Rezolvari Recurente Integrale

April 2, 2017 | Author: alexandra | Category: N/A
Share Embed Donate


Short Description

Download Rezolvari Recurente Integrale...

Description

2

V35 Se consideră şirul  I n n , I n    2 x  x 2  dx , n  * . V35 n

*

0

a) Să se calculeze I1 .

b) Să se demonstreze că  2n  1 I n  2nI n 1 , n  * , n  2 c) Să se arate că şirul  I n n* tinde descrescător către 0.

SOLUŢIE: a) Calculăm: 2

 x3  8 4 I1    2 x  x dx   x 2    4   30 3 3  0 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 2 2 n n 1 l I n    2 x  x 2  dx     2  2 x   2 x  x 2  dx  20 0 2

2

  2 2 l 1  2 n 2 n     2  2 x   x  x     2  2 x   2 x  x  dx   2    0 0  0   





2



2

n 1 l n 1 1 2  2  2 x  n  2 x  x 2   2 x  x 2  dx  2n  1  x   2 x  x 2  dx     20 0 2 2 x

2

 2n  1  2 x  x

2

2

 2 x  x 

dx  2n  1   2 x  x 2    2 x  x 2 

2 n 1

0

2



 2n   2 x  x 2  0

n 1

dx 

0

n 1



  2 x  x 2  dx  2n  I n 1  I n   n

 I n  2nI n 1  2nI n 

 2nI n  I n  2nI n 1   2n  1 I n  2nI n 1

c) Calculăm diferența I n 1  I n pentru aflarea monotoniei șirului : 2



I n 1  I n   2 x  x 2



n 1

0

2



  2x  x2

 2x  x n

2

0

2





2





n

 1 dx    2 x  x 2 0



 x n

2



n 1







n  2 x  x 2 dx  2

 2 x  1 dx     x  2  x    x  1 dx  0   I n     0 n

0

Fie funcţia: f :  0, 2   , f  x   2 x  x 2  x  2  x   0 

 1 4a

Avem 0  2x  x



2 n

n

n

1 1 n  p  p     0    2 x  x 2  dx     dx  q q 0 0 n

1

n

 p  p  p  0  I n     x  0  I n     lim 0  lim I n  lim   n  n  n  q q q   0 0 Deci lim I n  0 n 

Am aplicat criteriul cleştelui

n

0

 0  2 x  x 2  1 , x   0, 2  0  2 x  x 2 

0

max f  yv 

2

dx   2 x  x 2 dx    2 x  x 2  0 0

n

p p ,   0,1 q q

1

V42

Se consideră şirul  I n n* , I n    x  x 2  dx , n  * . V42 n

0

a) Să se calculeze I 2 . b) Să se demonstreze că I n 

n I n 1 , n  , n  2 4n  2

c) Să se calculeze lim I n . n 

SOLUȚIE: a) Calculăm: 1

1

I 2    x  x 2  dx    x 2  2 x 3  x 4 dx  2

0

0

1

 x3 x 4 x5  1 1 1 1    2         4 5  0  3 2 5  30  3 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 1 1 n 1 l 2 n I n    x  x  dx    1  2 x   x  x 2  dx  20 0   1 1 l 1  2 n 2 n    1  2 x   x  x    1  2 x   x  x  dx   2    0 0  0  





1



1

n 1 l n 1 n n 1  2 x   x  x 2   x  x 2  dx   1  4 x  4 x 2  x  x 2  dx      20 20 1 2 x

1



1







n 1 n 1  4  x  x 2  1  x 2  dx   20



n 1 n n n 1  x 2   4 1  x 2  dx   I n 1  4 I n     20 2



 I n  2nI n 

n I n 1   4n  2  I n  nI n 1  2

n I n , n   * 4n  2 c) Fie funcţia: f :  0,1   , f  x   x  x 2  x 1  x   0   In 

0

max f  yV 

 0  x  x2 

 1  4a 4

1 , x   0,1 4

Avem 0  x  x



2 n

n

1

1

n

n 1 1     0    x  x 2  dx     dx  4 4 0 0 n

1

n

1 1 1  0  I n     x  0  I n     lim 0  lim I n  lim   n  n  n  4 4 4   0 0 Deci lim I n  0 n 

Am aplicat criteriul cleştelui

n

V50

Se consideră şirul  I n n* , I n 

1

 1  x  dx , 2 n

n  * . V50

1

a) Să se calculeze I 2 . b) Să se demonstreze că I n 1 

2n  2 I n , n   * . 2n  3 n

c) Să se demonstreze că şirul  an n* definit prin an  

 1

k

Cnk , n  * are limita 0 . 2k  1

k 0

SOLUȚIE: a) Calculăm:  x3 x5  I 2   1  x  dx   1  2 x  x dx   x  2    3 5   1 1 b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 1 1 n 1 n 1 1 l I n 1   1  x 2  dx     2 x  1  x 2  dx  2 1 1 1

1

2 2

2

4

1

2 1  16  2 1    1      1     3 5  15  3 5  1

  1 1 1 l n l 1  1 2 n 1 2 n 1 dx     2 x  n  1 1  x 2  1  x 2  dx     2 x  1  x     2 x  1  x   2   1 1    2 1 2 x 0  





1



1

1

n n n n 1  2 x  1  x 2   2 x dx  2  n  1  x 2 1  x 2  dx  2  n  1  1  1  x 2  1  x 2  dx  2 1 1 1 1

n n 1  2  n  1  1  x 2   1  x 2   dx  2  n  1 I n  I n 1     1

 I n 1  2  n  1 I n 1  2  n  1 I n   2n  3  I n 1   2n  2  I n  I n 1 

2n  2 I n , n  * 2n  3

c) Calculăm folosind binomul lui Newton:

