proyecto

Cálculo 1: Proyecto #1 Fecha límite abril 26, 2017

Pablo Burneo 7:00

Martina Bustamante, Juan Martínez, Fernando Sellan

1

Martina Bustamante, Juan Martínez, Fernando Sellan

Cálculo 1 (Pablo Burneo 7:00): Proyecto #1

Introducción Limites: “En matemáticas el limite se indica como la nocion de la aproximación hacia algún punto concreto a una función a medida que se acerca a un valor determinado. En calculo se utiliza en aplicaciones de definor diferentes conceptos fundamentales”[4] . El diferente análisis indica como el analisis real para diferentes funciones que puede ser una sucesión de los valores que toma los valores dentro de un intervalo o radio de convergencia es decir. lim f (x) = L x→c

“Se expresa como el limite de la alguna función donde x tiende a c” [2]. desde este mismo modo en una mayor consideración se puede llegar la definición de épsilon y delta Asi mismo los limites se considera como las sucesión de conjuntos que también utiliza diferentes condiciones como la monotomia que puede ser creciente o decreciente. Derivadas “La derivada en matemáticamente es la función que mide la rapidez que tiene alguna función es por tanto cambia el valor de la pendiente”[5]. Asi mismo se utiliza como el concepto de la pendiente en lo que trascurre la función y se considera como el limite de la función en un intervalo de tiempo por lo tanto entre la definición de la corvatura de la función con respecto al tiempo se considera com un punto dado en la dinámica de la función. Por la definición consideramos que los diferentes valores de la derivada “es la función de un punto en donde corresponde directamente como la pendiente de la recta tangente a la función de su grafica”[3]. Tomando en cuenta como la amplitud de su uso existe en varias aplicaciones que intervienen el calculo de diferentes magnitudes o función de cambio. Su estudio se utiiza en todas las ciencias exactas y en ciertos puntos de ciencias sociales como economía y sociología. Logaritmos En matemáticas en logaritmos es el exponente de que se eleva diferentes números, por lo tanto en consideración es la forma inversa de la exponencial. Por lo tanto el logaritmos es la denominación a las operaciones matemáticas elementales a la cual se utiliza el numero resultante y el numero de la potencia que se llega la exponente en la cual se eleva a la base. “Como consiguiente el logaritmo de 1000 es base 3 por la operación inversa del logaritmo es exponencial de base a logaritmo “[1]. Los logaritmos utilizan una serie de propiedades comunes que es logx x = 1 asi mismo el logaritmo de 1 es cero porque no se eleva a ningún numero. Las identidades arimeticas de los logaritmos es la base de utilizar los cálculos. logx (a b) = logx a + logx b a logx = logx a − logx b b logx ab = b logb x Funciones exponenciales Las funciones exponenciales es la función que tiene la f(x)=ax donde a tiene que ser mayor a cero y asi mismo a es diferente de uno, las características de las funciones exponenciales es que el dominio es todo los numero reales el rango por consideración de la función exponencial es los numero positivos, la función exponencial siempre llega a cero porque nunca tiene valores de cero, todas las funciones son continuas.

Problema 1 Muchos fenómenos fısicos se modelan mediante funciones que involucran exponenciales. Grafique las funciones involucradas para responder las siguientes preguntas:

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(a) La gráfica de la función exponencial ex tiene cierta tendencia cuando x → ∞ y cuando x → −∞. Por otro lado, la función sin x es periódica. ¿Cómo se comporta la función ex sin x? 2e+42

e^x sen(x)

0

-2e+42

f(x)

-4e+42

-6e+42

-8e+42

-1e+43

-1.2e+43

-1.4e+43

-40

-20

0

20

40

60

80

100

x

Figura 1: Comportamiento de la función ex sin x en un intervalo de x de 0 hasta 100

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(b) Lo mismo para f (x) = ex cos x. 4e+86

e^x cos(x)

3.5e+86 3e+86 2.5e+86

f(x)

2e+86 1.5e+86 1e+86 5e+85 0 -5e+85 -1e+86

-50

0

50

100

150

200

x

Figura 2: Comportamiento de la función f (x) = ex cos x en un intervalo de x de -50 hasta 200

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(c) Lo mismo para f (−x). 1e+86

e^-x sen(-x)

0

-1e+86

f(x)

-2e+86

-3e+86

-4e+86

-5e+86

-6e+86

-7e+86 -200

-150

-100

-50

0

50

x

Figura 3: Comportamiento de la función f (−x) = e− x sin −x en un intervalo de x de -200 hasta 50

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4e+86

e^-x cos(-x)

