Rezolvari Recurente Integrale
April 2, 2017 | Author: alexandra | Category: N/A
Short Description
Download Rezolvari Recurente Integrale...
Description
2
V35 Se consideră şirul I n n , I n 2 x x 2 dx , n * . V35 n
*
0
a) Să se calculeze I1 .
b) Să se demonstreze că 2n 1 I n 2nI n 1 , n * , n 2 c) Să se arate că şirul I n n* tinde descrescător către 0.
SOLUŢIE: a) Calculăm: 2
x3 8 4 I1 2 x x dx x 2 4 30 3 3 0 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 2 2 n n 1 l I n 2 x x 2 dx 2 2 x 2 x x 2 dx 20 0 2
2
2 2 l 1 2 n 2 n 2 2 x x x 2 2 x 2 x x dx 2 0 0 0
2
2
n 1 l n 1 1 2 2 2 x n 2 x x 2 2 x x 2 dx 2n 1 x 2 x x 2 dx 20 0 2 2 x
2
2n 1 2 x x
2
2
2 x x
dx 2n 1 2 x x 2 2 x x 2
2 n 1
0
2
2n 2 x x 2 0
n 1
dx
0
n 1
2 x x 2 dx 2n I n 1 I n n
I n 2nI n 1 2nI n
2nI n I n 2nI n 1 2n 1 I n 2nI n 1
c) Calculăm diferența I n 1 I n pentru aflarea monotoniei șirului : 2
I n 1 I n 2 x x 2
n 1
0
2
2x x2
2x x n
2
0
2
2
n
1 dx 2 x x 2 0
x n
2
n 1
n 2 x x 2 dx 2
2 x 1 dx x 2 x x 1 dx 0 I n 0 n
0
Fie funcţia: f : 0, 2 , f x 2 x x 2 x 2 x 0
1 4a
Avem 0 2x x
2 n
n
n
1 1 n p p 0 2 x x 2 dx dx q q 0 0 n
1
n
p p p 0 I n x 0 I n lim 0 lim I n lim n n n q q q 0 0 Deci lim I n 0 n
Am aplicat criteriul cleştelui
n
0
0 2 x x 2 1 , x 0, 2 0 2 x x 2
0
max f yv
2
dx 2 x x 2 dx 2 x x 2 0 0
n
p p , 0,1 q q
1
V42
Se consideră şirul I n n* , I n x x 2 dx , n * . V42 n
0
a) Să se calculeze I 2 . b) Să se demonstreze că I n
n I n 1 , n , n 2 4n 2
c) Să se calculeze lim I n . n
SOLUȚIE: a) Calculăm: 1
1
I 2 x x 2 dx x 2 2 x 3 x 4 dx 2
0
0
1
x3 x 4 x5 1 1 1 1 2 4 5 0 3 2 5 30 3 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 1 1 n 1 l 2 n I n x x dx 1 2 x x x 2 dx 20 0 1 1 l 1 2 n 2 n 1 2 x x x 1 2 x x x dx 2 0 0 0
1
1
n 1 l n 1 n n 1 2 x x x 2 x x 2 dx 1 4 x 4 x 2 x x 2 dx 20 20 1 2 x
1
1
n 1 n 1 4 x x 2 1 x 2 dx 20
n 1 n n n 1 x 2 4 1 x 2 dx I n 1 4 I n 20 2
I n 2nI n
n I n 1 4n 2 I n nI n 1 2
n I n , n * 4n 2 c) Fie funcţia: f : 0,1 , f x x x 2 x 1 x 0 In
0
max f yV
0 x x2
1 4a 4
1 , x 0,1 4
Avem 0 x x
2 n
n
1
1
n
n 1 1 0 x x 2 dx dx 4 4 0 0 n
1
n
1 1 1 0 I n x 0 I n lim 0 lim I n lim n n n 4 4 4 0 0 Deci lim I n 0 n
Am aplicat criteriul cleştelui
n
V50
Se consideră şirul I n n* , I n
1
1 x dx , 2 n
n * . V50
1
a) Să se calculeze I 2 . b) Să se demonstreze că I n 1
2n 2 I n , n * . 2n 3 n
c) Să se demonstreze că şirul an n* definit prin an
1
k
Cnk , n * are limita 0 . 2k 1
k 0
SOLUȚIE: a) Calculăm: x3 x5 I 2 1 x dx 1 2 x x dx x 2 3 5 1 1 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 1 1 n 1 n 1 1 l I n 1 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 dx 2 1 1 1
1
2 2
2
4
1
2 1 16 2 1 1 1 3 5 15 3 5 1
1 1 1 l n l 1 1 2 n 1 2 n 1 dx 2 x n 1 1 x 2 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 1 2 1 2 x 0
1
1
1
n n n n 1 2 x 1 x 2 2 x dx 2 n 1 x 2 1 x 2 dx 2 n 1 1 1 x 2 1 x 2 dx 2 1 1 1 1
n n 1 2 n 1 1 x 2 1 x 2 dx 2 n 1 I n I n 1 1
I n 1 2 n 1 I n 1 2 n 1 I n 2n 3 I n 1 2n 2 I n I n 1
2n 2 I n , n * 2n 3
c) Calculăm folosind binomul lui Newton:
1 x dx C 1
In
1 1
1
2 n
0 n
2
3
n
n
1
n
1
k
1 k 0
C x k n
2 k
Cn1 x 2 Cn2 x 2 Cn3 x 2 ... 1 Cnn x 2 dx 1
x 2 k 1 dx 1 C x dx 1 C 2k 1 1 k 0 k 0 1 n
1
k
k n
n
2k
k
k n
n 1 Cnk 1 n 2 1 k 1 k 1 C 2 2an an I n 1 Cn 2k 1 2 2k 1 2k 1 k 0 k 0 k 0 2k 1 Studiem limita şirului I n k
n
k
k n
Fie funcţia f : 1,1 , f x 1 x 2 1 x 1 x 0 0
max f yV
1 4a
0 1 x
2 n
n
0
0 1 x 2 1 , x 1,1 0 1 x 2
n
n
1
p p , 0,1 q q
1 1 n p p p p 0 1 x 2 dx dx 0 I n x 0 I n 2 q q q q 1 1 1
Deci şirul I n are limita 0 adică şi şirul an n* are limita 0 .
0
n
2
V77 Se consideră şirul I n n1 , I n x 1 2 x dx . V77 n
1
a) Să se calculeze I1 . b) Să se demonstreze că 2 2n 1 I n nI n1 , n * , n 2 c) Să se calculeze lim In . n SOLUȚIE: a) Calculăm: x3 x2 I1 x 1 2 x dx x 3 x 2 dx 3 2 x 2 3 1 1 2
2
2
2
1
2 2 9 12 2 5 1 8 1 3 6 4 2 3 6 3 6 6 3 3 2
b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 2
2
2
n n n 1 l I n x 1 2 x dx x 2 3 x 2 dx 2 x 3 x 2 3 x 2 dx 21 1 1 In
2 n 2 n l 1 2 2 2 x 3 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 2 dx 2 1 1 0
2
2
n 1 l n 1 1 n 2 2 x 3 n x 2 3x 2 x 2 3x 2 dx 2 x 3 x 2 3 x 2 dx 21 21 2 x 3
2
2
n 1 n 1 n n 4 x 2 12 x 9 x 2 3 x 2 dx 4 x 2 12 x 9 x 2 3 x 2 dx 21 21 2
2
n 1 n n 1 n n 4 x 2 3 x 2 1 x 2 3 x 2 dx 4 x 2 3 x 2 x 2 3 x 2 dx 21 21
n n 4 I n I n 1 I n 4 I n I n 1 2 I n 4nI n nI n 1 2 2n 1 I n nI n 1 2 2
c) Fie funcţia:
f : 1, 2 , f x x 2 3x 2 x 1 2 x 0 0
max f yV
0
0 x 2 3x 2
1 4a 4
Avem 0 x 3x 2 2
n
n
n
2
2
n
n 1 1 0 x 2 3x 2 dx dx 4 4 1 1 2
n
1 1 1 0 I n x 0 I n lim 0 lim I n lim n n n 4 4 4 1
0 Deci lim In 0 n Am aplicat criteriul cleştelui.
n
1 , x 1, 2 4
Se consideră funcţia f : 1, 2 , f x x 2 3x 2 Bac1 2011 var5 v
f x dx . 4
a) Să se calculeze
1
b) Calculaţi
aria
suprafeţei
g : 1, 2 , g x
f x x 2
c) Arătaţi că 4n 2 f 1
determinate
şi de axa
Ox
de
graficul
funcţiei
.
2
n
x dx n f n1 x dx 0 . 1
SOLUŢIE: a) Înlocuim şi calculăm
f x dx 4
4
1
1
4
x2 2 32 1 1 x 3 x 2 dx 3 x 2 x 8 16 8 2 2 3 2 2 2 1
b
b) Aplicăm formula : A f x dx a
2
Ag 1
x 3 x 2 x 3 x 2 0 x 3 x 2 2 dx dx x 3 dx x x x 1 1 2
2
2
2
2
2
x2 1 3 3x 2 ln x 2 6 2 ln 2 3 2 ln1 2 ln 2 2 0 2 2 1 2
2
1
1
c) Notăm I n f n x dx şi evident I n1 f n1 x dx Avem de arătat relaţia 4n 2 I n nI n1 0 2
2
n 1 l I n x 3x 2 dx 2 x 3 x 2 3x 2 dx 21 1 2
n
l 2 n 2 n 1 2 2 I n 2 x 3 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 2 dx 2 1 1 n 1 0 n x 2 3 x 2 2 x 3 2 n1 n 2 I n 2 x 3 x 2 3x 2 dx 21
2
2
n 1 n1 n n I n 4 x 2 12 x 9 x 2 3x 2 dx 4 x 2 3x 2 1 x 2 3x 2 dx 21 21 2 n n1 n 2 n I n 4 x 3x 2 x 2 3x 2 dx 4 I n I n1 2 1 2
2I n 4nI n nI n1 4n 2 I n nI n1 0
View more...
Comments