modul-Program-linear.pdf

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

BAB 2. Program linear Kompetensi dasar : 2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2.2 Merancang model matematika dari masalah program linear 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.

Semua pedagang pasti menghendaki keuntungan yang sebanyak-banyaknya

dengan menekan biaya yang sekecil-kecilnya. Dengan menyederhanakan beberapa faktor dapat dibuat bentuk model matematika dan diselesaikan dalam ro ram ram lin linea ear. r.

PERTEMUAN

ke-14 s.d ke-15 Indikator : 1. Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2. Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Peridaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : ax + by > c

tanda bisa dengan 24 b. 3x + 5y < 15 c. 6x + 5y ≤ 30 d. 8x – 6y ≥ 48 2. Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut kedalam bidang  2 x + 8 y ≤ 60 cartesius :



a. 4 x + 4 y ≤ 60   x ≥ 0,  y ≥ 0 

  x +  y ≥ 2   x −  y ≥ −1  b.  5 x + 3 y ≤ 15   x,  y ≥ 0

PERTEMUAN

ke-16 s.d ke-18 Indikator : 1. Mengenal masalah yang merupakan program linear 2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear 3. Merumuskan model matematika dari masalah program linear

C. PROGRAM LINEAR DAN MODEL MATEMATIKA

Program linear adalah metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang  mengandung kendala atau batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem  pertidaksamaan linear. Model matematika adalah rumusan matematika berupa pertidaksamaan yang diperoleh  dari penafsiran suatu masalah program linear kedalam bahasa matematika.

Contoh : Luas lapangan parkir adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masingmasing 8 m2 dan 24 m2. Lapangan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil sebanyak x dan bus sebanyak y. Penyelesaian : Langkah 1 : Buat tabel Jenis kendaraan Mobil Bus Maksimum

variabel x y 20

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

Luas parkir 8 24 400

19

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA Langkah 2 : Tentukan model matematika   x +  y ≤ 20

 8 x + 24 y ≤ 400   x,  y ≥ 0 

CATATAN :

Untuk memaksimumkan tanda “ ≤ ” Untuk meminimumkan tanda “ ≥ ”

LATIHAN 2 1. Seorang anak membeli 8 buku dan 5 pensil harus membayar Rp 18.500,-. Anak lain membeli 4 buku dan 6 pensil harus membayar Rp 11.000,-. Jika harga satu buku dan satu pensil masing-masing x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. 2. Harga karcis dalam suatu gedung pertunjukan dibedakan menjadi dua kelompok umur, yaitu anak-anak dan dewasa yang masing-masing seharga Rp 2.500,- dan Rp 5.000,-. Jika karcis terjual habis uang yang terkumpul tidak lebih dari Rp 1.250.000,- sedangkan daya tampung gedung paling banyak 1000 orang. Apabila x dan y adalah banyak anak-anak dan dewasa, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. 3. Diketahui jumlah dua bilangan non negatif x dan y tidak lebih dari 25. sedangkan empat kali bilangan x ditambah dua kali bilangan y tidak lebih dari 75. Buatlah model matematikanya. 4. Seorang ahli pertanian ingin mencampur dua jenis pupuk dengan memberikan 15 g kalium karbonat, 20 g nitrat, dan 24 g fosfat seminimal mungkin pada suatu takaran.Satu takaran pupuk merk I seharga Rp 75.000,- per kemasan memerlukan 3 g kalium karbonat, 1 g nitrat, 1 g fosfat. Pupuk merk II memerlukan 1 g kalium karbonat, 5 g nitrat, 2 g fosfat. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut agar pengeluarannya sekecil mungkin. PERTEMUAN

ke-19 s.d ke-21 Indikator : 1. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif 2. Menafsirkan solusi dari masalah program linear

D. NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSI OBJEKTIF

Fungsi Objektif Adalah fungsi Z = ax + by untuk menentukan nilai optimum ( baik maksimum maupun minimumnya). Ada dua cara untuk menentukan nilai optimum, yaitu : a. metode uji titik sudut b. Metode garis selidik

Contoh : 1. Penyelesaian dengan uji titik sudut Tentukan nilai optimum model matematika berikut ini : 2x + y ≤ 30, 2x + 3y ≤ 50, x,y ≥ 0 dengan x,y ∈  C Denggan fungsi objektifnya Z = x + y

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

20

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA Penyelesaian : Langkah 1 Menggambar grafik dari kedua persamaan garis Pers 2x + y ≤ 30 Pers 2x + 3y ≤ 50 x 0 15 x 0 y 30 0 y 16 2/3 Titik Potong kedua garis Y

→ 2x

+ y = 30 2x + 3y = 50 – 2y = – 20 maka y = 10 dan x = 10

(0,30) C

25 0

2x + y = 30

(0,162/3) B (10,10)

A(15,0 )

2x + 3y = 50 (25,0)

