Soal Dari I Ketut Agus Purnaman
August 20, 2018 | Author: Ari Prabawati | Category: N/A
Short Description
soal...
Description
MATEMATIKA SEKOLAH SOAL OLIMPIADE TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA)
OLEH KELOMPOK III KELAS VB
I KETUT AGUS PURNAMAN
NIM. 1413011060
QURROTUL’AINI
NIM. 1413011080
DEWA AYU ARI PRABAWATI
NIM. 1513011083
NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
NIM. 1513011093
I KOMANG INDRA PUTRA JAYANTARA
NIM. 1513011095
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA 2017
Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi: 1. Logika Matematika Pernyataan Berkuantor Pernyataan Penyangkal (Ingkaran) Penarikan Kesimpulan 2. Induksi Matematika Metode Pembuktian Langsung dan Tidak Langsung Kontradiksi Induksi Matematika 3. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Penerapan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 4. Program Linear Dua Variabel Pengertian Program Linear Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Nilai Optimun Fungsi Objektif Penerapan Program Linear Dua Variabel 5. Matriks Pengertian Matriks Operasi Matriks Determinandan Invers 2 2 dan 3 3 Pemakaian Matriks pada Transformasi Geometri 6. Baarisan dan Deret Pola Bilangan Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri 7. Limit Fungsi Aljabar 8. Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Turunan Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar Penerapan Turunan Fungsi Aljabar Nilai-Nilai Stasioner Fungsi Naik dan Fungsi Turun Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
× ×
2
Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi: 1. Logika Matematika Pernyataan Berkuantor Pernyataan Penyangkal (Ingkaran) Penarikan Kesimpulan 2. Induksi Matematika Metode Pembuktian Langsung dan Tidak Langsung Kontradiksi Induksi Matematika 3. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Penerapan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 4. Program Linear Dua Variabel Pengertian Program Linear Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Nilai Optimun Fungsi Objektif Penerapan Program Linear Dua Variabel 5. Matriks Pengertian Matriks Operasi Matriks Determinandan Invers 2 2 dan 3 3 Pemakaian Matriks pada Transformasi Geometri 6. Baarisan dan Deret Pola Bilangan Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri 7. Limit Fungsi Aljabar 8. Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Turunan Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar Penerapan Turunan Fungsi Aljabar Nilai-Nilai Stasioner Fungsi Naik dan Fungsi Turun Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
× ×
2
SOAL GEOMETRI OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN
Ina membuat suatu persegi panjang PQRS dimana PU+UR+PQ+RS=25. Di tengahtengah sisi PS dia meletakkan suatu titik T, sedangkan di tengah-tengah sisi PR dia meletakkan suatu titik U. Tentukanlah panjang TU agar luas persegi panjang yang dibuat Ina memiliki luas yang maksimum dan gambarkan persegi panjang tersebut! Pembahasan
PU+UR+PQ+RS=25 PR+2PQ=25 PR=25-2PQ SP PR 2 L
PQ SP
PQ PR 2
PQ
PQ 2
PQ 2
625 100 PQ
625 PQ
2
3 PQ
PQ 3
100
2
3 PQ
4
Agar luas maksimun maka L’=0 3
L
12 PQ 300 PQ 2 3 PQ
4
3
2
1250 PQ
3
100 PQ 625 PQ
12 PQ 300 PQ
2
2
0
1250 PQ 0
Bagi kedua ruas dengan PQ maka L = 12 PQ
2
300PQ 1250 0
3
PQ
300
90000 60000 24
300 100 3 24 25 2
25
3
6
Ada 2 kemungkinan 25
Jika PQ PR
25
2
25 2 PQ
25 25
25
2
25
25
3
6
25 25 25 2 6 2 25 25
3
3
3 (TM )
3
25
Jika PQ
PR
3
6
25
3
3
3
25
3
3
Sehingga 25
PQ
TU
25
2
6
25
25
4
3
TU
1
2
PQ
3
12
SOAL KOMBINATORIKA OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN
Tujuh buah model HP yaitu Samsung, Xiaomi, OPPO, Vivo, Nokia, iPhone dan Asus akan dipajang berurutan di suatu Toko. Agus akan memajang 5 model HP dengan syarat HP Samsung pada urutan ke-2 dan HP Samsung dipajang sebelum atau sesudah iPhone. Berapa cara yang dapat dilakukan Agus untuk memajang HP tersebut?
4
Pembahasan: Kondisi pertama yaitu HP iPhone dipajang sebelum HP iPhone, sehingga:
iPhone
Samsung
Masih tersisa 3 tempat, perlu memilih 3 HP dari banyaknya bingkai yang tersisa. Sehingga
5!
5
P 3
60
2!