 1  x  dx    C 1

In 

1 1



1

2 n

0 n

2

3

n

n

1

n

   1

k

1 k  0

C  x k n



2 k



 Cn1 x 2  Cn2  x 2   Cn3  x 2   ...   1 Cnn  x 2  dx  1

x 2 k 1 dx    1 C   x dx   1 C   2k  1 1 k 0 k 0 1 n

1

k

k n

n

2k

k

k n

n 1 Cnk  1  n 2 1 k  1 k    1 C    2  2an  an  I n     1 Cn 2k  1 2  2k  1 2k  1  k  0 k 0 k  0 2k  1 Studiem limita şirului  I n  k

n

k

k n

Fie funcţia f :  1,1   , f  x   1  x 2  1  x 1  x   0   0

max f  yV 

 1 4a

0  1  x



2 n

n

0

 0  1  x 2  1 , x   1,1  0  1  x 2 

n

n

1

p p ,   0,1 q q

1 1 n  p  p  p  p     0   1  x 2  dx     dx  0  I n     x  0  I n  2   q q q q 1 1  1

Deci şirul  I n  are limita 0 adică şi şirul  an n* are limita 0 .

0

n

2

V77 Se consideră şirul  I n n1 , I n     x  1 2  x   dx . V77 n

1

a) Să se calculeze I1 . b) Să se demonstreze că 2  2n  1 I n  nI n1 , n  * , n  2 c) Să se calculeze lim In . n  SOLUȚIE: a) Calculăm:  x3  x2 I1    x  1 2  x  dx     x  3 x  2 dx     3   2 x  2  3  1 1 2

2

2



2

1

2 2  9  12 2 5 1  8   1 3      6  4      2       3 6 3 6 6  3   3 2 

b) Calculăm folosind integrarea prin părţi: 2

2

2

n n n 1 l I n     x  1 2  x   dx     x 2  3 x  2  dx     2 x  3   x 2  3 x  2  dx  21 1 1   In

  2 n 2 n l 1  2 2     2 x  3   x  3 x  2     2 x  3   x  3 x  2  dx   2  1 1  0  





2



2

n 1 l n 1 1 n 2  2 x  3 n   x 2  3x  2    x 2  3x  2  dx    2 x  3   x 2  3 x  2  dx     21 21 2 x  3

2



2

n 1 n 1 n n 4 x 2  12 x  9   x 2  3 x  2  dx     4 x 2  12 x  9   x 2  3 x  2  dx    21 21 2

2







n 1 n n 1 n n  4   x 2  3 x  2   1   x 2  3 x  2  dx    4   x 2  3 x  2     x 2  3 x  2  dx    21 21



n n  4 I n  I n 1   I n    4 I n  I n 1   2 I n  4nI n  nI n 1  2  2n  1 I n  nI n 1 2 2

c) Fie funcţia:

f : 1, 2   , f  x    x 2  3x  2   x  1 2  x   0   0

max f  yV 

0

 0   x 2  3x  2 

 1  4a 4

Avem 0    x  3x  2  2

n

n

n

2

2

n

n 1 1     0     x 2  3x  2  dx     dx  4 4 1 1 2

n

1 1 1  0  I n     x  0  I n     lim 0  lim I n  lim   n  n  n  4 4 4   1

0 Deci lim In  0 n  Am aplicat criteriul cleştelui.

n

1 , x  1, 2 4

Se consideră funcţia f : 1, 2    , f  x   x 2  3x  2 Bac1 2011 var5 v

 f  x  dx . 4

a) Să se calculeze

1

b) Calculaţi

aria

suprafeţei

g : 1, 2   , g  x  

f  x x 2

c) Arătaţi că  4n  2   f 1

determinate

şi de axa

Ox

de

graficul

funcţiei

.

2

n

 x dx  n f n1  x dx  0 . 1

SOLUŢIE: a) Înlocuim şi calculăm

 f  x  dx    4

4

1

1

4

 x2  2 32 1 1  x  3 x  2 dx    3  x  2 x    8  16  8     2  2    3 2 2   2 1



b

b) Aplicăm formula : A   f  x  dx a

2

Ag   1

x  3 x  2 x 3 x  2 0 x  3 x  2 2  dx    dx     x  3   dx  x x x 1 1 2

2

2

2

2

2

 x2  1  3     3x  2 ln x     2  6  2 ln 2     3  2 ln1     2 ln 2 2 0  2  2 1 2

2

1

1

c) Notăm I n   f n  x dx şi evident I n1   f n1  x dx Avem de arătat relaţia  4n  2  I n  nI n1  0 2

2

n 1 l I n    x  3x  2  dx    2 x  3  x 2  3x  2  dx 21 1 2

n

  l   2 n 2 n 1 2 2   I n   2 x  3  x  3 x  2     2 x  3  x  3 x  2  dx    2       1 1 n 1   0  n x 2 3 x  2   2 x 3   2 n1 n 2 I n     2 x  3 x 2  3x  2 dx 21



2



2

n 1 n1 n n I n     4 x 2  12 x  9  x 2  3x  2  dx    4  x 2  3x  2   1  x 2  3x  2  dx 21 21 2  n n1 n  2 n I n     4  x  3x  2    x 2  3x  2  dx     4 I n  I n1    2  1  2

 2I n  4nI n  nI n1   4n  2  I n  nI n1  0

View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF