ΚΕΦ. 4. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤO STEREO ΣΩΜΑ ΖΙΚΟΣ2

 

 

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ  Ειδικές περιπτώσεις  περιπτώσεις 

2Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΪΔΑΡΙΟΥ 

 

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ  

1. Σύστημα δύο σωμάτων με  τροχαλία.  Η τροχαλία του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ= 4 Kg, Kg, ακτίνα R=0,2 m και μπορεί να περιστρέφεται περιστρέ φεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι  είναι κάθετος στο επίπεδο της. Τα  Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζες m1= 2 Kg και m2  =  = 1 Kg αντίστοιχα και κρέμονται στα άκρα δύο μη εκτατών νημάτων και βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε  αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί, οπότε η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τα νήματα να γλιστρούν στο  στο  αυλάκι της. Δίνονται η ροπή αδράνειας της  της τροχαλίας τροχαλίας  ως προς τον άξονα περιστροφής  περιστροφής  της Ι  Ι = ½ mR2 και g= 10 m/s2. Να υπολογίσετε:  υπολογίσετε:  i) το μέτρο της επιτάχυνσης των σωμάτων ii) τις τάσεις των σχοινιών Τ1 και Τ2  iii) τη χρονική στιγμή t όπου τα σώματα απέχουν απόσταση d = 8 m.

Λύση  Σώμα 1:

ΣF = m1 αcm => m1 g - T1= m1 αcm (1)

Σώμα 2:

ΣF = m2 αcm => Τ2 - m2 g = m2 αcm (2)

Τροχαλία: Στ = Ι α γων=> Τ1΄ R –  –T T2΄ R = ½ M R2 αγων => Τ1  –T –T2 = ½ M R αγων => Τ1  –T –T2 = ½ M αcm 

(3)

Γατί ισχύουν: Τ1 = Τ1΄ και Τ2 = Τ2 ΄ (1)+(2)+(3) => m1 g - m2 g = (m1+ m2+ ½ M) αcm  => αcm  = 2 m/s2

αcm  = αγων R => αγων  = αcm/R => αγων  = 10 rad/s2 (1)

=> m1 g - T1 = m1 αcm => T1 = m1 ( g - αcm) =>

T1 = 16 N

(2)

=> Τ2  - m2 g = m 2 αcm => Τ2  = m2 ( g + αcm) => Τ2  = 12 N

 Όταν τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=8m, τότε το καθένα έχει μεταφερθεί κατά x = 4 m X=1/2 αcm t2 => t =

 

2 x acm

 => t = 2s

2

 

2

Διπλή τροχαλία.  τροχαλία.   Οι δύο τροχαλίες του διπλανού σχήματος με μάζες M1= 8Kg, Μ2 = 2Κ 2 Κg και ακτίνες  ακτίνες  R1 = 0,4m, R2 = 0.2 m αντίστοιχα, μπορούν και περιστρέφονται περιστρέφονται ενιαία γύρω από κοινό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβές. Μέσω τυλιγμένου νήματος γύρω από κάθε τ ροχαλία αναρτώνται σώματα μάζας m1=3 Kg και m2=4 Kg από τις τροχαλίες μάζας M1 και Μ2  αντίστοιχα. Το όλο σύστημα αρχικά βρίσκεται σε ακινησία, με τα σώματα μάζας m1 και m2  στο ίδιο ύψος και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερο. Δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ μετ αξύ νήματος και τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας ως προς προς  τον άξονα 2 2 περιστροφής της  της  Ι = ½ mR . και g= 10 m/s ., τ η φορά της κατακόρυφης δύναμης F που πρέπει να  να  α)  Να υπολογίσετε το μέτρο και τη ασκήσουμε στο σώμα μάζας m2 ώστε το σύστημα να ισορροπεί.  ισορροπεί.  

β)  Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχαλιών αν αφήσουμε το σύστημα σύστημα   ελεύθερο .

γ)   Όταν τα σώματα μά μάζας ζας m1 και m2 απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση  απόσταση   d=2,4 m, m, να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα των δύο τροχαλιών. Λύση  i)

 Αφού η διπλή ττροχαλία ροχαλία ισορροπε ισορροπείί πρέπει η Στ=0 κ και αι έτσι υπολογίζο υπολογίζουμε υμε την F (F + m2 g) R2 = m1 g R1 => F=20 N

ii) Οι τροχαλίες στρέφονται κατά την ίδια φορά και κάθε στιγμή έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. επιτάχυνση.   Οι επιτρόχιες επιταχύνσε επιτ αχύνσεις ις των περιφερειακών σημείων των κυκλικών δίσκων είναι διαφορετικές και ως εκ τούτου τα σώματα m1 και και m  m2 κινούνται με διαφορετικές επιταχύνσεις α 1 και α2  αντίστοιχα. α1=αε,1 = α γων R1 και α2=αε,2= α a1 a2    a   => α 1 = 2 α 2 (1).  R1 R2

γων

R2  =>

Σώμα 1: 

ΣF = m1 α1 => m1 g - T 1= m1 α1 (2)

Σώμα 2: 

ΣF = m2 α2 => Τ2 - m2 g = m 2 α2 (3)

Τροχαλία: Στ =

Ιολ αγων=>

Τ1΄

R1  –T –T2 ΄

R2 =

(½ (½

2 1 1 M  R  +  +½ ½

2 1 1 M  R  )

αγων (4)

 Ακόμα ισχύουν: Τ1 = Τ1΄ (5) και Τ2 = Τ2 ΄ (6) Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε το  το  αγων  = 2 rad/s2 => και   α2=  0,4 m/s2 α1  = αγων R1  => α1= 0,8 m/s2 και iii) Όταν iii) Όταν τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=2,4m, τότε το m1 θα έχει μετακινηθεί κατά 1,6 m και το m2 θα έχει μεταφερθεί κατά 0,8 m γιατί: γιατί:   2 2 x1=1/2 α1 t   και x2=1/2 α2 t   => (1) ότι x1= 2 x2  . X1=1/2 α1 t2 => t = ω = αγων t

 

2 x acm

 => t = 2s και

=> ω = 4 rad/s

3

 

3.  Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση).  κίνηση).   Ο τροχός μάζας m=6Kg και ακτίνας R= 0,4 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η οριζόντια δύναμη με μέτρο F = 24Ν 24Ν ασκείται στο κέντρο του τροχού και αρχικά ο τροχός βρισκόταν σε ηρεμία. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο Ι = mR2. και g= 10 m/s2

μάζας του

i) i)   Να βρείτε τη κατεύθυνση της στατικής τριβής που ασκείται στο τροχό  τροχό  και να δικαιολογήσετε την  την απάντησή σας.  σας.  ii)  ii)   Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά ο τροχός και το μέτρο της στατικής  στατικής   τριβής που ασκείται σε αυτόν. αυτόν . ii)  ii)    Αν ο συντελεστής συντελεστή ς στατικής τρι τριβής βής είναι μσ = 0,5, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που  που   μπορεί να πάρει η δύναμη F ώστε να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση  ολίσθηση  (κ.χ.ο.) κ.χ.ο.).. Λύση 

Μεταφορική κίνηση: ΣF=m αcm υ = υ0    αcm t  x = υ0 t



1 2

 αcm t2 

Σχέσεις

Στροφική κίνηση:  Στ=Ι αγων  ω = ω0    αγων t 

υcm = ω R  αcm = αγων R  x= θR

x = ω0 t



1 2

αγων t2 

i) i)  Οι δυνάμεις F,w και N διέρχονται από το CM του σώματος και δεν προκαλούν ροπή. Η μόνη δύναμη που προκαλεί ροπή είναι η στατική τριβή Τ και είναι υπεύθυνη για την κ.χ.ο. του τροχού. Επειδή η F επιταχύνει το τροχό μεταφορικά , η στατική τριβή είναι προς τα αριστερά ώστε να τον επιταχύνει στροφικά ή η μεταβολή του     έχει κατεύθυνση     => η      έχει κατεύθυνση   => η    Άρα η κατεύθυνση της στατικής τριβής είναι προς τα αριστερά . 

