Modelado Matemático de Sistemas Eléctricos y Electrómecanicos PDF

 

MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓMECANICOS

Vladimir Prada Jiménez Ph.D

 

Sistemas Sist emas eléctricos •

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  Los circuitos elé ctricos componen compon enivos des inter interconexione conexiones s cias, des,fuentes fuent es nsador de voltaje corrie cor rient ntee eléctr eléeléctricos ctric ica, a, eleme elese ment ntos os pasivo pas como como resis resisten tencia conde condensa dores es ey induccione induc ciones, s, y element elementos os electrón electrónicos icos activos, activos, especialm especialment entee amplifica amplificadore doress operacionales. Antes de la llegada de los ordenadores estos elementos eran práct pr áctica icamen te cret losetame únicos únicos per mitían ían la esconstr conopera strucc ucción ión de dis positi itivo vos s ido de con contr trol, ol, mente y concr con ament ntee que los permit amplif amp lifica icador dores ope racio cional nales es dispos han permit per mitido simplificar enormemente el diseño de controladores.   La forma forma clásica clásica de escrib escribir ir ecu ecuaci acione oness de circui circuitos tos eléctri eléctricos cos se basa basa en el método o en el de nodos, los cuales están formulados a partir de las dos leyesde demallas Kirchoff:  –

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  Leyes de corrien corriente te de Kirchoff: La suma algebraica algebraica de todas las corrientes qu quee dejan un punto de unión o nodo en un circuito es cero.   Leyes de voltaje de Kirc Kirchoff: hoff: La suma algebraica de todos los voltajes tomados en torno a una trayectoria trayect oria cerrada en un circuito es cero.

 

Redes pasivas •

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  En este este apar aparttado ado se van van a estu estudi diar ar las las redes edes pasi pasivvas bási básica cass de uso uso más más frec frecue uent ntee en lo loss circ circui uito toss el eléc éctr tric icos os que que forma orman n part partee de los los sist sistem emas as de regulación automática: resistencias, resistencias, condensadores condensadores y bobinas.   Elementos pasivos de los los circuitos circuitos eléctricos.

 

Sistemas eléctricos Símbolos y unidades utilizados en los sistemas s istemas eléctricos.

Magnitudes, símbolos y unidades en el Sistema Internacional de los elementos elementos pasivos de los circuitos eléctricos. eléctricos.

 

Ejemplo 1

 

Ejemplo 2

 

Ejemplo 3

 

Amplificador operacional (AO) En el procesamiento de señal y en circuitos para control de sistemas la finalidad más común de los circuitos electrónicos electrónicos es  es la amplificación de señal, señal, y para ello se utiliza de form formaa gener generali aliza zada da el amp amplif lific icado adorr oper operacion acional al (AO). (AO). Aunqu Aunquee no es labor labor de esta esta asignatura profundizar el estudio estos dispositivos, dada la utilización de los mismos en el la Ingeniería deen Control se va de a proceder a realizar una breve introducción. Aún cuando el AO esté formado internamente por transistores y resistencias conectados entre sí de manera compleja, sus características externas, que son los que realmente interesan en la únicamente Ingenieríaede Control, son relativamente simples. Deándolo hecho,como el AOuna se puede estudiar únicament desde un punto de vista externo, considerándolo consider “caja negra”, y siendo representados representados por modelos lineales muy simplificados.

 

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  La ganancia a baja frecuencia   Ao  de los amplificadores comerciales van desde 105 hasta 107, considerándose a efectos prácticos como infinito, sin con ello perder exactitud en los cálculos. Ésta sería una de las aproximaciones que se realizan al modelizar lo que se denomina el AO ideal, y que se detallan a continuación:   El voltaje voltaje en entre tre las te termina rminales les + y - es cer cero, o, est esto o es,   v + =   v -. Esta propiedad se conoce como tierra virtual o corto virtual. virtual.   infinita Las corrientes corrient es dentr dentro o de las te terminales rminales + y - son nulas. P Por or tant tanto, o, la la impedancia  impedancia de entrada es infinita. .   La impedancia impedancia vist vistaa hacia la termina terminall de salida salida es cero. Por tan tanto, to, la salida es una fuent fuentee de voltaje ideal. infinito.   La relación entrada-salida es  v o =  A o(v + -  v -), donde la ganancia  A o tiende a infinito.

 

Ejemplo 1

 

Ejemplo 2

 

M inductancia mutua

 

Sistemas electromecánicos Los sistemas electromecánicos de regulación son aquellos que utilizan elementos que convierten la energía eléctrica en mecánica o viceversa. Entre los más utilizados actualmente están los motores  y los generadores de corriente continua (DC). En este apartado se van estudiar los motores de DC controlados por el inducido, armadura o rotor y los motores de DC controlados por el campo de excitación o inductor. El uso de este tipo de motores se ha ido imponiendo con respecto al uso de los motores de corriente alterna (más eficaces en tiempos pasados) por varios motivos, entre ellos: Los motores de corriente alterna son más difíciles de controlar, especialmente para control de posición. Los avances logrados en electrónica de potencia han hecho que los motores DC sin escobillas sean muy populares en sistemas de control de alto desempeño. Las técnicas de manufactura avanzada han producido motores DC con rotores sin hierro que tienen una inercia muy baja, por lo que alcanza propiedades de relación par-inercia muy alta, y constantes de tiempo muy bajas, las cuales han abierto nuevas aplicaciones para motores cd en equipos periféricos de cómputo tales como unidades de cinta, impresoras, unidades de disco y procesadores de textos, así como en las industrias automotriz y de máquina herramienta.

 

Motor de corriente continua (DC) controlado contr olado por inducido En este apartado se van a estudiar de una forma breve los motores cd de imán perm pe rman anen ente te o cont contrrol olad ados os por por el in indu duci cido do,, armadura o rotor. La figura muestra el rotor y el estator de un motor cd de este tipo junto con un esquema simplificado que lo representa.

 

Motores •

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  Las diferentes variables y parámetros del motor se definen como sigue:

  Para Para obtener unas ecuaciones ecuaciones lineales que reflejen reflejen el comport comportamiento amiento del mot motor or cd controlado por el inducido se pueden realizar una serie de supuestos, que sin ser exactos pueden considerarse como aceptables en la mayoría de los casos:   La armadura armadura o inducido inducido está modelado modelado como una res resist istencia encia () en serie con una inductancia (), y una fuente de voltaje (()) que representa la fuerza contraelectromotriz que se induce en la armadura al girar el rotor.

 

Motores •

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  La fuerza fuerza contraelec contraelectro tromotri motrizz anterior anterior es proporci proporcional onal,, con una constan constante te de proporcionalidad  , a la velocidad de rotación del eje del motor (()).   El circuito de de excitación excitación del campo se puede simplificar con con una resistencia resistencia () y una inductancia ().   La intensidad de excitación del campo campo (i ex ) se puede considerar constante.   El flujo del entrehierro ( ) es proporcional a la intensidad de excitación ().

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  entrehierro El par par desa desarr rrol oll ad o intensidad por por el mot mode torinducido ( () s ).propor oporccion ional al flu flujo en el (  ) ylado a la inducid o ()e()   Los Los el elem emen ento toss mecá mecáni nico coss se pued pueden en mode modela larr medi median ante te una una in iner erci ciaa de momento   y un rozamiento viscoso de constante  .

 

Motores •

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  Aplicando Aplicando las aproxi aproximacion maciones es anteriores anteriores se puede puede obtener obtener la siguient siguientee relación relación de ecuaciones que definen el comportamiento del modelo del motor cd controlado por inducido o armadura: a rmadura:

  Aplicando la transformad transformadaa de Laplace a las ecuaciones anterior anteriores es se tiene: tiene:

 

Motores Por últi último mo,, se pued pueden en repr repres esen enta tarr esta estass expre xpresi sion ones es de forma orma gráf gráfic icaa me medi dian ante te diagramas de bloques, como se observa en la siguiente figura. Este tipo de diagramas presentan la ventaja dediferentes dar una visión global y clara del funcionamiento del motor y de las relaciones entre las variables.

 

Motor (DC) controlado por campo •

  A diferencia de los motores cd controlados por el inducido o armadura, en los controlados por el campo de excitación la intensidad essid constante, proporci orcion onaadel l ainducido la intensi en dad de exycpor it itaació ciello ón el depar camotor mpo mpo. es La figura muestra el esquema simplificado de un motor de cd de este tipo.

 

Motores •

  A partir de dicho esquema, y teniendo en cuenta que las aproximaciones utilizadas en el motor cd controlado por armadura scomportamien on igualmento tedelvámotor lidas, son: las comportamiento

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ecuaciones

  Aplicando la transf transformada ormada de Laplace se tiene: •

que

modelan

el

 

Motores •

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  De forma gráfica, gráfica, mediante mediante diagramas diagramas de bloques, bloques, el esquema esquema de funciona funcionamien miento to del motor cd controlado por el inductor o campo de excitación se observa en la siguiente figura.

  Se puede puede obser observar var una difer diferen encia cia clara clara entre entre los dos dos motor motores es es estud tudiad iados, os, y es qu quee mientras mientr as en el primero aparece una realimentación realimentación interna (fuerza contra electromotriz), el diagrama de bloques del segundo es un esquema en lazo abierto. Esta realimentación interna viene a ejercer de   “fricción eléctrica”, y su efecto es tender a estabilizar el motor cd controlado por inducido. Dado que dicho lazo de realimentación no aparece en el controlado por campo, éste tiene un funcionamiento menos estable, y por tanto es más difícil de controlar que el primero.

 

G R A C I A S