Tabla de Numeros Aleatorios

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (o al azar) Estamos ahora listos para examinar los aspectos técnicos de la extracción de una muestra aleatoria. Dada una lista de miembros de la población, podemos numerarIos de 1 a N y también  podemos numerar un juego de bolas bolas pequeas de 1 a N. Estas balotas pueden ponerse entonces en una urna, me!cladas, y sacadas una a la "e! hasta que hayamos seleccionado n balotas donde n es el tamao deseado de la muestra. #os miembros de la población que correspondan a los n$meros de las bolas muestreadas pueden entonces ser incluidos en la muestra, y las caracter%sticas de estas unidades pueden ser medidas. &omo se ilustra en la siguiente sección, se pre'iere usar muestreo sin reempla!ar una bola sacada antes de sacar la próxima. (in embargo, recordemos por el momento, los dos tipos principales de muestreo originalmente examinados. 



 Muestreo aleatorio con reemp  Muestreo reemplazamiento: lazamiento: Las balotas balotas se reemplazan reemplazan después después de cada cada extracción individual   Muestreo  Muestr eo aleatorio sin reemplazamiento: reemplazamiento: Las Las balotas no se se reemplazan reemplazan después después de cada extracción individual 

(i la población es bastante grande, este método mec)nico de selección aleatoria puede ser di'%cil o pr)cticamente imposible de implementar. Esto nos lle"a a la consideración de la tabla de n$meros aleatorios.

USANDO UNA TABLA TABLA DE NÚMEROS NÚ MEROS ALEATORIOS #as *ablas *ablas de N$meros +leatorios contienen los d%gitos , 1, -,..., , /, 0. tales d%gitos se pueden leer indi"idualmente o en grupos y en cualquier orden, en columnas hacia abajo, columnas hacia arriba, en 'ila, diagonalmente, etc., y es posible considerarlos como aleatorios. #as tablas se caracteri!an por dos cosas que las hacen particularmente $tiles para el muestreo al a!ar. #a primera caracter%stica es que la tabla de n$meros aleatorios asegura que todos los d%gitos simples tienen la misma probabilidad de ocurrencia de 11, que todos los pares de d%gitos , 1, ...,00 tienen una probabilidad de ocurrencia igual a 11, y as% sucesi"amente. #a segunda caracter%stica es el requerimiento de que losn$meros de la tabla son independientes entre si. Debido a consideraciones pr)cticas, las tablas de n$meros aleatorios son generadas mediante un computador que simula aproximadamente este procedimiento, y el conjunto resultante de n$meros son chequeados cuidadosamente para "eri'icar la con'ormidad con los requerimientos de independencia y de igual probabilidad. #as tablas elaboradas mediante estos métodos son "eri'icadas completamente para asegurarse de que en realidad sean aleatorias. (in embargo, el interés interés no  no radica en elaborar estas tablas, sino utili!arlas.

Pasos para utilizar una Tabla d N!"ros Alatorios# 12 3acer una lista de los elementos de la población. -2 Numerar consecuti"amente los elementos de la lista, empe!ando del 1 al N 42 *omar *omar los n$meros de una *abla *abla de N$meros +leatorios, de manera que la cantidad de d%gitos de cada uno sea igual a la del $ltimo elemento numerado de su lista. De ese modo, si el $ltimo n$mero 'ue 1/, 56 ó -, se deber) tomar un d%gito de dos n$meros.

72 8mitir cualquier d%gito que no corresponda con los n$meros de la lista o que repita ci'ras seleccionadas anteriormente de la tabla. &ontinuar hasta obtener el n$mero de obser"aciones deseado. 52 9tili!ar dichos n$meros aleatorios para identi'icar los elementos de la lista que se habr)n de incluir en la muestra.