   έχει

κατεύθυνση 

Σημείωση: Αν η Τ είναι τριβή ολίσθησης ο τροχός μόνο μεταφέρεται χωρίς να στρέφεται.   ii)  ii)  ΣF = m αcm => F - T= m αcm => F - T= m R αγων γων   (1) Στ = Ι α γων=> Τ R = m R2 αγων => Τ = m R αγων => Τ = m R αγων (2) (1) και και   (2) => F = 2m R αγων => αγων = 5 rad/s2  αcm=  αγων R  => αcm= 2 m/s2  Τ = m R αγων N  γων  => T = 12 N  iii)  Για να έχουμε κύλιση iii) κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπ πρέπει ει η τριβή Τ να είναι πάντα πάντα   μικρότερη ή ίσ ίση η από τη τη  στατική τριβή ( Τστ). δηλ. Τ   Τορ  ορ  => Τ   μ Ν  => m αcm   μ m g  => αcm   μ g  =>

 F 

    μ g  =>  2m F   2 μ  m g  => F   2 0,5 6 10  => F    60 N

 

4

 

4.  Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση)  κίνηση)  και η δύναμη ασκείται στο ανώτερο σημείο του.  του.  Ο τροχός μάζας m μάζας m = 2 Kg και και  ακτίνας R = 0,3 m κυλίεται χωρίς να  να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.. Στο ανώτερο σημείο της περιφέρειας  επίπεδο περιφέρειας   του τροχού Γ  Γ   μέσω ενός αβαρούς νήματος,, το οποίο είναι τυλιγμένο στο τροχό  ασκείται νήματος ασκείται  οριζόντια δύναμη με μέτρο F=9Ν.  Αρχι  Αρ χικά κά ο τ ρο ροχό χός ς βρ βρισ ισκό κότα τα ν σε ηρ ηρεμ εμίί α   και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού   καθώς το νήμα  νήμα   ξετυλίγεται ξετυλίγεται..  Δίνεται η ροπή αδρ αδράνειας άνειας ττου ου 2.   τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ mR Να βρείτε: βρείτε : i) i)   την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού.  τροχού.   ii)  ii)   τη στατική τριβή που ασκείται στο   τροχό. τροχό.   iii)   Τη χρονική στιγμή t = 5s να βρείτε τη ταχύτητα και την επιτά χυνση του σημείου iii) του νήματος που  που   αποκολλάται από τον τροχό.  τροχό.   iv)   Να βρείτε τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης F στο νήμα iv) (μετατόπιση νήματος) όταν ο τροχός έχει μετατοπισθεί κατά 10m. 10m. Λύση  Βάζω τη στατική τριβή τυχαία προς τα αριστερά και γράφω τις εξισώσεις που ισχύουν:  ισχύουν:  ΣF = m αcm => F - T= m αcm => F - T= m αcm (1) Στ = Ι α γων=> F R+ R+Τ Τ R = ½ m R2 αγων => F+ Τ =½ m R αγων => F+ Τ = ½ m αcm (2) (2) και και   (2) => 2F = 3/2 m αcm  => αcm= 6 m/s2  (1) => F-Τ F-Τ = m αcm => T = - 3 N Παρατήρηση:  προκύπτουν από από τις >  Το μέτρο και η κατεύθυνση της στατικής τριβής δεν είναι καθορισμένα , αλλά προκύπτουν παραπάνω εξισώσεις.. Στην άσκησή μας η στατική τριβή είναι προς τα δεξιά  !!!.  >  Όταν δεν ξέρουμε την κατεύθυνση της Τριβής μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με στιγμιαίο άξονα περιστροφής αυτόν που διέρχεται από το σημείο όπου εφαρμόζεται η Τριβή. Έτσι μηδενίζουμε την ροπή της και εύκολα βρίσκουμε την κατεύθυνση της από από τις σχέσεις Σ F= m α και Στ = I αγων  ,, >   Προσο  Προσοχή χή εδώ το Ι αλλάζει αλλάζει  ,, γιατί αλλάζει ο άξονας περιστροφής. Το καινούργιο Ι υπολογίζεται με   θεώρημα του Steiner. 

Ταχύτητα και επιτάχυνση ανώτερου σημείου  σημείου Γ. 



    cm       =>

     

d   dt



d (2cm ) dt

υΓ =  =υ υcm +  +υ υγρ => 

2

d  cm dt  

 

υΓ = 2υ 2υcm

αΓ= 2 α cm = 12 m/s2 

Το ανώτερο σημείο Γ έχει διπλάσια επιτάχυνση από το CM του τροχού. Άρα όταν το σημείο εφαρμογής της F μεταφέρεται προς τα δεξιά κατά x , τότε ο δίσκος μεταφέρετ μεταφέρεται αι προς τα δεξιά κατά x/2. Συνεπώς: το σημε σημείο ίο εφαρμογ εφαρμογής ής της F μετατοπίζεται κατά 2 x10m= 20 m

 

5

 

5.  Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση)  κίνηση)  και η δύναμη ασκείται σε τυχαίο σημείο  σημείο της κατακόρυφης διαμέτρου του. του.    Δίσκος  μάζας  Δίσκος μάζας m  m  και και  ακτίνας R κυλίεται χωρίς να  να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. επίπεδο . Σε Σε  τυχαίο σημείο της περιφέρειας  περιφέρειας   του τροχού Α  Α   ,που απέχει απόσταση χ από το κέντρο Κ του δίσκου μέσω ενός αβαρούς νήματος νήματος,, που είναι τυλιγμένο στο τροχό τροχό,, ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο F. Αρ F.  Αρχι χικά κά ο τροχό τρ οχό ς βρ βρισ ισκό κότα τα ν σε ηρ ηρεμ εμίί α   και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού . τροχού  .  Δίνεται η ροπή αδράνει αδράνειας ας του τροχού ως 2.   προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ mR Να βρείτε  βρείτε   συναρτήσει του x: i) i)   την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού.  τροχού.   ii)  ii)   τη στατική τριβή που ασκείται στο   τροχό. τροχό.   iii)  Σε πόση κατακόρυφη απόσταση πάνω από το κέντρο Ο του τροχού πρέπει να  ασκηθεί iii)  η οριζόντια δύναμη F, ώστε η στατική τριβή που ασκείται στο τροχό να  να  μηδενιστεί. μηδενιστεί.   iv)   Να κάνετε τη γραφική παράσταση της Τριβής συν iv) συναρτήσει αρτήσει του x για –R – R   x    R. Λύση   Έστω x η απόσταση του σημείου   Έστω σημείου Α,  Α, που η F τέμνει την κατακόρυφη διάμετρο , από το κέντρο του δίσκου.  Για να έχω κύλιση χωρίς ολίσθησ δίσκου. ολίσθηση η πρέπει να ισχύει η σχέση : αcm = αγων R Βάζω τη στατική τριβή τυχαία προς τα δεξιά και γράφω τις εξισώσεις που ισχύουν:  ισχύουν:  ΣF = m αcm => F + T= m αcm => F + T= m αcm (1) (1)   F x -Τ R = ½ m R2 αγων => F

