Sec 9.3 Criterio de La Integral y Series p.
January 13, 2021 | Author: Anonymous | Category: N/A
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9.3 Criterio de la integral y series p • •
Emplear el criterio de la integral para determinar si una serie infinita converge o diverge. Usar las propiedades de las series p y de las series armónicas.
•
El criterio de la integral En esta sección y en la siguiente, se estudiarán varios criterios de convergencia que aplican a las series con términos positivos.
TEOREMA 9.10 EL CRITERIO DE LA INTEGRAL Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an =f ( n ) entonces ∞
∞
( x ) dx a n y ∫ f ( ∑ n= 1
1
o ambas convergen o ambas divergen.
ig!ra 9." DEMO#TRACI$N Comen Comenza zamos mos dividi dividiend endo o el interv intervalo alo [ 1, n ] en n −1 subinterv subintervalos alos de longitud unidad o unitaria, como se muestra en la figura .!. "as áreas totales de los rectángulos inscritos y los rectángulos circunscritos son n
f ( i )= f ( ( 2 ) + f ( ( 3 )+ … + f ( ( n ) Área Área inscrit inscritaa . ∑ = i
2
n− 1
f ( i )= f ( ( 1 ) + f ( ( 2 ) + … + f ( ( n− 1 ) Áreacircun Área circunscrita scrita ∑ i= 1
El área e#acta ba$o la gráfica de f para x =1 a x =n se encuentra entre las áreas inscrita y circunscrita. n
n
n −1
1
1
f ( i ) ≤∫ f ( x ) dx ≤ ∑ f (i ) ∑ i= i= 2
Empleando la n%ésima suma parcial, S n= f ( ( 1 )+ f ( ( 2 ) + … + f ( n ) se puede escribir esta desigualdad como
n
( x ) dx≤S n−1 S n− f ( 1 ) ≤∫ f ( 1
∞
&'ora, suponiendo que que S n− f ( ( 1 ) ≤ L
⟹
1
converge a L se sigue que para n ≥ 1
Sn ≤ L + f ( ( 1 ) .
{ Sn }
(or (or cons consig igui uien ente te,, consiguiente,
∫ f ( x ) dx
∑a
n
es acot acotad ada a y monó monóto tona na,, y por por el teor teorem ema a .) .) conv conver erge ge.. (or (or
converge. (ara la otra dirección de la demostración, asumir que la integral n
improp impropia ia diverg diverge. e. Entonc Entonces es n
S n−1 ≥ ∫ f ( x ) dx implica que 1
∫ f ( x ) dx 1
tien tiende de a infi infini nito to cuand cuando o
n→∞,
y la desigualdad
{ Sn } diverge. &s* pues, ∑ a n diverge.
NOTA +ecordar que la convergencia o divergencia de ∑ a n no se ve afectada al anular los prim primer eros os N términ términos. os. &nálog &nálogame amente nte,, si las condic condicion iones es para para el criter criterio io de la integr integral al se ∞
satisfacen para todo x ≥ N > 1 se puede simplemente usar la integral
∫ f ( x ) dx N
como criterio
de convergencia o divergencia. Esto se ilustra en el e$emplo -. EJEMPLO 1 A%licaci&n del criterio de la integral
&plicar el criterio de la integral a la serie ∞ n . ∑ 2 n= 1 n + 1 2 #ol!ci&n "a función f ( ( x )= x /( x + 1 ) es positiva y continua para x ≥ 1 . (ara determinar si f es decreciente, encontrar la derivada. ( x 2+ 1)( 1 )− x ( 2 x ) − x 2 + 1 ' = 2 2 f ( x x )= ( x 2 + 1 )2 ( x + 1)
&s*, f ' ( x )< 0 pa para x > 1 y se sigu sigue e que que integral. Se puede integrar para obtener ∞ ∞ x 1 ∫ x2 + 1 dx = 2 ∫ x22 x+1 dx 1 1 ¿ 1 lim 2 b →∞
b
∫ x x+ 1 dx 2
1
f satisface las condiciones del criterio de la
n
( x ) dx≤S n−1 S n− f ( 1 ) ≤∫ f ( 1
∞
&'ora, suponiendo que que S n− f ( ( 1 ) ≤ L
⟹
1
converge a L se sigue que para n ≥ 1
Sn ≤ L + f ( ( 1 ) .
