RAZ. MATEMATICO 3º.doc

AÑOS

D E G R A N D E S ÉX IT O S

111

S ta R 20 o sa 14

an

INDICE Pág.

ta R 20 o sa 14

Capítulo

1. Habilidad operativa............................................................................................................. 2. Sucesiones y Distribuciones.................................................................................................. 3. Psicotécnico......................................................................................................................... 4. Métodos operativos I "Operaciones inversas"......................................................................... 5. Métodos operativos II "Falsa suposición".............................................................................. 6. Operaciones combinadas...................................................................................................... 7. Criptaritmos......................................................................................................................... 8. Situaciones lógicas............................................................................................................... 9. Conteo................................................................................................................................ 10. Métodos de razonamiento: Inducción y Deducción................................................................. 11. Inducción matemática.......................................................................................................... 12. Fracciones I......................................................................................................................... 13. Fracciones II....................................................................................................................... 14. Fracciones III...................................................................................................................... 15. Regla de tres simple y compuesta......................................................................................... 16. Tanto por ciento .................................................................................................................

an

17. Orden de información ......................................................................................................... 18. Cuadro de decisiones........................................................................................................... 19. Máximos y mínimos.............................................................................................................. 20. Certezas.............................................................................................................................. 21. Perímetros........................................................................................................................... 22. Ecuaciones I (Solución de ecuaciones).................................................................................. 23. Ecuaciones II (Traducir expresiones verbales a simbólicas)....................................................

S

24. Ecuaciones III (Edades)....................................................................................................... 25. Operaciones matemáticas arbitrarias..................................................................................... 26. Áreas..................................................................................................................................

111

111

S ta R 20 o sa 14

an

Habilidad operativa De la misma manera: 1 5

175  2 10

(A continuación se coloca los métodos que aparecen en la guía de clases tal y como aparecen en ella)

175 .

• Multiplicación por 10

Otros ejemplos:

-

Solo agrégale un cero a la derecha del número. Así:

1 2 = 5 10

pero no olvides que:

ta R 20 o sa 14

En el presente capítulo se brindan algunos métodos básicos para poder realizar operaciones matemáticas de manera mucho más rápida. Primordialmente se revisarán métodos que tienen que ver con la multiplicación de números enteros positivos .

38 x 10 = 380

=

315 315  2 = 5 10

=

5316 5316  2 = = 5 10

 436 x 100 = ...

350 = 35 10

=

630 10

= 63

10632 = 1063,2 10

• Multiplicación por 5 Observemos:

432 x 5 = ¿ ?

pero no olvides que : 5 



432 

10 2

10 4320   2 160 2 2

an

Podemos decir que para multiplicar un número por 5, le agregamos un cero a la derecha del número y al resultado de este se le divide entre 2.

Podemos decir que para dividir un número por 5, al número se le multiplica por 2 y luego se le divide entre 10. ¿Qué pasaría si la división no es exacta? ________________________________________.

• Multiplicación por 11 Veamos un ejemplo:

36 x 11 = ¿ ?

Veamos otros ejemplos: 283 x 5 = 283 x

10 = 2

2830 = 1 415 2

S

10 5370 537 x 5 = 537 x = = 2 685 2 2

• División por 5

Paso u n o

3

6

+

x

11 =

3

9

6

Paso d os P a so tre s

Ahora otro ejemplo:

Observemos:

4 352 x 11 = ¿ ? 111

175 = ¿? 5

Paso 1 4

3

5

2

+ + +

x 11 =

4 7 8 7 2

Paso 2

= 7

= 8

Paso uno: Se multiplican las cifras de las unidades: 5 x 9 = 45; se coloca la cifra 5 y se llevan las 4 decenas para añadir en el siguiente paso. Quedaría:

Pa so 3 Paso 4

= 7

Paso 5

5 Paso dos: Se suman los productos en aspa y el número de decenas del paso anterior, o sea: 6 x 9 + 5 x 3 + 4= 73; se coloca la cifra 3 y se llevan las 7 decenas para añadir en el siguiente paso.

ta R 20 o sa 14

. . . . . . más ejemplos:

Quedaría:

8 753 x 11 = ¿ ? Paso 1

7

5

3

+ + +

11

x

= 1 2

9

6 2

6

5

3

9 3 5

8 3

x

Paso tres: Se multiplican las cifras de las decenas y se añade el número de decenas del paso anterior, o sea: 6 x 3 +7 = 25 ; se coloca el número 25 y culmina la operación.

Paso 2

= 8

= 1 5

x

3 9

Sigue el procedimiento indicado, pero si la suma parcial de dos dígitos resulta un número de dos cifras (ejemplo: 8 + 5 = 13), se coloca la cifra de las unidades y se "lleva" la otra cifra para sumar en el resultado del paso siguiente.

8

6 5

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Quedaría:

• Multiplicación por 9; 99 ; 999 ; ...

99 = 23

x

(1 0 0 - 1 ) = 2 3 0 0 - 2 3 = 2 2 7 7

x

Resolver ahora las siguientes multiplicaciones:

an

x

5

3 9 2 5 3 5

Observemos y deduzcamos el procedimiento: 23

6

467 x 999 = 467 x (1000 - 1) = 467 000 - 467 = 466 533

Ahora dedúcelo tú:

Para multiplicar cualquier número natural (N) por otro número natural formado por cifras 9, debe

..............................

a

su

derecha

• • • • • •

53 64 35 45 75 86

S

tantos .............. como cifras ............. hay, y al número

obtenido

...................................

6 5 3 9

x

42 85 35 45 75 86

Problemas para la clase

el

mismo número (N). • Multiplicación de dos números de dos cifras cada uno

x x x x x x

Bloque I Multiplicar usando los procedimientos explicados en clase: x

1000

111

1. 341

2. 8453

x

a) 7 b) 5 c) d) 1 e) 4

5

3. 763045  5 x

5. 543

x

x

9999

7. 8453

x

11

x

x

Calcular "a

73

9. 8 734 10. 65

x

1 001

65 x

9 999

12. 413

x

1001

13. 84

97

14. 6 587 324

b

c"

x

a) 60 b) 28 c) d) 108 e) 92

72

2

3x  1 369

Calcular el valor de " x + 3 "

x

a) 7 b) 3 c) d) 10 e) 9

11

15. 657434  5

6

7. Si:

z6x1 11  w2y91

Bloque II

Aunque no lo creas, después de haber resuelto la mayoría de ejercicios del Bloque I, estás preparado para este nuevo reto. 1. Si: 24x3 . 5  12 015 Calcula el valor de "x". a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 5

2

606 5

an

2. Si: x2x,2 

x

6. Dado que:

11. 834

x

32  23  7a6 21 22  b62 13  32  41c

999

6. 6244

8. 92

5. Si:

93

ta R 20 o sa 14

4. 45

3

Obtener el valor de "x", haciendo uso de los criterios aprendidos. a) 2 b) 1 c) d) 4 e) 5

3

S

3. Obtener el valor de "a + b + c ". Si: 4 321 11  4abc1 a) 12 b) 18 c) d) 15 e) 8

Calcula el valor de " x - z + y - w " a) 4 b) 3 c) d) 1 e) 0

2

8. Si sabemos que:

333...333  11  3...abcde3

Calcular " a + b + c + d + e " a) 20 b) 6 c) d) 36 e) 30

10

9. Si:

8q4nm  11  9r0p41

Calcular " p + q " a) 15 b) 13 c) d) 12 e) 14

10

10.Si: [(15 9)  99]  999  ...xy

10

4. Si: 548  99  ...xy

Calcular "

2

y "

a) 25 b) 15 c) d) 1 e) 16

5

Calcular " x - y " 111

Bloque III

Calcular " m + np " 1. Si: 22 . xx  242

Calcula el valor de "x". a) 1 b) 6 c) d) 5 e) 7

a) 15 b) 12 c) d) 16 e) 21

20

4. Dado que: 2

pp  q35p

4 Calcular "p + q" a) 10 b) 12 c) d) 9 e) 7

8

ta R 20 o sa 14

2. Obtener la suma de cifras del resultado de multiplicar: 11; 22 y 44

a) 18 b) 17 c) d) 13 e) 20 3. Dado que: 2

19

A = 777777 x 99999999

a) 70 b) 71 c) 72 d) 60 e) 80

S

an

8n  mp24 ; (m < p)

5. Halle la suma de cifras del resultado en "A".

111

Sucesiones y Distribuciones Ejemplo:

Conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores casos)donde, cada uno, ocupa un lugar establecido de acuerdo a una determinada ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. Ejemplos:

5

(1 1 )

6

4

(1 3 )

9

7

( x )

8

ta R 20 o sa 14

SUCESIÓN

De las premisas:

p r e m is a s

c o n c lu s ió n

5 + 6 = 11 4 + 9 = 13

• Sucesión numérica:

2 ; 5 ; 10 ; 13 ; 26 ; 29 ; 58

• Sucesión literal:

C;E;G;I;K;M;Ñ

an

• Sucesión de figuras

• Sucesión combinada:

B4 ; E9 ; H16 ; K25 ; N36 ; P49

ANALOGÍAS NUMÉRICAS

S

Las analogías numéricas son estructuras numéricas conformadas por una o dos premisas y una conclusión. El método de solución consiste en analizar las premisas y hallar una ley de relación matemática única, empleando operaciones básicas. La relación hallada se aplica en la conclusión para obtener el número buscado.

Por lo tanto se concluye que el valor de "x" es: 7 + 8 = 15

DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Las distribuciones numéricas son disposiciones de números de tal manera que exista una relación matemática. Para hallar la relación matemática se utilizan operaciones básicas y el análisis se realiza de forma vertical u horizontal. Ejemplos:

Horizontal 5 4 6 0 7 8 9 3 x

Suma: 5 + 4 + 6 = 15 Suma: 0 + 7 + 8 = 15 Por lo tanto, la suma también debe ser 9 + 3 + x = 15  x = 3

Vertical 3

4

6

7

3

4

9

18

x

6 4 3

x x x

4 + x = 3 0 p o r lo t a n t o x = 6 3 + 18 = 30 7 + 9 = 30

DISTRIBUCIONES GRÁFICAS 111

Conjunto de números o letras dispuestos en un gráfico y relacionados mediante una relación matemática, la cual se obtiene con operaciones básicas. Dadas las primeras figuras se debe deducir la relación matemática y luego aplicar dicha relación en la última figura para obtener el número desconocido. Ejemplo:

5

6

1

3

3

2

21 2

2

4

7

1

18

A; D; H; K; Ñ; .....

8

5

6

a) R b) P c) d) Q e) S

3

En la primera figura: 1 + 3 + 5 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 = 21 En la segunda figura: 3 + 6 + 4 + 4 +2+5 + 4 + 4 = 32

O

6. Qué letra continúa:

C; G; K; Ñ; R; V; .....

Por lo tanto: x = 5 + 3 + 8 + 7 + 8 + 3 + 6 + 1 = 41

a) B b) A c) d) X e) Z

Problemas para la clase Bloque I

a) 36 b) 9 c) d) 16 e) 8

x

4

3

8; 4; 12; 6; 18; .....

5. Qué letra continúa:

8

5

4

32

3 2

4

4. Qué número continúa:

ta R 20 o sa 14

3

d) 18 e) 20

C

7. Hallar "x + y" en:

3; 6; 7; 14; 15; 30; 31; 62; x; y

1. ¿Cuál es el número que falta? 4 1 5

3 4 2

8

8

5

4

2

1

1

3

4

S

11

3. ¿Cuál es el número que falta? 7 5 9

16 21 ¿?

9 16 4 13

a) 91 b) 92 c) d) 89 e) 88

93

3

1

143 346 215

(17) (21) ( )

a) 37 b) 11 c) d) 22 e) 14

225 521 415

18

10.¿Qué número falta en el paréntesis? 387 855 918

(11) ( 9) ( )

142 441 372

111

a) 12 b) 5 c)

182

9. Hallar el número que falta dentro del paréntesis:

2

2

2

a) 12 b) 10 c) d) 9 e) 13

c)

5; 6; 13; 13; 21; 22; 29; 33; 37; x; y

2. Indique el número que falta sobre la tercera mesa: 12

b) 198 e) 189

8. Hallar "x + y" en:

an

a) 10 b) 12 c) d) 2 e) 55

a) 179 d) 196

12 4 ¿?

16.Hallar "x" en: a) 8 b) 10 c) d) 6 e) 9

18

4

11.Hallar el número que falta: 8 11 ¿?

a) 30 b) 18 c) d) 9 e) 13

3

21 10 17

6

3

x

5

1

31

17.Hallar "x" en: 6; 11; 17; 25; 36; x

11

38 27 ¿?

a) 16 b) 17 c) d) 19 e) 20

17 2

a) 29 b) 30 c) d) 41 e) 22

a) 51 b) 52 c) d) 48 e) 47 18.Calcular "x" en:

12.Indicar el número que falta: 7 6 5

5

7

ta R 20 o sa 14

12 20 13

31

49

4; 6; 9; 14; 22; x

5 4 3

a) 34 b) 32 c) d) 36 e) 28

35

18

19.Qué número sigue:

13.¿Qué número falta en la siguiente figura? 8 10

7

a) 60 b) 61 c) d) 58 e) 62

¿? 25

22

7; 8; 12; 21; 37; ..... 59

20.Qué letra sigue:

a) 28 b) 30 c) d) 31 e) 36

32

B; E; J; P; .....

14.¿Cuál es el número que falta? 5 10 40

7 14 ¿?

an

3 6 24

a) Z b) X c) d) W e) V

a) 51 b) 63 c) d) 61 e) 56

62

15.¿Cuál es el número que falta?

6

¿?

9

5

a) 5 b) 6 c) d) 4 e) 8

21.Hallar "x + y" en:

42; 6; 29; 6; 18; 12; 9; 36; x; y a) 162 d) 148

b) 241 e) 152

c)

146

22.Hallar "a + b + c" en:

25; 22; 20; 19; 16; a; b; c

S

7

Y

4

8 7

3

5

a) 38 b) 39 c) d) 37 e) 42

29

23.Escribir en el paréntesis el número que falta: (30)

24

111

84

90 120

(40) ( )

3. Hallar "x" en:

10 20

7; 8; 11; 20; 47; x a) 65 b) 80 c) d) 40 e) 60

50 a) 128 d) 136

b) 129 e) 137

c)

134

24.¿Cuál es el número que falta? 4. Hallar "a + b + c + d" en:

1

a) 141 b) 62 d) 36 e) 55

3; 6; 11; 18; 27; 38; a; b 1; 4; 7; 10; 7; 10; 13; c; d

3 4

ta R 20 o sa 14

¿? 27

9

a) 148 d) 146

c)

243

23

18

5

1

4

c)

139

5. Qué término continúa:

25.Indicar el número que falta en la cabeza del tercer muñeco: 3

b) 138 e) 142

2

8; 10; 14; 22; 38; .....

a) 110 b) 108 d) 98 e) 96

c)

70

6

6. Qué letra continúa:

2

4

a) 31 b) 6 c) d) 43 e) 0

2

7

5

1

C; E; I; Ñ; ...

17

a) U b) V c) d) W e) Z

T

7. Marcar el número que falta:

Bloque II

an

1. Indicar el número que falta en la base de la tercera balanza: 8

4

18

5

10

12

15

4

20

8

a) 9 b) 6 c) 17 d) 31 e) 11 2. Qué número continúa:

S

8 10 16 28 48 ; ; ; ; ; ... 3 9 19 33 51

76 82 a) b) 71 73 76 78 d) e) 72 71

c)

78 73

20 12 18

(4) (3) ( )

a) 7 b) 4 c) d) 5 e) 8

12 6 3

7,5

8. Indique el número que se debe colocar en el círculo vacío:

7

4

5

5

2 13

a) 3 b) 4 c) d) 2 e) 1

8

2

4

9

3

5

9. Qué término continúa: 111

0; 1; 6; 20; 50; .....

a) 106 d) 105

b) 107 e) 112

c)

115

a) 130 d) 142

b) 140 e) 139

c)

156

17.Hallar "x" en: 10.Qué número sigue: 5; 7; 15; 35; 73; x 2; 5; 10; 25; 42; 93; ..... a) 141 d) 152

b) 136 e) 146

c)

149

a) 136 d) 104

b) 135 e) 115

c)

98

ta R 20 o sa 14

18.Hallar "x" en:

11.Hallar "x" en:

3; 12; 27; 48; x a) 64 b) 58 c) d) 66 e) 72

75

12.Qué letra sigue:

a) 14 b) 20 c) d) 30 e) 24

I

8; 10; 14; 20; 32; 46; 74; ..... b) 96 e) 104

c)

98

14.Hallar "a + b" en:

an

1; 1; 2; 6; 24; a 12; 6; 3; 13; 46; b

a) 242 d) 244

b) 232 e) 268

15.Hallar "x" en:

10 8 9

(14) (8) ( )

a) 16 b) 5 c) d) 14 e) 18

13.Qué número sigue:

a) 102 d) 100

c)

86

S

72

16.Hallar "x" en:

3 4 2

7

20.Indicar el número que falta: 5 9 12

(36) (9) ( )

a) 4 b) 12 c) d) 16 e) 11

11 12 16

17

Bloque III

1. Escribir en el espacio en blanco el número que falta:

7; 13; 24; 45; x a) 86 b) 88 c) d) 64 e) 60

21

19.¿Qué número falta?

R; O; M; J; ..... a) H b) G c) d) K e) F

1; 2; 3; 5; 8; 13; x

7

3

4

2

4

3

82

44

a) 35 b) 47 c) d) 40 e) 53

43

2. ¿Cuál es el número que falta? 20; 8; 8; 26; 68; x

3 4

11 6

111

40 10

5

2

¿ ?

a) 1 b) 3 c) d) 2 e) 5

4

3. Escribir el número que falta:

11

23

5

3

a) 16 b) 18 c) d) 15 e) 4

¿?

10

8

c)

20 30 24

c)

an

K

12.Qué término continúa:

2; 5; 26; .....

10

3

2

9

a) 496 d) 677

b) 532 e) 870

c)

S

20 14 ? 22

21 3

3

a) 24 b) 48 c) d) 46 e) 41

4

6

4

42

14.¿Cuál es el número que falta? 5 1

9 12

18 9

111

8. ¿Cuál es el número que falta?

544

13.¿Qué número se debe colocar en la ventana del tercer carrito? 12

9 5 3

68

E; H; D; I; C; .....

7

a) 10 b) 11 c) d) 13 e) 14

16

a) J b) H c) d) L e) E

6

x

10.Hallar "x" en:

7. ¿Qué número falta? 4 8 10

12

11.Qué letra continúa:

27

6

a) 8 b) 9 c) d) 2 e) 7

¿?

a) 64 b) 120 d) 72 e) 48

12

7

40

8; 16; 20; 24; 32; x

6. Indicar el número que falta en el recuadro en blanco: 18 6

4

24

6

202

(20) (26) ( )

10

14

a) 20 b) 18 c) d) 22 e) 24

5. ¿Cuál es el número que falta?

a) 24 b) 23 c) d) 25 e) 26

10

52

2

2; 7; 22; 40; 56; 104; 155; ...

40 48 54

6

9. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en lugar de "x"?

21

b) 204 e) 209

7

a) 64 b) 56 c) d) 48 e) 40

4. Qué término continúa:

a) 206 d) 210

5

ta R 20 o sa 14

3

20

3

2

7

¿?

a) 10 b) 9 c) d) 7 e) 5

5 8 11

6

(16) (37) (¿ ?)

a) 36 b) 27 c) d) 31 e) 25

22

ta R 20 o sa 14

15.Escribe el número que falta:

2 7 3

Psicotécnico

LOS TEST PSICOTÉCNICOS:

Respuesta:

Tienen como función medir la capacidad de razones sobre problemas de lógica. Veamos ejemplos y solución de los test más comunes. Test de figuras:

an

-¿Cuál es la figura que falta?

?

2

S

1

4

5

La solución es la figura 4. A cada forma geométrica de la línea superior corresponde la forma opuesta en la línea inferior. En la práctica, la última figura de la línea superior es un círculo y, por consiguiente, corresponde un cuadrado en la línea inferior. Además, en el interior del círculo el cuarto superior izquierdo ha sido delimitado, y por lo tanto el cuarto superior derecho del cuadrado estará delimitado. Test de dominó Consejos prácticos: -

Este test no hace en absoluto ninguna referencia al juego del dominó tal como es habitualmente utilizado. Que no sepas jugar, no tiene ninguna importancia para la prueba.

-

El principio es identificar una o más leyes y que las partes superiores o inferiores de la ficha del dominó no están siempre regidas por las mismas leyes.

3

6

Ejemplo

111

¿Qué es peor que encontrar un gusano en una fruta que se esta comiendo? Pues es peor encontrar medio gusano.

? ?

¿Quién es aquel que con solo un brazo puede detener 100 autos? Pues un policía de tránsito.

ta R 20 o sa 14

Acertijos auditivos:

Respuesta: 0/0

Las mitades superiores constituyen una serie de número que aumentan en una unidad: 1-2-3. Por otro lado, las mitades inferiores forman una serie de números paren en orden decreciente de dos unidades: 6-4-2. La ley que regula la primera hilera también regula los dos primeros ejemplos de esta segunda hilera. La cifra situada inmediatamente después del 6 es el 0; la cifra par colocada antes del dos también es el 0. Test de razonamiento y estructuración espacial

El objetivo del test es apreciar la manera en la que se organiza el pensamiento frente a una tarea que pide una buena representación y estructuración espacial. Este test es frecuentemente utilizado para la sección de candidatos a un empleo en la industria, y en particular, para los obreros profesionales y los aprendices.

an

Presentación Se dan al candidato seis piezas de madera y un cuadernillo con seis figuras. El candidato deberá reproducir las figuras geométricas que aparecen con las piezas de madera. Piezas: B

A

Son todas aquellas preguntas que se realizan en forma oral. Las preguntas que escuchas debes resolverlas captando bien el enunciado y el significado de cada palabra. Ejemplos: •

¿Cómo puedes meterte en una botella? Pues, meto té en la botella y listo.

•

Tengo cien sillas y ciento cincuenta niños, ¿cuántas sillas quedan libres?

Sobran 50 sillas ya que siento a 50 niños. * Test de percepción espacial Debe observarse la figura plana con todas sus características y al doblar mentalmente formando una figura espacial que deben de coincidir. Así:

+

C

+

+

D

E

F

•

Esta figura forma un cubo que debe tener en una línea las 3 cruces.

•

NO es correcto porque los 3 en blanco deben estar en una línea.

S

F ig u r a s a r e p r o d u c ir :

Acertijos lógicos: Especie de enigma que requiere de razonamiento lógico para lograr resolverlo.

111

Ejemplos:

+

•

NO es correcto porque las 3 cruces no deben ir separadas, sino en línea. d)

e)

4. Si: •

SI puede ser porque las 2 cruces que faltan no pueden verse pero estarían en línea.

es a

* Test de comprensión mecánico

A

B

como

es a:

ta R 20 o sa 14

¿Cuál de las dos lunas dará más vueltas alrededor del planeta?

a)

b)

d)

e)

c)

5. Si:

es a

... La Luna "A"

•

Además observaremos casos de razonamiento en el plano.

como: a)

es a

b)

es a

c)

es a

Te toca demostrar tu rapidez y tu ingenio en estos problemas sencillos.

d)

es a

1. ¿En qué mes hablan menos las mujeres?

e)

es a

Problemas para la clase Bloque I

2. Al huir un ladrón de la casa, el balazo salió por la ventana, ¿cómo se llama el detective?

6. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

an

3. Indicar los números que completan la figura.

1

2

1

S b)

4

5

7. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

2

3

4

5

8. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

1

a)

3

2

3

4

c)

111

9. Señale la figura que no tiene relación con las demás: 1 1

2

3

4

10. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

2

3

4

3

4

5

Bloque II

Aunque no lo creas, ya estás capacitado para resolver sin dificultad los siguientes problemas. ¡SUERTE!

com o : T es a ?

1. Tres osos van en fila india por un camino, adelante va el oso, le sigue la osa y luego el osito. ¿Cuál de los tres puede decir, me siguen dos osos?

T

T

2

T

T

3

6

5

11. Señale la figura que corresponde a la incógnita:

1

2

ta R 20 o sa 14

2

es a

5

4

15. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

1 1

3

4

Rpta: ______________

12. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

En los siguientes ejercicios indica el cubo que se forma al doblar mentalmente la figura dada.

1

3

5

6

2.

an

4

2

8

7

9

(a)

(b)

(c)

(d)

(a)

(b)

(c)

(d)

3.

13. Señale la figura que corresponde a la incógnita: com o

es a?

S

es a

1

2

3

4

5

14. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

4. ¿Qué figura continúa en ...? 111

1

,

a)

b)

d)

e)

,

,

, ...

2

4

es a

c)

1

5

com o

2

3

es a?

4

5

ta R 20 o sa 14

5. ¿Qué figura completa la sucesión?

;

3

10.Señale la figura que corresponde a la incógnita, si:

;

;

; ...

Bloque III

Solo falta resolver 5 ejercicios. Adelante!

a)

b)

d)

e)

1. Si Jorgito ha entrado tres veces al local de Miraflores, ¿cuántas veces ha tenido que salir?

c)

6. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

1

2

3

4

a) 0 b) 1 c) d) 3 e) F.D.

2

2. Escoge la figura indicada.

5

7. Señale la figura que no tiene relación con las demás:

2

3

4

8. Señale las dos figuras que no tienen relación con las demás:

1

2

S

5

3

6

¿?

5

an

1

¿?

4

a)

b)

d)

e)

c)

3. Indique el cubo que se forma al doblar la figura dada.

7

9. Señale la figura que corresponde a la incógnita, si: es a com o es a?

111

(a)

(b)

(c)

(d)

4. Señale la figura que corresponde a la incógnita, si:

1

2

3

com o

es a?

es a?

ta R 20 o sa 14

com o

5

5. Señale la figura que corresponde a la incógnita, si: es a

es a

4

1

2

3

4

5

an

Métodos operativos I "Operaciones inversas"

Aspectos elementales

Adición y sustracción:

12

S

-6

24

:4

30

48 x4

Potenciación y radicación:

+6 Multiplicación y división:

49

111

7

- ( s e d i s m in u y ó )

 2

+ (se a u m e n tó )

 2

1. Aplicaciones directas

+

1

= 4

Conocido el número inicial, resolvemos como indican las operaciones.

x

P o r lo t a n t o i n ic ia lm e n t e h a b ía . . .

Hallar el valor de la incógnita (?) en cada caso: 8

x

5 =

2.

12

+

4 =

3.

20

x

4 =

4.

68

-

4 =

5.

32

+

5

x

=

- 22 =

=

5

=

-

5 =

- 1 E p o h E h

s d e c ir h a b ía 3 lit r o s , e r o e s te s e h a b ía b t e n id o p o r q u e s e a b ía e x t r a íd o l a m it a d . s o s ig n if ic a q u e a n t e s a b ía e l d o b le .

x

2

=

-

4

=

7 =

?

5

=

-

6

=

+ 10 =

?

4

x 5 =

+

- 5 =

?

6

=

8

=

5 =

S i q u e d ó 4 lit r o s a l f in a l, lu e g o d e a d ic io n a r l e 1 lit r o , e s o s i g n i f ic a q u e a n t e s h a b ía 1 li t r o m en o s.

?

ta R 20 o sa 14

1.

2

Problemas para la clase

Bloque I 1. Hallar el valor de la incógnita:

?

2. Aplicaciones inversas

En este caso no se conoce el número inicial, sin embargo; se conoce el resultado y las operaciones realizadas. Ahora resolvamos hacia atrás como el cangrejo. 1.

?

+ 6

2.

?

+

?

4.

?

5.

?

x

x

7 =

3 =

+

4

=

- 80 =

2

=

x 4

5

=

7

8

40

=

- 8

=

x

2 =

+ 2 =

-

4 =

x 5 =

=

x 17 =

=

=

- 10 =

an

3.

=

2 =

32

0



+ 2 =

5 =

- 3 =

?

20

2. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3; al resultado se le disminuye 2 y por último, a éste nuevo resultado, se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 8. Hallar dicho número. 66

3. Se triplica un número; el resultado se incrementa en 4; el resultado se disminuye en 15; se eleva al cuadrado la diferencia obtenida resultando 100. Hallar dicho número.

