Vjerovatnoca u Statistici

Linija 4 Menadžment

SEMINARSKI RAD Pojam verovatnoće i osnovne osobine

Vjerovatnoća u statistici Kvantitativni modeli u finansijama Ekonomski fakultet u Sarajevu

Student: Profesor:

Čekić Mehmed 69371& Jažić Amna 70051 1

Ekonomski fakultet u Sarajevu 4/9/2012

April, 2012. SADRŽAJ

1 O vjerovatnoći ...........................................................................3 2 O statistici...................................................................................3 3 Elementi vjerovatnoće u menadžmentu.........................................5 3.1 Matematičko očekivanje, Disperzija, F-ja vjerovatnoće, Zakon raspodjele, F-ja raspodjele:....................................................................5 3.2 USLOVNA VJEROVATNOĆA, NEZAVISNOST, TOTALNA VJEROVATNOĆA, BAJESOVA FORMULA..............................................................................7 3.3 BINOMNE VJEROVATNOĆE, BERNULIJEVA FORMULA, LOKALNA I INTEGRALNA MOAVR-LAPLASOVA TEOREMA............................................9 3.4 Neke raspodjele slučajne promjenjive (apsolutno) neprekidnog tipa: uniformna,eksponencijalna i normalna..................................................12 3.5 Momenti. Kovarijansa i korelacija....................................................17 3.6 Čebišeljeva nejednakost. Granične teoreme:(slabi) zakoni velikih brojeva I centralne granične teoreme....................................................20

4 ZAKLJUČAK................................................................................21 5 LITERATURA...............................................................................22

1 O vjerovatnoći Još od XVII stoljeća, kad su postavljene njene osnove, pa do današnjih dana, teorija vjerovatnoće je predmet interesovanja naučnih radnika različitih profila. Razlog njene aktuelnosti i u savremenom društvu je u tome što je ona od značajne pomoći u prilazu i u potpunijem sagledavanju različitih problema u nauci. Iako je važnost vjerovatnoće sve manje sporna, neprekidno se vode diskusije oko njenih teorijskih osnova. U tim diskusijama angažovani su: filozofi, matematičari, statističari i drugi. Teorija vjerovatnoće je posebno značajna u statističkoj inferenciji, koja počiva na njenim osnovama. Moze se reći da su dva glavna razloga doprinijela pojavi interesovanja za vjerovatnoću i razvitku njenih matematičkih osnova. PRVI je proizašao iz matematičkih problema u igrama na sreću. Švicarki matematičar Bernuli u XVIII stoljeću je postavio teorijske osnove vjerovatnoće, kao jedne matematičke discipline. Nešto kasnije taj razvoj je išao dalje u radovima Laplasa, sa njegovim strogo determinističkim pogledom na svijet. Po njemu, vjerovatnoća je sastavni dio nauke o prirodi, kao teorija grešaka, u čijoj osnovi je sistemsko proučavanje sredine i njenog varijabiliteta u ponovljenim mjerenjima. U razvitku teorije vrijedan je Gausov doprinos, sa radovima u oblasti normalnog zakona grešaka. DRUGI razlog interesovanja za vjerovatnoću proizašao je iz osiguranja protiv rizika, koje se praktikovalo u trgovini u italijanskim gradovima u periodu renesanse. Bez obzira na diskusije o računu vjerovatnoće i njegovoj interpretaciji, njegova formalna osnova nije diskutabilna. Ipak, kad se primjenjuje račun vjerovatnoće u statističkim istraživanjima, interpretacija modela ne smije da se posmatra kao nešto odvojeno. Subjektivni prilaz računu vjerovatnoće i, na njegovoj osnovi, Bayesova statistika, kako se često naziva, je savremeni trend.

2 O statistici Kad se govori o statistici, obično, imaju se u vidu numerički podaci iz raznih oblasti ljudskih aktivnosti. Oni se odnose na ponovljene pojave, čije se karakteristike utvrđuju po nekom kriteriju.Podaci se najčešće izražavaju putem tabela i grafikona, na primjer: statistika stanovništva, statistika industrijske proizvodnje itd. Pod statistikom se podrazumjeva i posao oko prikupljanja, sređivanja i objavljivanja statističkih podataka. Ona, također, obuhvata i skup metoda koji doprinose da se dođe do vjerodostojnih zaključaka i odluka, a kako se ti metodi u velikom broju slučajeva oslanjaju na statističku teoriju, to je statistika istovremeno metod i naučna disciplina. Statistika je relativno nova disciplina ako se uporedi, na primjer, sa astronomijom ili geometrijom, koje su se proučavale jos davno u prethrišćanskoj eri. Istina, još kod Grka, Rimljana, Persijanaca i drugih naroda toga doba vršena su prebrojavanja stanovništva i popisi, prvenstveno u