{ Sn }
(or (or cons consig igui uien ente te,, consiguiente,
∫ f ( x ) dx
∑a
n
es acot acotad ada a y monó monóto tona na,, y por por el teor teorem ema a .) .) conv conver erge ge.. (or (or
converge. (ara la otra dirección de la demostración, asumir que la integral n
improp impropia ia diverg diverge. e. Entonc Entonces es n
S n−1 ≥ ∫ f ( x ) dx implica que 1
∫ f ( x ) dx 1
tien tiende de a infi infini nito to cuand cuando o
n→∞,
y la desigualdad
{ Sn } diverge. &s* pues, ∑ a n diverge.
NOTA +ecordar que la convergencia o divergencia de ∑ a n no se ve afectada al anular los prim primer eros os N términ términos. os. &nálog &nálogame amente nte,, si las condic condicion iones es para para el criter criterio io de la integr integral al se ∞
satisfacen para todo x ≥ N > 1 se puede simplemente usar la integral
∫ f ( x ) dx N
como criterio
de convergencia o divergencia. Esto se ilustra en el e$emplo -. EJEMPLO 1 A%licaci&n del criterio de la integral
&plicar el criterio de la integral a la serie ∞ n . ∑ 2 n= 1 n + 1 2 #ol!ci&n "a función f ( ( x )= x /( x + 1 ) es positiva y continua para x ≥ 1 . (ara determinar si f es decreciente, encontrar la derivada. ( x 2+ 1)( 1 )− x ( 2 x ) − x 2 + 1 ' = 2 2 f ( x x )= ( x 2 + 1 )2 ( x + 1)
&s*, f ' ( x )< 0 pa para x > 1 y se sigu sigue e que que integral. Se puede integrar para obtener ∞ ∞ x 1 ∫ x2 + 1 dx = 2 ∫ x22 x+1 dx 1 1 ¿ 1 lim 2 b →∞
b
∫ x x+ 1 dx 2
1
f satisface las condiciones del criterio de la
¿
1 x 2+ 1 ) b lim ln ( x 2 b →∞ 1
¿
1 2 lim ln ( b + 1 ) −ln 2 2 b →∞
[
]
[
]
¿∞ (or tanto, la serie diverge. EJEMPLO 2 A%licaci&n del criterio de la integral
&plique el criterio de la integral a la serie ∞
1 ∑ n= n + 1 2
1
2 #ol! #ol!ci ci&n &n Como f ( ( x )=1 /( x +1 ) satisf satisface ace las las condici condicion ones es para el criter criterio io de la integral integral verificar, se puede integrar para obtener
∞
b
1
1 dx ∫ x + 1 dx =blim ∫ →∞ x +1 2
2
1
1
¿ lim [ arctan x ] b
1
b →∞
¿ lim [ arctan b −arctan arctan 1 ] b →∞
π π π ¿ − = . 2
4
4
(or tanto, la serie converge ver la figura ..
Como la integral impropia converge, la serie infinita también converge ig!ra 9.9
TECNOLOG'A En el e$emplo /, el 'ec'o de que la integral impropia conver$a a π
que la serie infinita conver$a a
4
π 4
no implica
. (ara apro#imar la suma de la serie, se puede usar la
desigualdad N
1
∞
1
N
∞
1 +∫ ≤∑ ≤∑ dx . ∑ x +1 n= n + 1 n = n + 1 n= n + 1 2
1
2
1
1
2
1
2
N
0er el e$ercicio 1!. Entre mayor sea el valor N , me$or es la apro#imación. (or e$emplo, usando 1 N =200 se obtiene 1.072 ≤ ∑ 2 ≤ 1.077 . n +1
#eries p y series ar(&nicas En el resto de esta sección se investigará un segundo tipo de serie que admite un criterio aritmético de convergencia o divergencia muy sencillo. Una serie de l a forma ∞
1 = 1 p + 1 p + 1 p + …Serie p . ∑ p 1 2 3 n= n 1
es una serie p donde p es una constante positiva. (ara p=1 la serie ∞
1 1 1 1 = + + + …Serie armónica ∑ n 1 2 3 = n
1
es la serie ar(&nica. Una serie ar(&nica general es de la forma
∑ 1 /( an +b )
En m2sica, las
cuerdas del mismo material, diámetro y tensión cuyas longitudes forman una serie armónica producen tonos armónicos. El criterio de la integral es adecuado para establecer la convergencia o divergencia de las series p. Esto se muestra en la demostración del teorema .33.