34

+

5 =

10

"Se tenía en un recipiente cierta cantidad de líquido, de la cual se extrajo la mitad, para luego adicionar un litro al recipiente. Si al final, solo quedó cuatro litros, ¿cuántos litros había inicialmente en el recipiente?"

S

a) 7 b) 13 c) d) 5 e) 12

a) 18 b) 22 c) d) 16 e) 4

 Problema resuelto

Solucionaremos gráficamente:

12 x 4 =

a) 12 b) 15 c) d) 17 e) 9

7

4. Un número se aumenta en 20; el resultado se divide entre 3; el cociente obtenido aumenta en 3; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar dicho número. a) 32 b) 42 c) d) 81 e) 46

56 111

5. Ricardo dice: "Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego S/. 20, a ese resultado lo multiplico por 6, luego le quito S/. 24, posteriormente le saco la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obteniendo S/. 8". Indicar la cantidad inicial que tenía Ricardo. a) S/.90 b) 80 d) 60 e) 50

c)

9

an

8. La edad de Rocío se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4; luego se extrae la raíz cuadrada, ésta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. Hallar la edad de Rocío dentro de 8 años. a) 15 años b) d) 21 e) 27

18

c)

23

S

9. Juan se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $ 10; con lo que queda juega por segunda vez, triplica su dinero y gasta $ 30; juega por tercera vez, pierde la mitad, gasta $ 80 y se retira con $ 10. ¿Cuánto tenía al inicio? a) $ 40 b) 80 d) 30 e) 10

40

c)

160

ta R 20 o sa 14 80

7. Un número se incrementa en 40 unidades, luego se le extrae la raíz cuadrada. Si el último resultado es multiplicado por 8 y finalmente se le resta 9. Indicar cuál era el número si al final de todas las operaciones se obtiene 47. a) 7 b) 24 c) d) 60 e) 81

a) S/. 130 b) d) 120 e) 80

11.Cada vez que sale al recreo un alumno gasta la mitad de su dinero y S/.3 más. Si luego del tercer recreo se quedó sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente?

70

6. Con un número se hacen las siguientes operaciones; primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2. ¿Cuál es el número? a) 6 b) 60 c) d) 300 e) 150

S/.10. Si luego de dos negocios sucesivos tiene S/.290, ¿cuánto tenía inicialmente?

c)

20

10.Cada vez que hace un negocio, una persona duplica su dinero, pero de inmediato gasta

a) S/. 60 b) 52 d) 36 e) 144

c)

42

12.Cada vez que salgo de mi casa decido gastar la mitad del dinero que tengo en ese instante. Si luego de salir 4 veces me sobran 3 soles, ¿cuánto dinero gasté en la segunda salida? a) S/. 6 b) 8 d) 12 e) 24

c)

10

13.Cada vez que me encuentro con Sergio , debo entregarle la mitad de mi dinero y él en agradecimiento me regala 60 soles; si luego de tres encuentros tengo 110 soles, ¿cuánto dinero tenía antes de encontrarme por primera vez con Sergio? a) S/. 30 b) 40 d) 48 e) 50

c)

45

14.Según la pregunta anterior, ¿cuánto dinero gané en total luego de los tres encuentros con Sergio? a) S/. 50 b) 55 d) 60 e) 65

c)

70

15.Un día decido ir de compras a Plaza San Miguel y compro una filmadora gastando la mitad de mi dinero; una cámara digital gastando $ 120; un DVD gastando la mitad de mi dinero restante. Si luego de realizar las compras aún me quedan $ 150, ¿cuánto me costó la filmadora? a) $ 840 b) 360 d) 420 e) 520

c)

400

Bloque II

111

1. Cada vez que Valverde se encuentra con Medrano, éste último le entrega S/. 20 y Valverde en agradecimiento duplica la cantidad

que tiene Medrano. Si en un determinado día se encuentran 2 veces luego de las cuales Valverde tiene S/. 25 y Medrano S/. 20, ¿cuánto dinero tenía Valverde antes del primer encuentro con Medrano? a) S/. 10 b) 20 d) 30 e) 35

c)

25 a) 18 L b) 26 d) 30 e) 16

c)

20

3. Carmen le da S/.20 a Gabriela; luego ésta le duplica el dinero a Carmen ; entonces ésta le da S/.10 a Gaby. Si ahora tienen S/.46 y S/.62 respectivamente, ¿cuánto tenía cada una inicialmente (en soles)? a) 56 y 52 b) d) 48 y 60 e)

80 y 28 c) 58 y 50

40 y 68

4. Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, éste le duplica el dinero que tiene y Mariano en agradecimiento le compra una torta de S/. 20. Si en un día Mariano visitó a su tío 3 veces y al final terminó con S/. 4. ¿Cuánto dinero tenía antes de la primera visita? a) S/.40 b) 28 d) 17 e) 15

c)

24

8. Tres personas "A", "B" y "C" se pusieron a jugar con la condición de que el perdedor de cada partida, debería duplicar el dinero de los otros dos. Se sabe que perdieron en orden alfabético, uno cada vez, quedándose cada uno con $32 al final; ¿cuánto tenía el jugador "B" al inicio?

an 280

c)

300

6. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía luego de la segunda partida? 600

c)

22,5

9. Ricardo sale de casa con "n" soles. Primero gasta S/. 30 en un reloj "K-cio", posteriormente gasta la mitad del dinero que le queda en un CD de "Nirvana" y finalmente gasta S/. 50 en "Pizza Hut". Si al final le quedan S/. 25, ¿cuánto vale "n"? a) 180 d) 120

b) 160 e) 200

c)

150

10.Según la pregunta anterior, ¿cuánto dinero gastó en el CD de "Nirvana"? a) S/. 60 b) 70 d) 45 e) 80

S

a) S/. 240 b) d) 360 e) 420

a) $ 54,5b) 27,5 d) 28 e) 52

18

5. Doña Lucha acude al casino "Admiral". En la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida pierde S/. 140, en la tercera nuevamente duplica su dinero y en la cuarta pierde S/. 920. Si luego de esta última partida sale deprimida porque se quedó sin un sol, ¿con cuánto dinero fue al casino?

a) S/. 300 b) d) 460 e) 480

c)

ta R 20 o sa 14

2. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero más que Valverde tenía Medrano inmediatamente después del primer encuentro? a) S/. 10 b) 15 d) 25 e) 5

7. De un recipiente lleno con agua, se extrae 2 litros, luego se derrama la mitad del líquido, enseguida se le adiciona 4 litros, finalmente se consume la mitad del agua, quedando 8 litros en el recipiente. Calcular la capacidad del recipiente.

c)

520

c)

75

Bloque III

1. El agua contenida en un pozo se agota en tres horas. En cada hora, baja el nivel del agua la mitad de la altura, más un metro. Determinar la altura inicial del agua que había en el pozo. a) 12m b) 13 d) 14 e) 11

c)

15

2. Cada día, de un reservorio con agua, se consume la mitad del contenido más 20 litros. Si después de tres días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? c)

370

111

a) 350 L b) 360

d) 200

e) 400

d) 18 e) 15

3. Tres jugadores: Hugo, Paco y Luis convienen en que el que pierda la partida, triplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan con 36; 57 y 55 soles respectivamente. Dar como respuesta la suma de las cifras con que empezó Luis. 8

4. Lucas recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene, luego su papá le da 30 soles y por último su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al final Lucas tiene 240 soles, ¿cuánto tenía inicialmente? c)

30

Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con $ 240, ¿quién perdió más? a) Ricardo b) Coco d) Toño e) Coco y Toño

c)

Polo

an

a) S/. 20 b) 25

I. El primero en perder deberá aumentar $ 10 a cada uno de los demás. II. El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás. III. El tercero deberá aumentar $ 20 a cada uno de los demás. IV. El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros tres.

ta R 20 o sa 14

a) 1 b) 5 c) d) 6 e) 4

5. Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

S

Métodos operativos II "Falsa suposición"

ASPECTOS ELEMENTALES:

Este método se emplea en problemas donde hay un cierto número de elementos que presentan dos

111

características diferentes. Los datos que se brindan en este tipo de problemas son: -

Número total de elementos. animales Las dos características. gallina(2 patas), patas conejo El total de características. hay 220 patas

Por

ejemplo:

80

Por ejemplo: patas (4 patas) Por ejemplo: En total

• •

•

•

•

Juan tiene 23 monedas. Si sólo tiene monedas de 2 y 5 soles y el monto total de dinero es de 85 soles, ¿cuántas de las monedas son de 5 soles?. Julio Valverde tiene 25 paquetes de galletas para repartir entre sus alumnos, además, algunos de los paquetes tienen 8 galletas y otros únicamente 6. Si luego de abrir todos los paquetes observa que tiene 172 galletas, ¿cuántos paquetes contenían 6 galletas? Cada día que Jorge Medrano realiza las tareas del hogar, su esposa le da 3 besitos y si no las realiza solo le da un besito. Si luego de 17 días Jorge recibió 39 besitos, ¿cuántos días recibió solo un besito? Fernando López acude al mercado para comprar 23 frutas entre manzanas y mangos. Si cada mango pesa 400gr y cada manzana 250 gr, ¿cuántos mangos compró si el peso total de las frutas fue de 7,7 kg? Robin Solórzano decide conformar, con los 50 alumnos que tiene en clase , grupos de trabajo de 5 y 7 personas por grupo. Si en total se han conformado 8 grupos,¿cuántos grupos de 7 personas hay?

an

SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MEDIANTE FALSA SUPOSICIÓN: Problema: Mariano tiene 42 animales entre caballos y cerdos. Si el costo de alimentar a un caballo y un cerdo diariamente es de 15 y 40 soles respectivamente, ¿cuántos cerdos tiene si en total gasta al día 930 soles?

S

Paso 1: Identificar el total de elementos, las dos características y el total de características. En el ejemplo: Total de elementos: 42 animales Características: gasto comida caballo(15 soles) – gasto comida cerdo (40 soles) Total de características: gasto total: 930 soles Paso 2:

Paso 3: Contrastar lo real con lo asumido en el paso anterior. Ello conlleva a notar que debe existir un error en el supuesto. Gasto real: 930 soles Gasto supuesto (paso dos): 1680 soles Error que se comete: 1680 - 930 soles = 750 soles (ERROR TOTAL)

ta R 20 o sa 14

En cada uno de los siguientes enunciados indicar el total de elementos, las dos características y el número total de características.

Enunciar la falsa suposición, lo cual consiste en asumir que todos los animales son caballos o todos ellos son cerdos. En el ejemplo: "Los 42 animales son cerdos" De lo que se concluye que el gasto diario sería de: 42 x 40 = 1680 soles

Paso 4: Al existir un error, debo notar que ello se debe a que considero que todos los animales son cerdos cuando realmente debe haber algunos caballos. Al contar un caballo como si fuera cerdo estoy cometiendo un error de 40 - 15 = 25 soles (ERROR UNITARIO) Paso 5: En un animal se comete un error de 25 soles (ERROR UNITARIO) ¿En cuántos animales se cometerá un error de 750 soles (ERROR TOTAL)? 750  30 animales 25 Pues la respuesta sería de O sea, hay 30 animales que realmente son caballos y no cerdos como lo asumido en el paso dos. Los 12 restantes, ya que en total había 42 animales, deben ser cerdos.

Problemas para la clase

Bloque I

1. Se compraron 9 kg de arroz de dos calidades, el superior de 3 soles el kg y el arroz extra de 2 soles el kg. Si en total se pagó S/.24, ¿cuántos kg de arroz extra se compraron? a) 6 b) 3 c) d) 5 e) 2

4

2. En cierto espectáculo las entradas cuestan: adulto S/. 9, niños S/. 6. Si asistieron 92 espectadores y se recaudó S/. 660, ¿cuántos niños asistieron? 62

111

a) 56 b) 48 c)

d) 36 e) 32

d) 20 e) 18

3. Una empresa tiene una flota de 22 camiones, unos de 4 ruedas y otros de 6 ruedas. Si en total se cuentan 108 ruedas, ¿cuántos camiones de 4 ruedas hay? a) 12 b) 10 c) d) 8 e) 14

15

a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 11 5. Una señora compra en una frutería 13 frutas, entre manzanas y naranjas. Cada manzana costó 45 céntimos y cada naranja costó 30 céntimos. Si gastó en total S/.5,10; ¿cuántas naranjas compró? a) 8 b) 4 c) d) 6 e) 3

5

6. Cada vez que voy al cine gasto S/.18 y cada vez que voy al teatro gasto S/.24. Si he salido 12 veces (al cine o teatro) y gasté S/.264, ¿cuántas veces he ido al cine? a) 6 b) 3 c) d) 2 e) 7

4

an

7. Raimundo tiene 2100 soles en billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuál será la cantidad de billetes de menor denominación, si hay un total de 24 billetes? a) 6 b) 28 c) d) 14 e) 9

12

8. Si pagué una deuda de $305 con 43 billetes de 5 y 10 dólares, ¿cuántos billetes de $5 he usado? 15

S

a) 25 b) 18 c) d) 12 e) 24

9. Un estuche de CD cuesta 2 soles y uno de cassette cuesta 1 sol. Si para comprar 47 estuches necesito 71 soles. ¿Cuántos estuches de CD deseo comprar?

54

11.En un grupo de carneros y pavos, el número de patas es 36 y el número de cabezas es 15, ¿cuántos carneros hay?

22

a) 10 b) 12 c) d) 3 e) 6

8

12.En una granja hay conejos y pavos, con un total de 40 animales. Si al contar el número de patas se observó que habían 104, ¿cuántos pavos hay en dicha granja? a) 26 b) 12 c) d) 20 e) 28

18

13.Alberto tiene S/. 3 100 en billetes de S/. 50 y S/. 100. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación, si hay un total de 34 billetes? a) 6 b) 28 c) d) 14 e) 9

12

14.En una granja se crian pavos y conejos y se cuentan en total 48 ojos y 68 patas. ¿Cuántos pavos hay? a) 12 b) 8 c) d) 16 e) 14

10

15.En un parque hay niños paseándose ya sea en triciclo o en bicicleta. En total se cuentan 30 timones y 78 ruedas. ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay? a) 7 b) 4 c) d) 6 e) 9

2

Bloque II 1. En un salón hay 36 carpetas, unas bipersonales y otras para 4 alumnos. Si en total hay 96 alumnos ocupando estas 36 carpetas, ¿cuántas carpetas son bipersonales? 111

a) 23 b) 24 c)

a) 36 b) 18 c) d) 48 e) 60

ta R 20 o sa 14

4. En un corral hay 22 animales entre gallinas y conejos. Si en total se cuentan 62 patas, ¿cuántas gallinas hay?

10.En un corral hay 180 patas y 54 cabezas. Si lo único que hay son gallinas y conejos, ¿cuál es el número de alas?

a) 12 b) 24 c) d) 18 e) 30

6

2. Con S/. 101 000 se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/. 3 000 y cada oveja S/. 5 000, ¿cuántos carneros se han comprado? 15

3. Para tener S/. 12,30 en 150 monedas que son de cinco y diez céntimos, ¿cuántas deben ser de a cinco? a) 54 b) 96 c) d) 48 e) 66

82

4. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos? a) 8 b) 6 c) d) 66 e) 52

72

5. Un padre pone 15 problemas a su hijo, ofreciéndole cuatro céntimos por cada uno que resuelva, pero a condición de que el muchacho perderá dos céntimos por cada uno que no resuelva. Después de trabajar en los 15 problemas, quedaron en paz. ¿Cuántos problemas resolvió el muchacho? 8

an

a) 12 b) 5 c) d) 9 e) 6

6. En una combi viajan 150 pasajeros. El pasaje adulto cuesta 1,50 soles y el pasaje universitario 1 sol. Si la recaudación fue 187 soles, ¿cuántos pagaron pasaje adulto? a) 72 b) 74 c) d) 68 e) 86

76

S

7. Joaquin rinde un examen de 30 preguntas. Si por cada respuesta acertada obtiene 4 puntos y por cada equivocación pierde un punto. ¿Cuántas preguntas contestó bien si obtuvo un puntaje de 80 puntos y contestó todas las preguntas?

5

12

9. Un padre le propone 9 problemas a su hijo, ofreciéndole cinco soles por cada problema que resuelva, pero por cada problema que no resuelva el muchacho perderá dos soles. Después de trabajar en los 9 problemas, el muchacho recibe 31 soles. ¿Cuántos problemas no resolvió? a) 7 b) 5 c) d) 2 e) 3

4

10.En un examen, un alumno gana 4 puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 180 puntos, ¿cuántas preguntas respondió correctamente? a) 46 b) 40 c) d) 2 e) 32

36

Bloque III

1. A cierto colegio de primaria concurrían alumnos con sus triciclos y otros con sus bicicletas. El guardián, para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 860 ruedas y 608 pedales. Entonces:

I. Si contamos los pedales de todas las bicicletas obtendremos 104. II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas es 204. III. Hay 262 triciclos. Son ciertas: a) Sólo I b) II y III c) d) I y III e) Todas

Sólo II

2. Un comerciante pagó 45 900 sucres por 128 trajes de lana y de gabardina. Por cada traje de

111

a) 18 b) 16 c) d) 20 e) 22

a) 12 b) 11 c) d) 6 e) 10

ta R 20 o sa 14

a) 12 b) 13 c) d) 9 e) 6

8. Cada día que un alumno sabe sus lecciones, el profesor le da 5 vales, y cada día que no las sabe, el alumno tiene que darle al profesor 3 vales. Al cabo de 18 días el alumno ha recibido 34 vales. ¿Cuántos días supo sus lecciones el alumno ?

lana pagó 300 y por cada traje de gabardina 400. ¿Cuántos trajes de lana compró? a) 75 b) 62 c) d) 48 e) 86

53

momento, el sargento pudo observar sobre el piso 298 extremidades. ¿Cuál es el número total de soldados haciendo "planchas"? a) 74 b) 54 c) d) 49 e) 41

5. A un peón se le contrató 2 meses de 30 días con la condición de que se le abonaría 40 soles por cada día de trabajo y que él entregaría 10 soles por cada día que no trabaje. Se desea averiguar los días que trabajó en los casos siguientes:

ta R 20 o sa 14

3. Podría ahorrar S/. 20 al día; pero cada mañana de sol empleo S/. 9 en helados y cada mañana fría gasto S/. 6 en café. Si al cabo de 21 días he ahorrado S/. 258 . Se puede afirmar:

51

I. La diferencia entre días soleados y fríos es 3. II. Gasté S/. 56 tomando café. III. Podría haber ahorrado S/. 231 si todas las mañanas hubiesen sido soleadas. a) Sólo I b) Sólo II c) d) Todas e) I y III

Sólo III

Si recibió 1800 soles. Si no recibió nada. Si él tuvo que entregar 100 soles.

Dar como respuesta la suma de los resultados.

a) 70 b) 69 c) 68 d) 67 e) 66

S

an

4. En un cuartel de 100 soldados todos se disponen a hacer "planchas". En un determinado

-

111

Operaciones combinadas Aspectos elementales

•

En la presente clase, nuestro propósito es analizar cada problema y enfocar su solución sin hacer uso de variables. ¿Aparentemente complicado no?

Entonces, en cada día, yo sé que uno de ellos gana S/. 3 menos que el otro; me hago la pregunta, ¿en cuántos días uno de ellos recibirá S/.36 menos que el otro?

•

Fácil !!! en:

Pero no te preocupes, tú tienes la capacidad para realizarlo.

•

Pero eso no me han pedido, lo que debo averiguar es cuánto es el salario diario de cada uno.

•

El primero: si en 12 días recibió S/. 144, esto quiere decir que diariamente el gana:

Problemas resueltos

1. Dos señoras salen de compras, llevando entre ambas S/. 346. Una gastó S/.155 y la otra gastó S/. 163 y de esta manera ahora a las dos les queda la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenía cada una inicialmente? Solución •

144  S/. 12 12

•

El otro entonces gana S/. 3 más al día, es decir: 12 + 3 = S/. 15

Podemos darnos cuenta el gasto que hicieron las dos señoras, fue :

Problemas para la clase

155 + 163 = S/. 318

¿? Pero el problema dice que a ambas le quedó la misma cantidad de dinero... ¿Cuánto de dinero quedó...? Eso es fácil!

•

Restamos: 346 - 318 = S/. 28

•

Lo que significa que a cada una le quedó S/. 14.

•

an

•

•

Si la primera señora gastó S/.155 y le quedó S/. 14, entonces ella tenía S/. 169.

Si la segunda señora gastó S/.163 y le quedó S/. 14; entonces ella tenía S/. 177.

S

2. Un obrero gana diariamente S/. 3 menos que otro. Después de trabajar juntos cierta cantidad de días, el primero recibe S/. 144 y el segundo S/. 180. ¿Cuánto es el salario diario de cada obrero? Solución •

= 12 días

ta R 20 o sa 14

•

36 3

Observo que después de cierto tiempo un obrero ha ganado: 180 - 144 = S/. 36 menos que el otro.

Bloque I

1. Se repartieron S/. 858 entre 37 pobres y quedaron S/. 7. ¿Cuánto le correspondió a cada uno? a) S/. 23 b) 30 d) 40 e) 45

c)

32

2. A una reunión asistieron 100 personas, si todos bailan a excepción de 26 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en total? a) 16 b) 37 c) d) 81 e) 63

73

3. Una botella de leche alcanza para tres gatitos o dos gatos. Si tenía ocho botellas y he alimentado doce gatitos, ¿cuántos gatos más puedo alimentar? a) 10 b) 12 c) d) 8 e) 5

6

4. Tengo dos cajas negras con tres cajas blancas cada una. Además en cada caja blanca hay siete cajas azules. ¿Cuántas cajas tengo en total? a) 42 b) 45 c) d) 51 e) 50

48

111

5. A un cierto número de personas se les iba a pagar S/. 35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/. 35? a) 4 b) 7 c) d) 8 e) 6

5

6. Se quiere repartir S/.800 entre Fernando y Julio César. Si Julio César quiere recibir S/.40 más que Fernando, ¿cuánto recibiría Fernando? 390

c)

360

7. Sandra gana S/. 30 por día y Mariana únicamente S/. 18. ¿Luego de cuántos días Sandra habrá ganado 156 soles más que Mariana? a) 11 b) 12 c) d) 14 e) 15

6

5

an

c)

10. Una enfermera proporciona a su paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para 9 horas de turno si debe suministrarlas al inicio y término del mismo? a) 11 b) 13 c) d) 17 e) 19

15

S

11. Se contrata un hombre por 12 meses y se le pagará $ 1 400 más una sortija; al octavo mes se le despide dándole $ 900 más la sortija. ¿Cuál es el precio de la sortija? a) $50 d) 400

b) 200 e) 100

a) 126 seg b) d) 345 e) 430

235

c)

435

14. Hace algún tiempo cada habitante de un distrito recibe 300 litros de agua por día. Actualmente el número de habitantes aumentó en 180, por lo que ahora cada habitante recibe 6 litros menos por día. ¿Cuántos habitantes hay actualmente? a) 7 000 b) 9 000 d) 11 000 e)

c) 8 000 13 000

15. Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea, ¿cuántas cartas faltarán por escribir a la segunda? a) 55 b) 50 c) d) 40 e) 35

45

Bloque II

9. Un obrero gana diariamente S/. 5 más que otro. Después de trabajar juntos cierto número de días, el primero recibe S/. 143 y el segundo S/.88, ¿cuánto gana diariamente el que gana menos? a) S/. 11 b) 13 d) 12 e) 8

13. ¿Cuánto se tardará en cortar una pieza de tela de 70 m de largo, en trozos de 1 m, si se emplea 5 seg en hacer cada corte?

13

8. Veinte alumnos desean comprar un regalo a la tutora valorizado en S/. 600. Si debido a que algunos de ellos no pudieron conseguir dinero, los otros tuvieron que aportar S/. 10 más, ¿cuántos alumnos no pudieron conseguir dinero? a) 4 b) 5 c) d) 8 e) 10

28

ta R 20 o sa 14

a) S/. 380 b) d) 370 e) 375

a) 25 b) 20 c) d) 30 e) 38

c)

300

a) 350 y 168 c) 300 y 155 e) 245 y 168

b) 325 y 150 d) 250 y 175

2. ¿Cuántos cortes deben darse a una barra de acero de 72 m para obtener partes de 3 m de longitud? a) 24 b) 25 c) d) 2 e) 12

23

3. El profesor Medrano ha comprado 25 libros con su gratificación. Si cada uno le hubiera costado $ 10 menos, hubiera adquirido 50 libros más. ¿Cuánto le costó cada libro? a) $10 b) 15 d) 25 e) 20

c)

5

4. Dieciocho personas tienen que pagar en partes iguales un total de S/. 5 400; como algunas no pueden hacerlo, cada persona restante debe poner

111

12. En un campeonato de Voleyball, intervienen 8 equipos, todos deben jugar entre si un partido. ¿Cuántos partidos deben programarse?

1. Con un cañón se han hecho 35 disparos por hora y con otro 24 disparos por hora, entre los dos hicieron 518 disparos. Cuando comenzó a disparar el segundo, el primero había disparado ya durante 3 horas. ¿Cuántos disparos hizo cada cañón?

S/. 150 más de lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas personas pagaron? a) 4 b) 6 c) d) 10 e) 12

8

10

c)

135

7. El primer día de clase en el colegio TRILCE, Juan observó que de los 100 alumnos de tercero de secundaria que asistieron, 40 son mujeres, 73 viven en Miraflores y 12 son mujeres que no viven en Miraflores. ¿Cuántos hombres no viven en Miraflores? a) 28 b) 45 c) d) 13 e) 40

15

an

8. Cierto día, Tadeo repartió seis separatas por alumno, a lo alumnos del tercero de secundaria, pero se olvidó contar cuántos alumnos habían recibido el material, sin embargo se dió cuenta que le habían sobrado 115 separatas. Desesperado acudió al profesor Wilkins, el cual le hizo la siguiente pregunta: "antes de repartir, ¿cuántas separatas tenías?" y Tadeo le contestó 1 243. Podrías calcular, ¿cuántos alumnos recibieron el material? a) 198 d) 170

b) 188 e) 168

a) S/. 5,5b) 6 d) 7 e) 7,5

c)

6,5

1. Un comerciante tiene al inicio del día 8 lapiceros de S/. 1 cada uno y 4 lapiceros de S/. 2 cada uno. Si al final del día tiene S/. 12, ¿cuántos lapiceros le sobran, si le queda por lo menos un lapicero de cada tipo?

ta R 20 o sa 14

b) 120 e) 150

4

Bloque III

6. El campeonato de ajedrez organizado por el colegio TRILCE se desarrollará en el mes de abril, por lo que se delega la responsabilidad de establecer las partidas a Jhonathan. Si hubieron 15 clasificados y deben jugar todos entre sí, ¿cuántas partidas habrá? a) 210 d) 140

c)

10. Según el problema anterior, ¿a cuánto se debería vender cada lapicero si se desea ganar S/. 80?

5. ¿Cuántos cortes deben darse a una barra de acero de 1,2 m para obtener partes de 10 cm cada uno? a) 12 b) 11 c) d) 9 e) 7

a) S/. 3 b) 3,5 d) 4,5e) 5

c)

205

S

9. Se compraron 80 lapiceros a 2 soles cada uno. Si se venden 20 de ellos ganando 1 sol por lapicero y se botan 30 por estar malogrados, ¿a cuánto se debe vender cada uno de los lapiceros restantes, si se quiere ganar S/. 20?

