Дискретна 1 - ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ

Материјали за испитот по Дискретна Математика 1 Дополнителни часови по Дискретна Математика 1 070 255-791/[email protected]

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Исказно сметање Деф. ИСКАЗ (се означува со p, q, r, …) е декларативна реченица (т.е. изјава) со одредено конкретно значење, која има вистинитосна вредност која е точно (Т) или неточно (F) но не и двете или нешто “помеѓу“.  Оператор или сврзник комбинира еден или повеќе изрази во поголем израз. –Унарните оператори дејствуваат на еден израз; –Бинарни оператори дејствуваат на два изрази. –n-арните оператори дејствуваат на n изрази



Унарниот оператор негација “¬” (НЕ) го трансформира одреден исказ во неговата логичка негација.



Бинарниот оператор конјункција “∧” (И) комбинира два искази за формирање на нивна логичка конјункција. p Т Т ⊥ ⊥





q Т ⊥ Т ⊥

p Т ⊥



¬p ⊥ Т

Бинарниот оператор дисјункција “∨” (ИЛИ) комбинира два искази во нивна логичка дисјункција.

p∧ q Т ⊥ ⊥ ⊥

Бинарниот исклучително или оператор “⊕” (XOR) комбинира два искази да формираат нивна логичко “исклучително или“.

p Т

q Т

p∨ q Т

Т

⊥

Т

⊥

Т

Т

⊥

⊥

⊥

p Т

q Т

p⊕ q ⊥

Т

⊥

Т

⊥

Т

Т

⊥

⊥

⊥

Импликацијата p → q значи дека p го повлекува q. Значи ако p е точно, тогаш q е точно; но ако p е неточно тогаш q може да биде или точно или неточно. p Т

q Т

p→ q Т

Т

⊥

⊥

⊥

Т

Т

⊥

⊥

Т

 За импликацијата p→ q o Обратна q→ p o Контрапозиција ¬q→ ¬ p o Инверзна ¬p → ¬q

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 1

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС



Еквиваленција p q значи дека p е точно ако и само ако (акко) q е точно.

p

q

p

Т Т

Т

Т

⊥ ⊥

q

⊥ ⊥ Т ⊥ ⊥ Т

Исказни еквиваленции Замена на едно тврдење со друго кое има иста вистинитосна вредност Деф.

1. Секоја исказна буква и секоја логичка константа е исказна формула. 2. Ако α и β се исказни формули, тогаш и (¬α), (α ∧ β), (α ∨ β), (α  → β) и (α β) се исто така исказни формули. 3. Исказни формули се оние и само оние изрази добиени со конечна примена на 1 и 2.

Исказните формули ги означуваме со p, q, r, s…. Секоја исказна формула определува функција на вистинитост која може да се претстави со соодветна таблица на вистинитост. Деф. За една исказна формула велиме дека е остварлива ако постојат вистинитосни вредности на променливите за кои исказната формула е точна. Деф. Тавтологија е исказна формула која е точна за било која вистинитосна вредност на исказните променливи кои ја сочинуваат односно формула која секогаш е точна. Деф. Контрадикција е исказна формула која е неточна за било која вистинитосна вредност на исказните променливи кои ја сочинуваат односно формула која секогаш е неточна. Останатите исказни формули велиме дека се непредвидливи или контингенции.

Својства на тавтологиите:  



(Модус поненс). Ако α и (α  → β) се тавтологии тогаш и β е тавтологија. (Правило за замена). Ако α е тавтологија во која се појавуваат исказните променливи p1 , p2 ,..., pn , и β е исказна формула добиена кога секоја исказна променлива pi во α се замени со исказна формула αi, за i=1, 2, ...,n, тогаш и β е тавтологија. Ако β 1 се добива од α1 кога едно или повеќе појавувања на исказната формула α во α 1 се замени со исказната формула β, тогаш ((α β)→ (α1 β 1)) е тавтологија.

