Viga Sobre Lecho Elástico 03-Preliminar (2015)

UNIVERSIDAD TECNOLÓGI UNIVERSID TECNOLÓGICA CA NACIONAL  NACIONAL  Facultad Regional Concordia 

CÁTEDRA DE CIMENTACIONES 2.015 U3 Fun Fundaci daciones ones de Supe Superfici rficiales ales – Parte III

VIGAS SOBRE LECHO ELASTICO

1

VIGA DE CIMENTACION:  Estructura

lineal de fundación superficial  Viga conectada en toda su longitud a un medio material deformable (terreno), que interacciona con ella. 

Fuerza transmitida entre la viga y el medio, debida a la deformación del terreno. 2

VIGA DE CIMENTACION:  Estructura

lineal de fundación superficial  Viga conectada en toda su longitud a un medio material deformable (terreno), que interacciona con ella. 

Fuerza transmitida entre la viga y el medio, debida a la deformación del terreno. 2

VIGA DE CIMENTACION: 

Raíles de ferrocarril, Vigas de cimentación, Conductos enterrados. 



Primeros estudios

Wink Wi nkle lerr (1 (186 8677-18 1875 75): ): viga continua de

infinitos vanos muy próximos. 1 ): viga continua   Zimmerman (1888 -  -1906    906 ): sobre resortes discretos.  Teoría actual

Timoshe Timos henk nkoo (1 (191 9155-19 1932 32). ). Hete teny nyii (1 (193 9388-19 1946 46). ).   He 

3

:   Recordar : 

4

Influencia de la Rigidez del Suelo

Reacciones en el terreno



Esfuerzos en el terreno - para diferentes rigideces

5

Influencia de la Rigidez de la Viga 

Las Vigas muy alargadas y flexibles, generan momentos elevados en el centro



Esfuerzos en el terreno - para diferentes rigideces

6

Base Flexible  Sólo para el caso de una fundación muy flexible es correcto considerar la distribución de esfuerzos en el suelo igual a la presión aplicada sobre esa fundación.

7

VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO

Caso límite de una viga continua sobre apoyos elásticos, cuando la distancia entre estos resortes tiende a cero

8

EJEMPLOS DE VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO

9

   

Consideremos una viga de largo infinito apoyada sobre todo su largo sobre una fundación elástica. Se aplica una carga sobre la viga, que provoca que la viga se deflecte, lo que a su vez desplaza la fundación elástica. Como resultado, una carga distribuida se desarrolla entre la viga y la fundación. Por lo tanto, relativa a la viga, la rigidez de la fundación produce una fuerza uniformemente distribuida q en la viga.

Cuando la deflexión de la viga es hacia abajo (positiva), el suelo es comprimido y empuja hacia arriba la viga (q positivo). Cuando la deflexión es hacia arriba (negativa), se produce tracción en el suelo.



La ecuación diferencial de la viga sobre fundación elástica

10

PLANTEO de la Ec. DIFERENCIAL para una VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO

11

12



Supone comportamiento bidireccional de la fundación

ks k s



ks

Ecuación de equilibrio de la viga apoyada en lecho elástico

ks 13

Ec. de Hetenyi (1946) 

“Viga horizontal en un lecho elástico”: la rigidez relativa Suelo-Viga, gobierna la deformada de la viga en la ecuación diferencial:

 K  (Kg/cm2)

coeficiente de reacción de la subrasante k s (Kg./cm3) del modelo de Winkler, multiplicado por el ancho B (cm) de la viga

 K = ks. B ; p(Kg /cm) = - K.v = - ks.B.v 

  x = Longitud considerada (podría usarse z); 

 

v = Deformación de la pieza (podría usarse y);

Primer término, representa el comportamiento en flexión. El segundo, la reacción del suelo, considerada lineal.

14

Problema de:

Interacción Suelo - Estructura



En realidad, el desplazamiento v debiera ser conocido antes de evaluar la presión de suelo.