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

3

2. Un depósito lleno de gasolina cuesta 275 soles. Si se saca de él 85 litros ya no cuesta más que 150 soles. ¿Cuántos litros contenía el depósito? a) 85 b) 125 d) 289 e) F.D.

c)

187

3. Entre 24 personas de una oficina deciden comprar un "extractor de aire", pero 8 de ellos solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando a las demás a que añadan a su cuota S/. 6. ¿Cuánto cuesta el extractor de aire? a) S/. 516 b) d) 520 e) 576

418

c)

478

4. ¿Cuál es el menor número entero, que multiplicado por 33, da un producto cuyas cifras son todas siete? a) 25 693 d) 23 569

b) e)

36 592 c) 35 794

26 432

5. Un alumno ha de multiplicar un número por 50, pero por hacerlo de prisa se olvida de poner el cero a la derecha, hallando así un producto que difiere del verdadero en 11 610. ¿Cuál es el número que le dieron para multiplicar? a) 325 d) 258

b) 267 e) 300

c)

432

111

Criptaritmos Aspectos básicos

En la columna de las decenas: N + 4 + 1 = 6, por lo tanto N = 1

1. Criptaritmos

Este tema permite revalorar las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división. 2. Principios • •

Letras diferentes ocultan cifras diferentes y consecuentemente, letras iguales ocultan cifras iguales. La suma de dos cifras no puede ser mayor que 18. •

Dado

que:

A

+

B

A  C    

+

C

=

...B

 10

un número que termine en cero

Ejemplos:

3 4 5 1 3

SUSTRACCIÓN:

D C 3 2 4 3 6 A 1 5 B 5

Determinar las letras A, B, C y D, en: Solución: En la columna de las unidades: 5 + A = 2 (imposible) ó 5 + A = 12 o sea que A = 7 En la columna de las decenas: B + 6 + 1 = 3 (imposible) ó B + 6 + 1 = 13 o sea que B = 6 En la columna de las centenas: 5 + 3 + 1 = C o sea que C = 9 En la columna de los millares: 1 + 4 = D por lo tanto D = 5 En la pregunta anterior hemos utilizado comprobación de la sustracción, o sea:

la

S u s t r a e n d o + D if e r e n c ia = M in u e n d o

donde: 8 + 2 = 10

7 + B 2 2 ¿Cuál será el valor de "B"?

an

A 6 2 1 3

8 + 3 2 3

En la columna de las centenas: M + N = 9, de lo que se concluye que M = 8

ta R 20 o sa 14

"Cripto" significa oculto, y hace referencia a las operaciones matemáticas, donde las cifras (todas o algunas) se han "ocultado" por medio de una letra, un asterisco o cualquier símbolo.

Se concluye que: 7 + B = 10  B = 3

M in u e n d o

S u s tra e n d o D if e r e n c ia

MULTIPLICACIÓN Si:

Problemas resueltos

1 E D C B A x 3 E D C B A 1

ADICIÓN:

S

M N P + N 4 7 9 6 2

Solución:

Solución •

Al observar la primera columna:

111

En la columna de unidades: P + 7 = 2 (imposible ) ó P + 7 = 12, o sea P = 5

Calcular " A + B + C + D + E "

1 E D C B A x 3 E D C B A 1

•

-

Debo buscar 3 x ¿A? termine en 1. -

Sencillo no? claro!

-

Es decir: A = 7

3 x 7 = ..1

•

Quedaría así :

Observo que en la quinta columna "no se esta llevando nada", es decir debo buscar directamente: 3 x ¿ E ? termine en 2.

Reconstruyendo la operación: 1

2

C B 7 x 3 E D C B 7 1

Ahora debo buscar 3 x ¿B? + 2

7. -

-

-

"lo que

an

En la tercera columna, aplico la regla práctica:  3

x

*

4

6

-

4

*

2

*

*

8

*

* -

* -

* -

1

2

* 2

*

*

Recordar:

D IV ID E N D O

¿C?

Quedaría así: 2

*

4

*

Solución:

2

S

1 E D 8 5 7 x 3 E D 8 5 7 1

•

DIVISIÓN

2

* Es decir: C = 8

-

A+B+ C+D+E = 7 + 5 + 8 + 2 + 4 = 26

Quedaría así:

* Entonces: 5 - 1 = 4 termine en 4

2

1

Me piden:

Entonces lo que debo buscar es 3 x ¿B? termine en 5. ¿más fácil no? claro!: B = 5

1

•

2

1 4 2 8 5 7 x 3 4 2 8 5 7 1

Indicar la suma de las cifras del cociente:

1 E D C 5 7 x 3 E D C 5 7 1 -

-

termine en

Pero muchas veces esta búsqueda demora, así que usaremos una regla práctica: * Restaremos : "lo de abajo" llevo" así: 7 - 2 = 5

-

2

* Es decir: E = 4

1 E D

•

1

ta R 20 o sa 14

•

2

1 E 2 8 5 7 x 3 E 2 8 5 7 1

R ES ID U O

• •

D IV IS O R

C O C IE N T E

Como se conoce las centenas del cociente se puede hallar las unidades del divisor ya que x 2 = 46 por lo tanto el divisor es 23. Se puede determinar la cifra de las decenas del cociente ya que al ser multiplicado por 23 se debe obtener un número que empiece con 2; por lo tanto, esa cifra debe ser 1. Hasta este punto se tendría:

En la cuarta columna, aplicando la regla práctica, tendríamos que: D = 2

Quedaría así :

111

•

0

*

4

4

6

-

4

*

2

3

*

8

4

*

8

4

-

-

2

3 2

1 *

4. Si: A7  B2  AB  122 Hallar " (A + 1)(B + 1)" a) 18 b) 24 c) d) 27 e) 30

20

5. Si:

-

De la zona marcada (segunda resta parcial) se nota que los números deben ser: 41 - 23 = 18 Ya se podría hallar la cifra de las unidades del cociente, ya que 184 ¸ 23 = 8. Finalmente quedaría:

C B C + B 3 5 1 C C 7

Hallar "B + 2C"

ta R 20 o sa 14

•

5

5 0 1 4 4 6

2 3

a) 20 b) 13 c) d) 18 e) 24

15

2 1 8

- 4 1 2 3

6. Reconstruir:

1 8 4 1 8 4 - - -

Por lo tanto, la suma de cifras del cociente es: 2+1+8= 11

Problemas para la clase Bloque I

1. Hallar "A x B" en:

a) 35 b) 42 c) d) 32 e) 24

a) 19 b) 20 c) d) 23 e) 17

21

7. Sabiendo que: a + b + c = 23 Calcular " aaa  bbb  ccc " a) 3 552 b) 1 553 d) 1 551 e) 2 333

8. Si:

c)

2 553

1 C A B L E x 3 C A B L E 1

36

Hallar "C x A + B x L x E"

an

2. Si:

A A B + B A A 1 3 5 2

Indicar la suma de cifras de los espacios en blanco.

A 5 6 + B A B D 1 9 4

Hallar "A + B + D" a) 11 b) 15 c) d) 12 e) 13

A B 4 + 5 3 A C 2 6 C

c)

288

9. Si:

Hallar "A + B"

Hallar "A + B + C" a) 15 b) 12 c) d) 11 e) 10

b) 270 e) 144

14

S

3. Si:

a) 286 d) 312

4 B A 7 6

a) 12 b) 13 c) d) 9 e) 11

7

10. Si: ABC  CBA  888 ; y además: A - C = 4 Hallar "A + B x C"

9

a) 20 b) 24 c) d) 26 e) 14

16

111

11. Si:

a) 20 b) 25 c) d) 36 e) 28

A 6 B + B 5 3 C 7 C A

Hallar

"

A

2. Si: A A  BC Hallar "A + B + C"

6 1 C B  C

a) 4 b) 2 c) d) 8 e) 6

B

"

a) 10 b) 11 c) d) 13 e) 14

1

ta R 20 o sa 14 a) 18 b) 20 c) d) 22 e) 16

25

Calcular: " 2abc  1cab  bca " a) 4 392 b) 3 332 d) 4 432 e) 2 342

c)

4 332

a) 14 443 d) 12 223

15. Si:

A 3 B B

5 8 7 2 A A 2 8

3 6 B 3 A

a) 4 b) 8 c) d) 9 e) 12

16 663

Indica " x + y + z "

an

Hallar "A x B"

5 2

15 553 c) 18 883

5 55 555  5555 20 sumandos ........ .........  55......55 .......x y z 

45

8 6 2 0 B B -

b) e)

5. Calcular las tres últimas cifras del resultado de la siguiente suma:

14. Si: MM  II  LL  MIL

a) 18 b) 81 c) d) 76 e) 72

21

4. Si:( P + E + L)2 = 144 ; además: I = 1 Calcular " PIEL  IELP  ELPI  LPIE "

13. Si: (a + b + c)2 = 144

Hallar "M x I x L"

12

3. Si: B B  MAC Hallar "C + A + M + A"

12. Hallar "a2 + b2 " Si: abc  9  ...124 a) 13 b) 12 c) d) 10 e) 16

40

7

a) 6 b) 7 c) d) 9 e) 5

8

6. Si:

6 8

3 7

8 5

Bloque II 1. Si: I G

I G U G D

S

A 0 I G 8 D U U

I A L G L G

Hallar "(G + I)(U + A)"

; "0 " e s ce ro

Hallar " Δ  a) 3 b) 4 c) d) 8 e) 18

xΟ " 6

7. Hallar "m + n + p " , si se cumple que:

111

A M I G A + I M 1 M

k1k  k2k  k3k  ...  k7k  mnp1

a) 5 b) 6 c) d) 8 e) 9

7

G

8. Hallar la suma de las cifras del dividendo:

a) 24 b) 36 c) d) 18 e) 16

*

7 2 * *

Hallar " A + M + I + G + A"; M ¹ 0 a) 24 b) 26 c) d) 29 e) 30

8 * -

32

Calcular " U + P x C " a) 80 b) 73 c) d) 18 e) F.D.

A+B+C+D+E+F 21

8 * * * * * * * 7 * 6 * *

x

3

a) 56 b) 64 c) d) 61 e) 67

69

S E I S x 2 D O C E

Sin usar el número 6, ni el 2. Calcular "D + O + S"

a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 21

S

an

2. Si:

24

* * *

Calcular la suma de todos los asteriscos.

5. Efectúe:

1. Si 1c80a  b1c5b  8a837  155595 , determinar el valor de "a.b + c" a) 18 b) 21 c) d) 28 e) 32

72

4. En la multiplicación:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 10. Si: A7  BC5  DEEF determinar el valor de:

Bloque III

18

3. Si: UU  PP  CC  UPC

9. Si: A A  2  BCA Hallar "A + B + C"

a) 17 b) 20 c) d) 18 e) 22

6 2

ta R 20 o sa 14

* * * * * - * 3 * * - * * -

I G

111

Situaciones lógicas

¿Qué son las situaciones lógicas? Son aquellas preguntas donde se pone a prueba la habilidad y el ingenio de las personas. Nunca debes olvidar que cada situación lógica contiene, en sí misma, los datos necesarios para ser resuelta .

Yo

Sugerencias para afrontar con éxito una situación lógica recreativa:

• •

Lee cuidadosamente la situación descrita. No pretendas adivinar ni sacar conclusiones apresuradas. Utiliza esquemas, gráficos, dibujos, etc, que permitan captar mejor la información. En ocasiones servirá despojarse del pensamiento convencional y emplear un enfoque creativo y novedoso como lo es el pensamiento lateral.

M i h ij o E l h e r m a n o d e m i h ij o

ta R 20 o sa 14

• •

TERCERO: "El abuelo del hermano de mi hijo"

Los problemas en el presente capítulo han sido divididos en cuatro grupos:

E l a b u e lo d e l h e r m a n o d e m i h ij o

I. Situaciones de parentesco. II. Situaciones de cantidad mínima de integrantes. III. Situaciones sobre relación de tiempos. IV. Situaciones diversas.

I. SITUACIONES DE PARENTESCO Para resolver un problema de parentesco debemos tener presente que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes, así por ejemplo, una persona puede ser al mismo tiempo, y según se señale en el enunciado: abuelo, padre, hijo, nieto, cuñado, sobrino, esposo, etc. ¿Quién es el abuelo del hermano de mi hijo?

an

Solución 1: Es recomendable ir graficando las personas que aparecen en el enunciado , de atrás hacia delante: PRIMERO: "mi hijo"

S

Yo

Yo

M i h ijo

E l h e r m a n o d e m i h ij o

Respuesta: Puede ser mi padre o mi suegro(el padre de mi esposa) Solución 2: Se analiza el enunciado de atrás hacia delante: "El abuelo del hermano de mi hijo es mi..."



El hermano de mi hijo es también mi hijo. El enunciado se leería ahora así: "El abuelo de mi hijo es mi... " Y eso es sencillo!!! Puede ser mi padre o mi suegro. II. SITUACIONES DE CANTIDAD MÍNIMA DE INTE-GRANTES Ejemplo:

M i h ij o

SEGUNDO: "El hermano de mi hijo"

En una reunión hay dos padres y dos hijos. ¿Cuál es el menor número de personas que cumplen esa condición? 111

Solución: Para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo. Es decir, si habían dos padres, hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos. Así:

¡Encontraremos situaciones exigen respuestas ingeniosas!

ingeniosas

que

Ejemplo: A un folleto de 20 hojas, se le arranca la página 4; 5; 8; 10; 21; 38; 40.

( A b u e lo )

¿Cuántas hojas le quedan?

ta R 20 o sa 14

p a d re s

Solución:

(P a d re )

H ij o s

Obviamente, si arranco la página 5 por ejemplo, también estaré arrancando la página 6. ¿por qué? ......................

Se ha arrancado en realidad las páginas:

* La respuesta sería 3. III. SITUACIONES SOBRE RELACIÓN DE TIEMPOS Explicamos mediante un ejemplo: "Si hoy es viernes, ¿qué día será el anteayer de mañana?" Solución: Graficamos una siguientes características: -1

-2

0

recta

con

1

2 …

an Ahora, ubico el dato conocido: 0 V ie r n e s

1

1 hoja

1 hoja

Es decir quedan: 20 - 7 = 13 hojas.

Problemas para la clase

2

      1

iii. Respondo: ¿Qué representá el -1 en la recta? iv. Rpta.: será jueves

padre

2. ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? b) mi hermano d) mi padre

a) sobrino b) tío d) nieto e) abuelo

c)

primo

4. La única hija del abuelo de mi padre es mi: a) prima b) abuela c) d) madree) tía abuela

tía

111

IV. SITUACIONES DIVERSAS

c)

3. El hijo de la hermana de mi padre es mi:

¿Qué día será el anteayer del mañana?      

a) sobrino b) tío d) hijo e) hermano

a) mi hijo c) yo mismo e) puede ser b o c

2 …

ii. Le doy forma a la pregunta:

S

1 hoja

1. El abuelo del hijo de mi hermano es mi:

El -2, significará: .......................................

-1

1 hoja

Nivel I

El 1, significará: .........................................

-2

*

las

H O Y

i.

3;4 , 21;22  ; 5;6  ; 7;8  ; 9;10     ; 37;38    , 39,40 

1 hoja 1 hoja 1 hoja

5. En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿de cuántas personas como mínimo estamos hablando? a) 6 b) 5 c) d) 3 e) 2

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 6

4

6. En una reunión se encuentran dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo hay en la reunión?

3

14.Un auto parte de Lima a Ica a 80 km/h; al mismo tiempo un camión parte de Ica a Lima a 60 km/h. En el momento que se cruzan, ¿cuál de los dos está más cerca a Lima? a) el primero c) los dos e) Faltan datos

b) el segundo d) Ninguno

ta R 20 o sa 14

a) 3 b) 2 c) d) 5 e) 6

13.¿Cuál es el menor número de patas que debe tener una mesa para tener estabilidad?

4

7. ¿Qué parentesco tiene conmigo María, si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre?

Nivel II

a) es mi tía c) es mi hijastra e) es mi esposa

b) es mi hija d) es mi sobrina

8. ¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano?

a) mi tía c) mi hija e) mi esposa

b) mi madre d) mi abuela

9. Si hoy es miércoles, ¿qué día será el mañana de anteayer? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

an

10.El ayer de mañana es jueves, ¿qué día será el ayer de pasado mañana? a) viernes b) d) miércolese)

lunes c) jueves

sábado

11.Si anteayer fue viernes, ¿qué día es hoy? viernes c) lunes

S

a) jueves b) d) domingo e)

sábado

12.¿Cuántas veces en un día, un reloj que está detenido, marcará la hora exacta? a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4

2

1. Se observa el siguiente diálogo: entre dos personas que miraban un retrato. Natalia: Mamá ¿quién es ese hombre? Mamá: La madre de ese hombre, que no es mi tío, era la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco había entre Natalia y el retratado? a) su hermano c) su tío e) su esposo

b) su padre d) su abuelo

2. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) mi sobrina c) mi tía e) mi nieta

b) mi hermana d) mi hija

3. Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena? a) cuñados c) concuñados e) primos

b) hermanos d) esposos

4. El ayer de mañana es martes, ¿qué día será el ayer de pasado mañana? b) lunes

111

a) viernes

c) sábado e) jueves

d) miércoles

5. Si ayer hubiera sido como mañana, faltarían dos días para domingo. ¿Qué día es hoy? a) viernes d) sábado

b) e)

jueves c) martes

c)

161

6

an

Nivel III

2. Cada vez que llueve se moja la quinta parte de un terreno. Si llovió cinco días seguidos, ¿qué parte del terreno se mojó en los cinco días?

ta R 20 o sa 14 12

8. Un cazador observa en la rama de un árbol a 12 palomas, dispara y mata a seis, ¿cuántas palomas quedan? a) 0 b) 3 c) d) 12 e) 1

b) mi hijo d) mi sobrino

a) 1/2 d) 4/5

b) 2/5 e) Todo

c)

3/5

3. Si el día de ayer fuese como mañana, faltarían cuatro días para ser sábado. ¿Qué día fue ayer?

7. Un libro tiene 320 hojas. Si se arrancan las páginas de numeración impar, ¿cuántas páginas quedan en el libro? a) 0 b) 160 d) 80 e) 1

a) mi hermana c) mi padre e) soy yo

miércoles

6. En un circo romano salieron a luchar a muerte 12 parejas de gladiadores. Al final de la lucha el Emperador ordenó matar a tantos gladiadores como gladiadores muertos en la lucha. ¿Cuántos gladiadores murieron en total? a) 4 b) 6 c) d) 24 e) N.A.

hijo de mi padre que, a pesar de todo, no es mi hermano?

c)

4. Si el lunes es el martes del miércoles, y el jueves es el viernes del sábado, entonces ¿qué día será el domingo del lunes? a) jueves c) sábado e) no tiene sentido

b) viernes d) domingo

5. Fijate si puedes unir cada cuadrado con el triángulo que tiene el mismo número. Las líneas no pueden cruzarse ni salirse del diagrama. 4

2

3

5

1

1

2

3

4

5

S

1. Yo tengo un hermano únicamente, ¿quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del

a) sábado b) domingo viernes d) lunes e) martes

111

ta R 20 o sa 14

Conteo

Aspectos elementales

El presente capítulo, muestra un procedimiento adecuado para contar figuras de manera ordenada y sistemática, identificando previamente cada región de la figura con una letra. Luego ampliaremos nuestro método en el conteo de situaciones diversas. 1. Conteo por simple inspección

Resolución:

Lo primero que se hace es colocar una letra en cada una de las regiones en que está dividida la figura:

Se realiza visualmente y de acuerdo al grado de dificultad del ejercic¡o, se procede así: * Percepción concentración geométricas. Ejemplo:

-

C

mucha figuras

¿Cuántos rectángulos como el que se indica, existen en la figura de la derecha?

an

-

visual: requiere para reconocer las

B

A

Muy fácil ¿no? Entonces, completa la respuesta:

S

* Conteo sistemático: requiere mucho orden al realizar el conteo. Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

E

* Luego se procede a contar de la siguiente manera: -Triángulos 5 -Triángulos 2 -Triángulos 1 -Triángulos 0 -Triángulos 1

con 1 letra: A - B - C - D – E.................. con 2 letras: AB - CD............................. con 3 letras: CDE ................................. con 4 letras: No hay.............................. con 5 letras: ABCDE.............................. TOTAL = 9

Respuesta: 9 triángulos

* En la figura hay ........... rectángulos.

Ya te habras dado cuenta que para realizar el conteo de manera adecuada sólo requieres concentración.

D

2. Conteo por inducción Consiste en encontrar una regla en la formación de los resultados. Este tema se estudiará con mayor rigurosidad en la tercera semana. Ejemplo:

111

¿Cuántos triángulos habrá en la figura 5 al trazarse una diagonal?

( F ig 1 )

( F ig 2 )

AD : y te encuentras en "D", se puede

( F ig 3 )

seguir:

DCB, DEB

..............

iii. Finalmente AE : te encuentras en "E", se puede seguir:

Solución: Observemos Regla en la formación

* En la figura 2: * En la figura 3:

hay 2 triángulos = 1 x 2

*

Es decir todos los caminos son:

ta R 20 o sa 14

* En la figura 1:

EB, EDCB

hay 6 triángulos = 2 x 3

hay 12 triángulos = 3 x 4

En base a la observación, es fácil darse cuenta que en la figura 5 habría: 5 x 6 = 30 triángulos.

Como puedes ver, este tipo de situaciones requiere más imaginación en la obtención de una regla adecuada. 3. Otras situaciones de conteo

ACB, ACDEB, ADCB, ADEB, AEB, AEDCB

Respuesta: Se puede ir de seis maneras

Problemas para la clase

Nivel I

1. En la figura del lado derecho hay circunferencias y triángulos como los mostrados en el lado izquierdo. ¿Cuántos hay?

Encontraremos gran variedad de situaciones; que requieren mucho ingenio. Ejemplo:

¿De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad "A" a la ciudad "B", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje? C

D

B

an

A

Rpta.: __________

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

E

Resolución: Para partir de "A" tenemos tres posibilidades: C

A

D

B

S

E

i.

Analicemos el primer caso: AC : ya te encuentras en "C", es decir puedes seguir los caminos:

Rpta.: __________ 3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

CB, CDEB ii.

Ahora:

111

Rpta.: __________ 4. ¿De cuántas maneras se puede desplazar una persona del punto"A" hasta "D", sin pasar dos veces por un mismo punto? B

A

G E

Rpta.: __________ D

ta R 20 o sa 14

F

10.¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

C

Rpta.: __________

5. Si deseo ordenar en un armario, los libros de R.M., R.L.y Biología. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo?

Rpta.: __________

6. Si se tiene que pagar una cuenta de S/.21, usando monedas de S/.5 y S/.1. ¿De cuántas formas se puede realizar este pago?

Rpta.: __________

11.¿De cuántas maneras puede ir Pedrito a recoger su pelota? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje).

Rpta.: __________

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.: __________ 12.¿De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad "A" a la ciudad "B"? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje).

an

C

A

D

B

Rpta.: __________

S

8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

E

Rpta.: __________

13.¿De cuántas maneras se podrá leer la palabra DIOS? Rpta.: __________

9. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadrilátero?

D I O S

I O

S

O S

S

111

Rpta.: __________

14.Se lanzan dos dados de distinto color. ¿De cuántas maneras se puede obtener una suma siete en sus caras? Rpta.: __________

Rpta.: __________

4. Se va a confeccionar una bandera de tres colores de acuerdo al siguiente modelo. Se disponen para ello de los colores: rojo, verde, amarillo y azul, ¿cuántas banderas se podrán confeccionar?

ta R 20 o sa 14

15.Indique la cantidad de figuras de seis lados que pueden hallarse en la siguiente figura:

Rpta.: __________

Nivel II

1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.: __________

5. ¿De cuántas maneras puede ir un alumno de su casa al colegio? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje) C o le g io

C asa

an

Rpta.: __________ 2. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

Rpta.: __________

6. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "A" a "F", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje? B

E

A

C

F

D

S

Rpta.: __________ 3. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado, que tengan por lo menos una región sombreada?

Rpta.: __________ 7. Se tiene que pagar una cuenta de S/. 27 usando monedas de S/. 5 y S/. 2 . ¿De cuántas maneras se podrá hacer el pago? Rpta.: __________ 111

8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 2. ¿Cuántos triángulos poseen en su interior sólo un asterisco?

Rpta.: __________ Rpta.: __________ 3. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se cuentan en la figura?

ta R 20 o sa 14

9. ¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan sólo una región sombreada?

Rpta.: __________

Nivel III

1. ¿Cuántos triángulos hay como máximo en la figura?

Rpta.: __________

4. Trilcito desea participar en la maratón del distrito, pero las reglas establecen pasar sólo una vez por cada lado de la figura. ¿Podrá lograrlo? P A R T ID A

LLEG ADA

Rpta.: __________

S

an

Rpta.: __________

111

ta R 20 o sa 14

Métodos de razonamiento: Inducción y Deducción Introducción

En los capítulos anteriores hemos resuelto un conjunto de ejercicios y problemas haciendo uso de nuestra capacidad de observación y relación.

C a s o s p a r t ic u la r e s

an

Entre los métodos del razonamiento más importante, tenemos: La Inducción y la Deducción. Nosotros centraremos nuestro estudio en la Inducción matemática, ya que este método permite mostrar cómo después de observar y establecer relaciones de manera sistemática, es posible generalizar.

2. Deducción Esta palabra proviene del latín: "deducere", que significa sacar consecuencias. La deducción es la acción de deducir, también es la CONCLUSIÓN que se obtiene de un proceso deductivo.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje, la utilización del método de inducción es muy importante, debido a que tiene mucha relación con el proceso del conocimiento que va por saltos y/o aproximaciones sucesivas.

caso 1 caso 2 caso 3

S

Aspecto teórico

R a z o n a m ie n t o d e d u c t iv o

caso 4 . . . . . .

En conclusión, podemos decir que la Inducción y la Deducción son como las dos caras de una misma moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el vertiginoso avance de la ciencia.

111

1. Inducción Dicha palabra proviene del latín " inducere" , (in: en, y ducere: conducir) que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general, tratando de hallar una ley de formación.

C asos p a r t ic u l a r e s

 Casos resueltos

-

Observemos: ¿ Podrías concluir algo más con respecto de los números encerrados en círculo?

_______________________________________ _______________________________________

 Problemas resueltos

ta R 20 o sa 14

Podemos concluir que  cualquier número que 2  15  225  termina en 5, al elevarlo 2   25  625  casos particularesal cuadrado, dicho 2  35  1225  resultado termina  452  2025 en 25.  2 así : . .5  . . 25

_______________________________________ _______________________________________

1. Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a WC . ¿Cuántos triángulos se contarán en total?

Resolución:

W

C

Imagínate, si quisieras trazar las 50 rectas en el gráfico. Bastante laborioso, ¡verdad! Nosotros usaremos inducción matemática.

Razonamiento inductivo

_______________________________________

Nº de triángulos: 6 = 3 (2) N° de rectas trazadas + 1

_______________________________________ _______________________________________

Nº de triángulos: 9 = 3(3)

* Observemos:

N° de rectas trazadas + 1

  Todo los alumnosde Santa Rosa son inteligente  Si : Casos generales  Raz.Deductiv " Ivo es alumno de Santa Rosa"    " Ivo es inteligente"Conclusionparticular

an

Si :

S

* ¿Podrías diseñar una pequeña situación?

_______________________________________ _______________________________________

Nº de triángulos: 12 = 3(4) N° de rectas trazadas + 1



.. ..

Nº de triángulos: 3(51) =153 N° de rectas trazadas + 1 Se contarían 153 triángulos.

2. Calcular: 111

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n 5. Calcular:

Resolución: Un término



1 2 1 2

2 términos



1 2  3 

3 términos



2 12  22  3 2 4 2  ...  n "n" elementos

23 2 3 4 1 2  3  6  2

Resolución:



2 términos

n(n  1) 1  2  3  4  ...  n  2

12  2 2  5 

3

2 (2  1)  2(2)  1 6

términos

12  2 2  32  14 

1  3  5  7  ...  (2n  1)           "n" elementos

Resolución:

3 (3  1)  2(3)  1 6

2 términos 3 términos



1 = 12



1 + 3 = 4 = 22



1 + 3 + 5 = 9 = 32

an

Entonces, para sumar los "n" primeros elementos: 1 + 3 + 5 + ... +(2n - 1)= n2

4. Calcular:

2  4  6  8 ...   2n  "n" elementos

Resolución:



S

Un término



Entonces, para sumar los "n" primeros términos:

12  2 2  32  ...  n 2 

Un término

1 (1  1)  2(1)  1 6

ta R 20 o sa 14

Entonces para sumar los "n" elementos:

3. Calcular:

2  1 1

Un término

2=1x2

2 términos



2 + 4 = 6= 2 x 3

3 términos



2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4

Entonces, para sumar los "n" primeros elementos: 2+4+6+...+2n= n(n+1)

n (n  1) (2n  1) 6

6. ¿En qué cifra termina el resultado de calcular E= 423 + 546? Resolución:

Primero analizamos la potencia del 4:

Si Si Si Si

la la la la

potencia potencia potencia potencia

es es es es

1: 2: 3: 4:

41 termina en cifra 4 (4) 42 termina en cifra 6 (16) 43 termina en cifra 4 (64) 44 termina en cifra 6 (256)

En general: Si la potencia es impar termina en 4 y si es par termina en 6 En el problema se tiene 4 23, al ser la potencia impar debe terminar en 4. Ahora analizamos la potencia del 5:

Si la potencia es 1: 51 termina en cifra 5 (5) Si la potencia es 2: 52 termina en cifra 5 (25) En general: Para cualquier potencia terminará en cifra 5

111

Por lo tanto: E= 423 + 546 + = ... 4 + ... 5 = ... 9

termina en cifra 9. Rpta.: ___________

Problemas para la clase

7. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8?