vojne i finansijske svrhe. Savremena statistika, može se reći, počinje od XVII stoljeća. U to doba Englez J. Graunt objavio je rad u kome je, na osnovu podataka o smrtnosti u Londonu, nastojao da pruži odgovor o broju njegovih stanovnika. Smatra se da je to prvi značajniji rad u kome se analiziraju društveni podaci. Nekoliko godina ranije holandski fizičar i matematičar J. Hugugens objavio je rad o igrama na sreću, što je bio značajan događjaj u razvitku teorije vjerovatnoće. A.W. Petty je 1665. god. objavio rad koji se smatra prvim iz domena nacionalnog dohotka. Sa intezivnijim razvitkom pojedinih država raste potreba za statističkim podacima iz različitih oblasti državnog i društvenog života. Prvi moderan popis stanovništva izveden je 1790. god. u SAD. Danas, po pravilu, sve države organizuju popise stanovništva najmanje svakih deset godina. Matematička statistika na osnovu računa vjerovatnoće počinje da se razvija od XVII stoljeća. Mnogi veliki matematičari toga i kasnijih stoljeća radili su na teoriji verovatnoće, kao: B. Pascal, P. Ferma, J .Bernuoll, A de Moivre, P.S. Laplace i C.F. Gaus. Neki su bili orijentisani na igre na sreću, a drugi na teoriju grešaka vezanu za astronomska posmatranja. U XIX stoljeću društvena statistika je postala sastavni dio aktivnosti razvijenih država i potreba za statističkim podacima sve više je rasla. Prošlo stoljeće karakteriše i razvitak statističke teorije i nastojanje da se ona primjeni. U tome posebno mjesto zauzima belgijski astronom i matematičar A. Quetelet. Njegov rad bio je, u velikoj mjeri, usmjeren ka utvrđivanju društvenog determinizma, na bazi masovnih podataka o biološkim, moralnim i duhovnim karakteristikama stanovništva. Tip "prosječnog čovjeka", koga je nastojao da utvrdi na egzaktan način, praksa nije potvrdila. Nezavisno od toga, ovaj naučnik dao je veliki doprinos razvitku statistiškog metoda na osnovama računa vjerovatnoće. Krajem XIX i početkom XX stoljeća zapaženi su radovi F.Galtona i K. Pearsona. Oni su primjenom matematičkih metoda u statistici dali veliki doprinos nauci o nasležu i razvitku biologije. I drugi brojni statističari izmedju dva svjetska rata su radili na razvitku teorijskih osnova savremene statistike. Za vrijeme II sv. rata, posebno u SAD, razvila se teorija i primjena statističkih metoda sa neizbrisivim pečatom na njen dalji razvoj. Tu spadaju: kontrola kvaliteta, anketna ispitivanja, eksperimenti itd. Statistika kao disciplina dobija sve značajnije mjesto na univerzitetima i istraživanja su usmjerena kako na teoriju tako i na primjenu. Matematičari - statističari su orijentisani na teoriju, dok se statističari drugih profila bave prvenstveno primjenom. Razvitak statistike se ogleda u rastućem broju zvaničnih statističkih institucija, kao i u brzom porastu broja profesionalnih statističara u drugim organizacijama. To prati i sve veći broj statističkih časopisa, naročito u razvijenim zemljama. Primjena statističkih metoda bila je sve vise tehnički ograničena, jer računske mašine nisu bile dovoljne da se dođe do rezultata u primjeni složenijih metoda multivarijacione analize, analize vremenskih serija itd. Veliki zaokret nastupio je u pedesetim godinama, uvođenjem elektronskih računara u obradu i analizu statističkih podataka. Time su se otvorile velike mogućnosti daljeg razvitka statistike u svim oblastima, a posebno njene primjene. Danas su računari u brojnim zemljama postali sastavni dio nastave statistike. Razvoj softvera i hardvera, stvaranje banaka podataka, sve bolji programi, kao i nastojanje da se taj sistem poveže u jednu cjelinu, doprinosi kako racionalizaciji metoda analize tako i proširenju okvira primjene. Danas je jedno od osnovnih obilježja države, pored predsjednika i novca, i statistika. Metodi statistike i statističke analize postali su osnovni metodi u svim oblastima nauke i tehnike. Može se slobodno reći da su raznorodni statistički modeli zaključivanja i analize podataka sastavni dio svakodnevnog života savremenog društva. Zato je upoznavanje sa ovim metodima imperativ u obrazovnom sistemu. Ono je potrebno kako za matematički obrazovane ljude, takođe i