Por $"plo tenemos la siguiente tabla de n$meros de 7 d%gitos. Donald :. 8;en, 3andboo< o' (tatistical *ables, =eading >ass?+ddisson2@esley, 1.06-. 460 -70- 11 - 650 570 -44 544 74 /14 60 6/5/ 17/0 -660 474 101 701 /-/ 67 5-/0 70- 7--4 6757 64- 5 -/16 0- -16 -46 /1- 7105 55/0 /4 /-61 0-4560- 0/ 45/4 /00 1544 6766 //4 -1 4/0 -/ 4/-/ // 5/6 /7/- /11 6/ 440 --0 140 44/- 6 1 7755 //6 1/-- 1660 51 -- 17 7171 15-1 017 5564 140- /-4/ 7///56 647/ 761- /-5- 16- 15 067 -0/4 --77 5/6 44 7-4 4-0/ 400 -/41 --5 15/ 670- 16-0 4 450 --0 7/40 644- 170 40045 5565 -415 /4 651 51/0 5 0454 10-1 -65 404 /-7 7174 -6 47 /61 447 /4/4 - 0//0 40 550 76- 565 -1 -/- 7667 57/7 40 47/5 71 060 50- 74-6 7 65-5 605 1- 5044 114 5/4 675 565/ 6/ 4777 /4/ 54-4 454 1/50 674 -07 511 647 014 707 705 164 01 711/ 7-6 0765 //- 71- 7051 4/1 511 1/15 6/ 640 -5- 1/6 /010 07 100 56/ 77 1667 0-/ 1/ 46-5 -/67 -7 051- 7 66 /66 --- 4445 106 1675 010- 711 -55 575/ 607- /74 6-1 15/ 0557 160 6444 1041 0744 -661 /60 -414 6000 0-41 56- 1/15 11 /46 1/4- -41 6-0/ 64 4005 06 65 4107 4--- 7101 -47 7760 /61 -7- 6-5 046- 44 75 116 107- 71 50-1 5-05 4/5 577 -1-4 45 00/4 510- 1/7 616 51 1101 -16 4451 55 06 754/ 1-76 447 415 4465 -4 1-41 576 661- 14/ 17-5 -0

55 51 /07 4061 -1/4 5-05 406 /546 07755 --6 64 -476 1-/5  546 717 44/4 4-51 /0- //74 -11- /56 /141 /116 5- 5007 765 1745 -10- /7 -/0 -6- 50- 5571 717 4574 614 7-7 7/50 -66 /5- 006 5/ 0 45-1 /- 661- -1 4/00 -000 1-64 1 /5 554 0406 4767 1- 0-7 44/0 56/ -5/0 -// 7/ 560 551 44/ -15- 5711 -67 -7- -/ 4440 -/57 0601 056- 4-5- 0/7/ 64 /7- --66 555 /77 416 /55- 570 1556 7-7 765- -054 64/1 -/6 575 4 -5/ -064 /16 61- 0/- 9n ejemplo de una tabla de n$meros aleatorios consiste en la lista de los n$meros de #oter%a  Nacional premiados a lo largo de su historia, pues se caracteri!an por que cada d%gito tiene la misma probabilidad de ser elegido, y su elección es independiente de las dem)s extracciones. 9n modo de hacerlo es el siguiente? (upongamos que tenemos una lista de n$meros aleatorios de %& ' iras A200.000B, una  población de NC 6 indi"iduos, y deseamos extraer una muestra de nC 6 de ellos. En este caso ordenamos a toda la población Ausando cualquier criterioB de modo que a cada uno de sus elementos le corresponda un n$mero del 1 al 6. En segundo lugar nos diri*i"os a la tabla d n!"ros alatorios+ , o"nzando n ual-uir punto .tra"os un n!"ro t+  y tomamos como primer elemento de la muestra al elemento de la población?

El proceso se repite tomando los siguientes n$meros de la tabla de n$meros aleatorios, hasta obtener la muestra de 1 indi"iduos.

#as cantidades  pueden ser consideradas como observaciones  de una ".a. 9, que sigue una distribución uni'orme en el inter"alo ,1

8tro ejemplo es la tabla de n$meros aleatorios de Fisher y Gates.

Utilizar la Tabla d N!"ros Alatorios Hara entender el uso de la *abla de N$meros +leatorios de Fisher y Gates, "amos a colocar dos ejemplo que aparecen en seguida? De una población inita de 5 unidades con 5 y 05 de poporción por J conducta, se quiere obtener una muestra de /0 elementos para luego reali!ar una encuesta piloto utili!ando un cuestionario A claro estamos suponiendo que la muestra de /0 se obtu"o con 1'2 de ni"el de con'ian!a A 3 sigmas que al cuadrado es 4B y un error permitido de /52 Aal cuadrado 1B. n C 7 x 5 x 05 x 5  1 A700B K 5 x 05 x 7 C 05.  51/ C

/0

Hara obtener por sorteo la muestra de 1/ utli!ando la tabla Fisher y Gates, empe!amos por la segunda columna donde "eremos los siguientes n$meros por orden de aparición?

671+ 430+ 60'+ 41'+ /71+ 514+ 44/+456+ 663+40'+ 575+666+ 436+661+/'5+ 336+511+ , 4718 G si los 5 los hab%amos n$merado del 1 al 5, sólo tomaremos 1/ n$meros que corresponden a los resultados anteriores. +s% obtenemos la muestra al +L+=. 8tra manera de obtener por sorteo la muestra de 1/ elementos de la población 'inita de 5 unidades ser%a con el procedimiento aleatorio sistem)tico. El primer paso es calcular lo que se denomina el coe'iciente de ele"ación, o sea ? 5  1/ C -/ y en la tabla de n$meros aleatorios  buscamos el primer n$mero de la primera columna que es in'erior a -/ y ese n$mero es o sea 4 y el proceso sistem)tico se calcula as%?