Nivel I 1. Se observa que:

= 1

2

2

= 2

2

3 = 3

Calcular "

10

"

x 3

F ig . 1

F ig . 2

x 3

F ig . 3

2

...

Rpta.: ___________

ta R 20 o sa 14

1

x 3

8. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar la figura 20?

Rpta.: ___________

2. Si se tienen los siguientes datos: 1 = 4 /2 2 = 9 /2 3 = 1 6 /2

Calcular " 7

F ig . 1

F ig . 2

...

F ig . 3

Rpta.: ___________

9. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

+ 11 "

Rpta.: ___________ 3. Hallar la suma de cifras del resultado de: (11111111)2

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

...

Rpta.: ___________

Rpta.: ___________

10.¿Cuántos triángulos hay en la figura 17?

an

4. En qué cifra termina el resultado de la siguiente suma: 3 4252 + 7 4362

Rpta.: ___________

5. Hallar la suma de las cifras del resultado en la fila 20. 1 2 3 4

32 = 9 332 = 1089 3332 = 110889 33332 = 11108889

S

Fila Fila Fila Fila

Fila 20 Rpta.: ___________

F ig . 2

F ig . 3

...

Rpta.: ___________

11.¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INDUCE"? I N N D D D U U U U C C C C C E E E E E E Rpta.: ___________

111

6. ¿En qué cifra termina el resultado 453?

F ig . 1

E  (333...333)    

12.Se conoce la siguiente sucesión: W(1) W(2) W(3) W(4)

= = = =

1 2 3 4

2

200 cifras

x2 +3 x4 +5

a) 2 000 b) 2 200 d) 1 800 e) 900

Calcular el valor de W(22).

1 100

3. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza una diagonal principal. Como máximo, ¿cuántos triángulos se podrán contar?

ta R 20 o sa 14

Rpta.: ___________

c)

13.Determinar la cantidad de triángulos que se forman al trazar 99 rectas paralelas al segmento "AC".

a) 10 000 d) 10 011

b) e)

11 100 c) 10 100

10 101

4. Determine el número total de trapecios que se pueden contar en la figura. 1

3

5

2

4

6

7

Rpta.: ___________

14.Determinar la cantidad de cuadriláteros que se forman al trazar 19 rectas paralelas al segmento "AD".

9

8

10

a) 55 b) 45 c) d) 36 e) 78

66

5. Determinar una fórmula que nos permita calcular la suma de todos los números pares. 2 + 4 + 6 + 8 +... + 2n

Rpta.: ___________

an

15.Indicar la suma de las dos últimas cifras del resultado de:

n2 + n c)

a) n(n- 1) b) d) n2 e) n(n + 2)

n2 - 1

6. Determinar el número de cuadrados que se pueden contar en la figura.

3752002 - 102003

Rpta.: ___________

Nivel II

1. Calcular "S"

S

S  1  3  5  7  9  ...        

a) n(n +1) b) d) n2 + 1 e)

a) 14 b) 28 c) d) 30 e) 50

"n" términos

n2 c) n(n+2)

n2 - 1

40

7. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "ROMA" en el siguiente arreglo?

2. Calcular "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

R O M A

R O M

R O

R

111

R

R O

R O M

d) 2 499 e) 2 501 a) 7 b) 16 c) d) 31 e) 8

15 Nivel III

8. Hallar el valor de "S".

S

1. Hallar la suma de cifras del resultado de:

1 1 1 1 1     ...  1 2 2  3 3  4 4  5 99  100

99 b) 1 100 100 98 d) e) 99 99

c)

2

a) 999 b) 110 d) 81 e) 330

c)

990

2. Calcular: 21997

9. Calcular la suma de los términos de la fila 50. Fila Fila Fila Fila

110 cifras

ta R 20 o sa 14

a)

2 S  (999...99    )

(3  5  17  ... "1 997 factores" )  1

a) 1997 b) 98 d) 1 e) 2

c)

200

3. Calcular la suma de cifras de "C", si:

1 1 2 3 5 3 7 9 11 4 13 15 17 19

C= (10 + 1) (102 + 1) (104 + 1) ... (10 2 2 000

2 003

a) 2 b) 2 d) 22 005 e) 10

a) 9 750 b) 12 500 c) 25 000 d) 75 200 e) 125 000

c)

2

2 003

 1)

2 004

4. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencia?

10.Hallar el total de palitos de fósforos de:

1

2

3

4

48

49

50

an

1

a) 2 500 b) 500

c)

2

3

a) 3 105 b) 1 305 d) 3 005 e) 3 015

28 29 30

c)

1 355

2 550

Inducción matemática d) 1 000 e) 2 000

S

Nivel I 1. Hallar el valor de la fila(10) en: Fila (1) Fila (2) Fila (3)

: : :

3 E  (999...99    )

1 3+5 7 + 9 + 11 c)

10 cifras

93 = 729 993 = 970 299 300

a) 10 b) 100

c)

90

111

a) 10 b) 100

2. Hallar la suma de cifras de:

d) 180

e) 200

F2 = 2 x 99 + 49 F3 = 3 x 98 + 48

M  9  888...88   

3. Si:

. . .

2 003 cifras

Hallar la suma de cifras del resultado de "M". a) 17 973 d) 19 979

b) e)

18 027 c) 10 827

Calcular la suma de cifras de F20.

16 024

Fila Fila Fila Fila

(1) (2) (3) (4)

ta R 20 o sa 14

4. Calcular la suma de los números de la fila 10. : 1 : 1 1 : 1 2 1 : 1 3 3 1

a) 1 024 b) 100 d) 512 e) 511

c)

1

1 023

a) 400 d) 310

5. Hallar la última cifra de: W = (2

1 999

+ 1) (2

a) 2 b) 3 c) d) 7 e) 0

1 998

2

1

+1) ... (2 + 1) (2 + 1)

n 2 1 2

an

d)

n(n  1) 4

4

18 19 20

c)

210

10.Hallar el valor de "R(22)".

R(3) = 3 x 4 + 5

b)

n2 + 1

b) 200 e) 500

3

R(2) = 2 + 3 x 4

c)

n(n  1) 2

e)

7. Usando la fórmula anterior indica el total de trapecios que se podrían contar en la figura si se trazan 49 paralelas al segmento "CF". W

R

R(4) = 4 + 5 x 6 a) 542 d) 574

1 + 2 + 3 + 4 +...... + n

n(n  1) 2

2

R(1) = 1 x 2 + 3

5

6. Determinar una fórmula que permita calcular la suma de los "n" primeros números naturales.

a)

a) 9 b) 12 c) 13 d) 7 e) 17 9. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?

b) 745 e) 1

c)

22

11.La cifra de unidades de: 2 003 32  1 996 , es: a) 5 b) 6 c) d) 0 e) 9

1

12.Si se cumple: P(1) = 3

S

P(2) = 7 C

a) 1 225 b) 1 275 d) 1 525 e) 1 522

8. Sabiendo que:

1 176

P(3) = 13 P(4) = 21 Calcular "P(13)" a) 81 b) 243 d) 144 e) 90

c)

183 111

F1 = 1 x 100 + 50

c)

F

13.Calcular la cantidad de esferas que hay en el siguiente arreglo.

A  ( 777 ...777  222 ... 2225 ) 2           "n 1" cifras

"n" cifras

...

...

...

...

3. Calcular el número total de "hojitas ( figura.

1 2 3 ...... 8 9 1 0

c)

..

a) 127 d) 512

b) 128 e) 255

459

C R E A T I V

C R E A T I V O

c)

C R E A T I V

C R E A T I

C R E A T

C R C E R C A E R C

511

1. Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 2 3 4 5

3 4 5 6

10

10 11

11 12

a) 729 d) 850

b) 1 000 e) 1 900

48

..

..

..

49

..

50

4 5 6 7

..... 9 ..... 1 0 ..... 1 1 ..... 1 2

10 11 12 13

1 2 ..... 1 7 1 3 ..... 1 8

c)

c)

2 450

4. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente. F1

1

F2

4 4

F3

9 9 9

F4

16 16 16 16

a) 36 100 d) 40 000

b) e)

44 100 c) 64 009

53 361

5. A una reunión asistieron cierto número de personas, si cada una fue cortés con las demás y en total se contaron 1 275 estrechadas de manos (saludos). ¿Cuántas personas asistieron? a) 50 b) 52 c) d) 51 e) 53

49

6. Dado el esquema: w 1

S

1 2 3 4 . . . 9

3

a) 2 652 b) 2 550 d) 2 756 e) 2 500

an

Nivel II

..

C C R C R E C R E A

..

c)

C R E A T I

2

..

50 cifras

15.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "CREATIVO", en el siguiente arreglo?

C R E A T

..

50 cifras

1

..

P  777...777      999...999    

..

..

14.Hallar la suma de cifras del producto siguiente.

b) 350 e) 305

)" en la

4 950

ta R 20 o sa 14

a) 5 055 b) 5 050 d) 5 151 e) 55

a) 405 d) 450

b) 18 d) 19

.

.

a) 16 c) 20 e) No se puede precisar

w 2

w

w4

3

18 19

....

512

2. Calcular la suma de cifras del resultado de "A".

Indique, ¿cuántas esferas había en W12? c)

2 047

111

a) 1 023 b) 2 048 d) 4 096 e) 4 095

7. Si: Jn = (-1)n + 1 Mn = J1 + J2 + J3 + ... + Jn

. . . . .

1

2

. .. ..

. . . . .

3

4

19

20

Hallar "M21 - M20", si "n" es un número entero. a) 570 d) 270

20

b) 600 e) 640

c)

540

2. Calcular la suma de cifras del resultado:

ta R 20 o sa 14

a) 1 b) 21 c) d) 0 e) -1

8. ¿Cuántos triángulos hay en total en F(20)?

A  555...555  999... 999          100 cifras

a) 1 b) 10 c) d) 90 e) 900

F (1 )

F (2 )

a) 77 b) 81 c) d) 89 e) 101

F

.....

(3 )

85

a) 54 b) 63 c) d) 81 e) 45

100

3. Hallar la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 x 10. 2 4 6 . . .

9. Calcular el valor de "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras. M=

18 20

(6666666)2 72

4 6 8

6 ..... 1 8 8 ..... 2 0 1 0 ..... 2 2

20 22 24

20 22

2 2 ..... 3 4 2 4 ..... 3 6

36 38

a) 2 500 b) 1 900 d) 2 000 e) 3 600

10.¿Cuántas "cerillas" conforman la torre mostrada?

100 cifras

c)

1 650

4. Calcular la suma de cifras del resultado de "D".

D  ( 999 ... 995 ) 2      101 cifras

an

..

..

....

....

..

...

....

...

...... ......

1

2

3

a) 20 b) 21 c) d) 200 e) 420

4

19

20

a) 900 b) 925 d) 90 e) 907

c)

625

21

210

5. ¿Con cuántos palitos se formó la siguiente figura?

S

Nivel III 1. Hallar la cantidad total de "palitos", en la siguiente figura:

1

a) 11 000 d) 10 100

2

b) e)

4

......

97

98

10 300 c) 10 000

99

100

10 200

111

Fracciones I

3

Representaciones gráficas y Operaciones Introducción Nunca olvides que al hablar de fracción, las partes deben ser iguales.

La idea de fracción es bastante antigua, esta palabra deriva del vocablo latín "fractum", que significa "roto". Existen vestigios que demuestran la utilización de símbolos para indicar fracciones, ya en el siglo III a.n.e. estos símbolos se utilizaban como elementos de cálculo, y aquellos que se encargaban de ello eran un grupo muy selecto dentro del reino.

¿Cuáles de las siguientes son fracciones?

ta R 20 o sa 14

Los egipcios, tenían una forma peculiar de escribir las fracciones.

1  2

¿Crees que has entendido? ¡Demuéstralo!

*

Si

1  4

ó

No

*

Si

La aparición de las fracciones nace debido a la necesidad de hacer una división equitativa entre un grupo de individuos.

* Veamos el siguiente caso: Un padre antes de morir dejó a sus hijos una porción de tierra como herencia, con las siguientes condiciones: - Al mayor 3/6, al segundo 2/6 y al último lo que quede. P a ra h a c e r e l re p a r to d e b e d iv id ir s e e l t e r r e n o e n p a r t e s ig u a le s ( ¿ c u á n t a s ? )

1º

2º

*

Si

4 2

Si

5 7

Si

*

1 5

*

7 4

*

7 3

No

No

No

Si

No

En esta clase le daremos mucha importancia a la representación gráfica con fracciones y las operaciones respectivas. 2. Representación gráfica a) ¿Qué fracción del cuadrado representa la región sombreada?

3º

an

Aspecto teórico

No

2 3

1. Definición de fracción Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes iguales.

De manera general, al número fraccionario que presente sus dos términos positivos se les llamará fracción, veamos: 1 7

1 7

____ Complétalo tú!

3. Operaciones básicas 3.1

Adición y sustracción 111

3 7

1 7

T o ta l d e p a r te s

b) ¿Cuál es la fracción que representa la figura sombreada?

S

El numerador indica el número de partes tomadas, y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión.

P a r te s s o m b r e a d a s

7 16

4 3   5 2 3.2

Multiplicación

Problemas para la clase

2 5   3 7

* ¿Qué fracción es la que presenta la figura sombreada?

División

1° forma:

ta R 20 o sa 14

3.3

Nivel I

No olvides que es necesario que la figura, esté divida en partes iguales, si no es así, efectúa los trazos convenientes.¡Tú puedes!

2 3 2 2     5 2 5 3

1.

2° forma:

2 2 3   5  3 5 2 2

Rpta.: __________

2.

3.4. En mixtos Recuerda que:

5

2 2 5 3 3

Desarrollemos lo siguiente: 7 1° forma:

3.

2 1 2 1 9 9  3   7  3    10   10 5 2 5 2 10 10

an

7

2 1 3 3 2

Rpta.: __________

2° forma: Los fraccionarios:

2 37 7  5 5

transformo

en

1 7 y 3  2 2

números

Rpta.: __________

4.

* Los sumo:

S

37 7 109    5 2 10 109 10 9 10

Rpta.: __________

10 9 10

En este caso, ¿es posible establecer la fracción? ¿Por qué? 111

5.

Rpta.: __________ 6.

13.

3 2 5

=

14.

3 8 5

=

15.

1 2 3  8  7 5 3 4 3 1 2 8  7  3 4 5 3



ta R 20 o sa 14

3

Rpta.: __________

7.

Nivel II 1.

Rpta.: __________

* Resolver:

3 1   8 5

9.

3 1 -  8 5

an

8.

10.

3 1   8 5

11.

3 1   8 5

Rpta.: __________

2.

Rpta.: __________

3.

Rpta.: __________

S

3 8 1 5

12.

4.

=

111

Rpta.: __________ Nivel III 5. 1.

6.

3 1  5 2 = 2 1 3 4

2 7.

5 8.

5

1 = 2 2 1 3 8

1 = 1 2 1 24 1 1 = 1 13

an

3

3. En el siguiente cubo formado por 64 ladrillos se pinta las cuatro caras laterales (incluida anterior y posterior). Indique en una fracción lo siguiente:

=

2 3  1 1     10 25 40  6 4.  = 1 1 8 12    1 4 5 9    1 5  12    5.  = 3  1 6 1 2

S

5 1 1 10. 3 5 6 3

Rpta.: __________

# Ladrillos pintados en dos caras # Ladrillos pintados en una cara

2

3 9.

Rpta.: __________ 2.

ta R 20 o sa 14

Rpta.: __________

111

Fracciones II

ta R 20 o sa 14

Situaciones razonadas elementales Aspectos elementales

Ejemplos:

En esta clase dedicaremos nuestro estudio de las fracciones a situaciones cotidianas, que deben ser razonadas de manera elemental.

3 1 respecto a ? 5 3

Resolución:

3 1 4   5 3 15

Situación 1

Para hallar lo que falta a una fracción respecto a una cantidad.

2. ¿Cuánto le sobra a 4

1 3 respecto a 1 ? 3 5

Resolución:

Ejemplos:

3 1. ¿Cuánto falta a para ser igual a 4? 5 Resolución:

3 17 2  3 5 5 5 5 1 2. ¿Cuánto falta a para ser igual a 2 ? 8 3 4

Resolución: -

1. ¿Cuánto le sobra a

1 3 13 8 65  24 41 11 4 1     2 3 5 3 5 15 15 15 8 3 3. ¿En cuánto excede a ? 5 7 Resolución:

¿Cómo debe resolverse?

Para efectuar una comparación, restamos; la

1 es mayor que 3

an

pregunta nos sugiere que 2

5 . 8 1 5  2  3 8



7 5 41 17   1 3 8 24 24

3. ¿En cuánto es excedido

3 5 por ? 7 3

Resolución:

S

5 3 26   3 7 21

pues:

8 3 56  15 41 6    1 5 7 35 35 35

Situación 3

Para hallar la fracción de una cantidad.

Ejemplos:

1. Hallar los

5 de 48. 8

Resolución:

Situación 2 Para hallar lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad.

8 3 3 8  ó  5 7 7 5

2. Hallar los

5 8

x 48 = 30

111

3 15 de los de 4. 5 6

Resolución: - Para resolver estas situaciones, tengamos en cuenta que la palabra "de" indica una multiplicación. Así: 1

3 5

3

x

1

Resolución: * Partes sombreadas: 3 * Partes no sombreadas: 9

2

15 x 4 = 6 6 2 1

9 = 12 4

¿Cuántas horas entrena al día? Resolución:

3 4

ta R 20 o sa 14

3. Un atleta entrena diariamente los

3

3 del día. 8

Situación 5

3  24  9 8

Para hallar la variación (aumento o disminución) de una cantidad.

Entrena 9 horas diarias.

Ejemplos:

Situación 4

1. Si gasté

Para hallar qué fracción es una cantidad de otra. Esta comparación la haremos de acuerdo al

ES ? DE

esquema: ¿ Ejemplos:

1. Hallar qué parte de 48 es 32. Resolución:

de mi diario, ¿qué parte me

queda?

Solución:

31 2  3 3

2. Se agregó a una cantidad sus resulta? Solución:

ES 32 2   DE 48 3

an

1 3

2 , ¿qué parte 5

52 7  5 5

2. Hallar qué fracción de 60 es 25. Resolución:

ES 25 5   DE 60 12

3. Si han transcurrido los del día, ¿qué parte del día queda? Solución:

3. Tenía S/.30 y gasté S/.18. ¿Qué parte DE lo que gasté ES lo que no gasté?

Problemas para la clase

S

Resolución:

Gasté : S/. 18  ES 12 2  :  No gasté : S/. 12  DE 18 3

Nivel I 1. ¿Cuánto le falta a

2 5 para ser igual a ? 5 8 Rpta.: ............................ 111

4. En el siguiente gráfico indica: ¿Qué parte del total representa la región no sombreada?

94 5  9 9

2. ¿Cuánto le falta a 4

1 3 para ser igual a 6 ? 3 5 Rpta.: ............................

7 5 respecto a ? 2 8

3. ¿Cuánto le sobra a

Indique: a) ¿Qué parte del área sombreada es el área no sombreada? Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

b) ¿Qué parte del área no sombreada es el total?

ta R 20 o sa 14

19 1 respecto a 2 ? 8 3

4. ¿Cuánto le sobra a

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

2 2 de los de $ 150, 3 5

12.Si me pagan los

12 5. Hallar los de 50. 5

¿cuánto recibiré?

Rpta.: ............................

6. En un salón de 32 alumnos, los

5 8

son

mujeres. Hallar el número de hombres.

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

13.Si me debían los

3 de S/. 840 y me pagan los 8

3 5 de los de S/. 840, ¿cuánto me deben? 4 14 Rpta.: ............................

7. Hallar qué parte de 56 es 24.

Rpta.: ............................

8. Son las 2 p.m. transcurrido?

¿Qué

parte

del

día

ha

14.Una persona tiene derecho a recibir los $ 2 000. Si cobra

an

7 de un salón son hinchas de la "U". 12

¿Qué parte no lo son?

Rpta.: ............................

3 7

S

10.Juan recibió los

Rpta.: ............................

15.Una viajera tiene que recorrer 75 km. Un día anda los

3 1 de dicha distancia y otro día 5 3

del resto. ¿Cuánto le falta por recorrer? Rpta.: ............................

de lo que tenía. ¿Cuánto Nivel II

resulta?

Rpta.: ............................ 11.En el siguiente gráfico.

1 1 de de $ 2 000, 2 4

¿cuánto le deben?

Rpta.: ............................

9. Los

7 de 20

1. De una finca de 4 200 hectáreas se venden los

2 1 3 4 de y se alquilan los de los de la 3 7 4 5 finca. ¿Cuántas hectáreas quedan? 111

Rpta.: ............................ Rpta.: ............................

3 2. Si vendo una casa por los de los 8 1 1 200 y un caballo por de de 2 3

5 de $ 7 9 1 de $ 2 4

9. Si gastara $ 65 me quedaría con los

2 de lo 15

que tengo. ¿Cuánto tengo?

400. ¿Cuánto recibiré en total? Rpta.: ............................ Rpta.: ............................

gasté en un traje los queda?

10.Los

2 1 de mis lápices son blancos, son 5 3

ta R 20 o sa 14

3. Con los $ 65 que tenía compré libros por $ 15 y

7 del resto. ¿Cuánto me 10

azules y los 12 restantes, verdes. ¿Cuántos lápices tengo? Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

Nivel III

4. Un muchacho tiene que hacer 30 problemas. Un

3 4 día resuelve los y al día siguiente los 10 7

del resto. ¿Cuántos problemas le faltan por resolver aún?

2 de una finca están sembrados de caña, 9 5 los de café y las 22 hectáreas restantes, de 8

1. Los

tabaco. ¿Cuál es la extensión de la finca?

Rpta.: ............................

5 de esta cantidad 12 3 compré libros y con los de lo que me quedó 8

5. Tenía $ 96, con los

Rpta.: ............................

2. Ayer perdí los

3 5 de mi dinero y hoy presté . 7 8

Si me quedan $ 33, ¿cuánto tenía y cuánto perdí?

compré un traje. ¿Cuánto me queda?

Rpta.: ............................

an

Rpta.: ............................

1 6. Si tuviera menos de la edad que tengo, 4 tendría 21 años. ¿Qué edad tengo?

Rpta.: ............................

7. Vendí

1 1 de de mi finca y me quedaron 68 5 7

S

hectáreas. ¿Cuál era la extensión de mi finca? Rpta.: ............................

8. Habiendo salido 80 alumnos de un colegio, permanecen en el mismo los

3 del total de 8

pintadas. ¿Cuántas gallinas tiene en total, cuántas blancas y cuántas negras? Rpta.: ............................

4. De una finca de 6 300 hectáreas se venden

5 2 2 de los y más tarde los 6 3 9 5 9 de los de los . ¿Cuánto me queda? 7 5 primero los

Rpta.: ............................ 111

alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?

2 de las gallinas de un campesino son 5 1 blancas, son negras y las 20 restantes 3

3. Si

5. ¿Cuánto pierdo, cuando vendo por los

2 de los 5

Rpta.: ............................

9 del costo, lo que me ha costado S/. 5 000? 10

ta R 20 o sa 14

Fracciones III

Reducción a la unidad de tiempo Introducción

Al estudiar las fracciones observamos situaciones gráficas y algunas situaciones razonadas, pero muchas veces es necesario que las situaciones se enfoquen de manera diferente. En la clase de hoy veremos problemas interesantes que requieren de una sencilla solución, a pesar de lo "complicado" de su enunciado. Aspectos elementales

* En el primer caso nos referimos al tiempo en horas, entonces la unidad de tiempo será: una hora.

1. Podemos observar lo siguiente:

* Si Julio César demora cinco horas en terminar su tarea, sin ser interrumpido, entonces, en una hora avanza la quinta parte de todo (1/5)

an

T A R E A 1h 1h 1h 1h 1h 1 5

1 5

1 5

• En todos los casos coincidimos en reducir el problema a la mínima unidad de tiempo. ¿Qué significa eso?

1 5

1 5

* En el segundo caso nos referimos al tiempo en días, entonces la unidad de tiempo será: un día. * En el tercer caso: ....................................... ………………………………………………………………..

2. Veamos ahora algo más interesante:

S

* Cuando Nandito pintó su cuarto, se demoró tres días, es decir cada día pintó la tercera parte (1/3) 1er d ía

2do d ía

3er d ía

1 3

1 3

1 3

* Un caño llena un cilindro en cuatro horas, entonces en una hora llena .............................. ( ).

En el primer caso anterior, llega Guisela para ayudarlo en su tarea. Si ella terminó su tarea en seis horas, significa que en una hora puede avanzar la sexta parte de todo (1/6), mientras Julio César avanza la quinta parte, es decir, juntos avanzan:

1 1 11   de la tarea en una hora. 5 6 30 111

* En el segundo caso, Jorgito se ofrece ayudarlo, pero le advierte que él podría pintar todo en seis días (si lo hiciera solo); eso quiere decir que en un día avanza la sexta parte(1/6). El avance de ellos dos será:

*

Significa que en una hora se llena depósito. G r ifo

1 1 1   3 6 2 desagüe 1 /1 2

-

* debe trabajar terminar.

Problemas resueltos

1. Cuando un grifo llena un depósito, demora cuatro horas, si luego de esto se abre un desagüe, el depósito queda vacío en seis horas. Si se abre el grifo cuando el escape está abierto, ¿qué tiempo demorará en llenarse el depósito estando inicialmente vacío?

1 ; 12

Es decir, si el depósito en 1 hora llena

ta R 20 o sa 14

del trabajo en un día. Por lo tanto si trabajan juntos, demorarán dos días.

Resolución:

1 del 12

12

horas

seguidas

para

OBS: Una vez conseguido lo que pasa con el grifo y el desagüe, se obtuvo 1/12, para conseguir el tiempo sólo. INVIERTE la fracción:

1

12

→12 horas

2. En una empresa de papeles, cuando trabajan las máquinas W1 y W2 juntas demoran dos horas en cortar una cantidad de planchas de papel. En cierta oportunidad se malogró la W1 que era la

más rápida, por lo que la W2 demoró seis horas

Analicemos los dos casos:

en cortar la misma cantidad.

• Para el grifo: En una hora llena depósito.

an

• Para el escape: En una hora desaloja depósito.

-

1 4

del

1 del 6

Mientras el grifo llena el depósito, el agua se desaloja a una velocidad menor. Debemos averiguar cuánto está llenando el grifo mientras el desagüe está abierto. Es decir lo siguiente:

S

-

1 1  4 6

Grifo

1 1 1    4 6 12

En condiciones normales, ¿cuánto demoraría la W1 trabajando sola? Resolución:

Nos dice el enunciado que juntas, la W 1 y W2 demoran dos horas, es decir en una hora avanzan

1 del total de corte. 2

• Si la W2 demora seis horas, trabajando sola, significa que en una hora avanza

1 6

del

trabajo de corte.