En teoría, se requiere de un proceso iterativo, en el cual es necesario definir paso a paso ks (o el módulo de elasticidad tangente del suelo E s tang,i). En la práctica se asume E s0 o E s50, ya que las cargas de servicio son del orden de ¹ / ³ a ¼ de las de rotura. 15

Solución general de la Ecuación Diferencial Homogénea 

Sin carga exterior 

Solución del Tipo:



Sustituyendo:

4 números complejos de módulo 1



Rigidez Relativa Viga-Terreno:

16

Solución general de la Ecuación Diferencial Homogénea 

Sin carga exterior 



Solución del Tipo:

Solución final

Deformación según funciones exponenciales-trigonométricas con amplitud variable.  Sólo válido para tramos de la viga sin cargas.   M ( x), Q( x) tendrán funciones similares, al ser derivadas de la deformada v( x). 17  Hallar las constantes de integración en cada caso particular. 

Solución general de la Ecuación Diferencial Homogénea 

Rigidez Relativa Viga-Terreno

cm-1  β

4

= √ k s .B / 4.E b .I b 



Longitud de onda de la respuesta o “ Amortiguamiento  β ”



Elasticidad del Medio:

λ =  β . L

(adimensional) 18

I. Viga infinita con carga puntual



Aplicable la solución general de la homogénea, salvo en x = 0



Condiciones de contorno 

Infinito



Simetría



Equilibrio en x=0 19

Viga infinita con carga puntual     

Deformada oscilante de amplitud decreciente La viga se levanta en una serie de tramos. El primer punto está en x = 3π  / 4 β . Solución para modelo de suelo bidimensional. El error cometido para apoyo no bidireccional (uniforme según B ) es inferior al 5%, en casos habituales de ingeniería

20

Viga flotante de longitud infinita sometida a una carga aislada

21

λ=   β 22

Separación del Suelo 

La separación de la viga del terreno se produce en: x = 3π  / 4 β

x =3π   / 4 β

Distancia Máxima entre Columnas 

23

.

Deformada 

Flexión

Corte 24

Funciones típicas 

Aparecen en todos los casos de vigas de longitud infinita…

25

Viga infinita con carga puntual Influencia de K  

Misma viga - sobre dos suelos diferentes



El terreno más duro produce menor deformación y menor momento.26 El efecto de la fuerza está más concentrado bajo ella.

II. Viga infinita con carga uniforme 

Tramo derecho con carga q Tramo izquierdo sin carga



Tramo con carga







Compatibilidad en x=0

Solución particular

Tramo sin carga

27

Viga infinita con carga uniforme 

Tramo derecho con carga q -Tramo izquierdo sin carga Compatibilidad en x=0



28

Viga infinita con carga uniforme 

Tramo derecho con carga q -Tramo izquierdo sin carga



29

Otros Casos Resueltos III. Viga infinita con par puntual IV.Viga semi-infinita con carga puntual V. Viga semi-infinita con par puntual VI.Carga en un punto de viga semi-infinita VII.Vigas de longitud finita VIII.Vigas de longitud finita – Empotrada a) Con carga puntual b) Con carga Uniforme, etc. 30

III - VIGAS DE LONGITUD FINITA con

CARGA PUNTUAL Viga Flexible:  βL ≈ 4 - Deformada curva.  Viga Rígida: βL ≈ 1 - Deformada casi recta. 



Solución similar a la utilizada en el planteo de Pilotes sometidos a Caga Horizontal

31

En realidad para una viga de longitud finita podemos describir tres tipos de comportamientos: 

Viga Corta  







Calcular como viga rígida Se desprecia la deformación por flexión

Viga Media 



λ

= β.L

Longitud Elástica 

π  π / 4 < β.L ≤ π  π 

Calcular como vigas elásticas Una carga en un extremo, produce un efecto no despreciable en el otro extremo

Viga Larga 

β.L ≤ π  π / 4

Siendo: 

β.L > π  π 

Considerar como viga semi-infinita Una carga actuando en un extremo no ocasiona efecto 32 en el extremo opuesto

I.