3.5e+86 3e+86 2.5e+86

f(x)

2e+86 1.5e+86 1e+86 5e+85 0 -5e+85 -1e+86 -200

-150

-100

-50

0

50

x

Figura 4: Comportamiento de la función f (−x) = e− x cos −x en un intervalo de x de -50 hasta 200

Problema 2 Un capital C se deposita durante t años a un interés de r % anual En el instante t = 0 Y = capital inicial C Y = Aekt

(1)

C = Aek0 = A

(2)

Y = Cekt

(3)

Se tiene

entonces

En el primer intervalo cuando t = 1; Y = (1 + r); r = tanto por uno en el periodo t. Entonces C(1 + r) = Cek ek = (1 + r)

(4)

k = ln(1 + r)

(5)

t

Sustituyendo en (3) Y = Cet ln(1+r) = Celn(1+r) t como eln(1+r) = (1 + r)t Entonces Y = C(1 + R)t

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(a) Deduzca la fórmula del monto final del capital con interés compuesto trimestralmente. Suponiendo a t como los trimestres de un año entonces t=4. Y = C(1 + R)4

(6)

(b) Deduzca la fórmula del monto final del capital con interés compuesto mensualmente. Suponiendo a t como los meses de un año entonces t=12. Y = C(1 + R)1 2

(7)

(c) Deduzca la fórmula del monto final del capital con interés compuesto k veces al año. Suponiendo a t como k veces de un año entonces t=k Y = C(1 + R)k

(8)

(d) Si se compone el interés cada instante, se debe tomar el límite k → ∞ de la fórmula anterior. Deduzca la fórmula de interés compuesto instantáneo. Suponiendo que k crece sin límite lim(k )Y , por lo que el periodo de capitalización es un intervalo de tiempo mucho más pequeño que los tomados anteriormente, por lo que la capitalización es continua y la taza es instantánea. y 1 k (9) 1 + r = (1 + )k = (1 + y ) y y k k Como l´ım [(1 +

k→∞

k ky )] = e y

Se tiene (1 + r) = l´ım [(1 + k→∞

1 k y

(10)

)]y

(11)

En donde (1 + r) = ey

(12)

Y =Y

(13)

δ = log(1 + r)

(14)

En donde Entonces

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(e) Realice algunas gráficas dando datos para comprobar el hecho de que mientras más veces se componga al año, el monto final es mayor. 16000

Y=(1+r)^4

14000

12000

Y=Y(r)

10000

8000

6000

4000

2000

0

-10

-5

0

5

10

r

Figura 5: Monto final resultado de un periodo de tiempo trimestral durante el año.

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Cálculo 1 (Pablo Burneo 7:00): Proyecto #1

3.5e+12

Y=(1+r)^12

3e+12

2.5e+12

Y=Y(r)

2e+12

1.5e+12

1e+12

5e+11

0

-10

-5

0

5

10

r

Figura 6: Monto final resultado de un periodo de tiempo mensual durante el año.

1.6e+54

Y=(1+r)^52

1.4e+54

1.2e+54

Y=Y(r)

1e+54

8e+53

6e+53

4e+53

2e+53

0

0

2

4

6

8

10

r

Figura 7: Monto final resultado de un periodo de tiempo diaria durante el año.

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Cálculo 1 (Pablo Burneo 7:00): Proyecto #1

(f ) Compare dos libretas de ahorros, una a plazo fijo con 6. % de interés anual compuesto trimestralmente y otra tipo gana diario con 6.5 % de interés anual. ¿Cuál es la mejor? Y = (1 + r)4

(15)

Y = (1 + 6,8 %)4 = 1,30 Y = (1 + r)3 65

(16)

Y = (1 + 6,5 %)3 65 = 960742

(g) ¿Qué tiempo se debe esperar para duplicar un capital al 5.5 % de interés compuesto instántaneamente? δ = 0,053 δ = log(1 + r) δ = log(1 +

(17)

5,5 100 )

δ = log(1 + t=

5,5 ) 100

(18)

ln0,107 ln0,053 5,5 1 + 100

t = 263,22dias

(h) ¿Qué tipo de interés compuesto diariamente debe ofrecer un banco para atraer a más clientes si su competencia está ofreciendo interés compuesto instántaneamente al 6 %? El banco deberá ofrecer un interés del 1 % diariamente para poder establecer una diferencia con el interés instantáneo que no signifique una perdida para le banco a causa de un interés demasiado alto. Debido a que la tasa instantánea genera para igual capital e igual plazo el mismo monto que la tasa nominal con capitalización periódica.