Desague

111

Ju n to s : W 1 y W 2

Lo que pasa en u n a h o r a lo p o d e m o s g r a f ic a r a s í:

1 d e l c o rte 2 1 6

W

¿? 2

W

1

• Es decir en una hora la máquina W 1 avanzará la tercera parte del trabajo (1/3).

piscina se vacía en una hora? a) 1/3 b) 1/20 d) 17/20 e) 3/23

c)

7. Una secretaria demora

a) 5/24 b) 5/6 d) 5/48 e) 5/18

3 horas

Problemas para la clase

3/20

24 min en escribir una 5

c)

5/12

8. Una cocinera demora 26

3 min en preparar 4

cierta comida. ¿Qué parte de dicha comida

Nivel I

1 min? 2 1 1 a) b) c) 107 53 2 4 d) e) 53 107 prepara en

1. Luis demora 20 s en tomarse un vaso con agua. ¿Qué parte tomó en 1 s? b) 1/20 e) 1/5

c)

1/10

2. Una señora demora 15 min en resolver un problema. ¿Qué parte del problema resolvió en 1 min?

an

a) 1/5 b) 1/3 c) 1/12 d) 1/30 e) 1/15 3. Un caño llena un depósito en 8 min. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min? a) 1/4 b) 1/2 d) 1/12 e) 1/8

c)

1/6

4. Un obrero demora seis días en abrir una zanja. ¿Qué parte de la zanja abrió en dos días?

S

b) 1/12 e) 1/2

5. Carlos demora

c)

1/3

7 min en resolver un problema. 2

¿Qué parte del problema resolvió en 1 min? b) 3/7

c)

2/7

9. En 1 min un caño llenó

2 107

1 de un depósito. ¿En 24

qué tiempo llenará todo el depósito? a) 30 min b) d) 36 e) 32

10.Gabriel pintó

21

c)

24

1 de una casa en un día. ¿En qué 3

tiempo pintará toda la casa? a) 6 días b) 3 d) 4 e) 9

c)

2

11.Un caño llena un depósito "A" en 3 min y un depósito "B" en 6 min. ¿En qué tiempo llenará el caño los dos depósitos? a) 9 min b) 4 d) 1/2 e) 2

c)

4,5

111

a) 1/7

20 horas. ¿Qué parte de la 3

página. ¿Qué parte de la página escribió en 2 min?

1 3

a) 1/6 d) 1/4

6. Mediante cierto mecanismo una piscina puede

ta R 20 o sa 14

En otras palabras, si W1 trabaja sola,

a) 1/2 d) 1/4

e) 7/9

ser vaciada en

1 1 1    2 6 3

demoraría:

d) 1/9

12.Un caño "A" llena un depósito en 3 min y otro caño “B” desagua el depósito en 6 min. ¿En qué tiempo llenaron los dos caños dos depósitos? a) 9 min b) 4 d) 6 e) 2

c)

vez, ¿en qué tiempo se llenará los

4,5

b) 1/5 e) 1/10

Nivel II

c)

b) 2 min 30 s d) 2 min

1 7

c)

3

4 7

c)

3

3 7

S

2. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en seis horas y el otro, lo puede llenar en ocho horas. Si abrimos los dos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque?

1 h b) 7 1 5 d) 4 e) 3 7 7

3

2 7

c)

1

3 7

3

3 7

2 3

las partes del estanque? c)

5

5. Un caño llena un estanque en cuatro horas, y el desagüe lo vacía en seis horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si la llave del desagüe empezará a funcionar una hora después de abierto el caño? a) 10 h b) 12 d) 7 e) 6

an

4 h b) 7 1 1 d) 12 e) 3 7 8

a) 3

2

caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenarán

a) 9 h b) 8 d) 6 e) 6,5

1/9

1. Un depósito se vacía, mediante cierto dispositivo en seis horas y mediante otro dispositivo en ocho horas. ¿En qué tiempo se vaciará el depósito si funcionan los dos dispositivos simultáneamente? a) 2

del

4. De los tres caños que fluyen a un estanque, uno de ellos lo puede llenar sólo en 36 horas, otro en 30 horas y el otro en 20 horas. Abriendo los tres

6

15.Un caño llena un depósito en ocho minutos, ¿en cuánto tiempo llenará la tercera parte? a) 2 min 40 s c) 2 min 20 s e) 3 min 20 s

5 h b) 7 2 4 d) 1 e) 1 7 7 a) 1

ta R 20 o sa 14 c)

14.Cuando Santa Rocino prepara una torta, demora 50 minutos. En 10 minutos, ¿cuánto ha avanzado? a) 1/4 d) 1/6

3 4

depósito?

13.Luis demora seis días en pintar un edificio; Carlos demora 12 días en pintar otro edificio similar. ¿En qué tiempo pintarán juntos el edificio? a) 9 días b) 4,5 d) 4 e) 3

3. Un caño puede llenar un depósito en tres horas y otro lo puede hacer sólo en cuatro horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la

c)

9

6. Un estanque tiene dos llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12 horas y la segunda en cuatro horas. Si estando lleno, se abre el desagüe y se vacía en seis horas, ¿en cuánto tiempo se llenará el estanque si estando vacío se abren los tres conductos a la vez? a) 8 h b) 7 d) 5 e) 4

c)

6

7. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora seis horas en llenarla; y estando abierto el desagüe, el caño se demora nueve horas en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el caño. ¿En cuántas horas se vaciará completamente? a) 18 h b) 12 d) 15 e) 16

c)

20

111

8. Dos caños "A" y "B" llenan un depósito en 10 h, pero si "B" funcionara como desagüe el déposito

se llenaría en 20 h. ¿En qué tiempo el caño "A" podría llenar el depósito? a) 40 h c) 13 h 20 min e) 13 h 10 min

b) 10 h d) 13 h 30 min

a) 6 días b) 7 d) 9 e) 5

c)

8

Nivel III

c)

4

3. "A" y "B" hacen una obra en tres días, "B" y "C" en cuatro días y "A" y "C" en cinco días. ¿En cuántos días puede hacer la obra "A" trabajando solo? a) 8

10.Un estanque puede ser llenado por un caño "A" en 15 horas y por un caño "B" en 10 horas y puede ser vaciado por una tubería "C" en 12 horas. Si "A" y "B" trabajan juntos dos horas y luego se cierran y se abre "C", ¿en cuánto tiempo "C" vaciará el estanque? a) 5 h b) 4 d) 8 e) 12

a) 2 h b) 3 d) 5 e) 6

ta R 20 o sa 14

9. Dos personas "X" e "Y" podrían terminar un trabajo en 10 días "Z" e "Y" lo harían en 12 días, "X" y "Z" en 15 días. ¿Qué tiempo emplearán si trabajan los tres juntos?

¿En qué tiempo ha de llenarse las 7/8 partes del tanque si se abren las tres llaves al mismo tiempo, estando el estanque vacío?

c)

3

an

4 000

c)

7

1 17

3 h 7

2

b)

3 7

c)

3 7

d) 4

3 3 e) 5 7 7

5. Una tubería "A" puede llenar un estanque en seis horas y otra tubería "D" de desagüe la puede vaciar en ocho horas. Estando vacío el estanque se hace funcionar "A" durante dos horas y luego se abre la tubería "D" funcionando así los dos. ¿Qué tiempo total emplearon para llenar el estanque? a) 24 h b) 26

d) 18

1 c) 2

16

e) 30

S

2. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llave llena el tanque en seis horas, la segunda llave llena el tanque en cuatro horas y la tercera llave desaloja el mismo tanque en ocho horas.

10

4. Un caño "A" puede llenar un depósito vacío en dos horas y otro caño "B" puede llenar el mismo depósito vacío en cinco horas. Si se abren ambos caños a la vez, ¿en qué tiempo llenarán todo el depósito estando vacío? a) 1

c)

b)

d) 7 e) 8

2

1. Se tiene un depósito de agua el cual puede ser descargado mediante dos llaves "A" y "B". "A" puede descargar todo el depósito en 10 horas, mientras que "B" desaloja a 10 litros por minuto. Si los dos juntos lo pueden desalojar en seis horas. Hallar la capacidad del depósito. a) 9 000 l b) 8 000 d) 4 500 e) 10 000

1 18

111

ta R 20 o sa 14 Regla de tres simple y compuesta

Definiciones

an

Magnitud.- Es todo aquello susceptible a aumentar o disminuir. Ejemplos: velocidad, volumen, longitud, tiempo, etc.

Cantidad.- Es una situación particular de una magnitud. Ejemplos: 50 km/h, 10 m3, 15 cm, 12 s, etc. Magnitudes proporcionales

S

Dos magnitudes son proporcionales si al variar los valores de una de ellas los valores de la otra varian en la misma proporción. Dos magnitudes pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

-

Si una empanada cuesta S/.3; entonces dos empanadas costarán S/. 6. Si en una hora recorrí 12 km; entonces en dos horas recorrí 24 km.

-

......................................................................

-

......................................................................

-

......................................................................

b) Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.).- Dos magnitudes son I.P., si al aumentar los valores de cada una de ellas, los valores de la otra magnitud disminuyen en la misma proporción. Ejemplo 2: -

Si 2 obreros terminan una obra en 4 días, entonces 4 obreros la terminarán en 2 días. 111

a) Magnitudes directamente proporcionales (D.P.).- Dos magnitudes son D.P., si al aumentar los valores de una de ellas, los valores de la otra magnitud aumentan en la misma proporción.

Ejemplo 1:

-

Si voy a 30 km/h demoro 4 horas, pero si voy a 60 km/h demoraría 2 h.

-

......................................................................

-

......................................................................

-

......................................................................

Regla de tres

a) Regla de tres simple

En este caso intervienen sólo dos magnitudes. Ejemplo 3: -

# P e rs o n a s

D u r a c ió n a lim e n t o s ( d ía s )

12 4

10 x

L a s m a g n i t u d e s s o n i n v e r s a m e n t e p r o p o r c io n a l e s . x = 10

Ejemplo 4:

x

12 = 3 0 d ía s 4

Ocho cocineros pueden preparar 12 pizzas en una hora. ¿Cuántas pizzas por hora podrán preparar 20 cocineros?

an

-

Solución:

M a g n it u d e s :

Cuatro obreros realizan un trabajo en 12 horas. ¿Cuántos obreros necesito para realizar un trabajo, con el doble de dificultad que el anterior, en 8 horas? M a g n itu d e s :

O b re ro s

T ie m p o

D if ic u lta d

4

12

1

x

8

2

( )

( )

M a g n it u d de c o m p a ra c ió n (* )

R p ta :

(*) Magnitud de comparación Magnitud en la cual uno de sus valores se desea calcular. Ella se compara con cada una de las demás magnitudes.

Problemas para la clase

Un grupo de 12 personas tienen alimento para 10 días. Si el grupo fuera de 4 personas, ¿cuánto durarían los alimentos? Solución: M a g n itu d e s :

-

ta R 20 o sa 14

Es un método aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes proporcionales.

Ejemplo 5:

# c o c in e r o s 8 20

C a n t id a d d e p iz z a s p o r h o ra 12 x

Bloque I

1. Un grupo de 24 ovejas tienen alimentos para 4 días. Si se desea que el alimento dure 8 días, ¿cuántas ovejas deberían haber? a) 18 b) 12 c) d) 30 e) 24

16

2. En un cuartel hay 120 soldados que tienen alimentos para 45 días. Si llegan 30 soldados, ¿cuántos días durarán los alimentos? a) 36 b) 40 c) d) 30 e) 32

45

3. La tripulación de un barco pesquero tiene 250 litros de agua para un viaje de 4 días. Si se quiere que el viaje dure 4 días más, ¿cuántos litros de agua se necesitan? a) 450 d) 470

b) 500 e) 490

c)

420

S

L a s m a g n it u d e s s o n d ir e c t a m e n t e p r o p o r c io n a le s . x = 12

x

2 0 = 3 0 p iz z a s 8

b) Regla de tres compuesta En este caso se tienen más de dos magnitudes.

4. Un grupo de 8 peones iba a realizar una obra en 9 días, pero se retiran 2 peones antes de empezar la obra. ¿Cuántos días emplearán los peones que quedan en hacer la obra? a) 18 b) 14 c) d) 15 e) 10

12 111

5. Un puente puede ser construido por un grupo de 180 obreros en 35 días, si antes de comenzar la obra 75 obreros se enferman, los restantes, ¿en qué tiempo acabarán la obra? a) 50 días b) d) 75 e) 80

65

c)

b) 432 e) 460

36,8

a) 30 b) 38 c) d) 45 e) 28

48

ta R 20 o sa 14 70

7. La habilidad de dos operarios es como 5 es a 12. Cuando el primero haya hecho 180 metros de la obra, ¿cuántos metros habrá hecho el otro? a) 428 d) 532

c)

13.Con 16 obreros puede terminarse una obra en 63 días, ¿cuántos obreros harán falta si se quiere terminar la obra en 36 días?.

60

6. Trece chelines equivalen a $. 40, ¿cuántos chelines equivaldrán a $. 280? a) 68 b) 91 c) d) 65 e) 99

a) 21,8 b) 30 d) 14,5 e) 20,85

c)

22,8

a) 30 b) 38 c) d) 45 e) 27

48

440

8. Cien naranjas cuestan S/.90, ¿cuánto costarán 2 docenas?. a) S/. 21,6 b) d) 25,3 e) 23,6

14.Una casa podría ser construida por 24 albañiles en 36 días. Pero si al empezar la construcción sólo se cuenta con 18 albañiles, ¿cuántos días demorará la construcción de la casa?.

c)

15.En 24 días, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántos días empleará otro grupo de 60 obreros, en terminar la obra? a) 24 b) 36 c) d) 20 e) 15

23,5

18

Bloque II

9. Cien grados centígrados equivale a 80 grados kenius. ¿Cuántos grados Celsius equivalen a 28 grados kenius?. a) 35 b) 40 c) d) 50 e) 60

45

a) 8 b) 6 c) d) 24 e) 12

an

10.Para pintar una pared de 45 m2 se necesitaron 1 350 cc de pintura. ¿Qué volumen de pintura se necesitará para pintar una pared de 54 m2?. a) 1 620 cm3 100 d) 1 720 e) 1 520

b)

1 500

c)

2

S

11.En una noche se usaron 12 velas consecutivas para tener luz por 8 horas. Calcule cuántas velas se hubieran necesitado si se hubiese requerido alumbrado por 12 horas. a) 15 b) 18 c) d) 24 e) 12

1. En una granja hay 36 gallinas que tienen maíz para 15 días. Si se desea que el alimento dure 3 días más, ¿cuántas gallinas se deben sacrificar?

20

2. Una fábrica de confecciones tiene 12 costureras. Reciben un pedido de confeccionar 36 camisas en cierto tiempo. Antes de empezar el trabajo les aumentan el pedido en 6 camisas más, ¿cuántas costureras se necesitan contratar para cumplir el pedido en el plazo previsto? a) 14 b) 12 c) d) 4 e) 6

2

3. Un vendedor pensó en visitar 12 tiendas en un día, trabajando 8 horas, pero su jefe le dijo que tenía que visitar 3 tiendas más. ¿Cuántas horas tuvo que trabajar el vendedor? a) 12 b) 9 c) d) 11 e) 10

8 111

12.Para alfombrar un piso se han necesitado 25 m de alfombra de 0,9 m de ancho. Siendo el ancho de 0,75 m, ¿cuántos metros se necesitará?

30

4. Un grupo de 8 carpinteros demoran 6 días en hacer 24 mesas. Doce carpinteros, ¿cuánto demoran en hacer 42 mesas? a) 8 días b) 9 d) 7 e) 5

c)

6

a) 2 b) 3 c) d) 5 e) 6

4

6. Si 4 gallinas ponen 8 huevos en 8 horas, entonces 6 gallinas, ¿cuántos huevos pondrán en 12 horas? a) 18 b) 24 c) d) 9 e) 15

12

7. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? a) 9 b) 4 c) d) 12 e) 6

8

8. Un grupo de 9 obreros se comprometió a realizar una obra en 12 días. Luego de 4 días de trabajo, se retiran 3 obreros, ¿en qué tiempo terminarán la obra los obreros que quedan? (en días) 9

an

a) 15 b) 18 c) d) 12 e) 10

8

Bloque III 1. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 horas en podar los 600 m2 de un jardín. ¿Cuánto demorarán 8 jardineros en podar otros 400 m2? a) 3 horas b)

6

c)

ta R 20 o sa 14

5. Si 3 conejos comen 3 zanahorias en 3 minutos, entonces un conejo comerá 2 zanahorias, ¿en cuántos minutos?

a) 12 b) 10 c) d) 9 e) 15

9. Se contrató a 15 peones para que hagan una zanja en 8 días. Luego de 3 días se incorporaron 10 peones, ¿en cuántos días se terminó lo que falta de la obra?

S

a) 2 b) 4 c) d) 5 e) 3

6

10.Un grupo de 10 cocineros iban a demorar 8 horas en preparar la comida de un banquete. Luego de 2 horas se retiran 4 cocineros, ¿en qué tiempo terminarán la comida, los cocineros que quedan?(en horas).

5

1 d) 4 e) 2 2

2. Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma dos raciones diarias? a) 14 b) 12 c) d) 18 e) 24

10

3. Dos hombres han cobrado 350 colones por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 colones. ¿Cuántos días, a razón de 6 horas diarias trabajó el segundo? a) 40 b) 50 c) d) 20 e) 80

36

4. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio. ¿Cuántas horas demorarán 12 pintores, en terminar de pintar el edificio? a) 18 b) 24 c) d) 20 e) 27

21

5. Diez hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si se retiran 8 hombres, ¿cuánto tiempo emplearán los restantes para terminar la obra? a) 15

26 d)

2 días 3

18

b)

2 c) 3

2 3 24

1 3

e) 25

3 5 111

ta R 20 o sa 14 Tanto por ciento

TANTO POR CIENTO

an

Es el número de centésimas partes que se toma de una cantidad. Ejemplo:

Dividiendo la tenemos:

unidad

100 partes

iguales,

1 0 0 p a rte s

S 1 100

en

1 100

1 100

. .

.

2 p a rte s = 2 % = 2 x

1 100

1 100

=

1 5 1 = = 100 100 20

2 100

1 100

10 = 100 25 = 100 50 = 100 75 = 100 100 = 100

1 10 1 4 1 2 3 4 =1

En general:

Al aplicar el tanto por ciento (a %) a una cantidad (c) resulta: 111

5% =5×

1 100

1 = 100 1 25 % = 25 × = 100 1 50 % = 50 × = 100 1 75 % = 75 × = 100 1 100 % = 100 × 100 10 % = 10 ×

¡U n a r e b a jita p o r fa v o r!

Ejemplo: Hallar el 30 % de 50. Solución: -

C e lu la r N O K IA

30 × 50 = 15 100

P r e c io d e lis t a ($ . 2 5 0 )

20 × 400 = 80 100

I.

Operaciones con porcentajes

* M + 30 % M = 100 % M + 30 % M = 130 % M

M M   40 % M = 50 % M + 25 % M + 40 % M 2 4 = 115 % M

Pv = Pc + G

II. Pv = Pc - P

* 10 % M + 40 % M + 30 % M = (10 + 40 + 30) % M = 80 % M

*

P r e c io d e v e n t a ($ . 2 0 0 )

Recordar:

Hallar el 20 % de 400. Solución:

(d e s cu e n to d e l 2 0 % )

Pv: Precio de venta Pc: Precio de compra G : Ganancia P : Pérdida

ta R 20 o sa 14

-

¡ L o c o n s e g u í!

Ejemplos:

1. Perico viajó a Buenos Aires y compró “Sobre Heroes y Tumbas” de Ernesto Sabato a S/. 10. Cuándo llegó a Lima vendió el libro a S/. 40. ¿Cuánto dinero ganó?

* 40 % N - 30 % N = 10 % N * 2 N - 70 % N % N = 80 % N

N = 200 % N - 70 % N - 50 2

* 40 % N × 30 % M =

30 M = 100

Nota importante:

50 % P 5 P = 30 % Q 3Q

an

12 MN 100

40 N × 100

* 50 % P  30 % Q =

2. Manuel compró un TV de 29'' a $. 450. Después de días lo quiere cambiar por un TV de 37'' por lo cual decide vender el suyo a $. 390. ¿Cuánto dinero perdió?

La ganancia y la pérdida de una venta generalmente se expresan como un porcentaje del precio de costo, salvo una especificación contraria.

* 20 % del 30 % del 40 % de P

20 30 40 3   P  P 100 100 100 125

La ganancia fue del 30 %  G = 30 % Pc La pérdida fue del 60 %  P = 60 % Pc La ganancia representó el 20 % del precio de venta  G = 20 % Pv

S

* 50 % del 30 % del 10 % de 5 000

-



50 30 10    5 000  75 100 100 100

Aplicaciones de la regla del tanto por ciento Compra - venta:

Problemas para la clase Bloque I Calcular: 1. El 20 % de 120 111

2. El 40 % de 100 menos el 10 % de 50

3. El 10 % del 20 % de 50 4. 30 % M + 50 % M + 2M

15. C - 76 % C +

C 2

Bloque II

ta R 20 o sa 14

1. Tengo S/. 250 y gasto el 30 % en un cd de “Santana”. ¿Cuánto dinero me sobra? 5. El 15 % de 600 más el 30 % de 150

6. El 250 % de 4

7. El 60 % de 80 menos el 50 % de 36

8. El 700 % de 60 por el 10 % de 5

9. 50 % S

×

20 % P

an

10. 70 % P  35 % Q

11.El 15 % del 30 % del 60 % de 6 000

S

12.El 3 % del 2 % del 1 % de 800 000

13.

M M M   - 72 % M 2 4 5

150

c)

175

2. Actualmente tengo S/. 500 pero debo pagar una deuda que representa el 30 % del 60 % del 90 % del dinero que tengo en este instante. ¿Cuánto me sobrará luego de pagar la deuda? a) S/. 407 b) d) 419 e) 421

391

c)

412

3. Claudia invita al cine a Sergio. Si en entradas gastó S/. 20 que representa el 25 % de su dinero, luego compró un jean que le costó S/. 60, ¿con cuánto dinero llegó a su casa si no realizó otro gasto adicional? a) S/. 30 b) 40 d) 50 e) 60

c)

0

4. Torombolo tiene S/. 600 y gasto el 30 % en un reloj "GUESO" y el 50 % del dinero sobrante en un discman "MINRAYO". ¿Cuánto costó el discman? a) S/. 300 b) d) 120 e) 150

210

c)

180

5. En la venta de un TV se ganó el 40 %. Si el precio de costo fue $. 300, ¿cuál fue el precio de venta? a) $. 180b) 350 d) 430 e) 450

c)

420

6. Si compro un reloj a $. 60 y lo vendo perdiendo el 30 %, ¿cuál es el precio de venta? a) $. 42 b) 48 d) 50 e) 46

c)

45 111

14.180 % de 5 + 45 % de 50 + 16 % de 30

a) S/. 125 b) d) 180 e) 190

7. Pepe compró un cd a S/. 70 y desea ganar el 30 % del precio de venta, ¿cuánto dinero desea ganar? a) S/. 50 b) 30 d) 70 e) 35

c)

100

a) 15 % b) 20 % d) 40 % e) 25 %

2. Se vende un vestido en S/. 4 200 ganando el 14 % del costo más el 5 % de la venta. ¿Cuánto costó el vestido? a) S/. 3 500 b) d) 3 800 e) 4 000

a) 20 % b) 25 % d) 15 % e) 18 %

c)

30 %

c)

30 %

10.Un equipo SOÑY es vendido a $. 800 con una pérdida del 10 % de su Pv. ¿Cuál fue el Pc?

Bloque III

c)

a) 34 b) 36 c) d) 41 e) 40

c)

3 475

39

4. Tadeo decide aumentar en 20 % el precio de una fotocopiadora. Pasado un mes, como nadie la compra, disminuye el precio en un 30 % y logra la venta. Entonces Tadeo: a) Ni ganó ni perdió c) Perdió el 84 % e) Perdió el 16 %

760

1. Patty compra dos bicicletas cada una a $. 100, si una la vende ganando el 25 % del costo y la otra perdiendo el 20 % del costo. Al final , ¿ganó o perdió y cuánto?

b) Ganó el 84 % d) Ganó el 16 %

5. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costo S/. 220 de tal manera que al venderlo, se tenga un descuento del 20 % y aún así está ganando el 20 % del precio de costo? a) S/. 300 d) 360

b) Perdió S/. 5

b)

350 e) 400

c)

330

an

a) Ganó S/. 5

3 605

3. De 60 empleados que hay en una empresa, el 40 % son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50 % de las mujeres y el 25 % de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar?

9. Según el problema anterior, ¿cuál será su ganancia respecto al Pv?

a) $. 720b) 880 d) 840 e) 920

d) Ganó S/. 10

ta R 20 o sa 14

8. Sergio compró una tabla a $. 120 y luego la vendió a $. 150. ¿Cuál fue su ganancia en porcentaje?

c) Perdió S/. 10 e) Ni perdió ni ganó

Orden de información -

-

A continuación ordenamientos:

S

En este capítulo encontraremos diferentes tipos de ejercicios, y en su resolución deberemos tener en cuenta siempre lo siguiente:

La información brindada por el problema no necesariamente está ordenada, por lo cual será importante “ordenar la información” de manera que contribuya a resolver el problema de manera fácil y rápida.

Al concluir el ordenamiento deberemos comprobar que éste cumpla con todos los datos del problema.

Creciente o decreciente Lateral Circular

problemas

de

111

-

desarrollaremos

a. Ordenamiento creciente o decreciente

IZ Q

DER

D ... G W G W ... M

Para casos de orden ascendente o descendente. Por ejemplo es el caso de edades, # de habitantes, orden de actividades, estatura, etc.

 DW GM R p t a : D ia n a

Ejemplo 4:

La ciudad “A” tiene más habitantes que la ciudad “B”. La ciudad “B” tiene menos habitantes que la ciudad “C” pero más que la ciudad “D”. Si la ciudad “A” tiene menos habitantes que la ciudad “C”, ¿qué ciudad tiene más habitantes?.

Cinco amigos viven en la misma calle y se sabe que la casa de Carla está a la izquierda de la de Luisa, cuya casa está a la izquierda de la de Vanessa y la casa de Ana está adyacente a las de Luisa y Sonia.

C

C

A

ta R 20 o sa 14

Ejemplo 1:

C

B

Luego, es necesariamente cierto:

A  L a c i u d a d " C " t i e n e m á s h a b ita n te s . B

Luis es mayor que Liliana; Sergio es menor que Sandra; Liliana no es mayor que Sandra y Martín es menor que Luis. Realice el esquema a partir de los datos anteriores.

a) La casa de Carla no está a la izquierda de la de Sonia. b) La casa de Vanessa está junto a la de Sonia. c) La casa de Luisa no está a la izquierda de la de Sonia. d) La casa de Ana no está a la izquierda de la de Carla. e) La casa de Vanessa no está a la derecha de la de Luisa.

Solución:

I

B

A

D

D

Ejemplo 2:

L u is

C ... L L ... V L A S

S a n d ra

M a r t ín

D

L il ia n a

p o s ib le s CLASV s o lu c io n e s C S A L V

D a to s

a) b) c) d) e)

F F F V F

S e r g io

b. Ordenamiento lateral

c. Ordenamiento circular

Cuando los datos se presentan de manera horizontal. DERECH A

O C C ID E N T E

O R IE N T E

O ESTE

ESTE

an

IZ Q U IE R D A

En el siguiente gráfico indicar la derecha y la izquierda de cada una de las personas que se encuentran sentadas en la mesa. (Usar color rojo para la derecha y color azul para la izquierda)

Ejemplo 3:

D

E

C

F

B

Cuatro amigos viven en la misma calle. Además:

Diana vive a la izquierda de Gladys. La casa de Gladys queda junto y a la derecha de la de Wendy. Wendy vive a la izquierda de Mónica.

S

-

A

-

¿Quién vive a la izquierda de los demás?.

¿Quién está frente a "A"?.

Rpta: __________ ¿Quién(es) está(n) a la derecha de "B"?.

111

-

Rpta: __________ -

I. Pepe no se sienta frente a Tula. II. Luna no se sienta frente a Nuna. III. Pipo no se sienta frente a Papo.

¿Quién está a la izquierda y junto a "F"?.

Rpta: __________ ¿Quién está frente a "F"?.

ta R 20 o sa 14

-

Rpta: __________

-

¿Quién(es) no está(n) junto ni a la derecha de "E"?.

Rpta: __________

-

Los 6 están distribuidos en la mesa de manera:

Rpta: __________

Ejemplo 5:

Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Además: -

Juan se sienta junto y a la derecha de Luis. Pedro no se sienta junto a Luis. José les comentó que tiene mucha hambre.

an

Indicar en el gráfico sus posiciones.