Два синтактички (т.е. текстуално) различни изрази можат да бидат семантички идентични (т.е. имаат исто значење). Во тој случај велиме дека се логички еквивалентни. Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 2

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

За две исказни формули кои имаат исти вистинитосни вредности за било кои вредности на променливите велиме дека се логички еквивалентни. Ги користиме следните ознаки α ≡β или α ⇔ β. Деф. Логичките формули α и β велиме дека се логички еквиваленти ако и само ако α тавтологија. Во тој случај запишуваме α ⇔ β или α ≡β.  Закони за идентитет •p ∧ Т ≡ p

 Закони за идемпотентност •p ∧p≡ p

•p ∨⊥≡ p  Закони за доминација •p ∨ Т ≡ Т

•p∨ p≡ p  Закон за двојна негација •¬(¬p) ≡ p

βе

•p ∧ ⊥ ≡  Де Морганови закони •¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q •¬ (p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q  Закони за апсорпција •p ∨ (p ∧ q) ≡ p •p ∧ (p ∨ q) ≡ p  Закони за негација •p ∨ ¬p ≡ T •p ∧ ¬p ≡⊥

 Комутативни закони •(p ∧ q) ≡ (q ∧ p) •(p ∨ q) ≡ (q ∨ p)  oАсоцијативни закони •(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) •(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)  Дистрибутивни закони •p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) •p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Обопштени Де Морганови Закони  

¬ (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) ≡ ¬p1 ∨ ¬ p2 ∨ … ∨ ¬ pn ¬ (p1 ∨ p2 ∨ … ∨ pn) ≡ ¬p1 ∧ ¬ p2 ∧ … ∧ ¬ pn

Логички еквиваленции кои вклучуваат условни тврдења     

p → q ≡ ¬p ∨ q (Закон за замена на импликација) p → q ≡ ¬q → ¬p (контрапозиција) p ∨ q ≡ ¬p → q p ∧ q ≡ ¬ (p → ¬q) ¬ (p → q) ≡ p ∧ ¬q

   

(p → (p → (p → (p →

q) ∧ (p → r ) ≡ p → (q ∧ r) r) ∧ (q → r ) ≡ (p ∨ q) → r q) ∨ (p → r ) ≡ p → (q ∨ r) r) ∨ (q → r ) ≡ (p ∧ q) → r

Логички еквиваленции кои вклучуваат двојноусловни тврдења    

p q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p q ≡ ¬p ¬q p q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ¬ (p q)≡p ¬q ≡ p ⊕ q

(закон за замена на еквиваленција)

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 3

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Проверката на еквиваленции може да се прави: - Со табели - Со користење на логичките закони  Нека α е исказна формула во која се сретнуваат само логичките оператори ∧, ∨, и ¬. Исказната формула добиена од α со замена на секое ∧ со ∨, секое ∨ со ∧, секое T со ⊥ и секое ⊥ со Т се нарекува дуална на формулата α и се означува со α *. Логичките закони кои претходно ги разгледавме, освен законот за двојна негација се во парови во кои едната еквивалентност е дуална на другата.  Нека е дадена таблица на вистинитост со n исказни променливи. Тогаш може да се дефинира исказна формула која ќе ја има дадената вистинитосна таблица со земање на дисјункција од конјункции од променливите или нивните негации со една конјункција за секоја комбинација на вредности на променливите за која формулата е точна. Добиената исказна формула велиме дека е во дисјунктивна нормална форма, (ДНФ). Едно множество (колекција) од логички сврзници се нарекува функционално комплетно или генераторно ако за секоја исказна формула постои еквивалентентна исказна формула која ги содржи само овие сврзници. O ¬, ∧, ∨ е генераторно множество сврзници o

Шеферов оператор: | се чита “ни“ (на англиски “NAND“ ) p | q е точно кога или p или q или и двете се неточни, а неточно кога и двете се точни.

o Пирсов оператор: ↓ се чита “нили“ (на англиски “NOR“ ) p ↓ q е точно кога и двете p и q се неточни, а неточно во сите други случаи .

p T

q T

p|q ⊥

p T

q ⊥

p↓q ⊥

T

⊥

T

T

T

⊥

⊥

T

T

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

T

⊥

T

T

Ни и нили се генераторни сврзници. ¬p≡ (p|p) и p∧q≡ ((p|q)|(p|q)).