Στ = Ι αγων=> (1)+(2) => F + αcm= 

2 F 

(1+

3m

 x  R

F )

 x  R

 F 2 x 3  R

(4) =>



F  3

 

=>  

 3 2

 m αcm =>

F(1+

 x  R

 R

- Τ =

)=

3 2

 1 2

 m αcm (2)

 m αcm =>

(3)   (3)

(3) (1)     F + T= m

T  

 =

 x

2 F  3m

(1+

T  

Για Γι α   x = R => x = 0 => x = -R => x = R/2 =>

 x  R

2 F 

) => F + T=

3

(1+

 x  R

) => T=

 F 2 x (  1)( 4 )   3  R

T 

 F 

 F 

T   

T    

T

3  F 

 

3

3

 

-R

  F   

 F 

3

T    0   -F

 Από  Απ ό το δι άγ άγρα ραμμ μμα α πα παρα ρατη τηρο ρούμ ύμεε ότ ι η Τ εί να ναιι 0 για γι α x=R/2 , είναι θετική δηλ. προς τα δεξιά για x > R/2 και αρνητική δηλ. προς τα αριστερά για χ < R/2  

6

 

0 

2 F   F  2 x - F => + 3 3 R

 

R/2

R  X

 

6.

Κίνηση στερεού Κίνηση

σώματος ( κ.χ.ο.) που μεταφέρεται κα καιι ταυτόχρονα π περιστρέφεται εριστρέφεται

(σύνθετη κίνηση) σε κεκλιμένο επίπεδο και ο ρόλος της στατικής Τριβής

 Ότ αν ένα έν α στερ στ ερεό εό αν ανεβ εβαί αίνε νειι ή κα κατε τεβα βαίν ίνει ει σε ένα έν α κεκλ κε κλιμ ιμ ένο έν ο επ επίπ ίπ εδο εδ ο κά κάνο νοντ ντας ας κύλι κύ λιση ση χωρίς ολίσθηση  ολίσθηση   (κ.χ.ο),υπεύθυνη για τη περιστροφή του είναι η στατική τριβή . Οι άλλες δυνάμεις (W ( W και N ) δεν ασκούν ροπή  ροπή   γιατί διέρχονται από το CM του στερεού.  στερεού.   Η τριβή είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις του στερεού και για να τη σχεδιάσουμε σωστά πρέπει να εφαρμόσουμε το παρακάτω κανόνα.   Στη κύλιση χωρίς ολίσθηση ισχύει   αcm = αγων R. Συνεπώς η μεταφορική και

η στροφική κίνηση είναι του ίδιου είδους και σχεδιάζουμε τη Τριβή έτσι ώστε στην επιταχυνόμενη κίνηση αυτή να προκαλεί επιταχύνουσα ροπή και στην επιβραδυνόμενη επιβραδύνουσα ροπή. π.χ.  Το σώμα κατεβαίνει κάνοντας επιταχυνόμενη κίνηση.

Το σώμα ανεβαίνει κάνοντας επιβραδυνόμενη κίνηση  

Κύλινδρος. I=1/2 mR 2   Το σώμα επιταχύνεται μεταφορικά  μεταφορικά   στροφικά      επιταχύνεται και στροφικά  περιστροφή      Η Τ βοηθά την περιστροφή    έχει φορά προς τα πάνω ώστε να   προκαλεί επιταχύνουσα ροπή .

Το σώμα επιβραδύνεται μεταφορικά  μεταφορικά   επιβραδύνεται και στροφικά  στροφικά   Η Τ αντιστέκεται στην περιστροφή   έχει φορά προς τα πάνω ώστε να   προκαλεί επιβραδύνουσα ροπή  

Παρατήρηση:   Αν στ στο ο σώ σώμα μα ασ ασκε κείτ ίται αι κα καιι κά κάπο ποια ια δύ δύνα ναμη μη F τότε η Τ μπορεί να είναι είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω ανάλογα με το είδος της κίνησης και το σημείο εφαρμογής της δύναμης . ΣF = m αcm => Wx - T= m αcm => mg ημφ ημφ  - T= m αcm (1) Στ = Ι α γων=> Τ R = ½ m R2 αγων => Τ = m R αγων => Τ = m αcm (2) (1) + (2) => mg ημφ ημφ =  = 3/2 m αcm

=>

αcm=

2 g     3

 

Παρατηρήσεις:   Η επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη από τη μάζα (m) και την ακτίνα(R ακτίνα (R)) του στερεού. στερεού . Συνεπώς δυο όμοια και συμπαγή γεωμετρικά στερεά (π.χ. δυο σφαίρες) κατέρχονται 

με επιτάχυνση ένα κεκλιμένο επίπεδο.     την Μια ίδια μικρή ξύλινη καισε μια μεγάλη σιδερένια σφαίρα αν αφαιθούν από το ίδιο ύψος κεκλιμένου επιπέδου θα φτάσουν ταυτόχρονα και με την ίδια ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου .  .  

 

7

 

 Για δυο όμοια γεωμετρικά σώματα που έχουν ίδια μάζα,   ίδια ακτίνα αλλά το ένα είναι κούφιο και το άλλo άλλ o συμπαγές (πχ. δύο κυλίνδρους ή ένα σφαιρικό φλοιό και μια συμπαγή σφαίρα ) ισχύει:  ισχύει:   Ι κουφ >Ι συμπ   π.χ. Ι φλ =2/3 mR 2  > Iσφ =2/5 mR 2    Το κούφιο σώμα μπαίνει δυσκολότερα σε περιστροφή ,αποκτά μικρότερη α cm   και φτάνει αργότερα και με μικρότερη ταχύτητα στη βάση κεκλιμένου επιπέδου όταν αφεθεί από το ίδιο ύψος κεκλιμένου επιπέδου  επιπέδου   με ένα ίδιο συμπαγές στερεό. 