O

X

Langkah 2 Selidiki setiap titik sudut dengan Z = x + y Titik O A B C x 0 15 10 0 y 0 0 10 16 2/3 Z = x +y 0 15 20 16 2/3

Dari yabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif Z = x + y adalah 20 pada x = 10 dan y = 10 2. Selesaikan soal nomor 1 dengan garis selidik Penyelesaian : Buat garis x + y = k, k ∈  R Jika k = 0,maka garis melalui titik O, kemudian buat garis sejajar dgn garis tersebut yang melalui titik A,B,dan C

(0,30) C (0,162/3)

2x + y = 30 B (10,10)

A(15,0 ) O

2x + 3y = 50 (25,0)

Nilai maksimum diperoleh pada garis terjauh dari titik O yaitu yang melalui titik B(10,10). Maka Z = 10 + 10 = 20

LATIHAN 2 1. Dengan metode uji titik sudut, tentukan nilai optimum fungsi objektif dari program linear berikut : a. 2x + 5y ≤ 40 b. 2x + 3y ≥ 40 4x + y ≤ 20 2x + 2y ≥ 28 10x + 5y ≤ 60 8x + 2y ≥ 32 x,y ≥ 0 dan x,y ∈ R x,y ≥ 0 dan x,y ∈  R Z = 24x + 8 y Z = 3x + 4y

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

21

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA 2. Dengan menggunakan metode garis selidik, dari program linear berikut : a. 2x + 6y ≤ 36 b. 5x + 3y ≤ 30 8x + 2y ≤ 60 x,y ≥ 0 dan x,y ∈ R Z = 40x + 50y

tentukan nilai optimum fungsi objektif 3x + y ≥ 15 x + 5y ≥ 20 3x + 2y ≥ 24 x,y ≥ 0 dan x,y Z = 4x + 6y

∈  R

RANGKUMAN

1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem ( gabungan dua atau lebih ) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel 2. Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi. 3. Model matematika merupakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear dalam bahasa matematika. 4. Untuk memecahkan permasalahan model matematika, hal yang paling utama adalah memisalkan variabel-variabel dari permasalahannya kedalam simbol matematika. 5. Fungsi objektif adalah suatu fungsi yang hendak ditentukan nilai optimumnya pada program linear. Nilai optimum benttuk objektif dapat ditentukan dengan cara : a. Metode uji titik sudut. b. Metode garis selidik

EVALUASI BAB III I

I. 1.

Pilihlah jawaban yang paling tepat ! Daerah yang tidak diarsir pada gambar berikut memenuhi pertidaksamaan …. Y 6 4

O

3

a. b. c. d. e.

8

X

2x + y ≤ 8,3x + 2y ≤ 12,x,y ≥ 0 x + 2y ≥ 8,3x + 2y ≤ 12,x,y ≥ 0 x + 2y ≤ 8,3x + 2y ≤ 12,x,y ≥ 0 x + 2y ≥ 6,3x + 2y ≥ 8,x,y ≥ 0 2x + y ≤ 6,x + 2y ≤ 8,x,y ≥ 0

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

22

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA 2.

3.

4.

5.

Nilai maksimum fungsi Z = 400x + 300y yang memenuhi pertidaksamaan 5x + 2y 30, 2x + 4y 28,y 6,x,y 0 adalah … a. 3.000 d. 3.300 b. 3.100 e. 3.400 c. 3.200 Untuk memproduksi barang A diperlukan waktu 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II. Untuk barang B diperlukan waktu 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Jika kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam, model matematika yang sesuai adalah ... a. 2x + 3y ≤ 9,4x + y ≤ 9,x,y ≥ 0 b. 3x + 2y ≤ 9,2x + 4y ≤ 9,x,y ≥ 0 c. 3x + y ≤ 9,2x + 4y ≤ 9,x,y ≥ 0 d. 3x + y ≤ 9,4x +2y ≤ 9,x,y ≥ 0 e. 4x + 3y ≤ 9,x + 2y ≤ 9,x,y ≥ 0 Diketahui sistem pertidaksamaan x + y ≤ 6, x + y ≥ 3,2 ≤ x ≤ 4,y ≥ 0 . Nilai maksimum fungsi tujuan Z = 3x + 2y adalah … a. 10 d. 16 b. 12 e. 18 c. 14 Perhatikan gambar berikut Y 5

Daerah segilima disamping merupakan himpunan penyelesaian dari suatu program linear dengan fungsi tujuan Z = x + 3y mencapai maksimum dititik ….

R

3 S

O

Q

2

a. P b. Q c. R

5

P 6

X d. S e. O

II. Jawablah dengan tepat !

1. Tentukan nilai optimum fungsi tujuan Z = 40x + 10y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 12, x + y ≥ 10, x,y ≥ 0. 2. Untuk membuat satu paket roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan satu paket roti B memerlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 Kg mentega dan 2,2 Kg tepung tentukan Keuntungan maksimum dari penjualan roti,jika harga satu paket roti A Rp 20.000,- dan satu paket roti B Rp 25.000,-

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

23