Контакт: 070 255-791/[email protected]

¬p≡ (p↓p) и (p∨q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q)).

Page 4

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Предикати и квантификатори Тврдење во кое се вклучени една или повеќе променливи и кое станува исказ со секоја замена на конкретни вредности на променливите се нарекува исказна функција. Исказна функција со n променливи x1, x2, …, xn ја бележиме со Р(x1, x2, …, xn ) се нарекува исказна фукција Р над n-торката (x1, x2, …, xn ). Уште се нарекува n-арен предикат . Променливата во исказната функција може да зема вредности од дадено множество . Тоа може да е специфицирано, но може и да се подразбира од контекстот. Обично се нарекува универзум за кој се говори или домен на променливата. Решение на исказата функција се сите вредности од доменот за кои важи дека кога тие ќе се заменат на местото на променливата, исказната функција ќе стане точно тврдење.

Тврдењата кои опишуваат валиден влез се нарекуваат предуслови. Условите кои излезот би требало да ги задоволува при работата на една програма се нарекуваат постуслови. Исказна функција може да стане исказ и со квантифицирање. Со зборовите: за секој, некој, постои, никој, многу, малку и сл. Квантификаторите обезбедуваат начин кој овозможува да квантификцираме (изброиме) колку објекти од универзумот за кој говориме го задоволуваат даденото својство. Два типа на квантификатори o Универзален o Егзистенциjален  Универзалната квантификација на некоја исказна функција P(x) е тврдењето дека P(x) важи за сите x во дадениот домен. - Се бележи со ∀x P(x) . - Еден елемент за кој P(x) не е точно се нарекува контрапример за ∀x P(x) .  Егзистенциjалната квантификација на некоја исказна функција P(x) е тврдењето дека P(x) важи за барем еден x од дадениот домен. - Се бележи со ∃ x P(x)

Често се случува некое тврдење да покажува егзистенција на точно еден елемент од доменот за кој важи предикатот Р(х) - ∃!х Р(х) односно (∃1х Р(х)) Квантификаторите имаат најголем приоритет во однос на останатите логички оператори -

∀х P(x) ∧Q(x) значи (∀х P(x)) ∧Q(x)

Ако за некоја променлива се користи квантификатор, ќе речеме дека таа променлива е ограничена. Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 5

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Ако за променлива во исказна функција не се користи квантификатор, таа променлива е слободна. Тврдења во кои се вклучени квантификатори се логички еквивалентни акко имаат иста вистинитосна вредност без разлика кои предикати се ставени во тврдењето и без разлика кој е доменот на исказните функции

Де Морганови закони за квантификатори: Негација

Еквивалентен исказ

¬ (∃x P(x))

∀x¬P(x)

¬(∀xP(x))

∃x¬P(x)

Кога е негацијата точна За секое x, P(x) е неточно

Кога е негацијата неточна Постои x за кое P(x) е точно

Постои x за кое P(x) е неточно

P(x) е точно за секое x

o

Кога доменот има n елементи, x1, x2, …, xn, тогаш ∀xP(x) е P(x1) ∧ P(x2) ∧ … ∧ P(xn), па неговате негација е: ¬P(x1) ∨ ¬P(x2) ∨ … ∨ ¬ P(xn)

o

Кога доменот има n елементи, x1, x2, …, xn, тогаш ∃x P(x) е P(x1) ∨ P(x2) ∨ … ∨ P(xn), па неговате негација е: ¬P(x1) ∧ ¬P(x2) ∧ … ∧ ¬P(xn)

o

Негација на импликација ¬∀x(P(x) → Q(x))≡ ∃x(¬ (¬P(x) ∨ Q(x))) ≡ ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))