556 K -/ C 6/ K -/ C '1 K -/ C 09 K -/ C //' K-/ C /46 K -/ C /9/ K -/ C /11 K -/ C 339 K -/ C 3'' K -/ C 306 K -/ C 677 K -/ C 407 K -/ C 433 K -/ C 4'5 K -/ C 490 K -/ C '57 K -/ C '64 (i los 5 elementos los hab%amos enumerado del 1 al 5, sólo tomaremos 1/ n$meros que corresponden a ? 4, 41, 50, /, 115, 174, 11, 100, --, -55,-/4,466, 407, 7--, 75, 7/, 56 y 547. + "eces es imposible utili!ar un sorteo con la tabla y entonces lo que se puede hacer es utili!ar un procedimiento de a!ar imper'ecto, o sea interrogar 1 de cada 1 elementos que se ubiquen en J lugar, o algo parecido. 8tro ejemplo? #a *abla 17 del apéndice contiene 5 d%gitos. Idealmente, estos n$meros son generados por un mecanismo tal que cada d%gito es el resultado de un ensayo que consiste en una extracción de un n$mero de ,1... ,0 con una probabilidad igual a 11M los d%gitos en posiciones di'erentes son los resultados de repeticiones independientes de tales ensayos. &omo un primer procedimiento conceptual simple, suponga que las 1 balotas idénticas numeradas de , 1,...,0 son colocadas en una urna. Después de me!clar las balotas, se saca una a ciegas y su d%gito es registrado. #a pelota se de"uel"e a la urna, y el procedimiento se repite. ad. . &ómo puede ayudarnos tal tabla a escoger una muestra aleatoria de una población 'inita espec%'icaO Hara ilustrar el uso de la tabla de n$meros aleatorios, suponga que tenemos 7 latas de sopas deshidratadas para acampar, y que deseamos tomar una muestra de tamao n C 7 para estudiar su condición. Nuestro primer paso es numerar las cajas de 1 a 7 o apilarlas en alg$n

orden de tal 'orma que puedan ser identi'icadas. En la tabla 17 del apéndice, los d%gitos deben escogerse de a dos a la "e! porque la población de tamao N C7 es un n$mero de dos d%gitos. Empe!amos seleccionando arbitrariamente una p)gina, una 'ila, y una columna de la tabla. (uponga que nuestra selección es 'ila 6, y la columna 7. #eemos los pares de d%gitos en las columnas 7 y 5, 14

-

1/

7

40

14

7

44

Ignoramos los n$meros mayores que 7 y también cualquier n$mero repetido cuando apare!ca una segunda "e!, como el 14. (e contin$a leyendo pares de d%gitos hasta que cuatro unidades di'erentes hayan sido seleccionadas. 14

-

1/

44

Entonces se examinan los contenidos de las latas seleccionadas -. Hara muestreos a gran escala o las aplicaciones 'recuentes, se recomienda usar la tabla 9n millón de n$meros aleatorios, publicada por la =and &orporation, o un generador de n$mero aleatorios de un computador, adecuadamente probado.

-

(e de'ine un n$mero aleatorio = como una "ariable aleatoria distribuida uni'ormement e entre cero y uno A rP1B, es decir, cualquier "alor en este rango tiene igual probabilidad de ocurrencia. (e denomina generador de n$meros aleatorios a cualquier procedimiento que  produ!ca n$meros entre cero y uno. #os n$meros generados, adem)s de distribuirse uni'ormemente, deben ser independientes, de tal 'orma que los 'enómenos que reprodu!can no estén correlacionados entre s%. #os n$meros aleatorios se usan en estudios de simulación para reproducir otra serie de 'enómenos o "ariables aleatorias. Hara el caso espec%'ico de seleccionar aleatoriamente un miembro de una lista de N personas, se genera o escoge un n$mero aleatorio r, y se puede demostrar que el elemento seleccionado ser) el que ocupe la posición dada por el resultado de multiplicar el n$mero aleatorio r por el n$mero de elementos de la lista N, sumarle uno y tomar la parte entera del resultado, es decir, la posición Q seleccionada ser) la parte entera de la siguiente expresión? Q C N r K 1. (i us)ramos este procedimiento para los n$meros aleatorios escogidos A.14, .-, .1/ y .44B las latas a muestrear ser%an las correspondientes a los n$meros 7x.14K1, 7x.-K1, 7x.1/K1 y 7x.44 1 C 6.-, 1./, /.- y 17.- C 6, 1, /, y 17. 