Kondisi kedua yaitu bingkai yang paling besar dipajang sesudah bingkai
yang paling kecil, sehingga: Samsung
iPhone
Masih tersisa 3 tempat, perlu memilih 3 HP dari banyaknya HP yang tersisa. Sehingga
5!
5
P 3
60
2!
Jadi banyaknya cara yang dapat dilakukan Mawar untuk memajang 4
bingkai tersebut yaitu 60 + 60 = 120 cara
SOAL ALJABAR OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN
Diketahui
x
125
y
80
10 dan
4
log 3 lo g 2 log z
0 . Nilai
x y 3 z adalah…
Penyelesaian : x
125
10
1
125
log 10
x
1
log 125
x
1
log 10
x x
1 log 125 log 125
5
y
80
1
10
80
log 10
y
1
log 10
log 80
y
1
1
log 80
y
Jadi
log
1
y
y
log 1 log 125 log 10
y
0 log 125 log 10
y
125 10
4
4
4
log 125 4
4
log 3 lo g 2 log z 0 3 lo g 2 log z 1
2
log z 3
z
23
z
8
x y 3 z
28
SOAL BILANGAN OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN
Bilangan yang pasti selalu membagi habis 6 n – 1 kecuali 1adalah... (n anggota bilangan asli dan n tidak sama dengan tak hingga) Pembahasan:
n angggota bilangan asli sehingga 61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 . . . Dan seterusnya Dari data di atas dapat disimpulkan bahwa, 6 jika dipangkatkan berapapun akan menghasilkan angka dengan satuan 6 sehingga 6 n – 1 akan habis dibagi 5 terkecuali jika n tak hingga
6
SOAL STATISTIKA OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN
Rata-rata nilai ujian matematika kelas A adalah 20 lebihnya dari rata-rata kelas B. Jumlah siswa kelas A adalah 10 kurangnya dari kelas B. Jika kedua kelas digabung maka jumlah siswanya adalah 100 dan diperoleh rata-rata nilai sebesar 75. Berapakah rata-rata nilai pada kelas A? Penyelesaian x A
x B
n A
n A
n B 100
x AB
n B
:
20
10
75
n A
n B
10
2n B
n B
100
n B
100
110
n B
55
n A
45
x A .n A n A
x B
.n B
n B
x A .45 x B .55
100 x A .45 x B .55
( x B
45 x B
x AB
75
7500
20).45 x B .55
7500
900 55 x B
7500
100 x B
6600
x B
66
x A
20
x B
x A
20
66
x A
86
Jadi, rata-rata nilai kelas A adalah 86.
7
Soal oleh : Qurrotul ‘Aini (1413011080)
BILANGAN Soal Asli (Soal Tes SNM-PTN 2012) :
Jika AB =
[20 02]
−
dan det A = 2, maka det (B
) adalah
Soal Modifikasi:
[2 21] [3 12] [2 21]×det[3 12] 432 12832 2 1112 4 ↔ 2 1112=4 2 11124=0 2 108=0 224=0 =1 ⌒ =4 = 2 = 14 2∙1∙4 =258=17
1. Jika terdapat matriks A=
dan B=
, sedangkan
akar-akar dari det (AB)= det (A). Berapakah bilangan dari
&
adalah ?
Pembahasan:
Det AB= det = = =
Det A =
Det AB = det A
Sudah diketahui nilai
dan
, sekarang tingga menghitung nilai
dari
Jadi, bilangan dari
adalah 17.
8
GEOMETRI Soal Asli (Soal Tes Kemampuan IPA SNM-PTN 2011):
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG=GP, maka jarak titik G ke garis AP adalah... Soal Modifikasi:
2. Perhatikan gambar dibawah ini. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG=GP, dan GQ adalah garis tinggi dari s egitiga APG berapakah luas dari segitiga AQG ?
Pembahasan:
Cari panjang garis AT menggunakan teorema pytagoras AT =
4 2 =√ 16 4 =√20 =2√ 5 2√ 5 2 =√ 20 4 =√24 =2√ 6
Cari panjang garis AP menggunakan teorema pytagoras AP =
9
Cari panjang garis AG menggunakan teorema pytagoras
2 2 =√ 4 4 =√8 =2√ 2 2√ 2 2 =√ 8 4 =√12 =2√ 3
AC =
AG =
Selanjutnya mencari panjang QP dan GQ Perhatikan segitiga APG, berlaku rumus trigonometri:
Dari nilai
= 2∙∙∙cos 2√ 3 =2√ 6 2 2∙2√ 6 ∙2∙cos 8√ 6 ∙cos 12 =24 4 12 8√ 6 cos=28 16 cos= 8√ 6 = √ 26 = cos = ↔ √ 26 = 2 ↔ = √ 46 ↔ = √ 46 × √ √ 66 = 46√ 6 = 23 6
kita bisa mencari panjang QP dengan perbandingan
6∙4 2 = = 2 ( 3 √ 6) = 4 9 3 6 24 1 2 = = = 2 √ 3
9
9 3
Karena QP sudah diketahui, maka panjang AQ = AP QP
Sehingga luas segitiga AQG
=2√ 6 23 √ 6 = 43 √ 6
10
Luas = 12 ××= 12 × 43 √ 6 × 23 √ 3 4 1 8 12 2 4 √ √ = 9 = 9 = 3 √ 2 STATISTIKA
Soal asli (Soal Olimpiade Sains Kabupaten SMA 2017) Banyaknya bilangan asli k yang memenuhi n adalah....