Два квантификатори се вгнездени ако еден е во состав на другиот xyPx,yy x P(x,y)  xyP(x,y)y x P(x,y)  yx P(x,y) ⇒ x yP(x,y)

Изведување на логички заклучоци •Теорема –Тврдење кое е докажано дека е точно. •Аксиоми, постулати, хипотези, претпоставки –Претпоставки (честопати недокажани) кои ги дефинираат структурите за кои размислуваме. Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 6

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

•Правила на изведување заклучоци –Облици на логички точна дедукција од хипотези до заклучоци. •Лема – Помала теорема која се користи како помошна скала во докажување на голема (важна) теорема. •Последица – Мала теорема која лесно се докажува дека следи од голема теорема. •Верување (претпоставка) - Тврдење чија вистинитост сеуште не е докажана. (Но и покрај тоа може нашироко да се верува дека е точно.) •Теорија – Множество на сите теореми кои можат да се докажат од дадено множество аксиоми.

Деф. Аргумент во исказната логика е низа од искази. Сите, освен последниот исказ се нарекуваат претпоставки. -

Финалниот исказ се нарекува заклучок или последица. Еден аргумент е валиден (важечки) ако од вистинитоста на претпоставките следува дека заклучокот е точен. Аргументен облик во исказната логика е низа од формули во кои се сретнуваат исказни променливи.

Деф.Еден аргументен облик е точен ако, кога се заменат исказните променливи во претпоставките со конкретни искази, последицата е точна ако сите претпоставки се точни. -

Од дефиницијата на точен аргументен облик, добиваме дека аргументен облик pI, p2, . · · , pn ⇒q , со претпоставки pI, p2, . · · , pn и заклучок q е точен, кога (pI ∧ p2∧ · · ∧ pn) → q е тавтологија. •Правило на изведување заклучоци Облик или начин на покажување дека, ако знаеме дека дадено множество од претходни тврдења од определен облик се сите точни, тогаш одредено последователно тврдење е точно. претходно тврдење 1 претходно тврдење 2 … :. последица

o

“:.” значи “според тоа”

Секое логичко правило на изведување на заклучоци соответствува на импликација која е тавтологија. ((претх. 1) ∧ (претх. 2) ∧ …) → последица

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 7

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

 Правило на Модус Поненс

 Правило на Модус Толенс

(Закон за одвојување)

¬q p→q :.¬p

p p→q :.q  Правило на собирање p

 Правило на упростување p∧q :. p

:. p∨q  Правило на конјункција p q :. p∧q

 Правило за резолуција p∨q ¬p∨r :. q∨r

 Хипотетички силогизам p→q q→r

 Дисјунктивен силогизам p∨q ¬p

:.p→r

:. q

Формален доказ на заклучок C, при дадени претпоставки p1, p2,…,pn се состои од низа од чекори, од кои секој применува некое правило на изведување на залучоци на претпоставките или на претходно докажаните тврдења за да се добие ново точно тврдење (последицата). • Доказот покажува дека ако претпоставките се точни, тогаш последицата е точна.

∀x P(x) :.P(o)

P(g)

Универзално конкретизирање

:.∀x P(x)

(замена на конкретн објект o)

∃x P(x) Егзистенцијално конкретизирање :.P(c) (замена со некоја константа c)

P(o) :.∃x P(x)

Универзално обопштување (за g општ елемент од доменот)

Егзистенцијално обопштување (замена на конкретниот објект o)

*Универзален Модус поненс

*Универзален Модус толенс

∀x(P(x) →Q(x)) P(a), каде а е одреден елемент од доменот :. Q(a)

∀x(P(x) →Q(x)) ¬Q(a), каде а е одреден елемент од доменот :. ¬P(a)

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 8

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Методи на докажување Деф. Доказ претставува валиден аргумент (точна постапка) кој ја одредува вистинитоста на одредено тврдење. Може да биде формален, и неформален. Теорема- Тврдење кое може да се покаже дека е точно. Типична теорема е од облик p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn → q Претпоставки (аксиоми)