za one sa manjim matematičkim znanjem, kako bi mogli da shvate smisao i moć statističkih metoda - radi ispravnih zaključaka u rješavanju problema iz oblasti njihove djelatnosti.

3 Elementi vjerovatnoće u menadžmentu 3.1 Matematičko očekivanje, Disperzija, F-ja vjerovatnoće, Zakon raspodjele, F-ja raspodjele: Definicija:Neka je X diskretna slučajna promjenjiva sa konačno mnogo vrijednosti i zakonom raspodjele  x1......xn  X  matematičko očekivanje slučajne promjenjive X je E(x) = x1 p1 + . . . . .xn pn  p1...... pn  Neka je X elementarna slučajna promjenljiva sa znakom raspodjele

 x1......xn ...  X   p1...... pn ... 

∞

 Ako je red

∑x p j

j

apsolutno kovergentan, kazemo da slučajna promjenjiva X matematičko

j=1

∞

očekivanje i da je njeno matematičko očekivanje E(x) =

∑x p j

j

. Neka je X apsolutno neprekidna

j=1

slučajna promjenljiva sa gustinom raspodjele g(x). Ako integral ⌡xg(x)dx apsolutno kovergira, tada kažemo da slučajna promjenljiva X ima matematičko očekivanje koje je jednako E ( x) =

∞

∫ xg ( x)dx

−∞

Matematičko očekivanje predstavlja prosječni očekivani dobitak igrača u jednoj partiji. Disperzija predstavlja prosječno kvadratno odstupanje od prosječne vrijednosti . Neka je data slučajna promjenljiva X. Ako postoji E(x - E(x))² tada slučajna promjenljiva X ima disperziju D(x) = E(x - E(x))² . Disperzija je dakle centralni moment drugog reda. Naziva se varijansa. Pozitivna vrijednost √ D(x)  standardna devijacija slučajna promjenljiva. X = X- E(x) / √ D(x)  je standarizovani oblik slučajne promjenljive X za nju E(x*)= 0 ; D(x*) = 1 1° I ako je P[x = a] = 1 ; gdje je a neka kostanta , tada je D(x) = 0 2° Ako je k kostanta , tada je D(kX) = k² D(x) 3° Ako su X i Y nezavisne slučajne promjenljive koje imaju disperzije, tada je D(X+Y)=D(X) +D(Y) Neke raspodjele slučajne promjenljive Puasononova, Geometrijska)

(Binomna –Bernulijeva, Hipergeometrijala,

BINOMNA: neka se pod istim uslovima i nezavisno jedan od drugoga izvodi [n] eksperimenata i neka je vjerovatnoća realizacije događaja A pri opisnim uslovima, tada kažemo da X ima binomnu raspodjelu sa parametrima n i p i pišemo X: B(n,p) često srećemo i naziv Burnelijeva raspodjela i oznaku Sn za slučaj : promjenljivu sa B(n, p) raspodjelom. 0 1 ………. n X: Pn;0. . .Pn;1 . . . . Pn;n

Pn: j =

( )p n j

j

(1,−j єpb{0)n −, j1 …… n}

HIPERGEOMETRIJA: Ako se uzima n puta po jedan artikal, ali bez vraćanja, vjerovatnoća da će se dobiti ukupno k artikala I vrsta je :

Pn ,k *

( )( ) = ( ) a−m n−k

m k

a n

k = 0,1,2 . . . . min {m,n} ,navedene su vrijednosti k za koje binomni koeficijenti imaju smisla. Vjerovatnoće Pn, k su hipergeometrijske vjerovatnoće i zapaža se da je Pn, k*≠ Pn, k . PUASONOVA : Ako je λ >0 i raspodjela slučajne promjenljive X data sa : 0 1. . . . . n . . . . X

p0 p1 . . . . . pn . . . .