∣
untuk semua bilangan asli
Soal modifikasi: 3.
Berapakah rata-rata bilangan-bilangan asli k yang mungkin sehingga
∣
, untuk semua bilangan asli n>1?
Pembahasan: , berarti k faktor dari
, yang mana n dan k bilangan asli.
Pertama kita mencari bilangan asli yang memenuhi
∣
∣
.
= 1 =11 1 → 11 2=30 2 1 1 1 1 =1∙ 5∙ ∙110∙ ∙1 10∙ ∙1 Faktorkan bentuk
memuat perkalian 3 bilangan
asli berurutan.
memuat perkalian 3 bilangan asli berurutan sehingga,
habis dibagi 6 untuk semua n bilangan asli karena pasti ada satu bilangan genap yang habis membaginya yaitu 2 dan
habis dibagi
bilangan ganjil yaitu 1 dan 3.
Kita buktikan dengan induksi matematika untuk a. Karena n>1, ambil n=2 maka f(n)= membuktikan kalau
b. Asumsikan f(k)=
c. Buktikan bahwa f(k+1) =
juga kelipatan 5.
. Hal tersebut
juga kelipatan 5.
kelipatan 5 adalah benar.
adalah kelipatan 5.
Bisa menggunakan segitiga pascal yaitu sebagai berikut:
11
5∙∙1 1 1 = 5 10 10 511 = 5 2 2 5 2 2 2 2 6×5=30 ++++++ =8.857.
Terlihat dari hasil diatas bahwa dan
benar kelipatan 5 sesuai asumsi,
pastinya juga kelipatan 5 karena ada pengali
5 didepan 5.
. Sehingga,
Jadi, karena 6 dan 5 faktor dari
adalah faktor dari
merupakan kelipatan
, maka bilangan yang memenuhi
yaitu 1, 2, 3, 5, 6, 15, dan 30. Sehingga,
rata-rata dari bilangan-bilangan tersebut ialah ALJABAR Soal Sendiri:
4.
Bu Amanda ingin merayakan ulang tahun anaknya, sehingga dia memerlukan beras hitam dan beras merah untuk membuat bahan makanan. Ia mengingikan beras hitam lebih banyak dari pada beras merah, sedangkan harga per kilo beras hitam adalah Rp 37.000 dan harga per kilo beras merah adalah Rp 15.000. Jika bu Amanda membawa uang sebesar Rp 1.000.000, berapa kilo beras yang di beli Bu Amanda? Pembahasan:
Misalkan buah Apel = x Misalkan buah Naga = y
≥0 dan ≥0 =1000000 ↔ 3715=1000 37 15 =1
Syarat : x>y ,
Persamaan:
.
37000 x+15000y
...(1)
Cari faktor persekutuan dari (37,15) yaitu (37,15) = 1. Sehingga,
...(2)
12
Dari persamaan (2) cari nilai didapat
25 18 =1 dan
agar
. Sehingga
37.215.5=1 37.200015.5000=1000 =2000 =5000 = = =200015 =500037 ari pendekatan nilai ≥0 ↔ 200015≥0 ≥0 ↔ 500037≥0 ↔ 15≥2000 ↔ 37≥5000 ↔ ≥ ≈133.3 ↔ ≤ − − ≈135.135 ={134,135,136,…} ={…,133,134,135} > ↔ 200015 > 500037 ↔ 1537> 50002000 ↔ 52>70007000 ↔ > 52 ≈134.615 ={135,136,…} =135 = 25 = 5 37000∙2515000∙5=1.000.000 ...(3)
kalikan dengan 1000,
maka
. Sehingga, di dapat nilai
dan
.
Karena sudah didapat nilai
dan
kita bisa membuat persamaan dan
sebagai berikut:
...(4)
C
...(5)
dengan syarat awal
Dengan
garis
bilangan
maka
himpunan
penyelesaiannya
ialah
.
Nilai
substitusi kepersamaan (4) dan (5) didapat
dan
.
Subtitusi kepersamaan (1) untuk membuktikan: .
Jadi, beras yang dibeli bu Amanda adalah 25 kg beras hitam dan 5 kg beras merah.