Заклучок

 За докажување на импликациите p→q имаме: •Директни докази: Претпоставуваме дека p е точно, и докажуваме q. •Индиректни докази : Претпоставуваме дека ¬q е точно и докажуваме дека ¬p е точно. •Празни докази : Докажуваме дека ¬p е точно. •Тривијални докази : Докажуваме дека q е точно. •Докази по случаи: Покажуваме дека p1∨p2∨…∨pn→q со покажување дека (p1 →q) ∧ (p2 →q) ∧…∧ (pn→q)

o

Честопати заклучокот во даден аргумент е во облик на условно тврдење. Тогаш условот од заклучокот може да се додаде како претпоставка во теоремата. o Значи ако теоремата е од облик P⇒ (u→z) Можеме да докажеме P∧u⇒z Ова следи од фактот што P→ (u→z) ≡ (P∧u) →z

o

Докази со контрадикција – 1 Да разгледаме теорема од облик P⇒C, каде P ги претставува претпоставките p1∧p2∧….∧pn. Методот со контрадикција се базира на еквиваленцијата P→C ≡ ¬ (P∧¬C). Докази со контрадикција -2 Да претпоставиме дека сакаме да докажеме дека едно тврдење p е точно. Ако покажеме дека ¬p→f е точно и f е контрадикција (f≡ ⊥) тогаш мора ¬p да е неточно, односно можеме да заклучиме дека p е точно. Докази на еквивалентности Доказот дека p q е со доказ на p→ q и q→ p Егзистенцијални докази Доказ на тврдење од облик ∃x P(x) се нарекува егзистенцијален доказ.

o

o o

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 9

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Ако доказот покажува како се наоѓа или конструира специјален елемент a така што P(a) е точно, тогаш тоа е конструктивен доказ. Инаку тој е неконструктивен. o

Докази за единственост Постоење: Покажи дека постои елемент x со бараното својство.

o

Единственост: Покажи дека ако y ≠ x, тогаш y го нема бараното својство, или ако x, y го имаат бараното својство, тогаш y = x. Контрапримери За дадено тврдење кое подразбира универзален квантификатор да се најде пример кога не е точно.

Множества Деф.Множество е нов тип на структура, кој претставува неподредена колекција (група) од ниеден или повеќе различни објекти. Објектите во едно множество се наречени елементи, или членови на множеството. Велиме дека множеството ги содржи своите елементи. -

За означување на множествата ќе користиме променливи со големи латински букви (A, B, C, ..S, T, U, …) За означување на ементите мали ракописни латински букви (a, x, y…) Можеме да го означиме едно множество со запишување на сите негови елементи во големи загради: А={a, b, c} е множество од некои 3 објекти означени со a, b, c.

Ознака на градење на множества: Ги карактеризираме сите елементи во множеството со кажување на својството кое мора да го имаат за да бидат членови на множеството. За секое тврдење P(x) над универзумот на кој се однесува , { x | P(x) } е множеството на сите x за кои важи P(x).  Ознаки за поважни множества o N={0, 1, 2, 3, …}- Множество на природни броеви, o Z={…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …}- множеството на цели броеви, o Z+={1, 2, 3, …} – множеството на позитивни цели броеви, o Q={x| x=p/q и p, q∈ Z со q≠0} – множеството на рационални броеви, o Q+={x| x=p/q и p, q∈ Z+ } – множеството на позитивни рационални броеви, o R , множеството на реални броеви. - Ако еден елемент a е член во множество S (или е елемент од S) jа користиме ознаката a ∈ S. - Ако a не е елемент од S , ја користиме ознаката a ∉ S. Редоследот на запишување на елементите не е битен ( множествата се неподредени колекции) . Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 10

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Сите елементи се различни (нееднакви) повеќекратното запишување не прави разлика.  U е универзално множество, множество на сите елементи (или “универзум“) од кое се земаат елементите за било кое множество . Венови дијаграми Графичко претставување на множествата -Правоаголникот го претставува универзумот -Круговите ги претставуваат множествата

