 2) 2 x3 − x 2 + 5 Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η ( x 2 + 2) 2 Λύση: Αναλύω το κλάσµα ως εξής 2 x 3 − x 2 + 5 Ax + B Cx + D ⇒ A = 2, B = −1, C = 1, D = 2 = 2 + ( x 2 + 2) 2 x + 2 ( x 2 + 2 )2 Παράδειγµα (3 πραγµατικές ρίζες) Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η

x2 + 1 ( x − 1)( x − 2)( x − 3)

Λύση: Αναλύω το κλάσµα ως εξής

Νίκος Μ. Ματζάκος

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3

[email protected] 3

Παράδειγµα (Ο βαθµός του αριθµητή µεγαλύτερος του βαθµού του παρονοµαστή) Λύση:

x3

2 − 3x + 2 x − 5 x + 6 x +5 −5 x 2 +6 x

0

5x2 − 9 x + 2

x3

−

− 5 x 2 − 25 x + 30 16 x − 28 άρα x3 − 3x + 2 16 x − 28 = x+5+ 2 2 x − 5x + 6 x − 5x + 6

16 x − 28 σε απλά κλάσµατα: ( x − 2)( x − 3) 16 x − 28 a b = + ⇒ ... ⇒ a = −4, b = 20 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3

αναλύω το

Νίκος Μ. Ματζάκος

[email protected] 4