Απόδειξη:   mg ημφ ημφ  - T= m αcm (1)

Τ R = I αγων => Τ =

(1) + (2) => mg ημφ ημφ =  = αcm ( m  Επειδή Ικουφ> Ι

συμπ 



 R

2

 αcm (2)  

CM 

 I 

)   => 2

 R

ακουφ< ασυμπ 

=>

x1=x2 => ½ ασυμπ tσυμπ 2 = ½ ακουφ tκουφ2 =>

 Από τις σχέσεις

  

mg    I    (3) m 2  R

t

a  



t

1 

a  

υ=αcm t και x= ½ αcm t2 => υ2 =2α =2αx x =>







       

1 

Άρα το συμπαγές σώμα φτάνει γρηγορότερα και με μεγαλύτερη ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.  επιπέδου.   Εφαρμογή για  σφαιρικό φλοιό  φλοιό   (Ι φλ =2/3 mR 2 )κα και  ι  συμπαγή σφαίρα   (I ( I σφ =2/5 mR2 ) .  3 g      5 g      Από  Απ ό τη ν (3 (3)) => α   cm ,φ λ =  και α  α   cm , σφ =   => α   cm ,φ λ  < α   cm , σφ   5 7 3 t t



a a

   



5 5 7

5

 g   

   g  

21 25

 1 

και

 



   

 



 

7 3 5

 g   

   g  

25 21

 1 

Άρα η  η   σφαίρα σφαίρα   φτάνει γρηγορότερα και με μεγαλύτερη ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου από το σφαιριό φλοιό..   

 

Για ορισμένη γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου  επιπέδου   , προκειμένου να έχουμε

κ. x .ο., ο συντελεστής στατικής τριβής δεν μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες από μια συγκεκριμένη τιμή.( τιμή. ( πχ. Για σφαίρα μ S   > 2/7 εφφ Εφαρμογή για κύλινδρο με Ι=1/2

mR 2  (

Άσκηση του  σχολικού βιβλίου)  

ΣF = m αcm => mg ημφ ημφ  - T= m αcm (1) και 2 Τ R = ½ m R  αγων => Τ = m R αγων => Τ = m αcm (2)  Από (1) και (2)=> και  (2)=>  Από (2) και   (3) => (2)και

Τ=

αcm=

 2 g     3

  (3) 

mg    

 (4) 3 Για να έχουμε κ.χ.ο. πρέπει Τ   Τστ,max στ,max => mg     Τ   μS Ν  => συνφ =>     μS mg  mgσυνφ  => 3   εφφ =>  => μS,min  = μS   1/3 εφφ   3

 

και για κύλινδρο μ S   > 1/3 εφφ ) εφφ  )

8

 

7*** . Κίνηση στερεού

σώματος με ολίσθηση και ο ρόλος της Τριβής ολίσθησης. ολίσθησης.  

 Ότ αν ένας έν ας  τροχός κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο κάθε σημείο της περιφέρειάς του έχει ταχύτητα :    cm        ‘Όταν υcm = υγρ , τότε ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Αν όμως είναι υcm   υγρ , τότε ο τροχός  κυλίεται και ολισθαίνει. Η κίνηση μετατρέπεται σε κ.χ.ο. όταν υcm = υγρ , τροχός  Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσει περιπτώσεις: ς:   Α. Αφήνουμε ένα τροχό, που περιστρέφεται περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 και το κέντρο του είναι ακίνητο  ( ω0  0 και και  υcm=0 )  , σε οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.  Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει και πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι τότε.  Δίνεται Ι=mR2 . Λύση   Όταν η ρόδα ακουμπά στο έδαφος της ασκείται τριβή προς τα δεξιά.  Η τριβή, η μόνη  μόνη δύνα δύνα-μη στη κατεύθυνση της κίνησης, επιταχύνει με μεταφορικά ταφορικά και επιβραδύνει στροφικά τη ρόδα. ΣF = m αcm  => μmg =m αcm  => αcm= μ g (1)   g  Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων =  (2)  R

Η ρόδα κάνει μεταφορική  μεταφορική  κίνηση Άρα υcm  =αcm t = μ g t (3) και στροφική κίνηση. κίνηση.     g  t (4) ω=ω0- αγων γων  t = ω0  R

 Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)     g    R t) R => t=   0   (5). Στο χρόνο αυτό το CM (3),(4) => μ g t = ω R => μ g t = (ω0  R 2   g  του τροχού θα μετατοπισθεί κατά  κατά  

2

x = ½ αcm t   =

 02 R2 8  g 

  (6).

Β.  Ένας Ένας τροχός κινείται μεταφορικά χωρίς να περιστρέφεται ( ω0=0 και και  υcm  0 )  , με οριζόντια ταχύτητα υcm και τη χρονική στιγμή t=0 έρχεται σε επαφή με οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Να βρείτε μετά α από πό πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει και πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι τότε. Δίνεται Ι=mR2 . Λύση   Όταν η ρόδα ακουμπά στο έδαφος της ασκείται τριβή προς τα αριστερά. Η τριβή τρι βή εδώ επιβραδύνει μεταφορικά και επιταχύνει στροφικά τη ρόδα. ΣF = m αcm  => --μ μmg =m αcm  => αcm= -μ -μ g (1)   g  Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων =  (2)  R

Η ρόδα κάνει μεταφορική κίνηση Άρα υcm  =υΚ,0-αcm t =υΚ- μ g t (3) και στροφική κίνηση. κίνηση.     g  t (4) ω= αγων γων  t =  R

κ.χ.ο.)    Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  (3),(4) => υΚ,0 - μ g t = μ g t => t = του τροχού θα μετατοπισθεί κατά  

     ,0   g  2  

  (5). Στο χρόνο αυτό το CM 2

x = ½ αcm t   = 9

3  2,0 8    g 

  (6).

 

Γ. Μια ομογενής σφαίρα μάζ μάζας ας m και ακτίνας R, ρίχνεται οριζόντια σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή της επαφής της σφαίρας με το επίπεδο το CM της  έχει ταχύτητα υ0  και η σφαίρα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης, της σφαίρας με το επίπεδο είναι μ. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει όταν: i) υ0 > ω0R και ii) υ0 < ω0R. Δίνεται για τη σφαίρα Ι = 2/5 m R2.

Λύση  i) i)  Η σφαίρα πρέπει να επιβραδύνεται μεταφορικά και να επιταχύνεται στροφικά  στροφικά λόγω της τριβής, άρα η τριβή είναι προς τα αριστερά.  αριστερά.  Η

αcm = -μ -μ g(1) και και  

αγων = 5  g   (2) άρα: άρα:   2 R

υcm  =υΚ,0-αcm t =υΚ,0- μ g t (3) 5  g  t (4) ω=ω0+αγων γων  t = ω0 + 2 R  Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)   5  g  (3),(4) => υΚ,0- μ g t = (ω0 + t) R => 2 R    ,0  0 R 2( ,0  0 R)  t=   (5).  7   7   g    g  2 επιβραδύνεται  στροφικά λόγω της τριβής, άρα ii) Η σφαίρα πρέπει να επιταχύνεται μεταφορικά και να επιβραδύνεται  η τριβή είναι προς τα δεξιά.  δεξιά. 