13
KOMBINATORIKA Soal sendiri:
5. Pak Fahrin akan membeli beberapa peralatan dapur direstoran yaitu 2 penggorengan, 22 piring dan 13 lap dapur. Setelah dilihat, pada toko peralatan ternyata terdapat 10 penggorengan, 24 piring, dan 15 lap dapur. Berapakah cara pak Fahrin membeli barang-barang tersebut? Pembahasan:
Pak Fahrin dapat memilih 2 penggorengan dari 10 penggorengan
Pak Fahrin dapat memilih 22 piring dari 24 piring
10! = 10∙9∙8! = 2!102! 2∙1∙8! =45 cara 24! = 24∙23∙22! = 22!2422! 2∙1∙22! =276 cara 11! = 11∙1∙10!10! =11 cara = 10!1110!
Pak Fahrin dapat memilih 10 lap dapur dari 15 lap dapur
Sehingga, cara yang bisa dilakukan pak Fahrin untuk membeli alat dapur ialah
∙ ∙ =45 ∙ 276∙11=136.620
cara.
14
SOAL BILANGAN OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI
1. Dua buah himpunan yaitu A dan B masing-masing beranggotakan bilangan asli yang berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur aritmatika unsur-unsur B adalah 6102. Jika
A B
A dan rata-rata
2017, maka
median
terbesar dari B adalah .... Pembahasan
Karena A dan B masing-masing beranggotakan biangan asli berurutan sedangkan A B 2017, maka 2017 adalah anggota unsur terbesar dari A dan anggota terkecil dari B
dan B 2017,2018,..., y
A x, x 1, x 2,...,2017
x x 1 x 2 .... 2017 2018 x
S n n 1 2
S n n
2
x 2017 2
2017 2018 ... y
y 2016
1, y
6102
6102
na U n
n a U n
1
2
na U n n
a U n 2
2017
y
2
6102
x y 4034 12204 x y 8170 Karena yang dicari adalah median terbesar dari B, maka haruslah x merupakan bilangan asli terkecil dan y bilangan asli terbesar. Diperoleh x bilangan asli terkecil yang mungkin adalah 1 dan y bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 8169. Karena banyak anggota B = 8169 – 2016 =6153 (ganjil), maka letak median dari B adalah pada data ke
n
1
2
6153 1 2
3077 .
Jika data
pertama adalah 2017, maka data ke 3077 adalah 3077 + 2016 = 5093
15
SOAL ALJABAR OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI
a
2. Diketahui A =
c
b
adalah sebuah matriks berukuran 2x2. Jika A2-7 A+6 I =0 d
dan b+c=5 dengan b < c, maka invers dari A adalah…. Pembahasan
A2-7 A+6 I =0
a c
b a
b
a 7 c d
d c
a 2 bc ac dc
b
1 6 0 d
ab bd
a 7 c 2 cb d
a 2 ad ad bc c(a d ) a(a d ) c(a d )
0
0
1
b
1 6 0 d
0
1
a 7 c 2 cb ad ad d
b( a d )
b(a d )
ad bc 0 d ( a d )
b
1 0 6 0 1 d
a 7 c ad bc 0
b
1 0 6 0 1 d
Sehingga diperoleh ad -bc=6 atau determinan matriks A adalah 1 dan (a d )
7
Diketahui b+c=5 dan b < c maka kita dapat menentukan nilai a, b, c, d sedemikian sehingga ( a d ) 7 , b+c=5 dan ad -bc=6 diperoleh A
A
A
2 4 1
1
1
5
5 1 2 6 4
1
5 6 4 6
1 6 2 6
16
SOAL KOMBINATORIKA OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI
3. Krisna ingin membuat akun pada sebuah media sosial. Dalam proses pendaftaran, Krisna diberikan kode konfirmasi yang terdiri dari 3 digit angka dan 2 huruf setelah ketiga digit angka, dimana angka pertama selalu 8 dan huruf pertama selalu K yang boleh berulang. Berapakah peluang Krisna memperoleh tidak lebih dari 2 angka berbeda? Pembahasan
Jika terdapat 3 angka berbeda, maka konstruksinya adalah 8 x1 x2 Ky
Banyaknya kemungkinan adalah 9 C 2 .2!.26 1872 Maka banyak kemungkinan tidak lebih dari dua an gka berbeda adalah 102.26 – 1872 = 2600 – 1872 = 728 Jadi, peluang Krisna memperoleh tidak lebih dari 2 angka berbeda adalah : 728 2600
91 325