λ j −λ Pj = *e j!

tada kažemo da X ima Puasonovu raspodjelu sa parametrima λ, i parametrima X :P(λ) ova slučajna promjenljiva ima beskonačno mnogo vrijednosti . U slučaju kada je u binomnom zakonu raspodjele B(n,p) broj n veliki, izračunavanje binomnih vjerovatnoća Pn, k može biti komplikovano. Ako je n veliko ( smatra se da je dovoljno da bude n≥30) I np < 10, tada se može dokazati da je razlika između vjerovatnoća iz Binomnog zakona raspodjele i Puasonove raspodjele P(n,p) vrlo mala tj , Ako vjerovatnoca Pn realizacije događaja A u n-tom opitu zavisi od n ,tj ako je u pitanju binomna raspodjela Sn: B(n,p) tada u slučaju kada nPn  λ, n∞ , važi Puasonova λ j −λ * e , n∞ j є {0,1,2, . . . .} ova aproksimacija se obično aproksimacija : P[Sn]  P[ sn ] → j! koristi pri : λ 0 onda je : P(A∩B) = P(A) * P(B/A) = P(B) * P(A/B) Jednostavnom primjenom indukcije dobija se multiplikativna teorema u opštem slučaju : Ako su A1,A2,...,An događaji iz istog prostora vjerovatnoće ( Ω , F , P ) i P(A1,....An-1) > 0 onda je: P(A1∩A2∩.....∩An) = P(A1) * P(A2/A1) * P(A3/A1∩A2) * P(An/A1∩A2∩....∩An-1) Totalna vjerovatnoća : Neka je ( Ω , F , P ) prostor vjerovatnoće i neka događaji zadovoljavaju slijedeće uslove : 1 ) P(Hi) > 0 2 ) ti dogadjaji su međusobno disjunktni Hi ∩Hj ≠ 0 3 ) njihova unija je siguran događaj H1∩H2∩.....∩Hn = Ω Događaje H1,H2,.... ,Hn nazivamo hipotezama a skup {H1,H2,...,Hn} potpun sistem događaja Formula totalne vjerovatnoće ako su poznati P(A/Hi) i P(Hi) :

P(A) = P(A/H1) * P(H1) + P(A/H2) * P(H2) + .....+ P(A/Hn) * P(Hn) Primjer: Mašina M1 proizvodi 0.1 defektnih proizvoda, a mašina M2 0.3. U magacinu je 80% proizvoda izrađenih mašinom M1, a 20% mašinom M2. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno izabrani proizvod iz magacina defektan? Označimo događaje: A1: proizvod je izrađen mašinom M1 A2: proizvod je izrađen mašinom M2 D: proizvod je defektan Slijedi da je: P(A1)=0.8 P(A2)=0.2 P(D/A1)=0.1 P(D/A2)=0.3 A1 i A2 su međusobno isključivi događaji od kojih jedan mora da se realizuje, pa se primjenjuje formula za totalnu vjerovatnoću događaja D.

Bajesova formula daje odgovor na pitanje na koji način ako su nam poznate vjerovatnoće hipoteza P(Hi) > 0 i uslovne vjerovatnoće P(A/Hi) nekog događaja A možemo izračunati aposteriorne vjerovatnoće . P(A/Hk) * P(Hk) P(Hk/A) =-----------------------------------------------------------------------------------P(A/H1) * P(H1) + P(A/H2) * P(H2) + .....+ P(A/Hk) * P(Hk)

Primjer: Predpostavimo da smo na slučajan način uzeli jedan proizvod iz magacina i da je on defektan. Postavlja se pitanje kolika je vjerovatnoća da je proizvod izrađen na mašini A1. Ta vjerovatnoća u oznakama iz gornjeg primera, je:

Vjerovatnoća da je proizvod izrađen na mašini A2 ako je poznato da je defektan, mogla bi se tražiti preko Bajesove formule:

mada je u ovom primjeru mnogo brže kao suprotna vjerovatnoća

.