5  g 

 (2) άρα:  άρα:  2 R υcm  =υΚ,0+αcm t =υΚ,0+ μ g t (3) 5  g  ω=ω0-αγων t (4) γων  t  = ω0 2 R  Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)   5  g  t) R => (3),(4) => υΚ,0+ μ g t = (ω0 2 R  2(0 R   ,0  )   0 R   , 0 Η

αcm = μ g(1) και και  

αγων =



t=

7   g  2

 

7   g 

  (5).

Παρατήρηση: Εδώ η τριβή σχεδιάζεται ώστε να βοηθάει στην αύξηση της μικρότερης ταχύτητας του σημείου επαφής Α με το επίπεδο.  

Να θυμάσαι ότι:  α)

Στο στερεό που κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύουν: ισχύουν:  

υcm = ω R , β)

υcm

 

αcm = αγων R και Τ  μ Ν  Ν 

Στο στερεό που κυλίεται και ολισθαίνει ισχύουν: ισχύουν:   

 ω R ,

αcm



 αγων R και

Τ= μ Ν  Τ= Ν 

10

 

Ασκήσεις κίνησης  κίνησης στερεών σωμάτων με ολίσθηση. ολίσθηση.  

8 .*** Ομογενής δίσκος μάζας m=1 Kg

και ακτίνας R=0,1 m περιστρέφεται με γωνιακή

ταχύτητα ω0=18 rad/s και το κέντρο του είναι ακίνητο ( ω0  0 και υcm=0 )  και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται σε οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. i) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει . ii) ii) Αν ο δίσκος τη στιγμή της επαφής με το επίπεδο ενώ στρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω0 έχει και ταχύτητα υcm,0=1m/s< υγρ,0=1,8 m/s, m/s, να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει. iii iii)) Μετά από πόσο χρόνο θα κάνει κύλιση χωρίς ν να α ολισθαίνει ,αν ο δίσκος τη στιγμή της επαφής με το επίπεδο, στρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω0 και έχει ταχύτητα υcm,0=4m/s> υγρ,0=1,8 m/s.  m/s. Δίνεται  Δίνεται Ι =1/2 Ι  =1/2 mR2 . Λύση  i) i)  ΣF = m αcm  => μmg =m αcm  => αcm= μ g (1) 2     g  Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων =   (2)  R

Ο δίσκος κάνει μεταφορική κίνηση Άρα υcm  =αcm t = μ g t (3) και στροφική κίνηση. κίνηση.   2     g  ω=ω0- αγων t (4) γων  t = ω0  R

 Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)   (3),(4) => μ g t = ω R => μ g t = (ω0 -

2     g   R

t) R => t=

    0 R 3  g 

 => t= 0,3 s.

ii) Η τριβή είναι προς τη μεριά της μικρότερης ταχύτητας. Ο δίσκος κάνει επιταχυνόμενη κίνηση  κίνηση μεταφορικά και επιβραδυνόμενη επιβραδυνόμ ενη στροφικά λόγω της τριβής. Άρα:  Άρα: 

υcm  =υΚ,0+αcm t =υΚ,0+ μ g t (5) 2     g  t (6) ω=  ω0-αγων ω= γων  t  = ω0  R

 Όταν υcm = υγρ=ω R ,  τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)    2     g    0 R    , 0 (5),(6) => υΚ,0+ μ g t = (ω0 -  R t) R => t= 3 g

0 R   ,0 

 2

3 g  = 15  s επιταχυνόμε νη στροφικά λόγω της τριβής. iii) Ο δίσκος κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση μεταφορικά και επιταχυνόμενη Άρα:   Άρα: υcm  =υΚ,0-αcm t =υΚ,0- μ g t (7) 2     g  ω=ω0+αγων t (8) γων  t = ω0 +  R  Όταν υcm = υγρ=ω R , τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.)  κ.χ.ο.)   2     g  (7),(8)) => υΚ,0- μ g t = (ω0 + (7),(8 t) R =>  R  ,0  0 R   ,0   0 R   8  t=  s     =  s 3 g 3 g  15

 

11



 

9 . Ο τροχός μάζας m=2Kg και ακτίνας R= 0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=0,4. επίπεδο  μ=0,4 . Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο του τροχού που  που αρχικά βρισκόταν σε ηρεμία , οριζόντια δύναμη F. i) i)  

Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή που  που  μπορεί να πάρει η δύναμη F ώστε να έχουμε κύλιση

χωρίς ολίσθησ ο λίσθηση η (κ.χ.ο.)  (κ.χ.ο.).. ii)

 Αν ασκήσουμε οριζόντια ορι ζόντια δύναμη F =18Ν , να βρείτε την τριβή Τ και τη γωνιακή

ταχύτητα που έχει το ανώτατο σημείο  σημείο  Γ του τροχού τη χρονική στιγμή t =2s . iii)

 Αν ασκήσουμε οριζόντια ορι ζόντια δύναμη F =30Ν =30Ν να βρείτε την τριβή Τ και τη γωνιακή

επιτάχυνση  που έχει το ανώτατο σημείο  επιτάχυνση σημείο  Γ και τη γωνιακή ταχύτητα που έχει το κατώτατο σημείο Α του τροχού τη χρονική στιγμή t=2s . Δίνεται . Δίνεται η ροπή αδράνειας του ττροχού ροχού ω ως ς προς το κέντρο μάζας του. του . Ι =  =  1/2 mR2 και g = 10 m/s2  Λύση  i) i)   ΣF = m αcm => F - T= m αcm (1) Τ R = 1/2 m R2 αγων => Τ =1/2 =1/2 m αcm (2) (1) και και   (2) => F = 3 m αγων => αcm=  2 F    (3) 2 3m Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπε πρέπειι η τριβή Τ να είναι πάντα  πάντα  μικρότερη ή ίσ ίση η από τη τη  στατική τριβή ( Τστ). 2 F     2 μ g  =>   2μ μ g  => αcm   2 δηλ. Τ   Τορ  ορ  => Τ   μ Ν  => ½ m αcm   μ m g  => 3m F   3 μ  m g  => F   24 N ii)  ii)  Για Για   F= 18N

έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση  ολίσθηση 

(2) => Τ =1/2 =1/2 m αcm => Τ =1/2 =1/2 m

2 F  3m

=> Τ =

 F 

3

 = 6 Ν  Ν 

υΓ = 2 υCM = 2 αcm t = 24 m/s iii)***   Για F= 30 N iii)*** έχουμε κύλιση με ολίσθηση  ολίσθηση   Άρα:  Τ =μ  Άρα: =μ Ν => Τ =  = 8 Ν  Ν  ΣF = m αcm => F - T= m αcm => αcm = 11 m/s2  Στ = Ι αγων  => =>Τ Τ R = 1/2 m R2 αγων => αγων = 40 rad/s2  Παρατηρώ ότι αcm = 11 m/s2



 αγων R = 8 m/s2

      cm       => αΓ=αcm +αε= αcm + αγωνR =11+8=19 m/s2  Τη  χρονική στιγμή t=2 s : Τη υcm = αcm t = 22 m/s2  και και         cm

 

      =>

2 ω= αγων γων   t = 80 rad/s

υ Α = υCM –υ  –υγρ   –ωR = 22-16 = 6m/s γρ  = υCM –ωR

12

 