SOAL GEOMETRI OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI
4. Yoga merangkai bangun seperti pada gambar di bawah dengan menggunakan sebuah segitiga siku-siku dan lima buah lingkaran yang panjang jari-jarinya sama. Jika segitiga tersebut memiliki alas 80 cm dan tinggi 60 cm, maka jumlah luas kelima lingkaran yang digunakan Yoga untuk merangkai bangun tersebut adalah ... cm2
Pembahasan:
17
Panjang AE = 4
diameter lingkaran
=4
2r
= 8r Panjang AB = 80 cm Panjang EB = 80 - 8r Misalkan : DE = x Perhatikan segitiga BED dan ABC, kedua segitiga ini sebangun maka, DE CA
BE
x
BA
80 8r
60
80 x
60
80 80 8r
Panjang DB =
DE
=
x
2
2
EB
2
(80 8r ) 2
Perhatikan segitiga BED dengan 1 lingkaran di dalamnya r=
L BED s
L BED
1 2
1
=
2
80 2
1
s
x
1
s 2 s3
(80 8r )
8r x
x
2
(80 8r ) 2
1 80 x x 2 60 1 80 x
80 x x x 2 60 60 2
2
18
80 x 60
x
80 x
(60 x) 2 (80 x) 2
x
60
60 2
80 x 60
80 x 60
x
80 x 60
x
80 x 140 x
1
2
x
(60 x) 2 (80 x) 2
60
100
x
80 x
80 x 60
60 x 60
1 60
60 2 80 2 x
x
2
240 x
x r
3
x = 3r Karena, 80 - 8r =
80 x 60
Maka, 80 – 8r =
80 3r 60
80 – 8r = 4r 80 = 12r r =
80 12
20
3
Luas 5 lingkaran = 5 =5 =
1 9
r 2
(
20 2 3
)
( 2000 )
SOAL STATISTIKA OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI
5. Diberikan 8 buah data yang berupa bilangan bulat. Setelah diurutkan dari data terkecil hingga terbesar akan terbentuk urutan a, b, c, d , e, f , g , h. Jika diketahui dari data tersebut memiliki median 6,5; kuartil bawah 6; modus 6 dan 10; serta
19
a, e, h membentuk barisan aritmatika, maka rata-rata dari data tersebut adalah …. Pembahasan
Letak Median 1 2
n
1
1 2
8 1 4,5 yaitu antara d dan e
Karena nilai mediannya adalah 6,5 maka d e
2 d e
6,5 dimana
d e
13
Letak kuartil bawah 1 4
(n 1)
1 4
(8 1) 2,25 yaitu antara b dan c.
Karena kuartil bawahnya adalah 6 dan salah satu modusnya adalah 6 sehingga nilai b, c, dan d adalah 6. (a tidak mungkin 6 karena a, e, h membentuk barisan aritmatika)
Karena d = 6 maka e = 7, dan karena modusnya adalah 6 dan 10 maka f , g , h semuanya 10, sehingga didapat a, 6, 6, 6, 7, 10, 10, 10.
Karena a, e, h membentuk barisan aritmatika, maka barisannya adalah a, 7, 10, sehingga a yang memenuhi adalah 4 dengan beda 3, jadi diperoleh datanya adalah 4, 6, 6, 6, 7, 10, 10, 10.
Rata-rata data tersebut adalah
4 6 6 6 7 10 10 10 8
7,375 = 7, 38
20
SOAL BILANGAN OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
(Soal dari buku Top Sukses Olimpiade Matematika SMA) Buktikan bahwa
(
n n
2
2) habis dibagi 3, untuk setiap bilangan bulat positif n.
Soal Modifikasi:
1. Buktikan
225
n
144
n
habis dibagi
3
4
untuk setiap bilangan asli n.
Penyelesaian: Langkah 1. Basis Induksi
Untuk n=1 225
n
144
Jadi, benar bahwa
n
225
n
15
2n
12
2n
15
2.1
12
2.1
81
3
4
144 n habis dibagi 3 4 .
Langkah 2. Induksi
Asumsikan p (k ) benar untuk suatu bilangan asli n yaitu habis dibagi 225 k
1
4
3
144 k
1
225
n
15 2( k
15 2 k .15 2
12 2 k .12 2
15 2 k .15 2
15 2.12 2 k
15 2 (15 2 k
12 2 k ) 12 2 k (15 2
15 2 (15 2 k
12 2 k ) 12 2 k (3 4 )
1)
12 2( k
4
144 k
1)
15 2.12 2 k
12 2 k .12 2
12 2 )
144 habis dibagi oleh 3 4 . Jadi, n
152 (152 k 122k ) habis terbagi oleh 3
k
dan akan ditunjukkan bahwa p(k+1 ) benar, yaitu
Menurut asumsi,
oleh
225
3
4
dan 122k (34 ) jelas habis terbagi
.
Dari langkah 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap bilangan asli n,
225
n
144
n
selalu habis dibagi oleh n.
