Placa Empotrada - 3 Jose Acero

 

ELEMENTOS FINITOS - Losa Empotrada Elementos Simetricos - Ejemplo Aplicativo Ejemplo Desarroll Desarrollado ado en base a Juan Bariola Bariola Bernales - Losas de Concreto Armado

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Una placa cuadrada empotrada en sus extremos esta sujeta a una carga concentrada concentra da en su centro.Las dimensiones de la placa son 4m x 4m, con un espesor de 10 cm. El modulo de Elasticidad es de 2x10^10 kgf/m^2, con coeficiente de Poisson's de 0.3. La carga concentrada es de 20 kg. Encontrar los desplazamientos en el centro de la Losa. Sugerencia: Debido a la simetria se puede dividir la placa en 4 elementos, con las condiciones de borde modificadas; modificada s; este conlleva una optimizacion en el numero de calculos correspondientes. correspondientes.

Datos:  

kgf/m^2  

kgf  

m 

m  Análisis de 1/4 de losa por simetría:  

m 

Condiciones de Contorno en los lados   Losa Empotrada:  Lados 1-4 , 1-2(w =

=

0) Losa Apoyada:  Lado 3-4 ( =0)  

 

Descomposición del 1/4 de Losa en 4 Elementos A,B,C,D) 

Método de Análisis Análisis    Por motivo de aprendizaje, y ser un ejemplo aplicativo se usara la  formulación mas sencilla para el analisis de Losas (Kirchhoff). Teniendo en cuenta elementos simetricos, esto para no entrar en terminos de métodos de integración numérica para la obtención de la matriz de rigidez. 

G.D.L.s restringidos  (w =

= 0)

=

 

1,2,3 (nodo 1), 4,5,6 (nodo 2), 10,11,12 (nodo 4),  =

= 0   0   

8 9 nodo 3 .

 

=

 

  I .MATRIZ CONSTITUTIVA   Tambien llamada matriz de esfuerzos-deformaciones. Es una matriz que contiene las propiedades mecánicas del material, siendo simétrica y estando  principalmente en función del módulo de Elasticidad y del coeficiente de  Poissón. Tambien dependiendo dependiendo del elemento se puede ingresar el espesor del material, esto no sera necesario en elementos planos.   Nota: El método de Kirchhoff desprecia los efectos de corte ocurridos por la deformación de la losa. Por eso la matriz constitutiva esta en funcion de solo la flexion del material, a diferencia del método de placas por el Teorema de Timoshenko. 

Propiedades a Flexi Flexión: ón:  

II .FUNCIONES DE DESPLAZAMIENTOS   La función de desplazamientos, en terminos simplificados es una función  polinomica que obtiene el desplazamiento desplazamiento en cualquier punto del elemento haciendo uso de coeficientes. Para un elemento tipo losa de 4 Nodos, la  función de desplazamient desplazamientos os puede  puede ser representado de la siguiente forma. 

En donde los giros, por las hipotesis de formulación estan representados como se muestra a continuación: continuación: 

Retomando la función de desplazamientos, puede ser expresada matricialmente de la siguiente forma: 

 

  Si definimos en forma de vector los posibles desplazamientos que pueden surgir en un nodo (parametros nodales), tenemos: 

Recordemos queen los desplazamiento x ogiros y). estan en funcion del desplazamineto (derivada del

Obtenemos las derivadas de la función de desplazamientos y lo dejamos  formulado matricialmente matricialmente en funcion funcion de los coeficien coeficientes tes "Alfa". 

En donde si formulamos la ecuación anterior para todo el elemento (4 nodos), ya que es el caso del ejemplo aplicativo, la matriz C tendria la siguiente forma: 

Si reemplazamos el vector de desplazamientos en la función de desplazamientos: 

La ecuación anterior nos recuerda la formulación basica para las funciones de  forma de un elemento. Por lo que logicamente regresaremos a la formulación inicial, base para cualquier tipo de elemento finito: 

 

  III .MATRIZ DE DEFORMACIÓN   También llamada matriz elemental. Esta matriz nace de la interpretación que se da para definir matriz de interpolación y el principio de la relación entre la deformación y los desplazamientos.   Dadas las hipotesis de planteamiento de una losa (Elemento "Plate"), por el método de Kirchhoff, tenemos el siguiente vector de deformaciones. 