Ju an

S

Ejemplo 6:

Tres hombres: Pepe, Pipo y Papo y tres mujeres: Luna, Tula y Nuna se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas de manera simétrica, de modo que dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuáles son verdaderas?.

Problemas para la clase

Bloque I

1. Se tiene un castillo de 4 pisos y en cada piso vive una familia. La familia Drácula vive un piso más arriba que la familia Frankestein, la familia Rasputín habita más arriba que la familia Mónster, y los Drácula viven más abajo que los Mónster. ¿En qué piso viven los Drácula?. a) primero b) segundo tercero d) cuartoe) sótano

c)

2. Cuatro amigas viven en la misma calle: -

Dora vive a la izquierda de Ula. La casa de Ula queda junto y a la derecha de la de Vanesa. Vanesa vive a la izquierda de Martha.

¿Quién vive a la izquierda de las demás?. a) Vanesa b) d) Dora e) F.D.

Ula

c)

Martha

3. Pancho es mayor que Lucho, Anacleto es menor que Antonio, Zoila es menor que Anacleto y Lucho es más viejo que Antonio. Entonces: a) b) c) d) e)

Lucho es el menor. Antonio es el menor. Zoila es la menor. Pancho es menor que Anacleto. Lucho no es mayor que Zoila.

4. Juan, Pepe y José se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular. Si Pepe está a la izquierda de José, y Juan a la izquierda de Pepe. ¿Quién está a la derecha de Juan?. 111

a) José b) Pepe d) José y Pepe

c) e)

Nadie No se sabe

-

5. En cada vértice de una mesa cuadrada se sienta una persona. Si se sabe que (todas miran al centro de la mesa): -

Chana está frente a Juana. Giuliana no está a la derecha de Chana ni al costado de Mariana.

a) Chana c) Giuliana e) No se puede saber

-

- La nota “T” es medio tono mayor nota “V”. - La nota “W” es medio tono menor nota “X”. - La nota “X” es un tono menor que “T”. - La nota “Y” es un tono menor que “W”.

que la

que la

la nota

la nota

¿Cuál de las siguientes representa el orden de menor a mayor?. b) e)

a) b) c) d) e)

Asiento vacío - Manuel. Manuel - José. José - asiento vacío. No se sabe. Manuel - Jaime.

9. Alrededor de una mesa trapezoidal se sientan tres personas una por lado, si:

b) Juana d) vacío

6. Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe que:

a) XYWVT d) YWVTX

¿Entre quiénes se sienta Ana?

ta R 20 o sa 14

¿Quién está a la izquierda de Mariana?

Manuel está al costado del asiento vacío. José no está frente al asiento vacío.

YWXVT c) YXWVT

WVTYX

an

7. En una mesa circular se sientan tres parejas distribuidas simétricamente. Se sabe que:

- Cada varón está frente a su novia. - Andrés está entre María y Sonia. - Roberto está frente a Sonia y al costado de Esther. - Juan es el otro chico.

S

¿Quién es la novia de Juan y de Andrés?. a) Sonia y María c) Sonia y Esther e) No se sabe

b) María y Sonia d) María y Esther

8. Alrededor de una mesa circular hay cuatro asientos simétricamente distribuidas y tres personas una por asiento, si se sabe que:

Gokú no está al costado de Tenchi. ¿Quién está a la derecha del asiento vacío?.

a) El maestro Tenchi d) No se sabe

b)

Gokú

e)

bóc

c)

10.Alrededor de una mesa hexagonal se ubican cuatro personas una por lado, si se sabe que: - Leono está frente a Chitara y a la derecha de Felina. - Ni Felina ni Phantro están junto a Chitara. ¿Un asiento vacío se encuentra entre? (el hexágono es regular). a) Leono - Felina c) Leono - Phantro e) Chitara - Phantro

b) Chitara - Leono d) Felina - Phantro

11.Sabiendo que: Dora tiene más dinero que Sandra pero menos que Ana, quien a su vez tiene lo mismo que Betty, quien tiene menos que María. Si Rocío no tiene más que Ana, podemos afirmar: I. María tiene más que Dora. II. Sandra tiene menos que Betty. III. Sandra es la que tiene menos. a) I y II b) II y III c) d) Todas e) N.A.

I y III

12.En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que: 111

-

“L” llegó un puesto detrás de “M”. “N” llegó dos puestos detrás de “K”. “P” llegó cinco puestos detrás de “M”. “Q” llegó un puesto detrás de “P”.

III.

El auto 4 llegó después del auto 2.

a) Sólo I b) I y II c) d) I y III e) Todas

Luego, “R” llegó:

Bloque II

a) b) c) d) e)

1. Se sabe que:

13.En una carrera participan seis personas. Se sabe que “A” no llegó en un lugar impar, “C” llegó equidistante a “F” y “B” que llegó último, “E” no ganó la competencia. ¿En qué lugares llegaron “D” y “F”? a) 2° y 3° d) 1° y 4°

b) e)

1° y 2° c) 3° y 4°

3° y 2°

14.Sobre una mesa hay tres naipes en hilera.

- A la izquierda del rey hay un as. - A la derecha de la jota hay uno de diamantes. - A la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles. - A la derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio?. Rey de tréboles. As de tréboles. Jota de diamantes. As de diamantes. Jota de tréboles.

an

a) b) c) d) e)

15.Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Si se sabe que: -

El auto 1 llegó en tercer lugar. La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2. La numeración de los autos no coincidió con su orden de llegada.

S

-

- Sonia no es más baja que Liliana. - Pilar es más alta que Sonia. - Milka es más baja que Catalina. - No es cierto que Karina sea más alta que Sonia. - Sonia es más baja que Catalina.

ta R 20 o sa 14

entre “M” y “K” entre “N” y “K” dos puestos detrás de “N” después de “P” antes de “M”

II y III

Podemos afirmar:

a) Liliana es la más alta. b) Catalina es la más alta. c) Milka es más alta que Sonia. d) Liliana es más baja que Catalina. e) No es cierto que Pilar sea más alta que Karina.

2. Cinco personas ("A", "B", "C", "D" y "E") se sientan simétricamente alrededor de una mesa pentagonal, una por lado. Se sabe que: -

"A" no está al costado de "B" ni de "E". "B" está al lado de "E" y "D". "C" está a la derecha de "E".

¿Quién se sienta a la izquierda inmediata de B? a) B b) D c) d) C e) A

E

3. Alrededor de una mesa circular se sientan seis personas ubicadas simétricamente si: -

“A” está frente a “B” y al costado de “C”. “C” está frente a “F”. “D” está entre “A” y “F”.

¿Entre quiénes se encuentra “E” que es el último?. a) B y C b) B y A d) F y A e) F y B

c)

AyD

4. Seis amigos: mujeres ("M", "N", "O") y hombres ("P", "Q", "R") se sientan alrededor de una mesa

111

I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera.

Se afirma que:

circular con 6 asientos simétricamente. Si se sabe que:

distribuidos

- Dos personas del mismo sexo no se sientan juntos. - "M" se sienta junto y a la derecha de "P" y frente a "Q". Se cumple: “Q” está a la derecha de “O”. “Q” está a la izquierda de “O”. “P” está frente a “O”. “R” está frente a “N”. “P” puede estar al costado de “N”.

"A" se sienta frente a "D". "B" se sienta a la derecha de "C". "E" y "F" se sientan juntos.

3

a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4

an

- Debe realizar una tarea por día. - "Q" debe realizarse antes de "U", pero después de "P". - "S" debe realizarse después de "Q" y de "T". - "U" y "S" deben realizarse antes de "V". - "R" debe realizarse después de "T".

6. ¿Cuál de los siguientes no es un orden posible de resolución de tareas, de lunes a domingo, para Marlene?

S

b)

PQTRSUV

e)

TPRSQUV

c)

7. ¿Qué tarea no puede realizar Marlene el martes? a) P b) R c) d) Q e) T

S

9. "B" se sienta:

b) junto a "J". d) adyacente a "R".

10.Si "M" se sienta junto a ordenamientos posibles hay?

* Marlene debe realizar siete tareas: "P", "Q", "R", "S", "T", "U" y "V" en una semana y debe empezar el lunes. Las tareas serán realizadas de acuerdo a las siguientes condiciones:

a) PQUTSRV TRPQSUV d) PTRQSUV

- "A" se sienta frente a "B" y junto a "C". - "R" se sienta frente a "C" y a la izquierda de "B". - "J" y "L" se sienta juntos.

a) al lado de "L". c) junto a "C". e) junto a "M".

¿Cuántos posibles ordenamientos existen? a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 8

b) R y U d) P, Q, R, T y U

* Alrededor de una mesa circular hay ocho asientos colocados simétricamente en la cual se sientan siete personas: "A", "B", "C", "R", "M", "J" y "L", y sabemos que:

5. "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular, en seis asientos distribuidos simétricamente. Además: -

a) T y R c) Q, R, T y U e) P, Q, R, S, T y U

ta R 20 o sa 14

a) b) c) d) e)

8. ¿Cuál de las siguientes es una lista completa de las tareas que podrá realizar Marlene el día miércoles?

"B",

¿cuántos

2

Bloque III

* Un Director cuenta con siete aulas consecutivas numeradas del 1 al 7 de oeste a este, a lo largo del corredor principal del colegio. Entre las aulas 4 y 5 hay un baño, y solo las aulas 1 y 7 cuentan con equipos de audio. A cada aula, el Director debe asignarle una de las siete siguientes clases: "K", "L", "M", "N", "O", "P" y "Q". La distribución de las clases debe cumplir con las siguientes reglas: - "L" y "M" no deben estar en aulas adyacentes. - "N" y "O" debe estar en aulas adyacentes. - "L" debe estar en el aula 3. - Las clases de idiomas deben estar en las aulas con equipos de audio.

1. Si "M" y "N" son clases de idiomas y además "O" y "L" están en aulas adyacentes, entonces debe ser verdad que "M" está en: 111

a) El aula 1

b) c) d) e)

El aula 7 Un aula adyacente a la de "O" Un aula adyacente a la de "Q" Un aula adyacente a la de "K"

2. Si "K" y "O" son clases de idiomas y "M" no está adyacente al baño, todas deben ser verdaderas, excepto: "O" está en el aula 1. "N" está en el aula 2. "M" está en el aula 6. "P" y "L" están en aulas adyacentes. "Q" está adyacente al baño.

3. Si "O" es una clase de idioma y además "K" y "Q" ocupan las aulas adyacentes al baño, ¿en cuál de las siete aulas puede estar "M"?

"N" está en el aula 7. "P" y "M" están en aulas adyacentes. "Q" y "P" están en aulas adyacentes. "N" y "K" están en aulas adyacentes. "P" está en un aula con equipos de audio.

3

5. Si "O" y "P" son clases de idiomas y además "M" está en un aula adyacente a “N”, ¿cuál de las siguientes puede ser verdadera? a) b) c) d) e)

"P" está en el aula 7 "N" está en el aula 5 "K" está en el aula 5 "Q" está en el aula 2 "O" esta en el aula 1

S

an

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

a) b) c) d) e)

ta R 20 o sa 14

a) b) c) d) e)

4. Si "K" y "M" ocupan las aulas adyacentes al baño y "O" está en el aula 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

111

Cuadro de decisiones Cuadro de decisiones

Ejemplo 1: -

Tres amigos: Alberto, Beto y Carlos comentan acerca del equipo del cual son hinchas (“U”, Cristal y Cienciano). -

Alberto dice: “No soy hincha de Cienciano ni de Cristal”. Carlos dice: “Me gustaría que mi equipo tuviera una camiseta como la del Cienciano”. Beto dice: “Me encanta el uniforme rojo de mi equipo”.

Si el más inteligente es hincha de la "U", ¿quién es éste? Solución:

C a r lo s

B e to

X

X

César

X

X

X

X

X

X

X

Tres amigas: María, Luisa e Irene cumplen años los días 7; 9 y 30; durante los meses de Enero, Setiembre y Diciembre, aunque no necesariamente en ese orden. Si: -

Irene no nació en setiembre. El 9 de setiembre ninguna de ellas cumplió años. Luisa celebra su cumpleaños el 8 de diciembre con un día de retraso con respecto a la fecha real. El 30 de enero ninguna de ellas cumple años.

¿Cuándo cumple años María?.

X X

M es

S

7

9

3 0

E n e ro

S e t i e m b r e D ic ie m b r e

M a r ía

X

L u is a

X

X

Beto no vive en Jesús María, pero Fernando vive en Pueblo Libre. - Ángel va a Jesús María a visitar a César. - A Beto le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel? ¿Quién vive en San Borja?.

Solución:

X

Ejemplo 3:

C ie n c ia n o

Cuatro amigos: Ángel, Beto, César y Fernando viven en cuatro distintos distritos. Además: -

S . B o r ja

Ángel vive en San Isidro. En San Borja vive Beto.

Ire n e

El más inteligente es Alberto. Ejemplo 2:

S . I s id r o

X

Fe rn a n d o

D ía

C r is t a l

an

B e to

X

Solución:

"U "

A lb e rt o

P. L ib r e

X

ta R 20 o sa 14

En este tipo de problema se debe relacionar un conjunto de datos proporcionados. Ayuda mucho el uso de una tabla de doble entrada en la cual se marcan las relaciones existentes mediante un si () y se descartan las que no cumplen las condiciones mediante un no (X).

J . M a r ía Ángel

Problemas para la clase

Bloque I

Enunciado: Tres personas ("A", "B" y "C") tienen diferentes aficiones: fútbol, básquet y voley y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que: -

"B" no practica voley. La basquetbolista no gusta del rojo. "A" no practica básquet. Quién practica voley gusta del blanco. "B" no gusta del azul. 111

1. ¿Qué afición tiene "A"?

a) fútbol c) voley e) básquet o voley

b) básquet d) fútbol o básquet

-

Cecilia participó en voley. María no es basquetbolista. Mientras la gimnasta participaba, Irene y Leticia observaban a la voleybolista. A Cecilia y a María les gusta el estilo de la gimnasta pero no la del atletismo.

3. ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) Irene - Básquet c) Irene - Atletismo Equitación e) Lucía - Equitación

b) Leticia - Básquet d) María -

4. Es necesariamente cierto que:

an

I. Lucía es gimnasta. II. Irene es basquetbolista III. Leticia practica atletismo. a) Sólo I b) Solo I y II d) Solo II y III e)

c) Solo I y III Ninguna

S

Enunciado: Cuatro amigas, Marisol, Laura, Fátima y Eliana, lleva puesto, cada una, un polo de diferente color: rojo, azul, verde y rosa. Se oyen los siguientes comentarios: -

verde

I. El polo de Marisol es verde II. El polo de Fátima es azul. III. A la que tiene polo azul le encanta el polo de Eliana. a) Solo I b) Solo I y II d) Solo I y III e)

c) Solo II y III Todas

ta R 20 o sa 14

b) rojo d) rojo o blanco

Enunciado: Cinco amigas: María, Lucía, Irene, Leticia y Cecilia pertenecen al equipo olímpico de “Trilce” en los siguientes deportes: gimnasia, básquet, equitación, voley y atletismo no necesariamente en ese mismo orden. Además: -

c)

6. Es cierto que:

2. ¿Cuál es el color favorito de "C"? a) azul c) blanco e) azul o blanco

a) azul b) rojo d) rosa e) negro

Marisol dice: "Mi polo no es azul ni rosa". Fátima dice: "Me gustaría tener un polo rosa" Laura dice: "Me encanta mi polo rojo".

5. El polo de Eliana es de color:

Enunciado: Ramiro, Renzo, Ricardo, Rodrigo y Rubén pasarán sus vacaciones en cinco ciudades del Perú: Trujillo, Cuzco, Arequipa, Tacna y Chiclayo, cada uno en una ciudad diferente. Se sabe que: - Ramiro irá a Trujillo. - Los suegros de Renzo y Rodrigo viven en el Cuzco, por lo cual ellos no pasarán sus vacaciones en esa ciudad. - Ricardo vive en Tacna y es el único de los cinco que pasará sus vacaciones en la ciudad donde vive. - Rodrigo vive en Arequipa. 7. Renzo pasará sus vacaciones en: a) Trujillo b) Arequipa Tacna d) Cuzco e) Chiclayo

c)

8. Es imposible que:

I. Ramiro viva en Trujillo II. Rodrigo viva en Cajamarca III. Rubén viva en Tacna a) Solo I b) Solo II c) d) Solo I y II e)

Solo III Todas

Enunciado:

Cuatro personas, Aldo, Alberto, Ciro y Dina, están acampando en cuatro campamentos distintos: Espadilla, Florencia, Guajira y Holguín, pero no necesariamente en ese orden. Los campamentos están junto a cuatro lagos: Llopango, Jauja, Kivú y Liberia, los cuales están en cuatro estados diferentes: Morazán, Nueva Segovia, Ocotal y Portoviejo. 111

-

Alberto está acampando junto al lago Kivú. El campamento Holguín está junto al lago Jauja, el cual está en Nueva Segovia. El que acampa junto al lago Llopango ha nacido en Portoviejo y solamente acampa en dicho estado. Dina está en el campamento Florencia. Aldo está acampando junto al lago ubicado en Ocotal.

a) b) c) d) e)

En el campamento Espadilla. Junto al lago ubivado en Morazán. Junto al lago Liberia En el campamento Florencia. Junto al lago ubicado en Nueva Segovia

10.El lago Llopango está ubicado: a) b) c) d) e)

Junto al campamento Junto al campamento En Ocotal Junto al campamento Junto al campamento

Florencia donde está Aldo. Guajira donde está Ciro

11.Podemos deducir con certeza que:

I. Aldo no está en el campamento Holguín II. Ciro está junto al lago ubicado en Portoviejo. III. Dina no está en el campamento Espadilla. a) Solo I b) Solo II c) d) Solo I y III e)

Solo III Solo II y III

an

12.¿Qué afirmación es cierta con respecto al lago Liberia? a) b) c) d) e)

Enunciado: El día de hoy, debido al mal tiempo, solo han podido salir cinco vuelos del aeropuerto internacional Avioncitos. Cada vuelo corresponde a una aerolínea diferente: Alitas, Gloria, Humito, Nubes y Silencio. Además, cada vuelo va a un destino diferente: Argentina, Brasil, Colombia, Paraguay y Uruguay y partieron en horas diferentes: 7:00 a.m., 12:00 m, 3:00 p.m., 5:00 p.m. y 6:00 p.m.

ta R 20 o sa 14

9. Alberto está acampando:

e) Cuál de los cuatro lagos mencionados está en Morazán

Ciro está acampando junto a él. Dina está acampando junto a él. Se encuentra en Morazán. Está junto al campamento Florencia. Aldo está acampando junto a él.

S

13.¿Qué es lo que no se puede determinar con seguridad?

14.La asociación correcta es: a) b) c) d) e)

Argentina - 500 pasajeros - 3:00 p.m. Brasil - 450 pasajeros - 12:00 m. Colombia - 700 pasajeros - 6:00 p.m. Paraguay - 500 pasajeros - 5:00 p.m. Uruguay - 800 pasajeros - 7:00 p.m.

15.¿Cuál de verdadera? a) b) c) d) e)

las

siguientes

afirmaciones

es

Alitas va a Brasil Gloria va a Colombia Humito partió a las 12:00 m. Nubes partió a las 5:00 p.m. Silencio va a Colombia

Bloque II Enunciado: Tres amigos, Pedro, Quino y Rafael, tienen una mascota diferente: perro, mono y loro, tienen diferentes edades y viven en diferentes distritos: Lince, Surco y Jesús María. Se sabe que: 111

a) En qué estado está el lago Kivú. b) Quién está en el campamento Espadilla. c) Qué campamento está junto al lago ubicado en Portoviejo. d) Quién está acampando junto al lago ubicado en Nueva Segovia

- El vuelo que va a Brasil partió a las 12:00 m. - Humito lleva 700 pasajeros y se dirige a Argentina. - El vuelo que se dirige a Paraguay partió a las 5:00 p.m. - El vuelo que se dirige a Uruguay lleva 800 pasajeros. - Silencio partió a las 7:00 a.m. - El que va a Brasil lleva 450 pasajeros. - Nubes va a Paraguay y lleva 500 pasajeros. - A las 3:00 p.m. partió un vuelo con 650 pasajeros.

-

Pedro no es el mayor y tiene como mascota un loro. Rafael no es el menor. El que tiene un perro vive en Lince. El que tiene un mono vive en Surco. Quino tiene dos años más que el que vive en Jesús María.

a) b) c) d) e)

Pedro - Jesús María Pedro - Surco Quino - Lince Quino - Jesús María Quino - Surco

2. Si Rafael no vive en Surco, entonces es falso que: a) b) c) d) e)

I. El mayor vive en Surco. II. Quino no tiene un perro. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

ta R 20 o sa 14

1. ¿Quién es el menor y dónde vive?

5. Para determinar que mascota tiene cada uno de ellos, basta saber que:

Rafael tiene como mascota un perro. Quino es el mayor. Quino tiene como mascota un mono. Rafael es el mayor Quino vive en Jesús María

3. Para determinar quién es el mayor, basta saber que: I. tienen edades consecutivas II. el mayor vive en Lince.

an

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

4. Para determinar dónde vive cada uno de ellos, basta saber que: I. Quino saca a pasear a su perro. II. Pedro y Rafael juegan con el perro.

S

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

* Tres amigos se reúnen a tomar el té, además: -

Beatriz no es García. López es secretaria en una oficina. La actriz se llama Claudia. La maestra no es Méndez.

6. Alicia se apellida:

a) López b) García c) Méndez d) Valverde e) Medrano

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? I. Beatriz es secretaria. II. La actriz se apellida Méndez. III. La maestra no se apellida López. a) I y II b) I y III c) d) Todas e) Ninguna

II y III

* Arturo, Bruno, Carlos y Dante viven en los siguientes distritos: Pueblo Libre, Lince, San Isidro y San Borja pero no necesariamente en ese orden: cantante, pintor, comerciante y albañil. Se sabe que: -

Carlos es cantante. El pintor vive en Lince y es primo de Dante. Arturo no es albañil ni vive en Lince. El comerciante vive en Pueblo Libre.

8. ¿Quién vive en Pueblo Libre? Arturo Bruno Carlos Dante No se puede determinar

111

a) b) c) d) e)

9. ¿Quién vive en San Isidro? a) b) c) d) e)

2. Si Carolina está enseñando Cálculo, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

Arturo Bruno Cuba Dante No se puede determinar

I. Isabel está enseñando Trigonometría. II. Juan está enseñando Geometría. III. Manuel está enseñando Álgebra. a) Sólo I b) Sólo II c) d) I y II e) I y III

a) b) c) d) e)

Sólo III

ta R 20 o sa 14

10.La relación correcta es: Dante - San Borja Carlos - San Isidro San Isidro San Borja Bruno - pintor

3. Si Isabel está enseñando entonces es imposible que:

cantante albañil

Razonamiento,

I. Carolina está enseñando Aritmética. II. Pedro está enseñando Álgebra. III. Renzo está enseñando Geometría.

Bloque III

* Carolina, Isabel, Juan, Manuel, Pedro y Renzo son profesores de secundaria de un determinado colegio. Durante las horas de clase se observa que cada uno enseña simultáneamente, una de las siguientes materias: Aritmética, Álgebra, Cálculo, Geometría, Razonamiento y Trigonometría, de acuerdo a las siguientes condiciones:

an

- Carolina enseña Aritmética, Cálculo y Trigonometría. - Isabel enseña Razonamiento y Trigometría. - Juan enseña Geometría y Trigonometría. - Manuel enseña Álgebra y Razonamiento. - Pedro enseña Álgebra y Cálculo. - Renzo enseña Aritmética, Cálculo y Geometría. 1. Si Carolina no está enseñando Aritmética, ¿quién podrá estar enseñando dicha asignatura? Manuel

Sólo III

4. Si Manuel está enseñando Razonamiento, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son imposibles? I. Carolina está enseñando Cálculo. II. Juan está enseñando Geometría. III. Renzo está enseñando Geometría. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Ninguna e) Todas

5. Si Renzo está enseñando Cálculo, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Carolina enseña Trigonometría. II. Juan enseña Geometría. III. Pedro enseña Álgebra. a) Sólo I b) Sólo II c) d) I y II e) II y III

Sólo III

S

a) Isabel b) Juan c) d) Pedro e) Renzo

a) Sólo I b) Sólo II c) d) I y II e) II y III

111

ta R 20 o sa 14 Máximos y mínimos

Muchas veces un ejercicio puede tener, según los datos planteados, varias respuestas en un rango de valores, lo cual puede llevar a pedir una solución máxima o una mínima.

-

Los valores máximos y mínimos de ganancia se obtienen: G a n a n c ia = P r e c io d e V e n t a - P r e c io d e c o s t o m á x im a m á x im o m ín im o

Problemas de pesos y costos

1. Si un kilo de naranjas contiene entre 4 y 8 naranjas. ¿Cuál es el mayor peso que puede tener 4 docenas de naranjas?. Solución:

Cuatro docenas son 48 naranjas. Si un kilo contiene entre 4 y 8 naranjas.  6 kg  48 naranjas  12 kg El mayor peso es 12 kg

an

2. Si una bolsa de caramelos contiene entre 50 y 60 caramelos. ¿Cuál es la menor cantidad de bolsas que debo adquirir si deseo comprar 600 caramelos?. Solución:

3. Se compran libros que cuestan entre S/.10 y S/.20 c/u, y se venden a precios que varían entre S/.25 y S/.35. Si se venden 10 libros, ¿cuál es la ganancia máxima?, ¿cuál es la ganancia mínima?. Solución:

Gmax por libro = S/. 35 - S/. 10 = S/. 25 En 10 libros la ganancia será S/. 250.

Problemas de operaciones aritméticas 1. El número 143 se divide en 2 números de dos dígitos cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, ¿cuál es éste?. Solución:

S

Una bolsa contiene entre 50 y 60 caramelos.  12 bolsas  600 caramelos  10 bolsas La menor cantidad de bolsas será de 10.

G a n a n c ia = P r e c i o d e V e n t a - P r e c i o d e c o s t o m ín im a m ín im o m á x im o

Nota importante:

G a n a n c ia = P r e c io d e v e n t a - P r e c io d e c o s t o

En la relación anterior: 111

Solución:

2. Un banco tiene 7 sucursales en una ciudad y hay 70 empleados en ellas. Si ninguna oficina tiene menos de 8 empleados, ni más de 14. ¿Cuál es el menor número de empleados que puede haber en 6 oficinas?. Solución:

ta R 20 o sa 14

Ejemplo de coloración de mapas:

-

Pili desea pintar el siguiente mapa de modo que no existan 2 zonas contiguas (con un lado común) del mismo color. ¿Cuál es el menor número de colores que ella deberá utilizar?. R o jo

Azul

V e rd e

V e rd e

R o jo

3. Si “A” tiene un valor entero entre 4 y 5; y “B” tiene un valor entero entre 20 y 40. ¿Entre qué valores estará B/A?. Solución: 4A5 20  B  40 Máx:

B 40   10 A 4 B 20  4 A 5 B 4  10 A

S e n e c e s it a c u a t r o c o lo r e s .

Bloque I

1. Si un kilo de plátanos contiene entre 8 y 12 plátanos. ¿Cuál es el menor peso que puede tener 24 manos de plátano?.

Problemas diversos

Ejemplo de caminos:

La figura muestra una red de caminos, mediante la cual se desea llegar de “A” a “B” con no más de 3 paradas intermedias en otras ciudades. Si los números representan los días que demora ir de una ciudad a otra, ¿cuál es el menor número de días que tomará ir de “A” a “B”?

S

-

V e rd e

Problemas para la clase

an

Min:

A m a r il lo

A zul

C

F

9

2

A

1 3

6

B

5 1

4

D

5

E

2

a) 10 kg b) 15 d) 25 e) 30

c)

20

2. ¿Y cuál sería el mayor peso?. a) 15 kg b) 20 d) 25 e) 10

c)

30

3. Si compro un celular pagando entre $40 y $70 y lo vendo cobrando entre $90 y $100. ¿Cuál es la ganancia máxima?. a) $ 30 b) 40 d) 60 e) 70

c)

50

5

G

4. ¿Y cuál es la ganancia mínima?. c)

30

111

a) $ 10 b) 20

d) 40 e) 50 5. Un kilo de manzanas contiene entre 3 y 6 manzanas. Si el precio de compra de un kilo varía entre S/. 3 y S/. 6 (dependiendo de la calidad de las manzanas) y el precio de venta de una manzana varía entre S/. 1 y S/. 2. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede tener en la venta de 3 kg de manzanas?. c)

a) 2 b) -2 c) d) 0 e) 3

18

P

c)

1,5

7. Si 13 naranjas pesan entre 1,5 y 2,4 kg. ¿Cuál es el menor número de naranjas que puede haber en 12 kg?. a) 65 b) 70 c) d) 100 e) 120

a) 88 b) 100 d) 120 e) 240

10,8

4

c)

14.

S

8

200

C

5

D

E

3

4

A

5

2

1

3

G

11

15.

C

4

3

3

a) 5 b) 8 c) d) 10 e) 12

3

3

1 1

1

E

D

5

5

6

B

5

3

a) 9 b) 10 c) d) 13 e) 15

A

4

4

F

4,5

10.El número 1 341 se divide en dos números de tres dígitos cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, hallar la suma de todas sus cifras. a) 6 b) 7 c) d) 9 e) 10

c)

* En cada caso se representa una red de caminos, mediante la cual se desea llegar de “A” a “B” con no más de 3 paradas intermedias en otras ciudades. Si los números representan los días que demora ir de una ciudad a otra, ¿cuál es el mínimo número de días que tomará ir de “A” a “B”?

an

c)

-1

13.Se quiere repartir 2 800 caramelos entre 490 niños. Si ninguno de ellos debe recibir menos de 2 ni más de 6 caramelos. ¿Cuál es el menor número de caramelos que podrán recibir 40 niños?.

9. Matilde compra una docena de peras que cuestan entre S/. 3 y S/. 6 cada kg. Si cada kg trae entre 8 y 10 peras. ¿Cuál es el mínimo precio que pagará por su compra?. a) S/. 3,6 b) d) 6 e) 3,2

3 1  (x  1) 2

a) 0 b) 1 c) d) 2 e) 4

75

8. Un kilo de naranjas tiene entre 50 y 100 unidades de vitamina C. Si cada kilo cuesta entre S/. 1,8 y S/. 4. ¿Cuánto es lo mínimo a gastar en un día, si tengo que consumir 300 unidades diarias?. a) S/.4,8 b) 5,4 d) 2,7e) 12

1

12.¿Cuál es el valor de “x” que hace máxima la siguiente expresión?.

6. Según el problema anterior, ¿cuál es la máxima ganancia que puedo obtener por la venta de una manzana?. a) S/. 1 b) 0,5 d) 2 e) 2,5

(2  x) 2 4

M

ta R 20 o sa 14

a) S/. 12 b) 15 d) 24 e) 27

11.¿Cuál es el valor de "x" que hace que la siguiente expresión sea mínima?.

2

G

B

F 3

2

H

4

5

I

9 111

16. C 4 2

1

4

3

A

5

3

E

5

5

4 2

G

F 2

3

H

a) 8 b) 9 c) d) 11 e) 12

D

2

3

1

3

B 2

I

10

5. Se dispone de pesas de 1; 2 ; 4; 8; 16; 32 kg, ... etc. cada una. ¿Cuál será el mínimo número de pesas necesarias para equilibrar un peso de 393 kg?. a) 2 b) 3 c) d) 5 e) 8

4

6. La siguiente figura muestra el desarrollo de un cubo.

Bloque II

ta R 20 o sa 14

3

Se desea pintar figuras de modo que no exista 2 zonas contiguas (con un lado común) del mismo color. ¿Cuál es el mínimo número de colores que ella deberá utilizar?

1

6

2

4

Si “A” es el mayor producto de dos caras opuestas y “B” es el menor producto de dos caras opuestas. Hallar “A + B”.

1.

a) 12 b) 18 c) d) 22 e) 20

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5 2.

3

3

3

20

8. Según el problema anterior, ¿cuál es el menor número de billetes que se puede tener? a) 10 b) 11 c) d) 13 e) 15

an a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

16

7. Se tienen S/. 1 050 en billetes de S/. 50 y S/. 100. ¿Cuál es el máximo número de billetes que se puede tener? a) 18 b) 21 c) d) 15 e) 12

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5 3.

5

12

9. “A” y “B” son enteros. Si: 10  A  20 y 5  B  10. Hallar el máximo valor de: a) 5 b) 2 c) d) 4 e) 6

AB B

3

Bloque III

S

4.

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

3

1. Un kg de melones contiene entre dos y cinco melones. Si el precio de cada kg de melón varía entre S/. 2 y S/. 4, ¿cuál es la mayor cantidad de dinero que puedo pagar por la compra de 30 melones? c)

60

111

a) S/. 30 b) 45 d) 75 e) 50

color. ¿Cuál es el mínimo número de colores que ella deberá utilizar?

2. Cuál es el valor de “x” que hace máxima la siguiente expresión: 4.

Q a) 2 b) 3 c) d) 9 e) 3

3 2  (x  3) 2 4

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

a) 17 b) 22 c) d) 28 e) 34

ta R 20 o sa 14

3. Se quiere colocar 340 alumnos en siete salones. Si en un salón no pueden entrar más de 53 alumnos, ¿cuál es la menor cantidad de alumnos que pueden ingresar en uno de los salones?

3

5.

27

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Se desea pintar figuras de modo que no exista 2 zonas contiguas (con un lado común) del mismo

Certezas

Caso I

-

Si Pepe saca tres bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra?.

SI

NO

Por qué las tres pueden ser blancas.

an

-

(P e p e )

Solución: -

SI

NO

Por qué las cuatro pueden ser blancas.

Si Pepe saca una bola, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra?.

SI

-

Si Pepe saca cinco bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra?.

SI

NO

NO

Por qué las cinco pueden ser blancas.

S

Por qué puede ser blanca.

-

Si Pepe saca cuatro bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra?.

Si Pepe saca dos bolas, ¿tendrá la certeza de haber extraído una bola negra?.

SI

NO

Entonces; ¿cuál sería la respuesta a la pregunta formulada por Pepe?. ¡Siete bolas!

Por qué las dos pueden ser blancas. 111

Caso II

Entonces; ¿cuál sería la respuesta a la pregunta formulada por Julio?. _______________________________________ Caso III

Li C H C H Li Li C H Li Li C H

-

ta R 20 o sa 14

Solución:

( J u lio )

Si Julio saca un caramelo, ¿tendrá la seguridad de haber extraído uno de cada sabor?. Si No ¿Por qué? _______________________________ _______________________________________

-

Si Julio saca dos caramelos, ¿tendrá la seguridad de haber extraído uno de cada sabor?. Si No

Solución: -

¿Por qué? _______________________________

-

_______________________________________ Si Julio saca tres caramelos, ¿tendrá la seguridad de haber extraído uno de cada sabor?. Si No

-

an

_______________________________________

qué?

Si Tobi saca dos bolas, ¿estará seguro de haber extraído una bola de cada tipo?. Si No ¿Por

qué?

Si Julio saca cuatro caramelos, ¿tendrá la seguridad de haber extraído uno de cada sabor?. Si No ¿Por qué? _______________________________

-

_______________________________________

Si Tobi saca tres bolas, ¿estará seguro de haber extraído una bola de cada tipo?. Si No ¿Por

Si Julio saca cinco caramelos, ¿tendrá la seguridad de haber extraído uno de cada sabor?. Si No

qué?

S

-

Si Tobi saca una bola, ¿estará seguro de haber extraído una bola de cada tipo?. Si No ¿Por

¿Por qué? _______________________________

-

( T o b i)

¿Por qué? _______________________________ _______________________________________

-

Si Tobi saca cuatro bolas, ¿estará seguro de haber extraído una bola de cada tipo?. Si No 111

¿Por

-

qué?

Si Tobi saca cinco bolas, ¿estará seguro de haber extraído uno bola de cada tipo?. Si No

3

5. En una urna hay 5 bolas verdes, 7 bolas rojas y 9 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo debo sacar para tener la certeza de haber extraído una de cada color? a) 4 b) 17 c) d) 15 e) 5

qué?

13

ta R 20 o sa 14

¿Por

a) 9 b) 10 c) d) 4 e) 12

6. En una bolsa hay 9 caramelos de piña, 7 de limón, 6 de manzana y 8 de naranja. ¿Cuántos caramelos como mínimo debo extraer para tener la certeza de haber sacado 8 de un mismo sabor?

Nota:

Para tener la certeza, debemos ponernos en el peor de los casos.

siempre

Problemas para la clase Bloque I

1. En una urna hay 5 bolas negras y 3 bolas rojas. ¿Cuántas bolas como mínimo debo extraer para tener la certeza de haber extraído al menos una bola roja?. a) 2 b) 3 c) d) 6 e) 7

4

an

2. En una urna hay 3 bolas verdes y 5 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo debo extraer para tener la seguridad de haber extraído una de cada color?. a) 2 b) 3 c) d) 5 e) 6

S

-

11

4. En un balde hay 5 peces azules, 4 verdes y 7 amarillos. ¿Cuántos peces como mínimo debo sacar para tener la seguridad de haber extraído 3 amarillos?.

22

En una urna hay 10 bolas blancas, 7 bolas negras, 5 bolas verdes y 12 bolas azules. Cuántas bolas como mínimo debo sacar para tener la certeza de haber extraído:

7. Dos bolas del mismo color. a) 3 b) 5 c) d) 21 e) 4

24

8. Dos bolas de cada color. a) 9 b) 8 c) d) 24 e) 28

31

9. Ocho bolas de un mismo color. a) 27 b) 25 c) d) 26 e) 21

4

3. En una bolsa hay 3 chicles de fresa, 5 de manzana y 8 de chicha morada. ¿Cuántos chicles como mínimo debo sacar para tener la seguridad de tener dos de manzana?. a) 4 b) 7 c) d) 13 e) 12

a) 30 b) 28 c) d) 21 e) 15

20

10.Dos bolas verdes. a) 25 b) 28 c) d) 31 e) 32

30

11.Tres bolas blancas y dos bolas azules. a) 22 b) 24 c) d) 27 e) 19 -

26

En una caja hay 4 pares de zapatos de diferentes colores. Cuántos zapatos, como 111

mínimo, debo sacar para tener la certeza de haber extraído: 12.Dos zapatos derechos. a) 3 b) 4 c) d) 7 e) 8

-

5

5

1. Un par de medias del mismo color.

an

8

2. Un par de medias de diferente color. a) 3 b) 4 c) d) 9 e) 12

6

3. Un par de medias azules.

S

a) 9 b) 12 c) d) 8 e) 16

14

4. Dos pares de medias marrones. a) 10 b) 12 c) d) 8 e) 16

8

En una caja hay 12 bolas rojas, 5 bolas verdes, 7 bolas celestes y 10 bolas amarillas. Cuántas bolas como mínimo se debe extraer para tener la certeza de tener:

7. Dos bolas de un mismo color. a) 3 b) 5 c) d) 13 e) 9

7

8. Una bola roja.

En una caja hay 3 pares de medias blancas, 2 pares de medias azules y 4 pares de medias marrones. Cuál es el menor número de medias que hay que sacar para estar seguro de haber extraído:

a) 4 b) 6 c) d) 12 e) 15

a) 6 b) 7 c) d) 9 e) 10

ta R 20 o sa 14

Bloque II

4

6. Un par utilizable.

-

15.Un zapato derecho y uno izquierdo. a) 3 b) 4 c) d) 6 e) 7

a) 7 b) 8 c) d) 9 e) 12

6

14.Un zapato izquierdo. a) 3 b) 4 c) d) 6 e) 2

En un cajón hay 7 pares de zapatos idénticos. Cuántos zapatos, como mínimo, debo sacar para tener la certeza de haber extraído:

5. Dos zapatos derechos

6

13.Un par utilizable (el color de ambos debe ser el mismo). a) 4 b) 5 c) d) 7 e) 8

-

14

a) 17 b) 21 c) d) 24 e) 26

23

9. Dos bolas rojas y tres bolas celestes. a) 21 b) 24 c) d) 26 e) 30

23

10.Nueve bolas rojas y dos amarillas. a) 26 b) 28 c) d) 31 e) 30

25

Bloque III

* Se tiene un mazo de cartas (52), cuántas cartas como mínimo se deben extraer para tener la certeza de: 1. Tener un trébol. a) 26 b) 30 c) d) 38 e) 43

40

2. Tener un ocho. 48

111

a) 46 b) 5 c)

d) 49 e) 43 a) 13 b) 15 c) d) 21 e) 23

3. Tener cinco corazones y cuatro espadas. a) 44 b) 42 c) d) 39 e) 41

43

5. Tener cinco cartas consecutivas de un mismo palo. a) 41 b) 45 c) 37 d) 39 e) 47

an

ta R 20 o sa 14

4. Tener cinco cartas de un mismo palo.

Perímetros para

"La gusanita trilcilla"

-

17

Calcular el perímetro de la siguiente figura: 2

S

2

2

la clase

En el presente capítulo calcularemos los perímetros de diversas figuras geométricas. A continuación definiremos qué es un perímetro.

Perímetro: _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________

• Ahora veamos algunos ejemplos: 1. 2

2

2

6

2

2

2

2

111

Long

5

4

= _________

AB

Problemas para la clase 7

Bloque I perímetro = 4 + 5 + 7

2.

1. Hallar el perímetro de la siguiente figura.

8

3

12

3

9

6

ta R 20 o sa 14

4

4

15

perímetro =...........................

3.

a) 26 b) 24 c) d) 52 e) 50

5

48

2. Hallar el perímetro de:

10

5

5

4

15

8

3

5

perímetro =............................. * Longitud de arco 2 R  L 360

a) 60 b) 86 c) 39 d) 48 e) 72 3. Hallar el perímetro de: 3

6

5

5

A

R

Long

AB

R  180

an

B

AB

3

6



O

Long

12

8

 se lee: longitud del arco "AB"

Ejemplos

A

a) 48 b) 78 c) d) 86 e) 66

56

4. Hallar el perímetro de:

4

O

5

45°

3

5

10

4 B

Long

S

AB

= _________

A

a) 58 b) 78 c) d) 88 e) 100

6 o

8

6

B

3

64

5. Hallar el perímetro de: 111

3

A

B

D

C

4 15

10

a) 92 b) 82 c) d) 100 e) 70

72

a) 3 b) 1 c) d) 6 e) 4

ta R 20 o sa 14

6. Hallar el perímetro de:

2

10.En la figura existen cuatro rectángulos iguales de largo 20 y ancho "a". Calcular el perímetro de la figura, si el extremo de uno coincide con el centro del otro.

4

20

4

10

a) 64 b) 80 c) d) 40 e) 84

a

86

20

a) 80 + 10a b) d) 100 + 10a

7. Hallar el perímetro de:

20

80 + 8ac) e) 100

100 + 8a

11.Dados los cuadrados "A", "B", "C" y "D". Hallar el perímetro de la figura que forman. B

15

30

a) 35 b) 50 c) 70 d) 60 e) Faltan datos

A

C

6

D

4

an

8. Hallar el perímetro de:

4

10

a) 120 b) 140 c) 150 d) 160 e) 170 12.Hallar el perímetro de la siguiente figura. b

c

c

12

a) 64 b) 22 c) d) 56 e) 50

a

44

c

b

9. En la figura, ABCD es un cuadrado.

Perímetro región sombreada Lado del cuadrado ABCD

S Determinar:

c

a) a + 2b - c c) 2(a + 2b - c) e) a + 2b + 2c

b) 2(a + 2b - 2c) d) 2a + b - c

13.Hallar el perímetro de la siguiente figura, si existen seis rectángulos iguales cada uno, de largo "L" y de ancho "A". 111

4

a) 6L + 4A b) + A) d) 4(L + A) e)

8L + 6A

c)

4

2

2

6(L

6L + 8A a) 12 d) 24

14.Hallar el perímetro de la parte sombreada.

b) 16 e) 20

c)

18

ta R 20 o sa 14

3. Hallar el perímetro de la región sombreada.

6

2

8

R

2

2

2

2

2

10

a) 24 + 9 b) + 8 d) 24 + 4 e)

2

24 + 2

c)

24

a) 16 + 8 b) d) 16 + 16 e)

24 + 6

15.Hallar el perímetro de la zona sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 4u. B

2

8 + 8 c) 32 + 16

8 + 24

4. Hallar el perímetro de la región sombreada. ABCD: cuadrado

C

6

B

2

C

2

A

a) 2 b) 4 c) d) 16 e) 8

2

D

6

1. Hallar el perímetro de la hoja, si ABCD es un cuadrado de lado 4. B

4

A

a) 6 + 6 + 12 d) 3 + 6

an

Bloque II

2

C

S a) 2 b) 4 c) d) 8 e) 12

D

6

2. Hallar el perímetro de la zona sombreada.

b)

6 + 12

e)

3

c)

3

5. Hallar el perímetro de la región sombreada. 1

1

1

1

1

1

1

1

1

A

D

1

1

1

a) 4 +  b) 4 + 2 c) 6 + 2 d) 8 + 2 e) 6 + 3 6. Hallar el perímetro de la región sombreada. ABCD: cuadrado

111

10

B

C

10.Hallar el perímetro de la zona sombreada.

3

A

4

3

D

5

5

10 a) 10 + 10 b) +8 d) 24 e) 12

12 + 12

c)

ta R 20 o sa 14

a) 5 b) 20 c) d) 15 e) 30 + 40

4

7. Hallar el perímetro de la región sombreada. ( R 5 2)

5

5 5

Bloque III

5

5

R

R

1. Hallar el perímetro de la zona sombreada.

5

5

6

5

a) 20( + 2 ) c) 20 + 10 2  e) 10 2  + 25

10

b) 10 2 + 10 d) 20 + 10 2 

10

8. Hallar el perímetro de la región sombreada.

a) 15 d) 25

6

b) 10 e) 30

c)

20

2. Hallar el perímetro de la zona sombreada.

6

an

20

a) 6 b) 6 + 6 c) 12 d) 12 + 12 e) 6 + 12 9. Hallar el perímetro de la región sombreada. 6

3 3

20

a) 20 + 10 b) 10 + 10 c) + 30 d) 20 + 40 e) 10 + 40 3. Hallar el perímetro de la zona sombreada.

6

20

3 3

S

6

a) 12 + 36 b) + 12 d) 36 + 18 e)

6

4

48 + 6 12( + 4)

c)

36

a) 24 b) 32 d) 8 e) 40

4

4

c)

4

16

111

Ecuaciones I (Solución de ecuaciones) Ecuación

Ecuación incompatible: Es aquella que no tiene solución posible.

Definición: Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuacion se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación.

•

3 x  +  5 = 1 1

s o lu c ió n : x = 2

2

= 4

i g u a ld a d

s o lu c ió n :

x  y  5  x  y  3

x = 2 ó x = -2

(Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas)

x  4 Solución:  y  1

Pueden ser compatibles o incompatibles

Ecuación compatible: Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:

an

• Determinada: Si tiene un número finito de soluciones

-

3x + 2 = 14 x2 = 16

0.x=3

Ejemplo:

Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones

Ejemplo:

-

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.

in c ó g n it a

x

x+3=x-3

Sistema de ecuaciones:

in c ó g n it a

i g u a ld a d

•

-

ta R 20 o sa 14

Ejemplos:

Ejemplo:

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos:

 Tiene una solución: 4

-

 Tiene dos soluciones: 4 y -4

* Ejemplo:

S

• Indeterminada: Si tiene infinitas soluciones. Ejemplo: -

x-5 = x-3-2

-

x° = 1 ; x  0

ya que satisface ambas ecuaciones

Método de reducción o eliminación Método de sustitución Método de igualación

Resolver el sistema

2x  3y  13 ... (I)  3x  y  3 ... (II) 111

Utilizando los tres métodos mencionados.

Solución: Reemplazando en

ó

A

B

• Por reducción o eliminación: y=3 Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita "y" y obtendremos el valor de "x".

• En cada uno de los siguientes ejemplos, hallar "x"

Problemas para la clase Nivel I

2x  3y  13 9x  3y  9

x + 9 = 18

ta R 20 o sa 14

1.

    x = 2 Conocido el valor de "x" se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de "y" 11x =

22

Reemplazamos en (I):

a) 7 b) 8 c) d) 10 e) 11

2.

2(2) + 3y = 13

9

3( x - 2 ) = 27

a) 26 b) 11 c) d) 6 e) 8

7

 y=3

Solución:

x  2  y  3

3.

1 2 b) 5 9 9 3 2 d) 5 e) 6 7 3 a) 6

• Por sustitución: De (II) despejamos la variable "y" para luego reemplazarlo en (I) 

3x - y = 3

3 x - 3 = y ...

4.

5.

an

2x + 3(3x - 3) = 13 2x + 9x - 9 = 13  x = 2 Con "x" conocido, reemplazamos en y hallamos "y" y=3

• Por igualación: De (I) y (II) despejamos "x" ó "y", en este caso vamos a despejar "y" De I: 2x + 3y = 13  3y = 13 - 2x 

S

13  2x A ... 3

De II: 3x - y = 3  3x - 3 = y ... Igualando

A

y

B

:

9

35

3x  5 8 8

a) 21 b) 33 c) d) 17 e) 23

22

B

13  2x  3x  3  13  2x  9x  9 3 22  11x

7.

2x  6 3x  7  4 5 a) 21 b) 23 c) d) 29 e) 30

27 111

 x2

6

9x  45 7

a) 24 b) 30 c) d) 36 e) 12

6.

c)

3 (2x + 14) + 20 = 6 (3x - 5) - 28

a) 6 b) 8 c) d) 10 e) 12

A

2x + 3 y = 13

y

5 (x + 8) + 4 ( x - 6 ) = 71

x x  1 2 3

8.

a) 4 b) 6 c) d) 8 e) 12

d)  5 3

2  x x 1  4 3 6

9.

a) 6 b) 8 c) d) 11 e) 13

11.

1 b) 6 2 1 1 d) 5 e) 6 3 2 a) 5

10

15.

a)

1 4

b)

1 2

d) 1 e) 2

c)

b)

144

• En cada caso, hallar "x"

7

1.

5 2x 4x 3    4 3 3 4

a) 2 b) 3 c) d) 6 e) 12

c)

2.

3.

2  4 c) 3

4.

c)

-3/5

7x 5 3x 2    12 7 12 7

a) 6 b) 4 c) d) 2 e) 1

1 5 3

4

4 2x 1 x    5 3 5 3

a) -1/5 b) -2/5 d) -4/5 e) -1

1 3

15x  11y  87   12x  5y  27

1 a)  2 3

c)

Nivel II

S

13.

1/2

7x  9y  42  12x  10y  4

a) 168 b) -168 d) -144 e) -132

an

7x  4y  5 12.  9x  8y  13

14x  11y  29  13y  8x  30 a) 1 b) -1 c) d) -1/2 e) 2

• En cada caso, hallar "x.y"

x  2y  12  x  2y  10

-4

4

3x x x    12 2 5 10

10.

e)

ta R 20 o sa 14

a) 3 b) 7 c) d) 5 e) 6

14.

2 3

3

3x 2x 1 5    4 3 8 6 b) 1/8

c)

1/2

111

a) 1/4

d) -1/4 e) 1 10.

4x 7x  5 13x   3 4 8

5.

a) 1/7 d) 3/7

b) 2/7 e) -6/7

c)

6/7

a) -1; -4 b) 2; 3 d) 3; -2 e) -1; -2

a) 1/2 b) 1/4 d) 1 e) -1

a) 2 b) 3 c) d) 6 e) 4

c)

-1/2

• En cada caso determinar el valor de "x" 1.

1 1 ; b) 2 4 1 1 ; 2 3 1 1 d)  ; e) 2 4

sistemas,

2.



1 1 ; 3 2

c)

3.

an

a) 5; 3 b) 1; -3 d) 2; -5 e) -2; 5

c)

-5

2x  1 x  13 5(x  1)   3x  3 24 8 c)

2/3

• Hallar "x" e "y"

1 1 ; 2 5

5x  6y  20  4x  3y  23

S

9.

2x x 7   5 10 4

a) -2/3 b) 1/5 d) 1/4 e) -1/2

10x  9y  8  8x  15y  1 a)

3x 

a) -7/10 b) 3/4 d) 8 e) -4/5

5

• En cada uno de los siguientes determinar el valor de "x" e "y"

8.

1; -4

Nivel III

3x  4 2x  7 2x  9   2 3

7.

c)

ta R 20 o sa 14

8x  11 10x 7x  5   9 3 4

6.

8x  5y  28  9x  6y  33

a) 1;

3 b) 3; -4 4

c)

3; 4

d) 2; -1 e) 3; -2

4.

c)

3x  (4y  6)  2y  (x  18)   2x  3  x  y  4

 3(2x  y)  2(y  x)  4(y  7)   3(2y  3x)  20  53

-2; -5 a) 2; 5 d) 3; 2

b) -1; -4 e) 3; -2

c)

1; 3

111

a) -3; -7 b) -5; 9 c) d) -5; -9 e) 3;-9

-5; 8

ta R 20 o sa 14

5.

2  xy    xy 7    8x  y  1  2  x  y  2

Ecuaciones II

(Traducir expresiones verbales a simbólicas)

an

Plantear una ecuación es transformar enunciados, conjunto de oraciones o formas verbales a formas matemáticas o simbólicas. F o rm a ve rb a l

p la n t e o

( p a la b r a s y fr a s e s )

F o rm a m a t e m á tic a

S

Lenguaje matemático:

• El triple de un número.

( c o n s ta n t e s y v a r ia b le s )

Traducir al lenguaje matemático o simbólico los siguientes enunciados:

• Un número desconocido.

• El doble de un número.

Lenguaje matemático:

• El doble de la suma de un número con 7. Lenguaje matemático:

Lenguaje matemático: • El triple de un número es disminuido en 8. 111

• La mitad de un número. Lenguaje matemático: Lenguaje matemático: • 20 disminuido en un número. • La tercera parte de un número. Lenguaje matemático: • El doble de la suma de un número con 5.

Lenguaje matemático:

Lenguaje matemático:

ta R 20 o sa 14

• Un número aumentado en su cuarta parte.

• El triple de la diferencia de un número con 6.

Lenguaje matemático:

Lenguaje matemático:

Problemas para la clase

• Los patos exceden a las gallinas en 9. Lenguaje matemático:

• El exceso de un número sobre 10 es 30. Lenguaje matemático:

• La suma de dos números consecutivos es 24. Lenguaje matemático:

an

• El producto de tres números consecutivos es 24. Lenguaje matemático:

A continuación se presentan un grupo de problemas en los que traduciremos el enunciado paso a paso y luego resolveremos la ecuación planteada. Nivel I

1. Hallar un número que aumentado en 15 nos da 24. un número

aumentado en 15 nos da 24

a) 7 b) 8 c) d) 10 e) 11

9

• La suma de dos números impares consecutivos es 36.