SOAL GEOMETRI OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
2. Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang yang panjangnya tiga kali lebarnya. Jika luas permukaan akuarium tersebut 32.000 cm 2. Tentukanlah berapa volume maksimum akuarium tersebut? Penyelesaian: Diketahui: p= 3l Luas permukaan balok
=
2 21
32.000
2 3l .l 3l .t lt
16.000
3l
4lt
2
16.000 3l
2
3lt lt
2
t
4l 4000
t
Volume balok =
16.000 3l
l
××
3
l
4
400 3 3l l l 4 l 400 3 3l 2 l 4 l 12.000l
9
3
l
4
Turunkan V terhadap l V '
d (V )
d (l )
12.000l 1
1
9 3( )l 3 4
1
12.000
27
2
l
4
Volume akan maksimum jika V’=0 12.000
27
2
l
4
l
4
27
l
2
l
0
12.000
16.000
2
9 20
10
3
Volume
20 10 9 3 20 10 12.000 3 4 252.982,21 21.081,85
3
231.900,36 cm 3 3. Dewi mempunyai sebuah trapesium sama kaki ABCD dimana tinggi trapesium adalah 8. Titik P dan Q berada pada
AB
sedemikian sehingga DP
dan CQ tegak lurus A B . Pada trapesium tersebut akan dibuat dua buah
22
lubang berbentuk lingkaran yang terletak pada
∆
∆
APD dan CQB. Jika AP
: PQ =3:4, dan panjang AQ = 14. Tentukanlah luas trapesium Dewi setelah dilubangi adalah…
Penyelesaian: Diketahui AQ = 14 dimana A P : PQ = 3:4 , maka
AP
3
4
PQ PQ
4
3
AP
Akan dicari panjang
Karena Pada AD
AD
2
∆
AP dimana AP =
AQ
=
AP + PQ
14
=
AP +
42
= 7 AP
AP
=6
AP = QB
4 3
AP
= 6, maka PQ =
APD diketahui
QB ,
AP =
4 3
AP
6 dan PD
4 =
3
.6
8
8 maka
akan dicari panjang
2
AP PD 2 6 2 82 36 64 100
AD
10
23
Terdapat lubang berbentuk lingkaran didalam segitiga, untuk mencari
luas lingkaran tersebut, terlebih dahulu cari jari-jari lingkaran menggunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga. 1 r
L. APD
s
2 1 2
( AP PD AD ) 1
. AP . PD
2
.6.8
1
(6 8 10) 2 48
24 2 Luas trapesium setelah dilubangi
Luas
L.Trapesium 2 L. Lingkaran
1 2 1
.( AB CD). PD 2 r 2 (20 8).8 2 2
2
2 112 8
Jadi, luas trapesium yang dimiliki Dewi setelah dilubangi adalah
112 8 .
SOAL STATISTIKA OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
4. 15 siswa kelas IV telah mengikuti ulangan matematika dan memperoleh nilai yaitu 80,85,79,83 ,
x
,88,87,78,89,81 ,
2
2 x 3
86,78,84,79. Rata-rata nilai
siswa kelas IV yaitu 78,6. Setelah ditambah siswa a dan siswa b nilai ratarata menjadi 75,6 dan nilai siswa a dua kali dari nilai siswa b. Tentukanlah simpangan bakunya ! Penyelesaian: Mencari nilai
X
x1
x 2
x3
x
5
dan
x 4
x
x5
11
x6
x7
x8
x9
x10
x11 x12
x13
x14
x15
f
24
80 85 79 83 78,6
x
2
88 87 78 89 81
2 x 3
86 78 84 79
15
1179
1077
102
7 x
612
x
87,4
7 x 6
7 x 6
Nilai dari
x
Nilai dari
x
5
=
11
=
x
=
2
2 x
87,4
43,7
2 87,4
=
3
2
3
58,3
karena ditambah 2 siswa a dan b kemudian rata-rata nilai berubah
menjadi 75,6. Akan dicari nilai dari siswa a dan b n
X
xb
15
n' 17
78,6
X '
75,6
2xa
Maka, xa x
a
xb
2x
a
'
'
1775,6 1578,6
3 xa
1285,2 1179
3 x a
106.2
x a
35,4
Karena xb
2 xa
Maka,
n X n X
xb
2 xa
xb
235,4
xb
70,8
Mencari Simpangan Baku xi
80 85
x
i
X
4.4 9.4
x
X
2
i
19.36 88.36
25
79 83 43.7 88 87 78 89 81 58.3 86 78 84 79 35.4 70.8
s
2
x
=1285.2
s
2
11.56 54.76 1017.61 153.76 129.96 5.76 179.56 29.16 299.29 108.16 5.76 70.56 23901.16 1616.04 23.04 27713.86
27713,86
17 s
3.4 7.4 -31.9 12.4 11.4 2.4 13.4 5.4 -17.3 10.4 2.4 8.4 154.6 -40.2 -4.8
1
1732,12
41,6
Jadi, nilai dari simpangan baku adalah 41,6 5. Rata-rata nilai ujian siswa kelas XII adalah 88 dengan jangkauan nilai siswa adalah 40. Jika setiap nilai ujian siswa dikalikan 2 p kemudian dikurangi 2q sehingga diperoleh rata-rata nilai ujian siswa yang baru adalah 90 dan jangkauan nilai siswa adalah 60. Tentukanlah hasil dari 50 p-q. Penyelesaian: Diketahui :
x 1 x 2
x 2
90
90
88
J 1
90
J 2
40 60
x1
2 p (88) 176 p
2q
2q
(1)
26
J 2
J 1
60
40(2 p)
60
80 p
p
3
(2)
4
Substitusi persamaan (2) ke (1) 176 p - 2q 176(
3 4
= 90
) – 2q
= 90
2q
= 42
q
= 21
Hasil dari 50 p – q = 50.