3.3 BINOMNE VJEROVATNOĆE, BERNULIJEVA FORMULA, LOKALNA I INTEGRALNA MOAVR-LAPLASOVA TEOREMA Binomna vjerovatnoca: Posmatramo jedan opis u kome događaj A može da se realizuje sa vjerovatnoćom P(A) = p .Neka se taj opis izvodi n puta pod istim uslovima tj neka je u svakom ponavljanju opisa P(A) = p ,P(A) = 1- p = q i neka su sva izvodjenja opisa međusobno nezavisna .Tada je vjerovatnoća da se u n opisa dogadjaj A realizuje tačno k puta jednaka : Pn,k =

p * q

k = 0,1,2,.......,n

→ binomna šema

Binomna šema se vezuje za ponavljanje eksperimenta pod istim uslovima, a tome odgovara slučajni izbor elemenata sa vraćanjem, a ako analiziramo slučajni izbor bez vraćanja iz populacije koja ima veliki broj elemenata, dobit ćemo vjerovatnoće bliske onima iz binomne šeme. Tako da ako imamo seriju, a artikla među kojima je m prve vrste, a ostalo (a - m) druge vrste. Ako uzimamo ukupno n puta sa vraćanjem po jedan artikal tada je vjerovatnoća da će među njima biti tačno k artikla prve vrste jednaka :

Pn,k =

1-

k = 0,1,2,......,n

→ sa vraćanjem

Ako se uzima n puta po jedan artikal ali bez vraćanja, vjerovatnoća da ce se dobiti ukupno k artikla prve vrste je :

Pn,k =

→ bez vraćanja

Primjer: Binomni eksperiment sa jednim opitom (n=1). Ovdje ima dva ishoda: uspješan (realizacija događaja A) sa vjerovatnoćom p i neuspješan sa vjerovatnoćom q=1-p. Slučajna promjenljiva X, koja predstavlja broj realizacija u n=1 opita, uzima vrijednosti 1 i 0, što se vidi iz slijedeće tabele.

S

Ishod p(si)

X

s1

A1

p

1

s2

A1c

q

0

Sada možemo slučajnu promjenljivu X da predstavimo na standardan način, a da, zatim, izračunamo očekivanu vrijednost i varijansu. 0 1 X: q p q+p=1-p+p=1

Slučajna promjenljiva X može uzeti vrijednosti 0 i 1 sa vjerovatnoćama:

pa je: 0 1 X: q p Lokalna Moavr-Laplasova teorema – koristi se za približno određivanje vjerovatnoće pojavljivanja datog događaja m puta u slučaju kada su vrijednosti n i k velike, za p=q=0.5, odnosno za n>100 i npq>20: x2 1 −2 1 1 m − np pn ( m) = e = ϕ ( x) x= gde je 2π npq npq   npq ϕ ( x)

Funkcija ϕ (x) je Gausova funkcija, čije su vrijednosti date u tabeli. Ova funkcija je parna: ϕ (x)= ϕ (-x). Integralna Moavr-Laplasova teorema:

b

p ( a ≤ x ≤ b ) = 2π ∫ e x ∈ [ x1 , x 2 ] a= b=

−

x2 2

dx = Φ( b ) − Φ( a )

a

x1 − np npq x 2 − np npq

gde je vrijednost funkcije φ (x) data u tabeli. Ova funkcija je neparna: φ (-x)=-φ (x). Poslijedica ove teoreme je Bernulijev zakon velikih brojeva. Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. m  Interesuje nas granična vrijednost vjerovatoće događaja M=  − p ≤ ε  kada n → ∞ , gdje je  n  m/n relativna frekvencija događaja A vjerovatnoće p(A)=p: m  p − p ≤ ε  ∼  n 

ε

1 2π

n pq

∫ −ε

−t 2

e n pq

 dt = 2φ  ε 

n   pq 

Poasanova aproksimacija Bernulijeve šeme koristi se za rijetke događaje, kada je malo p, tj. np t + s / x > t ] = φ[ x > s ] . Ova raspodjela je jedina neprekidna raspodjela sa osobinama odsustva memorije. NORMALNA: Ako je gustina raspodjele slučajne promjenljive X: − ( x − m )2

1 2 tada kažemo da X ima normalnu raspodjelu sa g ( x) = e 2δ , x ∈ R, δ > 0, m ∈ R δ 2π parametrima m i δ 2 i to označavamo sa X: N ( m, δ 2 ) . Matematičko očekivanje i disperzija su ∞

∞

x redom jednaki m i δ . E ( x ) = ∫ xg ( x )dx = ∫ e −∞ −∞ δ 2π 2

−( x−m) 2 2δ 2

dm = m

∞

∞

−( x−m) 2

( x − m) 2 2δ 2 D( x) = ∫ ( x − m) g ( x )dx = ∫ e dx = δ 2 −∞ −∞ δ 2π Gustina raspodele g(x) slučajne promjenljive koja ima normalnu raspodjelu N ( x, δ 2 ) uočavamo - lokalni max u tački x=m - simetrija grafika oko prave x=m - 2 prevojne tačke x1,2 = m ± δ 2