Resolución:

Lenguaje matemático:

S

• La edad de Vivian hace 5 años. Lenguaje matemático:

• La edad de Piero dentro de 8 años.

número de bicicletas 111

Lenguaje matemático:

2. En un parque hay cierta cantidad de bicicletas, tal que su doble menos 12 nos da 38. ¿Cuántas bicicletas hay?

tal que su doble

el triple de la diferencia del número con 5

menos 12

es

nos da

48

38 23

Resolución:

3. El doble de la suma de un número con 7 es 30. Hallar el mencionado número. un número

30

5. Hallar un número tal que 5 veces el número y disminuido en 8 equivale al cuádruple de la suma de él con 16. un número

el doble de la suma del número con 7

es

22

ta R 20 o sa 14

a) 22 b) 24 c) d) 25 e) 27 Resolución:

a) 21 b) 24 c) d) 53/3 e) 43/3

tal que sus 5 veces disminuido en 8 equivale

10

an

a) 6 b) 8 c) d) 11 e) 11,5

a) 64 b) 72 c) d) 86 e) 92

104

Resolución:

S

Resolución:

al cuádruple de la suma de él con 16

4. El triple de la diferencia de un número con 5 es 48. Hallar dicho número. un número 111

•

Ahora trabajaremos en el cuaderno:

6. Hallar la edad de Katia, si sabemos que al restarle 12 años obtenemos el triple de dicha edad, disminuido en 48 años. a) 12 años b) d) 18 e) 20

15

c)

16

7. ¿Cuál es el número, cuyo doble menos 200 nos da el mismo número aumentado en 300? b) 450 e) 600

c)

500

c)

15

13

c)

11

10. Hallar un número, tal que ocho veces el mismo, menos 20, equivale a su séxtuplo, aumentado en 140. a) 40 b) 60 c) d) 80 e) 70

50

an 16

12. Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos. a) 24 b) 25 c) d) 27 e) 28

26

S

13. Hallar dos números consecutivos , tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23. a) 17 y 18 d) 20 y 21

b) e)

18 y 19 c) 21 y 22

19 y 20

a) 500 d) 450

b) 600 e) 550

c)

400

3. La edad de Michell dentro de 20 años sumada con la edad que tuvo hace 12 años es el cuádruplo de la edad que tuvo hace 6 años, aumentada en 2. ¿Cuál es su edad? 15

c)

14

4. Si Ever ganara $ 600 tendría entonces el triple de lo que le quedaría si hubiera perdido $ 50, más $ 350. ¿Cuánto tiene Ever? a) $ 150 b) 100 d) 175 e) 250

c)

200

5. Si se matricularan 20 alumnos más en el salón del 2°B de Miraflores habría entonces el triple de las que quedaría si se hubieran ido 4 alumnos. S i s e m a t r ic u la r a n 20 m ás:

N ú m e ro d e a lu m n o s =

a) 15 b) 16 c) d) 20 e) 21

S i s e r e tira ra n 4 :

18

111

14. Hallar la suma de tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el

75

2. Si ganara S/. 300 tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. 300. ¿Cuánto tengo?

a) 12 años b) d) 16 e) 11

11. La suma de dos números consecutivos es 31. Hallar el menor de ellos. a) 14 b) 15 c) d) 17 e) 18

78

1. Hallar el número de hojas de un libro sabiendo que si arrancamos 25 quedaría la mitad de hojas si el libro tuviera 50 hojas más. a) 70 b) 90 c) d) 100 e) 120

9. Hallar la edad de Juan, si sabemos que al multiplicarla por 5 y añadirle 14, para luego a dicha suma dividirla entre 4, obtendremos finalmente 21 años. a) 12 años b) d) 10 e) 14

a) 94 b) 90 c) d) 82 e) 86 Nivel II

8. Hallar la longitud de un puente, si sabemos que el cuádruple de dicha longitud, disminuido en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud, disminuida en 70 metros. a) 10 m b) 12 d) 5 e) 8

15. Hallar la suma de cuatro números consecutivos, tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de los dos menores resultaría 53.

ta R 20 o sa 14

a) 400 d) 550

cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241. a) 240 b) 234 c) 246 d) 252 e) 249

6. Juan tiene 20 soles más que Claudia, ¿cuánto dinero debería darle Juan a Claudia para que, ambos tengan la misma cantidad de dinero? a) S/. 20 b) 15 d) 10 e) 5

c)

12

7. Cada día de la semana (de lunes a domingo) gano 10 soles más que el día anterior. Si luego de los 7 días gané S/. 315, ¿cuánto gané el jueves? c)

50

8. Pedro tiene 54 billetes de 10 soles y Luciana 38 billetes de 20 soles. ¿Cuántos billetes deben intercambiar para que al final, ambos, tengan la misma cantidad de dinero? a) 8 b) 9 c) d) 11 e) 12

10

9. En dos aulas hay, en total, 140 alumnos. Si salen al recreo la cuarta parte del salón con mayor cantidad de alumnos y la tercera parte del salón que tiene menos alumnos, entonces se quedarían en las dos aulas un total de 100 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el aula que tiene más alumnos? a) 70 b) 75 c) d) 80 e) 90

60

a) 4 b) 5 c) d) 7 e) 8

6

2. Si te regalo S/. 20, únicamente tendría S/. 40 más que tú pero si te obsequio S/.70, tendrías el doble de lo que me queda, ¿cuánto dinero tengo? 120

9

c)

125

3. El cuadrado de lo que tengo aumentado en el triple del cuadrado de lo que tienes es igual a 84 pero, el quintuplo del cuadrado de lo que tengo disminuido en el cuadrado de lo que tienes es igual a 20. ¿Cuánto tenemos entre los dos? a) 7 b) 8 c) d) 10 e) 11

9

4. ¿En qué momento del día se cumple que las horas transcurridas exceden en 4 a las horas que faltan transcurrir? 2 p.m.

5. Para comprar "n" lapiceros necesito 48 soles pero si el precio del lapicero aumenta en 2 soles únicamente podría comprar "n - 4" lapiceros, ¿cuál es el valor de "n"? a) 14 b) 15 c) d) 13

16 e) 12

an

c)

a) S/. 115 b) d) 130 e) 140

a) 4 p.m. b) 3 p.m. c) d) 5 p.m. e) 1 p.m.

10. En una canasta hay 50 naranjas y 40 manzanas. Si el peso total de las frutas es de 20 kg y cada manzana pesa 50 gr más que cada naranja, ¿cuál será el peso de 30 naranjas y 12 manzanas? a) 7 kg b) 8 d) 9,5e) 10

1. Se tiene la fracción: . Si al numerador se le aumenta 4 y al denominador se le añade 5, se obtiene 2. ¿Cuál es el valor de "x"?

ta R 20 o sa 14

a) S/. 40 b) 45 d) 35 e) 55

Nivel III

S

Ecuaciones III (Edades)

En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades. Sujetos Son los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos animales u objetos.

Tiempo Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicará la resolución del problema.

111

Para reconocer los tiempos en un problema de edades hay que analizar los verbos.

• •

Presente, se reconoce por: tengo, tienes, tenemos, mi edad es, él tiene, la suma de nuestras edades es, etc. Pasado, se reconoce por: tenía, tenías, teníamos, hace 4 años, cuando él tuvo, etc. Futuro, se reconoce por: tendré, tengas, dentro de 5 años, él tendrá, etc.

A rtu ro

17

3x

K atty

x

15

Para una mejor resolución de clasificaremos a éstos en dos tipos:

los

problemas

I. Cuando interviene la edad de un solo sujeto. Ejemplos:

Edad

ta R 20 o sa 14

•

Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años aunque en algunos casos puede darse en meses o días.

1. Hallar la edad de Rosa, si sabemos que al agregarle 30 años obtenemos el triple de su edad disminuida en 10 años. Resolución:

Consideraciones generales:

1. El tiempo transcurre igual para todos desde un mismo tiempo de referencia. Ejemplo 1:

26

J o sé C in t h ia

21

2. La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante.

an

Ejemplo 2:

R ic a rd o J o rge

2. ¿Qué edad tiene Gabriel?, si cuando se le preguntó respondió: "Si la edad que tengo más 8 años se le resta la edad que tengo menos 8 años, se obtiene mi edad". Resolución:

18 12

Cuando Jorge nació, ¿cuántos años tenía Ricardo?

3. Hace 6 años tenía la mitad de los años que tendré dentro de 7 años. ¿Cuántos años tengo? Resolución:

Ejemplo 3:

S

a)

Fern an d o

27

Ve ró n ic a

35

b) ¿Podría usted hallar cuántos años tiene Arturo?

II.

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

111

Ejemplos:

1. A una señora se le pregunta por la edad de su hija y responde: "mi edad es el triple de la edad de mi hija, pero hace 5 años nuestras edades sumaban 50 años". ¿Cuál es la edad de su hija?

Problemas para la clase Nivel I 1. En el siguiente cuadro de edades:

M a d re

Resolución:

Iris

n

36

D ia n a

14

4n

ta R 20 o sa 14

H ija

Calcular la edad de Iris hace 7 años. a) 5 añosb) 4 d) 6 e) 3

2. La edad de Laura es el cuádruple de la edad de Karina, pero dentro de 9 años ambas edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tiene Karina?

L a u ra K a r in a

Resolución:

3. Dado el siguiente cuadro: A lb e rto

an

Fern an d o

¿Dentro de cuántos años Fernando tendrá 28 años? Resolución:

4. Miriam le dice a Roxana: "Yo tengo 18 años y mi edad es la mitad de la edad que tú tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes". ¿Qué edad tiene Roxana?

c)

2

2. María dice: "dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años". ¿Qué edad tengo? a) 9 añosb) 12 d) 15 e) 11

c)

14

3. Hallar la edad de Rosa, si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de ella disminuida en 16 años. a) 20 años b) d) 23 e) 24

21

c)

22

4. Natalie dice: "si al doble de la edad que tendré dentro de 4 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 4 años, resultaría la edad que tuve hace 2 años". ¿Cuántos años tiene Natalie? a) 12 b) 15 c) d) 18 e) 20

16

5. Scarlet le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: "hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años". ¿Qué edad tiene Scarlet? a) 28 años b) d) 23 e) 32

30

c)

25

S

6. Dado el siguiente esquema: M iria m

R o xa n a

M erly

28

5m

R u b én

3m

36

¿Cuántos años tenía Merly cuando Rubén nació? 5

111

a) 3 b) 4 c) d) 6 e) 7

7. Laura dice: "dentro de 3 años tendré el doble de la edad que tenía hace 7 años". ¿Qué edad tiene Laura? a) 16 años b) d) 19 e) 20

17

c)

18

8. Ricardo hace 10 años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 12 años. ¿Cuál es la edad de Ricardo? 24

c)

21

9. La suma de las edades de Juan y Pedro es de 48 años; al acercarse María, Juan dice:"Cuando tú naciste, yo tenía cuatro años; pero cuando Pedro nació tenías 2 años". ¿Cuál es la edad de María? a) 21 años b) d) 17 e) 35

23

c)

30

10. Actualmente tengo el triple de tu edad, pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tengo? a) 32 años b) d) 33 e) 35

36

c)

34

11. Si Felix tenía 14 años cuando nació María y si ahora tiene la mitad de la edad de Felix, ¿cuántos años tiene ahora Felix? a) 40 años b) d) 24 e) 32

26

c)

28

an

12. La edad de "A" es el triple de la edad de "B" pero dentro de 12 años su edad será los 5/3 de la edad de "B". Hallar la suma de las edades actuales. a) 20 b) 22 c) d) 26 e) 28

24

13. Carlos tiene 36 años y su edad es el doble de la que tenía Juan cuando Carlos tenía la edad que actualmente tiene Juan. ¿Qué edad tendrá Juan dentro de 5 años? 26

c)

24

S

a) 30 años b) d) 32 e) 36

14. Dentro de cinco años la edad de "A" será el triple de la edad de "B", 15 años después la edad de "A" será el doble de la edad de "B". La edad actual de "A" es: a) 40 años b) d) 38 e) 42

a) (x - 24) años c) x + 2y e) 2x - y

b) x + y d) 2x + y

Nivel II 1. Cuando se le pregunta la edad a Nancy ella responde: "dentro de 5 años tendré los 3/2 de lo que tuve hace 6 años". ¿Cuántos años tendrá Nancy dentro de 8 años?

ta R 20 o sa 14

a) 22 años b) d) 26 e) 28

15. Un padre tiene "x" años y su hijo "y" años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de su hijo?

34

c)

36

a) 28 b) 30 c) d) 35 e) 36

32

2. La edad de Ericka es el triple de la edad de Liliana y hace 9 años la suma de sus edades era 22. ¿Cuántos años tiene actualmente Liliana? a) 8 b) 9 c) d) 11 e) 12

10

3. La edad de José es el cuádruplo de la edad de Rocío y dentro de 13 años ambas edades sumarán 56. Hallar la edad de José. a) 6 añosb) 10 d) 24 e) 32

c)

18

4. La edad de Patty es el doble de la edad que Eduardo tenía hace 4 años. Si la edad actual de Eduardo y la que tendrá Patty dentro de 5 años suman 39 años, ¿cuántos años tuvo Patty cuando Eduardo nació? a) 5 b) 6 c) d) 8 e) 9

7

5. La edad de Paola es el triple de la edad de Alberto. Hace 4 años la suma de sus edades era la mitad de la edad que tendrá Paola dentro de 14 años. Halle usted la edad actual de Paola. a) 6 añosb) 12 d) 18 e) 20

c)

16

6. Yo tengo 24 años, mi edad es la mitad de la que tendrás, cuando yo tenga la edad que tú tienes ahora. Entonces tú tienes: a) 18 años b) d) 32 e) 36

24

c)

27

7. José Antonio tiene 30 años, su edad es el sextuplo de la edad que tenía Carlos cuando José Antonio

111

tenía la cuarta parte de la edad que tiene Carlos, ¿qué edad tiene Carlos?

años la edad de Bertha era los 2/9 de la de Alfredo. ¿Qué edad tiene Alfredo?

a) 14 años b) d) 7 e) 24

a) 22 años b) d) 26 e) 28

35

c)

28

8. La edad de Pilar es el triple de la edad de Fabiola y hace 4 años ambas edades sumaban tantos años como la edad de Fabiola dentro de 16 años. Luego la edad de Fabiola es: c)

10

23

c)

8

10. Dentro de ocho años la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? a) 26 años b) d) 24 e) 30 Nivel III

25

2. Cuando tenías 10 años yo tenía la mitad de la edad que tú tendrás cuando yo tenga el doble de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 28 años, ¿qué edad tengo? a) 11 años b) d) 17 e) 19

9. En la actualidad, la edad de Armando es el doble de la edad de María, más dos años. Hace tres años, la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la edad de Armando será: a) 13 años b) d) 24 e) 36

c)

13

c)

15

ta R 20 o sa 14

a) 6 añosb) 8 d) 12 e) 4

24

28

c)

18

a) 9 añosb) 12 d) 10 e) 15

c)

13

4. Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 16 años más que él, ¿cuántos años tiene ella? a) 24 b) 32 c) d) 52 e) 40

48

5. Rommel le dice a Sebastián: "yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 63 años". ¿Cuántos años tiene Sebastián? a) 16 b) 21 c) 23 d) 25 e) 28

an

1. Las dos terceras partes de la edad de Alfredo excede en 6 años a la edad de Bertha y hace 6

3. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años él va a tener el cuádruple de tu edad, ¿dentro de cuántos años tendré 30 años?

S

Operaciones matemáticas arbitrarias

¿Qué es una operación matemática? Es un proceso mediante el cual se transforma una o más cantidades en otra cantidad (llamada resultado) teniendo en cuenta ciertas reglas de definición.

Ejemplo:

111

¿Qué es un operador?

Un operador matemático es un símbolo que representa una operación matemática.

o p e r a d o r lla m a d o " p o r " 3 x

4 =

. .

12

Forma general:

o p e r a c ió n l la m a d a m u lt ip lic a c i ó n

a * b

-

=

3a +

4b

Las operaciones matemáticas pueden ser:

Operaciones con regla de definición universal

En este grupo tenemos todas las operaciones conocidas, como por ejemplo: La adición

...............

La sustracción

...............

_

(

)

La división

)

...............

La radicación

1. Si: a  b = 5a - 7b Hallar: 8  2

Resolución:

( + )

La multiplicación .............. (

La potenciación

Ejemplos:

ta R 20 o sa 14

• Operaciones con regla de definición universal. • Operaciones con regla de definición arbitraria.

(

)

2. Si: x = 4x2 + 1

...............

(

)

...............

(

)

Hallar: 3

Resolución:

Operaciones con regla de definición arbitraria

an

Estas operaciones surgen cuando establecemos una regla de definición distinta a la tradicional, a la que llamaremos "arbitraria" la cual está representada por un símbolo cualquiera como por ejemplo: *, , , ...etc., que será su operador matemático. Operadores matemáticos que vamos a utilizar: 









#



@ .



q  p2  q2 3

Hallar: 10 @ 4 Resolución:

S

*

3. Si: 2p @

4. Si:

m

Hallar:

=m-5 27

111

3. "" es un operador, de tal modo que: Resolución: x y = x2 + 5y Según esto, calcular "2 5" a) 21 b) 29 c) d) 20 e) 17 5. Si:

4. Si: a # b = (a + b) (a - b)

 a3  a =  2  a4  2

7

; si : " a" es impar.

ta R 20 o sa 14

Hallar:

27

Calcular "7 # 2"

; si : " a" es par .

6

-

Resolución:

a) 46 b) 44 c) d) 45 e) 49

42

5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2) Calcular "2 * 1" a) 6 b) 5 c) d) 3 e) 9

6. Si:

6. Si:

* 1 2 3 4

1 3 4 2 1

2 4 3 1 2

3 1 2 3 4

4 2 1 4 3

x = 5x + 1

Calcular " 2 " a) 8 b) 3 c) d) 11 e) 17

Hallar: (2 * 3) * (4 * 1)

7. Sabiendo que: Hallar "

an

Resolución:

Problemas para la clase

Nivel I

S m2

2. Si: m # n = + Calcular "1 # 5" a) 21 b) 18 c) d) 26 e) 15

5

15

m

= 2m + 3

"

a) 11 b) 13 c) d) 15 e) 19

16

8. Si se conoce que: m @ n = 5m2 - 2n3 Calcular el valor de "1 @ 0"

1. Si: a * b = 4a + 5b Calcular "2 * 3" a) 21 b) 23 c) d) 25 e) 26

18

19

a) 6 b) 5 c) d) 1 e) 0

10

9. Si: a * c = 3a2 + 2c3

n2 Calcular el valor de "(2 * 1) * (1 * 0)" 12

a) 542 d) 480

b) 510 e) 417

c)

642 111

10.Sabiendo que: = 2a + 5 Hallar el valor de " + " a) 13 b) 18 c) d) 16 e) 11

a) 4 b) 5 c) d) 2 e) 3

15 Nivel II

11.Si:

6

5

6

5

6

5

6

1. Si:

4a  5b 6

a*b= Hallar: 10 * 2

ta R 20 o sa 14

5

Calcular "(5 # 6) # (6 # 6)" a) 6 b) 5 c) d) 65 e) 56

1

a) 4 b) 5 c) d) 7 e) 8

11

6

2. Si:

xΔy2

12.Se define:

*

2

3

4

2

4

3

2

3

2

4

3

4

3

2

4

(3 * 4 ) * (2 * 4 ) (2 * 3) * (3 * 4 )

Calcular "

a) 1 b) 0,5c) d) 3 e) 1/3 13.Se define:

1

1

2

2

1

a) -1 b) 2 c) d) 1 e) -2

3

3. Si:

m # n = mn - nm

"

Hallar: 3 # 2

4

a) -1 b) 0 c) d) 2 e) 1

2

*

3

4

1

3

4

3

2

4

3

4

(2 * 1 ) + (4 3 ) Calcular " ( 4 4 ) . ( 1 * 2 ) "

S

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 1/2 a b 14.Si: a  b = Calcular "( 4  1 ) . ( 9  81 )" a) 5 b) 7 c) d) 5 e) 6

15.Siendo: x* = x2 - 3 Hallar: (2*)*+ 3

8

y

Hallar: 25  9

an

*

x 3

3

4. Sabiendo que: a Hallar: (3 4)

b = a 2  b2

12

a) 13 b) 17 c) d) 12 e) 15

19

5. Se define:

p * q = 4p - 5q r

t = 7r - 3t

Hallar: ( 3 * 2 ) a) 10 b) 9 c) d) 11 e) 6

15

111

6. Si:

(4*3)

q 2

3p Hallar: 15

a

=

3

a) 36 b) 40 c) d) 35 e) 38

Hallar:

32

8

 2a  1 ; si : " a " es par.   3a  1 ; si : " a " es impar. -

9

a) 9 b) -8 c) d) 8 e) -9

x =x+3

Hallar:

7

a) 15 b) 19 c) d) 18 e) 17

2. Si:

16

8. Se sabe que:

-7

ta R 20 o sa 14

7. Si:

= p + pq

x + 1 =

x 

3

x

 3a  b  4 ; si : " a  b" a☼b=   2a  b ; si : " a  b"  3 Hallar: ( 5 ☼ 1 ) ☼ 7

Hallar: 6 5 a) 5 b) 4 c) d) 9 e) 8

a) 2/7 d) 1/4

6

b) 3/7 e) 4/9

* 1 2 3 4

2

Hallar "x", en:

x

= 13

8

10.Sabiendo que:

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 2 ó 3

Hallar "x", en:

x = 19

S

5 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

3

4. Dada la siguiente tabla: 1 2 3 4 5

n =2m + 3n

m

1 1 2 3 4

Hallar: (3 * 4) * (2 * 1)

9

an

a) 9 b) 10 c) d) 11 e) 12

1. Definimos:

1/3

3. Si:

9. Se define: H K H8 K =

a) 5 b) 2 c) d) 6 e) 3 Nivel III

c)

Hallar: [(3

5)

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 5

1 3 5 2 4 1

2 4 3 1 5 2

(4

3 5 4 3 2 4

2)]

4 1 2 5 4 3

5 2 1 4 3 5

1

3

5. Definimos la siguiente operación " " mediante la siguiente tabla: 111

 a b c d

a c b a d

b d c b a

c a d c b

d b a d c

m

= m(m + 2) ( m > 0 )

Hallar: 1 0 a) 10 b) 12 c) d) 11 e) 17

15

Según ésto, hallar "x" en: 9. Sabiendo que:

x = 3x - 8

a) a b) b c) d) d e) a o b

ta R 20 o sa 14

(xa)d=(db)(ca) c

Además:

x

= 3x2 + 12x + 10

6. Si: a♥b = a2 - ab Hallar " x ", en:

Hallar: 2

a) 12 b) 25 c) d) 23 e) 18

( x + 2 ) ♥ ( x - 1 ) = 4x a) 2 b) 6 c) d) -3 e) -6

-2

16

10.Se definen los siguientes operadores: x+ 1

7. Si:

n = n2 - 1

Además:

n

a) 4 b) 3 c) d) 2 e) 6 8. Se sabe que:

x+ 3

( n > 0)

5

= m2 - 1

= 3x + 5

Hallar el valor de:

5

4

E=

a) 9 b) 10 c) d) 12 e) 13

+

11

S

an

m

= n + 5. Hallar: 3

= x - 1

111

Áreas de Regiones B

Método de traslación de áreas

C 2 m

 Problemas resueltos

E

ta R 20 o sa 14

2 m

Calcular el área sombreada de la siguiente figura (ABCD es un cuadrado, "D" es centro de una circunferencia). B

A

Solución:

4 m

C

A

La región sombreada es el cuadrilátero ABEF, cuya área no es posible calcular directamente por no ser una figura elemental. Se calculará restando al área del cuadrado, el área de los triángulos BCE y EDF.

D

A ABEF  A ABCD  A BCE  A EDF

I

III

AABEF = 16 - 4 - 3

IV

A

D

Observamos que las áreas de las regiones I y II son iguales, entonces trasladamos la región sombreada I a la región II y ahora la región sombreada corresponde a un triángulo.

I

III

Problemas para la clase

* Calcular el área de la región sombreada en cada caso.

IV

A

AABEF = 9 m2

Nivel I

C

II

an

B

4 2 23  2 2

A ABEF  4 2 

C

II

D

3 m

Solución:

El área de la región sombreada es el resultado de sumar las áreas I y III; pero calcular éstas áreas es algo laborioso. B

F

D

1. ABCD y BGFE son cuadrados.

4 4 A  8 m2 2

B

2 m

G

C

2

Método de diferencia

S

E

F

2

 Problemas resueltos Calcular el área de la siguiente sombreada (ABCD es un cuadrado).

2 m

A

región

2. ABCD es un diámetros)

D

cuadrado. ( AB y CD son

111

4 m

B

C

B

C

4 A

F

D

3

3. ABCD es un cuadrado, "E" y "F" son centros de circunferencia. B

8 m

C

A

4

9.

9

M

6

5

F

D

N 2

4. ABCD es un cuadrado. ("O" es centro de una circunferencia) B

2 D

3

ta R 20 o sa 14

E

A

E

4 m

4 m

C

10.

6

2

O

A

8

6

5. "O" es centro de la circunferencia de radio = 4 cm.

11."O" es centro de la circunferencia.

2

45°

2

2

O

2

45

°

O

8

2

D

2

12.ABCD es un cuadrado.

6. ABCD es un cuadrado. 4

E

2

C

an

B

6 m

B

2 F

A

C

6 m

A

D

D

13.ABCD es un cuadrado.

7. ABCD es un cuadrado. 4

G

4

C

S

B 4

A

D

6 m

6 m

E

3

H 2 D

14.ABCD es un cuadrado. 111

8. ABCD es un cuadrado.

C

6

F

A

B

8 m

B

8 m

C

A

D

C

A

D

a) 12 cm2 b) d) 4(4 - ) e)

15.ABCD es un cuadrado. B

B

4(2 - ) c) 8( - 2)

4. Calcular el área de la siguiente región sombreada. "ABCD" es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm.

ta R 20 o sa 14

C

B

A

A

a) 25( + 1) cm2

1. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado, "M" y "N" son puntos medios, CD = 8 cm.

M

N

C

25 ( + 2) 2 75 e) ( + 2) 2

d) 25( + 2)

5. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm. B

A

a) 16 cm2 b) d) 32 e) 36

C

D

24

c)

O

28

A

an

2. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 cm. B

A

S

a) 3 cm2 b) d) 12 e) 18

D

b) 50( + 1)

c)

B

C

D

8 m

Nivel II

8(4 - )

a) 8 cm2 b) 12 d) 20 e) 24

D

c)

16

C

D

6

c)

6. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado. B

región

C

9

3. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm.

A

a) 36(4 - ) cm2 c) 18(4 - ) e) 18( - 2)

12 cm

D

b) 32(4 - ) d) 36( - 2)

región 111

7. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado.

B

11.Calcular el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado. "M" y "N" son puntos medios.

C

N

B

8 cm

A

C

M

D A

a) 16 cm2 b) d) 30 e) 32

c)

8. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado. B

región

a) 8(6 + ) cm2 64(2 + ) d) 32(1 + ) e)

c)

36

D

a) 72 b) d) 81 e) 76

64

c)

O

9 (7 - ) cm2 2 9 c) (14 - ) 4 7 e) (14 - ) 2

D

9 (7 - ) 4 3 d) (14 - ) 2 b)

an

a)

10.Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm. B

48

región

C

6 cm

P

Q

13.Calcular el sombreada.

área

de

2

B

A

C

A

cm2

9. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado. B

N

M

D

18

c)

16(6 + )

B

6 cm

a) 24 cm2 b) d) 12 e) 20

16(4 + )

b)

12.Calcular el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 cm. "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios.

C

A

D

16 cm

24

ta R 20 o sa 14

20

la

2

siguiente

C

2

2 cm

2

2 cm

A

2

2

a) 2(2 - ) cm2 c) 2(4 - ) e) 4( - 2)

región

D

b) 4(2 - ) d) 4(4 - )

14.Calcular el área de la siguiente sombreada. "O" es centro del cuadrado. B 4

región

C

O

C

S

4 A

O

A

a) 8 cm2 b) 10 d) 15 e) 16

D

c)

12

a) 6(4 - ) cm2 c) 4(4 - ) e) 4( - 2)

4 cm

4 cm

D

b) 4(6 - ) d) 6(8 - )

111

15.Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado y "O" es centro del cuadrado. B

C

e) 6(18 - ) 3. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado. B

C

O A

8 cm

10 cm

D

A

cm2

40

Nivel III

c)

30

1. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 cm. B

D D

cm2

a) 8( - 3) c) 16( - 3) e) 24( - 1)

b) 16( - 2) d) 12( - 1)

ta R 20 o sa 14

a) 50 b) d) 25 e) 75

región

4. Calcular el área de la siguiente sombreada. ABCD es un cuadrado. B

región

C

C

A

A

D

a) 144 cm2 b) d) 81 e) 72

120

c)

96

2. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado. "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios. B

N

8 cm

a) 32( - 2) cm2 c) 16( - 2) e) 18( - 1)

b) 32( - 1) d) 24( - 2)

5. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm. Además "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios.

C

B

M

N

M

Q

D

an

6 cm

b) 18( - 3) d) 18(6 - )

P

A

Q

D

a) 24 cm2 b) 48 c) d) 48(4 - ) e) 32( + 1)

16( + 2)

S

a) 12(4 - ) cm2 c) 9(6 - )

C

P

O

A

D

111

111

S ta R 20 o sa 14

an

S

an

ta R 20 o sa 14

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