3 4
- 21 = 16,5.
Jadi, hasil dari 50 p – q adalah 16,5.
SOAL ALJABAR OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
6. Jika
1 5 dan x a g x lim f x
1 3 . Tentukanlah nilai x a g x lim f x
2 1 2 dari lim f x x a g x
Penyelesaian:
Persamaan 1
1 5 x a g x lim f x
(kuadratkan kedua ruas)
2
1 lim f x 5 2 xa g x lim f 2 ( x) lim
x a
x a
1 2
g ( x)
lim 2 f ( x) x a
1 g ( x )
25
Persamaan 2
1 3 x a g x lim f x
(kuadratkan kedua ruas)
27
2
1 lim f x (3) 2 x a g x lim f 2 ( x) lim
x a
x a
1 g 2 ( x)
lim 2 f ( x) x a
1 g ( x)
9
Jumlahkan persamaan 1 dan 2 lim f 2 ( x ) lim
x a
x a
lim f 2 ( x ) lim
x a
x a
1 2
g ( x) 1 2
g ( x)
2 lim f 2 ( x ) lim x a
x a
lim 2 f ( x) x a
lim 2 f ( x ) x a
1 g ( x) 1 g ( x )
25 9
1
34
g 2 ( x )
1 lim f 2 ( x) lim 2 17 x a g ( x ) xa 2 1 17 lim f ( x) 2 x a g ( x)
7. Seorang petani memiliki lahan seluas 5 hektar yang akan ditanami wortel dan kubis oleh beberapa orang tenaga kerja. Dalam sekali panen, jumlah pupuk yang tersedia tidak lebih dari 200kg dan tenaga kerja yang tersedia adalah 600 jam/orang. Untuk menghasilkan 1 kuintal wortel diperlukan tenaga kerja 15jam/orang dan 8kg pupuk sedangkan untuk 1 kuintal kubis diperlukan 10jam/orang dan 5kg pupuk. Setiap hektar tanah menghasilkan 20 kuintal wortel atau 10 kuintal kubis. Keuntungan yang diperoleh dari 1 kuintal wortel Rp 3.000.000,00 dan 1 kuintal kubis adalah Rp 1.500.000,00. Berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh petani tersebut? Penyelesaian: Akan dicari berapa bagian yang diperlukan untuk menanam setiap 1 kuintal wortel dan kubis 1 hektar memungkinkan 20 kuintal wortel
Jadi, 1 kuintalnya diperlukan 0,05 hektar untuk ditanami wortel 1 hektar memungkinkan 10 kuintal kubis
Jadi, 1 kuintalnya diperlukan 0,1 hektar untuk ditanami kubis
28
Wortel
Kubis
Keterangan
Satuan
(perkuintal)
( perkuintal )
Tanah
0,05
0,1
5
Hektar
Tenaga
15
10
600
jam/orang
Pupuk
8
5
200
Kg
Pendapatan
3.000.000
1.500.000
kerja
Misalkan: x = banyak kuintal wortel y= banyak kuintal kubis Fungsi Tujuan: memaksimumkan f ( x,y) = 3.000.000 x + 1.500.000 y Fungsi Kendala: 0.05 x + 0,1 y
≤
5
≤ ↔ ≤ ↔ ≥ ≥ = =
15 x +10 y
600
8 x + 5 y
200
x
0
0, y
0,15 x + 0,1 y
0,08 x +0,05 y
Akan dicari titik perpotongan 0.05 x + 0,1 y
5
0,15 x + 0,1 y
2
≤ ≤
6 2
=
6
0,08 x +0,05 y
X
Y
x
y
X
y
0
50
0
60
0
40
100
0
40
0
25
0
Sketsa
29
0,05 x 0,1 y
5
0,15 x 0,1 y
6
0,1 x
x
1
10
0,05 x 0,1 y
5
0,05(10) 0,1 y 5 0,1 y
4,5
y
45
Titik Pojok
f( x,y) = 3.000.000 x + 1.500.000 y
A(0,60)
Rp 90.000.000,00
B(10,45)
RP 97.500.00,00
C(200,0)
Rp 600.000.000.000
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp 600.000.000,00
SOAL KOMBINATORIK OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI
8. Tentukanlah berapa kali munculnya angka no pada bilangan asli pertama 2017? Penyelesaian: Untuk 1 sampai dengan 1000
1 sampai 100 ada 11 kali
30
101 sampai 200 ada 20 kali
201 sampai 300 ada 20 kali dst
901 sampai 1000 ada 21 kali
Banyaknya angka nol yang muncul dari 1 sampai 1000 adalah 11 + (20
× 8
) + 21 = 192 kali
Untuk 1001 sampai 2000
1001 sampai 1100 ada 119 kali
1101 sampai 1200 ada 20 kali
1201 sampai 1300 ada 20 kali dst
1901 sampai 2000 ada 21 kali
Banyaknya angka nol yang muncul dari 1001 sampai dengan 2000 adalah 119 + (20
×
8) + 21 = 300
Untuk 2001 sampai dengan 2017 ada 27 kali angka nol yang muncul.