-

Horizontalna asimptota y=0 1 - Max vrijednost δ 2π Funkcija raspodjele F(x) slučajne promjenljive koja ima normalnu raspodjelu N (m, δ 2 ) ima 1 prevojnu tačku x=m i njena vrijednost u toj tački je jednaka , dok su y=0 i y=1 horizontalne 2 asimptote pri x → −∞ ,odnosno x → ∞ Specijalan slučaj predstavlja normalna raspodjela sa parametrima m=0 i δ = 1 . Za takvu slučajnu promjenljivu kažemo da ima normalnu raspodjelu N(0,1). Značaj ove raspodjele proizilazi iz slijedećeg tvrđenja: Ako slučajna promjenljiva X ima N ( m, δ 2 ) raspodjelu, tada slučajna promjenljiva y = ( x − m) / δ ima N(0,1) raspodjelu. Primjer: Jedna mašina proizvodi 5% defektnih proizvoda. Nađi vjerovatnoću da će u 200 proizvoda bit a) od 5 do 15, b) od 11 do 21, c) najviše 15. Riješenje: a) slučajna promjenljiva X koja predstavlja broj defektnih u 200 proizvoda ima binomni raspored sa n=200 i p=0.05. 0

1

2 ... 200

X: p0 p1 p2 ... p200 P(od 5 do 15 defektnih) = P(5≤ X≤ 15) = p5+p6 + ... + p15, gde je:

Očigledno bi ovakav način računanja P(A) bio dugačak i komplikovan. Zato se primjenjuje aproksimacija binomnog rasporeda normalnim rasporedom (4.10). Pošto se sa diskretnog prelazi na neprekidni raspored, interval 5£ X£ 15 se proširuje na 4.5£ X£ 15.5 da bi i sa aproksimacijama, približne vjerovatnoće bile dobro definisane tj. ispunjavale zahtjev treće aksiome.

Kako je np=200 × 0.05=10, npq=200 × 0.05 × 0.95=9.5, to je:

ima približno normalan raspored. Slijedi da je P(A) = P(-1.78≤ Z ≤ 1.78) = Φ (1.78) - Φ (-1.78) = Φ (1.78) - (1-Φ (1.78)) = 2Φ (1.78) -1 = 2 × 0.9625 - 1 = 0.925 Vjerovatnoća je preko 92% da je broj defektnih u 200 proizvoda najmanje 5 a najviše 15. b)

. c)

Vjerovatnoća da u 200 proizvoda nema više od 15 defektnih iznosi 96%.

3.5 Momenti. Kovarijansa i korelacija Neka je K ∈ N i X data slučajna promjenljiva. Ako postoje E ( x k ) , odnosno: E ( x − E ( x ))k , nazivaju se redom k-tim momentom,odnosno k-tim centralnim momentom slučajne promjenljive X. Označavamo ih sa mk , odnosno µ k . Očigledno m1 = E ( x) , µ1 = 0 . Ako postoji moment reda r, tada postoje i svi momenti reda k za k 0, onda je

a ako je a < 0, onda je

pozitivno, pa je koeficijent korelacije

negativno, pa je

a to je trebalo dokazati. Sada ćemo pretpostaviti da koeficijent korelacije ima vrijednost U tom slučaju je odnosno,

Označimo gornji količnik sa

. Dobit ćemo dvije jednačine

a to se može izraziti preko očekivanih vrijednosti

Koristeći osobinu očekivane vrijednosti, gornje jednačine se mogu napisati u obliku

Ako prvu jednačinu pomnožimo sa

i saberemo sa drugom, dobit ćemo

odnosno, Gornji izraz predstavlja očekivanu vrijednost kvadrata jedne slučajne promjenljive. Ta očekivana vrijednost biće jednaka nuli jedino ako je odnosno, a to znači da između Y i X postoji linerna veza. To je i trebalo dokazati. Uslov 3. Koeficijent korelacija ima vrijednost između -1 i +1. Dokaz. Posmatrat ćemo izraz definisan za svako realno t. Očekivana vrijednost ovog izraza je nenegativna, tj. Odavde se, poslije kvadriranja, dobija da je sšo predstavlja kvadratni trinom sa negativnom diskriminantom, , odnosno, odakle se dobija da je a to je i trebalo dokazati. U praksi se najčešće koristi tzv. Normalna raspodjela. Kad (X,Y) ima Normalnu raspodjelu, tada su X i Y nezavisne ako i samo ako je njihov koeficijent korelacije =0. Prema tome, kod Normalne raspodjele koeficijent korelacije potpuno zadovoljava uslove 1-3. To je, takođe, jedan od razloga najčešćeg korištenja koeficijenta korelacije kao mjere zavisnosti između promenljivih X i Y.