10 . Ο κύλινδρος μάζας Μ = 4Κg και ακτίνας R = 0,2 m του σχήματος έχει τυλιγμένο γύρω του αβαρές μη εκτατό  εκτατό  νήμα. Αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής μ σ  = 0,5. 0,5. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο νήμα μία κατακόρυφη δύναμη μέτρου F= 15Ν 15 Ν   με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κινηθεί προς   τα δεξιά χωρίς  προς χωρίς  ολίσθηση. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται διέρχετ αι από τα κέντρα των δύο βάσεων του Ι = ½ Μ ΜR R2 και g=10 m/s2 i) Να Να  υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου κέντρου  μάζας του κυλίνδρου  κυλίνδρου  ii)  ii)   Να . βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής έτσι ώστε ο κύλινδρος να κάνει (κ,χ.ο.).   iii)   Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της δύναμης F για την οποία ο κύλινδρος κυλίεται iii) χωρίς να ολισθαίνει.  ολισθαίνει.  iv)  Αν το μ=0,2 μ=0 ,2 να να  βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου  κέντρου μάζας του κυλίνδρου  κυλίνδρου και τη ταχύτητα του σημείου επαφής με το έδαφος τη χρονική στιγμή t=1s. Λύση  i) i)   ΣFx = m αcm => T= m αcm (1) ΣFy = 0  => F+N= m g .=> N=mg-F (2) 2 F R-Τ R-Τ R = 1/2 m R  αγων => F-Τ F-Τ =1/2 m αcm  (3) (2) και και   (3) => F = Άρα: Άρα:

αcm= 

3

2 2 F 

3m

m αγων => αcm= 

2 F  3m

  (4)

και

  = 2,5 m/s

αγων = 12,5 rad/s

 F   F  (1) =>T= m αcm =>T= m  2 => T= 2   3m 3

ii) Για να έχουμε κύλισ κύλιση η χωρίς ολ ολίσθηση ίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η Τ να εείναι ίναι πάντα πάντα   μικρότερη   ή  ίση από την  μικρότερη την στατική τριβή. τριβή. 2 F  δηλ. Τ   Τστ,max  –F) μ   0,4    μ (m g – στ,max => Τ   μ Ν  =>   F) => 3 Άρα στην άσκησή μας επειδή το μ= μ=0,5 ,ο τροχός κάνει (κ.χ.ο.). iii) Για ( κ.χ.ο)πρέπει Τ   μ Ν  =>

2 F 

  μ

3

(m g –  –F)   F) =>

F

 17,14  N 

iv)***. Για μ=0,2 F+N= m g .=> N=mg-F Τ= μ Ν  => Τ= Τ=  μ (m g –  –F) Ν    F) => Τ = 5 Ν  T 

ΣFx = m αcm => T= m αcm => αcm=  F R-Τ R-Τ R = 1/2 m R2 αγων =>

αγων=

m

  => αcm=  1,25 m/s2 

 2( F

 T )

mR

=25 rad/s2 

Το νήμα ξετυλίγεται με επιτάχυνση α νημ=αε=αγων R = 5 m/s2  Για t=1 s έχουμε: έχουμε:   υcm = αcm t = 1,25 m/s ω = αγων t =25 rad/s , Άρα:  

και υγρ = ω R = 5 m/s

υΓ = υcm  -υγρ = -3,75 m/s 13

 

11 . Ο τροχός μάζας m μάζας m = 2 Kg και και  ακτίνας

R = 0,2 m κυλίεται χωρίς να  να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.. Στο ανώτερο σημείο της περιφέρειας  επίπεδο περιφέρειας   του τροχού Γ  Γ   μέσω ενός αβαρούς νήματος,, το οποίο είναι τυλιγμένο στο τροχό  νήματος τροχό  ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο F=18Ν.  Αρχι  Αρ χικά κά ο τ ρο ροχό χός ς βρ βρισ ισκό κότα τα ν σε ηρ ηρεμ εμίί α   και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού   καθώς το νήμα  νήμα   ξετυλίγεται ξετυλίγεται..  Δίνεται η ροπή αδρ αδράνειας άνειας ττου ου 2.   2   τροχού ως προς το κέντρο μάζας του  του  Ι = ½ mR και g=10 m/s  . Να βρείτε: βρείτε : i) i)   Να . βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής έτσι ώστε ο τροχός να κάνει (κ .χ.ο.). χ.ο.).   ii)  ii)    Αν ο   συντελεστής τριβής είναι μ=0,4 να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σημείου του νήματος που   αποκολλάτα αποκολλάταιι από τον τροχό. τροχό.   iii)    Αν ο συ iii) συντ ντελ ελεσ εστή τή ς τρ ιβ ιβής ής εί να ναιι μ= μ=0, 0,2 2 να υπ ολ ολογ ογίσ ίσετ ετεε τη χρ χρον ονικ ική ή στιγ στ ιγ μή t = 2s τη ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου Γ, τη γωνία στροφής του τροχού, το μήκος του νήματος που  που   έχει ξετυλιχθεί καθώς και τη μετατόπιση του C του  C M μέχρι τότε. Λύση  i)  i) ΣF = m αcm => F + T= m αcm (1) F R -Τ -Τ R = 1/2 m R2 αγων =>F - Τ =1/2 m αcm (2) και   (2) => 2 F = (1) και =>

F = ¾ m αcm

3 2

m αγων => αcm= 

4 F 

  (3) 3m T =1/4 m αcm (4)

και η

Για να έχουμε έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η σ στατική τατική τριβή ν να α είναι πάντα πάντα   μεγαλύτερη   ή  ίση από την Τ.  μεγαλύτερη Τ.  δηλ. Τ   Τστ  αcm   4  4μ μ g  => στ  => Τ   μ Ν  => 1/4 m αcm   μ m g  => 4 F   F         4 μ g  => μ   0,3  => 3m 3mg  ii) Για

μ=0,4 >0,3 θα έχω μ=0,4 >0,3

(κ.χ.ο.) (κ.χ.ο.)   Άρα (3) => =>  αcm= 

4 F  3m

 = 12 m/s2 

ανημ = 2 αcm = 24 m/s2  iii)***  Για iii)***

μ=0,2

Τ= μ Ν  => Τ= Τ=  μ m g  => Τ = 4 Ν  Ν  ΣFx = m αcm => F + T= m αcm => αcm=  F R-Τ R-Τ R = 1/2 m R2 αγων =>

αγων=

 F  T 

m  2( F  T ) mR

  => αcm=  11 m/s2 

=70 rad/s2 

ανημ=αε=αγων R = 14 m/s2 

Το νήμα ξετυλίγεται με επιτάχυνση Για t=2 s έχουμε: έχουμε:   υcm = αcm t = 22 m/s ω = αγων t =140 rad/s , Άρα:: Άρα

και υγρ = ω R = 28 m/s

υΓ = υcm +υ  +υγρ = 50 m/s

και   και

2 αΓ = αcm +α  +αε = αcm +α  +αγων γων  R = 11+14=25 m/s  

ω=αγων t και θ=1/2 αγων t2 =>    

 2

= 140

rad

2  

 Δx  Δxcm = ½ αcm t2  = 22 m   

14

και

l = θ R= 28 m

 

12 .

Κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R κυλίεται με τη βοήθεια νήματος νήματος,, αβαρές μη εκτατό   ,που διέρχεται από τροχαλία ροπής αδράνειας Ι τρ  και εκτατό και   ακτίνας R1  και το άλλο άκρο του είναι δεμένο σε σώμα μάζας m1 όπως στα σχήματα. σχήματα . Τη χρονική στιγμή t=0 t= 0 αφήνουμε το σώμα σ ώμα ελε ελεύθε ύθερο ρο με αποτέλεσ αποτέλεσμα μα ο κ κύλιν ύλινδρος δρος να κινηθ κινηθεί εί π προς ρος   τα δεξιά χωρίς  χωρίς  ολίσθηση.  Αν το νήμα διέρχεται τη μια φορά από το CM του κυλίνδρου και την άλλη από το ανώτατο σημείο του, να γράψετε γράψετε τις εξισώσεις κίν κίνησης ησης για το καθέν καθένα α από τα τρία στερεά. στερεά.  Ποια είναι η σχέση των επιταχύνσεων του κυλίνδρου και του σώματος σε κάθε  κάθε   μία περίπτωση.  περίπτωση.  Δίνεται Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεων του Ι = ½ ΜR2 και g=10 m/s2

Λύση  Στο πρώτο παράδειγμα (σχήμα 1) οι επιταχύνσεις του κυλίνδρου ,του σώματος και η επιτρόχιος της τροχαλίας είναι ίσες. ίσες .

( αcm,σωμ=αcm,κυλ =αε=ανημ )  )   Όταν Όταν το σώμα κατέρχεται κατά x και ο κύλινδρος επίσης μετατοπίζεται οριζόντια κατά απόσταση x.  x.  Εξισώσεις κίνησης.  κίνησης.  Σώμα: ΣF =m1αcm =>m1g-T1 =m1 αcm 

Σχήμα 1  1 

τροχαλία: Στ = Ι αγων=> Τ1΄R1-Τ2΄R1= Ιτρ αcm/R1  Κύλινδρος:   Κύλινδρος: ΣF = M αcm=> Τ2  –Τ –Τ = M αcm 

και

Στ =Ι αγων => Τ R=1/2MR2αγων=> Τ=1/2 Μ αcm 

Λύνοντας τις εξισώσεις παίρνοντας υπόψιν ότι Τ1= Τ1΄και Τ2= Τ2΄ βρίσκουμε την την  αcm. Στο  δεύτερο παράδειγμα (σχήμα 2) Στο οι επιταχύνσεις του σώματος, σώματος , η επιεπιτρόχιος της τροχαλίας και η επιτρόχιος  επιτρόχιος  του κυλίνδρου ,είναι ίσες και διπλάσιες από την επιτάχυνση του CM του κυλίνκυλίνδρου.  .( α cm,σωμ =αε=ανημ =2αcm,κυλ)  δρου. Συνεπώς όταν το σώμα κατέρχεται κατά 2x και ο κύλινδρος μετατοπίζεται οριζόντια κατά απόσταση χ. χ .  Εξισώσεις κίνησης.  κίνησης.  Σχήμα 2  2 

Σώμα: ΣF =m12αcm =>m1g-T1 =m1 2  2α αcm 

τροχαλία: Στ = Ι αγων=> Τ1΄R1-Τ2΄R1= Ιτρ 2α  2αcm/R1  Κύλινδρος:   Κύλινδρος: ΣF = M αcm=> Τ2 +  +Τ Τ = M αcm 

και

Στ =Ι αγων => Τ2 R-T R=1/2MR2αγων=> Τ2-T=1/2 -T=1/2 Μ αcm 

Λύνοντας τις εξισώσεις παίρνοντας υπόψιν ότι Τ1= Τ1΄και Τ2= Τ2΄

 

15

βρίσκουμε την την   αcm.

 

13 . Γιό Γιό--γιό κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο  επίπεδο   Α. Το ελεύθερο άκρο του νήματος δένεται σε σταθερό σημείο και το γιό -γιό κατεβαίνει καθώς ξετυλίγεται το νήμα.   Κάθε σημείο του νήματος έχει ταχύτητα μηδέν.  μηδέν.  

υνημ = υΓ = 0 => υcm=υγρ=ω =ω R  R και

αcm = αε= αγωνR

ΣF= m αcm => mg-F=m αcm  (1) Στ = Ι αγων  => F R=1/2 mR2 αγων =>F =>F= = ½ m αcm (2) mg=

 3 2

m αcm => αcm= acm

αγων=

 R

  => αγων=

2 g 

3 2 g 

3 R

  (3)

 

(2) => F = ½ m αcm = ½ m

2 g  3

=> F=

mg 

3

 

Β***. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκείται προς τα πάνω σταθερή δύναμη F και το γιό-γιό κατεβαίνει καθώς ξετυλίγεται το νήμα. Το σημείο Γ έχει ταχύτητα και επιτάχυνση που δίνονται από τις σχέσεις:  σχέσεις:   υΓ =υcm  –υ –υγρ  με

υγρ = ω R

αΓ = α ε –α  –αcm  με αε= αγων R Προσοχή!!!   υcm    ω R και αcm   αγων R



      cm 

a



a   acm => α Γ =α γω ν  R - α cm =>

αγω ν  R = α Γ  + α cm (4)

ΣF= m αcm => mg-F=m αcm  (5) Στ = Ι αγων  => F R=1/2 mR2 αγων =>F =>F= = ½ m Rα Rαγων γων   (6) (5) +(6) => mg=m αcm +  +½ ½ m Rα Rαγων  +½ ½ Rαγων γων   => g= αcm + γων   =>(4)  Γ cm   Γ +3α g= αcm +½  +½2 g  R( R(α α cm   α   +α ) =>2g= α   +3  =>α => α cm =   (7) (7)   3

i)

ii)

αΓ = 2g

αΓ = g αcm =

2 g  g 3



g  3

 

αcm =

αΓ = 3g

2 g  2 g  3

 0  !!!

το γιογιό κατέρχεται 

το γιογιό αιωρείται 

(6) =>F=½ =>F=½ m (Rα (Rαγων γων   )=>  ½ m (α Γ  + α cm   )=> F=½ F= F=½ m (g (g + g/3   )=>

(6) =>F=½ =>F=½ m (Rα (R αγων γων   )=>  ½ m (α Γ  + α cm   )=> F=½ F= F=½ m (2g +0   )=>

F=

 

iii)

 2 mg    3

F= mg

16

αcm =

2 g  3 g

g 

!! 3 το γιογιό ανέρχετα ανέρχεταιι  (6) =>F=½ =>F=½ m (Rα (R αγων γων   )=>  ½ m (α Γ  + α cm   )=> F=½ F= F=½ m (3g -g/3   )=> F=

3

 4 mg    3



 

 Όλα  Όλ α σε έν ένα α :   Μεταφορική - στροφική κίνηση –ισορροπία.  

14 .

Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος /=2m / =2m και μάζα Μ = 4 Kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άκρο Γ κρέμεται σώμα μάζας m2= 2Kg. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β, Β, που απέχει από το άκρο της  της   Γ απόσταση l1=0,4 m, με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R1  = 0,1 m  και R2  = 0,2 m, όπως φαίνεται στο σχήμα.  σχήμα.  Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι 2 I=0,01 Kg· Kg·m . Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R1 είναι τυλιγμένο αβαρές  αβαρές κα κα  μη εκτατό  εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m1 = 1 Kg. Αφήνο Kg. Αφήνουμε υμε ελε ελεύθερο ύθερο ττο ο σύστ σύστημα ημα κα καιι όταν το σώμα m1 κατέρχεται κατά h = 0.9 m έχει ταχύτητα υ= 3 m/s. i) Να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση  επιτάχυνση  του του  στερεού στερεού.. ii) ii) Αν η ράβδος ισορροπεί, να βρείτε το συντελεστή τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού.  στερεού.  iii) Να βρείτε τη δύναμη που ασκείται στη ράβδο στo στo σημείο Α από την άρθρωση. άρθρωση.   iv) Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους l = 0,9 m. Δίνεται m. Δίνεται η επιτάχυνσ επιτάχυνση η της βαρύ βαρύτητας τητας g=10 m/s . Λύση  Σχεδιάζω τις δυνάμεις στα σώματα, στη ράβδο και στο στερεό όπως στο σχήμα. i)   Για το σώμα μάζας m 1   έχω; έχω;   υ cm   = α cm  t (1) και h=

υ  =  =2 2 α cm h => α cm  = 2

 

 1

  α cm  t 2  (2)=>

2

2  cm

2h

= 5 m/s.

Η επιτάχυνση του m 1   ισούται με την επιταχυνση του νήματος και είναι ίση με την επιτρόχια επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του εσωτερικού κυλίνδρου.  κυλίνδρου.   α cm,1 = α γω ν  R 1   => α γω ν  =

acm,1  R1

=50 rad/s 2  

ii )   σώμα m 1 : σώμα m 2 :

Σ F = m 1   α cm,1 =>   m 1  g  –  –T T 1 = m 1   α cm,1 => T1 = m 1  ( gg-α α cm,1 )=> T1 = 15 N Σ F = 0   => =>T T2 = m 2  g =>T 2 =20 N T1' R1  I    Στερεό: Στ = Ι α γω ν  = > Τ 1 ΄ R- Τ  R = Ι α γω ν  => T=  =5N  R2 Η ράβδος ισορροπεί : Στ(Α) =0 => Τ 2 ΄ l +Μ g l/2 =Ν =Ν((  l  l-l -l 1  ) => Ν= 50Ν  50Ν   T = μ   N => μ=

  

  => μ= 0,1

iii) Για τη ράβδο:  iii)Για ράβδο:   Σ Fx=0 => Fx = T= 5N Σ Fy=0 => Fy = Mg+T2 ’ -N= 10 N  F



F x2  F y2



5 5  N

καιι   κα

εφ φ =

 F  y  F  x



10 5



2 

iv) Το έργο στη στροφική κίνηση είναι: είναι : W = Στ θ => ΔW Δ W = Στ Δθ =>  =>   W  W  W  W       = Ι α γω ν 2   t (2)   = Ι α γω ν   ω=>   = Στ ω =>  = > t  t  t  t t    (1) => t = cm  => t= 0,6 s (2) =>  

W  t 

   = 0,01 50 2  0,6 = 15 J/s 17

 

15 . Καρούλι = ένας κύλινδρος –Δύο δίσκοι  Στο σχήμα φαίνεται ένα σύστημ σύστημα α σωμάτων που αποτελείται από δύο ομογενείς δίσκους ίσης ακτίνας R= 0,2 m και μάζας m = 1Kg και έναν ομογενή κύλινδρο ακτίνας R= 0,1 m και μάζας M = 2Kg , οι οποίοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους,  τους,  έτσι ώστε να δημιουργούν δημιουργού ν ένα καρούλι καρούλι.. Το καρούλι κινείται σε οριζόντιο δάπεδο  δάπεδο χωρίς να ολιολισθαίνει Τη χρονική στιγμή t =0 ασκούμε οριζόντια δύναμη F= 14 N όπως στο σχήμα  .  Να υπολογίσετε  υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του καρουλιού καρουλιού  και το μέτρο της στατικής τριβής σε κάθε δακτύλιο. δακτύλιο.  Λύση 

Ιολ= ΙΚ +2Ι Δ  Δ=> Ιολ=

1 2

ΜR2 +2

1 2

mR2=0,05 Κg m2 

ΣF= mολ αcm=> F+2T = mολ αcm

(1)

Στ= Στ = Ιολ αγων -2Τ ΤR Δ =Ι ολ  αγων => γων   =>F RΚ-2    R (2) -2Τ Τ =Ι ολ   cm2   F   -2  R

 R

(1)+ (2) => F+ F

αγων=

 cm  R

(1) =>

 R   R

  = αcm ( mολ+

  2

 R

 F (1 

 ) => αcm  =

 R   R

m  

)    14(1 

 



4

 R2

0,1

0, 2 0,05

) 

4 m/s2 

0, 22

= 20 rad/s2 

2 T

= F- mολ αcm => Tσ = 1Ν 

Κύλιση χωρίς ολίσθηση και Απλή Αρμονική Ταλάντωση  

16 .  Ο

κύλινδρος τον σχήματος, μάζας m και ακτίνας R, μπορεί να κυλίεται  κυλίεται  χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Απομακρύνουμε τον κύλινδρο από τη θέση ισορροπίας στη διεύθυνση τον ελατηρίου και στη συνέχεια τον αφήνουμε ελεύθερο. Αν στη θέση ισορροπίας του   κυλίνδρου   το ιδανικό ελατήριο, σταθεράς K, έχει το φυσικό του  κυλίνδρου του  μήκος, να αποδείξετε ότι ο άξονας του κυλίνδρου θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο της.  Δίνεται για τον κύλινδρο: κύλινδρο : Ι =·1/2 =·1/2 mR2. Λύση  Για να αποδείξουμε ότι ο άξονας του κυλίνδρου κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να αποδείξουμε ότι σε  μια τυχαία θέση ισχύει: ΣF= σε ΣF= -D x Σε μια τυχαία θέση είναι: είναι : ΣF= T-Fελ(1).  μεταφορική κίνηση: κίνηση: ΣF= m αcm=> Fελ -T = m αcm(2)  στροφική του κίνηση:  κίνηση:  Στ Στ= = Ι αγων γων   => 1 1 1 ΤR = mR2 αγων => Τ = mR αγων=> Τ = m αcm (3)  2 2 2 3 2 F  (2)+ (3) => Fελ  = m αcm => αcm =     2 3m 2 F  1  F  (3) => T=  mR   => T=     (4)  2 3m 3 (1) και (4) => ΣF=

 

 F  

3

-Fελ=-

2 F   3

=



2 3

K x= -D x

18

όπου

D=

2 3

K και Τ= 2π

  3m 2 K