#ERIE ARM$NICA (itágoras y sus disc*pulos prestaron minuciosa atención al desarrollo de la m2sica como una ciencia abstracta. Esto llevó al descubrimiento de la relación entre el tono y la longitud de la cuerda vibrante. Se observó que las armon*as musicales más 'ermosas correspond*an a las proporciones más simples de n2meros enteros. 4atemáticos posteriores desarrollaron esta idea en la serie armónica donde los términos de la serie armónica corresponden a los nodos en una cuerda vibrante que produce m2ltiplos de la frecuencia fundamental. (or e$emplo, es el doble de la frecuencia fundamental, es el triple de la frecuencia, y as* sucesivamente. TEOREMA 9.11 CON)ERGENCIA DE #ERIE# p "a serie p ∞
1 1 1 1 1 = p + p + p + p … ∑ p 1 2 3 4 n= n 1
1. converge si p > 1 y *. diverge si 0 2 y se sigue que f satisface las condiciones para el criterio integral. ∞
∫ 2
∞
∫ 1ln/ x x dx
1 dx = x ln x
2
x ln ¿ ¿ ¿b
2 ln ¿ ¿ lim ¿ b →∞
¿ lim [ ln ( ln b )− ln ( ln 2 )] = ∞ b →∞
"a serie diverge.
NOTA "a serie infinita en el e$emplo - diverge muy lentamente. (or e$emplo, la suma de los primeros 37 términos es apro#imadamente 3.1!8!31, y la suma de los primeros 377 términos es sólo un poco más grande9 /.6/)7!83. "a suma de los primeros 37 777 términos es
apro#imadamente 6.73)7/387-. Se puede ver que aunque la serie infinita :suma 'acia el infinito;, lo 'ace muy lentamente.
9.3 Eercicios En los eercicios 1 a */ conir(ar !e el criterio de la integral %!ede a%licarse en la serie. Entonces2 !sar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie. ∞
1.
1 ∑ n= n + 3 1
Solución9
∞
2.
2 ∑ n= 3 n + 5 1
Solución9
∞
3.
1 ∑ n n= 2 1
Solución9 ∞
4.
−n 3 ∑ n= 1
Solución9 ∞
5.
∑= e− n
n
1
Solución9
∞
6.
ne−n / ∑ n=
2
1
Solución9
7.
1 1 1 1 1 + + + + +… 2 5 10 17 26
Solución9
8.
1 1 1 1 1 + + + + +… 3 5 7 9 11
Solución9
9.
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 6 + + + + +… 2 3 4 5 6
Solución9
10.
ln 2 ln 3
√ 2
+
√ 3
+
ln 4
√ 4
+
ln 5
√ 5
+
ln 6
√ 6
+…
Solución9
11.
1
+
1
+
1
√ 1 (√ 1 + 1) √ 2 ( √ 2 + 1 ) √ 3 ( √ 3 + 1)
Solución9
+… +
1
√ n ( √ n + 1 )
12.
n 1 2 3 + + +… + 2 +… 4 7 12 n +3
Solución9
∞
13.
∑= √ n1+2 n
1
Solución9
∞
14.
ln n ∑ n= n 3
2
Solución9
∞
15.
ln n ∑ n= n 2
1
Solución9
∞
16.
∑= n √ 1ln n n
2
Solución9
∞
17.
arctan x ∑ n +1 n= 2
1
Solución9
∞
18.
∑= n ln n ln1 (ln n ) n
3
Solución9
∞
19.