3.6 Čebišeljeva nejednakost. Granične teoreme:(slabi) zakoni velikih brojeva I centralne granične teoreme. Ako je za slučajnu promjenljivu X matematičko očekivanje E(X²) konačno,tada važi nejednakost E ( x2 ) Čebiševa: O[X≥ε ]≤ za svako ε > 0 ε2

Def: Neka je X1,X2,… niz nezavisnih slučajnih promjenljivih definisanih nad istim prostorom 1 n  1 n vjerovatnoća.Ako za svaki pozitivan broj ε važi P  ∑ X j − ∑ EX j ≥ ε  → 0, n → ∞ tada n j =1  n j =1 

kažemo da za prostorni niz važi slabi zakon velikih brojeva. Teorema: Neka je niz X1,X2,… nezavisnih slučajnih promjenljivih sa istom raspodjelom,konačnim matematičkim očekivanjem jednakim a i konačnom disperzijom.Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva, tj. 1 n p →a, n → ∞ ∑ X j  n j =1 Teorema: Neka je X1,X2,… niz nezavisnih slučajnih promjenljivih sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi: DXn ≤ c < ∞ ,n=1,2,.. Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva. Teorama: Neka je X1,X2… niz

nezavisnih slučajnih promjenljivih sa konačnim  1  n D( x j )  = 1 .Tada za posmatrani niz slučajnih matematičkim očekivanjima i neka važi lim  ∑ 2 x →∞ n  j =1  promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva. Teorema: Neka su X1,X2,…zavisne slučajne promjenljive sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi: D(Xn) ≤ c < ∞ , n-1,2,.. , neka postoji cov(Xl0 Xn)→0 ravnomjerno kad k-n→∞ Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi slabi zakon velikih brojeva. Centralna granična teorema: Neka su date nezavisne slučajne promjenljive X1,X2,… koje imaju istu raspodjelu,sa konačnim matematičkim očekivanjem a i disperziju σ2. Tada za posmatrani niz slučajnih promjenljivih važi centralna granična teorema: ∞  Xn − a  1 P < x → exp(−t 2 2)dt , n → ∞ ∫ 2 π δ n −∞  

4 ZAKLJUČAK Mnoge pojave koje se dešavaju u prirodi i društvu možemo tačno predvidjeti znajući sve uzorke njihovog nastajanja.Vrlo često njihov nastanak može se opisati matematičkim aparatom. I u prirodi i društvu postoje, medjutim, događaji koje nismo u stanju da predvidimo niti da objasnimo njihovo dalje odigravanje. Bez obzira na to što je nauka u nekim slučajevima i uspjela da objasni način na koji se te pojave odigravaju, te pojave se ipak dešavaju mimo naših očekivanja. Iz priloženog rada se vidi da za opisivanje tzv. masovnih pojava i pojava sa slučajnim ishodima služimo se slučajnim događajima. Sad smo u stanju da tačno opišemo slučajne događaje i da uspostavimo izvjesne relacije među njima. Ono što je bitno za posmatranu pojavu su zakonitosti koje treba da utvrdimo. To ćemo moći učiniti jedino onda kad budemo u stanju da na izvjestan način ,,mjerimo" slučajnost kod slučajnih događaja. Na osnovu ,,izmjerenih" slučajnosti moguće je kvantitativno poređenje slučajnih događaja, a to će nam omogućiti i potpunije opisivanje posmatrane pojave.

Slučajnost kod slučajnih događaja se ispituje i ,,mjeri" preko vjerovatnoće koja je u različitim trenutcima svog razvoja bila definisana različito.

5 LITERATURA 1. Bošković O. i Dragutinović Mitrović R., Osnovi statističke analize: Elementi analize vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2007. 2. R.Somun- Kapetanović, Pregled predavanja iz Statistike I dio, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2003; Pregled predavanja iz Statistike II dio, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2003. 3. R. Somun-Kapetanović, Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2006.