 Por bases de Resistencia de Materiales, representamos las deformaciones en  función de las derivadas derivadas del desplazamiento. desplazamiento. 

 Procedemos a obtener las las derivadas de la funcion funcion de desplazamientos. desplazamientos. 

 Definimos lo anterior anterior matricialment matricialmente, e, en función de los parametros "Alfa". "Alfa". 

Si procedemos a reemplazar el valor de "Alfa" en función al vector de desplazamientos, obtenemos: 

Con esto queda definida la relación entre las deformaciones y los desplazamientos, entonces la matriz de deformación deformación tiene la siquiente siquiente forma: forma: 

 

  IV .MATRIZ DE RIGIDEZ   La matriz de Rigidez del Elemento nace del teorema de trabajos virtuales, el cual tiene como principio que tanto las fuerzas externas como las internas deben estar en equilibrio con el sistema. La fórmula mostrada a continuación general Finito): para la rigidez del elemento (Para cualquier tipoesdela Elemento   obtencion de la

 Dicha ecuación se puede desglozar y dejar en función de las dimensiones de la losa.( a= ancho, b=alto).  El factor de "z", desaparace, ya que esta incluido en la matriz contitutiva contitutiva.. 

Si procedemos a despejar las matriz de rigidez a partir de las matrices antes definidas y teniendo en cuenta que los nodos y el ancho/largo esta distribuido de la forma como se muestra en la figura, obtendremos una formulación directa  para la obtención de la rigidez (se muestra en la sgte sgte pagina). 

 

 

 

  V .ESFUERZOS DEL SISTEMA   La obtención de los esfuerzos del sistema se obtienen a partir de la formulación  general establecida en el el metodo de los El Elementos ementos Finitos. Finitos. 

 Por principio de Resistencia de Materiales, sabemos que podemos obtener los momentos a partir de los esfuerzos, por lo que se puede reformular la ecuacion de obtención de esfuerzos para momentos. 

 

  VI . RESULTADOS   Con todo lo formulado hasta el momento, ya se puede obtener resultados del  problema planteado. planteado. 

Calculo de Rigidez - Sistematica

 

 

 

Calculo de Rigidez - Directa   Esto se debe a que a=b y es todo el largo/Ancho de la Losa 

Nos damos cuenta que KG=KG2 ya que nacen de la misma expresion. La unica diferencia es que Juan Bariola dejo simplificada la expresion mostrada a continuacion para una losa simetrica.Con las matrices antes desarrolladas. 

 

  Calculo de Fuerzas Aplicada al Sistema   La carga es una puntual aplicada al centro del elemento, de 20 kgf (como se dividio el elemento en 4 partes, se aplica 5 kgf). 

plicando Condiciones Condiciones de B orde Manualmente   Formulamos la matriz de Localización. Dicha matriz sirve para restringir los G.D.L.s (Restringidos por las condiciones de Borde). En este caso al ser empotrado , solo estara lbre el desplazamiento en z del elemento en el punto central.

 

  Desplazamientos del Sistema  

Si usamos la formula final que formula Juan Bariola Bernales en su libro (Pag 41). Obtendremos el mismo resultado, ya que sigue s igue el mismo procedimiento, solo variando la obtención de la matriz de rigidez.

Verificando los Resultados con SAP 2000.

Bibliografia  -Eugenio Oñate, Structural Analysis with the Finite Element Method   -Jorge Alvarez, Introducción al método de los elementos finitos en el campo Lineal   -Timoshenko,Stephen Teoría de placas y Laminas