∑= ( 2 n1+ 3)
3
n 1
Solución9 ∞
20.
∑= nn ++ 21 n
1
Solución9 ∞
21.
4n ∑ n= 2 n + 1 2
1
Solución9
∞
22.
n ∑ n= n + 1 4
1
Solución9
∞
23.
∑= (4 + 5nn) /
3 2
n 1
Solución9 ∞
24.
n ∑ n= n + 2 n + 1 4
2
1
Solución9
En los eercicios * y *42 a%licar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie donde k es !n entero %ositi+o. ∞
n −1 25. ∑ n=1 n + c
Solución9
∞
26.
n e−n ∑ n= 1
Solución9
En los eercicios *5 a 302 e6%licar %or !7 el criterio de la integral no a%lica a la serie. ∞
(−1 )n 27. ∑ n n=1 Solución9
∞
28.
e−n cos n ∑ n= 1
Solución9
∞
29.
∑= 2 + senn n n
1
Solución9
∑= ( ∞
30.
n 1
senn n
)
2
Solución9
En los eercicios 31 a 3/2 a%licar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie p . ∞
31.
1 ∑ n= n
3
1
Solución9
∞
32.
1 ∑ / n= n
1 3
1
Solución9
∞
33.
1 ∑ / n= n
1 4
1
Solución9
∞
34.
1 ∑ n= n
4
1
Solución9
En los eercicios 3 a /*2 !sar el teore(a 9.11 %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie p . ∞
35.
∑ n= 1
1 5
√ n
Solución9
∞
36.
5 ∑ / n= n
5 3
1
Solución9
37.1 +
1
+
1
+
1
√ 2 √ 3 √ 4
+…
Solución9
38.1 +
1 1 1 1 + + + … 4 9 16 25
Solución9
39.1 +
1 2 √ 2
+
1 3 √ 3
+
1 4 √ 4
+
1 5 √ 5
Solución9
1 1 1 1 +3 … 40.1 + 3 + 3 + 3 √ 4 √ 9 √ 16 √ 25
Solución9
∞
41.
1 ∑ n= n
1.04
1
…
Solución9
∞
42.
1 ∑ π n= n 1
Solución9
En los eercicios /3 a /"2 asignar la serie a la gr-ica de la s!cesi&n de s!s s!(as %arciales. 8Las gr-icas se eti!etan a,2 b,2 c ,2 d ,2 e, y f ,. Deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie.
∞
43.
∑ n= 1
2 4
√ n
Solución9
∞
44.
2 ∑ n= n 1
Solución9
∞
45.
∑ n= 1
2
√ nπ
Solución9
∞
46.
∑ n= 1
2
√ n2 5
Solución9
∞
47.
2 ∑ = n √ n n
1
Solución9
∞
48.
2 ∑ n= n
2
1
Solución9
/9. Análisis numérico !ráfico Usar una 'erramienta de graficación para encontrar la suma parcial indicada S n y completar la tabla. Entonces usar una 'erramienta de graficación para representar los primeros 37 términos de la sucesión de sumas parciales. En cada caso comparar el ritmo o velocidad a la cual la sucesión de las sumas parciales se apro#ima a la suma de la serie.
∞
()
1 a¿ 3 5 n= 1
∑
n −1
∞
2
1 π = 15 b ¿ = 2 4 6 n= 1 n
∑
Solución9
0. "a#onamien$o numérico Como la serie armónica diverge, se sigue que para cualquier n2mero real positivo ! e#iste un entero positivo N tal que la suma parcial N
1 > ! . ∑ n = n
1
a Usar una 'erramienta de graficación para completar la tabla
b Conforme el n2mero real M crece a incrementos iguales, < N crece también a incrementos
iguales= E#plicar Solución9
Desarrollo de conce%tos 1. Enunciar el criterio de la integral y dar un e$emplo de su uso. Solución9
*. 5efinir una serie p y enunciar los requisitos para su convergencia. Solución9
3. Un alumno de la clase de cálculo le dice a un amigo que la serie siguiente converge porque los términos son muy peque>os y se apro#iman a 7 rápidamente.
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