Viga infinita con carga puntual

Elasticidad λ  λ   = β .L  β.L=   

0 β.L< 1 1 ≤  β.L ≤ 8 β.L> 8

π / 4

Viga Convencional Rígida - Mismos coeficientes Viga sin fundación elástica - Coeficientes similares Viga de longitud finita – Lecho Elástico Viga infinita -Términos de rigidez despreciables

π  33

VIII. Viga de longitud finita – Empotrada  β.L≤ 1

 β.L≥ 6 

1 <  β.L< 6

Elasticidad λ =  β.L

Viga Convencional - La función es casi una parábola, vale 1 en x=0 y x=L/2. Viga sin fundación elástica - Coeficientes similares Viga infinita -Términos de rigidez despreciables Momento cero en el centro - Los extremos están desconectados Viga de longitud finita

34

I.

   

Viga finita con carga puntual

Condiciones de borde 1)Para x=0 debe ser y’=0 2) Para x=l/2 M=0 y Q=0 3) Además:

λ = β.  β   β β. L > π la fundación se despega en los extremos,

L´ 

 /

35

I.

Viga finita con varias cargas puntual – Superposición de Efectos



Cargas aisladas iguales Distancias iguales entre cargas iguales



Condiciones de borde:



λ   β  > 3/2 λ = β.  β β. L >3/2 >   π

Las presiones serán negativas; la fundación se despega en los extremos, se debe utilizar L´ = 3π / 2  β

36

 Rigidez de la Viga 

Si el espaciamientos entre columnas es menor que: según ACI 318S-05:

 l ≤ 1.75 / λ 

λ  =

cm-1

√ k i b / 4 E ⋅ I 

4

según Ec. Diferencial: 

.

Donde:

 l = Luz libre entre columnas.

λ = β : Elasticidad del Medio

 b = Ancho de una franja.   E = Módulo de elasticidad.   I = Inercia de la franja.  k  = k

S

37

COMENTARIOS ANEXOS  EI Modelo de fundación de Winkler es muy simple y puede interpretarse como un conjunto de resortes lineales e infinitamente próximos entre si.  Dado que no considera interacción alguna entre los resortes, en la practica No se ajusta a las características de muchas fundaciones.  Si bien el empleo de un modelo basado en un medio continuo permite una mejor representación de la realidad, la obtención de soluciones resu1ta mucho más compleja y costosa desde el punto de vista computacional.  Para superar esa dificultad han sugerido modelos de fundaciones elásticas bi-paramétricas, que resultan menos restrictivos que Winkler y no complicados como el medio elástico continuo. 

Ej. Modelo de fundación bi-paramétrica, Zhaohua y Cook (1983); función cubica de desplazamientos, de la Matriz de rigidez para un elemento de viga y los respectivos 38

COMENTARIOS ANEXOS  En la técnica estructural clásica en ciertas circunstancias resulta de interés la inclusión del efecto de la fuerza cortante en la deformación  de las vigas; especialmente en vigas con relaciones bajas luz/canto, vigas con almas delgadas o caladas y vigas sujetas a fuertes cargas concentradas.  Las relaciones altura / luz de las vigas de fundación es en general entre 1,5 y 2 veces mayor, que en vigas de entrepiso de edificios corrientes y están sujetas a elevadas tensiones de corte como resultado de las cargas concentradas transmitidas, de modo que la incorporación del efecto cortante en su análisis resulta aconsejable.  La consideración de las deformaciones por corte en vigas de pórticos planos o espaciales empleando Matrices de rigidez es conocida en la literatura y se extendieron la aplicación del método de matrices de transferencia a vigas deformables por corte sujetas a carga axial.  Aydogan (1995) desarrolló la matriz de rigidez para vigas sobre fundación elástica incorporando el efecto de las deformaciones por corte. 

 La consideración de las deformaciones por corte juntamente con la inercia rotaciona1 (vigas de 39 Timshenko) en e1 análisis dinámico de vigas sobre fundación elástica bi-paramétrica empleando matrices