Jadi, banyak angka nol yang muncul pada bilangan asli pertama 2017 sebanyak 192+300+27= 519 kali.
31
SOAL STATISTIK OLEH I KOMANG INDRA PUTRA JAYANTARA
Statistik 1. Banyak siswa kelas A adalah 30 dan kelas B adala h 20 siswa, nilai ratarata ujian matematika kelas B lebih besar 10 dari kelas A. jika rata-rata ujian matematika gabungan adalah 66, maka rata-rata nilai ujian kelas B adalah? Jawab : Diketahui : nA 30
nB
n gab
20 50
x A x B
x gab
10
66
Gunakan rumus rata-rata gabungan n gab . x gab
nA. x A nB. x B
50.66 30( x B 10) 20. x B 3300 30 x B 300 20 x B 3600 50 x B 3600 50
x B
x B 72 Kombinatorika 2. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 adalah? Jawab : 110 1 10
Jika angka pertama 1 maka
Jika angka pertama 2 maka
1101 10
Jika angka pertama 3 maka
110 2 20
Jika angka pertama 4 maka
110 2 20
Jika angka pertama 5 maka
110 2 20
Jika angka pertama 6 maka
110 2 20
Jika angka pertama 7 maka
1101 10
32
Jika angka pertama 8 maka
110 1 10
Jika angka pertama 9 maka
110 1 10
Jadi banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertaman dan terakhir mempunyai selisih 2 adalah
10 10 20 20 20 20 10 10 10 130 bilangan.
Bilangan U n menyatakan
3. Misalkan U 6
64 dan
log U 2
suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui
log U 3
log U 4
9 log 2 , maka nilai
U 3 adalah?
Jawab : Ingat!!! Dalam Logaritma a
log b a log c a log d a log( b.c.d )
n.
a
log b a log b n
Suku ke-n barisan geometri U n
n 1
a r
Diketahui barisan geometri U 6
log U 2
log U 3
64
log U 4
9 log 2
log( U 2 U 3 U 4 ) log 2 9 U 2 U 3 U 4 2
a r ar a
3
(a a U 3
6 r
29
29
)
29
3 ar
2 3 r 2 r
(2 3 ) 3
23
8
33
Aljabar 4. Komang mempunyai sebuah toko sepatu, ia ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki dan sepatu perempuan. Toko tersebut hanya mampu menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000 dan keuntungan tiap pasang sepatu perempuan adalah Rp. 5000. Ari ingin mengisi tokonya dengan paling sedikit 100 pasang sepatu laki-laki dan paling banyak 150, dan untuk sepatu wanita ia ingin mengisi dengan paling sedikit 150 pasang sepatu wanita. Tentukan luas daerah dari himpunan penyelesaian program linier tersebut! Pemabahasan
Missal : x adalah banyak pasang sepatu laki-laki y adalah banyak pasang sepatu wanita Fungsi objektif F ( x, y ) 10000 x 5000 y
Fungsi kendala x y 400
100
x
150
Karena laki-laki paling banyak 150 maka perempuan paling banyak 250 150 y 250 x
0, y
0
Gambar dari fungsi kendala
34
Pada gambar Panjang a=1 dan panjang 0.5 jadi lua s persegi Panjang tersebut adalah 0.5 Maka luas daerah himpunan penyelsaiannya adalah 0.5 x 100=50
35
View more...
Comments