 Единственото множеството кое не содржи ниеден елемент се нарекува празно множество или “null” множество и се означува со ∅. = {} = { x | ⊥ } Без оглед на доменот за кој се говори ја имаме аксиомата x: x∈ Празното множество може да биде елемент на друго множество , { , 1, 2, 3, x } е множество.  За две множества велиме дека се еднакви ако и само ако тие содржат исти елементи. Поточно не е важно како се дефинирани или означени. ∀ A,B, A=B ⇔ ∀x (x∈A ↔ x∈B)  За множество A велиме дека е подмножество од множество B ако и само ако секој елемент од A е исто така елемент и во B. Запишуваме A⊆B. А⊆B ⇔ ∀x (x∈А → x∈B) За секое множество S (i) S ⊆ S (∀S, S ⊆ S) и (ii)  ⊆ S (∀S,  ⊆ S) Според досега кажаното забележуваме дека o o

A=B ↔ (A⊆B) ∧(B⊆A) ∀x(x∈A↔ x∈B) ⇔ (∀x (x∈A→ x∈B)) ∧(∀x (x∈B→ x∈A)).

Притоа негацијата 

¬ (А⊆B), значи дека ∃x (x∈А ∧ x∉B)

 Кога сакаме да нагласиме дека множество A е подмножество од множество B но притоа A≠B, пишуваме A⊂B и велиме дека A е вистинско подмножество од B. A⊂B ↔ ∀x (x∈A → x∈B) ∧ ∃x (x∈B ∧ x∉A);

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 11

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

 Објектите кои се елементи на некое множество можат и самите да бидат множества. Внимание: 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}}

Нека S е множество. Ако S има точно n различни елементи каде n е ненегативен цел број велиме дека S е конечно множество и n е кардиналноста на S. Кардиналноста на S се означува со |S|. Ако множеството не е конечно велиме дека е бесконечно.  Според тоа |S| мери колку различни елементи има во S.

Партитивно множество P(S) на множество S (или булеан на S) е множеството од сите подмножества на S. P(S) = {x | x⊆S}. Пример: Нека S = {0, 1}. P(S)={, {0}, {1}, {0,1}}  Понекогаш P(S) се запишува со 2S. Ако S е конечно, |P(S)| = 2|S| 

Подредени n-торки Слично како множества но овде се важни дупликатите и подредувањето прави разлика. За n∈N, подредена n-торка или низа со должина n се запишува со (a1, a2, …, an). Првиот елемент е a1, и така натаму.



За дадени множества A, B, нивниот Декартов производ е множеството A×B : ≡ {(a, b) | a∈A ∧ b∈B }. Притоа ако A и B се конечни, |A×B|=|A||B|. Декартовиот производ не е комутативен : A,B: A×B=B×A. Може да се прошири до A1 × A2 × … × An... A1 × A2 × … × An ={(x1,x2,…,xn)|xi∈Ai, i∈{1,…n}}

 Унија на две множества A и B, A∪B, е множество кое ги содржи елементите кои се во A, или (“∨”) во B (или , и во двете множества). A,B: A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B} При унија на две множества секое од од множествата е подмножество од унијата, односно  A, B: (A ⊆A∪B ) ∧ (B ⊆ A∪B ) и  A, B: (A ⊆B→A∪B=B )

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 12

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС



Својства на унија на множества o AU=A Закон за идентитет o AUU=U Закон за доминација o AUA=A Закон за идемпотентност o AUB=BUA Закон за комутативност o A U (B U C) = (A U B) U C Закон за асоцијативност

 Пресек на две множества A и B, A∩B е множеството кое ги содржи елементите кои се истовремено во A и (“ ∧”) во B. A,B: A∩B={x | x∈A ∧ x∈B}.