(i) Usted ha naufragado y llega a una isla del Caribe. Al recorrer la isla en busca de ayuda se encuentra con un avión estrellado con provisiones que le pueden sostener durante muchos años y además un radio para pedir auxilio. Luego de meditar por largas horas y realizar algunos cálculos matemáticos sencillos decide no utilizar el radio y quedarse por algunos a~nos en la isla hasta que los 10000 dólares que dejó en el banco se conviertan en un millón. ¿Cuál es el tiempo mınimo que debe quedarse disfrutando del paisaje caribeño? ¿Podrá disfrutar de su millón o hizo algún cálculo mal?. Asuma un interés razonable compuesto semanalmente. Como en el ejercicio nos dicta el capital final tendrá que ser 1000000 de dolares y con las ecuaciones anteriores podremos despejar t que sera el tiempo en semanas asumiendo un interés de 1 % semanalmente.

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Y = C(1 + R)t

t=

t=

lny/lnc (1 + r)

(19)

(20)

ln1000000/ln10000 = 1,48 1 (1 + 100 )

Si el interés fuera del uno por ciento diario debería quedarse durante un año y medio en la isla para poder conseguir la cantidad de un millón a partir de diez mil dólares.

Problema 3 Un modelo de poblaciones utiliza una función exponencial para representar el crecimiento de la población. Esta función tiene la forma f (t) = Po ekt ,donde t representa el tiempo en horas y Po es una constante. En un estudio de una población de bacterias se encontró que después de una hora de iniciado un cultivo el número de individuos era de 2 millones. Al cabo de la segunda hora la población de bacterias ascendía a 2.8 millones. Podemos aplicar las ecuaciones anteriores para despejar la razón de crecimiento de las baterías, al ser esta ecuación un exponencial: T m = P (1 + 0,4) (21)

Se inocula a un conejillo de indias con una muestra de este tipo de bacterias. La muestra consta de una población inicial de 1 millón de individuos. Luego de 10 horas de inoculada la muestra se inyecta la droga de prueba. Cada inyección mata 2 millones de bacterias instantáneamente. Estas inyecciones son administradas cada media hora. ¿Cuántas inyecciones debe recibir el conejillo de Indias hasta estar libre de estas bacterias? Ahora presentamos una ecuación lineal para la inoculación de conejillos de indias, entonces podemos determinar su razón de cambio e igualarla con la razón de cambio anterior con el fin de despejar nuestro tiempo que en este caso seria el numero de veces que se vacuna al conejillo: T

4t = P (1 + 0,4)

(22)

ln4t = lnBtln (1 + 0,4)

(23)

Aplicamos logaritmos para despejar t:

ln4 + lnt = lnB + lnt ∗ ln (1 + 0,4) ln4 − lnB = lnt (0,23) − lnt ln4 − lnB = lnt −0,66 t=e

ln4−lnB −0,66

t = 16,17

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Cálculo 1 (Pablo Burneo 7:00): Proyecto #1

Como el t obtenido esta en funcion de una hora y en realidad las inyecciones ocurren cada media hora el t real sera el doble del obtenido. Numero de inyecciones = 33

Problema 4 Usted es el veterinario encargado de salvarle la vida al pobre conejillo del problema 3. Si es que encontró que el tratamiento anterior no es suficiente, ¿cómo debe alterar las dosis para salvar a la criatura? En caso de que el tratamiento no haya funcionado, se debe reducir el tiempo de exposición del conejo al virus por lo menos en 2 unidades (2t), por lo tanto aumentar el número de inyecciones. 2

8t = P (1 + 0,4) t

(24)

ln8t = lnB2tln (1 + 0,4)

(25)

ln8 + lnt = lnB + ln2t ∗ ln (1 + 0,4) ln8 − lnB = ln2t (0,33) − lnt ln8 − lnB = lnt −0,34 t=e

ln8−lnB −0,34

t = 31,76

Referencias [1] Laurence D Hoffmann-Gerald L Bradley. Cálculo aplicado a administración, economía, contaduría y ciencias sociales. McGraw-Hill, 1995. [2] Deborah Hughes-Hallett, Virgilio González Pozo, et al. Cálculo aplicado. Number 515 C3. 1999. [3] Guillermo López Dumrauf. Cálculo financiero aplicado. La Ley, Buenos Aires, 2003. [4] James Stewart. Cálculo, vol. 1. Pioneira Thomson Learning, 2001. [5] Stefan Costenable Waner, R Steven, Virgilio González Pozo, et al. Cálculo aplicado. 2002.

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