Пресекот на две множества е подмножество од секое од множествата, односно:  A, B: (A∩B ⊆ A) ∧ (A∩B ⊆ B) и A, B: (A ⊆ B →A∩B = A) )



Својства на операцијата пресек на множества o A∩U=A Закон за идентитет o A ∩  =   Закон за доминација o A∩A=A Закон за идемпотентност o A∩B=B∩A Закон за комутативност o A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Закон за асоцијативност



Својства на унија и пресек За било кои три множества A, B и C, аналогно како кај исказите, важат дистрибутивните закони o o

А U (B∩C) = (A U B) ∩ (A U C) А∩ (B U C) = (A∩B) U (A∩C)

За две множества A и B велиме дека се дисјунктни акко нивниот пресек е празен, односно немаат ништо заедничко. (A∩B=) Пример: множеството на парни и множеството на непарни цели броеви се дисјунктни множества. o Принцип на влучување и исклучување Нека A и B се конечни множества. Бројот на елементите во A∪B: |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 13

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Имено, во збирот |A|+|B| два пати се броени заедничките елементи, односно елементоите од пресекот.  Разлика на две множества A и B, A-B, (или A\B) е множеството на сите елементи кои се во A но не се во B. Односно: A-B ={x | x∈A ∧ x∉B} ={x | (x∈A → x∈B) }



Својства на разлика  (A,B A-B = B-A)

(не важи комутативен закон)

 Комплемент на множество Нека U е универзалното множество во однос на даден контекст. За секое множество A⊆U, комплемент на A во однос на U, го нарекуваме множеството U-A, запишуваме со ̅ , или со AC или А’. 



Својства на комплемент на множество o (Ac)c = A Закон за двоен комплемент o A ∪ Ac = U Закон за комплемент o A ∩ Ac = ∅ Закон за комплемент

ДеМорганови закони за множества ∪ = ̅∩ ∩ = ̅∪



Врска меѓу разлика и комплемент A-B = A ∩ BC

 Симетрична разлика на две множества A и B, се означува со A⊕B, и се дефинира со A⊕B={x | x е во A или во B, но не и во двете} ={x|x∈A∪B∧x∉A∩B} = (A∪B)-(A∩B) = (A-B) ∪(B-A) 

За симетрична разлика важи комутативниот закон A⊕B= B ⊕ A

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 14

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

A∪ ∅ = ∩ = ∪ ∩ ∪ ∩

= = = =

∪ = ∩∅ = ∅

Закони за идентитети Закони за Идемпотентност ∪ ∩

∪( ∪ ) = ( ∪ )∪

Закони за комутативност Закони за асоцијативност

∩( ∩ ) = ( ∩ )∩ ∪( ∩ )= ∩( ∪ )=

Закони за доминација

(Ac)c=A

Двоен комплемент

( ∪ )c=Ac∩Bc ( ∩ )c=Ac∪Bc

Де Морганови закони

∩( ∪ ) = ( ∩ )∪( ∩ )

Дистрибутивни закони

∪( ∩ ) = ( ∪ )∩( ∪ ) Закони за абсорпција

A∪Ac=U A∩Ac=∅

Закони за комплемент

 Докажување на идентитети За да се докажат тврдења за множества од облик L = D, каде L е изразот од левата страна, а D е изразот од десната страна како корисни се покажуваат следните техники : 1. Да се користат основните и веќе докажаните идентитети 2. Да се докаже L ⊆ D и D ⊆ L пооделно. 3. Да се користи ознаката за градење на множества и логички еквивалентности. 4. Да се користат табели на припадност.  Обопштени унии и пресеци Бидејќи унија и пресек се комутативни и асоцијативни операции, можеме да ги прошириме од дејствување на подредени парови од множества на подредени низи од множества, (A1,…,An), дури и неподредени множества од множества, X={А | P(А)} каде P(A) e некоја исказна функција. 

n- арен пресек: A1∩ А ∩…∩Аn≡ ((…((A1∩A2) ∩…)∩An) (групирањето и редоследот не се битни)

Претставување на множества со низи од битови За преброиво универзално множество U со подредување x1, x2, …, секое конечно подмножество S⊆ U може да се претсави со низа од битови B=b1b2…bn каде ∀ i: xi∈S (i